带扩散的捕食者食饵系统平衡点的稳定性分析
一类改进的捕食-食饵模型正平衡点的稳定性
一类改进的捕食-食饵模型正平衡点的稳定性王白雪;贾云锋【摘要】研究了在齐次 Neumann边界条件下一类带有 Beddington-DeAngelis 型功能反应项的改进的Leslie-Gower捕食-食饵模型正平衡点的稳定性。
给出了关于正平衡点存在唯一的结果，利用单调迭代方法得到了正平衡点全局渐近稳定的充分条件。
%A modified Leslie-Gower predator-prey model with Beddington-DeAngelis functional response under homogeneous Neumann boundary condition is considered.Firstly,the existence and uniqueness result of positive constant equilibrium is obtained under certain conditions. Secondly,the sufficient condition for the global asymptotic stability of the positive constant equilibrium is given by the monotone iteration principle.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(044)004【总页数】4页(P1-4)【关键词】改进的Leslie-Gower捕食-食饵模型;Beddington-DeAngelis反应项;唯一性;稳定性【作者】王白雪;贾云锋【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安 710119;陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安 710119【正文语种】中文【中图分类】O175.26MR subject classification: 35K57自经典的Lotka-Volterra捕食-食饵模型[1]被提出以来, 捕食-食饵模型作为数学生物学中一类重要的模型一直受到学者的广泛关注。
毒素影响下的HollingＧTanner捕食者Ｇ食饵模型的稳定性分析
第３５卷第６期２０２１年１１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３５N o ．６N o v ．２０２１收稿日期:２０２１Ｇ０３Ｇ２８基金项目:国家自然科学基金(１１７６１０６３,１１６６１０５１)作者简介:孙芳娟(１９９５Ｇ),女,甘肃临夏人,在读硕士,研究方向:偏微分方程及其应用．E Ｇm a i l :１５３３４２１７２９＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２１)０６Ｇ００１８Ｇ０３毒素影响下的H o l l i n gＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型的稳定性分析孙芳娟(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州７３００７０)摘要:研究一类毒素影响下的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食模型非负平衡点的稳定性．运用微分方程理论以及线性化分析讨论带毒素的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食模型和相应的扩散捕食模型非负平衡点的稳定性．关键词:H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型;毒素;稳定性中图分类号:O １７５．２６㊀㊀㊀文献标志码:A0㊀引言１９７５年,R o b e r t 等[１]提出了H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型:d u d t ＝αu －u ２－a u v m ＋u ,d v dt ＝βv －v r u ．ìîíïïïï(１)该模型能够很好地刻画鹰与麻雀㊁猞猁与野兔等生物种群之间的相互影响,因此,受到了很多学者的广泛关注．例如,W o n l y u lK o 和K i m u nR y u 在文献[２]中研究了具有扩散的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型正常数解的局部稳定性和全局稳定性,以及非常数正解的存在性和不存在性．P e n g和W a n g 在文献[３]中讨论了H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型的反应扩散系统正常数平衡态解的全局稳定性．L i 和C o n g 在文献[４]中通过构造合适的L i a p u n o v 函数,给出了系统正解存在唯一平稳分布的充分条件．近年来,各类化学物品的排放,造成了土壤㊁空气和水资源的污染,环境毒素不仅损害了人类的健康,还可能导致其他动植物的灭绝．因此,环境毒素对生态种群的影响成为了一个研究热点．例如,Y a n 和L i 在文献[５]中利用L i a p u n o v ＧS c h m i d t 方法,研究了由二重特征值产生的分支解的存在性和稳定性;文献[６]发现环境毒素可能诱导双稳态现象的发生;文献[７]讨论了毒素影响下L o t k a ＧV o l t e r r a 捕食模型的局部性态．受此启发,本文考虑如下带有毒素的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型:d u d t ＝u １－u ()－a u v b ＋u－eu ２,d v d t＝λv １－v u æèçöø÷,ìîíïïïï(２)其中,u ,v 分别表示食饵和捕食者的种群密度;a 表示捕食率;λ表示捕食者种群的内禀增长率;e 为毒素并且０＜e ＜１;e u ２表示毒素对食饵种群的毒害作用,系统内所有参数均为正常数．考虑到空间非均匀分布因素,在模型(２)中引入扩散可得到相应的反应扩散模型:∂u ∂t ＝u １－u ()－a u v b ＋u －e u ２＋d １Δu ,㊀㊀x ɪΩ,t ＞０,∂v ∂t ＝λv １－v u æèçöø÷＋d ２Δu ,x ɪΩ,t ＞０,∂u ∂n ＝∂v ∂n ＝０,x ɪ∂Ω,t ＞０,u x ,０()＝u ０x (),v x ,０()＝v ０x (),x ɪΩ,ìîíïïïïïïïïïï(３)其中,Δ为L a pa l c e 算子;Ω是R N 中具有光滑边界∂Ω的有界区域;∂u ∂n ,∂v∂n表示单位外法向的方向导数;d １和d ２分别代表食饵和捕食者的扩散率．本文讨论了常微分系统非负平衡点的稳定性,并分析了反应扩散系统非负平衡点的稳定性．1㊀常微分系统非负平衡点的稳定性显然,系统(２)存在半平凡平衡点U １１e ＋１,０æèçöø÷以及唯一的正平衡点U ∗u ∗,v ∗(),其中u ∗＝v ∗＝[－(a ＋b ＋b e －１)＋a ＋b ＋b e －１()２＋４be ＋１()]/[２e ＋１()]．系统(２)在半平凡平衡点U １１e ＋１,０æèçöø÷处的J a c o b i 矩阵为J U １()＝－１－a b e ＋b ＋１０λæèçççöø÷÷÷,因此,U １１e ＋１,０æèçöø÷是不稳定的鞍点．下面讨论系统(２)在正平衡点U ∗(u ∗,v ∗)处的稳定性．定理１㊀(１)当λ０＜a u ∗b ＋u∗,且λ０＜λ时,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(２)当λ０＞a u∗b ＋u ∗或λ０＞λ时,U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．证明㊀系统(２)在U ∗u ∗,v ∗()处的J a c o b i矩阵为J (U ∗)＝λ０－a u ∗b ＋u ∗λ－λæèçççöø÷÷÷,其中,λ０＝１－２u －a b vb ＋u ()２－２e u ．其对应的特征方程为ξ２－F ∗ξ＋G ∗＝０,其中,F ∗＝λ０－λ,G ∗＝λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷．容易看到,当F ∗＜０且G ∗＜０时,即λ０＜λ且λ０＜a u ∗b ＋u ∗时,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;当λ０＞a u ∗b ＋u ∗或λ０＞λ时,U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．2㊀反应扩散系统非负平衡点的稳定性㊀㊀本节主要讨论反应扩散系统(３)在非负平衡点的稳定性．显然,半平凡平衡点U １１e ＋１,０æèçöø÷在系统(３)中也是不稳定的．下面考虑系统(３)在正平衡点U ∗u ∗,v ∗()处的稳定性．定理２㊀设λ０＜a u ∗b ＋u ∗成立,有(１)若d １π２ȡλ０,则U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(２)若d １π２＜λ０,且d ２ɤ^d ２,则U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(３)若d １π２＜λ０,且d ２＞^d ２,则U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．证明㊀对u ,v 做F o u r i e r 展开,得u ＝ð¥k ＝０t k c o s k πx ,v ＝ð¥k ＝０s kc o s k πx ．系统(２)在U ∗u ∗,v ∗()处的线性化矩阵为∂∂t u v æèçöø÷＝d １d ２d x ２＋λ０f v ∗g u ∗d ２d２d x ２＋g v ∗æèççççöø÷÷÷÷u ∗,v ∗()u v æèçöø÷,因此,上述问题转化为ξ００ξæèçöø÷t k s k æèçöø÷＝－d １k ２π２＋f u ∗f v ∗g u ∗－d ２k ２π２＋g v ∗æèçöø÷t k s k æèçöø÷．系统(２)在U ∗u ∗,v ∗()处的特征方程为ξ２－F k ξ＋G k ＝０,其中F k ＝－d １k ２π２－d ２k ２π２＋f u ∗＋g v ∗,G k ＝d １d ２k ４π４＋k ２π２－d １g v ∗－d ２f u ∗()＋f u ∗g v ∗－f v ∗g u ∗．(∗)令F ∗＝f v ∗＋g u ∗＝λ０－λ,G ∗＝f u ∗g v ∗－f v ∗g u∗＝λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷．由定理１可知,只需在λ０＜a u ∗b ＋u ∗且λ＞λ０的情况下讨论系统(３)在U ∗u ∗,v ∗()处的稳定性．由于F ∗＝λ０－λ＜０,因此F k ＜０．下面分析G k 的符号,重新整理(∗)可得G k ＝k ２π２d １λ＋λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷＋９１第６期孙芳娟:毒素影响下的H o l l i n gＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型的稳定性分析k ２π２d ２d １k ２π２－λ０()．由于λ０＜a u ∗b ＋u ∗,所以G ∗＝λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷＞０,因此只需考虑d １k ２π２－λ０的符号．(ⅰ)若d １π２＞λ０,则对所有的k ,此时U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(ⅱ)若d １π２＜λ０,令G k ＝０,有d ２k ()k ２π２d １λ＋λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷k ２π２λ０－d １k ２π２()＞０．显然,使得d ２k ()＞０的k 只有有限个．记Λ１＝k λ０＞d １k ２π２,k ȡ１{},^d ２＝m i n Λ１d (k )２d (k )２＞０{}．若d ２ɤ^d ２,则对所有的k ȡ１,G k ȡ０,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;若d ２＞^d ２,则存在某个k ０ɪΛ１,使得^d ２＝d ２k ０()＜d ２,则G k ０＜０,因此U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．3㊀结语由定理３可知,当食饵的扩散率大时,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;当食饵的扩散率小,捕食者的扩散率也小时,U ∗u ∗,v ∗()是稳定的;只有当食饵的扩散率小,而捕食者的扩散率大时,U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．参考文献:[１]T A N N E RJT．T h e s t a b i l i t y an d t h e i n t r i n s i c g r o w t h r a t e so f p r e y a n d p r e d a t o r p o p u l a t i o n s [J ]．E c o l o g y,１９７５,５６(４):８５５Ｇ８６７．[２]W K O ,K R Y U．N o n Ｇc o n s t a n t p o s i t i v e s t e a d yＧs t a t e s o f ad i f f u s i v e p r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e mi nh o m o ge n e o u s e n v i r o n m e n t [J ]．M a t h A n a lA p p l ,２００７,３２７(１):５３９Ｇ５４９．[３]P E N G R ,WA N G M X．G l o b a l s t a b i l i t y o f t h e e qu i Ｇl i b r i u m o fad i f f u s i v e H o l l i n g ＧT a n n e r p r e y Ｇpr e d a t o r m o d e l [J ]．A p p lM a t hL e t t ,２００７,２０(１):６６４Ｇ６７０．[４]L I H H ,C O N G F Z ．D yn a m i c s o fas t o c h a s t i c H o l l i n g ＧT a n n e r p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e l [J ]．P h ys ．A ,２０１９,５３１:１２１７６１．[５]Y A N X ,L IYL ,G U O G H．Q u a l i t a t i v e a n a l ys i s o n ad i f f u s i v e p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e lw i t ht o x i n s [J ]．M a t h A n a lA p pl ,２０２０,４８６(１):１２３８６８．[６]HU A N G Q H ,WA N G H ,L E W I S M A．T h e i m Ｇp a c t o f e n v i r o n m e n t a l t o x i n s o n p r e d a t o r Ｇp r e y d yn a m Ｇi c s [J ]．J o u r n a l o fT h e o r e t i c a lB i o l o g y ,２０１５,３７８:１２Ｇ３０．[７]C H E N LJ ,S U NJT ,C H E N FD．E x t i n c t i o n i naL o t k a ＧV o l t e r r a c o m p e t i t i v es y s t e m w i t hi m p u l s ea n d t h ee f f e c to ft o x i cs u b s t a n c e s [J ]．A p p l i e d M a t h e Ｇm a t i c a lM o d e l l i n g ,２０１６,４０(３):２０１５Ｇ２０２４．[责任编辑:赵慧霞]S t a b i l i t y A n a l y s i s o naH o l l i n g ＧT a n n e rP r e d a t o r Ｇp r e y Mo d e lw i t hT o x i n s S U N F a n g Ｇju a n (S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :T h es t a b i l i t y o ft h en o n Ｇn e g a t i v ee q u i l i b r i u m p o i n t so ft h e H o l l i n g ＧT a n n e r p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e l u n d e r t h e i n f l u e n c e o f a k i n d o f t o x i nw a s s t u d i e d ．T h e s t a b i l i t y o f t h e n o n Ｇn e g a t i v e e qu i l i b r i u m p o i n t so f t h eH o l l i n g ＧT a n n e r p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e l w i t h t o x i n a n d t h e c o r r e s p o n d i n g d i f f u s i o n p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e lw a s d i s c u s s e db y u s i n g t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h e o r y a n d l i n e a r a n a l ys i s ．K e y wo r d s :H o l l i n g ＧT a n n e rP r e d a t o r ＧP r e y m o d e l ;t o x i n s ;s t a b i l i t yC A,e t a l．D i r e c td e t e r m i n a t i o no f l i g h tb e a m s t o p oＧl o g i c a l c h a r g e s u s i n g d i f f r a c t i o n[C]//Q u a n t u mE l e cＧt r o n i c s a n dL a s e rS c i e n c eC o n f e r e n c e２００８,C a l i f o rＧn i a:O S AC o n t i n u u m,２００８:４６Ｇ４９．[１６]王涛,蒲继雄．涡旋光束单缝衍射的理论和实验研究[J]．中国激光,２００９,３６(１１):２９０２Ｇ２９０７．[１７]高福海,陈宝算,蒲继雄,等．拉盖尔Ｇ高斯光束经单缝后的光强分布和螺旋谱[J]．激光与光电子学进展,２０１１,４８:４３Ｇ４９．[１８]谌娟,柯熙政,杨一明．拉盖尔高斯光的衍射和轨道角动量的弥散[J]．光学学报,２０１４(４):２５６Ｇ２６２．[１９]Z HA N G W．E f f e c t o f a t h i no p t i c a lK e r rm e d i u mo n a L a g u e r r eＧG a u s s i a n b e a m a n d t h e a p p l i c a t i o n s．[D]．W a s h i n g t o n:W a s h i n g t o n S t a t e U n i v e r s i t y,２００６．[责任编辑:李㊀岚]S i m u l a t i o no nD i f f r a c t i o nP a t t e r no fL a g u e r r eＧG a u s sD o u b l eＧs l i t B e a m sX U Q u a nＧx u e１,Z H E N GS iＧm i n g２,WA N GT a o２(１．D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s a n dN a t u r a l S c i e n c e s,L h a s aT e a c h e r sC o l l e g e,L h a s a８５０００７,C h i n a;２．D e p a r t m e n t o fP h y s i c s,S i c h u a nN o r m a lU n i v e r s i t y,C h e n g d u６１００６８,C h i n a)A b s t r a c t:T h e i n f l u e n c e f a c t o r s o f t h e f r i n g e d i s t r i b u t i o n a n d i n t e n s i t y o f L a g u e r r eＧG a u s s b e a md i f f r a cＧt e d t h r o u g hd o u b l eＧs l i t a r e s t u d i e d．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h e d o u b l eＧs l i t d i f f r a c t i o n p a t t e r n i s a g r o u p o f f r i n g e s p a r a l l e l t o t h e s l i t a n d a l t e r n a t e l y d i s t r i b u t e d i n l i g h t a n ds h a d e,i nw h i c h t w om a i nb r i g h t s t r e a k s a p p e a r i nt h ec e n t r a l z e r oo r d e r,a n dt h e l i g h t i n t e n s i t y o f t h es u bＧb r i g h ts t r e a k sd e c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s e o f t h e f r i n g e o r d e r．T h e d i s t r i b u t i o n o f d i f f r a c t i o n f r i n g e s i s c l o s e l y r e l a t e d t o t o p o l oＧg i c a l c h a r g e,d i f f r a c t i o nd i s t a n c e,t h ew i d t ho f t h e s l i t,t h e d i s t a n c e b e t w e e no n e s l i t a n d a n o t h e r a n d s p o t s i z e．T h e r e s u l t sm a y h a v e p o t e n t i a l a p p l i c a t i o nv a l u e i n t h em e a s u r e m e n t o f t o p o l o g i c a l c h a r g e a n d i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o no f v o r t e xb e a m s．K e y w o r d s:L a g u e r r eＧG a u s sb e a m s;d o u b l e s l i t s;d i f f r a c t i o n p a t t e r n(上接第１７页)AC l a s s o fM i n i m a l L i n e a rC o d e s f r o mC h a r a c t e r i s t i cF u n c t i o n sHUJ i nＧx i a,J I N W e nＧg a n g,WA N GT i a nＧx i n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a)A b s t r a c t:B a s e do nt h e m e t h o do f c o n s t r u c t i n g m i n i m a l l i n e a rc o d e s f r o m c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s,a c l a s s o fm i n i m a l l i n e a rc o d e sw i t hl o w e rw e i g h tw a sc o n s t r u c t e db y s e l e c t i n g a p p r o p r i a t ed e f i n i t i o n s e t s．T h e r e s u l t s s h o w e d t h a t t h e c o n s t r u c t e d l i n e a r c o d e sw e r em i n i m a l l i n e a r c o d e s t h a t d on o tm e e t t h eA s h i k h m i nＧB a r g c o n d i t i o n,a n dc o u l db eu s e d t od e s i g ns e c r e t s h a r i n g s c h e m e sw i t h g o o da c c e s s s t r u c t u r e s．K e y w o r d s:m i n i m a l l i n e a r c o d e;c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n;A s h i k h m i nＧB a r g c o n d i t i o n。
一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性
一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性摘要：本文研究了一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性。
我们首先建立了该模型的数学表达式，并引入了阶段结构的概念。
然后，我们通过分析该模型的稳定性来探讨阶段结构对模型动力学行为的影响。
最后，通过数值模拟验证了我们的理论结果，并讨论了模型的生态意义。
本研究对于理解阶段结构在食饵—捕食者交错扩散模型中的作用具有重要意义。
1. 引言生态系统中的食物链关系是复杂而精密的，其中食饵和捕食者之间的相互作用是重要的研究内容。
近年来，研究者们发现，食饵和捕食者的阶段结构对于模型的动力学行为有着重要的影响。
然而，在过去的研究中，大多数模型都假设食饵和捕食者的种群是均匀分布的，这忽略了阶段结构的作用。
因此，我们需要研究一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性。
2. 建模我们考虑一类带有阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型，该模型的数学表达式如下：$$\begin{align*}\frac{\partial u}{\partial t} &= d_1 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \gamma u(1-\frac{u}{K}) - \alpha uv^m, \\\frac{\partial v}{\partial t} &= d_2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \alpha u v^m - \beta v.\end{align*}$$其中，$u(x,t)$表示食饵的种群密度，$v(x,t)$表示捕食者的种群密度，$d_1$和$d_2$是出现在扩散项中的常数，$\gamma$是食饵的自然增长率，$K$是食饵的最大容量，$\alpha$和$\beta$是食饵和捕食者之间的相互作用强度，$m$是一个正的常数。
一类具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型的全局稳定性
０ ０
， ｅ ｎ 。 ，
詈 一 ｄ ２ Ａ ＝ （ ｅ ｖ ） ， ｅ ｎ ， ｔ ＞ ０ ，
ｕ （ ｘ ， ０ ）＝‰（ ）≥０ ， ｖ （ ｘ ， ０ ）＝ｖ ｏ （ ｘ ） ≥０ ， ｘ∈ｎ
Ｓ ｅ ｐ ．２ ０１ ５
一
类 具 有 反 应 扩 散 和 比 率 依 赖 功 能 性 反 应 的 捕食 者一 食 饵 模 型 的全局 稳 定 性
李学鹏 ， 杨 文生
（ 福建师 范大学 数学与计算机科学学院 ， 福建 福州 ３ ５ ０ ０ ０ ７ ）
摘
பைடு நூலகம்
要： 研究一类具有反应扩散 和比率依 赖功能性反应 的捕食 者一 食 饵模 型。通过 构造 递推序 列和运 用迭 代方法 ， 得
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａ ｄ ｉ ｆ ｕ ｓ ｉ ｖ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — ｐ ｒ ｅ ｙ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗ ｉ ｔ ｈ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ — ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｍｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ．Ｓ ｕ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． １ ４ ０ ９ ６ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｅ ｎ ３ ４ — １ ０ ６ ９ ／ ｎ ／ １ ０ ０ ４ ４３ － ２ ９ （ ２ ０ ］ ５ ） ０ ３ － ０ １ ２ － ０ ４
Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ａ ｄ ｉ ｆｕ ｓ ｉ ｖ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ － ｐ ｒ ｅ ｙ ｍｏ ｄ ｅ ｌ
捕食者-被捕食者模型稳定性分析报告
被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。
本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。
【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。
下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。
然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。
三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
一类具有扩散的捕食-食饵模型正解的存在性
作者简介 ： 李海 侠 （ １ ９ ７ ７ 一） ， 女， 陕 西 宝 鸡人 ， 讲师 ， 博士 ， 研究方 向： 偏 微 分 方 程计 算 及其 可视 化
第 ４ 期
李海侠 ： 一 类 具 有 扩 散 的捕 食 一 食 饵 模 型 正解 的存 在 性
・ｌ ８ ３・
间和 捕食 者对 第二 个 食 饵 的 每单 位 捕 食 量 的消 化
第 ３ ３卷
第 ４期
陕 西科 技 大 学 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ａ ｎ ｘ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． ４
Ａ ｕｇ ．２ ０１ ５
饵模 型 ． 文献 ［ ８ ］ 利 用不 动 点 指 数 和分 歧 理 论 得 到 了共存 解存 在 的充分 和必要 条件 ． 文献 ［ ９ ， １ Ｏ ］ 在 齐
次 Ｎｅ ｕ ｍａ ｎ ｎ边界 条件 下也 研究 了此 类模 型． 为 给 出重要 的结果 ， 首 先给 出一些 预备 知识 ． 引理 １ Ｅ ¨ ］ 令 Ｐ （ ｏ ｒ ） Ｅ Ｃ（ ｎ） ， （ Ｐ） 是 如 下 特 征值 问题 一△ ＋ （ ｚ ） 一 ， ｚ∈ｎ， 一０ ， Ｅ ａ ｎ
统（ １ ） 成 为如下 带 有扩散 的捕食一 食饵 模 型 ：
】 ｌ 一Ａ 甜 一 （ ｒ 一 ） 一— “ 十 Ｔ 十 ， ∈力 ， ｔ ＞０ ，
Ｉ Ｊ 一△ 一 一 曲叫 ， ｚ∈ ， ｔ ＞０ ，
０ 十 叼 下
Ｉ
的主特 征值 ， 则 （ Ｐ ） 连续 依赖 Ｐ， （ ） 是 简单 的．
ＬＩ Ｈａ ｉ — ｘｉ ａ
食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型动力学分析
食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型动力学分析食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型动力学分析动物世界中常常存在着食饵与捕食者之间的复杂关系。
其中，反应扩散方程是一种被广泛运用在捕食者-食饵模型中的数学模型，可以用来研究食饵种群和捕食者种群之间的相互作用。
本文将通过分析食饵为Smith增长的反应扩散捕食者-食饵模型的动力学特征，探讨这种模型在生物群落的演化中的作用。
反应扩散方程是描述捕食者和食饵之间关系的一种数学方程。
在本模型中，食饵被描述为一种按照Smith增长模型增长的种群，而捕食者被描述为一种以食饵为食物的另一种种群。
模型的基本形式如下：\[\frac{\partial u}{\partial t} = D_u \Delta u +ru(1 - \frac{u}{K}) - \alpha uv\]\[\frac{\partial v}{\partial t} = D_v \Delta v -\beta uv\]在上述方程中，u代表食饵的种群密度，v代表捕食者的种群密度，t代表时间，Du和Dv分别表示食饵和捕食者的扩散系数，r为食饵的增长率，K为食饵种群的承载能力，α表示食饵被捕食后被转化为捕食者的比例，β表示食饵被捕食后导致捕食者死亡的比例。
不同的参数值设置将导致不同的动力学特征。
当θ=0时，反应项便退化为线性项，此时方程变为标准的扩散方程，描述了食饵和捕食者之间的非反馈关系。
而当θ=1时，反应项退化为饱和项，此时方程描述了食饵和捕食者之间的直接相互作用。
当0<θ<1时，反应项同时包含线性项和饱和项，此时方程描述了食饵和捕食者之间的间接相互作用。
首先，我们来探讨当θ=0时，即线性项情况下，模型的动力学特征。
由于这种情况下没有反馈作用，食饵和捕食者之间的相互作用仅仅通过扩散项来传递，模型表现出的特征是扩散过程主导。
食饵和捕食者之间将在空间上形成明显的稳定界面，且界面的波动不会扩散到整个生物群落内。
几类捕食-食饵模型的稳定性与Hopf分支分析
摘 要在自然界中，很多现象都可以用数学模型来描述,如用于研究种群增长的Logistic模型、描述捕食者与被捕食者生长情形的捕食-食饵模型、研究传染病传播规律的SIR模型等。
同时这些数学模型还可以探讨物理、化学、生物等各学科中的各种系统并取得了广泛应用，其研究的内容和方法是多种多样的。
借助数学模型这一工具，我们能够有效地刻画和描述现实世界中很多事物的发展规律，进而对生产和实践进行理论的指导，其研究结果具有重要的理论和实际意义。
本论文研究了几类具有实际背景的捕食-食饵模型的稳定性和Hopf分支。
首先考虑了一类具时滞的Holling III型的捕食-食饵模型，由特征根分析法来判别正平衡点的局部稳定性；借助Hopf分支定理、中心流形定理和规范型理论来判别Hopf 分支的性质；最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。
其次考察了一类带herd行为的捕食-食饵模型，通过选取适当的参数给出了正平衡点的稳定性；并分别以所选的参数和时滞作为分支参数，用Hopf分支定理，中心流形定理以及规范型理论来判别Hopf分支的性质；最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。
最后讨论了一类具有食饵捕获项的捕食-食饵模型，通过分析特征方程，分别得到了正平衡点的稳定性和分支周期解的存在性和稳定性；应用迭代技巧，得出了扩散模型的唯一正常数平衡态的全局渐近稳定性；最后借助数学软件Matlab来验证所得结论。
关键词：捕食-食饵模型；Hopf分支；时滞；中心流形定理；规范型理论Stability and Hopf Bifurcation Analysis of SomePredator-Prey ModelsLi Sanyun (Mathematics)Directed by A.P. Zhi Hongyan and Li YanAbstractMany phenomena can be described by mathematical models in the natural sciences and social sciences, such as, the Logistic model for studying population growth, the predatory-prey model for describing the growth of predatory and prey fish, and the SIR model for studying the spread of infectious diseases. At the same time, these mathematical models can also study a variety of issues in physics, chemistry, biology and other disciplines, and the content and methods of their research are varied. By using the mathematical model of this tool, we can effectively describe the development of things in real life, and then can guide the practice of production through the research and application of mathematical models, the research results have important theoretical and practical significance. In this paper, we consider the stability and Hopf bifurcation of some reaction-diffusion predator-prey models.Firstly, a time-delay predator-prey model with Holling III is considered. By analyzing the corresponding characteristic equations, we judge the local stability of the positive equilibrium point. The properties of Hopf bifurcation are given by using Hopf bifurcation theorem, the center manifold theorem and normal form theory.Numerical simulations are carried out to illustrate our results.Next, we investigate a predator-prey model with herd behavior, the stability of the positive equilibrium point is given by choosing the appropriate parameters. The properties ofs and the delay as bifuacation parameter. Hopf bifurcation are obtained by choosingNumerical simulations are carried out to illustrate our results.Finally, we discuss a predator-prey model with prey harvesting. The stability of the positive constant and the existence, stability and bifurcation direction of the periodic solution are obtained respectively by analyzing the corresponding characteristic equations, the global asymptotical stability of positive constant equilibrium of the diffusive model is obtained byiterative technique. Numerical simulations are carried out to illustrate our results. Keywords: predator-prey model; Hopf bifurcation; delay; the center manifold theorem; normal form theory目 录第一章绪论 (1)1.1 课题研究背景和发展状况 (1)1.2 本文的主要工作 (4)第二章具时滞Holling III型的捕食-食饵模型的Hopf分支 (5)2.2 ODE的Hopf分支分析 (6)2.3 PDE的Hopf分支分析 (9)2.4 数值模拟 (12)第三章带Herd行为的捕食-食饵模型的动力学行为 (15)3.1 模型背景 (15)3.2 ODE的Hopf分支分析 (17)3.3 时滞微分方程的分析 (21)3.4 PDE的Hopf分支分析 (23)3.5 时滞PDE的Hopf分支分析 (26)3.6 数值模拟 (29)第四章具食饵捕获项的反应扩散捕食-食饵模型 (34)4.1 模型背景 (34)4.2 ODE的Hopf分支分析 (35)4.3 PDE的Hopf分支分析 (37)4.4 正平衡点的全局渐近稳定性 (42)第五章结论与展望 (48)5.1 主要结论 (48)5.2 展望 (48)参考文献 (49)攻读硕士学位期间取得的学术成果 (52)致谢 (53)iv中国石油大学（华东）硕士学位论文第一章 绪论1.1 课题研究背景和发展状况自然界中的捕食-食饵模型是一类特别重要的种群模型，也是生物数学研究的热门模型之一。
一类带阶段结构的捕食-食饵扩散系统的稳定性
一类带阶段结构的捕食-食饵扩散系统的稳定性曹怀火;李海燕;张永【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)015【摘要】The global behavior of positive solutions to a predator-prey diffusive system with stage-structure under homo-geneous Neumann boundary conditions is proved, and stability of the non-negative equilibrium points to system is investi-gated with the assistance of the spectrum analysis and Lyapunov function.%证明一类带有阶段结构和空间扩散的三次捕食者-食饵扩散系统在齐次Neumann边界条件下正解的整体性态，应用谱分析方法和构造Lyapunov泛函讨论系统非负平衡解的渐近稳定性。
【总页数】6页(P42-47)【作者】曹怀火;李海燕;张永【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062; 池州学院数学与计算机科学系，安徽池州 247100;池州学院数学与计算机科学系，安徽池州247100;兰州大学数学与统计学院，兰州 730000; 池州学院数学与计算机科学系，安徽池州 247100【正文语种】中文【中图分类】O175.26【相关文献】1.一类捕食-食饵系统的持久性和绝灭性——具有扩散的阶段结构Beddington-DeAngelis功能性反应 [J], 林晓2.一类食饵带传染病的捕食者-食饵扩散模型的稳定性 [J], 伏升茂;李红金3.一类食饵带传染病的捕食者-食饵扩散模型的稳定性 [J], 李红金4.一类带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统解的渐近行为 [J], 胡华书;蒲志林;沈怡心5.一类具有时滞和阶段结构的捕食者-食饵系统的全局稳定性 [J], 王玲书因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类捕食者-食饵扩散模型的稳定性分析
则有 Ｌ＞ ． ４ 式及 文［ ］ ０ 由（ ） ９ 引理 ２ ５ ３得 ．．
± 竺
ｕ
堕 ！ ± 堕 竺 竺 二
’ ｈ； ｕｕ
Ｊ“ “ ｎ－ ｄ （一 ） ｘ
（一‘ｄ＝・ ｕ “ ０ ｚ２ｘ ）
令 Ａ＝ ， 则 （ Ａ）＝ 当 。 ∞时
＋ ＋ Ａ
什么条件下 问题 的（ ） １ 的正平衡点稳定．
由上 、 解 方 法 知 ： 任 意 非 负 光 滑 的 初 始 函 数 下 对
。 。 ２ｕ 了 “ － ｅ［一 ＿ ＝
ｄ
ａ２ ＝ １
’
，ｚ 一 ＿ 。 ＝
一
，
＾
（）ｉ ，， Ｘ ，：１ ２ 问题 （ ） １ 存在 唯 一 非负 整体 解 （ ｕ，
＝， ， ０ ∈ ｎ｝
衡点 ， 则相应 于（ ） １ 的常微 分方程组存在唯一稳定 的 极限环． 若正平衡点存在 唯一且局部 稳定 ， 则该正 平
衡点全局 渐近稳 定． 意到 （ ） 注 １ 的常微 分方程组形式 的解是反 应扩散 问题 （ ） １ 的特解． 因此 ， 当常微 分方 程组 形式 的（ ） １ 的正 平衡 点不稳定时 ， 它仍 是反应扩 散问题 （ ） １ 的不稳 定平衡 点． 本文 的主要 问题 是 ： 故
正平衡点 的局 部渐 近稳定 性 和全 局渐 近稳 定性 ， 其
中 ｎ是 Ｒ 中边界光滑 的有 界 区域 ， 是 ０ 上的单 ７ ７ １ ２ 位外 法向量， ＝ａａ ， Ｘ ｔ ， （ ，） ｄ ／ ｕ （ ，） Ｘ ｔ 分别是食 饵 种群和捕食者种群 的密度 函数 ， ， Ｉ，， Ｗ都 是 ａ ｂ ｃｄ ｈ和 正常数． 由文 ［ ，］ ， （ ） 在唯 一的不稳 定 的正 平 １２ 知 若 １ 存
对带有非局部时滞和扩散的捕食者-食饵系统的稳定性分析
（４ １） ．
（．） １５
Ｇｏｒ ｙｎｌ ｕｌ ［ 建立 了 （．） ｅ １３ 式解 的线性 稳定性 、全 局收 敛性 和解 的分支结 果 ． 另一方 面 ，在关 于 ｆ ｇ和 ｈ一定 的假设 下 ，许 多作者 研究 了如下 反应扩 散方 程 的行 波 ，
ｆｔｄ ＝１ （ ｔ ， ）
（ ） ， ＝ ／ ／ ｃｘＹｔ ）（ ） ｓ ｙｓ ｆ （ｔ 钆 ） （ ，—ｓ ｔ ，ｄｄ， ， ｆ —ｓ （ ）
Ｃ ｘＹｔ＝１＋ ∑ ｅ （，， ） 一 ｃｓ ｘ ｉｎ 是如下热方程的解 ｏｎ ｎ ｙ ｓ
Ｇｔ Ｇ ＝ ， ｔ ， ＞０ Ｙ∈（，） ０７， ｒ Ｇ （， ＝Ｇ （，） ０ ｔ ， ０ｔ ） ７ ｔ＝ ， ＞０ ｒ
厂 ｔ 厂７ ｒ
Ｕ＝／ ／ａｘ ， ｓ （ ｓ １ ， （ｓ ｙｓ ３ （Ｙ — ）ｔ ） （ｓ ２ ，ｄ ， ， ｔ ｆ — ｕ ） ） ｄ
（８ １） ．
Ｎ． Ｏ３
李玉 环等 ：对 带 有非局 部 时滞和 扩散 的捕 食者 一 饵 系统 的稳定性 分析 食
４７ ７
则 （． ，１２ 式等 价 于如下 问题 １ ） （．） １
１： “ ＋Ｕ （ｌ ｌ￣ ） １Ｆ（ｌｕ） （＞０Ｘ∈（，） ｔ ｌ ｌｒ —ａｌ １一０２ ｕ ，２ ｔ ｔ ０７） ｒ ，ｔ Ａｚ “ ＝？ ｚ～￣ （２ ２￣） ２Ｆ（ｌｕ） （＞０Ｘ∈（，） ２ ２ ｔ ｒ ＋ａ２２ ＋ａ１ Ｕ ，２ ｔ ２ ｔ ０７） ｒ Ｕ ０ｔ ＝Ｕ ７ ＝ ０ （ ＞０， ｌ（，） ｌ（，） ｒ ｔ ） Ｕ ０ｔ＝ Ｕ ７ ｔ＝ ０ （＞０， ２（，） ２（，） ｒ ｔ ）
。西南大学数学与统计学院 重庆 ４ ０ １ ） ０７ ５
道路干扰对捕食者-食饵系统稳定性的影响
k1 。若
)
2
则系 统 ( 2) 存 在 正 平 衡 点 1，
E* ( N , M ) ， 其表 示两个 种 群 共 存， 其中
N
k1 (1 1
1
1 2
,M
k2 ( 1
2 1
1)
2
。
不 稳 定。 定 理1零 平 衡点 E O (0,0) 为鞍点， 定理2若
2
1， 则系统 (2)在 边 界 平 衡点 E1 ( k1 ,0) 处 是 局
k1 和 k 2 分 别 为 食 饵 N 和 捕 食 者
M 的最 大 环 境 容 纳 量。
另 一方面， 道 路 的 大 肆兴 建 促 进了社会 经济 迅 速 发 展 的 同 时 对自然 景 观 和 生 态 系 统 所 产 生 的 诸 如 环 境 污 染、 景观 破 碎、生 境 退 化 、生 物 死 亡 率 递 增、 生 物 多 样 性 减 少、 生物 入 侵、 生 态阻 隔和廊道 效 应等各种生 态 破 坏 也 在急 剧 地 扩
1 稳定性分析
1.1 局部 稳 定性分析 考虑系统(2)相应的反应系统：
(2) 由于问题 的实际背景， 文中仅需考虑系统 的 非负解。 易见 系统(2)有零 平 衡点 E O (0,0) ； 一 个 边界 平 衡点 E1 ( k1 ,0) ， 边 食 饵 种 群 的 密度 达 到 界 平 衡点 E1 表 示 若 没有捕 食 者出 现， 最大环境容纳量
科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald
51
科技创新导报
2016 NO.27 Science and Technology Innovation Herald
一类扩散捕食食饵模型的非常数正稳态解
t >0,
l
v
vt =rv 1+d2 △v,
u
∂nu =∂nv =0,
u(
x,
0)=u0(
x),
v(
x,
0)=v0(
x),
x ∈ Ω,
t >0,
x ∈∂Ω,
t >0,
(
2)
x ∈ Ω,
其中,d1 和 d2 分别代表食饵和捕食者的自扩散系数;Ω 是有界光滑区域;
n 表示边界 ∂Ω 的 单位外法向量 .
征值都具有 负 实 部,即 Mi 的 特 征 多 项 式 φi(
λ)=0 的 两 个 根 λi1 和 λi2 都 具 有 负 实 部,其 中,φi(
λ)=
*
λ -t
r(
Mi)
λ +de
t(
Mi).
下面将证明存 在 δ > 0 使 得 Reλij ⩽-δ(
i ⩾ 1,
2).设 λ =αiζ ,并 将 其 代 入 式 φi(
i ⩾1,
⩽- .设 -C =max1⩽i⩽i0 {
2
2
2
1
2).进而 E 是局部渐近稳定的 .
j =1,
-
i
2 非常数正稳态解的存在性与不存在性
与模型(
3)对应的稳态解方程为
m
μuv
, x ∈ Ω,
-d1Δu =u 1-u u +a
1+bu +c
v
v
,
-d2Δv =rv 1u
∂nu =∂nv =0,
*
一类带阶段结构的捕食-食饵扩散系统的稳定性
一类带阶段结构的捕食-食饵扩散系统的稳定性曹怀火;李海燕;张永【摘要】The global behavior of positive solutions to a predator-prey diffusive system with stage-structure under homo-geneous Neumann boundary conditions is proved, and stability of the non-negative equilibrium points to system is investi-gated with the assistance of the spectrum analysis and Lyapunov function.%证明一类带有阶段结构和空间扩散的三次捕食者-食饵扩散系统在齐次Neumann边界条件下正解的整体性态，应用谱分析方法和构造Lyapunov泛函讨论系统非负平衡解的渐近稳定性。
【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)015【总页数】6页(P42-47)【关键词】三次捕食者-食饵系统;阶段结构;反应扩散;渐近稳定性【作者】曹怀火;李海燕;张永【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062; 池州学院数学与计算机科学系，安徽池州 247100;池州学院数学与计算机科学系，安徽池州247100;兰州大学数学与统计学院，兰州 730000; 池州学院数学与计算机科学系，安徽池州 247100【正文语种】中文【中图分类】O175.261 引言文献[1]讨论了三次捕食者-食饵扩散系统：解的整体性态，其中Ω是Rn(n≥1)中具有光滑边界的有界区域，∂η=∂/∂η，η是∂Ω上的单位外法向量，u1(x，t)，u2(x，t)分别是食饵种群和捕食者种群的密度函数，扩散系数d1，d2及生命系数b3，b4，c，α，β都是正常数，b1非负，b2的符号不定，b1表示食饵种群的内禀增长率，c是捕食者的净死亡率，捕食者的生存依赖于食饵的生存状况，b2u1-b3与βu2分别为食饵与捕食者的密度制约项，b4u1表示捕食者对食饵的捕食率，αu1表示食饵转化为捕食者自身的增长率，ui0(x)(i=1，2)是非负且不恒为零的光滑函数。
一类具反应扩散的捕食模型平衡态模式的定性分析
一类具反应扩散的捕食模型平衡态模式的定性分析谢君辉;刘婷婷;孙涛【摘要】研究了一类具反应扩散的捕食-食饵模型,运用分歧理论讨论了该模型平衡态半平凡解的局部分支解的存在性,进而,给出了该问题正平衡解存在性的充分条件.%In this paper,we study a class of predator-prey model with reaction and diffusion.By using the bifurcation theory,we discuss the existence of semi-trivial solution for local branch solutions of the steady states and give the sufficient conditions for the existence of positive solutions of the problem.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)003【总页数】5页(P247-251)【关键词】捕食模型;反应;扩散;平衡态【作者】谢君辉;刘婷婷;孙涛【作者单位】湖北民族学院理学院,湖北恩施 445000;湖北民族学院理学院,湖北恩施 445000;湖北民族学院理学院,湖北恩施 445000【正文语种】中文【中图分类】O029生物数学是生物学与数学之间的学科，它应用数学方法研究和解决生物问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究.捕食－食饵模型是生物数学中的一类重要模型，关于捕食－食饵模型，人们不仅考虑空间分布均匀的常微分方程模型，而且，而且也考虑空间分布不均匀的偏微分方程模型，即具反应扩散的捕食模型.利用反应扩散方程组来研究生物模型，已经成为偏微分方程的一个重要研究方向，同时也成为生物学发展的一个趋势［1－7］.由于反应扩散方程组解的长时间行为与其相应的平衡态问题密切相关，因此，确定反应扩散方程组平衡解的定性性质是后续研究的首要环节和任务.本文就如下捕食模型进行研究：上述两个模型中，Ω⊂Rn（n≥2）为有界开区域，边界∂Ω充分光滑，λ，μ，a，b，c均为正常数，u，v分别表示在一定的范围Ω内食饵和捕食者物种的密度．本文中，限定μ＞0，表明捕食者还有其他的食物来源为HollingIV类功能反应函数（又称Monod－haldance函数）.此外，从生态学角度来看，齐次Neumann边界条件表明系统是封闭的．模型（1）描述在一个封闭的环境里，食饵与捕食者相互影响的关系．模型（2）则刻画在这样的一个封闭环境中，捕食者和食饵的数量能否达到某个共存平衡态．引理1［7］（基本的分歧定理）设X，Y为Banach空间，U＝S×V为R×X中的开集，f∈C2（U，Y）且f（λ，0）＝0，又L0＝D2f（λ0，0），L1＝D1D2f（λ0，0）满足下列条件：则存在δ＞0和C1连续曲线（λ，φ）：（－δ，δ）→R×Y使得对任意．而且存在（λ0，0）的领域，使得f的零点或者在这条曲线上，或者为（λ，0）．定理1 假设μ＞λ，则模型（2）存在正解（u，v）＞（0，0）．证明首先令μ＞λ，将λ取为分歧参数，由半平凡非负解｛λ，0，θ［μ］｝构造出方程的解，其中θ［μ］为问题：同样有：存在充分小δ＞0及C1连续曲线（－δ，δ）：→R×Z λ（0）＝λ～，φ1（0）＝φ2（0）＝0且（λ（s）；w（s），χ（s））＝（λ（s）；w（φ＋φ1（s）），s（ψ＋φ2（s）））满足（λ（s）；w（s），χ（s））＝0，其中 X＝Z⊕span｛（φ，ψ）｝．因此（λ（s）；U（s），V（s））（｜s｜＜δ）是模型（2）的分歧解，其中U（s）＝s（φ＋φ1（s）），V（s）＝s（ψ＋φ2（s））．若取0＜s＜δ，则它恰好为模型（2）的正解，且在分歧点｛μ～；θ［λ］，0｝附近的非平凡负解要么在分支｛（λ；0，θ［μ］），λ∈R＋｝上，要么在｛（λ（s）；U（s），V（s）），0＜s＜δ｝上，即定理1得证．【相关文献】［1］郭改慧，李艳玲.B－D反应项的捕食－食饵模型的全局分支及稳定性［J］.应用数学学报，2008，31（2）：30－40.［2］郭改慧，吴建华.一类捕食－食饵模型正解的存在性和唯一性［J］.武汉大学学报：理学版，2008，54（1）：9－14.［3］吴婷.一类带B－D反应项的捕食食饵模型的解的研究［D］.长沙：湖南师范大学，2012. ［4］Peng R，Wang M X，Chen W Y.Positive steady of a prey－predator model with diffusionand nonmonotone conversion rate［J］.Acta Math Sin，2007，23（4）：749－760.［5］Peng R，Shi J P，Wang M X.Stationary pattern of a ratio－dependent food chain model with diffusion［J］.SIAM J Appl Math，2007，67（5）：1479－1503.［6］肖学良，雒志学，张宇功.一类具有Holling－Ⅱ型功能反应的食饵－捕食者模型的定性分析［J］.西南民族大学学报：自然科学版，2013，23（3）：190－194.［7］毛月梅，马小箭.一类具有阶段结构的捕食开发模型的动力学行为［J］.延边大学学报：自然科学版，2013，39（2）：108－11.［8］叶其孝，李正元.反应扩散方程引论［M］.北京：科学出版社，1994：118－134.［9］郭大钧.非线性泛函分析［M］.济南：山东科技出版社，2003：42－77.［10］曾宪忠.带有第三边值的捕食模型的正稳态解的存在性［J］.应用数学学报，2006，29（5）：801－820.［11］叶其孝，李正元，王明新，等.反应扩散方程引论［M］.2版.北京：科学出版社，2011. ［12］Du Y，Sze－Bi Hsu.A diffusive predator－prey model in heterogeneous environment［J］.J Differential Equations，2004，203：331－364.［13］Zeng X Z.A ratio－dependent predator－prey system with diffusion［J］.Nonlinear Anal：RWA，2007，8（4）：1062－1078.［14］彭锐，王明新.一个具有扩散和比例依赖响应函数捕食模型的定性分析［J］.中国科学A辑：数学，2011，38（2）：135－148.［15］Zeng X Z，Liu Z H.Nonconstant positive steady states for a ratio－dependent predator－prey system with cross－diffusion［J］.Nonlinear Anal：RWA，2010，11（1）：327－390.［16］Yang K.种群数学模型的基本性质［J］.生物数学学报，2002，17（2）：129－142. ［17］顾永耕，曾宪忠.被捕食者带有第三边值的捕食模型的正稳态解的存在性［J］.数学物理学报，2007，A27（2）：248－262.。
一类带有非线性交错扩散的捕食者-食饵系统的图灵不稳定性和空间模式
一类带有非线性交错扩散的捕食者-食饵系统的图灵不稳定性和
空间模式
本文主要研究如下的带有非线性交错扩散和Beddington-De Angelis型功能性反应的捕食者-食饵系统的图灵不稳定性与稳态问题（?）其中Ω（?）R为边界（?）Ω光滑的有界区域,n是边界（?）Ω上的单位外法向量,参数d<sub>i</sub>,α<sub>i</sub>,β<sub>i</sub>（i=1,2）,K,a,b,d,e,m都是正常数.初值
u<sub>0</sub>和v<sub>0</sub>是不恒为零的非负光滑函数,而函数u（x,t）和v（x,t）则分别表示食饵与捕食者在空间位置x处t时刻的种群密度.本文首先在第二章应用线性化方法研究了该系统及相应反应系统的唯一正常数解的稳定性,并得到了图灵斑图出现的一些充分条件.研究结果表明,充分大的交错扩散率β<sub>1</sub>也许会导致图灵不稳定性的发生.接着为了计算拓扑度,第三章利用最大值原理和Harnack不等式给出了问题（1.5）的正稳态解的先验估计.第四章则首先讨论了在交错扩散消失的情况下非常数正稳态解的不存在性,并进一步建立了交错扩散系统（1.5）的非常数正稳态解的存在性,证明了充分大的交错扩散系数β<sub>1</sub>或β<sub>2</sub>能够创造非常数正稳态解.本文的结果表明,充分大的食饵交错扩散率不仅会导致图灵不稳定性现象的出现,而且会导致非常数正稳态解的出现。
一类具交错扩散捕食系统的稳定性分析
一类具交错扩散捕食系统的稳定性分析
应用微分方程研究种群生态学有非常久远的历史,其中考虑生物生活的时空环境,应用偏微分方程模型来研究生物种群在空间中的演化过程也是不可忽略的一部分研究课题。
本文考虑具有交错扩散的捕食模型,探讨其稳定性及空间模式。
本文的主要内容由两部分组成。
第一部分：我们考虑了一个具两个食饵和一个捕食者的三种群捕食模型,我们首先证明了在没有扩散项的情况下正平衡解是全局渐近稳定的,且在没有交错扩散项的反应扩散系统中仍然是线性稳定的。
进一步我们证明了当系统没有交错扩散项的时候是全局渐近稳定的,但是当交错扩散项在反应扩散系统中发挥作用时系统变得不稳定,即由交错扩散引起的不稳定,也叫图灵不稳定。
之后相应的数值模拟也为我们验证了结论,并且我们还得到了种群的空间格局。
第二部分：我们在原先的系统中考虑食饵之间互相帮助形成组织防御的项
u1u2u3,并讨论此时系统的稳定性情况。
我们首先讨论了没有扩散项的情况,发现此时系统有7个平衡解,并且当反应项的系数a,b,c,d,e满足一定条件时存在两个正平衡解E1和E2,我们发现当这两个解系数分别满足一定条件时是局部渐近稳定的。
之后我们探讨了只存在自扩散的情况下正平衡解的稳定性,发现只有自扩散不会影响系统的稳定性。
随后我们探讨了交错扩散的情形,我们选取k31,k32作为变化参数,发现当系数满足一定条件时,无论k31,k32如何变化,E1始终是线性稳定的。
而对E2,当k31,k32大到一定程度就会导致该系统的线性不稳定,最后我们通过数值模拟来验证我们的结论,并相应的得到了种群的空间格局。
食饵有强弱之分的 Leslie-Gower捕食者-食饵扩散模型的稳定性
食饵有强弱之分的 Leslie-Gower捕食者-食饵扩散模型的稳定性伏升茂;吴守妍【摘要】考虑食饵有强弱之分的Leslie‐Gower捕食者‐食饵扩散模型（LGM ）的稳定性与不稳定性。
首先，通过线性化方法和构造Lyapunov函数证明仅带线性自扩散模型（LGM ）的正平衡点的局部以及全局渐近稳定性；然后，给出交错扩散导致T uring不稳定的一个充分条件。
%The stability and instability of a diffusive Leslie‐Gower predator‐prey model(LGM ) with weak and strong prey are discussed . Firstly , the local and global asymptotical stability of the positive uniform steady states of the model (LGM ) only with linear self‐diffusion are proved by linearization and constructing a Lyapunov function . T hen a sufficient condition of the T uring instability induced by cross‐diffusion is given .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】Leslie-Gower捕食者-食饵扩散模型;自扩散;交错扩散;稳定性;Turing 不稳定【作者】伏升茂;吴守妍【作者单位】西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O175.26众所周知,在许多捕食者-食饵系统中,捕食者可以通过捕食相对较弱的食饵提高捕获率[1-3].最近,Mohammadi等[4]提出捕食者-食饵模型其中H1,H2和P分别表示强食饵、弱食饵以及捕食者种群的密度,r1和r2分别表示H1和P的增长率,b和a2为H1和P的种内竞争率,α为H1和H2的种间影响系数,c1和c2分别表示H2的死亡率和被捕食率.本文始终假设r1,b，α,c1,c2,r2,a2为正常数.Mohammad等[4]得到了下列结果：定理A[4] ( i ) 如果α>bc1/r1,那么(1)有唯一的全局渐近稳定的正平衡点E *=(H *1,H *2,P *),其中( ii )强食饵变成弱食饵不仅没有对模型的持久性产生影响,反而能加强食饵与捕食者的共存.考虑到种群空间分布的非均匀性和种群内部的自然扩散以及生态系统的多样性,我们将模型(1)推广到反应扩散模型这里Ω⊂Rn为具光滑边界的有界区域,ν为边界∂Ω上的单位外法向量,∂ν=∂/∂ν,di(i=1,2,3)为正的扩散系数,H10(x),H20(x),P0(x)是非负不恒为零的光滑函数.联系到种群间的相互迁移、竞争等因素,我们可以在模型(2)中引入交错扩散项,其系数可为正数、负数以及零.正系数表示某一种群向另一种群低密度方向迁移,而负项表示相反含义.为论证简单,我们只考虑一维空间中的交错扩散模型这里d23(<0)为交错扩散系数,其它所有参数均为非负实数.模型(3)有下述生态意义: ( i )若捕食者处于强的食饵与弱的食饵之间,它就会灭绝;捕食者只捕获弱的食饵; ( ii )只有当强的食饵享用了足够多的资源后,弱的食饵才可以享用;(iii)一个食饵变弱后不会再变成强的食饵.本文通过构造适当的Lyapunov函数证明模型(2)的正平衡点E*=(H*1,H*2,P*)的全局稳定性.这表明:一般扩散不能引起该模型稳定性的变化,即不能产生经典意义下的Turing不稳定，然而交错扩散对该模型具有不稳定化作用.本节讨论模型(2)古典解的整体存在性及其一致有界性.记定理1 设是模型(2)的解,Hi(x,0)=Hi0≥0且不恒等于0,i=1,2,P(x,0)=P0≥0且不恒等于0,其中T是模型(2)的解的最大存在区间,则对任意t∈(0,T),有0<Hi≤Mi(i=1,2),0<P≤M3,其中M1=max是依赖于,和系数r1,c1,b的正常数,进一步有T=∞.证明由于g1,g2,g3在R3\{H0=0}上光滑,由熟知的偏微分方程基本理论知,模型(2)古典的局部解存在唯一.故为说明模型(2)的解整体存在,只需证明模型(2)的解一致有界.先证明模型(2)的解的非负性.由标准的抛物型方程理论知,模型(2)有唯一的古典解 E=(H1,,其中T是模型解的最大存在时间.当H10(x)≥0,H20(x)≥0,P0(x)≥0三者都不恒等于0时,对∀x∈Ω和t>0有H1(x,t)>0,H2(x,t)>0,P(x,t)>0.更进一步,由于M1是模型(2)的第一个方程的上解,从而.对模型(2)的前两个方程运用Green公式和Young不等式,有因此,由Gronwall不等式知L1(Ω)在[0,∞)上有界,应用文献[5]中3.5节习题四的方法,可以得到在[0,∞)上有界.记,其中是依赖于区域Ω、系数r1,c1,b及的常数.最后由模型(2)的第三个方程有由抛物型方程的比较原理知P(x,t)≤r2M2/a2,进一步有P(x,t)≤M3.】为便于叙述,我们记设0=μ1<μ2<…是-Δ算子在齐次Neumann边界条件下的特征值,N(μi)∈H1(Ω)是μi的特征子空间.设X={E=(H1,H2,P)∈[H1(Ω)]3},{φij:j=1,…,dimN(μi)}是N(μi)的一组正交基,且Xij={c·φij:c∈R3},那么设D=diag(d1,d2,d3),L=DΔ+FE(E*),这里其中模型(2)在E*处的线性化系统为Et=LE.对∀i≥0,Xi是算子L的不变子空间,λ是算子L的特征值当且仅当它是矩阵-μiD+FE(E*)的特征值.矩阵-μiD+FE(E*)的特征多项式为这里设λi,1,λi,2,λi,3为多项式(4)的三个根.为获得E*的稳定性,需证明存在一个正常数δ，使得定理2 对于模型(2),如果α>bc1/r1,那么E*局部渐近稳定,即正平衡点E*存在时必局部渐近稳定.证明由一个冗长的计算知Hi=AiBi-Ci=结合Ai,Ci>0和Routh-Hurwits判别法知,对∀i≥1,φi(λ)=0的三根λi,1,λi,2,λi,3均有负实部.设λ=μiξ,则.由于,故.易见的三个根为-di(i=1,2,3).因此,存在使得.由连续性知,存在i0≥1使得方程的三个根ξi,1,ξi,2,ξi,3满足,∀i≥i0.那么,∀i≥i0.令,则(5)式成立. 】下面讨论E*的全局渐近稳定性,此过程将用到以下引理.引理1[6] 设a为正常数,g,h∈C1([a,∞}),h≥0且g下方有界.如果存在正常数b和C,使得g′(t)≤-bh(t),h′(t)≤C,t∈[a,∞),那么定理3 对于模型(2),如果α>bc1/r1且条件成立,那么E*全局渐近稳定.证明设E=(H1,H2,P)为模型(2)的整体正解,由定理1知,存在与无关的正常数C,使得对任意t≥0,有.由定理A2[7]知,对任意t0>0,有定义Lyapunov 函数运用Green公式,有由条件(6)知2H*i-Hi>0,i=1,2,同理2P*-P>0.注意到,因此其中C1,C2均为正常数.注意到当且仅当H1=H*1或H2=H*2时取等号.故由(7)式,当t≥t0时,ψ1′(t)和ψ2′(t)均有界,利用引理1,有因此E′(t)负定.由(8)式可知，由强极值原理和(9)式易知又由于结合(9)式,有因此.根据(7)式,由嵌入定理,存在子列{tm},使得由(11)~(13)式,结合E*的局部稳定性得到E*是全局渐近稳定的. 】本小节讨论交错扩散模型(3)的Turing不稳定性.模型(3)整体解的存在性可利用文献[8]的方法得到.定理4 假设α>bc1/r1且这里b1=d1d2d3,b2=a32d23d1-a33d1d2-a11d2d3,b3=a11a33d2-a11a32d23-a32a23d1-a12a21d3,C=a11a32a23+a12a21a33,则正平衡解E*对(3)不稳定,而对模型(2)稳定.证明已证得E*对模型(2)稳定,下面只需证E*对模型(3)不稳定.在E*处将模型(3)进行线性化,有Et=L1E,L1=D1Δ+FE(E*),这里方程Et=L1E有形如E=cφexp(λt)的解当且仅当λ是矩阵Mk=-k2D1+FE(E*)的特征值,这里c为常值向量.若存在一些k∈N+使得至少有一个-λ含有正实部,那么E*不稳定,这依赖于Mk的行列式.按(4)式定义,由于Ci=-det(Mk)=b1k6+b2k4+b3k2+C,这里bi(i=1,2,3)和C由定理4中所定义.基于(4),由Routh-Hurwits判别法知,Mk含正实部特征值的一个充分条件是这一事实是成立的,因为d23<0.因此存在一些k∈N+,使得故定理得证. 】定理3表明在一定条件下，线性自扩散不能引起该模型稳定性的变化,即不能产生经典意义下的Turing不稳定;而由定理4可以看出,交错扩散项的引入导致模型(3)产生了Turing不稳定现象.E-mail:*************.cn【相关文献】[1] ESHELA I,SANSONE E,SHAKED A.On the evolution of group-escape strategies of selfish prey[J].Theor Popul Biol,2011,80(2):150-157.[2]BOUKAL D S,SABELIS M W,BEREC L.How predator functional responses and Allee effects i n prey affect the paradox of enrichment and population collapses[J].Theor Popul Biol,2007 ,72:136-147.[3]BOTTOMLEYA C,ISHAM V,BASANEZ M G.Population biology of multispecies helminth infe ction:competition and coexistence[J].J Theor Biol,2007,244:81-95.[4] MOHAMMADI H,MAHZOON M.Effect of weak prey in Leslie-Gower predator-prey model[J].Appl Math Comp,2013,224:196-204.[5]HENRY D.Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations[M].Lecture Notes in Mathematics Vol.840.Berlin:Springer,1993.[6] 王明新.非线性抛物型方程[M].北京:科学出版社,1993.[7]BROWN K J,DUNNE P C,GARDNER R A.A semilinear parabolic system arising in the theore m of superconductivity[J].J Differential Equations,1981,40:232-252.[8] FU Sheng-mao,WEN Zi-juan,CUI Shang-bin.Uniform boundedness and satbility of global solutions in a strongly coupled three-species cooperating model[J].Nonlinear Anal RWA,2008,9(2):272-289.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ｆ ＝ “ （ ａ一 ｌ 一 １ ＋ ｕ － ｖ ）
其 ＝ ＝ ＝
（ １ ． ２ ）
Ｅ（ ｔ ） ＝Ｅ（ “ ） （ ） ＋ｋ Ｅ（ ｖ ） （ ｔ ） 。 注意 到 Ｅ （ ） （ ￡ ） ， Ｅ （ ） （ ￡ ） 都是非 负的 ， 当且仅 当 （ ｕ （ ｘ， ） ， ｖ （ ｘ ， ￡ ） ） ＝ （ ｘ ｉ ＊ ， ｖ ） 时， Ｅ （ “ ） （ ） ＝ ０ 和Ｅ （ ） （ ￡ ） ＝ Ｏ 。进一 步计算 得出 ， ｄ Ｅ （ ｕ ）
：
＝ １ ｌ ＋ ｎ ２ “ 一 盘 ３ 一 ｋ ｖ ） ＋ ｄ １ 。 ， ＝ ｌ 一 １ ＋ “ 一 ｖ ） ＋ ｄ ｚ Ｖ ，
其 中， ｄ ＞ ｏ（ ｉ ＿ １ ， ２ ） 是 相应 于 “和 的扩散 系数 。 。 ＝ 是二 维空间的 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 算子 。 模 型（ １ ． ３ ） 在如下 的非零 初始条件下进行分析 ： ｕ （ ｒ ， ０ ） ＝Ｉ ｘ ｏ （ ｒ ） ０ ， ｖ （ ｒ ， ０ ） ＝口 ｏ ｒ ） ≥０， 其中 ｒ ＝ （ ， ｙ ） ＥＱ＝ ［ Ｏ ， Ｌ ］ ｘ ［ ０ ， Ｌ ］ 。 零流边 界条件 为 ： 口 ＝ ａ ＝ ０， （ ｘ ， ｙ ） Ｅｏ ｎ ｘ （ ０ ， ∞） ， 其中 代 表边
ｄ ｅ ｔ Ａ ， ＝ ｄ ａ ｄ ｚ ｐ ￣ ＋ １ ＋ ２ （ ２ 吼 一 ２ ） ｆ ＋ （ 正 ＋ ２ ａ ３ “ 一 口 ２ ）
丁 ， ＝一 （ １ ＋ｄ ｚ ） ｋ ９一 （ ２ ａ ３ －ａ ２ ） －ｖ ＜－ｕ （ ２ ａ ３ ｕ －ａ ２ ） －ｖ 其中 ｄ ｅ ｔ Ａｆ 和 Ｔ ｒ Ａ， 分别 是 矩 阵 Ａｆ 的行 列式 和 迹 。易 知 ， 如 果
稳 定 的
ｌ ＝ Ｘ （ ｂ ｌ ＋ ｂ ｚ ｘ一 ６ ３ ｘ ） 一 ６ ４ ｘ ｙ
：－ｃ Ｙ＋（ ａ Ｘ ） ｙ －
其中， ｘ 和 ｙ 分别 代表食 饵和 捕食者 种类 在时刻 ｔ 的密度 ， ｂ ， ｂ ４ ， ｃ， ， 是 正常数 。 ｂ ｌ 是非负数 ， ｂ ２ 的符 号待定 。当 ｂ ２ ＜ ０ ， ｂ ３ ＝ Ｏ 时， 系统 （ １ ． １ ） 变成标 准的捕食者 食饵模型 。有关模型更详 细的生 物学 含义 ， 可 以参考 文献［ ５ ］ 。 在 文献［ ５ Ｆ Ｐ ， 作者们 通过如下 变换 ： ｘ＝ｃ ＿ ｕ， Ｙ＝ ， ｔ ＝三， 并 把
“ ’＞
口 ）， 即口 ｌ ＋４ ａ ｌ ａ ３ ＋２ ｋ （ ２ ａ ３ 一 口 ２ ） ＞ ｏ成 立 ， 那／ ｚ ，ｄ ｅ ｔ Ａ ｙ ＞ ０和
Ｔ ｒ Ａ ＜ ０ 。类 似 于 文 献 ［ ７ 】 中 相 同的 分 析 过 程 ， 算 子 Ｈ 的谱 依 赖 于 ｛ Ｒ ｅ Ａ ＜－ ｃ） ，ｃ 是不 依赖 于 ｉ 的常数 。从而 ， 平衡 点 （ ｘ ｉ ＊ ， ｖ ） 是 一致 渐近
ｎ
：
Ｌ
： 一
… …
出。
类似 的，
＋
枷出 ： 丁 ｖ ＇ ｌ ｖ ｖ ｌ ｚ 卅 － ｌ ＋ ｕ － ｖ 妆
ｃ
２ ． ２ 模型的平衡点 （ ｘ ｉ ＊ ， ｖ ） 的全局稳 定性 在这部分 ， 我们将证 明系统（ １ ． ３ ） 在平衡点 （ ， ‘ ） 的全局 稳定 性。 定Ｎ ２ ． ２ ： 假 使条件 口 ｌ ＋ 口 ２ ＞口 ３ 和口 １ 吼＋ 吼一ａ ２ ） ＞ ０成立 ， 那 么系 统（ １ ． ３ ） 的平衡 点 （ ， ） 是 全局渐近稳定 的。 证明 ： 证 明方法是构造李 雅普 洛夫函数。首先 ， 定义
Ｅ （ “ ） （ ￡ ） ＝ ［ ｏ ｌ Ｕ （ Ｘ ， ｆ ） 一 一 Ｌ
一
｝ （ 红，
） 出，
＾
．
， １ 一 、
Ｅ （ 口 ） （ ） ＝Ｉ ｛ （ ｚ ， ｔ ） － ｖ ． ＿ 口 Ｌ ｎ
ｆ 重新写为 ｔ ， 将模型（ １ ． １ ） 变为：
０ ． 引 言
Ｔ ａ ｎ ｎ ｅ ￣ 和 Ｗｏ ｌ ｌ ｋ ｉ ｎ ｄ 等人 分 别描述 了真实世界 中的物种 之间 的生 态相互作 用 ， 例 如蜘蛛和小 虫 ， 麻雀 和鹰等等 。Ｒ ｏ ｂ ｅ ｒ ｔ Ｍ ａ ｙ 建 立了一个 人们熟 知的 Ｈ ｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ — Ｔ ａ ｎ ｎ ｅ ｒ 食饵捕食 者模 型。 ， 并且 此模型包 含 了 Ｈ ｏ ｌ — ｌ ｉ ｎ ｇ比率 。 １ ． 模型及平衡点分析 在文献 ［ ５ １ 中， Ｈ ｕ ａ ｎ ｇ 等人提 出了一个三次方 的微分 系统 ， 后来被称 为捕食者食饵 系统 。该系统具有如下 的数学形式 ：
＝
Ｌ ｛ （ １ 一 鲁 ） ｕ ， ｝ ｄ ｚ
训
卅
。 ｎ １ 非负 ， ａ ２ 的符
＝
ａ ｌ ＋ ａ ２ ｘ ｉ －ａ ３ ｘ ｉ ２ －刎 ｃ Ｌ ｒ
－ ａ ｚ ｘ ｉ ＊ ＋ａ ３ 肋＊ ＋ａ ２ ｘ ｉ －ａ ３ ｘ ｉ ２ －向）
相应 于常微分系统（ １ ． ２ ） ， 我 们 考 虑 带 有 光 滑 边 界 的有 界 区 域 Ｑ Ｃ Ｒ 上相应反应扩散 系统 ：
带扩 散硇 捕食者 食 饵系统 衡点帕稳定牲 分析
李得福 张 广 － ． （ １ ． 中北大 学理 学 院 ２ ． 天津 商业 大 学理 学 院）
［ 摘 要］ 本文研究 了一个 带扩散 的捕食 者食饵 系统 ， 分析 了模型 的平衡 解 ， 并分别证明 了非平凡 正解 的局部 和全局 稳定性。 ［ 关键词 ］ 捕食 者食饵 系统 扩散 稳定性