随机过程

《随机过程》课程教学大纲

课程编号：02200021

课程名称：随机过程

英文名称：Stochastic Processes

课程类别：选修课

总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4

适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业

先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计

一、课程简介

随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随

机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。

二、课程性质、目的和任务

随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用

价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随

机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学

专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。

三、课程基本要求

通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更

新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干

推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限

分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫

哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程

与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。

四、教学内容及要求

第一章预备知识

§1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4.

条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性

教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。

第二章随机过程的基本概念和类型

§1.基本概念；§2.有限维分布和Kolmogorov定理；§3.随机过程的基本类型、均方微积分。

教学要求：牢固掌握随即过程的基本概念、有限维分布和数字特征；掌握随机过程均方极限、均方连续、均方导数、均方积分的定义；掌握随机过程的基本类型，包括二阶矩过程、正态过程、正交增量过程、独立增量过程和平稳过程的概念；牢固掌握平稳过程的相关函数的性质，掌握平稳过程的遍历性定理。

第三章 Poisson过程

§1.Poisson过程；§2.Poisson过程相联系的若干分布；§3.Poisson过程推广

教学要求：牢固掌握Poisson过程的定义、应用背景及与此过程相联系的若干分布；牢固掌握非齐次Poisson过程、复合Poisson过程和条件Poisson过程的定义和常见应用背景。

第四章更新过程

§1.更新过程定义和若干分布；§2.更新方程及其应用；§3.更新定理；§4.L－C破产模型；§5.更新过程的推广。

教学要求：牢固掌握更新过程的定义和若干分布；牢固掌握更新方程的含义；牢固掌握更新定理；理解更新定理在L－C破产模型中的应用；掌握更新过程的三种推广过程及其性质。

第五章 Markov链

§1.基本概念；§2.停时和强Markov性；§3.状态分类和性质；§4.极限定理和不变分布；§5.Markov链的大数定律和中心极限定理；§6.群体消失模型和人口模型；§7.连续时间Markov链；§8.应用——数据压缩与熵

教学要求：牢固掌握离散时间Markov链的基本概念、状态分类方法，极限定理和不变分布；理解Markov过程的两个简单应用；牢固掌握连续时间Markov链的定义和Kolmogorov 微分方程；掌握生灭过程的定义；了解Markov链的一些应用。

第六章鞅

§1.基本概念；§2.鞅的停时定理；§3.一致可积性；§4.鞅收敛定理；§5.连续鞅

教学要求：牢固掌握基本概念和停时定理，理解停时定理的应用，了解一致可积性、鞅收敛定理、连续鞅。

第七章 Brown运动

§1.基本概念和性质；§2.Gauss过程；§3.Brown运动的鞅性质；§4.Brown运动的Markov性；§5.Brown运动的最大值变量和反正弦律；§6.Brown运动的几种变化。

教学要求：牢固掌握Brown运动的基本概念和性质；结合前面的内容掌握分析Brown

运动的鞅性质和Markov性；利用概率公式掌握Brown运动的最大值变量和反正弦律；了解Brown运动的几种变化。

第八章随机积分和随机微分方程

§1.关于随机游动的积分；§2.关于Brown运动的积分；§3.Ito积分过程；§4.Ito公式；§5.随机微分方程；§6.应用——金融衍生产品定价

教学要求：牢固掌握关于Brown运动的积分、Ito积分、Ito公式和随机微分方程的定义；了解随机微分方程解的唯一性定理；掌握随机微分方程在Bklack—Scholes模型中的应用。

第九章 Levy过程与关于点过程的随机积分简介（选讲）

§1.Levy过程；§2.关于Poisson点过程的随机积分

教学要求：了解Levy过程和关于点过程的随机积分。

五、实践环节

本课程主要实践的教学内容为利用MATLAB软件对部分课堂教学的内容进行仿真实验。通过实践教学提高学生综合应用所学知识的能力，巩固理论教学知识，侧重培养学生的综合能力和分析能力。

六、课外习题及课程讨论

从教材章末选择适当的习题，做为课外习题，帮助学生掌握和巩固所学方法。

七、教学方法与手段

课堂讲授与课堂讨论、课后练习相结合；启发学生的创造性思维、逻辑性思维相结合；理论分析与实践相结合。

八、各教学环节学时分配

注：第九章为选讲，课时不记录在合计课时中。

九、考核方式

闭卷考试。

十、推荐教材和教学参考书

教材：

1．《应用随机过程》，张波，北京：清华大学出版社，2004。（本课程使用教材）．