简单几何体的相关计算
8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
如图所示：
设外接球和内切球的半径分别为R，r，由于正四面体是中心对称图形，
所以外心和内心重合，球心O在高线上，底面中心为 ,
因为正四面体棱长为2，
所以 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
因为正四面体的体积为 ,
所以 ，
解得
9、在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求 到面 的距离.
故选：
题型七表面积、体积与函数
例7 底面半径为2，高为 的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱).
（1）设正四棱柱的底面边长为 ，试将棱柱的高 表示成 的函数.
（2）当 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【分析】
（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据 ，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值.
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2、体积公式
（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝ Sh.
（3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝ (S′＋ ＋S)h.
【详解】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示，
因为 ，所以 ．从而 ．
（2）由（1） ，因为 ，
所以当 时， 最大，
即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
1、已知正方体外接球的体积是 ，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
【答案】
小学数学竞赛第六讲 简单几何体的表面积与体积的计算
第六讲简单几何体的表面积与体积的计算一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。
这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。
图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。
它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。
这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。
图6—3就是圆柱的平面展开图。
4.（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
具体图形见图6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体正方体的表面积=6×a2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体圆柱体的侧面积=2πRh圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
4.圆锥体圆锥体的侧面积=πRl圆锥体的全面积=πRl+πR2母线长与高）。
三、例题选讲例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
简单几何体的面积与体积
例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积.题型2：锥体的体积和表面积例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ，求四棱锥P－ABCD的体积.例4. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（1）证明：SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积V S－AB C.例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等， 侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是 V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.例9. 如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积.DBAOCEF例10. 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，P 在球面上，如果 163P ABCD V -=，（1）求球O 的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方 体棱长为6，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬40纬线，（1）求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ） （2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离. 随堂练习 （一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323B ．283C ．243D ．2033. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．64. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：55. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ､△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( ) A ．23B ．33 C ．43D ．326. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A．42+ B．22+C．32+D．6（二）填空题7. 如图，三棱柱111CBAABC-中，若FE,分别为ACAB,的中点，平面11CEB将三棱柱分成体积为21,VV的两部分，那么21VV：= .8.已知三棱柱111CBAABC-的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥E—A1B1C1 的体积是________.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是3cm.（三）解答题10. 如图在ABC∆中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.11.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12.在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24Rπ，求,A B两点间的球面距离.家庭作业（一）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．ππ221+B．ππ441+C．ππ21+D．ππ241+2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为（）A. 1+ba且a+b>h B. 1+ba且a+b<hC. 1+ab且a+b>h D. 1+ab且a+b<h3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）4. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．π29B．π27C．π25D．π235. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．π3 B．π33C．π6 D．π9（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________. （三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=5,若该几何体的侧视图的面积为3.4（1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；（3）求出多面体A—BMPC的体积V.10. 如图，AA1是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2. （1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．参考答案 例题讲解例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy ())2(1由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系. 例2．解析：（1）如图，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD ，作OM ⊥AB 交AB 于M ， 作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON. ∴点O 在∠BAD 的平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23，∴AO=4cosπAM =223. 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=. 例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥ABCD ，得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1， 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力. 例4. 解：（1）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ，∴SA ⊥平面AB C.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC .（2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角.在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. （3）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理. 例5. 解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22， CO ＝344232×=. G O C O G C =+=+=+=222232218422(). 而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S E F B △·GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算. 例6. 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.例7.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. ∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （2）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF . ∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D. （3）证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h （a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能. 例8. 解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222231()34R R =+， ∴43R =，∴26449S R ππ==. 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.例9. 解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ， ∴AB=BC=CA=2a ，且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′. 由正弦定理，得︒60sin 2a =2r ，∴r=36a .又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -，(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ， ∴S 球=4πR 2=3πa 2.点评：本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a . 例10. 解：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=， 所以2116233R R ⋅⋅=，R=2， 球O 的表面积是16π.（2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ，则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球. 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素. 例11. 解：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径，∴OK AK ⊥， 设C 是北纬40的纬线长，∵40AOB OAK ∠=∠=，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯所以北纬40纬线长约等于43.06610km ⨯．（2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，∵32124323AO '=⨯⨯=，∴2211OO OA OA ''=-=， 所以，球心到截面距离为11cm ．随堂练习（一）选择题1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；2. 解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243， V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D.4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a ，b ，c ，则棱锥的体积V1=13×12abc=16abc.长方体的体积V=abc ，剩下的几何体的体积为V2=abc-1566abc =abc ，所以V1：V2=1：5，故选D. 5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE 中，易知BN=32， ∴S △BCN=12BC·HN=12×1×22.24=故该几何体体积为24×1+2×1212,3423=⨯⨯选A. 6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×12×1×1+2×12+2×1=3+2，选C.（二）填空题7. 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh.∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S ， V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh ，V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.8. 解析：如图，过E 作AC ､BC 的平行线EF ､EG ，分别与AA1､BB1交于F ､G ，连接FG.∵三棱锥E —ABC 的体积是V1，∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V1，∴三棱柱EFG —C1A1B1的体积是V-3V1，∵VE —A1B1C1=13VEFG —C1A1B1， ∴VE —A1B1C1=13 (V-3V1)=3V -V1， 答案：3V -V1 9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+12×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π （三）解答题 10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=125AC BC AB =，所以所得旋转体的表面积 S=π·OC·(AC+BC)=π·125·(3+4)=845π； 其体积V=13·π·OC2·AO+13·π·OC2·BO=13·π·OC2·AB=485π. 评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题.11. 解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =， 又∵24324R ππ=，∴9R =，∴2282AC AC CC ''=-=， ∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H .由题设a GE AE AG 3622=-= ∵ △AOF ∽△AEG∴ a R a a R 233663-=，得a R 126= ∵ △AO 1H ∽△AOF∴ R r R a r R a =---36236，得a r 246= ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.12. 解：设北纬45圈的半径为r ，则24r R =，设O '为北纬45圈的圆心，α=∠B AO '， ∴24r R απ=，∴2224R R απ=， ∴2πα=，∴2AB r R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离. 家庭作业（一）选择题1. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr .∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 2. 解析：设酒瓶下底面面积为S ，则酒的体积为Sa ，酒瓶的体积为Sa+Sb ，故体积之比为1+,b a 显然有a<a′，又a′+b=h ，故a+b<h.选B.3. 解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时 间的变化是相同的，反映在图象上，选项B 符合题意.故选B.4. 解析：如图所示，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案D. 5. 解析：∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3，∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ， ∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.（二）填空题6. 解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有34πr 3=πR 2r . 故 332=r R .答案为332. 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.7. 解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P —ABCD(如图)，其中PD ⊥平面ABCD ， 因此该四棱锥的体积V=13×6×6×6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要216372=个这样 的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是2,6故该凸多面体的体积为216+.点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.（三）解答题9.解：（1）证明：AC=1，BC=2，AB=5，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.（2）设几何体的正视图如图所示：∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.∴几何体侧视图的面积=12AC·PD=12×1×PD=34.∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.∴S=12333.224=⨯+（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由(1)知BC⊥平面PAC，∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM.∴AN是四棱锥A—PCBM的高，且AN=3.2由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC.由PM∥BC，可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形.其面积S′=32，∴V=13S′·AN=3.410. 解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA 1⊥平面ABC ，BC平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC 平面AA 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C .（2）设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0＜x ＜2)， 即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2，0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23.。
简单几何体表面积体积
简单几何体的表面积与体积1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h圆锥S 侧＝πrlV ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12Ch ′ V ＝13Sh正棱台 S 侧＝12(C ＋C ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． [难点正本 疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小． 2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P —BB 1C 1C 的体积为________．题型一 简单几何体的表面积例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积．探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.题型二简单几何体的体积例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．思维启迪：思路一：先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与D—C1EF，再求四棱锥C1—B1EDF的体积．解 方法一 连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ， 平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高． ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a .∴VC 1—B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方法二 连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 探究提高 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22题型三几何体的展开与折叠问题例3(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．(2)有一根长为3π cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.思维启迪：(1)考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系；(2)可利用圆柱的侧面展开图．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_______．.方法与技巧1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．182.已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.343．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．1444．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A．28＋65B．30＋6 5C．56＋125D．60＋12 5二、填空题(每小题5分，共15分)5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.7．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(共22分)8．(10分)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．9．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3 D.52π＋ 3 2．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( ) A.25V B.13V C.23V D.310V 3．已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A ．33B ．2 3 C. 3 D ．1 二、填空题(每小题5分，共15分)4.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线 的长为______ cm.5．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是________．6．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．三、解答题7．(13分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图2所示．图1 图2(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D—ABC的体积．。
简单几何体的表面积和体积
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2
第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)
第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面 面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半 径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三 与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三 面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。
简单几何体的面积与体积
简单几何体的面积与体积教学目标：1.熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.2.学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题.知识点梳理1.多面体的面积和体积公式名称侧面积(S 侧)全面积(S 全)体 积(V)棱柱直截面周长×lhS h S ⋅=⋅直截面底棱柱直棱柱ch底侧S S 2+h S ⋅底棱锥各侧面积之和棱锥正棱锥'21ch 底侧S S +h S ⋅底31棱台各侧面面积之和棱台正棱台()''21h c c +下底上底侧S S S ++h(S 上底+S 下底+)31下底下底S S ⋅表中表示面积，、分别表示上、下底面周长，表斜高，表示斜高，表示侧棱长.S 'c c h 'h l 2. 旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球侧S rl π2rl π()lr r 21+π全S ()r l r +π2()r l r +π()()222121r r l r r +++ππ24R πV(即)h r 2πl r 2πh r 231π()22212131r r r r h ++π334R π表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径.h l ,r 21,r r R 例题讲解题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力考从深层上考查空间想象能力的主要方向BCAA1平面AC中，＝。
简单几何体的侧面积、体积
S rl 圆锥侧
1 / 正棱锥的侧面积 S ch 正棱锥侧 2
C
h/
A'''
简单几何体的侧面积---棱台、圆台
S （ r r ) l 1 2 圆台侧
r1
l
r2
正棱台的侧面积
1 / / S （ c c) h 正棱台侧 2
E D H A'' B F I G
h/
J
A'' '
简单几何体的侧面积---棱柱、圆柱
r
l
S 2 rl 圆柱侧
2r
二、直棱柱 直棱柱的侧面积 S直棱柱侧= Ch
A'' ' A'' ' A'' ' ' D A'' ' ' ' A'' ' A'
h
A'' ' A'' A'' ' ' A''
简单几何体的侧面积---棱锥、圆锥
l l
l
2rrr2 例3 一个正三棱台的上、下底面边长分别 是3cm和6cm,高是1.5cm,求三棱台的侧面积。
A1
O1
C1
A
27 3 2 cm 2
B1
O B
D1
C D
E
如图，O1，O分别是上、下底的中心， 则OO1= 1.5 ，连结A1O1并延长交B1C1于D1， 连结AO并延长交BC于D， 过 D1作 D E AD 于 E . 1
230.4m C
B
例2.一个容器形如倒置的等边圆锥(母线长 与底面直径相等)，如图所示，当所盛水深 是容器高的一半时，将容器倒转，那么水 深是容器高的( )
计算表面积了解表面积的计算方法
计算表面积了解表面积的计算方法表面积是一个物体外部覆盖的总面积，是衡量物体大小和形状的关键指标之一。
掌握表面积的计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解物体的特征，还可以应用于各种实际问题的解决。
本文将介绍几种常见物体表面积的计算方法，帮助读者更全面地了解表面积的概念和计算原理。
一、立方体表面积的计算方法立方体是一种特殊的几何体，其六个面都是正方形，具有相等的长宽高。
计算立方体表面积的方法相对简单，可以通过以下公式进行计算：表面积 = 6 ×边长^2其中，边长表示立方体的边长。
根据该公式，我们可以快速计算出任意立方体的表面积。
二、长方体表面积的计算方法长方体是一种常见的几何体，其六个面中，有两个面是长方形，其余四个面是正方形或长方形。
计算长方体表面积的方法较为简单，可以通过以下公式进行计算：表面积 = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)其中，长、宽和高分别表示长方体的长、宽和高。
根据该公式，我们可以轻松计算出长方体表面积，无论长宽高是多少。
三、球体表面积的计算方法球体是一种完全由曲面组成的几何体，其表面积的计算相对复杂一些。
球体表面积的计算方法可以通过以下公式进行计算：表面积= 4 × π × 半径^2其中，π是一个数学常数，约等于3.14159，半径表示球体的半径。
根据该公式，我们可以比较准确地计算出球体的表面积。
四、圆柱体表面积的计算方法圆柱体是一种上下底面相等，侧面是由矩形组成的几何体，其表面积的计算方法较为复杂。
圆柱体表面积的计算方法可以通过以下公式进行计算：表面积= 2 × π × 半径 × (半径 + 高)其中，π是一个数学常数，约等于3.14159，半径表示圆柱体的底面半径，高表示圆柱体的高度。
根据该公式，我们可以相对准确地计算出圆柱体的表面积。
总结：通过以上几种常见物体表面积的计算方法，我们可以看出不同几何体的表面积计算方法各有不同。
求阴影面积的十种方法
求阴影面积的十种方法
阴影面积是指在光源照射下，物体投射出的阴影所覆盖的面积。
在几何学中，阴影面积是计算投影面积的一个重要概念。
对于不同形状的物体，计算其阴影面积有不同的方法，下面介绍几种常见的方法。
1. 直接计算法：对于简单的几何体，例如矩形、三角形、圆形等，可以根据相应的公式计算出其阴影面积。
2. 消影法：利用几何形体之间的消影关系计算阴影面积，这种方法适用于多个物体在同一平面上的情况。
3. 画图法：通过绘制物体投影图和阴影图，求出阴影面积。
4. 面积加减法：对于复杂物体，可以将其分解成若干个简单形体，再分别计算其阴影面积，最后将得到的结果加减得到总面积。
5. 数学模型法：利用数学模型模拟物体在光源照射下的投影过程，计算出阴影面积。
6. 三角网格法：使用三角网格模型计算阴影面积，适用于复杂非规则形状的物体。
7. 光线追踪法：通过模拟光线在场景中的传播方向，计算出阴影面积。
8. 蒙特卡罗法：通过随机生成光线投射到物体上，进行多次模拟，最终统计得到阴影面积。
9. 深度图法：通过产生一个深度图，依据深度图中的遮挡关系得出阴影区域，计算阴影面积。
10. 像素级法：将物体的每一个像素与光线相交，统计被覆盖的像素点，通过像素点的数量计算出阴影面积。
总之，计算阴影面积的方法主要取决于物体的形状和光源的位置，通过选择适合的方法，能够得到比较准确的结果。
体积的概念与计算方法
体积的概念与计算方法体积是描述物体所占空间大小的物理量。
在日常生活和科学研究中，我们经常需要计算物体的体积，以便了解其大小、形状和容量等信息。
本文将介绍体积的概念、计算方法及一些常见物体的体积计算实例。
一、体积的概念体积是描述物体占据的三维空间的大小。
在几何学中，体积是通过测量物体所占空间的总容量来确定的。
体积通常以立方单位表示，例如立方米（m³）、立方厘米（cm³）等。
对于规则几何体，体积可以通过特定的公式直接计算得出；而对于不规则几何体，则需要使用近似方法或其他测量技术来求解。
二、计算方法1. 立方体的体积计算立方体是最简单的几何体之一，它的所有边长相等。
计算立方体的体积只需将边长的立方即可，即 V = a³，其中 V 表示体积，a 表示边长。
2. 长方体的体积计算长方体是另一种常见的几何体，它的长度、宽度和高度均不相等。
计算长方体的体积可按照公式 V = lwh 进行，其中 V 表示体积，l 表示长度，w 表示宽度，h 表示高度。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体是一个圆柱形的几何体，其底面为圆形，高度为垂直于底面的直线距离。
圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中 V 表示体积，r 表示底面半径，h 表示高度，π 为圆周率，取近似值3.14。
4. 球体的体积计算球体是一个完全由曲面组成的三维几何体，其体积计算公式为 V = (4/3)πr³，其中 V 表示体积，r 表示球的半径，π 为圆周率，取近似值3.14。
5. 其他不规则几何体的体积计算对于其他不规则几何体，无法使用简单的公式进行计算，常见的求解方法包括积分法、近似法和实测法。
其中，积分法适用于连续变化的几何体，近似法通过将不规则几何体拆分成多个规则几何体进行计算，实测法则是通过实际测量几何体的液体位移、容积与体积之间的关系进行估算。
三、实例讲解以下为几个常见物体的体积计算实例：1. 计算一个边长为3cm的立方体的体积。
求立体几何体积的公式
求立体几何体积的公式我们要了解立体几何中不同形状的体积计算公式。
首先，我们需要知道常见的立体几何形状及其体积公式。
1. 球体体积公式：V = (4/3) × π × r^3
其中，r 是球的半径。
2. 圆柱体体积公式：V = π × r^2 × h
其中，r 是底面圆的半径，h 是圆柱的高。
3. 圆锥体体积公式：V = (1/3) × π × r^2 × h
其中，r 是底面圆的半径，h 是圆锥的高。
4. 长方体体积公式：V = l × w × h
其中，l 是长度，w 是宽度，h 是高度。
5. 正方体体积公式：V = a^3
其中，a 是正方体的边长。
有了这些公式，我们就可以计算各种立体几何的体积了。
球体的体积是：立方单位
圆柱体的体积是：立方单位
圆锥体的体积是：立方单位
长方体的体积是：480 立方单位
正方体的体积是：64 立方单位。
空间几何中的球与圆柱的体积计算
空间几何中的球与圆柱的体积计算在空间几何中，球和圆柱是两个常见的几何体。
计算它们的体积是我们常常需要解决的问题之一。
本文将分别介绍球和圆柱的体积计算方法，并为读者提供详细的公式和计算示例。
一、球的体积计算方法球是一个具有无限个等半径的点构成的几何体，其体积计算是一个基础且重要的问题。
下面介绍球的体积计算方法。
球的体积公式为：V = 4/3 * π * r³其中，V表示球的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
计算示例：假设球的半径为5厘米，则根据球的体积公式可以计算出球的体积为：V = 4/3 * 3.14159 * 5³ ≈ 523.6立方厘米二、圆柱的体积计算方法圆柱是由一个圆形底面和与底面平行的侧面所组成的几何体。
它有着广泛的应用，例如水桶、柱子等都可以看作是圆柱。
下面介绍圆柱的体积计算方法。
圆柱的体积公式为：V = π * r² * h其中，V表示圆柱的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高度。
计算示例：假设圆柱的底面半径为3厘米，高度为8厘米，则根据圆柱的体积公式可以计算出圆柱的体积为：V = 3.14159 * 3² * 8 ≈ 226.1952立方厘米综上所述，球和圆柱的体积计算方法是非常简单明了的。
只需要根据给定的半径或底面半径、高度，代入相应的公式即可得出准确的体积结果。
在实际问题中，我们经常需要计算复杂的几何体的体积，而这些几何体往往是由多个简单的几何体组成。
在这种情况下，我们可以将复杂几何体分解成多个简单几何体，分别计算它们的体积，最后将这些体积相加得到复杂几何体的总体积。
这种方法被称为体积的叠加原理。
希望读者通过本文的介绍能够对空间几何中球和圆柱的体积计算有一个清晰的了解，并能够在实际问题中灵活运用相应的计算方法。
同时，读者还应注意在计算过程中保持准确性，避免出现计算错误。
容积的计算公式
容积的计算公式引言：容积是物体所占的空间大小，是一个重要的物理量。
在日常生活、工程项目设计、科学研究等领域中，我们经常需要计算物体的容积。
本文将介绍容积的计算公式及其应用。
一、容积的定义容积是指物体所占据的三维空间大小的度量。
在几何学中，容积通常被定义为物体的三个维度的乘积。
对于规则图形，计算容积较为简单；而对于不规则图形，计算容积需要借助于合适的方法和公式。
二、常见物体容积的计算公式1. 立方体的容积：立方体是最简单的几何体之一，它的六个面都是正方形。
立方体的容积计算公式为：V = a³，其中a表示立方体的边长。
例如，一个边长为10cm的立方体的容积为1000cm³。
2. 矩形箱体的容积：矩形箱体是一个长方体，它的三个面都是矩形。
矩形箱体的容积计算公式为：V = lwh，其中l、w、h分别表示矩形箱体的长度、宽度和高度。
例如，一个长为20cm，宽为10cm，高为5cm的矩形箱体的容积为1000cm³。
3. 圆柱体的容积：圆柱体是一个上下底面相等的几何体，它的侧边由矩形卷起形成。
圆柱体的容积计算公式为：V = πr²h，其中r表示底面的半径，h 表示圆柱体的高度，π是一个常数，取值约为3.14。
例如，一个底面半径为5cm，高度为10cm的圆柱体的容积为785.4cm³。
4. 球体的容积：球体是一个所有点到球心的距离都相等的几何体。
球体的容积计算公式为：V = (4/3)πr³，其中r表示球的半径。
例如，一个半径为8cm的球的容积为2144.7cm³。
5. 锥体的容积：锥体是一个底面为圆形而侧边全部收归到顶点的几何体。
锥体的容积计算公式为：V = (1/3)πr²h，其中r表示底面的半径，h表示锥体的高度。
例如，一个底面半径为6cm，高度为12cm的锥体的容积为452.4cm³。
三、容积计算公式的应用1. 工程项目设计：在建筑设计、道路规划、水利工程等领域中，容积的计算是非常重要的。
解决简单的容积与表面积的关系
解决简单的容积与表面积的关系容积与表面积是数学中重要的概念，我们经常在日常生活和工作中使用它们。
容积表示物体所占据的空间大小，表面积表示物体外部所覆盖的表面大小。
在很多问题中，我们需要研究容积与表面积之间的关系，以解决一些实际应用问题。
一、立方体的容积和表面积关系立方体是我们最常见的几何体之一，它具有六个相等的正方形面。
设立方体的边长为a，那么它的容积V和表面积S可以分别表示为：V = a³S = 6a²从上面的公式可以看出，立方体的容积和表面积之间并没有直接的关系。
容积是长度的三次方，而表面积是长度的平方。
所以，如果我们知道了立方体的边长，就可以计算出它的容积和表面积。
例如，如果一个立方体的边长是5cm，那么它的容积和表面积分别为：V = 5³ = 125cm³S = 6 × 5² = 150cm²二、圆柱的容积和表面积关系圆柱是另一种常见的几何体，它具有两个相等的底面，上下被一个曲面连接。
设圆柱的底面半径为r，高为h，那么它的容积V和表面积S可以分别表示为：V = πr²hS = 2πrh+ 2πr²从上述公式可以看出，圆柱的容积和表面积与底面半径、高度密切相关。
容积的计算需要底面半径和高度的平方，而表面积的计算需要底面半径和高度的乘积。
因此，在解决圆柱相关问题时，我们需要已知底面半径和高度的具体数值。
例如，如果一个圆柱的底面半径为2cm，高度为6cm，那么它的容积和表面积分别为：V = π × 2² × 6 = 24π cm³ ≈ 75.4 cm³（保留两位小数）S = 2π × 2 × 6 + 2π × 2² = 24π cm² ≈ 75.4 cm²（保留两位小数）三、金字塔的容积和表面积关系金字塔是一种具有一个多边形底面和多个三角形侧面的几何体。
四棱柱体积计算
四棱柱体积计算
四棱柱是一种常见的几何体，它的体积计算相对直接和简单。
为了求得四棱柱的体积，我们首先需要了解其基本的几何特性和体积公式的推导。
四棱柱的一个显著特点是它有两个平行的、相等的四边形底面，侧面是矩形。
这意味着我们可以使用底面积乘以高这一通用公式来计算其体积。
具体地说，四棱柱的体积（V）可以通过以下公式计算：
(V = S \times h)
其中，(S) 是四棱柱底面的面积，(h) 是四棱柱的高。
在实际应用中，底面的形状可能是多种多样的，如正方形、矩形、菱形等。
因此，在计算体积之前，我们首先需要确定底面的具体形状，并据此求出底面的面积。
例如，如果底面是一个正方形，其边长为(a)，则底面积(S = a^2)。
如果底面是一个矩形，其长为(l)，宽为(w)，则底面积(S = l \times w)。
一旦我们得到了底面的面积，接下来就可以通过测量或已知条件来确定四棱柱的高。
高是从一个底面到另一个底面的垂直距离。
综上所述，计算四棱柱体积的关键在于确定底面的面积和四棱柱的高。
只要这两个参数已知，我们就可以轻松地使用体积公式求出四棱柱的体积。
这种计算方法不仅适用于四棱柱，还可以推广到其他具有平行底面的柱体体积计算中。
计算体积进阶如何计算复杂形的体积
计算体积进阶如何计算复杂形的体积计算体积进阶：如何计算复杂形状的体积体积是描述三维空间中物体占据的空间大小的一个重要指标。
在计算体积时，常常遇到各种形状的物体，有些形状相对简单，可以直接应用基本几何公式计算，而有些形状则相对复杂，需要运用更高级的数学方法进行计算。
本文将介绍如何计算复杂形状的体积，为您提供一些有用的方法和技巧。
一、基础：计算简单几何体的体积在讨论复杂形状的体积计算之前，我们首先来回顾一下计算简单几何体体积的方法。
常见的简单几何体包括立方体、长方体、圆柱体、球体等。
它们的体积计算公式如下：立方体的体积公式：V = a³，其中a为边长。
长方体的体积公式：V = lwh，其中l、w、h分别为长、宽、高。
圆柱体的体积公式：V = πr²h，其中r为半径，h为高度，π取3.14或取近似值。
球体的体积公式：V = (4/3)πr³，其中r为半径，π取3.14或取近似值。
这些简单几何体的体积计算公式是我们初学几何时需要掌握的基本知识。
二、进阶：应用积分计算复杂形状的体积当遇到更为复杂的形状时，简单的公式已经无法满足我们的需求。
此时，我们需要运用数学中的积分概念来解决问题。
积分是微积分学的重要概念之一，它可以用来求取函数所围成的曲线下面的面积，在体积计算中，我们可以将其扩展为求取物体所包围的空间体积。
对于一个复杂形状的体积计算，我们可以将其细分为许多小的体积元素，然后通过对每个体积元素进行积分求和的方法来计算整个体积。
以一个形状为凸曲面的物体为例，我们可以将其切割成许多薄片，每个薄片的形状可以近似看作平行于底面的小长方体。
我们可以通过将每个小长方体的体积求和来得到整个物体的体积。
同样的，对于其他形状，我们可以根据其特点，将其切割为适合积分计算的小元素，并对每个小元素进行积分求和，就可以得到整个形状的体积。
三、实践：计算复杂形状的体积示例为了更好地理解如何运用积分计算复杂形状的体积，我们将以计算圆锥的体积为例进行说明。
几何体的展开与表面积计算
几何体的展开与表面积计算在几何学中，几何体的展开与表面积计算是一个重要的概念。
通过将几何体展开成平面图形，我们可以更容易地计算其表面积。
本文将探讨几何体的展开和表面积计算方法。
一、几何体的展开几何体的展开是指将一个三维几何体转化成一个平面图形。
通过展开，我们可以清晰地看到几何体的各个部分，从而更好地理解其结构和计算表面积。
以一个正方体为例，我们可以将其展开成六个面组成的平面图形。
展开后，每个面的形状保持不变，但被展开到同一个平面上，各个面之间通过折叠进行连接。
展开后的平面图形被称为几何体的展开图。
二、几何体的表面积计算计算几何体的表面积是通过计算展开后的平面图形的面积来实现的。
根据几何体的不同形状，表面积的计算方法也有所不同。
下面以几个常见的几何体为例进行说明。
1. 正方体正方体的表面积计算相对简单，因为它的六个面都是正方形。
假设正方体的边长为a，则每个面的面积都是a²。
因此，正方体的表面积等于6a²。
2. 矩形长方体矩形长方体是由一个长方体展开而成的。
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则展开后的平面图形是一个长方形。
长方形的面积等于长乘以宽，即ab。
因此，矩形长方体的表面积等于2(ab + ac + bc)。
3. 圆柱体圆柱体的表面积由两个圆和一个矩形组成。
假设圆柱体的底面半径为r，高度为h，则底面的面积为πr²，侧面是一个高度为h的矩形，其面积为2πrh。
因此，圆柱体的表面积等于2πr² + 2πrh。
4. 圆锥体圆锥体的表面积由一个圆和一个扇形组成。
假设圆锥体的底面半径为r，高度为h，则底面的面积为πr²。
而扇形的面积可以通过计算圆周长与扇形对应的圆心角的比例来得到，即πr乘以底面的弧长与360度的比值。
假设扇形对应的圆心角为θ，则扇形的面积为πr²(θ/360)。
因此，圆锥体的表面积等于πr² + πr×斜高。
方锥形体积计算公式
方锥形体积计算公式方锥形是一种常见的几何体，它的体积可以通过一个简单的公式来计算。
在本文中，我们将介绍方锥形的体积计算公式，并探讨一些与之相关的概念和应用。
方锥形的体积计算公式为：V = (1/3) * S * h，其中V表示方锥形的体积，S表示底面的面积，h表示方锥形的高度。
这个公式可以用来计算任意形状的方锥形的体积，只要我们知道底面的面积和高度。
底面的面积是指方锥形底面的面积，它可以是任意形状，如正方形、长方形、圆形等。
假设我们要计算一个底面为正方形的方锥形的体积，我们只需要知道正方形的边长a和方锥形的高度h，就可以使用公式V = (1/3) * a^2 * h来计算体积。
同样地，如果底面是一个圆形，我们需要知道圆的半径r和方锥形的高度h，就可以使用公式V = (1/3) * π * r^2 * h来计算体积。
其中π是一个常数，约等于3.14159。
方锥形的体积计算公式可以用于很多实际问题中。
例如，在建筑工程中，我们可以使用该公式来计算建筑物的方锥形屋顶的体积，从而确定所需的建筑材料数量。
在制造业中，我们可以使用该公式来计算方锥形容器的容积，以确定所需的原材料量。
在物流和运输领域，我们可以使用该公式来计算货物包装箱的体积，以便选择合适的运输工具。
除了方锥形的体积计算公式，还有一些与之相关的概念和公式。
例如，方锥形的侧面积可以通过公式 A = S + (1/2) * p * l来计算，其中A表示侧面积，S表示底面的面积，p表示底面的周长，l表示方锥形的斜高。
这个公式可以用来计算任意形状的方锥形的侧面积。
方锥形还有一些特殊情况的体积计算公式。
例如，当底面是一个正方形时，方锥形的体积可以简化为V = (1/3) * a^3，其中a表示正方形的边长。
当底面是一个圆形时，方锥形的体积可以简化为V = (1/3) * π * r^3，其中r表示圆的半径。
总结一下，方锥形的体积计算公式为V = (1/3) * S * h，其中S 表示底面的面积，h表示方锥形的高度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简单几何体的相关计算
1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ） A.
288π cm 3 B.192πcm 3 C.288πcm 3或192πcm 3 D.192π cm 3
2.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 .
3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为22cm ，则四棱柱的体积为（ ） A.4cm 3 B.8 cm 3 C.2πcm 3 D.4πcm 3
4.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A.33a B.34a C.36a D.312
a
5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积.
6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？
7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为
__________。
8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ）
A.31172+
B.3172
C.31172-
D.31173
-
9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？
10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 .
11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A.12V B.13V C.14V D.23
V
12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积.
13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积.
14.正三棱锥S ABC -的侧面是边长为a 的正三角形，D 、E 分别是SA 、BC 的中点，求SDE ∆绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体的体积.
15.若棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO a =，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM b =，则a 、b 的关系是（ ） A.(21)b a =- B. (21)b a =+ C. 212b a -= D. 212
b a +=
16.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2AB A B =，则三棱锥1A ABC -，11B A B C -，111C A B C -的体积之比（ ）
A.1：1：1
B. 1：1：2
C. 1：2：4
D. 1：4：4
17.如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆和圆心，那么这个几何体的体积为（ ） A.33π B. 233π C. 3π D.3π 18.圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（ ） A.233π B.23π C.736π D.733
π
19.降水量是值水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口
直径为38cm ，底面直径为24cm ，深度为35cm 的圆台形容器（轴
截面如图）来测量降水量，如果在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17
，则本次降雨的降水量是多少？
20.三棱台111ABC A B C -中，11:1:2A B AB =，D 是1C C 的中点，求截面1A BD 把棱台分成上、下两部分的体积比.
21.有一块扇形铁皮OAB ，60AOB ∠=︒，72OA cm =，要剪下来一个圆环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作为圆台形容器的下底面（大底面）.试求：
（1）AD 应去多长？（2）容器的容积.
22.已知高与直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为（ ） A.5003π B. 25003π C. 250033
π D. 125003π
23.（06北京卷）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =那么,A B 两点的球面距离为__________，球心到平面ABC 的距离为_________.
24.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且6AC BC ==，4AB =，求球面面积与球的体积.
25.在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体相内切.
（1）求两球半径之和；
（2）球的半径是多少是，两球体积之和最小.。