吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科高考总复习阶段测试卷(2014.9.29)
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三一轮复习阶段测试卷(第10周)数学理 Word版含答案
2014-10-15（一） 函数及其表示 1.6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－122.2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4.2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)5.3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) （二） 反函数 6.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )（三） 函数的单调性与最值 7.2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)8.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)9.21．[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．10.12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 11.15．[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)12.21．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．（四） 函数的奇偶性与周期性13.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)2．[解析] 2．A. 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.3． [解析]7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．4．[解析]2．C. 由x 2－x >0，得x >1或x <0.5． [解析] 3．C 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. (二) 反函数(高中针对指对函数)6．[解析] 12．D. 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．（三） 函数的单调性与最值 7．[解析]2．A 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.8.[解析] 7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 9.解法一：21.(1).可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|x ∴+<|1|x +>，1∴-1x <-或1x <-1x >- 所以函数()f x 的定义域D 为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞；(2).22(2)(22)2(22)'()x x k x x f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-，由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(111)0x x +++-+<，1x ∴<-或11x -<<-，结合定义域知1x <-11x -<<-，所以函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；(3).由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，1x ∴=-或1x =-或3x =-或1x =，6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11--11->- 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--．解法二：解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++->()()222+3210xx k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<-故222+3=021=0x x k x x k ++++-，均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D +++++-∈则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++令()'0g x =，注意到2,11k k <-+<-，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-71x =- 注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知 在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >，()g x 单调递增在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <，()g x 单调递减故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增.（3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，即，即2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++ ()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦ 22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->，故此方程()*有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-+=--注意到6k <-，故，1211,13x x =->=-<-，故89,x x D ∈ (103110x x -=--=>，故10x D ∈4112420k k x x -----===>故11x D ∈结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像 可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃【品题】函数题（1）考查了数轴标根法，4个根，学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.（2）考查了复合函数单调性，利用导数作工具，这个题还是很容易的，而且不涉及到分类讨论，就是题目的根太多太多了.（3）利用数形结合的思想，容易知道所求的范围，接下来只要根不求错，那就没问题了.总的来说，本题就是根太多，结合图像，不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点，也是难点，平时努力了，也未必有大收获.附：()g x x 3x5x1-1x2x 6x 4()f x 的大致图像为103x 1x8x9x 2x 41110. [解析] 12．1 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 11.[解析] 15．①③④ 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 12.解：21． (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． (四) 函数的奇偶性与周期性。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学总复习阶段测试卷6 理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷6理选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合212 {|10},{|log} A x x B x y x =-<==，则A∩B等于（）A．{|1}x x>B．{|01}x x<<C．{|1}x x<D．{|01}x x<≤2．已知α∈(π2，π)，tanα＝－34，则sin(α-π)＝()A.35B．－35 C.45D．－453．在△ABC中，“3sin A>”是“3πA>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若cos22π2sin4αα=-⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos sinαα+的值为（）Ａ．72-Ｂ．12Ｃ．12-725．在△ABC中，若tanA＋tanB＝1- tanAtanB，则cosC的值是()A．－22 B.22 C.12D．－126．函数2sin2xy x=-的图象大致是（）7．若角α的终边在直线y＝2x上，则ααααcos2sincossin2+-的值为()A．0 B.34C．1 D.548．ABC∆的内角A B C、、的对边分别是a b c、、,若2B A=,1a=,3b=,则c=（ ）A．．2CD ．19．已知3()f x x ax =-在[)1,+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．]3,(-∞ B ．)3,1( C ．)3,(-∞ D ．),3[+∞10．函数()()x x x f 21ln -+=的零点所在的大致区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）11．)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部分图象如图,若2||AB BC AB =⋅,ω等于（ ）12πB ．4πC ．3πD ．6π12．函数()x f 是R 上的偶函数，在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b <<源:学科网] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为 .14．若sin cos θθ+=，则tan 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ___________. 15．已知213sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πα的值等于 . 16．已知函数)(x f y =()x ∈R 满足1(1)()f x f x +=-,且[1,1]x ∈-时,2)(x x f =,则)(x f y =与x x g 5log )(=的图象的交点个数为____________.三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题12分）已知函数f(x)＝4cos ωx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx (ω>0)的最小正周期为2π. (1)求ω的值； (2)讨论f （x ）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的单调性．18．（本小题12分）已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈=-2,0,54sin πααπ求2cos 2sin 2αα+的值求函数x x x f 2cos 212sin cos 65)(-=α的单调递增区间。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学总复习阶段测试卷(第31周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学总复习阶段测试卷（第31周）理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列四个命题中，全称命题是（ ）A ．有些实数是无理数B ．至少有一个整数不能被3整除C ．任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D ．存在一个三角形不是直角三角形2．函数41lg)(+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．{}14<<-x xB ．{}41>-<x x x 或 C ．{}1<x x D ．{}14>-<x x x 或3. 设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如下图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{}|21x x -≤< B. {}|22x x -≤≤ C ．{}|12x x <≤D ．{}|2x x <4．已知函数)31(12)(≤≤+=x x x f ，则()A ．)1(-x f =)20(22≤≤+x xB ．)1(-x f =)42(12≤≤+-x xC ．)1(-x f =)20(22≤≤-x xD ．)1(-x f =)42(12≤≤-x x5．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则 （ ） A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．若函数)(x f 的唯一一个零点同时在区间（0，16）,（0，8）,（0，4）,（0，2）内，则下列结论中正确的是（ ）A ．)(x f 在区间（0，1）内一定有零点B ．)(x f 在区间[)16,2内没有零点C ．)(x f 在区间（0，1）或（1，2）内一定有零点D ．)(x f 在区间（1，16）内没有零点 7．设nS 为数列{}n a 的前n 项和，249n a n =-，则nS 取最小值时，n 的值为 ( )A ．12B ．13C ．24D ．258．“10≤<a ”是“关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知()f x 是R 上的偶函数，对任意∈x R, 都有(6)()(3)f x f x f +=+，且(1)2f =，则(2009)f 的值为 ( )A ．0B ．2-C ．2D ．200910．设βα、是方程0622=++-k kx x 的实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）A ．494-B ． 8C ．18D ．1411．已知函数12)(2++=x x x f ，若存在实数t ，当[]m x ,1∈时，x t x f ≤+)(恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．312．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为 （ ）A ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-15520552x x x 或 B ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<<-155551x x x 或 C ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-550551x x x 或 D ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-0552552x x x 且 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．对于实数a (a ＞0且a ≠1), 函数f (x) = a x －2－3的图象过定点 .14．已知数列{}n a 满足n nn a a a a -+==+122,211(∈n N*)，则数列{}n a 的第4项是 .15．若函数)log 2(log 221x y -=的值域是)0,(-∞，则它的定义域是 .16．关于函数xxxf1lg)(2+=(0≠x，∈x R), 有下列命题：①)(xf的图象关于y轴对称；②)(xf的最小值是2lg；③)(xf在)0,(-∞上是减函数，在),0(∞+上是增函数；④)(xf没有最大值．其中正确命题的序号是.三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分) 若函数()2af x xx=-在定义域(]1,0上是减函数，求实数a的取值范围.18．(本题满分12分) 已知函数()2xf x=，1()22xg x=+.（1）求函数()g x的值域；（2）求满足方程()()0f xg x-=的x的值.19．(本题满分12分) 设数列{}na的前n项和为nS，满足22nn nS a=-(∈n N*)，令nnnab2=.（1）求证：数列{}nb为等差数列；（2）求数列{}na的通项公式.20．(本题满分12分) 某渔业个体户今年年初用96万元购进一艘渔船用于捕捞，规定这艘渔船的使用年限至多为15年. 第一年各种费用之和为10万元，从第二年开始包括维修费用在内，每年所需费用之和都比上一年增加3万元. 该船每年捕捞的总收入为45万元.（1）该渔业个体户从今年起，第几年开始盈利（即总收入大于成本及所有费用的和）？（2）在年平均利润达到最大时，该渔业个体户决定淘汰这艘渔船，并将船以10万元卖出，问：此时该渔业个体户获得的利润为多少万元？（注：上述问题中所得的年限均取整数）21．(本题满分12分) 已知函数)(xf的定义域为),0(+∞，对于任意正数a、b，都有pbfafbaf-+=⋅)()()(，其中p是常数，且0>p.1)2(-=pf，当1>x时，总有pxf<)(.（1）求)21()1(ff及（写成关于p的表达式）；（2）判断),0()(+∞在x f 上的单调性，并加以证明；（3）解关于x 的不等式1)45(2+>+-p x x f . 22．(本题满分12分) 已知函数)(1)(a x x a ax x f ≠--+=.（1）证明：对定义域内的所有x ，都有02)()2(=++-x f x a f . （2）当f(x)的定义域为时，求证：f(x)的值域为[]2,3--.（3）设函数g(x) = x2+| (x －a) f(x) | , 若2321≤≤a ，求g(x)的最小值.理科数学参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．)2,2(- 14．6 15．( 0, 2 ) 16．① ② ④三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（法一）任取12,(0,1]x x ∈且12x x <，由题意知12()()f x f x >，所以121222a a x x x x ->-，即12212()0a ax x x x -+->，…………………… 4分所以1212()(2)0a x x x x -+>，只需 1220a x x +<，即122a x x <-.因为12,(0,1]x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，122(2,0)x x -∈-，故2a ≤-.……………………10分（法二）因为函数()2af x x x =-在定义域(]1,0上是减函数，所以'220a y x =+≤在(0,1]上恒成立，所以22a x ≤-.设2()2g x x =-，因为()g x 在(0,1]上的最小值为2-，所以2a ≤-.……………………10分18．解：（1）11()2()222xxg x =+=+，因为0x ≥，所以10()12x<≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3] (5)分（2）由()()0f x g x -=得12202x x --=，当0≤x 时，显然不满足方程，即只有0x >满足12202x x --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±10分 因为20x >，所以21x =+2log (1x =. ……………………12分19．解：（1）因为22n n n S a =-(∈n N*)，则*2,n n N ≥∈时，11122n n n S a ---=-，此时，1n n n a S S -=-=11112222222n n n n n n n a a a a ------+=--，即1122n n n a a --=+. ………………………………………… 4分由1122a a =-得12a =. 由n n n a b 2=得1112a b ==.…………………6分当2≥n 时，1nn b b --=1122n n n n a a ---=21222211==---n n n n n a a ， 所以{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列. ……………………8分 （2）由（1）知，111(1)22n n b n +=+-=，即 2n na =12n +， 所以{}n a 的通项公式为 1(1)2n n a n -=+⋅.……………………12分20．解：（1）设从今年起，第n 年的盈利额为y 万元，则.96273239632)1(10452-+-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+-=n n n n n n y …………………………………3分由0>y 得01927332<+-n n ，∴.3643<<n 又∈n N*，且15≤n ，∴从今年起，第4年开始盈利. ………………………………………………6分（2）年平均利润为.5.1227396232)9623(2732739623=+⨯-≤+-=+--=n n n n n n n y (8)分当且仅当n n 9623=，即8=n 时年平均利润最大，此时，该渔业个体户共盈利1101085.12=+⨯（万元）. (12)分21．解：（1）取a=b=1，则(1)2(1).(1)f f p f p=-=故.……………………2分又pf f f f -+=⨯=)21()2()212()1(，且1)2(-=p f .得：1)1()2()1()21(+=+--=+-=p p p p p f f f .……………………4分（2）设,021x x << 则])()([)()()()(112111212p x f x x f x f x x x f x f x f -+=-⋅=-1()f x -21()x f p x =-由1,01221><<x x x x 可得，所以 p x xf <)(12，所以 0)()(12<-x f x f ，因此，),0()(+∞在x f 上是减函数. ………………………………………… 8分（3）由1)45(2+>+-p x x f 得)21()45(2f x x f >+-，又因为),0()(+∞在x f 上是减函数，所以214502<+-<x x .由0452>+-x x 得 1<x 或4>x ；由21452<+-x x 得21152115+<<-x ， 因此，不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<<<-2115412115x x x 或.……………………12分 22．（1）证明：212122)()2(+--+++--+-=++-x a ax x a a a x a x f x a f02211211=--++--+-=+--++-+-=a x ax a x x a x a a x a x x a ，∴ 结论成立. ……………………………………………………………… 4分（2）证明：x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(.当112,211,211,121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+x a x a a x a a x a 时,2113-≤-+-≤-x a , 即]2,3[)(--的值域为x f .…………………… 8分（3）解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=. 当ax a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥43)21(1)(,122时且；当.45)21(1)(,122-+-=+--=-<a x a x x x g a x 时 因为2321≤≤a ，所以21121≤-≤-a ，则函数)(x g 在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增, 在)1,(--∞a 上单调递减，因此，当1-=a x 时，g （x ）有最小值2)1(-a (12)分。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科高考总复习阶段测试卷(2014.9.15)
高三理科高考总复习阶段测试卷（2014.9.15）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上.1．函数y =的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-2．用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设()f x =min{2x , x+2,10-x} (x ≥ 0),则()f x 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）73.函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.34.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞5.已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A．8()33B．(3C ．48(,)33D．4(36．单位圆中弧AB 长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成弓形面积的2倍。
则函数()f x 的图像是（ ）C7.(07福建)已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的实数x 的取值范围是（ ）A.()1,1-B.()1,0C.()()1,00,1 -D.()()+∞-∞-,11,8.(07重庆)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）A.()()76f f >B. ()()96f f >C. ()()97f f >D. ()()107f f >9.（07山东）已知集合{}1,1-=M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<∈=+42211x Z x N ，则=N M （ ） A.{}1,1- B. {}1- C. {}0 D.{}0,1-10.(07山东)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ）A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,311.（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是（）A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 1 12.（07安徽）若对任意∈x R,不等式x≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A. a ＜-1B.a≤1 C.a＜1 D.a ≥1二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．13.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=14. （07湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. 15.(07山东)函数())1,0(13l o g≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n m 21+的最小值为 .16.(07重庆)若函数()1222-=--aax xx f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 。
【数学】吉林省东北师范大学附属中学2015届高三(理科)高考总复习阶段测试卷(第36周)
数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．等差数列及等比数列中，则当时有（ ） A ．B ．C ．D ．2. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A ．或 B ． C ． D ．或3. 若直线和直线关于直线对称，那么直线恒过定点( )A ．（2，0）B ．（1，－1）C ．（1，1）D ．（－2，0）4. 设若，则的值为 ( ） A ． B. C. D.5. 若函数()3xf x e x =-，x R ∈，则函数的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为( ) A ．34B ．1C ．54D ．747. 已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 的中点为()12,15N --，则E 的方程为( )A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 8. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D9. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，则下列结论成立的是( ){}n a {}n b ,0,02211>=>=b a b a 3≥n n n b a >n n b a =n n b a ≥n n b a ≤(2,3)A -(3,2)B --l (1,1)P AB l k 34k ≥4k ≤-344k -≤≤344k -≤≤4k ≥34k ≤-x k y l )1(2:1-=-2l 1+=x y 2l ,cos sin )cos (sin a a a a f =+21)(=t f t 2±222±22A ．若,,a b αβ⊂⊂且//a b ，则//αβB ．若,,a b αβ⊂⊂且a b ⊥，则αβ⊥C ．若//a α，,b α⊂则//a bD ．若,,a b αα⊥⊥则//a b 10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3613S S =，则612SS 等于( ) A.13 B.15 C.18 D.19 11. 在锐角中，若2C B =，则cb的范围（ ） A ．B ．)C ．()0,2D ．)12. 设()fx 是定义在x R ∈上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2) 上( )A ．是增函数且()0f x <B ．是增函数且()0f x >C ．是减函数且()0f x <D ．是减函数且()0f x >第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上）13. 将函数的图象向左平移个单位后，得函数的图象，则等于 .14. 设命题:p 22310x x -+≤，命题:q ()221(1)0x a x a a -+++≤.若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.15．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是_____． 16．已知直线0x y m ++=与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，OA OB AB +≥，那么实数m 的取值范围是________．三、解答题（要求写出必要的计算步骤和思维过程。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科高考总复习阶段测试卷(20141125)
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．满足｛a ｝⊆M ≠⊂｛a, b, c, d ｝的集合M 共有A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个2．下列各组函数是同一函数的是①3()2f x x =-与()2g x x x =-； ②()f x x =与2()g x x =；③0()f x x =与01()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A ． ①② B ． ①③ C ． ③④ D ． ①④ 3．下列各命题中，不正确的是 Ａ．若()f x 是连续的奇函数，则()0aa f x dx -=⎰Ｂ．若()f x 是连续的偶函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰Ｃ．若()f x 在[]a b ，上连续且恒正，则()0baf x dx >⎰Ｄ．若()f x 在[]a b ，上连续，且()0baf x dx >⎰，则()f x 在[]a b ，上恒正4．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都 时，)2007(f 的值为A ．2B ．－2C ．4D ．－45．已知扇形的周长是3cm ，面积是12cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 A ． 1B ． 1或4C ． 4D ． 2或46．是 A ． 最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的偶函数C ． 最小正周期为的奇函数D ． 最小正周期为的偶函数7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为A ．12-B ．12C ．22-D ．22π2π2(sin cos )1y x x =+-8．ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定9．若a ＞0，b ＞0，且函数32()422f x x ax bx =--+在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 A ．2 B ．3C ．6D ．910．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点 A ． 向左平移12π个单位长度 B ． 向右平移12π个单位长度C ． 向左平移6π个单位长度D ． 向右平移6π个单位长度11．已知函数1,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是A ．（1，2）B ．C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅， (),log 3log 3b f ππ=⋅3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则 , ,a b c 大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．由直线2,21==x x ，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷(第26周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷（第26周）理本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合为A．B．C．D．2．“a = 1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．以下有关线性回归分析的说法不正确的是A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱D．越接近1，表明回归的效果越好4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为A．B．C．D．5．已知为等比数列，Sn是它的前n项和。
若，且a4与a7的等差中项为，A．35 B．33 C．31 D．296．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A．B．D．C．7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A．B．C．D．8．已知圆M过定点且圆心M在抛物线上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长等于A．4 B．3C．2 D．与点M位置有关的值9．当a > 0时，函数的图象大致是10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为A．B．C．D．11．已知函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为C．D．A．B．12．在底面半径为3，高为的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A．4个B．5个C．6个D．7个第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
【数学】吉林省东北师范大学附属中学2015届高三(理科)高考总复习阶段测试卷(第33周)
数学理科周测试卷一、选择题(每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．函数的导数为 ( ）A ．B ．C ．D ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 （ ）A ．100101 B ．99101C ．99100D ．101100 3．在ABC ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（） A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知log (1)()(3) 1 (1)a x x f x a x x ≥⎧=⎨--<⎩是定义在R 上的增函数，求a 的取值范围是（）A.[2,3)B.(1,3)C.(1,)+∞D.(1,2]5. 连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是m 、n ，则向量a =(m ，n )与向量b =(1，1)共线的概率是( ) A ．B ．C ．D ． 6. 设P 为曲线C ：y=+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ． B ．［-1,0］ C ．［0,1］D ．7．实数对（x ,y ）满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎛+-≥ -≤⎝若目标函数3,1z kx y x y =-==在时取最cosx x y 2=xsinx 2cosx x y'2-=sinx x xcosx 2y'2+=sinx x xcosx 2y'2-=sinx x xcosx y'2-=5121316122x [0,]4π1[1,]2--1[,1]2大值，则k 的取值范围是( ) A ．1(,)[1,)2-∞-+∞ B ．1[,1]2-C ．1[,)2-+∞D ．(,1]-∞-8..函数)1x x 5(2log y ---=的定义域为（）A.{x |-4<x <1}B.{x |x <-1}C.{x |x <1}D.{x |-1<x <1} 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分.)9．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_______.10．一支运动队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个样本，已知某男运动员被抽中的概率为27，则抽取的女运动员的人数为. 11．定积分⎰+21dx )x1x (的值等于_________________。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科高考总复习阶段测试卷(2014.9.4)
2015届高三理科高考总复习阶段测试卷（2014.9.4）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上.1．（2011北京）1.已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是A. (,1]-∞-B. [1,)+∞C. [1,1]-D. (,1]-∞-[1,)+∞2．（2011全国2）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是(A)a >b +1 (B)a >b -1 (C)2a >2b (D)3a >3b3．函数y =的定义域是( )（A ）(3,2)(2,3)- （B ）[3,2)(2,3]- （C ）[3,3]-（D ）(3,3)-4．已知偶函数[)()0,f x +∞在区间单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是 ( )A ．12(,)33B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12(,)23 D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 5．设222,2(),((5))log (1),2x x f x f f x x -⎧≤==⎨->⎩则（ ） A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．26．如右图是李大爷晨练时所走的离家距离（y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示李大爷家的位置，则李大爷散步行走的路线可能是（ ）8． (四川省2011届普通高考考生知识能力水平摸底测试一理科)设函数3()12f x x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增第6题图B ．函数()f x 的极小值是-12C ．函数()f x 的图象与直线10y =只有一个公共点D ．函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16y =9．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( )A ．(1，+∞)B ． (0，3)C ．（1，3）D ． [32，3）．10．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0，则)2011(f 的值为( )A ．22011B ．26031C ．26033 D ．3017二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11. (温州市2011第一次适应性测试理科)若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科高考总复习阶段测试卷(2014.8.25)
高三理科高考总复习阶段测试卷（2014.8.25）（考试范围：集合与简易逻辑）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上.1． （2011湖南）设集合{}2,1=M ，{}2a N =，则“1=a ”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2011辽宁协作体）命题“成立使0log ,020≤∈∃x R x ”的否定为（ ） A ．成立使0log ,020>∈∃x R x B ．成立使0log ,020≥∈∃x R x C ．成立均有0log ,020≥∈∀x R x D ．成立均有0log ,020>∈∀x R x3．关于命题25sin ,:=∈∃x R x p 使；命题01,:2>++∈∀x x R x q 都有。
下列结论中正确的是（ ）A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ⌝∧”是真命题C ．命题“q p ∨⌝)(”是真命题D ．命题“)()(q p ⌝∨⌝”是假命题4．已知点（3，1）和点（－4，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 （ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 245． （2011福建）已知O 是坐标原点，点A （—1，1）。
若点M （x ，y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则∙的取值范围是（ ）A ．]0,1[-B ．]1,0[C ．]2,0[D ．]2,1[-6．（2009浙江宁波）已知（x ，y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧≥->≤+0206y x y y x ,则x y 4-的最大值为（ ）A ．32-B ．21- C ．0 D ．不存在 7．在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边 界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．－6D ．68．（2011湖北）已知向量z y z x ⊥-=+=且,),2(),3,(。
吉林东北师范大学附属中学2015届高三理科高考总复习阶段测试卷(2014.10.22)
高三理科高考总复习阶段测试卷（2014.10.22）14.3．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．315.3．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 16.15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．（五） 二次函数17.16．[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．（六） 指数与指数函数18.4．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-219.3．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－120.3．[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a21.2．[2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)22.5．[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3 23.7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x 24.[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．（七） 对数与对数函数25.5．[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 326.3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)27.4．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-228.13．[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________． 29.3．[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a30．[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)31.7．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )AC 图1-2 32.12．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．15.[解析] C 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 15． 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．[解析] (－1，3) 根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.(五) 二次函数17． [解析] 16．(－∞，2] 。
吉林东北师范大学附属中学2015届高三数学(理科)第一轮高考总复习阶段测试卷(第24周)(Word版含答案)
时量 120分钟 总分150分 【测试目标：了解外地考卷命题形式】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 如图：给定全集U 和集合A,B ，则如图阴影部分表示的集合是（ ）A.)(B C A UB.B A C U )(C.B B A C U )(D.A B A C U )(2. 函数xx x f 1ln )(-=的一个零点所在的区间是（ ） A. )1,1(- B.)2,1( C.),2(e D.)3,(e3. 化简对数式511log 3log 135+得到的值为（ ）A. 1B. 2C. - 1D. 31- 4. 已知三个向量2cos,(A a =，)2cos ,(B b =,2cos ,(Cc =共线，其中C B A c b a ,,,,,分别是ABC ∆的三条边和三个角，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 5.函数2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的单调递增区间为（ ） A.32,62[ππππ+-k k B.]652,32[ππππ++k k C.3,6[ππππ+-k k D.]65,3[ππππ++k k6.设函数xx a a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）在),(+∞-∞上既是奇 函数又是增函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足,0,01615<>S S 则nn a S a S a S a S ,,,,332211 中最大的项为 .A 66a S .B 77a S .C 88a S .D 99a S8.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为理想函数. 下面有三个命题： （1）若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ； （2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数；（3）若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =， 则00)(x x f =； 其中正确的命题个数有（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选作题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 不等式521>-++x x 的解集为 . 10. 直线l的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （其中t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .11. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ．（二）必做题12. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： （1）2=z ； （2）i z 22=； （3）z 的共轭复数为i +1；（4）z 的虚部为1-；其中所有正确的命题序号是 .13.如果一个随机变量ξ~)21,15(B ，则使得)(k P =ξ取得最大值的k 的值为 . 14. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 .15. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为 . 16. 已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==， 2012i a =或2013，1,2,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(2013,2013,2013,2013,2013)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，则m = ；（Ⅱ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，则所有(,)d U V 之和为 ．高三周考数学(理科）答卷时量 120分钟 总分150分一 选择题：9. 10. 11.12. 13. 14.15. 16. .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（12分）已知βα，是三次函数),(22131(23R b a bx ax x x f ∈++=）的两个极值点，且()1,0∈α,()2,1∈β,求动点()b a ,所在的区域面积S .18、(12分）为迎接新年到来，某商场举办有奖竞猜活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有四个选项，问题B 有五个选项，但都只有一个选项是正确的。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三一轮复习阶段测试卷(第12周)数学理 Word版含答案
（八）幂函数与函数的图像 33.4．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-234.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 35.8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 36.7．[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )（九） 函数与方程37.10．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e38.14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．39.6．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9（十） 函数模型及其应用 40.8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－141.10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x（十一） 导数及其运算 42.18．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．43.21．[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.44.20．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .45.10．[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．46.13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．47.18．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．48.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1 49.8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 50.21．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．51.19．[2014·四川卷]设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n的前n项和T n.（十二）导数的应用52.21．[2014·四川卷]已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．53.18．[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．答案提示：(八) 幂函数与函数的图像33. B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.35.8．B [解析] 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.36. [2014·浙江卷]7．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.(九) 函数与方程 37.10．B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．38．[解析] 14．(0，1)∪(9，＋∞) 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－39． [2014·浙江卷] .6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >96．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.（十）函数模型及其应用40.[解析] 8．D 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 41. [2014·陕西卷] 9. 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .(十一) 导数及其运算 42. [2014·安徽卷] 18． 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 43. [2014·安徽卷] 21． 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．44. [2014·福建卷] 20．已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x .所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．(2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c， 由(2)知，当x >0时，e x>x 2，所以e x＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .45. [2014·广东卷] 10．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.46. [2014·江西卷] 13． 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．47. [2014·江西卷] 18．已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x1－2x<0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 48. [2014·全国卷] 7．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.49. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 8．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．D [解析] y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.50. [2014·陕西卷] 21． 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ，那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0. 即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0nx x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，51.[2014·四川卷] .19．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.（十二） 导数的应用 52. [2014·四川卷] 21． 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． 53. [2014·安徽卷] 18．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷(第25周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷（第25周）理说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. （）A. B. C. D.2. 已知集合，集合，以下命题正确的个数是（）①②③都有④都有A.4B. 3C. 2D. 13. 已知的取值如下表所示：2 3 45 4 6如果与呈线性相关，且线性回归方程为，则（）A. B. C. D.4. 已知中，，则（）A. B. C. D.5. 若，，则（）A.,B.,C.,D.,6. 已知等差数列的公差为2，成等比数列, 则=（）A. –4B. –6C.–8D.–107. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A.B.C.D.8. 已知函数的最小正周期是8，且对一切实数成立，则（）A.是偶函数不是奇函数B.是奇函数不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数，也不是偶函数9. 已知正方体的棱长为2，则四面体在平面上的正投影的面积为（）A. 4B. 3C. 2D. 110. 已知数列是等差数列，，则数列的前项和等于（）A. B. C. D.11. 实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.12. 以双曲线的焦点为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13. 已知抛物线，O为坐标原点，过抛物线的焦点，倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则的面积为.14. 如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.15. 从8名候选人中选出3人参加A，B，C三项活动，其中甲不得参加A项活动，则不同的选派方法有_________________种.16. 过一定点的互相垂直的两条直线与圆锥曲线分别交于点A、B和C、D，如果线段AB的中点的横坐标为(为直线的斜率)，则线段CD的中点的横坐标为.三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)在△ABC中角A、B、C的对边分别为、、，设向量，，且，.（1）求证：△是直角三角形；（2）求的取值范围.18．(本小题满分12分)如图，是某市1000户居民月平均用电量的频率分布直方图，（1）如果当地政府希望以上的居民每月的用电量不超出标准，这个标准为多少时比较适当？（2）计算这1000户居民月用电量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）有关部门为了制定居民月用电量标准，采用分层抽样的方法从1000户居民中抽取50户参加听证会，并且要在这已经确定的50人中随机确定两人做中心发言，求这两人分别来自用电量区间和的概率.19．(本小题满分12分)已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分别为、、的中点，（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求二面角的余弦值.20．(本小题满分12分)已知函数，（1）当时，求该函数的定义域和值域；（2）如果在区间上恒成立，求实数的取值范围.21．(本小题满分12分)已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若存在点，使，试求的取值范围；（3）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．请在下面三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的切线，切点为，过的中点作割线交圆于和，求证：.23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知圆(为参数)和直线(其中为参数，为直线的倾斜角)，如果直线与圆有公共点，求的取值范围.24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解不等式.答案提示：一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A D B A A D B D D 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．14. 15. 294 16.三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分12分)解：(1)解法一：因为所以，由正弦定理，得，即又且，所以即，因此△ABC是直角三角形.解法二：因为所以，由余弦定理，得整理得，因为所以，所以因此△ABC是直角三角形.(2)=，且，因此的取值范围是18. (本小题满分12分)解：(1)月用电量在100以上的居民所占的比例为，的居民月用电量在100以下，因此，居民月用电量标准定为100比较适当.(2)居民月用电量的平均值为：(3)19. (本小题满分12分)解：解法一：(1)连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP.由E为C1C的中点，A1C1∥CP 可证A1E＝EP∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP又∵BP平面ABC，DE平面ABC，∴DE∥平面ABC（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，由三垂线定理可证B1F⊥AF，设＝，则∴，∵(3) 过F做FM⊥AE于点M，连接B1M∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE∴∠B1MF为二面角B1—AE—F的平面角C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可证EF⊥AF在Rt△AEF中，可求在Rt△B1FM中，∠B1FM＝90°，∴∴二面角B1—AE—F的余弦值为解法二：如图建立空间直角坐标系O—xyz令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）2分（I）设G是AB的中点，连结DG，则DG平行且等于EC所以四边形DECG是平行四边形，所以DE//GC，从而DE∥平面ABC.（II）∴∴∵（III）平面AEF的法向量为，设平面B1AE的法向量为即令x＝2，则∴∴二面角B1—AE—F的余弦值为20. (本小题满分12分)解：(1) 当时，令，解得所以函数的定义域为.令，则所以因此函数的值域为(2) 解法一：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立令当时，，所以满足题意.当时，是二次函数，对称轴为，当时，，函数在区间上是增函数，，解得；当时，，，解得当时，，，解得综上，的取值范围是解法二：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立由且时，，得令，则所以在区间上是增函数，所以因此的取值范围是.21. (本小题满分12分)解：（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为. （2）解法一：假设存在点，根据题意，以焦距为直径的圆与椭圆有公共点，因此，，解得：解法二：假设存在点，使，则由，得所以，，解得(3)当时，其曲线方程为椭圆由条件知两点均在椭圆上，且设，，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组得，同理可求得，面积=令则令所以，即当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1.22．(本小题满分10分)（选修4-1：几何证明选讲）是题产证明：因为且所以，即因为所以因此，23．(本小题满分10分)（选修4-4：坐标系与参数方程）解：圆的普通方程为：将直线的参数方程代入圆普通方程，得关于的一元二次方程有解所以或因为所以。
长春市东北师范大学附属中学届高三高考总复习阶段测试卷数学试题及答案1(理)
吉林省长春市东北师范大学附属中学2015届高三高考总复习阶段测试卷1（理）参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合}4,3,2,1{=U ,}05|{2=+-=p x x x M ，若}3,2{=M C U ，则实数p 的值为A. 6-B. 4-C. 4D. 6 2．若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A. 6- B. 2- C. 4 D. 63．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为A. 21-B. 23- C. 21 D. 234．已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f fA. 4-B. 41- C. 4 D. 6 5．下列命题错误的是A. 命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，理科数学试卷 第1页(共6页)则022≠+y x ”；B. 若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ；C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件；D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.6. 执行如图的程序框图，如果输入30,72==n m ，则输出的n 是A . 12B . 6 C. 3 D . 07. 从5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”，=B “第二次取到的是奇数”，则=)|(A B P A.51 B. 103 C. 52 D. 218. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点A. 向右平移6π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移12π个单位长度 9． 曲线c bx x y ++=2在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为 A. ]1,0[ B. ]21,0[ C. ]2||,0[b D. ]2|1|,0[-b10. 若圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与圆2222:210,()C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为A. 23-B. 3-C. 3D. 2311．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 512. 函数)(x f y =的最小正周期为2，且)()(x f x f =-．当]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，那么在区间]4,3[-上，函数)(x f y =的图像与函数||)21(x y =的图像的交点个数是A. 8B. 7C. 6D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线x y 82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5||=PF ，则双曲线方程为 ． 14．设等比数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知20111=a ，且)(0221∙++∈=++N n a a a n n n ，则=2012S ．15．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y 表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑物，A 为塔的最高点．现需在对岸测出塔高AB ，甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B D C ,,三点不在同一条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠的大小（分别用βα,表示测得的数据）以及D C ,间的距离（用s 表示测得的数据），另外需在点C 测得塔顶A 的仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得塔高AB ．乙同学的方法是：选一条ED CBA水平基线EF ，使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高AB ．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ．18．（本小题满分12分）如图，四边形DCBE 为直角梯形，90=∠DCB ，CB DE //，2,1==BC DE ，又1=AC ， 120=∠ACB ， AB CD ⊥，直线AE 与直线CD 所成角为 60．（Ⅰ）求证：平面⊥ACD 平面ABC ； （Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分） 现有B A ,两个项目，投资A 项目100万元，一年后获得的利润为随机变量1X （万元），根据市场分析，1X 的分布列为：投资B 项目100万元，一年后获得的利润2X (万元)与B 项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是)10(<≤p p .FEDCBA20．（本小题满分12分）如图椭圆134:22=+y x C 的右顶点是A ，上下两个顶点分别为D B ,，四边形OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,分别为线段AN OA ,的中点．（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，K为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,不共线）， 问：直线KS 是否经过x 求这个定点的坐标，如果不是，说明理由．21．（本小题满分12分）设函数a aex x f x-++=-)1ln()(，R a ∈．（Ⅰ）当1=a 时，证明)(x f 在),0(+∞是增函数； （Ⅱ）若),0[+∞∈x ，0)(≥x f ，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在 BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求AB DC 的值；（Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ．（I ）求曲线1C ，2C 的方程； （II ）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba ah 2,,2max 22,求证：2≥h ．答案参考：一、1. C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C 二、13. x 2-y 2/3=1; 14 .0; 15. 6; 16. 16π 三、选甲：示意图1图1 ----------4分 在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt ∆中，)sin(sin tan tan βαβθ+⋅=∠=s ACB BC AB ．---------12分选乙：图2图2----------4分在AEF ∆中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得ααβsin )sin(AFEF =-，所以)sin(sin )sin(sin αβααβα-⋅=-⋅=s EF AF ．在ABF Rt ∆中，)sin(sin sin sin αββαβ-⋅⋅=⋅=s AF AB ．---------12分由直线AE 与直线CD 所成角为 60，得60cos ||||CD AE CD AE =⋅，即3222+=a aa ，解得1=a ． ∴)1,1,0(=，)0,21,23(-=CA ，)1,1,0(-=， 设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-002123z y y x ，取,3=x 则3,3-==z y ，得)3,3,3(n -=，设BE 与平面ACE 所成角为θ，则742sin ==θ，于是BE 与平面ACE 所成角的正弦值为742．---------12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）1X 的概率分布为则8.1137.1128.11612)(1=⨯+⨯+⨯=X E . 01.031)8.117.11(21)8.118.11(61)8.1112()(2221=⨯-+⨯-+⨯-=X D . ---------4分（Ⅱ）解法1: 由题设得),2(~p B X ,则X 的概率分布为故2X 的概率分布为分解法2: 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下调”()2,1=i ,则)0(=X P = 212()()(1)P A P A p =-;)1(=X P =1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-; )2(=X P =212()()P A P A p =故2X 的概率分布为（Ⅲ）当3.0=p 时. (12E ,由于01.0)(1=X D . 555.9)(2=X D .所以)()(12X D X D >,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资B 项目的风险高于A 项目.从获得稳定收益考虑, 当3.0=p 时应投资A 项目. ---------12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -，所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ，所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分 （2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+y x C ， 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+， 直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得 （9设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分21．（本小题满分12分）解：（1）)1()1(11)('x e x a e e a x x f x x x ++-=-+=， 当1=a 时, )1()1()('x e x e x f xx ++-=, ---------2分 令x e x g x --=1)(，则1)('-=xe x g ，当),0(+∞∈x 时，01)('>-=xe x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数， 因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，则)(x f 在),0(+∞是增函数. ---------6分(2)由)1()1()('x e x a e x f x x ++-=, 由(1)知,,1x e x +≥当且仅当0=x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f x x ++-=++-+≥, 从而当01≥-a ,即1≤a 时, 对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f .由),0(1≠+>x x e x 得)0(1≠->-x x ex ,从而当1>a 时, )1())(()1(2)1()(22222'x e a a a e a a a e x e a ae e x e a ae a e x f x x x x x x x x x +----+-=++-=+-+-<- 故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)('<x f , 于是当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f ,综上,a 的取值范围是]1,(-∞.---------12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．FE D CBA证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠，∴CED ∆∽AEB ∆，ABDC EB ED EA EC ==∴，21,31==EA ED EB EC ， ∴66=AB DC ． （2） FB FA EF ⋅=2，∴FE FB FA EF =， 又 BFE EFA ∠=∠，∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠，∴CD EF //.23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ， 即⎩⎨⎧==12b a ， 所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422=+y x . 设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-). 将点)3,1(πD 代入θρcos 2R =, 得3cos 21πR =,即1=R .(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ), 所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x .（II ）因为点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在在曲线1C 上,所以1sin 4cos 221221=+θρθρ,1cos 4sin 222222=+θρθρ, 所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1122222221=+++=+θθθθρρ.。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学总复习阶段测试卷1 理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学总复习阶段测试卷1理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式： 样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V S h =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合}4,3,2,1{=U ,}05|{2=+-=p x x x M ，若}3,2{=M C U ，则实数p 的值为 A. 6- B. 4- C. 4 D. 62．若复数i ia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A. 6-B. 2-C. 4D. 6理科数学试卷 第1页(共6页)3．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为A.21-B. 23-C. 21D. 234．已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f fA. 4-B.41-C. 45．下列命题错误的是A. 命题“若022=+y x ，则0==y x ” 的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则022≠+y x ”；B. 若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ， 则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ； C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的 充要条件；D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.6. 执行右面的程序框图，如果输入30,72==n m ， 则输出的n 是A. 12B. 6C. 3D. 07. 从5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”，=B “第二次取到的是奇数”，则=)|(A B PA. 51B. 103C. 52D. 218. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点A. 向右平移6π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度9． 曲线c bx x y ++=2在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为A. ]1,0[B. ]21,0[C. ]2||,0[bD. ]2|1|,0[-b10. 若圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与圆2222:210,()C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为A. 23-B. 3-C. 3D. 2311．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 512. 函数)(x f y =的最小正周期为2，且)()(x f x f =-．当]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，那么在区间]4,3[-上，函数)(x f y =的图像与函数||)21(x y =的图像的交点个数是 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与抛物线x y 82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5||=PF ，则双曲线方程为 ．EDCBA14．设等比数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知20111=a ，且)(0221∙++∈=++N n a a a n n n ，则=2012S ． 15．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y xy 表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑物，A 为塔的最高点．现需在对岸测出塔高AB ，甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B D C ,,三点不在同一条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠的大小（分别 用βα,表示测得的数据）以及D C ,间的距离（用s 表示测得的数据），另外需在点C 测得塔顶A 的仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得塔高AB ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ，使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高AB ．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ． 18．（本小题满分12分）如图，四边形DCBE 为直角梯形，90=∠DCB ，CB DE //，2,1==BC DE ，又1=AC ， 120=∠ACB ， AB CD ⊥，直线AE 与直线CD 所成角为 60．（Ⅰ）求证：平面⊥ACD 平面ABC ； （Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分）现有B A ,两个项目，投资A 项目100万元，一年后获得的利润为随机变量1X （万元），根据市场分析，1X 的分布列为：投资B 项目100万元，一年后获得的利润2X (万元)与B 项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是)10(<≤p p .20．（本小题满分12分）如图椭圆134:22=+y x C 的右顶点是A ，上下两个顶点分别为D B ,，四边形OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,分别为线段AN OA ,的中点．F EDCBA（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点 在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，K 为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,不共线）， 问：直线KS 是否经过x 轴上一定点，如果是， 求这个定点的坐标，如果不是，说明理由． 21．（本小题满分12分）设函数a ae x x f x-++=-)1ln()(，R a ∈． （Ⅰ）当1=a 时，证明)(x f 在),0(+∞是增函数； （Ⅱ）若),0[+∞∈x ，0)(≥x f ，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在 BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EBEC ，求AB DC的值； （Ⅱ）若FB FA EF⋅=2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ． （I ）求曲线1C ，2C 的方程；（II ）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba a h 2,,2max 22,求证：2≥h ．答案参考：一、1. C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C 二、13. x2-y2/3=1; 14 .0; 15. 6; 16. 16π 三、选甲：示意图1图1 ----------4分在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt ∆中，)sin(sin tan tan βαβθ+⋅=∠=s ACB BC AB ．---------12分选乙：图2图2----------4分在AEF ∆中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得ααβsin )sin(AFEF =-，所以)sin(sin )sin(sin αβααβα-⋅=-⋅=s EF AF ．在ABF Rt ∆中，)sin(sin sin sin αββαβ-⋅⋅=⋅=s AF AB ．---------12分由直线AE 与直线CD 所成角为60，得60cos ||||=⋅，即3222+=a aa ，解得1=a ．∴)1,1,0(=，)0,21,23(-=CA ，)1,1,0(-=，设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-002123z y y x ，取,3=x 则3,3-==z y ，得)3,3,3(n -=，设BE 与平面ACE 所成角为θ，则742sin ==θ，于是BE 与平面ACE 所成角的正弦值为742．---------12分19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）1X 的概率分布为则8.11317.11218.116112)(1=⨯+⨯+⨯=X E .01.031)8.117.11(21)8.118.11(61)8.1112()(2221=⨯-+⨯-+⨯-=X D .---------4分（Ⅱ）解法1: 由题设得),2(~p B X ,则X 的概率分布为故2X 的概率分布为---------8分 解法2: 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下调”()2,1=i ,则)0(=X P = 212()()(1)P A P A p =-;)1(=X P =1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-;)2(=X P =212()()P A P A p =故2X 的概率分布为（Ⅲ）当3.0=p 时. 8.11)()(12==X E X E ,由于01.0)(1=X D . 555.9)(2=X D .所以)()(12X D X D >,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资B 项目的风险高于A 项目.从获得稳定收益考虑, 当3.0=p 时应投资A 项目. ---------12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -，所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ， 所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分（2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+y x C ，得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+，直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得（9设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分21．（本小题满分12分）解：（1）)1()1(11)('x e x a e e a x x f x x x ++-=-+=， 当1=a 时, )1()1()('x e x e x f x x ++-=, ---------2分 令x e x g x --=1)(，则1)('-=x e x g ， 当),0(+∞∈x 时，01)('>-=x e x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数， 因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，则)(x f 在),0(+∞是增函数. ---------6分(2)由)1()1()('x e x a e x f x x ++-=, 由(1)知,,1x e x +≥当且仅当0=x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f x x ++-=++-+≥,从而当01≥-a ,即1≤a 时,对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f .由),0(1≠+>x x e x 得)0(1≠->-x x e x , 从而当1>a 时,)1())(()1(2)1()(22222'x e a a a e a a a e x e a ae e x e a ae a e x f x x x x x x x x x +----+-=++-=+-+-<- 故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)('<x f , 于是当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f , 综上, a 的取值范围是]1,(-∞.---------12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．FE D CBA证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠，∴CED ∆∽AEB ∆，AB DC EB ED EA EC ==∴，21,31==EA ED EB EC ，∴66=ABDC ． （2） FB FA EF ⋅=2，∴ FE FB FAEF =， 又 BFE EFA ∠=∠，∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠，∴CD EF //.23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ， 即⎩⎨⎧==12b a ， 所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422=+y x .设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-). 将点)3,1(πD 代入θρcos 2R =, 得3cos21πR =,即1=R .(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ),所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x . （II ）因为点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在在曲线1C 上,所以1sin 4cos 221221=+θρθρ,1cos 4sin 222222=+θρθρ,所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1122222221=+++=+θθθθρρ.。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学(理科)第一轮高考总复习阶段测试卷(第24周)Word版含答案
）
9. 不等式 x 1 x 2 5 的解集为
.
10. 直 线 l 的 参 数 方 程 是 x
y
2
t 2
（ 其 中 t 为 参 数 ）， 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
2 t 42
2
2 cos(
) ，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是
.
4
11. 如图， AB 是⊙ O 的直径， P 是 AB 延长线上的一点，过 P 作⊙ O 的切线，切点为 C ，
时量 120 分钟 总分 150 分
【测试目标：了解外地考卷命题形式】
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的 .
1. 如图：给定全集 U 和集合 A,B ，则如图阴影部分表示的集合是（
）
A. A (CU B)
B. (CU A) B
C. CU ( A B) B
D. CU ( A B) A
1
2. 函数 f ( x) ln x 的一个零点所在的区间是（
）
x
AU
A. ( 1,1)
B. (1,2)
C.( 2, e)
1
3. 化简对数式
log 3 1 得到的值为（
log 5 3
15
D. (e,3)
）
AA
AB
A. 1
B. 2
C. - 1
1
D.
则 m=
；
（Ⅱ）令 U (a1, a2, a3 , , an) ，若 V Sn ，则所有 d(U ,V ) 之和为
．
一 选择题：
高三周考 数学 (理科） 答卷
时量 120 分钟 总分 150 分
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习阶段测试卷(第13周)理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习阶段测试卷（第13周）理54.18．[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝xcos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求证：f(x)≤0；(2)若a<sin x x <b 对x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．55.20．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.57.22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f(x)＝ln xx的单调区间；(2)求e3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．58.22．[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数 f(x)＝ln(1＋ax)－2x x ＋2. (1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a 的取值范围．59.18．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx ＋b)1－2x(b ∈R)． (1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．60.11．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 61.22．[2014·全国卷] 函数f(x)＝ln(x ＋1)－axx ＋a (a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an ＋1＝ln(an ＋1)，证明：2n ＋2<an ≤3n ＋2.62.11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)63.21．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x ＋bex －1x ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ；(2)证明：f(x)>1.64.21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex －e －x －2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x ＞0时，g(x)＞0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)． 21．解：(1)f′(x)＝ex ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x －e －2x －4b(ex －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x)＝2[e2x ＋e －2x －2b(ex ＋e －x)＋(4b －2)] ＝2(ex ＋e －x －2)(ex ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x 满足2<ex ＋e －x<2b －2，即0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g(x)<0. 综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b2－2b)＝ln 2，g(ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.65.20．[2014·山东卷] 设函数f(x)＝ex x2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．66.21．[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn ＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n －f(n)的大小，并加以证明．67.20．[2014·天津卷] 设f(x)＝x －aex (a∈R)，x∈R.已知函数y ＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2.(1)求a 的取值范围；(2)证明：x2x1随着a 的减小而增大；(3)证明：x1＋x2随着a 的减小而增大．68．22．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x －a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)； (2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．69.20．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝ae2x －be －2x －cx(a ，b ，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c. (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f(x)的单调性； (3)若f(x)有极值，求c 的取值范围．71.6．[2014·湖北卷] 若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11sin 12xcos 12xdx ＝12⎠⎛－11sinxdx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11x ·x2dx ＝x441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.72.9．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝sin(x －φ)，且 ∫2π30f(x)dx ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π673.8.[2014·江西卷] 若f(x)＝x2＋2⎠⎛01f(x)dx ，则⎠⎛01f(x)dx ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．174.6．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 46．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x3)dx ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x2－14x420＝4，故选D.75.3．[2014·陕西卷] 定积分⎠⎛01(2x ＋ex)dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －13．C [解析] ⎠⎛01(2x ＋ex)dx ＝(x2＋ex)10＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e.（十四） 单元综合76.9．[2014·四川卷] 已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有下列命题： ①f(－x)＝－f(x)；②f ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x2＝2f(x)；③|f (x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②77.10．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex －12(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x ＋a)的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e78.14．[2014·湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a ，f(a))，(b ，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a ，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a ，b)＝c ＝a ＋b2，即Mf(a ，b)为a ，b 的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a ，b)为a ，b 的几何平均数； (2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a ，b)为a ，b 的调和平均数2aba ＋b .(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)79.12．[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x ，y∈[0，1]，且x≠y ，有|f(x)－f(y)|<12|x －y|.若对所有x ，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.1880.22．[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数 f(x)＝ln(1＋ax)－2x x ＋2. (1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a 的取值范围．81.21．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aexln x ＋bex －1x ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f(x)>1.82.21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex －e －x －2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x ＞0时，g(x)＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．(2)当x>0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax>0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx<0”．令g(x)＝sin x －cx ，则g′(x)＝cos x －c.当c≤0时，g(x)>0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当c≥1时，因为对任意x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，g′(x)＝cos x －c<0，所以g(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，从而g(x)<g(0)＝0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立． 当0<c<1时，存在唯一的x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2使得g ′(x0)＝cos x0－c ＝0. g(x)与g′(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的情况如下：因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c≤2π.综上所述，当且仅当c≤2π时，g(x)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．所以，若a<sin x x <b 对任意x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.55.解：方法一：(1)由f(x)＝ex －ax ，得f ′(x)＝ex －a.(2)证明：令g(x)＝ex －x2，则g′(x)＝ex －2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0， 故g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)证明：①若c≥1，则ex ≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex.故当x>0时，x2<cex. 取x0＝0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.②若0<c<1，令k ＝1c >1，要使不等式x2<cex 成立，只要ex>kx2成立．而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x ＋ln k 成立． 令h(x)＝x －2ln x －ln k ，则h′(x)＝1－2x ＝x －2x.所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．又h(x0)＝16k －2ln(16k)－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k)＋5k ， 易知k>ln k ，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0. 即存在x0＝16c，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex.综上，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex. 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x0＝4c，由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ex ＝e x 2·e x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，当x>x0时，ex>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22>4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1cx2， 因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x2<cex. 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有13x3<ex.证明如下：56.解法一：21.(1).可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->， 22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->， |1|x ∴+<|1|x +1∴-1x <-或1x <-或1x >-所以函数()f x 的定义域D为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞；(2).22(2)(22)2(22)'()x x k x x f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-，由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(1)()(1)0x x x +++<，1x ∴<-或11x -<<-，结合定义域知1x <-或11x -<<-，所以函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；(3).由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-， 2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，1x ∴=-1x =-3x =-或1x =，6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11-<-11->-结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--．解法二：解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++-> ()()222+3210xx k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<-故222+3=021=0x x k x x k ++++-，均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D+++++-∈则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++令()'0g x =，注意到2,11k k <-+<-，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-，且71x =-注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >，()g x 单调递增 在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <，()g x 单调递减故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增.（3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，，即2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++ ()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦ 22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->，故此方程()*有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-=-注意到6k <-，故，1211,13x x =->=--，故89,x x D ∈ (103110x x -=-+-+=>，故10x D ∈4112420k k x x -----===>故11x D ∈ 结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃【品题】函数题（1）考查了数轴标根法，4个根，学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.（2）考查了复合函数单调性，利用导数作工具，这个题还是很容易的，而且不涉及到分类讨论，就是题目的根太多太多了.（3）利用数形结合的思想，容易知道所求的范围，接下来只要根不求错，那就没问题了. 总的来说，本题就是根太多，结合图像，不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点，也是难点，平时努力了，也未必有大收获.57.解：22． (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝ln x x ，所以f ′(x)＝1－ln xx2.当f ′(x)>0，即0<x<e 时，函数f(x)单调递增；当f′(x)<0，即x>e 时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e<ln πe ，ln e π<ln 3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝ex ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得 3e<πe<π3，e3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e3之中． 由e<3<π及(1)的结论，得f(π)<f(3)<f(e)，即ln ππ<ln 33<ln ee .由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e<ln e3，所以3e<e3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e. (3)由(2)知，3e<πe<π3<3π，3e<e3. 又由(2)知，ln ππ<ln ee ，得πe<e π.故只需比较e3与πe 和e π与π3的大小． 由(1)知，当0<x<e 时，f(x)<f(e)＝1e ，即ln x x <1e.在上式中，令x ＝e2π，又e2π<e ，则ln e2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e π>2.7×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即eln π>3，亦即ln πe>ln e3，所以e3<πe. 又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e<e3<πe<e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e3，πe ，e π，π3，3π. 58.解：22． (1)f′(x)＝a 1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当0<a<1时，由f′(x)＝0得x1＝21－a a ⎝⎛⎭⎪⎫x2＝－21－a a 舍去. 当x∈(0，x1)时，f′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0<a<1. 又f(x)的极值点只可能是x1＝21－aa和x2＝－21－aa，且由f(x)的定义可知， x>－1a且x≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－aa≠－2， 解得a≠12.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点．(i)当－1<x<0时，g(x)＝2ln(－x)＋2x －2，所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0，因此，g(x)在区间(－1，0)上单调递减，从而g(x)<g(－1)＝－4<0. 故当0<a<12时，f(x1)＋f(x2)<0.(ii)当0<x<1时，g(x)＝2ln x ＋2x －2，所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0，因此，g(x)在区间(0，1)上单调递减，从而g(x)>g(1)＝0.故当12<a<1时，f(x1)＋f(x2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 59. (1)当b ＝4时，f′(x)＝－5x （x ＋2）1－2x，由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x ＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝－x[5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x <0，依题意当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b≤19.所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19.60.C [解析] 当－2≤x<0时，不等式转化为a ≤x2－4x －3x3，令f(x)＝x2－4x －3x3(－2≤x<0)，则f′(x)＝－x2＋8x ＋9x4＝－（x －9）（x ＋1）x4，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g(x)恒成立．当0<x≤1时，a≥x2－4x －3x3，令个g(x)＝x2－4x －3x3(0<x≤1)，则g′(x)＝－x2＋8x ＋9x4＝－（x －9）（x ＋1）x4，故g(x)在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a≤－2.61. 解：22． (1)易知f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x)＝x[x －（a2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a<2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f ′(x)>0，所以f(x)在(－1，a2－2a)是增函数； 若x∈(a 2－2a ，0)，则f′(x)<0，所以f(x)在(a2－2a ，0)是减函数； 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x ＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a>2时，若x∈(－1，0)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－1，0)是增函数； 若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0， 所以f(x)在(0，a2－2a)是减函数；若x∈(a 2－2a ，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(a2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数． 当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x>0)．又由(1)知，当a ＝3时，f(x)在[0，3)是减函数．当x∈(0，3)时，f(x)<f(0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x<3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<an ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<ak ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝ln(ak ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，ak ＋1＝ln(ak ＋1)≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <ak ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n∈结论都成立．62.若a>0，则f(x)极大值＝f(0)＝1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)． 63.21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aexln x ＋a x ex －b x2ex －1＋bx ex －1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x ＋2x ex －1，从而f(x)>1等价于xln x>xe －x －2e.设函数g(x)＝xln x ，则g′(x)＝1＋ln x ，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x)<0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g′(x)>0.故g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h(x)＝xe －x －2e ，则h′(x)＝e －x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.因为gmin(x)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 64．．解：21 (1)f′(x)＝ex ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x －e －2x －4b(ex －e －x)＋(8b －4)x ， g ′(x)＝2[e2x ＋e －2x －2b(ex ＋e －x)＋(4b －2)] ＝2(ex ＋e －x －2)(ex ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x 满足2<ex ＋e －x<2b －2，即0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g(x)<0. 综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b2－2b)＝ln 2，g(ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.65.20．解：(1)函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x2ex －2xex x4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2＋1x ＝xex －2ex x3－k （x －2）x2＝（x －2）（ex －kx ）x3.由k≤0可得ex －kx>0，所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y ＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y ＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点； 当k>0时，设函数g(x)＝ex －kx ，x∈(0，＋∞)． 因为g′(x)＝ex －k ＝ex －eln k ， 当0<k≤1时，当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex －k>0，y ＝g(x)单调递增， 故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y ＝g(x)单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g′(x)>0，函数y ＝g(x)单调递增． 所以函数y ＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)． 函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k<2，解得e<k<e22.综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e22.66.解：21．由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝x 1＋x ，g2(x)＝g(g1(x))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x，g3(x)＝x 1＋3x ，…，可得gn(x)＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g1(x)＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即gk(x)＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，gk ＋1(x)＝g(gk(x))＝gk （x ）1＋gk （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax 1＋x (x≥0)，则φ′(x)＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x)>x 1＋x ，x>0.令x ＝1n ，n∈N＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n>1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1dx 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1dx ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1dx ＝n －ln(n ＋1)，结论得证． 67.解：20． (1)由f(x)＝x －aex ，可得f′(x)＝1－aex. 下面分两种情况讨论：(i )a≤0时，f′(x)>0在R 上恒成立，可得f(x)在R 上单调递增，不合题意． (ii)a>0时，由f′(x)＝0，得x ＝－ln a. 当x这时，f(x)数y ＝f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f(－ln a)>0；②存在s1∈(－∞，－ln a)，满足f(s1)<0；③存在s2∈(－ln a ，＋∞)，满足f(s2)<0.由f(－ln a)>0，即－ln a －1>0，解得0<a<e －1.而此时，取s1＝0，满足s1∈(－∞，－lna)，且f(s1)＝－a<0；取s2＝2a ＋ln 2a ，满足s2∈(－ln a ，＋∞)，且f(s2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －e 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2a －e 2a <0.故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f(x)＝x －aex ＝0，有a ＝x ex .设g(x)＝x ex ，由g′(x)＝1－xex ，知g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g(x)≤0; 当x∈(0，＋∞)时，g(x)>0.由已知，x1，x2满足a ＝g(x1)，a ＝g(x2)．由a∈(0，e －1)及g(x)的单调性，可得x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)．对于任意的a1，a2∈(0，e －1)，设a1>a2，g(ξ1)＝g(ξ2)＝a1，其中0<ξ1<1<ξ2；g(η1)＝g(η2)＝a2，其中0<η1<1<η2.因为g(x)在(0，1)上单调递增，所以由a1>a2，即g(ξ1)>g(η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x2x1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x1＝aex1，x2＝aex2，可得ln x1＝ln a ＋x1，ln x2＝ln a ＋x2.故x2－x1＝ln x2－ln x1＝ln x2x1.则h′(x)＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2.令u(x)＝－2ln x ＋x －1x ，得u′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2.当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0.因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)>u(1)＝0，由此可得h′(x)>0，故h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 因此，由①可得x1＋x2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x1＋x2随着a 的减小而增大． 68. [2014·浙江卷] 22． 已知函数f(x)＝x3＋3|x －a|(a∈R)．(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．解：22． (1)因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3＋3x －3a ，x≥a，x3－3x ＋3a ，x<a ，所以f′(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x2＋3，x≥a，3x2－3，x<a.由于－1≤x≤1， (i)当a≤－1时，有x≥a，故f(x)＝x3＋3x －3a ，此时f(x)在(－1，1)上是增函数，因此，M(a)＝f(1)＝4－3a ，m(a)＝f(－1)＝－4－3a ，故M(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8.(ii)当－1<a<1时，若x∈(a，1)，则f(x)＝x3＋3x －3a.在(a ，1)上是增函数；若x∈(－1，a)，则f(x)＝x3－3x ＋3a 在(－1，a)上是减函数．所以，M(a)＝max{f(1)，f(－1)}，m(a)＝f(a)＝a3.由于f(1)－f(－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a≤13时，M(a)－m(a)＝－a3－3a ＋4；当13<a<1时，M(a)－m(a)＝－a3＋3a ＋2.(iii)当a≥1时，有x≤a，故f(x)＝x3－3x ＋3a ，此时f(x)在(－1，1)上是减函数，因此，M(a)＝f(－1)＝2＋3a ，m(a)＝f(1)＝－2＋3a ，故M(a)－m(a)＝(2＋3a)－(－2＋3a)＝4.综上，M(a)－m(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a≤－1，－a3－3a ＋4，－1<a≤13，－a3＋3a ＋2，13<a<1，4，a≥1.(2)令h(x)＝f(x)＋b ，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3＋3x －3a ＋b ，x≥a，x3－3x ＋3a ＋b ，x<a ，h ′(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x2＋3，x>a ，3x2－3，x<a. 因为[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，即－2≤h(x)≤2对x∈[－1，1]恒成立，所以由(1)知，(i)当a≤－1时，h(x)在(－1，1)上是增函数，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(1)＝4－3a ＋b ，最小值是h(－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b≥－2且4－3a ＋b≤2，矛盾．(ii)当－1<a≤13时，h(x)在[－1，1]上的最小值是h(a)＝a3＋b ，最大值是h(1)＝4－3a ＋b ，所以a3＋b≥－2且4－3a ＋b≤2，从而－2－a3＋3a≤3a ＋b≤6a －2且0≤a≤13. 令t(a)＝－2－a3＋3a ，则t′(a)＝3－3a2>0，t(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是增函数，故t(a)>t(0)＝－2，因此－2≤3a＋b≤0.(iii)当13<a<1时，h(x)在[－1，1]上的最小值是h(a)＝a3＋b ，最大值是h(－1)＝3a ＋b ＋2，所以a3＋b≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0； (iv)当a≥1时，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h(1)＝－2＋3a＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a＋b≤0.69.解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x ＋2be －2x －c ，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a －b)(e2x －e －2x)＝0.因为上式总成立，所以a ＝b.又f′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f(x)＝e2x －e －2x －3x ，那么f ′(x)＝2e2x ＋2e －2x －3≥22e2x ·2e －2x －3＝1>0，故f(x)在R 上为增函数．当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0.从而f(x)在x ＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．70.图14[解析]14.2e2因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝ex 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1e ln xdx ＝2(xln x －x)|e1＝2[(eln e －e)－(ln 1－1)]＝2， 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2. 71. [解析]6．C 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11sin 12xcos 12xdx ＝12⎠⎛－11sinxdx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)dx ＝⎠⎛－11x ·x2dx ＝x441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.72. A [解析] 因为∫2π30f(x)dx ＝0，即∫2π30f(x)dx ＝－cos(x －φ)2π30＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－φ＋cos φ＝0，可取φ＝π3，所以x ＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴． 73.B [解析] ⎠⎛01f(x)dx ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x2＋2⎠⎛01f （x ）dx dx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x3＋⎝⎛⎭⎫2⎠⎛01f （x ）dx x 10＝13＋2⎠⎛01f(x)dx ，得⎠⎛01f(x)dx ＝－13. 74. [2014·山东卷] 6．直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D. 46．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x3)dx ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫2x2－14x420＝4，故选D. 75. C [解析] ⎠⎛01(2x ＋ex)dx ＝(x2＋ex)10＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e. （十四） 单元综合76. [解析] 9．A f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln 1－x 1＋x ＝－ln 1＋x 1－x＝－[]ln （1＋x ）－ln （1－x ） ＝－f(x)，故①正确；当x∈(－1，1)时，2x 1＋x2∈(－1，1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1＋x2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x2＝ln 1＋2x1＋x21－2x 1＋x2＝ln 1＋x2＋2x 1＋x2－2x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，故②正确；由①知，f(x)为奇函数，所以|f(x)|为偶函数，则只需判断当x∈[0，1)时，f(x)与2x 的大小关系即可．记g(x)＝f(x)－2x ，0≤x＜1，即g(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x ，0≤x<1，g ′(x)＝11＋x ＋11－x －2＝2x21－x2，0≤x＜1. 当0≤x＜1时，g′(x)≥0，即g(x)在[0，1)上为增函数，且g(0)＝0，所以g(x)≥0，即f(x)－2x≥0，x∈[0，1)，于是|f(x)|≥2|x|正确．综上可知，①②③都为真命题，故选A.77. B [解析] 依题意，设存在P(－m ，n)在f(x)的图像上，则Q(m ，n)在g(x)的图像上，则有m2＋e －m －12＝m2＋ln(m ＋a)，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m(m ＞0)，可得a∈(－∞，e)．78. [解析] 14．(1)x (2)x(或填(1)k1x ；(2)k2x ，其中k1，k2为正常数)设A(a ，f(a))，B(b ，－f(b))，C(c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b ，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b. 因为a>0，b>0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f(x)＝x(x>0)； (2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a>0，b>0，所以化简得 f （a ）a ＝80.解：22． (1)f′(x)＝a 1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*) 当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a<1时，由f′(x)＝0得x1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＝－21－a a 舍去. 当x∈(0，x1)时，f′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增． (2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0<a<1.又f(x)的极值点只可能是x1＝21－a a 和x2＝－21－a a ，且由f(x)的定义可知， x>－1a且x≠－2， 所以－21－a a >－1a ，－21－a a≠－2， 解得a≠12.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点． 而f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－2x1x1＋2＋ln(1＋ax2)－2x2x2＋2＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－4x1x2＋4（x1＋x2）x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2. 令2a －1＝x.由0<a<1且a≠12知， 当0<a<12时，－1<x<0； 当12<a<1时，0<x ＜1. 记g(x)＝ln x2＋2x－2. (i)当－1<x<0时，g(x)＝2ln(－x)＋2x －2，所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0， 因此，g(x)在区间(－1，0)上单调递减，从而g(x)<g(－1)＝－4<0.故当0<a<12时，f(x1)＋f(x2)<0. (ii)当0<x<1时，g(x)＝2ln x ＋2x－2， 所以g′(x)＝2x －2x2＝2x －2x2<0， 因此，g(x)在区间(0，1)上单调递减，从而g(x)>g(1)＝0.故当12<a<1时，f(x1)＋f(x2)>0. 综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 81.21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aexln x ＋a x ex －b x2ex －1＋b xex －1. 由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x ＋2x ex －1，从而f(x)>1等价于xln x>xe －x －2e. 设函数g(x)＝xln x ，则g′(x)＝1＋ln x ，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x)<0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g′(x)>0. 故g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h(x)＝xe －x －2e，则h′(x)＝e －x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e. 因为gmin(x)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 82. ．解：(1)f′(x)＝ex ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x －e －2x －4b(ex －e －x)＋(8b －4)x ，g ′(x)＝2[e2x ＋e －2x －2b(ex ＋e －x)＋(4b －2)]＝2(ex ＋e －x －2)(ex ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x 满足2<ex ＋e －x<2b －2，即0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b －1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b 的最大值为2.。
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高三理科高考总复习阶段测试卷（2014.9.29）
25.（2010天津文数）(6)设554a log 4b log c log ===25，（3），，则
(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c
26.（2010天津文数）(5)下列命题中，真命题是
(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数
(B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数
(C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数
(D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2
使函数（）=（）都是奇函数
27.（2010天津文数）（4）函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 28.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=212
log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）
29.（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
30.（2010天津理数）（2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
31.（2010广东理数）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则
A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数
C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数
32.（2010广东文数）3.若函数x x x f -+=33)(与x x x g --=33)(的定义域均为R ，则
A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数
B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数
C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数
D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数
33.（2010广东文数）2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是
A.),2(+∞
B. ),1(+∞
C. ),1[+∞
D. ),2[+∞
34.（2010福建文数）7．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0
f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
35.（2010全国卷1文数）(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是
(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞
36.（2010全国卷1理数）（10）已知函数f (x )=|lg x |.若0<a<b,且f (a )=f (b ),则a+2b 的取值范围是
(A))+∞
(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞
37.（2010四川文数）(2)函数y =log 2x 的图象大致是
(A ) (B ) (C ) (D )
38.（2010湖北文数）5.
函数y =的定义域为 A.( 34,1) B(34,∞) C （1，+∞） D. ( 34
,1)∪（1，+∞） 39.（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨
≤⎩，则1(())9f f = A.4 B. 14
C.-4 D-14 40.（2010山东理数）(11)函数y =2x -2x 的图像大致是
41.（2010山东理数）（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x
+2x+b(b 为常数)，则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
42.（2010湖南理数）8.
用表示a，b两数中的最小值。
若函
数
的图像关于直线x=
1
2
-对称，则t的值为
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。
26.【答案】A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。
当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。
27.【答案】C
【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解28.【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
2112
22
0a<0
()()log log log()log()
a
f a f a a a a a
>
⎧⎧
⎪⎪
>-⇒⎨⎨
>->-
⎪⎪
⎩⎩
或
1-10
1
1
2
a
a
a a
a
a
a
<
>⎧
⎧
⎪⎪
⇒⇒><<
⎨⎨
<
>
⎪⎪
⎩⎩
或或
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
29.【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念，属于容易题。
否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。
【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。
30.【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由
1
(1)30,(0)10
2
f f
-=-<=>及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
31.解析：D ．()3
3(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-． 32解:由于)(33)()(x f x f x x =+=----,故)(x f 是偶函数,排除B 、C
由题意知，圆心在y 轴左侧，排除A 、C
在AO Rt 0∆，210==k A OA ，故505
10500=⇒==O O O A ，选D 33.解：01>-x ，得1>x ，选B.
34.【答案】B
【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；
当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
35.7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a +
≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =
，所以a+b=1a a + 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a a
=+1由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩
，化为求
z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x
'=
⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞
36.
37.解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.
答案：C
38.
39.【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294
f f f -=-==， 所以B 正确. 40.
41.【答案】D
42.【答案】A 【解析】因为当x=2或4时，2x -2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2x =14<04-，故排除D ，所以选A 。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。