9.3分式方程题目选讲
七年级数学下册第9章分式9-3分式方程第2课时分式方程的应用作业课件新版沪科版
乙商店的费用为40×20＝800(元).
因为900＞800，
所以在乙商店租用服装的费用较少.
类型8货运问题
12.[2023·通辽]某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬
运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货
物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运
结果提前5天完成任务，问原计划平均每
天制作多少个摆件？
【解】设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得
－
＝5，解得x＝200.
.
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意.
答：原计划平均每天制作200个摆件.
类型4古算问题
7.[2023·烟台]中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智
发12 min后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时
到达，已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大
型客车的速度.
【解】设大型客车的速度为x km/h，则小型客车的速度为
1.2x km/h，
根据题意得12 min＝ h.
故列方程为 － ＝ .解得x＝60.
. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
经检验，x＝60是原方程的根.
流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是
(
A )
A.
＝
+ −
B.
＝
−
C.
＝
− +
D. ＝
+
3.[2022·云南]某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划
中考数学专题复习之分式方程(课件)
a的值之和是（
）
y 2 a
A．-5
B．-4
C．-3
D．-2
【分析】由关于y的一元一次不等式组
3y 2
2
y 1
有解得到a的取值范围，再由关
于x的分式方程
ax 3 1 3x 1
x2
2x
y 2 a
的解为正数得到a的取值范围，将所得的两个不等式
组成不等式组，确定a的整数解，结论可求．
典型例题
典型例题
Байду номын сангаас
【例6】（3分）（2021•西藏16/27）若关于x的分式方程
2x 1 m x 1 x 1
无解，
则m=
．
【考点】分式方程的解． 【分析】解方程得x= m-1，由方程无解，可知x=1，即可求m=2．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【解答】解： 2x 1 m ，
x 1 x 1
方程两边同时乘以x-1，得2x-(x-1)=m， 去括号，得2x-x+1=m， 移项、合并同类项，得x= m-1， ∵方程无解，∴x=1， ∴m-1=1， ∴m=2， 故答案为2． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程解法，理解无解的意义是解题的关键．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
解关于y的一元一次不等式组
3y 2 2 y2
y a
1
得：
y y
0 a
．
2
∵关于y的一元一次不等式组
3y 2
2
y 1 有解，
∴a-2＜0．
y 2 a
∴a＜2．
综上，-4＜a＜2且a≠-1．
∵a为整数，∴a=-3或-2或0或1．
∴满足条件的整数a的值之和是：-3-2+0+1=-5．故选：A．
《分式方程及其解法》优质课一等奖课件
解答及建议
在解分式方程时，需要注意增根和失根的情况。增根是指在求解过程中多出来的根，而失根则是指在 求解过程中漏掉的根。为了避免这种情况的发生，建议在求解前先对原方程进行变形和化简，确保方 程的准确性。同时，在求解后需要对解进行检验，确保解符合原方程的要求。
能力。
本课程旨在通过系统的教学和训 练，使学生熟练掌握分式方程的 解法，为后续的数学学习打下坚
实的基础。
教学目标与要求
知识与技能
掌握分式方程的基本概念、性质和解 法，能够灵活运用所学知识解决实际 问题。
过程与方法
通过讲解、示范、练习等多种教学方 式，引导学生积极参与、主动思考， 培养学生的自主学习能力和数学思维 能力。
分式方程的实际应用
如何将分式方程应用于实际问题中，并解释其物 理或经济意义，是一个值得思考的方向。
3
分式方程与其他知识点的联系
探索分式方程与其他数学知识点（如数列、概率 统计等）之间的联系，可以进一步加深对数学知 识的理解和应用能力。
THANKS
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换元法求解技巧
01
观察分式方程，确定合 适的换元变量。
02
通过换元，将分式方程 化为整式方程或更简单 的分式方程。
03
解整式方程或更简单的 分式方程，得到换元后 的解。
04
将换元后的解代回原方 程，求得原方程的解。
实际应用问题建模与求解
分析实际问题背景，确定问题中的已 知量和未知量。
利用去分母法或换元法求解分式方程 ，得到问题的解。
类型三
复杂分式方程，如
$frac{x+1}{x}
+
frac{x}{x+2}
专题09 分式方程(含解析)精讲
专题09 分式方程一、解读考点会识别分式方程的增根。
二、考点归纳归纳 1：分式方程 的有关概念 基础知识归纳：1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数为增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根2、使最简公分母为零．【例1】方程0112=+-x x 的解是（ ） A ．1或﹣1 B ．﹣1 C ．0 D ．1 【答案】D ．考点：解分式方程．归纳 2：分式方程的解法 基础知识归纳：1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根． 基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根． 【例2】（2015贺州）解分式方程：2134412142x x x x +=--+-．【答案】x =6．考点：解分式方程．归纳 3：分式方程的应用 基础知识归纳：1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案． 2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？【答案】解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，．由题意得，()300400260120%x x +=+，解得：x =2.5，经检验：x =2.5是原分式方程的解，（1+20%）x =3，则买甲粽子为：3003=100个，乙粽子为：4002.5=160个． 答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 本题设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，根据甲粽子比乙种粽子少用100元，可得甲粽子用了300元，乙粽子400元，根据共购进甲、乙两种粽子260个，列方程求解． 考点：分式方程的应用． 三、考题训练1．（2015遵义）若x =3是分式方程0212=---x x a 的根，则a 的值是（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．3 D ．﹣3 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵x =3是分式方程0212=---x x a 的根，∴210332a --=-，∴213a -=，∴a ﹣2=3，∴a =5，即a 的值是5．故选A ． 考点：分式方程的解． 2．（2015济宁）解分式方程22311x x x++=--时，去分母后变形为（ ） A ．2+（x +2）=3（x ﹣1） B ．2﹣x +2=3（x ﹣1） C ．2﹣（x +2）=3（1﹣x ） D ．2﹣（x +2）=3（x ﹣1） 【答案】D ． 【解析】试题分析：方程两边都乘以x ﹣1，得：2﹣（x +2）=3（x ﹣1）．故选D ．考点：解分式方程．3．（2015齐齐哈尔）关于x 的分式方程52ax x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ） A ．a =5或a =0 B ．a ≠0 C．a ≠5 D ．a ≠5且a ≠0 【答案】D ．考点：分式方程的解．4．（2015枣庄）关于x 的分式方程211x ax -=+的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥- B ．1a >- C ．1a ≤- D ．1a <- 【答案】B ． 【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x ﹣a =x +1，解得：x =a +1，根据题意得：a +1＞0且a +1+1≠0，解得：a ＞﹣1且a ≠﹣2．即字母a 的取值范围为a ＞﹣1．故选B ． 考点：分式方程的解．5．（2015南宁）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max {a ，b }表示a 、b 中的较大值，如：Max {2，4}=4，按照这个规定，方程{}21x Max x x x+-=，的解为（ ）A ．21-B ．22-C ．121-D ．1 1 【答案】D ．考点：1．解分式方程；2．新定义；3．综合题．6．（2015岳阳）岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x 元，则下列所列方程正确的是（ ） A ．2003503x x =- B ．2003503x x =+ C ．2003503x x =+ D ．2003503x x=- 【答案】B ． 【解析】试题分析：设每个笔记本的价格为x 元，则每个笔袋的价格为（x +3）元，由题意得：2003503x x =+，故选B ．考点：由实际问题抽象出分式方程．7．（2015鄂尔多斯）小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ）A ．120224=-+xx B ．122420=+-x x C ．=1 D ．=1【答案】B ． 【解析】试题分析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x +2）本，根据题意得：2020412x x +-=+，即：122420=+-x x ．故选B ． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 8．（2015襄阳）分式方程2110051025x x x -=--+的解是 ． 【答案】15x =． 【解析】试题分析：去分母得：5100x --=，解得：15x =，经检验15x =是分式方程的解．故答案为：15x =． 考点：解分式方程．9．（2015龙东）关于x 的分式方程02142=+--x x m 无解，则m = ． 【答案】0或﹣4．考点：1．分式方程的解；2．分类讨论．10．（2015贵港）某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m %，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需要时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m 的值是多少？ 【答案】590，m 的值是25． 【解析】试题分析：今年一月份生产量为：120（1+m %）；二月份生产量：120（1+m %）+50；根据题意列出方程并解答．试题解析：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为（1%m +），二月份的生产效率为51%12m ++．根据题意得：604551%1%12m m =+++，解得：m %=14，即25m =．经检验可知25m =是原方程的解．∴m =25．∴第一季度的总产量=120×1.25+120×1.25+50+120×2=590． 答：今年第一季度生产总量是590台，m 的值是25． 考点：1．分式方程的应用；2．综合题．11．（2015连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元． （1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【答案】（1）400；（2）10%．考点：1．一元二次方程的应用；2．分式方程的应用；3．增长率问题．12．（2015成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【答案】（1）120件；（2）150元．考点：1．分式方程；2．一元一次不等式的应用；3．应用题．13．（2015德阳）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．（1）求面料和里料的单价；（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．【答案】（1）面料的单价为50元/米，里料的单价为20元/米；（2）①8；②5%．【解析】试题分析：（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据题意列方程求解即可；（2）①设打折数为m，根据题意列不等式求解即可；②设vip客户享受的降价率为x，然后根据VIP客户与普通用户批发件数相同列方程求解即可．考点：1．分式方程的应用；2．一元一次方程的应用；3．一元一次不等式的应用；4．最值问题．14．（2015咸宁）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．【答案】（1）甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是50m2；（2）y=36﹣2x；（3）安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．【解析】试题分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列方程求解即可；（2）由题意得到100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，即可解答．（3）由甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，由题意得：w=0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答．试题解析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：40040042x x-=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2）；答：甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是50m2；（2）根据题意，得：100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，∴y与x的函数解析式为：y=36﹣2x；（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，∴x+y≤26，∴x+36﹣2x≤26，解得：x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，∵k=0.1＞0，∴w随x减小而减小，∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10，此时y=36﹣20=16．答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．考点：1．一次函数的应用；2．分式方程的应用；3．方案型；4．最值问题；5．综合题．15．（2015牡丹江）夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台的进价；（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A型按摩器和700元/台的B型按摩器．直接写出购买按摩器的方案．【答案】（1）甲种空调每台进价为2000元，乙种空调每台进价为1500元；（2）y=200x+6000；（3）有两种购买方案：①A型0台，B型12台；②A型7台，B型1台．考点：1．一次函数的应用；2．分式方程的应用；3．一元一次不等式组的应用；4．应用题；5．最值问题；6．方案型．16．（2015赤峰）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．【答案】（1）李老师步行的平均速度为76m/分钟；（2）李老师能按时上班．考点：1．分式方程的应用；2．行程问题．17．（2015泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）5960元．【解析】考点：分式方程的应用．18．（2015葫芦岛）某中学要进行理、化实验加试，需用九年级两个班级的学生整理实验器材．已知一班单独整理需要30分钟完成．（1）如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成任务，求二班单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）如果一、二的工作效率不变，先由二班单独整理，时间不超过20分钟，剩余工作再由一班独立完成，那么整理完这批器材一班至少还需要多少分钟？【答案】（1）60；（2）20．【解析】试题分析：（1）设二班单独整理这批实验器材需要x分钟，根据题意列方程：111515()130x x++=，求出x 的值，再进行检验即可；（2）设一班需要m分钟，则2013060m+≥，解不等式即可．试题解析：（1）设二班单独整理这批实验器材需要x分钟，则111515()130x x++=，解得x=60．经检验，x=60是原分式方程的根．答：二班单独整理这批实验器材需要60分钟；（2）方法一：设一班需要m分钟，则2013060m+≥，解得m≥20，答：一班至少需要20分钟．方法二：设一班需要m分钟，则2013060m+=，解得m=20．答：一班至少需要20分钟．考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．应用题．19．（2015抚顺）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5．考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题．。
9.3 第1课时 分式方程及其解法
9.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法学习目标：1、经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。
2、初步了解解分式方程可能产生增根，并掌握验根的方法，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别。
学习重点：掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。
学习难点：理解化分式方程为一元一次方程的依据和过程，明确产生增根的原因。
学习过程：一、学习准备1、解方程；51312=+x 3123x x =-+2、问题；在相距1600km 的两地之间运行一列车，速度提高25%后运行时间缩短了4h 。
列车提速前的速度是多少？分析：设列车提速前的速度为xkm/h 。
用含的未知数填空；根据运行时间缩短了4h ，列出方程：这个方程与以往的一元一次方程有什么区别？由此，我们得到分式方程的概念： 思考：如何解这个方程？方程两边同时乘以最简公分母 ，得到一元一次方程 ，解得：x=写出检验：二、合作探究1、依照上面方法解方程；23132--=--xx x2、把解得的根代入原方程检验，你发现了什么？把x=3代入检验时，方程中分式的分母为0，这时分式无意义，所以不是原方程的根，原方程无解。
像x=3这样的根，称为增根。
解分式方程为什么会产生增根呢？回顾解题过程，哪一步不是同解变形？解方程是根据等式性质，我们在把分式方程去分母化为一元一次方程时，是将方程两边都乘以一个含有未知数的整式，如(x-3)，这个整式可能使分母等于0，所以解分式方程必须检验。
3、阅读课本，总结：①解分式方程的步骤：②检验时，通常把求得的根代入4、解方程：①132=++x x x ② 212253-+-=--x x x x③121=--x x x ④ x x x -=+--32332三、学习体会对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？四、自我测试1、解方程：①115+=x x ② 312--=-x x x x③x x x x 325412379--+=-- ④ 114112=---+x x x2、下列方程：53432,311,2,61,7253=+=-=-==+x x y x x x x π, 分式方程有：3、如果方程xx x --=-2121有增根，那么增根是 五、思维拓展 1、已知分式方程13213+-=++x x ax x 有增根1-=x ，求a 的值。
初三数学分式方程试题答案及解析
初三数学分式方程试题答案及解析1.分式方程的解是。
【答案】x=9。
【解析】观察可得最简公分母是x(x﹣3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解。
方程的两边同乘x（x﹣3），得3x﹣9=2x，解得x=9。
检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0。
∴原方程的解为：x=9。
故答案为：x=9。
【考点】解分式方程。
2.（7分）（1）解关于m的分式方程=－1；（2）若（1）中分式方程的解m满足不等式mx+3＞0，求出此不等式的解集．【答案】（1）m=﹣2；（2）x＜1.5．【解析】（1）去分母将分式方程转化为整式方程，求出m的值，检验即可；（2）将m的值代入不等式，即可求出解集．试题解析：（1）去分母得：﹣m+3=5，解得：m=﹣2，经检验m=﹣2是分式方程的解；（2）将m=﹣2代入不等式得：﹣2x+3＞0，解得：x＜1.5．【考点】1.解分式方程2.解一元一次不等式．3.列方程（组）解应用题：某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况．开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务．求原计划每年建造保障性住房多少万套？【答案】8.【解析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．本题利用建设任务表示出建设时间，以时间为等量关系列方程是解题关键，等量关系为：提前2年完成建设任务.试题解析：设原计划每年建造保障性住房x万套．则解得 x=8．经检验：x=8是原方程的解，且符合题意．答：原计划每年建造保障性住房8万套．【考点】分式方程的应用．4.方程的解是【答案】x=3．【解析】原式可化为：2x=3（x－1）解得：x=3经检验得x=3是原方程的根所以原方程的解为x=3．故答案是x=3．【考点】解分式方程．5.济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成. （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？【答案】（1）乙工程队单独做需要80天完成；（2）甲队做了45天，乙队做了50天.【解析】（1）根据“甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成”，设乙工程队单独完成这项工作需要x天，列出方程求解即可；（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，可得到方程，再根据x<46，y<52，得到方程组，其中x、y均为正整数，解此方程组即可得到答案.试题解析：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得，解之得x=80.···················································3分经检验x=80是原方程的解.答：乙工程队单独做需要80天完成.·······················································4分（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，所以，即，又x<46，y<52，·····························5分所以，解之得42<x<46，因为x、y均为正整数，所以x=45，y=50.·················································7分答：甲队做了45天，乙队做了50天.···························································8分【考点】分式方程的应用；一元一次不等式（组）的应用．6.计算（1）计算：（2）解方程：【答案】（1）；（2）x = 4.【解析】（1）针对特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式化简，绝对值4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.（2）首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x+2）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元二次方程，最后检验即可求解.试题解析：（1）原式.（2）去分母得 3x2–6x–x2–2x = 0，即 2x2–8x = 0，∴ x = 0或x = 4.经检验：x = 0是增根.∴原方程的解是x = 4.【考点】1.特殊角的三角函数值；2.负整数指数幂；3.二次根式化简；4.绝对值；5.解分式方程.7.某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【答案】（1）100，50；（2）10.【解析】（1）方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 本题设乙队每天绿化x m2，则甲队每天绿化2x m2，等量关系为：在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解. 本题不等量关系为：这次的绿化总费用不超过8万元.试题解析：（1）设乙队每天绿化x m2，则甲队每天绿化2x m2，根据题意，得.解得：x=50.经检验，x=50.是原方程的根.2x=100.答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50m2。
9.3.4巧解分式方程
x2
2
2 2 2 x2 x 2x 1
2
x 3
x x 2 x 2x 1
经检验，x 3是原方程的根
1 4x 2 2 1 解方程： x 2 x 4 2 x
1 4x 2 1 解：原方程可化为 x 2 ( x 2)(x 2) x 2 两边都乘以 ( x 2)(x 2)，并整理得；
9 经检验 , x 是原方程的根 2
9 x 2
1 1 1 1 x3 x4 x 5 x 12
1 1 1 1 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
9 x 2
9 经检验, x 是 2 原方程的根
2x 9 2x 9 x 3x 12 x 5x 4
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法
5 经检验, x 是原方程的根 2
5 x 2
解方程 解
1 1 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 1 1 x3 x5 x 4 x 12
x2Байду номын сангаас
2
8 8 2 2 x 15 x 16 x 48
2
x 2 x 15 x 16x 48
x 9x 36 x 9x 9
2 2
例3 ：解方程
分式方程 PPT教学课件(数学人教版九年级下册)
数学初中
新知讲解
例1
(1)分式方程2xx－－25＝2－3 x的解为( )
（A）x＝-2 （B）x＝2 （C）x＝1 （D）x＝1 或 x＝2
(2)分式方程x－x 1-1=
(x
m 1)( x
2)
无解,则 m 的值为( )
（A）0 和 3 （B）1
（C）1 和 －2 （D）3
【点拨】
(1)去分母得 2x－5＝-3，解得 x＝1.经检验 x＝1 是原方程的解．
数学初中
练习2 解下列分式方程
（（21））�3+−-1�+�
�
2 =1
2+�
� = 5.
�-1 2
数学初中
新知讲解
考点三 分式方程的实际应用 利用分式方程解实际问题与利用一元一次方程解实际问题类似, 不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否为所列分式方程的解;
(2)检验所求的解是否符合实际.
数学初中
例3 今年开春以来,某地发生了严重的旱灾,为抗旱救灾,某部队计划为 驻地村民新修水渠3600 m,为使水渠能尽快投入使用,实际工作效率是原计
划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成了修水渠任务.问:原计划每天修水
渠多少米？
【点拨】设原计划每天修水渠 x m,则按原计划修完水渠需用3600天,
【解答】原方程化为 x－5 2＋1＝－xx－－12， 去分母得 5＋(x－2)＝－(x－1)． 解得 x＝－1. 检验：把 x＝－1 代入 x－2 中 x－2≠0. ∴x＝－1 是原方程的解
数学初中
练习2 解下列分式方程
【点拨】方程（1）(2)直接去分母化为整式方 程来解，其中方程（2）也可以用换元法来解
数学七下《9.3分式方程》word教案(7)
数学七下《9.3分式方程》word教案(7)9.3分式方程[知识精读]含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。
公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于字母系数的方程，通过简化，一般简化为求解A型方程。
讨论如下：x？B（1）当a时，方程a是关于X的一元线性方程，解为：X？？0x？BBA（2）当a时，有两种情况：？0<1>如果B，原始方程变成0，并且是相同的，那么x可以取任何数字，那么原始方程有无数个x？0溶液；<2>若b?0，原方程变为0，这是个矛盾等式，故原方程无解。
x?b(b?0)含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。
【分类解析】1.分数的有意义应用例1.若a，试判断b?a?b?1?0练习：当x取何值时，分式11.它有意义吗。
，A.1b？12倍？1有意义吗？值为0？11? x2。
在数学、物理、化学等学科的学习中，我们会遇到相关公式的推导和变形。
公式的变形本质上是用字母系数求解方程。
例2已知x？2岁？3.试着用含有x的代数公式来表示y，并证明（3x？2）（3Y？2）？133y？2bcac？bx？（2a？b）363。
求字母系数为3的一元方程的解解解方程2aX关于x？分析：将x以外的字母视为数字，这类似于求解一元方程，但要注意除数不为零的条件。
4.已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例4.如果关于x的方程a1b1如果有唯一的解决方案，确定a和B应满足的条件。
xaxb5。
其他学科应用（公式变形）例5.在物理学中我们学习了公式s?其中所有的字母都不为零。
已知s、vtt，v0、0?at，试求a。
例6.解关于x的方程122x？A.bx？Bcx？CA.3（a，B，C？0）CBB案例7求解关于X的方程。
ax(x?a)?bx(x?b)?(a?b)(x?a)(x?b)(ab?0)练习：已知Z交流电？D0问Z（c）b?zd【实战模拟】0，V1，填空：在V中，如果已知V和a，则t？________________。
七年级数学下册 第9章 分式 9.3 分式方程 第1课时 解
x=3
是分式方程 ������������
������-1
−
2������������-1=2
的解,那么实数
k
的值为
2.
知识要点基础练
知识点 2 分式方程的解法
3.下面是四位同学解方程������2-1 + 1���-���������=1 的过程中去分母的一步,其中正 确的是( D )
A.2+x=x-1
综合能力提升练
14.解下列分式方程:
(
1
)23
+
������ 3������-1
=
9���1���-3;
解:方程两边同乘以( 9x-3 ),得 2( 3x-1 )+3x=1,解得 x=13.检验:当 x=13时,9x-3=0,所以 x=13不是原方程的解.所以原分式2
)������2������-4
A.56
B.54
C.32
D.-16
11.若分式51-������ 与 2-13������的值互为相反数,则 x=
7 4
.
12.若分式3������������-+15无意义,当3������5-2������ − 2���1���-������=0 时,则 m=
3 7
.
综合能力提升练
13.小明解方程2���������-���-21+1=11-.25������的过程如下: 方程两边都乘 2x-1,得 x-2+( 2x-1 )=-1.5. 解这个方程,得 x=12,所以 x=12是原方程的根. 你认为小明的解法正确吗?请说明理由. 解:不正确.理由:经检验当 x=12时,2x-1=0,所以 x=12是原方程的增根, 所以原分式方程无解.
数学：9.3《分式方程》课件
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成 ____整__式______方程;
(2)解这个_____整__式_____方程; (3)检验:把___这_个__整_式___方程的根代入 (4)_最_简__公_分__母__中___.如果值不_为__零______,就
是原方程的根;如果为值零__________,就是 增根舍.应去当__________.
二,通过这节课的学习,你有哪些 收获?说出来与大家分享.
课本 基础训练：同步练习
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/12022/3/1March 1, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1. 什么叫一元一次方程?
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x53 (2)x2y5 (3)x2x5 (4)xx11
23
3. 请解上述方程(1)、(4).
一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶,已知 快客车每小时比中巴车多行20千米,快客车行驶
80千解米:所设需要快的客时车间每与小中时巴行车行驶驶X6千0米千米,则所需要 的时中间相巴同车,每求快小客时车行的驶速(度X－. 20)千米,根
九年级数学中考题型解析 分式方程(讲解部分)
ң②㊀ 整式方程㊀ ．
������������������������������������������������������������
考点二㊀ 分式方程的应用
㊀ ㊀ １． 常见题型有行程问题和工程问题．
是④㊀ 原方程㊀ 的根，再检验方程的根是否符合⑤㊀ 题意㊀，缺一不可．
２． 用分式方程解应用题时，检验分为两步，先检验所求根是不
下的 ２０ 千克按标价的五折优惠销售． 若两次购进水果全部售完， 利润不低于 ９５０ 元，则每千克水果的标价至少是多少元？ 次购进水果的销售利润之和． 每千克水果的购进价格的差， 两批水果全部售完的利润等于两 １ ０００ ２ ４００ ＋２ ＝ 进水果 ２ｘ 千克，由题意得 ， ｘ ２ｘ 去分母，得 ２ ０００＋４ｘ ＝ ２ ４００，解得 ｘ ＝ １００． 答：该商店第一次购进水果 １００ 千克． 整理得 ２９０ｙȡ４ ３５０，解得 ｙȡ１５． 解析㊀ （１） 设该商店第一次购进水果 ｘ 千克， 则第二次购
转化 ㊀
ң整式方程．
掉方程的分母；
第一步：用方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边， 去 第二步：解这个整式方程，求出这个整式方程的根； 第三步：将整式方程的根代入最简公分母 （ 或原方程 ） 进行 例 １㊀ （ ２０１８ 江苏连云港，１８，６ 分） 解方程： 解析㊀ 去分母，得 ３ｘ －２（ ｘ －１） ＝ ０， 解得 ｘ ＝ －２． 经检验，ｘ ＝ －２ 是原方程的解， 所以原方程的解是 ｘ ＝ －２． ３ ２ － ＝ ０． ｘ －１ ｘ
检验，并作出结论．
若 ｘ ＝ －１，则原分式方程无解，此时 －１ ＝ － 综上可知，当 ａ ＝ ʃ１ 时原分式方程无解． 答案㊀ ʃ１
乘最简公分母， 化为整式方程， 再解整式方程， 最后一定要注意 检验． 易错警示㊀ 解分式方程最容易出现的错误是忘记检验． ｘ ＝ ㊀ ㊀ 变式训练 ㊀ （ ２０１８ 江苏镇江， １９ （ １ ） ， ５ 分 ） 解方程： ｘ ＋２ ２ ＋１． ｘ －１ ㊀ ㊀ 解析㊀ 去分母，得 ｘ（ ｘ －１） ＝ ２（ ｘ ＋２） ＋（ ｘ ＋２） （ ｘ －１） ， 整理，得 ４ｘ ＋２ ＝ ０， １ 解得 ｘ ＝ － ． ２ １ 检验：当 ｘ ＝ － 时，（ ｘ ＋２） （ ｘ －１） ʂ０， ２ １ ʑ ｘ ＝ － 是原分式方程的解． ２
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所以 所以
所以
1 1 -2 x2 x2
所以 0=-2
所以 原方程无解
2.李明到离家2.1km的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道 具还放在家中，此时距聚会还有42分钟，于是他立即步行（匀速） 回家，在家拿道具用了1分钟，然后骑自行车（匀速）返回学校， 已知李明骑自行车的速度是步行的3倍，李明骑自行车到学校比他 步行到学校少用了20分钟。
解：设公司原计划安排x名工人生产，每个工人每天 2000 生 x 2000 20000 2 2000 0 产 件 依题意得方程： x 1 25 0 x 50 10 2 2 解得：x=750 经检验x=750是方程的解 答：公司原计划安排750人生产
9 解方程
3
解：原计划每天种x棵树，实际每天种 依题意 得
480 480 4 1 x 1 x 3
1 1 x 3
树
解这个方程 得x=30 经检验x=30是原方程的解 且符合题意 答：原计划每天种30树
5 一项工程，甲乙公司合作12天可以完成，共需付施 工费102 000元；如果甲 乙单独做此工程，乙公司所用 的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天比甲公司的施工费 少1 500元 （1）甲乙两公司单独完成此项工程，各需多少天? （2）若让一个公司单独完成此项工程，哪个公司的 施工费用较少？ 解：（1）设甲公司单独完成为x 天，乙公司单独完成为1.5x天
解
x 1 4 2 1 x 1 x 1 x 1 4 2 1 x 1 x 1
x 1 x 1 4 1 2 x 1
2 2
x 2x 1 4 x 1
2x 2
解得：x=1 x=1使方程无意义 故原方程无解
10、a为何值时，关于x的方程 解：
x 1 2a 3 x2 a5
解列方程可得
x=20
经检验 x=20是原方程的根且符合题意
答：原来每天加工演出服 20套
（练习） 下 面是驻军工程指挥官的一段通话： 甲：你们用9天完成4800m长的大提的加固任务 乙：是的，我们加固600m后，采用新的加固模式，这 样每天加固长度是原来的2 倍 通过这段对话请你求出该地 驻军原来每天加固多少米？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的解为0
11、若分式方程
求m的值
2 3 m 2 x 1 x 1 x 1
有増根
2 3 m 2 解：因为方程 x 1 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 m 2 2 x 1 x 1
5x 1 m 2 2 x 1 x 1
因为方程有増根 当x=1或 x=-1
原来每天加固300米
18、甲乙两个工程队分别承担一条2km公路的维修任务，甲队有 一半的时间每天维修公路xkm;另一半时间每天维修公路ykm.乙队维 修前1km时，每天维修xkm;乙队维修后1km时，每天维修ykm(x‡y) （1）求甲乙两队完成任务需要的时间（用含x y的代数式表示） （2）问甲乙两队哪队先完成任务？
分式方程题目精选
蒙城县三义中学都学海
1、阅读下列材料： 解方程
1 x 1 3 x2 x2
解：方程的两边都乘以x-2, 约去分母，得1=x-1-3(x2),解这个整式方程，得x=2. 检验。当x=2时x-2=0 ，所以是増根，原方程无解 请你根据这个方程的特点，用另一个方法解这个方程 解：答案丌唯一，今提供两种方法供参考 解法（1）因为 所以
（1）李明步行的速度是多少米/分？ （2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
2100 2100 20 x 3x
解：（1）设李明步行的速度是x米/分，依题意，得 解得：x=70
经检验：x=70是原方程的根 答：李明步行的速度时70米/分
（2）、因为
2100 2100 1 41 < 42 70 3 70
300 x
原来每人平均费用为 现在每人平均费 480 用为 x 依题意得方程 300 480 4 x 2x 解方程得： x=15 将x=15代入方程检验 x=15是原方程的根
答：原定的人数为15人
14、某工厂对某设备进行检修后，工作效率比原计划提 高了4％，因此比原计划提前5天完成任务，问原计划几 天完成任务？ 解、原计划x天完成任务，现在为（x-5)天完成任务
公共汽车先走3h 的路程 公共汽车与小汽车相同时间段走路程
甲
公共汽车与小汽车相同时间段走路程 小汽车迟20min走的路程
乙
解： 设公共汽车的速度为x,小汽车的速度为3x 公共汽车时间为
80 x
h
小汽车时间为
80 3x
h
依题意得方程
80 80 1 3 x 3x 3
解方程得：x=20
经检验x=20是方程的解 答：公共汽车速度为20Km/h，小汽车速度为60km/h
所以李明能在联欢会开始前赶到学校
3 先化简再求值： 其中x是丌等式组
x2 3x 4 2 2 2 x 1 x 1 x 2 x 1
x+4>0
2x+5<0 3x 4 2x 1 x 2 2 解：原式= x 1x 1 x 1x 1 x 1
的整数解
3x 4 - 2 x 2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1x 1
2
解丌等式组
x+4>0 2x+5<0
得 -4<x<-2.5
x 1 因为x为整数，所以x=-3,当x=-3时，原式= =2 x 1
4 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒 坡上种48棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划 多种 1 ，提前4天完成任务，原计划每天种多少棵树？
解：设甲队的时间为a,前一半 时间修路为½ax ,后一半时间修 路为½ay.前后修完2km的路程， 1 1 ax ay 2 所以
2 2
变形后为
1 乙队前1km时间为 后1km时间为 y 所以 1 1 a 变型后可得： a x y x y xy
4 a xy
1 x
（2）由（1）可知 甲队的时间为 由（1）可知 乙队的时间为 所以：
x 1 2a 3 x2 a5
解为0
x 1a 5 2a 3x 2
ax 5 x a 5 2ax 4a 3x 6 ax 8 x 5a 1
5a 1 x a 8
1 5
当a=
x 1 2a 3 时，关于x的方程 x2 a5
1 1 1 依题意得方程： x 1.5 x 12
解得 x=20 经检验 x=20是原方程的解且符合题意
故甲乙两个公司单独完成此项工程分别为20天和30天
（2）设甲公司每天的施工费用为y元 乙公司每天 的施工费用为（y-1 500)元 依题意得方程 12（y+y-1 500)=102 000 解得 y=5 000 甲公司单独完成此项工程所需的施工费； 20×5 000=100 000 乙公司单独完成此项工程所需的施工费； 30×（5 000-1500）=105 000
1 原来的效率 x
1 现在的效率 x - 5
、
由题意可知
1 1.04 x 1 1 x 5
解得 x=130(天） 答： 原计划为130天
15 甲乙两地的距离是80km，一辆公共汽车从甲地驰 出3h后，一辆小汽车也从甲地驰出，它 的速度是公共 汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20min到达，求两 车的速度
4 x y x y - xy
a
4 xy
x y a xy
4 xy x y xy x y
2
x- y <0 xy x y
所以甲队先完成任务
2
2 kx 3 2 19 当k为何值是 去分母方程 x2 x 4 x2
会产生増根
解
2 kx 3 2 x2 x 4 x2 2 x 4 kx 3x 6 2 x 4 x2
故甲公司的施工费用较少
8 日本地震后，核电站出现了严重 的核泄漏事故，为了防止民众 受到更多的核辐射，我国某医疗公司承担了生产2万套防辐射衣服 的任务，计划10天完成，在生产2 天后，为提前完成任务，公司增 派50人参加生产，同时效率提高25％，结果提前2天完成生产任务。 求公司原计划多少名工人参加生产？
所以x=1或 x=-1
代入 5x+1=m 可得 m=6或-4
12、小杰同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电 脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人 数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要 480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少 4元 ，原定的人数是多少？ 解、设原定的人数为x ,后来人数为2x;
1 x 1 3 x2 x2
所以
1 x 1 -3 x2 x2
- x 2 -3 x2
所以 -1=-3
所以 原方程无解
解法(2) 因为
1 x 1 3 x2 x2
所以
1 x 1 -3 x2 x2 1 x2 1 -3 x2 x2 x2
1 1 1 -3 x2 x2
2 x 4 kx - 3 x 6 0 2 x 4 kx - x 10 0 2 x 4
当x=2时 k=-4 当x=-2时 k=6 所以当k=-4或6时
方程会产生増根
k - 1 x 10 0 2 x 4
因为 x有増根 所以x=2或-2
同学们再见
17 某服装厂准备加工300套演出服，在加工60套后，采 用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果公用 了9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服？ 解：设原来每天加工x套演出服 现在每天为2x套 60 前面60套加工的天数为 x 余下