易学通·重难点一本过高三数学 数列(人教版)：第三章 等比数列 Word版含解析
(完整版)等比数列知识点总结
a1 n -mn 等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：a n= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1， q 称为公比2、通项公式：a = a q n -1 = a1 q n = A ⋅ B n (a ⋅ q ≠ 0, A ⋅ B ≠ 0) n 1 q1，首项： a ；公比： q推广：a = a nmq n -m ⇔ q n -m =a⇔ q = a naamm3、等比中项：（1） 如果 a , A , b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即： A 2 = ab 或 A = ±ab11 n n 1 n 1 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为 相反数）（2） 数列 {a }是等比数列 ⇔ a2= a - ⋅ a +4、等比数列的前 n 项和 S n 公式：（1） 当q =1时， S n = na 1（2） 当q ≠1时，a (1 - q n )S ==n1- qa - a q1n1- q= a - a1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' 1- q 1- q（ A , B , A ', B ' 为常数）5、等比数列的判定方法：（1） 用定义：对任意的 n ，都有n +1 = qa 或 n n +1 = q (q 为常数，a a n n≠ 0) ⇔ {a } n为等比数列a a nn a na（2） 等比中项：a 2= a n +1 a n -1 (a n +1n -1 ≠ 0) ⇔ { } n为等比数列（3） 通项公式：= A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) ⇔{a }为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若a n= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1或a n +1 = qa n ⇔ {a n } 为等比数列7、等比数列的性质：（1） 当q ≠1时①等比数列通项公式a a nn n mt 3 a = a q n -1 = a1 q n = A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) n 1q是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 q ；②前n 项和a (1- q n ) a - a q n a a S = 1 = 1 1 1 - 1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' n1- q 1- q 1- q 1- q，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
易学通·重难点一本过高三数学 导数(人教版)：第三章 导数的综合应用 含解析
重点、难点列表： 重点 名称 重要指数 重点、难点1 利用导数解决函数零点问题★★★★★重点、难点2 用导数解决与不等式有关的问题 ★★★★★重点、难点3 利用导数证明、解不等式问题 ★★★★★重点、难点详解：重点、难点1:利用导数解决函数零点问题【要点解读】1．方程()0f x =有实根函数()y f x =的图象与轴有交点函数()y f x =有零点．2．求极值的步骤：①先求'()0f x =的根0x （定义域内的或者定义域端点的根舍去）; ②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x 为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则x为极大值点。
3．求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点,也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值，大前提是要考虑函数的定义域。
4．函数()f x=的根,所以可通过解方程得零点，y f x=的零点就是()0或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标。
【考向一】根据零点求参数取值（范围）【例题】【2017届山西怀仁县一中高三上期中数学】已知函数()ln=.f x x x（1）若函数2()()2=+++有零点，求实数a的最大值；g x f x x ax【答案】(1）3-;.【解析】【考向二】零点个数【例题】【2017届江苏苏州市高三期中调研数学试卷】已知()()32310f x ax x a =-+>，定义()()(){}()()()()()(),max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪==⎨<⎪⎩． （1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =，求实数的取值范围；（3）若()ln g x x =，试讨论函数()()0h x x >的零点个数．【答案】(1）()f x 的极大值为1，极小值为241a -；（2）2a ≤；（3)当02a <<时， ()h x 有两个零点;当2a =时,()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点．。
(精品等比数列知识点总结
(精品等比数列知识点总结等比数列是数学中的一个重要概念，它在代数、几何等学科中都有广泛的应用。
下面是精品等比数列的知识点总结：一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
通常用a1，a2，a3，…，an表示一个等比数列，其中a1是首项，r是公比。
例如，1，2，4，8，16，32，64，...就是一个等比数列，其中首项a1=1，公比r=2二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是指通过首项和公比可以求得数列中任意一项的公式。
通项公式为：an=a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示首项，r表示公比。
例如，对于数列1，2，4，8，16，32，64，...，我们可以通过n来求得数列中的任意一项。
其中，首项a1=1，公比r=2，假设要求第6项，代入公式中得到a6=1*2^(6-1)=32三、等比数列的性质1.公比为零或负数时，数列不存在。
当公比r为0时，根据通项公式，数列中的所有项都为0，而等比数列至少要有一个非零项；当公比r为负数时，根据通项公式，数列中的项会在正负之间来回变换，不满足等比数列的定义。
2.公比大于1或小于-1时，数列的项会随着n的增大趋于无穷大或无穷小。
当公比r大于1时，数列中的项会随着n的增大趋于无穷大；当公比r小于-1时，数列中的项会随着n的增大趋于无穷小。
3.公比介于-1和1之间时，数列的项会趋于0。
当公比r介于-1和1之间时，数列中的项会随着n的增大趋于0。
4.等比数列的和等比数列的所有项的和称为等比数列的和，记作Sn。
当公比r为1时，等比数列变为等差数列，求和公式为：Sn=n*(a1+an)/2当公比r不为1时，等比数列的和公式为：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中n为项数。
四、等比数列的常见应用1.等比数列在财务和投资领域的应用等比数列的通项公式可以用于计算利息复利，投资收益率等问题，帮助分析和预测资金的增长趋势。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
高中数学等比数列知识点总结归纳
高中数学等比数列知识点总结归纳高中数学中等比数列是必考之一，等比数列是高中数学的一个重要知识点也是一个难点，很多人在学完等差数列之后再学等比数列就更容易相互混淆了。
下面是小编为大家整理的关于高中数学等比数列知识点总结，希望对您有所帮助!等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.等比数列知识点1.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
等比数列知识点总结与典型例题 答案
【答案】448；
∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,
∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.
类型五：等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
类型六：等比数列的判断与证明
例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？
思路点拨：由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断{an}类型.
举一反三：
【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。
类型五：等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.
总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为 ，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。
【答案】p=2或p=3；
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
高三数学(理)等比数列和等差数列 知识精讲 人教版
高三数学（理）等比数列和等差数列 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：等比数列和等差数列二. 重点、难点：1. 等差数列（1）定义：d a a n n +=+1*N n ∈（2）关键量：d a ,1（3）通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a a m n )(-+=（4）前n 项和：n a a d n n na S n n ⋅+=-+=)(21)1(2111 （5）① 若q p n m +=+∴q p n m a a a a +=+ ②}{q pa n +成等差数列③}{)1(n k kn S S --N k ∈，1>k 成等差数列④),0(+∞∈αn a α成等比数列⑤任意两数b a ,有等差中项2b a + 2. 等比数列（1）定义：)0(1≠=+q q a a nn （2）关键量：1a ，q（3）通项：11-=n n q a a（4）前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n （5）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅}{n pa )0(≠p 成等比数列n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列 0>n a ，}{log n a a 0(>a 且)1≠a 成等差数列（6）任意同号实数b a ,，有等比中项ab ±【典型例题】[例1] 等差数列}{n a 中，35=n S ，11=n a ，2=d ，求1a 解：⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+==⋅-+==2)1(21352)1(1111n n na S n a a n n ⎩⎨⎧==⇒351a n 或⎩⎨⎧-==171a n[例2] 等差数列}{n a 中，p S k =，q S k =2，则=k S 3解：k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列，k k k k k S S S S S 232)(2-+=-∴)(33p q S k -=[例3] 等差数列}{n a 共12+k 项，所有项之和323，其中奇数项和为171，求=+1k a ，=k 解：171323171)(21)1()(2122121-=⋅++⋅+=+ka a ka a S S k k 偶奇 ∴81521711=⇒=+k k k ∴19172171719==+=S a a a ∴⎩⎨⎧==1989a k[例4] 等差数列}{n a ，}{n b 前n 项和为n S ，n T ，且2325++=n n T S n n ，求=∞→nn n b a lim 解：16310)12)((21)12()(211212121121121121--==-+-⋅+=++=------n n T S n b b n a ab b a a b a n n n n n n n n ∴35610lim ==∞→n n n b a212111)1()1(lim lim d dd n b d n a b a n n n n =-+-+=∞→∞→212121112121)1(21)1(21lim lim d d d dd n n nb dn n na T S n n n n ==-+-+=∞→∞→[例5] 数列}{n a ，213=S ，246=S （1）n n a a a S +++= 21，求n S 的最大值。
等比数列高考知识点总结
等比数列高考知识点总结等比数列是高中数学中一个非常重要的概念，不仅在高考中出现频率较高，而且在数学学习的后续阶段也经常被应用。
掌握等比数列的相关知识是高考数学理科考生的必备技能之一。
下面就从定义、基本性质、常见应用等方面进行总结。
一、等比数列的定义等比数列指的是一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项的公比倍。
具体地，如果一个数列满足对于任意正整数 n，都有a_{n+1} = a_n * q (q ≠ 0)，其中 a_n 为数列的第 n 项，q 为数列的公比，那么就称这个数列为等比数列。
二、等比数列的基本性质1. 等比数列的通项公式对于等比数列中的任意一项 a_n，都可以通过以下公式计算出来：a_n = a_1 * q^(n-1)其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。
2. 等比数列的前 n 项和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算出来：Sn = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。
3. 等比中项的计算对于等比数列中的任意两项 a_m 和 a_n，都可以通过以下公式计算出它们的等比中项：amn = sqrt(a_m * a_n)其中 sqrt 为平方根函数。
三、等比数列的常见应用1. 等比数列在复利计算中的应用等比数列经常出现在复利计算中。
当我们进行复利计算时，每一期的利息都是上一期利息的公比倍。
通过等比数列的通项公式和前 n 项和公式，我们可以轻松计算出复利的总额。
2. 等比数列在几何问题中的应用等比数列在几何问题中也经常被应用。
例如，当我们研究物体的成长、缩减或者某种特性的变化时，经常会遇到等比数列。
通过等比数列的性质，我们可以方便地分析物体的发展趋势。
3. 等比数列在数列求和中的应用等比数列的前 n 项和公式在数列求和中扮演着重要的角色。
考生掌握等比数列的前 n 项和公式，可以快速求解高考中出现的相关题型，提高解题效率。
等比数列知识点总结PPT
02
03
定义
等比数列的极限是指当等 比数列的项数趋于无穷大 时，数列的通项趋于的某 个常数。
性质
等比数列的极限存在且唯 一，当且仅当公比的绝对 值小于1。此时，极限值 为首项除以(1-公比)。
应用
等比数列的极限在数学分 析、概率论等领域有着广 泛的应用，如求解某些无 穷级数的和等。
等比数列与其他知识点的综合应用
06
等比数列常见误区与解题技巧
常见误区及避免方法
误区一
忽视等比数列的首项和公比是否 为零。在解决等比数列问题时， 必须注意等比数列的首项和公比 都不能为零，否则会导致数列无
法构成或计算错误。
误区二
混淆等比数列的求和公式与通项 公式。等比数列的求和公式和通 项公式是解决等比数列问题的关 键，混淆两者会导致计算错误。
02
等比数列求和公式
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
有限项求和公式
01
等比数列前n项和公式：$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中 $a_1$是首项，$r$是公比，$n$ 是项数。
02
特别地，当$r = 1$时，前n项和 公式变为：$S_n = na_1$。
技巧三
构造等比数列求解。对于一些看似不是等比数列的问题， 可以通过构造等比数列的方法，将其转化为等比数列问题 进行求解。
经典例题解析
01 例题一
已知等比数列{an}中，a1=2， q=3，求a4。
02 解析
根据等比数列的通项公式 an=a1*q^(n-1)，将a1=2， q=3，n=4代入公式，可得 a4=2*3^(4-1)=54。
利用求和公式进行数学推导和 证明。
等比数列知识点归纳总结公式
等比数列知识点归纳总结公式一、等比数列的定义。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，即frac{a_n}{a_n - 1}=q(n≥2)，a_1≠0，q≠0。
二、等比数列的通项公式。
1. 通项公式的推导。
- 由等比数列的定义可知：a_2=a_1q，a_3=a_2q=a_1q^2，a_4=a_3q =a_1q^3，以此类推可得等比数列的通项公式a_n=a_1q^n - 1。
2. 通项公式的应用。
- 已知a_1（首项）和q（公比），可以求出等比数列的任意一项a_n。
- 已知等比数列中的两项a_m和a_n，可以通过通项公式建立方程求出q或a_1。
- 根据通项公式a_n=a_1q^n - 1，如果a_n，a_1，q，n这四个量中已知其中三个，就可以求出第四个量。
三、等比数列的前n项和公式。
1. 公式的推导（错位相减法）- 设等比数列{a_n}的首项为a_1，公比为q，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_1q + a_1q^2+·s+a_1q^n - 1- qS_n=a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1+a_1q^n- - 得：(1 - q)S_n=a_1-a_1q^n- 当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}；当q = 1时，S_n=na_1。
2. 前n项和公式的应用。
- 已知a_1，q，n，求S_n，需要先判断q是否等于1，然后选择相应的公式进行计算。
- 在等比数列的实际应用问题中，如增长率问题、复利计算问题等，通常可以建立等比数列模型，利用前n项和公式求解。
四、等比数列的性质。
1. 若m,n,p,q∈ N^+，且m + n=p + q，则a_ma_n=a_pa_q- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^+）时，a_ma_n=a_k^2。
高三数学等比数列知识点
高三数学等比数列知识点数学在高中阶段是一个重要的学科，其中等比数列也是其中的一个重要知识点。
等比数列是数学中常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的比值都相等。
在高三数学中，学生需要掌握等比数列的基本概念、性质和应用。
本文将分为以下几个部分介绍高三数学等比数列的相关知识。
一、等比数列的基本概念等比数列是指一个数列中的每一项与其前一项的比值相等。
具体而言，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ...，相邻的两项之间满足如下关系：a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = ...这个比值称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
此外，等比数列的第一项a₁和公比q也是等比数列的两个重要要素。
二、等比数列的性质1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过观察数列的规律得到。
对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁为首项，q为公比，数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
这个公式可以方便地计算数列中任意一项的值。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和值。
对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ...，其前n项和Sₙ的计算公式为：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)这个公式是通过数列的首项、公比和项数来计算前n项和的值。
3. 等比数列的性质等比数列具有一些重要的性质，包括：（1）等比数列中，任意两项的比值都是相等的。
（2）等比数列当公比q大于1时，数列会呈现出递增的规律；当公比q小于1且大于0时，数列会呈现出递减的规律。
（3）等比数列中，如果首项a₁大于0且公比q大于1，数列会趋向无穷大；如果首项a₁大于0且公比q小于1且大于0，数列会趋向0。
（4）等比数列中，相邻两项之间的比值等于公比的平方。
三、等比数列的应用1. 等比数列在实际生活中的应用等比数列在现实生活中有许多应用。
例如，财务领域中的利息计算、人口增长的模型、物理领域的衰减和增长模型等都可以用等比数列来进行建模和计算。
易学通·重难点一本过高三数学 数列(人教版)：第三章 等比数列 含解析
重点列表：重点 名称重要指数 重点1 等比数列基本量的计算 ★★★★ 重点2数学思想在等比数列中的应用★★★★重点详解：重点1:等比数列基本量的计算【要点解读】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2。
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量1nna n q a S ，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组）求关键量1a q 和，便可迎刃而解。
3。
232nnn n n S SS S S ，－，－未必成等比数列(例如：当公比1q n ＝－且为偶数时,232nnn n n S SS S S ，－，－不成等比数列；当11q q n ≠－或＝－且为奇数时，232nnn n n S S S S S ，－，－成等比数列）,但等式(2232(·))nn n n n SS S S S －＝－总成立。
4。
等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形，二是等比中项的变形,三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2）巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．【考向1】等比数列的判定与证明【例题】【2016高考新课标3理数】已知数列{}na 的前n项和1nn Sa λ=+，其中0λ≠．（I)证明{}na 是等比数列，并求其通项公式;（II ）若53132S=，求λ．【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n naλλλ;（Ⅱ)1λ=-． 【解析】（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ,λ-=111a ，01≠a．由n na Sλ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1．由01≠a，0≠λ得0≠n a ,所以11-=+λλn n a a . 因此}{na 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n nS )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-． 【名师点睛】1。
易学通·重难点一本过高三数学 数列(人教版)：第四章 数列的求和 含解析
重点列表：重点名称重要指数重点数列的求和★★★★重点详解:重点：数列的求和【要点解读】(1）倒序相加法:如果一个数列｛a｝的前项中首末两端等“距离"的两n项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法,如等差数列的前项和即是用此法推导的．(2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和即可用此法来求,如等比数列的前项和就是用此法推导的．（3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（4）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减．（5)并项求和法：一个数列的前项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()1()nna f n ＝－类型，可采用两项合并求解．【考向1】分组求和法【例题】【2015高考福建】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． (Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）设22n a nb n -=+,求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】（I)设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩， 解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（II)由(I)可得2n n bn =+． 所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++ ()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+- ()112255=-+112532101=+=．【名师点睛】1.分组求和法的常见类型：（1)若{}{}n n n n n a b c b c ±＝，且，为等差或等比数列,可采用分组求和法求{na }的前项和． （2)通项公式为,nn n b a c n n ⎧⎨⎩为奇数，为偶数＝的数列，其中数列{}{}n nb c ，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2。
高三数学第三讲等比数列课件 人教版
• ⒋在等 比数列 {an} 中， a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则 a5+a6=_____ . a6+a7=_____ 480
5.正项等比数列an 中， (1)若a5 a6 9, 求 log 3 a1 log 3 a2 (2)若q=2,且a1a 4a 7 log 3 a10的值 a 28 210 , 则a 3a 6a 9 a 30 .
(1)当给出的等比数列没有 说明公比q的取值 情况，应用前n项和公式时，一定要分 情况讨论； ( 3)数值不为零的常数列， 既是等差数列，又是等 比 数列.
( 2)注意a , b的等比中项 ab与几何平均数 ab的区别；
7、等比数列的性质： (1)若m n p q , ( m , n, p, q为非零自然数）， 则a m a n a p a q ; ( 2)若m n 2 p, 则a m a n a ;
2008届高三数学第一轮
一、知识要点：
1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项 的比值等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.
2、通项公式 : an a1 q n1 推广：an am q ( n m ) ( n m; n, m N * )
3.等比中项 如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等比数列，则 A叫a、b的等比中项．A2 a b A a b
2 （ 2 ）等差中项：a n 1 a n 2 a n ( n N *)
（ 3 ）前n项和公式：S n k k q n ( k、q为非零常数, n N * ) （ 4 ）通项公式：a n k q n1 ( k、q为非零常数, n N * )
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*重点列表:重占名称重要指数重点1等差、等比数列的基本运算★★★★重点2等差、等比数列的判定★★★重点3有关数列求和的考查★★★★重点4有关数列与不等式的综合考查★★★重点5数列中的S大项或S小项问题★★★»重点详解：【考向】等差、等比数列的通项公式及前n项和公式.【例题】)已知U｝是等差数列，｛ZU是等差数列，且&=3, &=9, a,=&, a14=&. (I )求的通项公式；(II)後C：F a，b n，求数列｛c,J的前/?项和.【答案】(I ) a tl=2n-l (TT) n2 +【解析】⑴等比数列⑷｝的公比？= , = 7=3,^2 J所以与=么=1，b4=b3q = 21 .<1设等差数列的公差为因为％=灸=1，a14 =i4 = 27 ,所以l + 13d = 27,即d=2.所以〜=2«—1 (« = 1，2, 3,…).(II)由(I)知,a n =2n-l, b n = 3W_1.因此c…:6z,,+h 二2/2-1 + 3"—、从而数列｛cj的前项和5。
=1+3+."+(2M -1) + 1+3 + ." + 3'卜1/I (l + 2n -1) 1-3H_ 2 1-33Z,-12=AT + ----- .2【名师点睛】解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运川条件转化成关于⑴和d的方程(组); ②巧妙运用等差、等比数列的性质.问题进行解答，之后再还原成实际问题.重点2:等差、等比数列的判定【要点解读】1、等差数列的判断方法:①定义法：6Z,7 + 1-6Z… =火常数)<=> W为等差数列。
②屮项法：等差屮项：若A AZ?成等差数列，则A叫做与的等差中项，HA = ^。
22a ll+[=a n+a n+2 <=> U为等差数列。
人教版高一上 第三章数列复习小结 课件
You made my day!
我们，还在路上……
当q=1时， Sn=na1
等比数列
• 等比数列{an}的性质
(1)当q>1,a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是递增数列;当 q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是递减数列;当q=1 时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列.
(2) an≠0,且anan+2>0. (3) an=amqn-m(n,m∈N*). (4) 当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq
例题
已知:an=1024+lg21-n (lg2=0.3010) n∈N*.问多 少项之和为最大?前多少项之和的绝对值最小?
解：1
aann11100224(14nlng2)lg200
1024n10241 3401n3403 lg2 lg2
∴ n=3402
例题
2 Sn=1024n+(-lg2)n(n-1)/2
当Sn=0或Sn近于0时,其和绝对值最小 令Sn=0，即Sn=1024n+(-lg2)n(n-1)/2=0 得： n=2048/lg2+16804.99 又n∈N* ∴n=6805
ห้องสมุดไป่ตู้
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
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第三章 等比数列重点1：等比数列基本量的计算 【要点解读】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量1n n a n q a S ，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a q 和，便可迎刃而解.3.232n n n n n S S S S S ，－，－未必成等比数列(例如：当公比1q n ＝－且为偶数时，232n n n n n S S S S S ，－，－不成等比数列；当11q q n ≠－或＝－且为奇数时，232n n n n n S S S S S ，－，－成等比数列)，但等式(2232(·))n n n n n S S S S S －＝－总成立.4.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．【考向1】等比数列的判定与证明【例题】【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 【解析】（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a ． 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1． 由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-． 【名师点睛】 1.等比数列的判定方法 (1)定义法：1n na q a ＋＝ (常数) ()*n N ∈⇔n a {}是等比数列； (2)等比中项法：0n a ≠时，212n n n a a a ⋅＋＋＝()*n N ∈⇔n a {}是比差数列； (3)通项公式法：(0)n n a cq c q ≠＝，是常数) ()*n N ∈⇔n a {}是等比数列；2.由10n n a qa q ≠＋＝，，并不能立即断言n a {}为等比数列，还要验证10a ≠.【考向2】等比数列基本量的计算【例题1】【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试】已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足3564a a ⋅=，22a =，则1a =（ ）A ． 4B ． 2C ． 1D ．12【答案】C【例题2】【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考】已知数列}{n a 的前项和为n S ，)1(34-=n n a S ，则数列}{2n a 的前项和=n T . 【答案】1516161-+n【名师点睛】1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对11q q ≠＝与分类讨论，防止因忽略1q ＝这一特殊情形导致解题失误．【考向3】等比数列的性质【例题】【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）】已知等比数列{}n a 中,262,8a a ==,则345a a a =（ ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==.【名师点睛】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m n p q ＋＝＋，则··m n p q a a a a ＝”，可以减少运算量，提高解题速度.2.等比数列的其它性质 （1）m n m n a a q -＝（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即2k k m k m a a a ＋＋，，，…仍是等比数列，公比为mq .（3）当11q q n ≠－，或＝－且为奇数时，232n n n n n S S S S S ，－，－仍成等比数列，其公比为n q .3.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.重点2：数学思想在等比数列中的应用【要点解读】1.函数的思想.（1）通项公式11n n a a q －＝可化为1nn a a q q＝()，因此n a 是关于的函数，即{}n a 中的各项所表示的点()n n a ，在曲线1n a q y q＝()x上，是一群孤立的点. （2）等比数列{}n a 的单调性：当1110010q a q a ＞，＞或＜＜，＜时，数列{}n a 是递增数列； 当1110010q a q a ＞，＜或＜＜，＞时，数列{}n a 是递减数列；当1q ＝时，数列{}n a 是常数列. 2.分类讨论思想.当1q ＝时，{}n a 的前项和11n S na q ≠＝；当时，{}n a 的前项和11(1)11n n n a a qa q S q q----＝＝.等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论，此处是常考易错点.3.方程思想：等比数列中有五个量1n n a n q a S ，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解.【考向】数学思想在等比数列中的应用【例题1】【2016河北衡水中学高三一调，理】已知n S 和n T 分别为数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和，且41a e =，51n n S eS e +=-，n b n a e =，()n N +∈，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6 【答案】C【例题2】【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】定义：数列{}n a 对一切正整数均满足212n n n a a a +++>，称数列{}n a 为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法： ①等差数列{}n a 一定是凸数列；②首项10a >，公比0q >且1q ≠的等比数列{}n a 一定是凸数列； ③若数列{}n a 为凸数列，则数列1{}n n a a +-是单调递增数列；④若数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列. 其中正确说法的序号是_____________. 【答案】②③④【例题3】【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】在数列{}n a 中，已知12a =，1=321n n a a n ++-．（1）求证：数列{}+n a n 为等比数列；（2）记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前项和为n T ,若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．【答案】（1）详见解析（2）8194λ≤≤【解析】（1）∵1=321n n a a n ++-,∴)(311n a n a n n +=+++． 又12a =，∴0,0>+>n a a n n ,故311=++++na n a n n ，{}n a n ∴+是以为首项，公比为的等比数列 ………………………4分（2）由（1）知道+3nn a n =，3nn b n λ∴=-. ………………………6分123(1)333(123)(31)22n n n n n T n λλ+∴=+++-++++=--L L . ………………8分若3T 为数列{}n T 中的最小项，则对*n ∀∈N 有3(1)(31)39622n n n λλ+--≥-恒成立 即12381(12)n n n λ+-≥+-对*n ∀∈N 恒成立 ……………………10分 当1n =时，有13365T T λ≥⇒≥； 2 当2n =时,有239T T λ≥⇒≥； ………………12分3 当4n ≥时，212(4)(3)0n n n n +-=+->恒成立,1238112n n n λ+-∴≤+-对4n ∀≥恒成立. 令12381()12n f n n n +-=+-，则0)12)(103()1(162)262(3)()1(2221>-+-+++-=-++n n n n n n n f n f n 对4n ∀≥恒成立, 12381()12n f n n n +-∴=+-在4n ≥时为单调递增数列. (4)f λ∴≤，即814λ≤. ………………………15分 综上，8194λ≤≤. ………………………16分 【名师点睛】1.分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．2.常用技巧：(1)若{}n a 是等比数列，且(){}*00()1n a n a n log a a a >∈>≠N ，则且成等差数列，反之亦然．(2)三个数成等比数列可设三数为b b bq q，，，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为3b q，b bq q ，，3bq .1.【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）】在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ ）A ．3B ．6C ．27D ．92.【广东省惠州市2017届第二次调研考试】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a ⋅=-，则110a a +=（ ）（A ） （B ）7- （C ）5- （D ）3.【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12||||||n b b b +++= （ ）A ．14n- B ．41n-C. 143n - D ．413n -4.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】设n S 是等比数列{}n a 的前项和为425S S =，则3825a a a 的值为（ ） A ．2-或1- B ．或 C ．2±或1- D ．1±或5.【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟考试】已知正整数122016,,,a a a 成等比数列，公比()1,2q ∈，则2016a 取最小值时，q =（ ）A ．65 B ．54 C ．43 D ．326.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】设0a >，0b >，若2是4a 和2b的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22 B ．8 C ．9 D ．107.【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研】各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ．8.【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试】在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。