高中数学线性回归方程 同步练习苏教版必修三.doc
苏教版高中数学必修三同步练测：2.4线性回归方程.docx
2.4 线性回归方程同步练测一、填空题（本题共8小题，每小题8分，共64分） 1.观察下列各图形：其中两个变量x 、y 具有相关关系的图是 . 2.下列变量之间的关系是函数关系的是 .①已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中，a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－；②光照时间和果树亩产量； ③降雪量和交通事故发生率； ④每亩施用肥料量和粮食亩产量.3.已知回归方程y ˆ＝1.5－15，则下列说法正确的是 .①y ＝1.5x －15; ②是回归系数； ③是回归系数;④＝10时，＝0.4.以下是两个变量x 和y 的一组数据：x 1 2 3 4 5 6 78y 1 4 9 16 25 36 49 64则这两个变量间的线性回归方程为 . 5.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ＋bx 中，回归系数b . ①可以小于0； ②大于0； ③能等于0； ④只能小于0. 6.给出下列关系：①正方形的边长与面积之间的关系；②某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系； ③人的身高与视力之间的关系；④雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．7.已知回归方程y ^＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________．8.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5由其散点图知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则＝________.二、解答题（本题共2小题，共36分）9.(本小题满分16分)2009年12月某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，应选男、女生各多少人.建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分(2)随机抽取8位，若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：绩x 之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01)．如果不具有线性相关性，请说明理由． 参考公式：回归直线的方程是：y ^＝bx ＋a ，其中b ＝∑i ＝1n(x i －x)(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ＝y －b x ，y ^i 是与x i 对应的回归估计值．参考数据：x ＝77.5，y ＝84.875，∑i ＝18(x i －x )2≈1050，∑i ＝18(x i －x)(y i －y )=687.5.10.(本小题满分20分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：如果与是线性相关的，求回归直线方程.2.4 线性回归方程同步练测答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8. 二、解答题 9.解：（1） （2） 10.解：2.4 线性回归方程同步练测答案一、填空题1.③④ 解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①②是不相关的,而③④是相关的．2.① 解析：由函数关系和相关关系的定义可知，①中＝b 2－4，因为是已知常数，b 为自变量，所以给定一个的值，就有唯一确定的与之对应，所以与之间是一种确定的关系，是函数关系．②③④中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的，所以不是函数关系．3.① 解析：回归直线方程为yˆ＝＋，其中是回归系数.对回归方程y ˆ＝＋有＝y －x ，即y ＝x ＋. 4.y ^＝9x －15 解析：根据数据可得x ＝4.5，y ＝25.5，∑i ＝1n x 2i ＝204，∑i ＝1nx i y i ＝1 296.b ＝1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑＝1 296－8×4.5×25.5204－8×4.52＝9，a ＝y －b x ＝25.5－9×4.5＝－15.∴ y ^＝9x －15.5.① 解析：当b ＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.6.②④ 解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系； ③人的身高与视力之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系； ④能见度与交通事故的发生率之间具有相关关系； ⑤学生与其学号之间的关系是一种确定的对应关系．综合以上可知，②④具有相关关系，而①是函数关系，⑤是确定的对应关系．③中的两者之间没有因果关系 7.522 解析：x 与y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522. 8.5.25 解析：x ＝2.5，y ＝3.5，∴a ＝y －b x ＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25. 二、解答题9.解：(1)选男生15×840＝3(人)，选女生25×840＝5(人)． (2)以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标作散点图如图．从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩具有正相关性．设y 与x 的线性回归方程是y ^＝bx ＋a ，根据所给的数据，可以计算出b ＝≈0.65，a ≈84.875－0.65×77.5＝34.5，所以y 与x 的线性回归方程是y ^＝0.65x ＋34.5. 10.解：列出下表：x y ＝∑∑==--101221011010i ii iix xyx yx ＝25510385007.91551055950⨯-⨯⨯-≈0.668. ＝y －x ≈91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为yˆ＝0.668＋54.96.。
苏教版数学高一必修3试题 2.4线性回归方程 (2)
2.4 线性回归方程一、填空题1．下列两变量具有相关关系的是________． ①正方体的体积与棱长；②匀速行驶的车辆的行驶时间与行驶距离； ③人的身高与体重； ④人的身高与视力； ⑤角的大小与所对弧长； ⑥人的年龄与身高．【解析】 ①正方体的体积V 与棱长a 之间的关系是V ＝a 3； ②行驶距离s 与时间t 之间是s ＝vt ； ⑤角α与弧长l 之间是l ＝rα； ④人的身高与视力没有相关关系； ③⑥具有相关关系． 【答案】 ③⑥2．已知回归直线方程y ∧＝0.5x －0.801，则当x ＝25时，y 的估计值为________．【解析】 将x ＝25代入y ∧＝0.5×25－0.801＝11.699. 【答案】 11.6993．有一个线性回归方程为y ∧＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________个单位．【解析】 ∵b ＝－1.5，∴x 每增加一个单位时y 减少1.5. 【答案】 减少1.54．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额的估计值为________万元．【解析】 样本中心点是(3.5,42)，则a ＝y －b x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归方程是y ∧＝9.4x ＋9.1，将x ＝6代入得y ∧＝65.5. 故广告费用为6万元时销售额的估计值为65.5元． 【答案】 65.55．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y ________．【解析】 x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，∑4i ＝1x 2i ＝(12＋22＋32＋42)＝30，∑4i ＝1y 2i ＝(4.52＋42＋32＋2.52)＝51.5， ∑4i ＝1x i y i ＝(1×4.5＋2×4＋3×3＋4×2.5)＝31.5，b ＝31.5－4×2.5×3.530－4×2.52＝－0.7，a ＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25，∴方程为y ∧＝－0.7x ＋5.25.【答案】 y ∧＝－0.7x ＋5.256．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机抽取了4天的用量与当地气温，并制作了对照表：由表中数据，得回归方程y ∧＝－2x ＋a ，当气温为－5 ℃时，预测用电量为________度．【解析】 由表中数据计算可得x ＝10，y ＝40，∵回归方程一定过样本点的中心，代入回归方程，得a ＝60，∴y ∧＝－2x ＋60.当x ＝－5时，代入回归方程，得y ＝70.【答案】 707．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．【解析】 由表中数据求得x ＝4.5，又点(x ，y )在回归直线y ∧＝0.7x ＋0.35上，代入解得y ∧＝3.5，所以2.5＋t ＋4＋4.5＝4×3.5， 解得t ＝3. 【答案】 38．为了了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．【解析】 平均命中率y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；而x ＝3，∑i ＝15x i y i ＝7.6，∑i ＝15x2i＝55，由公式得b ＝0.01，a ＝y －b x ＝0.5－0.01×3＝0.47，∴y ∧＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ∧＝0.53. 【答案】 0.5 0.53二、解答题9．下面是某班学生每周用于学习数学的时间x 与数学成绩y 的一组观测数据：(1)(2)你能从散点图中发现学习时间与数学成绩近似成什么关系吗？数学成绩会一直随学习时间的增加而增长吗？【解】 (1)散点图如图所示：(2)从图中可以发现学习时间与数学成绩具有相关关系，当学习时间由小到大变化时，数学成绩也由小到大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此学习时间和数学成绩近似成线性相关关系，但数学成绩只是在一定范围内随着学习时间的增加而增长．10．(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y/件908483807568(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ∧＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元， 依题意得L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．11．在测量一根新弹簧的劲度系数时，测得了如下的结果：所挂重量x/N 1 2 3 5 7 9 弹簧长度y/cm111212131416(1)(2)弹簧长度与所挂重量之间的关系是否具有线性相关性，若具有请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归方程y ∧＝bx ＋a ；(3)根据回归方程，求挂重量为8 N 的物体时弹簧的长度，所求的长度是弹簧的实际长度吗？为什么？【解】 (1)散点图如下：(2)由散点图可知，弹簧长度与所挂重量之间的关系具有线性相关性．列表，计算：i 1 2 3 4 5 6 x i 1 2 3 5 7 9 y i 11 12 12 13 14 16 x i y i 11 24 36 65 98 144 x 2i149254981x ＝4.5，y ＝13，∑6i ＝1x i y i ＝378，∑6i ＝1x 2i ＝169 b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y∑6i ＝1x 2i －6x2＝378－6×4.5×13169－6×4.52≈0.6，a ＝y －b x ＝13－4.5×0.6＝10.3，所以回归方程为：y ∧＝0.6x ＋10.3.(3)当x ＝8时，y ∧＝15.1,15.1 cm 不是弹簧的实际长度，只是估计值.。
最新苏教版高中数学必修三《线性回归方程》课时同步练习及解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三2.4 线性回归方程课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是确定性的关系．2．能用直线方程________近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫______，给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ a ＝.上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ ，a ＝ .一、填空题1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的为______．(填序号) ①匀速行驶车辆的行驶距离与时间； ②圆半径与圆的面积；③正n 边形的边数与内角度数之和； ④人的年龄与身高．2．下列有关线性回归的说法，不正确的是________．①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1千元时，工资为50元； ②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；④劳动生产率为1千元时，工资90元．4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)在实际生活中的回归方程可能是________．①＝－10x＋200；②＝10x＋200；③＝－10x－200；④＝10x－200.5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx，经计算知：b＝－1.4，则a＝________.x 45678y 121098 66.线性回归方程表示的直线＝a＋bx必经过点____________．7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．二、解答题10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：平均气温(℃)－1410131826数量(百个)202434385064若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归方程．11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x(℃)010205070溶解度y 66.776.085.0112.3128.0则由此得到回归直线的斜率约为________．13．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x(0.01% )104181917714713415191204121y(min)10202118515513517205235125若由数据知y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程．(2)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？1．线性回归方程＝bx＋a中的系数a，b的计算公式为：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2a ＝y －b x其中：b 是回归方程的斜率，a 是截距． 2．回归方程的求解过程 计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ⇓计算b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x⇓3．在回归方程 ＝bx ＋a 中，当回归系数b >0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b 个单位；当b <0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少b 个单位．2．4 线性回归方程知识梳理2. ＝bx ＋a 线性回归方程 n ∑ni ＝1x i y i －(∑ni ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑ni ＝1x 2i －(∑ni ＝1x i )2y －b x∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2y －b x作业设计 1．④解析 人的年龄与身高具有相关关系． 2．④解析 只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到回归直线． 3．③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时， 2－ 1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90. 4．①解析 ∵在实际生活中，当销售价格提高时，商品销售量一般要降低，∴排除②、④，又∵③中x>0时 <0不合题意，∴③错． 5．17.4 解析x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4. 6．(x ，y )解析 由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ， 即点(x ，y )适合方程 ＝a ＋bx. 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析′＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝－2.5，因此，y的值平均减少2.5个单位．9．20解析令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以| 1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.10．解x＝706＝353，y＝2306＝1153，∑6i＝1x2i＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i＝1x i y i＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b＝∑6i＝1x i y i－6x y∑6 i＝1x2i－6x2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a＝y－b x≈18.73，即所求的回归方程为＝1.68x＋18.73.11．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．列表，计算i 1 2 3 4 5x i80 75 70 65 60y i70 66 68 64 62x i y i 56004950476041603720x2i 64005625490042253600x＝70，y＝66，∑5i＝1x2i＝24 750，∑5i＝1x i y i＝23 190设所求回归方程为＝bx＋a，则由上表可得b＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5 i＝1x2i－5x2＝90250＝0.36，a ＝y －b x ＝40.8.∴所求回归方程为 ＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9 解析x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i ＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035，所以回归直线的斜率b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.13．解 (1)列出下表，并用科学计算器进行计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i10400360003990032745227851809025500391554794015 125x ＝159.8，y ＝172，∑10i ＝1x 2i ＝265 448，∑10i ＝1y 2i ＝312 350，∑10i ＝1x i y i ＝287 640 设所求线性回归方程为 ＝bx ＋a ，b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2≈1.27，a ＝y －b x ≈－30.95.即所求的线性回归方程为 ＝1.27x －30.95.(2)当x ＝160时， ＝1.27×160－30.95≈172(min )，即大约冶炼172 min .。
苏教版数学高一必修三 作业 2.4线性回归方程
一、填空题 1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；[]④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． 解析：②⑤为确定关系不是相关关系． 答案：①③④2．已知x ，y 之间的一组数据为：x 0 1 2 3 y1357则回归直线y ^＝bx ＋a 必过点________．解析：x ＝32，y ＝4，∴y ^＝bx ＋a 必过点(32，4)．答案：(32，4)3．已知某工厂在2011年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974， 得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.864．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元)1944405253销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元． 解析：x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：155．(2011·广东汕头模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：×103 kJ)几组对应的数据：x 3 4 5 6 y2.5t44.5y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．解析：由y ＝0.7x ＋0.35，得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35，故11＋t 4＝3.5，即t ＝3.答案：3 二、解答题6．下表是某地降雨量与年平均气温．判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程是否有意义. 年平均气温(℃) 12.51 12.71 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量(mm)748750507813574701432解：以x 表示年平均气温，y 表示年降雨量，可得如下图所示的散点图．因为上图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，所以即使用公式求得线性回归方程也是没有意义的． 7．某人今年1月份加盟了一个食品连锁店，下表为近5个月的营业额：月 份 2 3 45 6 营业额(万元)1012131416解：x ＝4，y ＝13，∑i ＝15x i y i ＝274，∑i ＝15x 2i ＝90.∴b ＝∑i ＝15x i y i －5 x y∑i ＝15x 2i －5 x 2＝274－5×4×1390－5×42＝75，∴a ＝y －b x ＝13－75×4＝7.4，∴y ^＝1.4x ＋7.4. 当x ＝7时，y ^＝17.2.即今年7月份的营业额约17.2万元．8．一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.转速x /(rad/s)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y /件11985(1)画出散点图；(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 解：(1)画出散点图，如图．(2)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ＝y －b x ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 所以线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ^≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， x ≤14.901 9.所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．。
高中数学第2章统计2.4线性回归方程自主练习苏教版必修3
2.4 线性回归方程自主广场我夯基 我达标1．相关关系与函数关系的区别是_________.思路解析:考查函数关系和相关关系的含义.答案:函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性 2．线性回归方程y=bx+a 过定点__________.思路解析:考查线性回归方程的意义，及点与直线的位置关系的判断.由线性回归直线方程的推导过程不难发现直线恒过定点（x ，y ）.答案:（x ，y ）3．工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ˆ=50+80x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，工资大约提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，工资提高大约130元D ．当月工资250元时，劳动生产率为2 000元思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=．x x y y xy1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量答案: B4．设有一个直线回归方程为yˆ=2-1．5x ，则变量x 增加一个单位( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=．x x y y xy1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量答案: C5．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A ．角度和它的余弦值B ．正方形边长和面积C ．正n 边形的边数和它的内角和D ．人的年龄和身高 思路解析:本题主要考查相关关系的概念.由函数的定义可知A 、B 、C 三项中的两个变量间的关系均为函数关系，故答案为D.答案: D 6．已知样本容量为11，计算得∑=111i i x =510，∑=111i i y =214，∑=1112i i x =36 750，∑=1112i i y =5422,∑=111i ii yx =13 910，则y 对x 的回归方程为__________.思路解析:考查线性回归方程的求法.在回归方程中b=． x b ，x x n y x y x n ni i n i i ni i n i i n i i i -=--∑∑∑∑∑=====y a )())((2112111答案:y=5.34+0.3x7．部分国家13岁学生数学测验平均分数见下表. 中国 韩国 瑞士 俄罗斯 法国 以色列 加拿大 英国 美国 约旦 授课天数 251 222 207 210 174 215 188 192 180 191 分 数80737170646362615546试作出该数据的散点图,并由图判断是否存在回归直线.若有，试求出直线方程.思路解析:考查了用回归直线方程进行拟合的一般步骤.用回归直线方程进行拟合的一般步骤为:作出散点图;判断散点是不是在一条直线的附近；若散点在一条直线的附近，利用公式求出回归直线方程.答案:(图略)存在回归直线方程,回归直线方程是y=0.313 3x+0.900 1.我综合 我发展8．一个工厂在某年每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的一组数据如下: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50试作出该数据的散点图，并求总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程. 思路解析:考查了回归直线方程的求法. 答案:(图略)回归直线方程是y ˆ=1.215x +0.974.9．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r|∈(0,+∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小B ．r∈(-∞,+∞)，r 越大，相关程度越大；反之，相关程度越小C ．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对思路解析:考查了线性相关程度的判断方法.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小.答案: C我创新 我超越10．改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展.这里我们得到了某省从1990～2000年18～24岁的青年人每年考入大学的百分比，我们把农村、乡镇和城市分开统计.为了便于计算，把1990年编号为0，1991年编号为1，…,2000年编号为10．如果把每年考入大学的百分比作为因变量，把年份从0到10作为自变量进行回归分析，可得到下面三条回归直线:城市yˆ=9.50+2.84x,乡镇yˆ=6.76+2.32x,农村yˆ=1.80+0.42x.(1)在同一坐标系内作出三条回归直线.(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着什么?(3)在这一阶段，三个组哪一个的大学入学率年增长最快?(4)请查阅我国人口分布的有关资料，选择一个在高等教育发展上有代表性的省，以这个省的大学入学率作为样本，说明我国在1991～2000年10年间大学入学率的总体发展情况.思路解析:考查了直线方程的画法，直线斜率的实际意义及解决问题和分析问题的能力.答案:(1)图略.(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着考入大学的百分比增长较慢.(3)城市组.(4)略.。
高中数学2.4线性回归方程课时作业苏教版必修3
高中数学2.4线性回归方程课时作业苏教版必修3课时目标1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是确定性的关系．2．能用直线方程________近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫______，给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ＝.上式还可以表示为⎩⎨⎧b ＝，a ＝.一、填空题1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的为______．(填序号) ①匀速行驶车辆的行驶距离与时间； ②圆半径与圆的面积；③正n 边形的边数与内角度数之和； ④人的年龄与身高．2．下列有关线性回归的说法，不正确的是________．①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x、y之间的关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为＝60＋90x，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1千元时，工资为50元；②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；④劳动生产率为1千元时，工资90元．4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)在实际生活中的回归方程可能是________．①＝－10x＋200；②＝10x＋200；③＝－10x－200；④＝10x－200.5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx6.．7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．二、解答题1011．5能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：13．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼(1)求线性回归方程．(2)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？知识梳理2. ＝bx ＋a 线性回归方程n ∑ni ＝1x i y i －(∑ni ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑ni ＝1x 2i－(∑ni ＝1x i )2y －b x∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x 2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2y －b x作业设计 1．④解析 人的年龄与身高具有相关关系． 2．④解析 只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到回归直线． 3．③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，2－1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.4．①解析 ∵在实际生活中，当销售价格提高时，商品销售量一般要降低，∴排除②、④，又∵③中x>0时 <0不合题意，∴③错． 5．17.4解析 x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4. 6．(x ，y )解析 由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ， 即点(x ，y )适合方程＝a ＋bx. 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析 ′＝3－2.5(x ＋1)＝3－2.5x －2.5＝－2.5， 因此，y 的值平均减少2.5个单位． 9．20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2.则对应的数学成绩估计为＝6＋0.4x 1，2＝6＋0.4x 2， 所以| 1－2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.10．解 x ＝706＝353，y ＝2306＝1153，∑6i ＝1x 2i ＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i ＝1x i y i ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a ＝y －b x ≈18.73，即所求的回归方程为＝1.68x ＋18.73.11．解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝90250＝0.36， a ＝y －b x ＝40.8.∴所求回归方程为＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035， 所以回归直线的斜率b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.。
苏教版高中数学必修三：2.4《线性回归方程》测试.docx
高中苏教数学③2.4线性回归方程测试题一、选择题1．下列关系属于线性负相关的是（ ） Ａ．父母的身高与子女身高的关系 Ｂ．身高与手长Ｃ．吸烟与健康的关系Ｄ．数学成绩与物理成绩的关系答案：Ｃ2．由一组数据1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，得到的回归直线方程$y bx a =+，那么下面说法不正确的是（ ）Ａ．直线$y bx a =+必经过点()x y ， Ｂ．直线$y bx a =+至少经过点1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，中的一个点Ｃ．直线$y bx a =+a 的斜率为1221ni ii nii x ynx yxnx==--∑∑ Ｄ．直线$y bx a =+和各点1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，的总离差平方和21[()]ni i i y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线答案：Ｂ3．实验测得四组()x y ，的值为(12)(23)(34)(45)，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） Ａ．$1y x =+ Ｂ．$2y x =+ Ｃ．$21y x =+Ｄ．$1y x =-答案：Ａ4．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s t ，，那么下列说法正确的是（ ） Ａ．直线1l 和2l 一定有公共点()s t ，Ｂ．直线1l 和2l 相交，但交点不一定是()s t ， Ｃ．必有直线12l l ∥ Ｄ．1l 和2l 必定重合答案：Ａ二、填空题5．有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系 （2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系 （3）苹果的产量与气候之间的关系（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系 （5）学生与他（她）的学号之间的关系 其中，具有相关关系的是 ．答案：（1）（3）（4）6．对具有相关关系的两个变量进行的方法叫做回归分析．用直角坐标系中的坐标分别表示具有 的两个变量，将数据表中的各对数据在直角坐标系中描点得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做 ．答案：统计分析；相关关系；散点图7．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数、方差分别为2x s ，，则新数据的平均数是 ，方差是 ，标准差是 ．答案： 3.1x -；2s ；s8．已知回归直线方程为$4.4838.19y x =+，则可估计x 与y 增长速度之比约为 ．答案：522三、解答题9．某商店统计了近6个月某商品的进价x 与售价y （单位：元）的对应数据如下：x 3 5 2 8 9 12y4 6 3 9 12 14求y 对x 的回归直线方程． 解：3528912 6.56x +++++==∵，4639121486y +++++==，621327ii x==∑，61396i i i x y ==∑，6162216 1.1436i ii ii x yxy b xx==-=≈-∑∑∴，0.571a y bx =-=，∴回归直线方程为$1.1430.571y x =+．10．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：x 45 42 4648 42 y6.53 6.30 9.257.580 6.99 x35 58 40 39 50 y5.909.496.206.557.72x （血球体积，ml ），y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出y 对x 的回归直线方程并且画出图形 ． 解：（1）见下图（2）1(45424648423558403950)44.510x =+++++++++=， 1(6.53 6.309.257.50 6.99 5.909.49 6.20 6.557.72)7.24310y =+++++++++= 102120183ii x==∑，1013283.9i i i x y ==∑，设回归直线方程为$y bx a =+， 则12210.1597ni ii nii x ynx y b xnx==-=≈-∑∑，0.1364a y bx =-=．图形如下：11．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表： 尿汞含量x ：2 4 6 8 10 消光系数:y 64 134 205 285 360（1）画出散点图；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）估计尿汞含量为9毫克/升时的消光系数． 解： （1）（2）由散点图可知y 与x 线性相关，设回归直线方程为$y bx a =+．列表： i1 2 3 4 5 i x 2 4 6 8 10 i y 64 134 205 285 360 i i x y1285361230228036006x = 209.6y =521220ii x==∑ 517774i i i x y ==∑2777456209.637.1522056b -⨯⨯==-⨯∴，209.637.15613.3a =-⨯=-∴．∴回归直线方程为$37.1513.3y x =-． （3）当9x =时，$37.15913.3321.05y =⨯-=．。
苏教版数学高一-14-15苏教版数学必修3练习 2.4线性回归方程
数学·必修3(苏教版)第2章统计2．4 线性回归方程1．下列关系中，是相关关系的有()①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．答案：A2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0 C.12D．1答案：D3．观察下列变量x，y的散点图：如图所示的两个变量具有相关关系的是()A．(2)(3) B．(1)(2)C．(2)(4) D．(3)(4)解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.答案：C4．在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x ，y 具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.答案：D5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y ＝b x ＋a ，若b ＝－2，则a ^＝________．解析：∵x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. 答案：606．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到的回归直线方程y^＝bx＋a，那么下面说法不正确的是________．①直线y^＝bx＋a必经过点(x，y)；②直线y^＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点；③直线y^＝bx＋a的斜率为Σni＝1x i y i－nx yΣni＝1x2i－nx2；④直线y^＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)的总偏差Σni＝12是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．解析：回归直线一定过点(x，y)，但不一定要过样本点．答案：②7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：(1)(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归线直线方程；(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数．解析：(1)见下图．(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y ^＝bx ＋a ，列表：i 1 2 3 4 5 x i 2 4 6 8 10 y i 64 138 205285360x i y i1285521 2302 2803 600x ＝6，y ＝210.4，Σ5i ＝1x i 2＝220，Σ5i ＝1x i y i＝7 790 ∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝1 47840＝36.95. ∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y ^＝36.95x －11.3.(3)当x ＝9时，y ^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321.能力升级8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y^＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a ＝y－bx＝176－173＝3，故回归直线方程为y^＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：－－b x－，而由表中数据可求得x－＝11，y－＝22，∴解析：∵a＝ya＝22－11b.答案：22－11b10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：规律吗？(2)若x与y线性相关，求回归直线方程：(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？解析：(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x与y线性相关．(2)设所求回归直线方程为y^＝bx＋a.∵x－＝159.8，y－＝172，x i y i=287 640. x i2=265 448, ∵b=≈1.267，－－b x－≈－30.47.故所求的回归直线方程为y^＝1.267x－30.47.a＝y(3)当x＝160时，y^＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟．11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：求y对x解析：b ＝Σni ＝1x i y i－nx y Σni ＝1x i2－nx2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972≈1.447.a ＝y －bx ＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6. 所以y 对x 的回归直线方程为：y ^＝1.45x －15.84.12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：学生学科 A B C D E数学成绩88 76 73 66 63/x化学成绩78 65 71 64 61/y(1)(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程．解析：(1)散点图为：(2)序号x y x2xy188787 744 6 86427665 5 776 4 940b ＝Σni ＝1x i y i－nx y Σni ＝1x i2－nx2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.624 869，a ＝y －bx ＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.62x ＋22.06.13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)据此估计2015年该城市人口的总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．(2)由表可知x －＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y －＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴b ＝a=y －-b x －=3614．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据： 时间t/s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y/μm6 10 10 13 16 17 19 23 25 2946(2)试求腐蚀深度y 与时间t 的回归直线方程．解析：（1）如下图,(2)经计算可得t≈46.36，y≈19.45，＝36 750，＝13 910.b＝Σ11i＝1t i y i－11×t yΣ11i＝1t i2－11×t2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.。
新高中数学苏教版必修三同步练习：2.4 线性回归方程(含答案解析)
数学·必修3(苏教版)第二章统计 2．4 线性回归方程基础巩固1．下列关系中，是相关关系的有( ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．答案：A2．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C.12D ．1答案：D3．观察下列变量x ，y 的散点图：如图所示的两个变量具有相关关系的是( ) A ．(2)(3) B ．(1)(2) C ．(2)(4)D ．(3)(4)解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.答案：C4．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )(i ＝1， 2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x ，y 具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.答案：D5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y ＝b x ＋a ，若b ＝－2，则a ＝________． 解析：∵x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. 答案：606．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y^＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是________．①直线y^＝bx ＋a 必经过点(x ，y)；②直线y^＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③直线y^＝bx ＋a的斜率为Σni ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x 2i －nx 2；④直线y^＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的总偏差Σn i ＝1[y i －(bx i ＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．解析：回归直线一定过点(x ，y)，但不一定要过样本点． 答案：②7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：(1)(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归线直线方程； (3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数． 解析：(1)见下图．(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y^＝bx ＋a ，列表：∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝1 47840＝36.95.∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y^＝36.95x －11.3.(3)当x ＝9时，y^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321. 能力升级8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y ^＝a ＋bx ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ＝y －bx ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：解析：∵a ＝y －－b x －，而由表中数据可求得x －＝11，y －＝22，∴a ＝22－11b. 答案：22－11b10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：(2)若x 与y 线性相关，求回归直线方程：(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？解析：(1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x 与y 线性相关．(2)设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a.∵x －＝159.8，y －＝172，x i y i =287 640.x i 2=265 448, ∵b=≈1.267，a ＝y －－b x －≈－30.47.故所求的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟． 11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：求y 对x 解析：b ＝Σi ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972≈1.447.a ＝y －bx ＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6. 所以y 对x 的回归直线方程为：y^＝1.45x －15.84. 12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程． 解析：(1)散点图为：(2)b ＝Σn i ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.624 869，a ＝y －bx ＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以y 对x 的回归直线方程为y^＝0.62x ＋22.06.13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)据此估计2015年该城市人口的总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30) 解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．(2)由表可知x －＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y －＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴b ＝a=y －-b x －=3614．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据：(2)试求腐蚀深度y 与时间t 的回归直线方程． 解析：（1）如下图,(2)经计算可得t ≈46.36，y ≈19.45，＝36 750，＝13 910.b ＝Σ11i ＝1t i y i －11×t yΣ11i ＝1t i 2－11×t 2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.。
苏教版高中数学必修三：2.4《线性回归方程》测试1.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中苏教数学③2.4线性回归方程测试题一、选择题1．下列关系中，是相关关系的是（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系②教师的教学水平与学生学习成绩之间的关系③学生的身高与学生学习成绩之间的关系④家庭经济条件与学生学习成绩之间的关系Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．②④答案：Ａ2．变量y与x之间的回归方程表示（）Ａ．y与x之间的函数关系Ｂ．y与x之间的确定性关系Ｃ．y与x之间的真实关系Ｄ．y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：Ｄ3．若x，y具有相关关系，且得到的一组散点大致分布在一条直线的附近，则下列有关线性回归的说法中，不正确的是（）Ａ．具有相关关系的两个变量不是因果关系Ｂ．散点图能直观地反映数据的相关程度Ｃ．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系Ｄ．任一组数据的回归方程都有意义答案：Ｄ4．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为8050y x =+，下列判断正确的是（ ）Ａ．劳动生产率为1000元时，月工资为130元 Ｂ．劳动生产率提高1000元，则月工资提高80元 Ｃ．劳动生产率提高1000元，则月工资提高130元 Ｄ．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元 答案：Ｂ5．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（ ） Ａ．都可以分析出两个变量的关系Ｂ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 Ｃ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 Ｄ．都可以作出散点图答案：Ｄ6．三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是（ ） Ａ．0.80.1y x =+Ｂ． 1.75 5.75y x =+ Ｃ． 1.75 5.75y x =-+ Ｄ． 1.75 5.75y x =--答案：Ｂ二、填空题7．两变量之间的相关关系是一种 关系． 答案：非确定性8．回归直线方程的意义是 ． 答案：反映了样本整体的变化趋势9．某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合0.80.1y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为15亿元，则年支出估计是 ．答案：12.1亿元10．由一组观测数据11221010()()()x y x y x y ，，，，，，得174.8x =，21.7y =，1021305730i i x ==∑，10137986i ii x y==∑，则回归直线方程是 ．答案：0.30331.264y x =-三、解答题11．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组对应数据：x1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68y2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.923.03判断它们是否有相关关系．解：x 轴代表该月产量，y 轴代表该月总成本；可得如下散点图：由散点图可见，两者之间具有相关关系．12．一个机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：(/)1614128()11985x y 转速转秒每小时生产有缺损的零件数件如果y 与x 线性相关，求回归直线方程． 解：设回归方程为y bx a =+，由 i 1 2 3 4 i x 16 14 12 8i y 11 9 8 5 i i x y 176 126 96 4012.5x =，8.25y =，421660i i x ==∑，41438i i i x y ==∑．2438412.58.250.73660412.5b -⨯⨯=≈-⨯∴，8.250.7312.50.875a =-⨯=-．13．以下是在某地的旧房屋的销售价格Y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积（2m ）11511080135105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线； （3）据（2）的结果估计当房屋面积为1502m 时的销售价格． 解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2）5111095i i x x ===∑，521()1570i i x x =-=∑，23.2y =，51()()308i i i x x y y =--=∑．设所求回归直线方程为y bx a =+，则51521()()3080.19621570()ii i ii xx y y b xx ==--==≈-∑∑， 23.21090.1962 1.8142a y bx =-=-⨯=，故所求回归直线方程为0.1962 1.8142y x =+， 回归直线如图．（3）据（2），当2150m x =时，销售价格的估计值为：0.1962150 1.814231.2442y =⨯+=（万元）．。
2019-2020学年高一数学苏教版必修3同步练习：2.4 线性回归方程 Word版含答案
2.4 线性回归方程1、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元2、某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查,y 与x 具有相关关系,回归方程为0.66.52ˆ16yx =+,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A.83%B.72%C.67%D.66%3、变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10,1,11.3,2,11.8,3,12.5,4,13,5,变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10,5,11.3,4,11.8,3,12.5,2,13,1.1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则( ) A.210r r <<B.210r r <<C.210r r <<D.21r r =4、四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且 2.34.4ˆ7623yx =-; ②y 与x 负相关且 3.476 5.6ˆ48yx =-+; ③y 与x 正相关且 5.43.4ˆ7893yx =+; ④y 与x 正相关且 4.326 4.5ˆ78yx =--. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆyx =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆyx =-+ 6、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调査了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程y bx a =+,其中0.76,b a y bx ==-，据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元7、为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为1l 和2l ,已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等,都是s ,对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等,都是t ,那么下列说法正确的是( ) A.直线1l 和2l 有交点(),s tB.直线1l 和2l 相交,但是交点未必是(),s tC.直线1l 和2l 由于斜率相等,所以必定平行D.直线1l 和2l 必定重合 8、根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+,则( ) A. 0a >,0b < B. 0a >,0b > C. 0a <,0b < D. 0a <,0b >9、某校金融专业的学生学习《统计学》的时间x 与考试成绩y 之间可建立线性回归方程ˆya bx =+,经计算,方程为200.8ˆy x =-,则该方程参数中( ) A. a 值错误 B.b 值错误 C. a 、b 值都错误 D. a 、b 值都正确10、如图,有5组数据,为使剩下的4组数据的线,性相关性最大,则应去掉( ).A.(1,2)B.(3,5)C.(4,10)D.(5,10)11、调查了某地若干户家庭的年收入x (单位:万元)和年饮食支出y (单位:万元),调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程:0.25402ˆ.31yx =+,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加__________万元.12、某数学老师身高176cm ,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm ,170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm .13、在一组样本数据11(,)x y ,22(,)x y ,…(),n n x y ,(2n ≥,12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等)的散点图中,若所有样本点(,)i i x y ()1,2,,i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =+上,则这组样本数据的样本相关系数为__________. 14已知与之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是①;②;③;④15、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(1)求回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ20b =-,ˆˆa y bx =-; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从题(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：由表可计算4235742x +++==， 49263954424y +++==，∵点7,422⎛⎫ ⎪⎝⎭在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，且ˆb 为9.4，所以7429.4ˆ2a =⨯+， 解得ˆ9.1a=， 故回归方程为9.4.1ˆ9y x =+， 令6x =，得ˆ65.5y=。
第2章2.4线性回归方程-苏教版高中数学必修三同步学案
线性回归方程[新知初探]1．变量间的常见关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．[点睛]函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x与水稻的产量y.当自变量x每取一确定值时，因变量y的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．2.散点图(1)概念：将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，用来表示两个变量的一组数据的图形叫做散点图．(2)作法：建立平面直角坐标系，用横坐标表示一个变量，用纵坐标表示另一个变量，将给出的数据所表示的点在坐标系内描出，即可得到散点图．[点睛]对于散点图要注意以下几点．①若所有的样本点都落在某一函数曲线上，则变量间具有函数关系．②若所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则变量间就具有相关关系．③若散点图中的点的分布没有什么规律，则这两变量之间不具有相关关系，它们之间是相互独立的．3．线性相关关系能用直线y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫线性相关关系． 4．线性回归方程(1)概念：设有n 对观察数据如下：当a ，b 使Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(yn －bx n －a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．(2)用回归直线进行数据拟合的一般步骤 ①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近． ②如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1n x 2i－nx －2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y －b x求出a ，b ，并写出线性回归方程．[小试身手]1．下列各组变量是相关关系的是________． (1)电压U 与电流I ； (2)圆面积S 与半径R ； (3)粮食产量与施肥量； (4)广告费支出与商品销售额．解析：(1)(2)中两个变量间是函数关系，(3)(5)中两个变量之间有关系，但不能用函数表达，是相关关系．答案：(3)(4)2．5名学生的化学和生物成绩如下表所示：答案：具有[典例] 在下列各个量与量的关系中： ①正方体的表面积与棱长之间的关系； ②某同学的数学成绩和物理成绩之间的关系； ③家庭的收入与支出之间的关系； ④某户家庭用电量与水费之间的关系． 其中是相关关系的为________________．[解析] ①正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系；④某户家庭用电量与水费之间无任何关系．②③中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．[答案] ②③[活学活用]关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：(1)(2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？ (3)若成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系． 解：(1)以年龄作为x 轴，脂肪含量为y 轴，可得相应散点图，如图所示．(2)从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系． (3)画出的一条直线如上图．相关关系的概念线性回归方程的求法及应用[典例] 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：若由资料知y (1)线性回归方程y ^＝bx ＋a 的系数a ，b ； (2)所求的回归直线必过点P (x －，y －)吗？ (3)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少？(4)若设备的使用年限x 每增加一年，则所支出的维修费用y 如何变化？[解] (1)∵x －＝4，y －＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23. a ＝y －－b x －＝5－1.23×4＝0.08. (2)线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08，又x －＝4，y －＝5，把点P (4,5)代入线性回归方程知必过点P (x －，y －)． (3)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38， 所以估计使用10年时维修费用是12.38万元．(4)由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元．[活学活用]以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的大小x 的数据：(1)(2)求回归方程；(3)估算一下96 m 2的房价． 解：(1)散点图如图所示．(2)∵x －＝109，y －＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.b ＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝12 952－5×109×23.260 975－5×1092＝154785≈0.196 2，a ＝y －－b x －＝23.2－0.196 2×109≈1.814 2. ∴回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)当x ＝96时，y ^≈20.6.因此，96 m 2的新房屋大约为20.6万元．层级一 学业水平达标1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是________．(填序号) ①都可以分析出两个变量的关系；②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以用确定的表达式表示两者的关系； ④都可以作出散点图． 答案：①④2．根据下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．答案：②③3．已知x 与y 之间的一组数据如下表：则x 与y 之间的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点______．解析：首先可求x －＝2.5，y －＝4.25，又回归直线必过点(x －，y －)，故回归直线必过点(2.5,4.25)．答案：(2.5,4.25)4．已知某工厂在2015年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加______万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974， 得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.865．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．层级二 应试能力达标1．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________． ①球的体积和它的半径 ②人的血压和体重③底面积为定值的长方体的体积和高 ④城镇居民的消费水平和平均工资 答案：①③2.如图，从5组数据对应的点中去掉点________后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了．解析：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D 点．答案：D3．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x －＝10，y －＝40，回归方程过点(x －，y －)， ∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60. ∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：684．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1,2,3…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y ＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：85．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．解析：x －＝7，y －＝41.6，则a ＝y －－2.3x －＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：156．工人月工资y (元)依据劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，当劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高________元．解析：线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b 的意义是当x 增加一个单位时，y 的值平均变化b 个单位，这是一个平均变化率，线性回归方程不是一种确定关系，只能用于预测变量的值，所以当x 增加一个单位1千元时，工资平均提高80元．答案：807．如果在一次试验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，那么y 与x 之间的线性回归方程是________．解析：由题意，得x －＝2.5，y －＝4.5，∑i ＝14x i y i ＝50.2，∑i ＝14x 2i ＝30，∴b ＝1.04，a ＝4.5－1.04×2.5＝1.9，故线性回归方程为y ^＝1.04x ＋1.9.答案：y ^＝1.04x ＋1.98．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是________．①b ＞b ′，a ＞a ′；②b ＞b ′，a ＜a ′；③b ＜b ′，a ＞a ′；④b ＜b ′，a ＜a ′. 解析：x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y －＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2＝57，a ＝y －－b x －＝－13，b ′＝2－02－1＝2＞b ，a ′＝－2＜a .答案：③9．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：x －＝0，y －＝3.2， b ＝－－＋－－＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ＝y －－b x －＝3.2.由上述计算结果，可知所求回归直线方程为 y ^－257＝b (x －2 010)＋a ＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．10．(全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w －＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －u－v i －v－∑i ＝1nu i －u－2，α^＝v ^－β^u －.解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －w－y i －y－∑i ＝18w i －w－2＝108.81.6＝68， c ^＝y －－d ^w －＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
苏教版高中数学必修三练习：2.4线性回归方程(一)含答案
2.4线性回归方程（一）【新知导读】1.下列两个变量之间的关系中，哪个不是函数关系 ( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形边长和面积 C ．正n 边形的边数和其内角和 D ．人的年龄和身高2．回归直线方程y bx a ∧=+中的y ∧是预测值，与实际中的y 关系为 ( ) A ．y y ∧-越小，说明回归偏差越小 B ．y y ∧-越大，说明回归偏差越小 C ．y y ∧-越小，说明回归偏差越小D ．y y ∧-越小，说明回归偏差越小3．回归直线方程的系数a ，b 的最小二乘法估计中，使函数(,)Q a b 最小，Q 函数指( )A ．21()niii y a bx =--∑ B ．1niii y a bx=--∑C ．2()i i y a bx -- D ．i i y a bx --【范例点睛】例1．以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：(3)计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 【课外链接】1．假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一()x 和初二()y 数学分数如下：【随堂演练】1．下列说法错误的是（ ）A ．如果变量η和ξ之间存在线性相关关系，那么根据它们的一组数据得到一列点(,)i i x y (1,2,3,...,i n =)将散步在某一直线的附近B ．如果变量η和ξ之间不存在线性相关关系，那么根据它们的一组数据(,)i i x y (1,2,3,...,i n =)不能写出一个线性方程C ．设x ，y 是具有线性相关关系的两个变量，且x 关于y 的线性回归方程为y bx a ∧=+，其中,a b 叫做回归系数D ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性的关系，则因变量不能由自变量唯一确定 2．三点(3,10)，（7,20），（11,24）的线性回归方程是 ( ) A ． 5.75 1.75y x ∧=- B ． 1.75 5.75y x ∧=+ C ． 1.75 5.75y x ∧=- D ． 5.75 1.75y x ∧=+ 3．已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过 ( )A ．(2,2)点B ．(1.5,0)点C ．(1,2)点D ．(1.5,4)点4．设有一个回归方程为32y x ∧=+，变量x 增加一个单位时，则y 平均增加______个单位．5．已知线性回归方程为0.500.81y x ∧=-，则25x =时，y 的估计值为_____________． 6．某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如下表表示：如不加控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从2006年初到2009年底的四年时间里，该地区这种病的新发病总人数为_______________．7．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型1：64y x =+；模型2：64y x δ=++． (1) 如果3x =，1δ=，分别求两个模型中的y 值； (2) 分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机性模型．8．在10年期间，某城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系如下表所示：(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线附近，求y与x间的线性回归方程．9．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元)，有如下统计资料：设y 对x 呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y bx a ∧=+的回归系数a ，b ； (2)估计使用年限为10年，维修费用是多少？10．在钢线含量对于电阻的效应的研究中，得到以下的数据：(1)画出散点图(2)求线性回归方程．2.4线性回归方程（一） 【新知导读】 1．D 2．C 3．A 【范例点睛】 例1．(1)(2)5n =，51545ii x==∑，109x =，51116i i y ==∑，23.2y =，55160952i i x ==∑，5112592i i i x y ==∑，25129525451160.1962560952545b ⨯-⨯=≈⨯-，23.20.1962109 1.8166a =-⨯≈， ∴线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+；(3)(1.8166,0.1962) 5.1771Q ≈，(2,0.2)7.0Q ≈，由此可知，求得的 1.8166a =，0.1962b =是使函数(,)Q a b 取最小值的a ，b 值． 【课外链接】 解：71x =Q ,52150520ii x==∑,72.3y =,10151467i ii x y==∑,所以210514677107231.21821050520710b ⨯-⨯=≈⨯-，72.3 1.21827114.912a =-⨯=-，所以回归直线方程为1.218214.192y x ∧=-．【随堂演练】1. B2. D3.B4. 35. 11.696.139497.解：(1)模型1：6464318y x =+=+⨯=；模型2：64643119y x δ=++=+⨯+=． (2)模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因δ的不同，所得y 值不一定相同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型． 8. 解：(1)(2)由题意：37.97x =，39.1y =；102114633.67ii x==∑，10115202.9i ii x y==∑，于是1011022211015202.91037.9739.11.44714663.671037.9710i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，39.1 1.447a y bx =-=-⨯37.9715.843≈-．所以所求线性回归方程为 1.44715.843y bx a x ∧=+=-．9．解：(1)4x =,5y =，52190i i x ==∑，51112.3i i i x y ==∑，于是回归系数2112.35459054b -⨯⨯=-⨯ 1.23=，5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=；(2)线性回归方程是 1.230.08y x ∧=+，当10x =年时，1.23100.0812.38y ∧=⨯+=(万)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．10．解：(1)(2)可求得13.958412.5503y x ∧=+。
最新苏教版6.4.2线性回归方程练习(苏教版必修3)
第11课时线性回归方程(2)
分层训练
1.设有一个直线回归方程为 ^
^
2 1.5y x =- ,则变量x 增加一个单位时( ) A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位
2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元)，有如下统计资料:
程ˆy
bx a =+的回归系数,a b ； (2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
拓展延伸
3．在10年期间，一城市居民的年收入与某种
(1)(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的线性回归方程。
本节学习疑点:
6.4.2 线性回归方程(2) 1. C
2. 1.23,0.08b a ==；(2)12.38
3. (2) 843.15447.1ˆ-=x y
4．(1)4x =,5y =，
5
2
1
90i
i x
==∑，
5
1
112.3i i
i x y
==∑，
于是回归系数2
112.3545
9054b -⨯⨯=
-⨯ 1.23=，
5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=；
(2)线性回归方程是 1.230.08y x ∧
=+，当
10x =年时， 1.23100.0812.38y ∧
=⨯+=(万)，
即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．。
苏教版 江苏省宿迁中学高中数学必修三练习：2.4线性回归方程(二) -含答案
2.4线性回归方程（二）【新知导读】1.对于线性相关系数r ，下列说法正确的是 ( )A ．(0,)r ∈+∞时，r 越大，相关程度越高；反之相关程度越低B ．(,)r ∈-∞+∞时，r 越大，相关程度越高，反之相关程度越低C ．1r ≤时，r 越接近于1,相关程度越高；r 越接近于0,相关程度越低D ．以上说法都不正确2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归直线方程y a bx ∧=+中，b ( ) A ．在(-1,0)内 B ．等于0 C ．在(0,1)内 D ．在[1,)+∞内3．由一组样本数据11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 得到的线性回归方程为y bx a ∧=+，那么下面说法不正确的是 ( ) A ．直线y bx a ∧=+经过点(,)x yB ．直线y bx a ∧=+至少经过11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 中的一个点C ．直线y bx a ∧=+的斜率为1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑D ．直线y bx a ∧=+和各点11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 的偏差21[()]niii y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的 【范例点睛】例1 测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(2) 如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； (3) 如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．【课外链接】1．现有一个由身高预测体重的回归方程，体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130磅．其中体重和身高分别以磅和英寸为单位．如果将它们分别以kg 、cm 为单位(1英寸≈2.5cm ，1磅≈0.45kg)．回归方程应该是_ _________________________________． 【随堂演练】1．对于回归分析，下列说法错误的是 ( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．在回归分析中，如果21r =，说明x 与y 之间完全线性相关 D ．相关样本系数(,)r ∈-∞+∞ 2．线性回归方程y bx a ∧=+必过( )A ．(0,0)点B ．(x ,0)点C ．(0,y )点D ．(x ,y )点3．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l 和2l ．假设两个人在试验中发现对变量x 的观察数据的平均值都是m ，对变量y 观察的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ） A ．1l 和2l 有交点(,)m tB ．1l 和2l 相交，但交点不一定是(,)m tC ．1l 和2l 必定平行D ．1l 和2l 必定重合4．在研究硝酸钠的可溶性时，对不同的温度观察它在水中的溶解度，得观察结果如下：由此得到回归直线的斜率是__________________(保留4位有效数字)．5．下面数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽取6个个体，分别测得的每个个体心脏功能水平y (满分100分)以及相应的每天花在看电视上的时间x (小时)．则x 与y 的相关系数为______________________ ．6．若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为5250y x ∧=+，当施肥量为80kg 时，预计的水稻产量为______________kg ．7．为了研究三月下旬的平均气温(x )与四月十二号前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了1996年至2001年的情况，得到下面数据：(1)据气象预测，该地区在2002年三月下旬平均气温为27oC ，试估计2002年四月化蛹高峰日为哪天；(2)对变量x 、y 进行相关性检验．8．证明恒等式11()()n ni i i i i i x y nx y x x y y ==-=--∑∑，其中11ni i x x n ==∑，1ni i y y ==∑，从而回归直线的斜率还可以写成121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑．9．以下是一位销售经理收集来的销售员每年销售额y 和销售经验年数x 的关系：(1)依据这些数据画出散点图并作直线78 4.2y x ∧=+，计算2()iiy y ∧-∑；(2)依据这些数据由最小二乘法估计线性回归方程，并据此计算1021()iii y y ∧=-∑．10．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，数据如下：(1) 计算x 与y 的相关系数，并对x 与y 进行相关性分析； (2) 如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．2.4线性回归方程（二） 【新知导读】 1．C 2．C 3．B 【范例点睛】例1．(1)66.8x =，67.01y =，102144794ii x==∑，102144941ii y==∑，4476.27xy ≈，24462.24x =，24490.34y ≈，10144842.4i i i x y ==∑，1010i ix y x yr -∴=∑79.70.980181.31≈=≈≈．因为0.9801r =接近1,所以y 与x 具有较强的相关关系，也就是说y 与x 之间具有线性相关关系．(2)设回归直线方程为y bx a ∧=+，由101102211044842.444762.74479444622.410i ii i i x y x yb x x==--=≈--∑∑79.7171.6= 0.4645≈，67.010.464566.835.98a y bx =-≈-⨯≈，所以所求直线方程为0.464539.98y x ∧=+．(3)当73x =时，0.46457335.9869.9y =⨯+≈，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高为69.9英寸． 【课外链接】体重预测值＝0.72(kg/cm)×身高－58.5kg 【随堂演练】１．D ２．D ３．A４．0.8809 ５．－0.9023 ６．650７．解：(1)61129.136i i x x ===∑,6117.56i i y y ===∑,6215130.92i i x ==∑,611222.6i i i x y ==∑,6162216 2.26i ii ii x y x yb xx==-∴==--∑∑,7.5( 2.2)29.1371.6a y bx =-=--⨯=,∴回归直线方程为2.271.6y x ∧=-+．当27x =时， 2.22771.612.2y ∧=-⨯+=．据此，可估计该地区2002年4月12日或13日化蛹高峰日．(2)660.9342i ix y x yr -==∑，r 的值接近于1,所以变量x ，y 存在线性相关关系． ８．证明：11111()()()n n n n niii iiii iiii i i i i x x y y x y xy x y x y x y x y y x nx y =====--=--+=--+∑∑∑∑∑11n ni i i i i i x y nx y nx y nx y x y nx y ===--+=-∑∑，∴回归直线的斜率为1221()ni ii nii x y nx yxn x ==-=-∑∑121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑．９．解：(1)散点图与直线78 4.2y x ∧=+的图形如图所示，对1,3,...,13x =，82.2,90.6,94.8,94.8,y ∧=103.2,111.6,120,120,124.2,132.6，1021()178.48i i i y y ∧=-=∑．(2)1011710i i x x ===∑，1021()142xx i i l x x ==-=∑，108y =，101()()xy i i i l x x y y ==--∑ 568=，所以5684142xyxx l b l ===，1084780a y bx =-=-⨯=，480y x ∧∴=+．84,92,96,96,104,112,120,120,124,132i y ∧=，1021()170i i i y y ∧=-=∑．10．解：(1)由题意可得77777.710x ==，1657165.710y ==，102170903i i x ==∑，1021277119i i y ==∑，101132929i ii x y==∑．r =0.806≈，因此x 与y 之间具有显著的相关性．(2)21329291077.7165.70.397709031077.7b -⨯⨯=≈-⨯，165.70.397a =-77.7134.8⨯=，所以线性回归方程为0.397134.8y x ∧=+．。
苏教版高中数学必修三练习：2.4线性回归方程(一)含答案
2.4 线性回归方程（一）【新知导读】1. 以下两个变量之间的关系中，哪个不是函数关系()A．角度和它的余弦值B．正方形边长和面积C．正n边形的边数和其内角和 D ．人的年纪和身高2．回归直线方程y bx a 中的 y 是展望值，与实质中的y 关系为()A．y y 越小，说明回归偏差越小B．y y 越大，说明回归偏差越小C．y y 越小，说明回归偏差越小D．y y 越小，说明回归偏差越小3．回归直线方程的系数a，b的最小二乘法预计中，使函数Q (a, b) 最小， Q 函数指()n nA．( y i a bx i ) 2B．y i a bx ii1i 1C．( y i a bx i )2D． y i a bx i【典范点睛】例 1．以下是采集到的新房子销售价钱y 与房子的大小x 的数据：房子大小 x(m2 )80105110115135销售价钱 y (万元)18.42221.624.829.2(1) 画出数据的散点图；(2) 用最小二乘法预计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)计算此时 Q (a,b) 和 Q(2,0.2)的值，并作比较．【课外链接】1．假定学生在初一和初二数学成绩是线性有关的．若10 个学生初一(x)和初二( y)数学分数如下：x74717268767367706574y76757170767965776272试求初一和初二数学分数间的线性回归方程．【随堂操练】1．以下说法错误的选项是（）A．假如变量和之间存在线性有关关系，那么依据它们的一组数据获得一列点(x i , y i ) ( i1,2,3,..., n )将漫步在某向来线的邻近B．假如变量和之间不存在线性有关关系，那么依据它们的一组数据(x i , y i ) ( i1,2,3,..., n )不可以写出一个线性方程C．设x，y是拥有线性有关关系的两个变量，且x对于y的线性回归方程为y bx a ，此中 a, b 叫做回归系数D．在回归剖析中，变量间的关系假如非确立性的关系，则因变量不可以由自变量独一确立2．三点 (3,10)，（7,20），（11,24）的线性回归方程是( )A．y 5.75 1.75x B． y 1.75 5.75xC．y 1.75 5.75x D． y 5.75 1.75x3．已知x，y之间的一组数据：x0123y1357则 y 与x的线性回归方程y bx a 必过( )A． (2,2) 点 B ．(1.5,0)点 C ． (1,2)点 D ． (1.5,4)点4．设有一个回归方程为y 3x 2，变量 x 增添一个单位时，则y 均匀增添______个单位．5．已知线性回归方程为y 0.50 x 0.81 ，则x25 时， y 的预计值为_____________．6．某地域某种病的发病人数奉上涨趋向，统计近四年这类病的新发病人数的线性回归剖析以下表表示：年份 ( x )该年新发病人数 ( y)x2003.5 ,y2540.25i i200224004444x i y i[x i ][y i ]20032491b i 1i 1i194.7444x i2[x i ] 2 20042586i 1i 120052684a y bx186623如不加控制，仍按这个趋向发展下去，请展望从2006 年初到 2009 年末的四年时间里，该地域这种病的新发病总人数为 _______________ ．7x 与y之间的关系的模型，为偏差项，模型以下：．我们考虑两个表示变量模型 1：y6 4 x ；模型2： y 6 4x．(1) 假如x 3 ， 1 ，分别求两个模型中的y 值；(2)分别说明以上两个模型是确立性模型仍是随机性模型．8．在 10 年时期，某城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系以下表所示：第几年城市居民收入x (亿元)某商品销售额y (万元) 132.225.0231.130.0332.934.0435.837.0537.139.0638.041.0739.042.0843.044.0944.648.01046.051.0(1) 画出散点图； (2)假如散点图中的各点大概散布在一条直线邻近，求 y 与x间的线性回归方程．9．已知对于某设施的使用年限x 与所支出的维修花费y (万元)，有以下统计资料：使用年限 x23456维修花费 y 2.2 3.8 5.5 6.57.0设 y 对x呈线性有关关系．试求： (1) 线性回归方程y bx a 的回归系数 a ，b；(2)预计使用年限为 10 年，维修花费是多少？10．在钢线含量对于电阻的效应的研究中，获得以下的数据：碳含量 x(%)0.100.300.400.550.700.800.96电阻 y (200C时,微欧)1518192122.623.826(1)画出散点图 (2) 求线性回归方程．2.4 线性回归方程（一）【新知导读】1．D 2．C3．A【典范点睛】例 1． (1)5555(2)n5，x i545 ， x109 ，y i116 ， y 23.2 ，x i60952 ，i 1i1i 155129525451160.1962 ，a23.20.1962 109 1.8166x i y i12592 ， b，i 15 60952 5452线性回归方程为y0.1962 x 1.8166 ；(3)Q (1.8166,0.1962) 5.1771 ， Q(2,0.2)7.0 ，由此可知，求得的a 1.8166， b0.1962是使函数Q (a,b)取最小值的a， b 值．【课外链接】Q x7152y 72.310解：,x i50520,,x i y i51467,所以i 1i1b 10514677107231.2182，a72.3 1.2182 7114.912，因此回归直线方程为10505207102y 1.2182 x14.192．【随堂操练】1.B 2 .D 3. B 4.3 5 .11.69 6. 139497. 解： (1)模型 1：y64x64318 ；模型2： y6 4 x 6 4 3119 ．(2) 模型 1中同样的 x 值必定获得同样的y 值，因此是确立性模型；模型2中同样的 x 值，因的不一样，所得 y 值不必定同样，且为偏差项是随机的，因此模型 2 是随机性模型．8.解： (1)102(2)由题意： x 37.97，y39.1 ；x i14633.67 ，i 110i 1x i y i15202.9 ，于是10i x i y i10 x y15202.91037.9739.1b1 1.447 ， a y bx 39.1 1.447 10210 x14663.6710 37.9722i 137.97 15.843．因此所求线性回归方程为y bx a 1.447 x 15.843．525112.354 59．解： (1) x 4 , y 5 ，x i90 ，x i y i112.3 ，于是回归系数 bi 1i 190542，a y bx 5 1.23 4 0.08 ；(2)线性回归方程是y 1.23x 0.08，当x 10年时，1.23y 1.23 10 0.08 12.38 (万)，即预计使用10年时，维修花费是12.38万元．10．解： (1)(2) 可求得y13.958412.5503 x。
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线性回归方程 同步练习
学力测评
双基复习巩固
1． 下列变量之间的关系是函数关系的是 ( )
A 、已知二次函数c bx ax y ++=2
，其中c a ,是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式ac b 42-=∆ B 、光照时间和果树的亩产量
C 、降雪量和交通事故发生率
D 、每亩用肥料量和粮食亩产量
2． 工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为x y
8050ˆ+=，下列判断中正确的是 ( )
A 、劳动生产率为1000元时，工资为130元
B 、劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元
C 、劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高130元
D 、当工资为250元时，劳动生产率为2000元
3． 线性回归方程bx a y
+=ˆ必定过（ ） A 、)0,0(点 B 、)0,(x 点 C 、),0(y 点 D 、),(y x 点 4． 回归方程的系数b a ,的最小二乘估计中使函数),(b a Q 最小的Q 函数是（ ） A 、
∑=--n
i i i
bx a y
1
2
)( B 、∑=--n
i i bx a y 1
C 、2
)(i i bx a y -- D 、i i bx a y --
5．为了考查两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实
验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为21,l l .已知两人所得试验数据中，变量
x 和y 的数据的平均值都相等，且分别都是t s ,，那么下列说法正确的是（ ）
A 、直线21,l l 一定有公共点),(t s
B 、直线21,l l 相交，但交点不一定是),(t s
C 、必有21//l l
D 、21,l l 必定重合
6． 一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了10周中每周加班工作时间y （小
时）与签发新保单数目x 的数据如下表，则用最小二乘法估计求出的线性回归方程是
___________.
7． 上题中，若该公司预计下周签发新保单1000张，则需要加班的时间是___________. 8
． 在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观测它在水中的溶解度，得结果如下
表：
试建立温度与溶解度之间的经验公式.
9． 假设儿子身长与父亲身长适合一元线性回归模型，观察了10对英国父子身长（英寸）如
下：
综合拓广探索
10． 在国民经济中，社会生产和货运之间有着密切的关系，下面列出1991到2000年某地区
货运量与工业总产值的统计资料：
学习延伸
你能进行预测吗？
下表是某市的一份20年的统计资料，其中i x 表示第i 年建成的新住宅面积（单位：
2310m ），i y 表示第i 年的家具销售量（万元）：
分析以上数据，若某年新建成的住宅面积为10350m ⨯，请你估计当年可销售家具的销售额.
参考答案与点拨
1． A （点拨：依据函数的定义即可） 2． A （点拨：注意劳动生产率的单位）
3． D （点拨：线性回归直线方程是b ax y
+=ˆ，x b y a -=，从而)(ˆx b y bx y -+=，必过定点),(y x ）
4． A （点拨:考察线性回归方程的产生过程） 5． A （点拨:原理同第三题的点拨内容）
6． x y
003585.01181.0ˆ+=（点拨：76210110
1
==∑=i i x x ，1297860)(10
1
2=-∑=i i
x x
，
4653))((,85.210
1=--=∑=i i i y y x x y ）
7． 7.3小时（点拨：将1000=x 带入上面公式即可）
8． 52.6787.0ˆ+=x y
9． 98.354646.0ˆ+=x y
10．x 与y 之间的线性回归方程为22727.1309091.14ˆ-=x y
学习延伸 由于家具销售与新住宅落成的面积呈明显的线性趋势，所以我们可以用回归直线去
描述它，通过已知数据可以算出回归直线方程为x y 0811.14147.218ˆ+=，当350=x 时，
8.5963500811.14147.218ˆ=⨯+=y
（万元），即当年家具的销售额大约在596.8万元.。