基于极限平衡原理的边坡稳定分析的数值积分解法
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∑Ｃ－ ｘｃ・ＣＳ ａ＋ ∑ Ｗ ・ ａ ｇ・ ｏ ８ ／ ） Ｏ ｉ ｉ ｉ ｔｎｏ ｃｓ
在采用极 限平 衡积 分 法进行 边 坡 分析 时 ， 立所 述平 面直 建 角坐标系 ， 既符合数学分析 习惯 ， 又可使 边坡 及滑 动 圆弧 方程最
式中 ：ｉＯ ｘ ／ １ ＋ｆ（ ） ｓ ＝ｆ ） ｘ ｎ （
ＣＳ ＝ １ ，１＋ ｆ ｘ ； Ｏ Ｏ ／／ ２ ， ） （
为简化 。提 出基 于简化 Ｂｓｏ 法原 理的边坡稳定分析 数值积分 ｉ ｐ ｈ
法， 完善了极限平衡法 的理论 ， 免 了条分法 分条 量算 的繁琐 工 避
作 。所述方法编制 的计算程序 ， 效 的提高 了计算 效率 和精度 ， 有
７ —— 土体容重 ，Ｎ ｍ ｝ ｋ ／３ ｇ ｘ ， ｘ——边界方程 ， （）ｆ ） （ 滑动面曲线方程 。
２３ 求解 安全 系数 的方 法 ．
ｆ 一 Ｌ ——— ——— — ————— ————一 （） ３
在岩土工程领域边 坡稳定 分析 这一 重 大领 域 中， 限平衡 极 法是人们最早提 出的一类方 法 ， 也是 在实 际工 程运 用 中最广泛
采用的最成熟的一类方法 ， 根据假定 所满 足的平衡 条件 不同 ， 有 Ｆ ｌｉ 瑞典条分法 ， ｅｎｕ ｌ ｓ 简化 Ｂｓｏ 法 等方 法 ， ｉ ｐ ｈ 但各类 方 法的计算 过程都非常复杂 ， 一般都需要手工计算 。 计算效率低 ， 鉴于计算机 和数值计算的发展 ， 出了基于极 限 平衡 法原 理 的数值 积分 方 提
可获得该法较高精度的数值解。
参考文分公式 （） 超越 方程 ， ｉ ｐ ｈ ５为 方程
的右边隐含安全系数 ， 因而不能 直接求 出安全 系数 ， 一般 可采 用
［］ 陈 仲 颐 ， 景 星 ， 洪 瑾． 力 学 ［ ． １ 周 王 土 Ｍ］ 北京 ： 华 大 学 出 版社 ， 清
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（≤ｘ ｍ） Ｏ ￣ｈ
（≥ ｈ ｘ ｍ）
∑△ｘ ・（１ Ｉ ｌ （）ｘ ； ｆＸ ＝ ｘｄ ） ｆ
则（ ） ２ 式可变形 为 ： ＋
２ ２ 建立极限平衡 法的数值积分模型 ． 根据 Ｆ ｌ ｎｕ 瑞典法可知 ： ｅｌ ｉｓ ｅ
／
与 Ａ Ｘ，）Ｂ ｘ，） ， 滑动 面 Ａ Ｃ曲面方程表示为 ｆｘ。 （ｌＯ 、（２ｈ点 边坡 Ｂ （）
ｘ， ＋
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（
ｌＩ
囤 １ 直角坐标 系下边坡稳定分析模型
圉 ２ 取边坡微块受力机理
则， 边坡的边界方程 为：
ｒ ０ （≤ Ｏ ） ）
根 据积分定 义有 ：
ｎ
中图分 类号 ：＇８ ４７ 文献标 识码 ： Ｄ ２ ． １ Ｉ Ｂ
基 于极 限平衡 原 理 的边 坡 稳定 分析 的数 值 积 分解 法
陈华 明， 盛建 龙
（ 汉科技大学 ， 武 湖北 武 汉 ４ ０ ８ ） ３０ １ 摘 要： 通过 建立适于边坡稳定分析 简单的平 面直 角坐标 系， 出了基 于用 简单条 分法和 简化 Ｂｓ ｏ 导 ｉ ｐ法极 限平衡 方法 ｈ
ｆ 一 — — — — — — — Ｌ — — — — 一
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（） 可以变形为 ； ３式
ｏ 积分法边坡 Ｆ ．６２ ｐ 一１３５ 。较瑞典积分法计算结果偏大， 符合
一
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（） （） ｘ ＿ｆｘ］ ｄ ｘ
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般结论 。
、
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４ 结论
法 ， 制了相应 的计算程序 。 编
２ 分 析原 理
ｔｎ ． ｆ（ ｉ ， ａ Ｏ一 ｘ）
∑ｗ ・ ｉＯ ｓ ， ｎ
从 图 ２中可 以看 出 ：
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ｃｓｉ ／／ｑ ７ ｏａ＝１ 、Ｔ ，
，
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原理的数值积分解法， 大大的减少 了计算量 ， 而更加 准确 的计 算了边坡稳定 的安 全 系 ， 用 Ｍａａ 从 数 并 ｔｂ编程语 言编写 了 ｌ
相 应 的 计 算 程序 。
关键词 ： 边坡稳定 ； 限平衡 法ｉ 极 数值积分
１ 概 述
根据简化 Ｂｓｏ 法可知 ： ｉ ｐ ｈ
∑ （ △ ）＋ｗｉ ａ ｇ ／ ｃｓｉ－ａ Ｓ ｛ ｃ・ （ ｉ ・ｔｎ ） （ｏＯｑ ｔｎＯ ） ／
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总第 １ ０ ２ 期
西部探矿工程
Ｗ ＥＳ Ｔ— ＣＨＩ ＮＡ ＸＰ Ｅ Ｌ０ＲＡＴ１ ０Ｎ ＥＮＧＩ ＮＥＥ ＮＧ ＲＩ
ｓ ｒｅ ． ２ ｅ ｉｓ Ｎｏ １ ０
２０ ０ ６年第 ４ 期
Ａｐ ． ０ ６ ｒ２ ０
文章 编号 ：Ｏ４ ５ １（Ｏ ６Ｏ一Ｏ ８一 Ｏ ｌＯ— ７６ ２Ｏ ）４ ２ ７ ２
为边坡 滑
２ １ 建立坐标 系及边界方程 ．
如图 １ 示， 所 坡面 Ｏ Ｄ为一条直线斜坡 ， 曲线
动面 。 为坡 高。 ， 为 坡度 ， 土体容 重 ， 为 内摩 擦角 ， ｈ ｉ ｉ 一１ ｎ 为 Ｃ 为粘结力 。为了使边 界方 程简化 ， 坡趾 处为 直角 坐标 系的 原 取
点 ， 立如图所示 的直角坐标系 。设滑动面与坡顶平面分别相交 建
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在采用极 限平 衡积 分 法进行 边 坡 分析 时 ， 立所 述平 面直 建 角坐标系 ， 既符合数学分析 习惯 ， 又可使 边坡 及滑 动 圆弧 方程最
式中 ：ｉＯ ｘ ／ １ ＋ｆ（ ） ｓ ＝ｆ ） ｘ ｎ （
ＣＳ ＝ １ ，１＋ ｆ ｘ ； Ｏ Ｏ ／／ ２ ， ） （
为简化 。提 出基 于简化 Ｂｓｏ 法原 理的边坡稳定分析 数值积分 ｉ ｐ ｈ
法， 完善了极限平衡法 的理论 ， 免 了条分法 分条 量算 的繁琐 工 避
作 。所述方法编制 的计算程序 ， 效 的提高 了计算 效率 和精度 ， 有
７ —— 土体容重 ，Ｎ ｍ ｝ ｋ ／３ ｇ ｘ ， ｘ——边界方程 ， （）ｆ ） （ 滑动面曲线方程 。
２３ 求解 安全 系数 的方 法 ．
ｆ 一 Ｌ ——— ——— — ————— ————一 （） ３
在岩土工程领域边 坡稳定 分析 这一 重 大领 域 中， 限平衡 极 法是人们最早提 出的一类方 法 ， 也是 在实 际工 程运 用 中最广泛
采用的最成熟的一类方法 ， 根据假定 所满 足的平衡 条件 不同 ， 有 Ｆ ｌｉ 瑞典条分法 ， ｅｎｕ ｌ ｓ 简化 Ｂｓｏ 法 等方 法 ， ｉ ｐ ｈ 但各类 方 法的计算 过程都非常复杂 ， 一般都需要手工计算 。 计算效率低 ， 鉴于计算机 和数值计算的发展 ， 出了基于极 限 平衡 法原 理 的数值 积分 方 提
可获得该法较高精度的数值解。
参考文分公式 （） 超越 方程 ， ｉ ｐ ｈ ５为 方程
的右边隐含安全系数 ， 因而不能 直接求 出安全 系数 ， 一般 可采 用
［］ 陈 仲 颐 ， 景 星 ， 洪 瑾． 力 学 ［ ． １ 周 王 土 Ｍ］ 北京 ： 华 大 学 出 版社 ， 清
Ｉ １ ＝
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（≤ｘ ｍ） Ｏ ￣ｈ
（≥ ｈ ｘ ｍ）
∑△ｘ ・（１ Ｉ ｌ （）ｘ ； ｆＸ ＝ ｘｄ ） ｆ
则（ ） ２ 式可变形 为 ： ＋
２ ２ 建立极限平衡 法的数值积分模型 ． 根据 Ｆ ｌ ｎｕ 瑞典法可知 ： ｅｌ ｉｓ ｅ
／
与 Ａ Ｘ，）Ｂ ｘ，） ， 滑动 面 Ａ Ｃ曲面方程表示为 ｆｘ。 （ｌＯ 、（２ｈ点 边坡 Ｂ （）
ｘ， ＋
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囤 １ 直角坐标 系下边坡稳定分析模型
圉 ２ 取边坡微块受力机理
则， 边坡的边界方程 为：
ｒ ０ （≤ Ｏ ） ）
根 据积分定 义有 ：
ｎ
中图分 类号 ：＇８ ４７ 文献标 识码 ： Ｄ ２ ． １ Ｉ Ｂ
基 于极 限平衡 原 理 的边 坡 稳定 分析 的数 值 积 分解 法
陈华 明， 盛建 龙
（ 汉科技大学 ， 武 湖北 武 汉 ４ ０ ８ ） ３０ １ 摘 要： 通过 建立适于边坡稳定分析 简单的平 面直 角坐标 系， 出了基 于用 简单条 分法和 简化 Ｂｓ ｏ 导 ｉ ｐ法极 限平衡 方法 ｈ
ｆ 一 — — — — — — — Ｌ — — — — 一
（） ２
Ｉ Ｆ（） ｆ ）ｓ ａ ｘ ｇｘ 一 （ ］ｉ ｄ ｘ ｎ
（） ４
∑ ｗ ・ｓ ａ ｉｉ ｎ
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西
２８ ８
部
探
矿
工
程
Ａｐ．０ ６ ｒ２ ０
ＮＯ ４ ．
（） 可以变形为 ； ３式
ｏ 积分法边坡 Ｆ ．６２ ｐ 一１３５ 。较瑞典积分法计算结果偏大， 符合
一
Ｊｃ［）ｆ］ ・甲（ａｔ／ｘ ｉ＋（一ｘ・ ｔ｝。＋ｎ） ｛ ｇ （ ７ａ／ｓ ａｆ ｘ ） ｎ ｃ ｄ
（） （） ｘ ＿ｆｘ］ ｄ ｘ
（） ５
般结论 。
、
－
４ 结论
法 ， 制了相应 的计算程序 。 编
２ 分 析原 理
ｔｎ ． ｆ（ ｉ ， ａ Ｏ一 ｘ）
∑ｗ ・ ｉＯ ｓ ， ｎ
从 图 ２中可 以看 出 ：
ｓ Ｏ ｘ ／ ／ ｉ ｉ （ｉ ￣ ｎ —ｆ ） １
ｃｓｉ ／／ｑ ７ ｏａ＝１ 、Ｔ ，
，
Ｗ ＝△） ｇ ） （ｉ ・ ｉ （ （ 一ｆ） ］ 。 ｉ ［ （ ）
原理的数值积分解法， 大大的减少 了计算量 ， 而更加 准确 的计 算了边坡稳定 的安 全 系 ， 用 Ｍａａ 从 数 并 ｔｂ编程语 言编写 了 ｌ
相 应 的 计 算 程序 。
关键词 ： 边坡稳定 ； 限平衡 法ｉ 极 数值积分
１ 概 述
根据简化 Ｂｓｏ 法可知 ： ｉ ｐ ｈ
∑ （ △ ）＋ｗｉ ａ ｇ ／ ｃｓｉ－ａ Ｓ ｛ ｃ・ （ ｉ ・ｔｎ ） （ｏＯｑ ｔｎＯ ） ／
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总第 １ ０ ２ 期
西部探矿工程
Ｗ ＥＳ Ｔ— ＣＨＩ ＮＡ ＸＰ Ｅ Ｌ０ＲＡＴ１ ０Ｎ ＥＮＧＩ ＮＥＥ ＮＧ ＲＩ
ｓ ｒｅ ． ２ ｅ ｉｓ Ｎｏ １ ０
２０ ０ ６年第 ４ 期
Ａｐ ． ０ ６ ｒ２ ０
文章 编号 ：Ｏ４ ５ １（Ｏ ６Ｏ一Ｏ ８一 Ｏ ｌＯ— ７６ ２Ｏ ）４ ２ ７ ２
为边坡 滑
２ １ 建立坐标 系及边界方程 ．
如图 １ 示， 所 坡面 Ｏ Ｄ为一条直线斜坡 ， 曲线
动面 。 为坡 高。 ， 为 坡度 ， 土体容 重 ， 为 内摩 擦角 ， ｈ ｉ ｉ 一１ ｎ 为 Ｃ 为粘结力 。为了使边 界方 程简化 ， 坡趾 处为 直角 坐标 系的 原 取
点 ， 立如图所示 的直角坐标系 。设滑动面与坡顶平面分别相交 建