浙江省绍兴市诸暨中学2015-2016学年高一(下)期中数学试卷(实验班)(解析版)

2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（下）期中数学试卷（实验班）一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．过点（1，0）且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=02．已知实数x，y满足x2+y2=4，则函数S=x2+y2﹣6x﹣8y+25的最大值和最小值分别为（）A．49，9 B．7，3 C．，D．7，3．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是（）A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b与α的距离相等4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．5．已知a∈R，则“|a﹣1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知平面α与平面β交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，则下列命题错误的是（）A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥lB．若α⊥β，b⊥l，则a⊥bC．若a⊥b，b⊥l，且a与l不平行，则α⊥βD．若a⊥l，b⊥l，则α⊥β7．方程=k（x﹣2）+3有两个不等实根，则k的取值范围为（）A．（，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（，）8．已知x，y满足，目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，则m=（）A．B．C．D．9．已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围是（）A．（0，5）B．[1，5]C．[1，3]D．（0，3]10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，C1D1的中点，N为线段B1C的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．边长为1的正方形的直观图面积为______．12．过点M（0，4）、被圆（x﹣1）2+y2=4截得的线段长为的直线方程为______．13．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC 的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______．14．圆与两平行线x+3y﹣5=0，x+3y﹣3=0相切，圆心在直线2x+y+1=0，则这个圆的方程为______ （化标准式）．15．集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是______．16．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，0），O是原点，在直线l：y=﹣x+2上求点Q，使得△QOA是以O为顶点的等腰三角形，则Q点坐标为______．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=，PC=2则四棱锥P﹣ABCD的体积最大值为______．三．解答题（本大题共5小题，共52分．解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．19．如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为，求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．20．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，O为坐标原点．A，B是圆上两点．（1）直线AB的斜率为1，且满足OA⊥OB，求满足条件的直线l的方程；（2）若OA⊥OB，求AB中点P的轨迹方程．21．如图，矩形OABC的边长OA=a，OC=1，点A，C分别在x，y正半轴上，D在AC上，=，直线l垂直AC于D，且交直线BC于点E，交y轴于点F．（1）写出AC中点及D坐标（用a表示）；（2）若直线l交y轴于负半轴，求a的取值范围；（3）若直线l交y轴于正半轴，且l分矩形两部分的面积之比是2：7，求|CE|．22．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（下）期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．过点（1，0）且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】直线的点斜式方程．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（1，0）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+3=0垂直，∴设所求直线的方程为2x+y+c=0∵直线过点（1，0），∴2+0+c=0∴c=﹣2，∴所求直线方程为2x+y﹣2=0，故选：C．2．已知实数x，y满足x2+y2=4，则函数S=x2+y2﹣6x﹣8y+25的最大值和最小值分别为（）A．49，9 B．7，3 C．，D．7，【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，结合S=（x﹣3）2+（y﹣4）2的几何意义，即圆x2+y2=4上的动点与定点M（3，4）的距离的平方得答案．【解答】解：S=x2+y2﹣6x﹣8y+25=（x﹣3）2+（y﹣4）2，∵实数x，y满足x2+y2=4，∴S=（x﹣3）2+（y﹣4）2的几何意义为圆x2+y2=4上的动点与定点M（3，4）的距离的平方，如图，∵|OM|=5，∴S max=（5+2）2=49，S min=（5﹣2）2=9．∴函数S=x2+y2﹣6x﹣8y+25的最大值和最小值分别为49，9．故选：A．3．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是（）A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b与α的距离相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α．其它三种情况都成立．【解答】解：由a，b为异面直线，知：在A中，在空间中任取一点O，过O分别作a，b的平行线，则由过O的a，b的平行线确一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b'与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b'交角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面α使得a，b与α所成角相等．角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选：C．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（1+2）×1=，高h=1，故棱锥的体积V==，故选：C5．已知a∈R，则“|a﹣1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式|a﹣1|+|a|≤1的解集，结合指数函数的性质判断充分必要性即可．【解答】解：a＜0时：|a﹣1|+|a|=1﹣a﹣a≤1，解得：a≥0，无解，0≤a≤1时：|a﹣1|+|a|=1﹣a+1=1≤，成立，a＞1时：|a﹣1|+|a|=2a﹣1≤1，解得：a≤1，无解，故不等式的解集是a∈[0，1]，若函数y=a x在R上为减函数，则a∈（0，1），故“|a﹣1|+|a|≤1”是“函数y=a x在R上为减函数”的必要不充分条件．6．已知平面α与平面β交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，则下列命题错误的是（）A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥lB．若α⊥β，b⊥l，则a⊥bC．若a⊥b，b⊥l，且a与l不平行，则α⊥βD．若a⊥l，b⊥l，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥l，正确B．若α⊥β，b⊥l，则b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，正确C．∵a与l不平行，∴a与l相交，∵a⊥b，b⊥l，∴b⊥α，则α⊥β正确．D．若a⊥l，b⊥l，不能得出α⊥β，因为不满足面面垂直的条件，故D错误，故选：D7．方程=k（x﹣2）+3有两个不等实根，则k的取值范围为（）A．（，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设y=和y=k（x﹣2）+3，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设y=和y=k（x﹣2）+3，方程=k（x﹣2）+3有两个不等实根，等价为函数y=和y=k（x﹣2）+3的图象有两个不同的交点，y=的图象为半径为2的上半圆，y=k（x﹣2）+3表示过定点A（2，3）的直线，由图象可知当直线经过点B（﹣2，0）时，两个图象有两个交点，此时0=﹣4k+3，即k=，当直线和圆在第二象限相切时有一个交点，此时圆心到直线y=k（x﹣2）+3，即kx﹣y+3﹣2k=0的距离d=，平方得9﹣12k+4k2=4+4k2，即k=，则满足条件的k的取值范围是（，]，故选：A8．已知x，y满足，目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，则m=（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（m，4﹣2m），此时z=m+4﹣2m=4﹣m，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m，2m），此时z=3m，∵目标函数z=x+y的最大值是最小值的3倍，∴4﹣m=9m，即m=．故选：B．9．已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围是（）A．（0，5）B．[1，5]C．[1，3]D．（0，3]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，由直线AC与⊙M有交点，知d=|AM|sin30°≤2，由此能求出点A的横坐标的取值范围．【解答】解：如图，设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，∵直线AC与⊙M有交点，∴d=|AM|sin30°≤2，∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2≤16，∴1≤x0≤5，故选B．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，C1D1的中点，N为线段B1C的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．1 B．C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B1D1DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC1，则△D1DB≌△D1C1B，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键），最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH，即可得出结论．【解答】解：首先PM的最小值就是P到EF的距离．连接B1D1交EF于G，连接PG，则EF⊥平面B1D1DB，故EF⊥PG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，D1G为D1B1的四分之一．其次，连接BD，设其中点为H，连接PH，BC1，则△D1DB≌△D1C1B1，从而PN=PH．（实现了转化，这步是解题之关键）最后，连接GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴GH==．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11．边长为1的正方形的直观图面积为．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法所得的直观图是一个四边形，它的面积与水平放置的正方形的面积之比的关系，求解即可．【解答】解：水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图是一个四边形，两者面积之比为2：1，由边长为1的正方形的面积为：1，所以这个四边形直观图的面积为．故答案为：．12．过点M（0，4）、被圆（x﹣1）2+y2=4截得的线段长为的直线方程为x=0或15x+8y ﹣32=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先看当直线与x轴垂直时，根据勾股定理求得被圆截得的弦长为2符合题意；进而看当直线斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离和勾股定理求得k的值，则直线的方程可得．【解答】解：当直线与x轴垂直时，圆心到直线的距离为：1，半径位，则弦长为：2=2符合题意；当直线与x轴不垂直时设直线的斜率为k，则直线方程为y﹣4=kx，圆心到直线的距离为，根据勾股定理可知4﹣=3，求得k=﹣∴直线方程为15x+8y﹣32=0最后综合可得直线的方程为：x=0或15x+8y﹣32=0故答案为：x=0或15x+8y﹣32=013．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM 所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．14．圆与两平行线x+3y﹣5=0，x+3y﹣3=0相切，圆心在直线2x+y+1=0，则这个圆的方程为（化标准式）．【考点】圆的标准方程．【分析】根据直线和圆的位置关系，求出圆心与半径，即可得到结论．【解答】解：∵直线x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0平行，∴x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0的距离为d==，∵圆与直线x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0都相切，∴直径2r=，即圆的半径r=，∵直线x+3y﹣5=0和x+3y﹣3=0关于x+3y﹣4=0对称，且圆心在直线2x+y+1=0上，则由，解得x=﹣，y=，则圆心为（﹣，），则圆的方程为．故答案为：．15．集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是3或7．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B 的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．【解答】解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R﹣r；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或716．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，0），O是原点，在直线l：y=﹣x+2上求点Q，使得△QOA是以O为顶点的等腰三角形，则Q点坐标为（0，2）或（，）．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出Q的轨迹方程为x2+y2=4，与直线l：y=﹣x+2联立，可得Q点坐标．【解答】解：由题意，Q的轨迹方程为x2+y2=4，与直线l：y=﹣x+2联立，可得x2﹣x=0，∴x=0或，∴y=2或，故答案为：（0，2）或（，）．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=，PC=2则四棱锥P﹣ABCD的体积最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．利用面面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．在Rt△BPC中，可得．设AB=x，则=，及其基本不等式的性质即可OG=x，可得PO=，利用V P﹣ABCD得出．【解答】解：如图所示，作PO⊥AD，垂足为O，作OG⊥BC，垂足为G，连接GP．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．在△BPC中，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC==．∴=．设AB=x，则OG=x，PO==，==x，∴V P﹣ABCD∴V 2==，当且仅当时取等号．∴V P ﹣ABCD ≤．三．解答题（本大题共5小题，共52分．解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M恰好是AC 中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N 在线段PB 上，且PN=． （Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）求证：MN ∥平面PDC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）由正三角形的性质可得BD ⊥AC ，利用线面垂直的性质可知PA ⊥BD ，再利用线面垂直的判定定理即可证明BD ⊥PC ；（Ⅱ）利用已知条件分别求出BM 、MD 、PB ，得到，即可得到MN ∥PD ，再利用线面平行的判定定理即可证明 【解答】证明：（I ）∵△ABC 是正三角形，M 是AC 中点， ∴BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ．又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ． 又PA ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC ． ∴BD ⊥PC ．（Ⅱ）在正△ABC 中，BM=2． 在△ACD 中，∵M 为AC 中点，DM ⊥AC ，∴AD=CD ． ∠ADC=120°，∴DM=，∴=．在等腰直角△PAB 中，PA=AB=4，PB=4，∴=，∴，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．19．如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为，求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥平面BCE，AB∥CD∥EF，从而CD⊥平面BCE，进而CD⊥CE，由CE∥DF，得CD⊥DF，由此能证明DF⊥平面ABCD．（Ⅱ）法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，推导出∠HKC为C﹣BF ﹣E的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．（Ⅱ）法2：以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设CD=1，利用向量法能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为，所以AB⊥平面BCE，又EF∥CD，所以EF∥平面ABCD，从而有AB∥CD∥EF，…所以CD⊥平面BCE，从而CD⊥CE，又CE∥DF，所以CD⊥DF，又平面DCEF⊥平面ABCD，所以DF⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）解法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，因为AB⊥平面BCE，所以CH⊥AB，从而CH⊥平面ABEF，所以CH⊥BF，从而BF⊥平面CHK，所以BF⊥KH即∠HKC为C﹣BF﹣E的平面角，与A﹣BF﹣C的平面角互补．…因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．由，所以2CB2=CD2+CE2，…由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，所以令CD=a，所以，．所以，．所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值为．…（Ⅱ）解法2：因为CB，CD，CE两两垂直，以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系．不妨设CD=1．因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．由，所以2CB2=CD2+CE2，…由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，所以，…，平面ABF的一个法向量，平面CBF的一个法向量则，且取…则．二面角A﹣BF﹣C的平面角与的夹角互补．所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值为．…20．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，O为坐标原点．A，B是圆上两点．（1）直线AB的斜率为1，且满足OA⊥OB，求满足条件的直线l的方程；（2）若OA⊥OB，求AB中点P的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设直线AB为y=x+m，由，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，利用点差法能求出AB中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）设直线AB为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，△＞0，x1+x2=﹣m﹣1，x1x2=，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+（x1+x2）m+m2=，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2═+==0，解得m=1或m=﹣4，均满足△＞0，∴满足条件的直线l的方程为y=x+1或y=x﹣4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，由，得（2x﹣2）（x1﹣x2）+（2y+4）（y1﹣y2）=0，∴k===，∵OA⊥OB，∴直线AB过圆心（1，﹣2），∴k=，∴，整理，得（x﹣1）2+（y+2）2=0，∴AB中点P的轨迹方程（x﹣1）2+（y+2）2=0．21．如图，矩形OABC的边长OA=a，OC=1，点A，C分别在x，y正半轴上，D在AC上，=，直线l垂直AC于D，且交直线BC于点E，交y轴于点F．（1）写出AC中点及D坐标（用a表示）；（2）若直线l交y轴于负半轴，求a的取值范围；（3）若直线l交y轴于正半轴，且l分矩形两部分的面积之比是2：7，求|CE|．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据向量的中点坐标公式和向量的坐标运算即可求出，（2）先求出直线l的方程，令x=0时，y＜0即可，（3）分别表示处CE，CF，根据三角形的面积公式，得到关于a的方程，解得即可．【解答】解：（1）∵A（a，0），C（0，1），∴AC中点坐标，=（a，﹣1）∴==（，﹣）∴D的坐标为，（2）∵直线l垂直AC于D，且交直线BC于点E，∴直线AC的斜率为﹣∴直线l的斜率为a，∴直线l的方程为y﹣=a（x﹣），当x=0时，y=﹣＜0，解得a＞；（3）且分矩形两部分的面积之比是2：7，=，即S△CFE=S矩形OABC由（2）可知直线l的方程为y﹣=a（x﹣），当x=0时，y=﹣＞0，即0＜a＜∴CF=1﹣（﹣）=+当y=1时，1﹣=a（x﹣），解得x=+∴CE=x=+，∴S△CFE=CE•CF=（+）（+）=，解得a=，即|CE|=．22．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l 的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．2016年9月23日第21页（共21页）。