2019-2020高三理科数学一轮单元卷：第八单元平面向量 B卷

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高考理科数学一轮复习专题训练：平面向量(含详细答案解析)

第6单元平面向量（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（） A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，因为∥a b ，则231m =，即32m =，解得23m =．故选C ． 2．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】因为(2,1)=a ，(,1)m =-b ，所以(2,2)m -=-a b ，因为()⊥-a a b ，则()2(2)20m ⋅-=-+=a a b ，解得3m =，所以答案选B ．3．已知向量a ，b 满足||1=a ，=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（）A ．21BCD 【答案】B【解析】||2Q b =，2π1||||cos 12132a b a b 骣琪?=创-=-琪桫，|2|a b \-=，故选B ．4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（） A ．0 B ．1C ．2D ．1-【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量2-a b 在向量a 方向上的投影为2(2)()1||||-⋅==a b a a a a ，故选B ． 5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得λ=a b ，说明向量a ，b 共线，当a ，b 同向时，+=+a b a b 成立，当a ，b 反向时，+=+a b a b 不成立，所以充分性不成立．当+=+a b a b 成立时，有a ，b 同向，存在实数λ，使得λ=a b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的必要而不充分条件．故选B ．6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，||2||=Q a b ，∴由(3)0⋅+=a a b ，可得2222()33cos 46cos 0θθ+⋅=+⋅=+=a a b a a b b b ，化简即可得到2cos 3θ=-，故答案选B ． 7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r【答案】D【解析】根据题意得1()2AF AC AE =+u u u r u u u r u u u r，又AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AB =u u ur u u u r ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选D ．8．设D 为所在平面内一点，1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，若，则（）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【解析】因为D 为所在平面内一点，由1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，可得34AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，即44AD AC AD AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则4CD BD =u u u r u u u r ，即4BD DC =-u u u r u u u r ，可得3BD DC DC +=-u u u r u u u r u u u r ，故3BC DC =-u u u r u u u r，则，故选D ．9．在四边形中，2AB =+u u u r a b ，43BC =--u u u r a b ，55CD =--u u u ra b ，那么四边形的形状是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】86AD AB BC CD =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，2AD BC ∴=u u u r u u u r，AD BC ∴∥，AB CD ∥，四边形是梯形，答案选C ．10．在中，为的重心，为上一点，且满足3MC AM =u u u u r u u u u r ，则（）A ．11312GM AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．11312GM AB AC =--u u u u r u u ur u u u r C ．17312GM AB AC =-+u u u u r u u ur u u u r D ．17312GM AB AC =-u u u u r u u u r u u u r【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GM GA AM=+u u u u r u u u r u u u u r，因为G为△ABC的重心，M满足3MC AM=u u u u r u u u u r，所以()()211323AG AB AC AB AC=⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，14AM AC=u u u u r u u u r，所以11111334312GM AB AC AC AB AC⎛⎫=-++=--⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以选B．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，则与的面积之比等于（）A．25B．35C．34D．14【答案】D【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以()1CP mCA nCD m n=++=u u u r u u u r u u u r，设CD kCB=u u u r u u u r，代入可得CP mCA nkCB=+u u u r u u u r u u u r，即()()1AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB-=-+-⇒=--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u v，又因为1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，即14nk=，112m nk--=，且，解得1344m n==，，所以1344CP CA CD=+u u u r u u u r u u u r，可得4AD PD=u u u r u u u r，因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DPu u u r与ADu u u r之比，所以与的面积之比为14．故选D ． 12．已知向量a ，b 满足4=a ，b 在a 上投影为，则3-a b 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】b 在a 上投影为，即cos ,2=-b a b ，0>Q b ，cos ,0∴<a b ，又[)cos ,1,0∈-a b ，min 2∴=b ，2222223696cos ,9964-=-⋅+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，min 3946410∴-=⨯+=a b ，本题正确选项B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，则-=a b _______．【答案】5【解析】Q 向量()1,2x =+a 和向量()1,2=-b 垂直，140x ∴⋅=+-=a b ，解得3x =，()3,4∴-=a b ，9165∴-=+=a b ，本题正确结果5．14．已知向量()2,3=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =________．【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故填9．15．已知向量3)=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为__________．【答案】60︒【解析】很明显132=+=a ，设向量,a b 的夹角为θ，则21cos 1θ⋅=⨯⨯=a b ，1cos 2θ∴=，π3θ=，据此有()()22224242-⋅=-⋅=-=b a b b a b ，且22==-=b a ，22=b ，向量2-b a 与2b 的夹角为β，则21cos 222β==⨯，60β=︒，综上可得：2-b a 与2b 夹角为60︒．16．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OP u u u r＝_____．【答案】12x x【解析】因为PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2，故OP =u u u r ．填12x x ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ．（1）求3-a b 的值；（2）若()λ⊥+a a b ，求λ的值．【答案】（1）3-=a b ；（2）1λ=-．【解析】（1）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则3(6,2)-=a b ，则3-==a b ．（2）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则(13,24)λλλ+=-+a b ，若()λ⊥+a a b ，则()1(13)2(24)550λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=a a b ，解得1λ=-．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ．（1）用向量,a b 表示向量AM u u u u r ，AN u u u r ，MN u u u u r；（2）若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，求AM MN ⋅u u u u r u u u u r 的值．【答案】（1）见解析；（2）92-．【解析】（1）因为在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r，又AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，故1122AM AD DM AD AB ===+++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r a b ，1133AN AB BN AB AD ===+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，11123223MN AN AM ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝=⎭u u u u r u u u r u u u u r a b a a b b ．（2）2211212192234362AM MN ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅=- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝=⎭+u u u u r u u u u r a b a a b a b b ，故答案为92-． 19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r．若，π6π2θ≤≤，表示OQ u u u r ，并求OQ u u u r的最大值．【答案】（1）15；（2）．【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．可得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴341cos sin 555αα+=-+=．（2）因为，，所以()1cos2,sin 2OQ OA OP θθ=+=+u u u r u u u r u u u r，所以()221cos 2sin 222cos 22cos OQ θθθθ=++=+=u u u r ，因为π6π2θ≤≤，所以2cos 0,3OQ θ⎡⎤=∈⎣⎦u u u r ，OQ u u u r的最大值．20．（12分）设向量()()()11,cos22,14sin 1sin,12θθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，a b c d ，其中4π0,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求⋅-⋅a b c d 的取值范围；（2）若函数，比较()f ⋅a b 与()f ⋅c d 的大小．【答案】（1）；（2）()()f f ⋅>⋅a b c d ．【解析】（1）∵2cos2θ⋅=+a b ，22sin 12cos2θθ⋅=+=-c d ，∴2cos2θ⋅-⋅=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()0,2⋅-⋅的取值范围是a b c d ．（2）∵()22cos211cos22cos f θθθ⋅=+-=+=a b ，()22cos211cos22sin f θθθ⋅=--=-=c d ， ∴()()()222cos sin 2cos2f f θθθ⋅-⋅=-=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()()f f ⋅>⋅a b c d ． 21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量()2sin ,cos2x x =m ，()3cos ,1x =n ，函数()f x =⋅m n 且．（1）求角的值；（2）若23BA BC +=u ur u uu u r 且成等差数列，求．【答案】（1）π3B =；（2）2．【解析】（1）()23sin cos cos23sin2cos2f x x x x x x =⋅=+=+m n ，整理得()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵，∴12sin 21si 62ππn 26B B ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵，∴π3B =．（2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由23BA BC +=u ur u uu u r ，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记AB =u u u ra ，AD =u u u rb ，试以,a b 为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用,a b 来表示向量DE u u u r ，BF uuu r；（2）若，且3BF =u u u r，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，2DF FC =u u u r u u u r，∴111222DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v a b ，111333BF BC CF AD CD AD AB =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ．（2）由（1）可知：13BF AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，12DE AB AD =-u u u r u u u r u u u r，∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵且，∴(222213223cos 339BAD ∠=-⨯⨯⨯+⨯，∴1cos 2BAD ∠=，∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE =u u u r第6单元平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则x =（） A ．12B ．14C ．4D ．2【答案】B【解析】因为向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则1(1)220x -⨯--⨯=，解得14x =，故选B ． 2．已知向量(5,)m =a ，(2,2)=-b ，若()-⊥a b b ，则m =（） A ．1- B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】因为(5,)m =a ，(2,2)=-b ，所以(3,2)m -=+a b ，又()-⊥a b b ，所以()0-⋅=a b b ，即322(2)0m ⨯-+=，解得1m =．故选B ．3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，||2||1==a b ，则|2|+=a b （）A B ．12C ．4D ．【答案】D【解析】由题意可得|2|+==a b===D ． 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则（） A ．⊥a b B ．=a bC ．∥a bD ．>a b【答案】A【解析】由题意知：22+=-a b a b ，即222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，整理得0⋅=a b ，∴⊥a b ，本题正确选项A ．5．已知6=a ，3=b ，12⋅=-a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（） A ．4 B ．4-C ．2-D ．2【答案】B【解析】由题意得：122cos ,633⋅-<>===-⋅⨯a b a b a b ，向量a 在b 方向上的投影为2cos ,643⎛⎫<>=⨯-=- ⎪⎝⎭a ab ，本题正确选项B ．6．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b ，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（） A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0⋅<a b 且不反向共线，230t ⋅=-+<a b ，得23t <．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b 共线时，23t ⨯=-，得6t =-．此时2=-a b ．所以23t <且6t ≠-．故选C ． 7．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是线段BD 上靠近D 的三等分点，F 是线段BD 的中点，则AF CE ⋅=u u u r u u u r（）A ．4-B ．3-C ．6-D ．2-【答案】D【解析】因为1122AF AD AB =+u u u r u u u r u u u r，11213333CE CD DE AB AD AB AB AD =+=--+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以221121111()()422233632AF CE AD AB AB AD AD AB ⋅=+⋅--=--=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选D ． 8．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足PA PC +=0u u u r u u u r ，2QA BQ =u u u r u u u r，则的面积为（） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】由题意PA PC +=0u u u r u u u r 可知，P 为AC 的中点，2QA BQ =u u u r u u u r，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图：因为1sin 22ABC S AB AC A =⋅=△，所以11122sin sin 22233APQ S AP AQ A AB AC A =⋅=⨯⋅=△．故选B ． 9．已知中，为的重心，则AG GC ⋅=u u u r u u u r（）A ．6718 B ．6718-C ．269D ．269-【答案】A 【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，且()13AG AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，()13GC AC BC =+u u u r u u u r u u u r，所以()()19AG GC AC AB AC BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2221199AC AC AB AC BC AB BC AC AC AB BC =+⋅+⋅+⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ()221674432cos 918B ⎡⎤=++⨯⨯-=⎣⎦． 10．已知向量()cos 2,sin θθ=-a ，其中，则a 的最小值为（） A ．1 B ．2C ．D ．3【答案】A【解析】因为()cos 2,sin θθ=-a ，所以()22cos 2sin 14cos 454cos θθθθ=-+=-+=-a ，因为，所以，故a 的最小值为．故选A ．11．已知平面向量OA u u u r ，OB uuu r 满足1OA OB ==u u u r u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，且12OD DA =u u u r u u u r ，为的外心，则ED OB ⋅=u u u r u u u r（） A ．12-B ．16-C ．16D ．12【答案】A【解析】0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r，又1OA OB ==u u u r u u u r，OAB ∴△为等腰直角三角形，为的外心，为中点，1222OE AB ∴==u u u r u u u r 且，12OD DA =Q u u u r u u u r ，13OD OA ∴=u u u r u u u r，()1221cos 32ED OB OD OE OB OA OB OE OB OE OB BOE ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-∠=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r ．本题正确选项A ． 12．在中，，2BA BC BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，点是所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值时，AP BC ⋅=u u u r u u u r（）A ．35B ．C ．D ．25-【答案】B【解析】2|cos |BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，cos BC B BA ∴⋅=u u u r u u u r，CA AB ∴⊥u u u r u u u r ，π2CAB ∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则()()22222222263PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-u u u r u u u r u u u r，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-u u u r u u u r．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为45︒，则a 在b 方向上的投影为_____． 2【解析】由向量数量积的几何意义可得，a 在b 方向上的投影为cos ,2cos452=︒=a a b 2．14．已知两个单位向量a ，b ，满足3-=a b ，则a 与b 的夹角为_______．【答案】2π3【解析】由题意知：1==a b ，3∴-=a b ，()222222cos ,3∴-=-⋅+=-<>=a b a a b b a b ，1cos ,2∴<>=-a b ，2π,3∴<>=a b ，本题正确结果2π3．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在直线CD 上，若2AB AF ⋅=u u u r u u u r，则AE BF =⋅u u u r u u u r______．【答案】2【解析】在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，可以以AB uuu r ，AD u u u r的方向为,x y 轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0)A ，2,0)B ，2,2)C ，(0,2)D ，点E 为BC 的中点，故(2,1)E ，设(,2)F x ，2,(2,0)(,2)21AB AF x x ⋅=⇒⋅==u u u r u u u r， (1,2)F ∴，2,1)(12,2)2(12)+12AE BF ⨯⋅=⋅=u u u r u u u r16．在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，则AE AF ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】52【解析】由题意，如图所示，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，则1=a ，2=b ，又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE =+u u u r b a ，221()333AF =+-=+u u u r b a b a b ，所以22121151233363AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r a b a b a a b b221515112cos6023632=⨯+⨯⨯︒+⨯=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设,t k ∈R ，已知(1,2)=a ，(2,1)=-b ，(2)t =++m a b ，k t =+n a b ．（1）若1t =，且∥m n ，求k 的值；（2）若5⋅=m n ，求证：2k ≤．【答案】（1）13k =；（2）见证明．【解析】（1）当12yx t =+时，3(5,5)=+=-m a b ，(2,21)k k k =+=-+n a b ， ∵∥m n ，∴5(2)5(21)k k -=-+，解得13k =．（2）[](2)()t k t ⋅=++⋅+m n a b a b 22(2)(2)k t k t t t =+⋅++⋅++a a b a b b 55(2)k t t =++，∵5⋅=m n ，∴55(2)5k t t ++=，∴2221(1)22k t t t =--+=-++≤． 18．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ．（1）若是的中点，用,a b 分别表示向量CB u u u r ，CD uuu r；（2）求2+a b ；（3）求2+a b 与32-+a b 的夹角．【答案】（1）CB =-u u u ra b ，12CD =-u u u r a b ；（2）；（3）120︒．【解析】（1）CB AB AC =-=-u u u r u u u r u u u ra b ，1122CD AD AC AB AC =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ．（2）由题意知，1==a b ，且,60〈〉=︒a b ，则2222224444cos ,4217+=+⋅+=+〈〉+=++=a b a a b b a a b a b b ，所以2=7+a b ．（3）与（2）解法相同，可得32=7-+a b ，设2+a b 与32-+a b 的夹角为，则()()2272326212cos 232232277θ-+⋅-+-+⋅+====-+-++-+⨯a b a b a a b b a b a b a b a b ，因为，所以2+a b 与32-+a b 的夹角为120︒．19．（12分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，π4AOP ∠=，，2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）当π6x =时，求OP OQ ⋅u u u r u u u r 的值；（2）设函数()sin2f x OP OQ x =⋅+u u u r u u u r，求的值域．【答案】（1）624+；（2）2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意得：62cos ,cos cos cos sin sin 464πππ646π4ππOP OQ +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，62cos ,4OP OQ OP OQ OP OQ +∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）()22sin2co πs sin2cos sin 2sin cos 422f x OP OQ x x x x x x x =⋅+=-+=++u u u r u u u r ，设sin cos 2sin π4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则，又2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3π,44ππ4x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1,2t ⎡⎤∴∈⎣⎦，()2212f t t t ∴=+-，，当时，()()min 212f t f ==；当时，，的值域为2,22⎤⎥⎣⎦． 20．（12分）已知向量cos,sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，33cos ,sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，且,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求⋅a b 以及+a b 的取值范围；（2）记函数()2f x λ=⋅-+a b a b ，若的最小值为32-，求实数的值．【答案】（1）见解析；（2）12λ=．【解析】（1）易得33coscos sin sin cos22222x x x xx ⋅=-=a b ．因为222233||cos cos sin sin 22cos 24cos 2222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ，又,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，所以[]2cos 0,2x +=-∈a b ．（2）依题意，得()22cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλλ=⋅-+=+=+-a b a b ．令，由（1）知，，则有．①当，即时，有()()min 312412g t g λ=-=--=-，解得58λ=，此与矛盾；②当，即时，有()()2min 3212g t g λλ=-=--=-，解得12λ=（12λ=-舍）； ③当，即，有，此与题设不符．综上所述，所求实数12λ=． 21．（12分）已知平面向量2sin 2,26πx ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()21,sin x =n ，()f x =⋅m n ，其中2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，的对边长分别为，，，若12B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，，，求的值．21【答案】（1）增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）的值为或．【解析】（1）()2π2sin 22sin 6f x x x ⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭m n ()2sin2cos cos2sin 1cos26ππ6x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭13cos2sin21cos 21223πx x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，由π2ππ22π,3k x k k -≤+≤∈Z ，得2πππ,36πk x k k -≤≤-∈Z ，又∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴函数的增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得cos 03πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为，所以ππ4π333B <+<，从而2ππ3B +=，即π6B =．因为，，所以由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 3sin 2c B C b ==，故π3C =或2π3，当π3C =时，π2A =，从而；当2π3C =时，π6A =，又π6B =，从而，综上的值为或．22．（12分）如图，在四边形中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，，且1BO AD ==u u u r u u u r ．22 （1）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r ；（2）点在线段上，且，求的值．【答案】（1）32CB OA OB =--u u u r u u u r u u u r ；（2）25cos 5PCB ∠=．【解析】（1）因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以32DO AO =u u u r u u u r ．因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以33=++222CB CD DO OB BO AO OB OA OB =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以OB CD ∥．因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以点共线．因为，所以．以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为1BO AD ==u u u r u u u r ，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，所以，所以()1,2AC =u u u r ，()2,1AB =-u u u r ．因为点在线段上，且，所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ．因为()3,1CB =--u u u r ，所以55253cos 52103CP CB PCB CP CB ∠+⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r。

2019-2020学年高一下学期课后复习卷数学试题(平面向量)含答案

六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是( ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( )2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( )A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( ) A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 10.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b .12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为_______. 14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅，则AB 的长为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=b a . (1)求a 与b的夹角的余弦值；(2)若向量b k a +与b k a -互相垂直，求实数k 的值.17.设a 、b 是两个不共线的向量，(1)记OA ＝a ，OB ＝tb ，OC ＝13(a ＋b )，当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？(2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 的夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？18.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值；（2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(C ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( C ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( A )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．||||||⋅≤a b a b B ．||||||||--≤a b a b C ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( B)2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( D ) A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( C B )A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( B A )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( C D )A ．21 B ．31 C ．41 D ．6110.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( A B )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b 4 . 12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 50 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为____120⁰____.14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 2 3 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅，则AB 的长为 1/3 1/2 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=.(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量k+与k-互相垂直，求实数k的值.⑴解：由题意：a（4,-3）,b（5,0）∴cosa,b=a·b/|a||b|=20/5×5=4/5∴a与b夹角的余弦值为4/5⑵解：由题意知：（a+kb）·（a-kb）=a²-k²b²=0∵a²=25=b²∴25-25k²=0∴k=1或-117.设a、b是两个不共线的向量，(1)记＝a，＝tb，＝13(a＋b)，当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b的夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－x b|的值最小？⑴解：由题意知：AB=λAC，即-a+tb=λ（b-a）解得：t=1∴当t=1时，A,B,C三点共线⑵解：由题意知：|a-xb|=√（a-xb）²解得x=-1/2∴当x=-1/2时，其最小值为√3/218.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值；（2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．⑴解：设点p （cosα，sinα），AP=（cosα+1/2,sinα）,BP=（cosα-3/2,sinα） ∵AP·BP=-1/4，解得cosα=1/3∵α是锐角∴α=π/3 ⑵解：设M 点坐标为（t,0），则MP=（cosα-t,sinα）由题意知（4+2t ）cosα-t²+4=0恒成立，解得t=-2 ∴M （-2,0）。

2019年高考理科数学一轮单元卷：第八单元平面向量A卷(含答案)

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第八单元平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量()3,5=a ，()2,1=-b ，则2-=a b （） A ．()7,3B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,32．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =（）A 1BA BC - B ．12BA BC -- C 1BA BC +D ．12BA BC -+3．已知向量()4,2=-a ，(),1x =b ．若a ，b 共线，则x 的值是（） A ．1-B ．2-C ．1D ．24．已知平面向量()1,3=a ，(),3x =-b ，且∥a b ，则2+=a b （） A ．10B 5C ．5D 105．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（） A ．1-B ．37C ．35-D ．356．若向量a 、b 满足1=a 、2b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为（） A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π7．单位圆O 中一条弦AB 2，则·ABOB=（） A ．1B 2C ．2D ．无法确定8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（） AB ．+=-a b a b CD ．+=+a b a b9．在ABC △中，2BD DC =，AD mAB nAC =+，则mn的值为（） A ．12B ．13C ．2D ．310．四边形ABCD 中，AB DC =，且AD AB AD AB -=+，则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．已知向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b ，则向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为（） A 83B 613C 56D 191312．在锐角ABC △中，60B =︒，2AB AC -=则AB AC ⋅的取值范围为（） A ．()0,12 B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则2sin 4sin cos x x xπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-__________． 14．已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 15．已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，则点P 的坐标是____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ，（1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ；（2）求向量a 在b 方向上的投影．18．（12分）已知向量()3,2=a ，()1,2=-b ．（1）求2a +b 的值；（2）若()m ⊥+a b b ，求m 的值．19．（12分）已知向量2222⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，m ，()sin ,cos x x =n ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n 的夹角为3π，求sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，()23BC k =-，，()24AC =，，（1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件；（2）ABC △是不以C ∠为直角的Rt △，求实数k 的值．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=．（1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ；（2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,A b c =+p ，(),sin sin q a c C B =--，满足+=-p q p q ．（1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()()2,cos20k A k =≠n ，⋅m n 有最大值为32，求k 的值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第八单元平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】∵()3,5=a ，()2,1=-b ，∴()()()()23,522,134,527,3-=--=+-=a b ，故选A ． 2．【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：11CD CB BD BC BA BA BC =+=-+=-．本题选择A 选项． 3．【答案】B【解析】∵()4,2=-a ，(),1x =b ，且a ，b 共线，∴24x -=，解得2x =-．故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意得，()1,3=a ，(),3x =-b ，且()11,3x ⇒=-⇒=--∥a b b ，则()21,3+=--a b ，即210+=a b ，故选D ． 5．【答案】A【解析】因为向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，所以()22,1k k +=++a b ，又因为()+⊥a b a ，所以()770k +⋅=+=a b a ，1k =-，故选A ． 6．【答案】C【解析】()⊥+a a b ，所以，()0⋅+=a a b ，即2||cos ,0⋅+⋅=+⋅=a a a b a a b a b ，所以2||2cos ,=-=⋅a a b a b ，又[],0,∈π a b ，故a 与b 的夹角为34π，故选C ．7．【答案】A【解析】单位圆O 中一条弦AB 2，则222+OA OB AB =，OAB △是等腰直角三角形，所以AB 与OB 成的角为4π，2·2112AB OB =⨯⨯=，故选A ． 8．【答案】C【解析】向量a 与b 反向：-=+a b a b ，+=-a b a b ，故选C ． 9．【答案】A 【解析】如图，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又AD mAB nAC =+，∴13m =，23n =，故12m n =．故选A ．10．【答案】C【解析】由于AB DC =，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ． 11．【答案】D【解析】向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b所以2222341261+=+⋅=a b a a b +9b ，2361+=a b 22224413+=+⋅+=a b a a b b ，所以213+a b ()()232cos 23,22326113++++==++⋅a b a b a b a b a b a b，所以向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为 191323cos 23,2616113+++==⋅a b a b a b D ． 12．【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒，2AB AC -=，∴(3C ，设(),0A x ，∵ABC △是锐角三角形， ∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE上（不与D ，E 重合），∴14x <<，则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，所以AB AC ⋅的取值范围为()0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】32【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，3214．【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=，即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ，据此可知：2226810+=+m n ． 15．【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故32AP PB =-，设(),P x y ，，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）()16,16--；（2）2 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影4222⋅-==-a b b ． 18．【答案】（137（2）15-．【解析】（1）由已知得()21,6=a +b ，所以237=a +b （2）依题意得()3,22m m m +=-+a b ，又()m ⊥ +a b b ， ()·0m ∴= +a b b ，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 19．【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即220x x =，化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2）由题意可得1=m ，1=n ，22sin cos 22x x ⋅=-m n ，而由m ，n 的夹角为3π可得1cos 32π⋅==m mn n ，因此有)21sin cos 22x x -=，20．【答案】（1）12k =；（2）2-，1-，3．【解析】（1）A B C ，，三点不能构成三角形，∴三点A B C ，，共线；∴存在实数λ，使BC AC λ=；22 34k λλ-=⎧∴⎨=⎩，解得12k =．k ∴满足的条件是12k =．（2）()()()23241AB CB CA k k =-=-----=，，，ABC △为直角三角形；∴若A ∠是直角，则AB AC ⊥，2402AB AC k k ∴⋅=+=∴=-，；若B ∠是直角，则AB BC ⊥，2230AB BC k k ∴⋅=-++=，解得1k =-，或3；综上可得k 的值为：2-，1-，3．）2133OP OA OB =+；（2）1013λ=．）由题意得1AP AB =，∴()13OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+． ∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，解得1013λ=． 22．【答案】（1）3B π=；（2）1k =或2k =．【解析】（1）由条件+=-p q p q ，两边平方得0⋅=p q ，又()sin ,A b c =+p ，(),sin sin －－ac C B =q ，代入得()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=，根据正弦定理，可化为()()()0－a a c b c cb -++=，即222ac b ac +-=，又由余弦定理2222cos ＝a c b a B +-，所以1cos 2B =，3B π=．（2）1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()2,cos2n k A =，()0k ≠，()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+-⎪⎝⎭m n 2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，而203A <<π，(]sin 0,1A ∈，①01k <≤时，sin 1A =取最大值为3222k -=，1k =． ②1k >时，当1sin A k =时取得最大值，1322k k +=解得1k =或2k =， 1k =（舍去）2k ∴=．③0k <时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A =取最大值3222k -=，1k =（舍去），综上所述，1k =或2k =．。

冲刺2020高考高三理科数学一轮单元卷：第八单元平面向量 B卷

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第八单元平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ，若()()2k +-∥a c b a ，()k ∈R ，则k =（） A ．43B ．1922-C ．1613-D ．1316-2．已知平面直角坐标系中，O 为原点，点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC mOA nOB =+，其中m ，n ∈R ，1m n +=，则点C 的轨迹方程为（）A ．22(1)(2)5x y -+-=B ．32110x y +-=C ．20x y -=D ．250x y +-=3．若向量()3,1AB =-，()1,2=n ，且7AC ⋅=n ，那么BC ⋅n 的值为（） A ．6-B ．0C ．6D ．6-或64．如果向量与b 的夹角为θ，那么我们称⨯a b 为向量的“向量积”，⨯a b 的大小为sin θ⨯=⋅a b a b ，如果5=a ，1=b ，3⋅=-a b ，则⨯=a b （） A ．3B ．4-C ．4D ．55．已知向量(1,2)=a ，(1,1)=b ，若a 与λ+a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．5(,)3-+∞B ．5(,0)(0,)3-+∞ C ．5(,)3-∞-D ．5(,)3-∞6．已知向量a ，b 满足：29=a ，12⋅=-a b ，则b 的取值范围是（） A ．4[,)3+∞B ．(0,4]C ．(4,)+∞D ．[4,)+∞7．已知点(0,0)O ，(3,0)B ，(C 向量DC OB =，E 为线段DC 上的一点，且四边形OBED 为等腰梯形，则向量OE 等于（）A ．B ．5(2或C ．5(2D ．或8．已知i 为x 轴上的单位向量，坐标平面内的点(2,1)A -，(1,3)B ，(2,1)C -，若向量AB mBC +(m为实数)与2AC +i 垂直，则实数m =（） A ．1-B ．1C ．2-D ．29．设点P 是ABC △所在平面内一点，且P A P B P B PC P C P A ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC △的（） A ．内心B ．外心C ．重心·D ．垂心10．已知20=≠a b ，且关于x 的方程20x x ++⋅=a a b 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是（） A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦11．已知向量≠a e ，1=e ，对任意t ∈R ，恒有t -≥-a e a e ，则（） A ．⊥a e B ．()⊥-a a e C ．()⊥-e a eD ．(()()+⊥-a e a e12．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式()()()111123OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦，(0)λλ∈≠R 且，则P 的轨迹一定通过 ABC △的（）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知点)2,1(A ，)4,3(B ，)2,2(-C ，)5,3(-D ，则向量AB 在向量CD 上的投影为．14．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，-=a b ，则cos()αβ-= ． 15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是边AB 上的动点，则DE DC ⋅的最大值为． 16．在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，1AB AC BA BC ⋅=⋅=，那么c = ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设a ，b ，满足1==a b ，及32-=a b （1）求a 与b 的夹角；（2）求3+a b 的值．18．（12分）已知向量a 、b 两个单位向量，且k k +=-a b b ，其中0>k ．（1）向量a 、b 能垂直吗？证明你的结论；（2）若a 与b 的夹角为60，求k 的值．19．（12分）已知点(0,3)P -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 满足：0PA AM ⋅=，32AM MB =-，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．20．（12分）在四边形ABCD 中，已知(6,1)AB =，(,)BC x y =，(2,3)CD =--，BC DA ∥；（1）试求x 与y 满足的关系式；（2）若AC BD ⊥，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．21．（12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值．22．（12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段'PP ，'P ′为垂足．（1）求线段'PP 中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,2(-Q 作直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设N 是直线4017x +=上一动点，满足ON OA OB =+(O 为坐标原点)，问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第八单元平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ，∴(34,2)k k k +=++a c ，2(5,2)-=-b a ，又()()2k +-∥a c b a ，∴2(34)5(2)k k +=-+，解得1613k =-，故选C ． 2．【答案】D【解析】由平面向量基本定理知，当OC mOA nOB =+且1m n +=时，点A ，B ，C 共线，∴点C 的轨迹为直线AB ，设(),C x y ，由两点式的直线方程得，133113y x --=---，化简为250x y +-=，故选D ． 3．【答案】C【解析】()7(3,1)(1,2)6BC AC AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=--⋅=n n n n ，故选C ． 4．【答案】C【解析】∵cos 3θ⋅=⋅=-a b a b ，3cos 5θ=-，又θ为a 与b 的夹角，∴4sin 5θ=， ∴4sin 5145θ⨯=⋅=⨯⨯=a b a b ，故选C ． 5．【答案】B【解析】∵a 与λ+a b 均不是零向量，且夹角为锐角，∴()0λ⋅+>a a b ，即(1,2)[(1,2)(1,1)]0λ⋅+>，∴530λ+>，则53λ>-，但当0λ=时，a 与λ+a b 共线且同向，不满足题设，∴0λ≠，综上知，53λ>-且0λ≠，故选B ． 6．【答案】D【解析】∵29=a ，∴3=a ，又∵12⋅=-a b ，∴12⋅=a b ，∵cos θ⋅=⋅a b a b ≤⋅a b ，∴123≤b ，则4≥b ，即b 的取值范围是[4,)+∞，故选D ． 7．【答案】A【解析】∵(3,0)DC OB ==，)3,4(C ，∴)3,1(D ．如图所示，E 为线段DC 上的一点，设E 点坐标为)3,(x ，由2==OD BE 解得2=x 或4x =舍去，∴OE )3,2(=，故选A ． 8．【答案】A 【解析】由题设知，(3,2)AB =，(4,2)AC =-，(1,4)BC =-，(3,2)(1,4)AB mBC m +=+⋅-(3,24)m m =+-，∵i 为x 轴上的单位向量，∴(1,0)=i ，则2(4,2)2(1,0)(6,2)AC +=-+=-i ，∵向量AB mBC +与2AC +i 垂直，∴()(2)0AB mBC AC +⋅+=i ，即(3,24)(6,2)0m m +-⋅-=，化简得，14140m +=，解得1m =-．故选A ． 9．【答案】D【解析】∵PA PB PB PC ⋅=⋅，∴0PB PC PA PB ⋅-⋅=，即0PB AC ⋅=同理，由PB PC PC PA ⋅=⋅可得0PC AB ⋅=，所以P 是ABC △的垂心，故选D ． 10．【答案】B 【解析】20x x ++⋅=a a b 有实根，∴240∆-⋅≥=a a b ，∴214⋅≤a b a ，设a 与b 的夹角为θ，∵20=≠a b ，∴22114cos 122θ⋅=≤=⋅aa b a b a ，又0θ≤≤π，∴,3θπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，故选B ． 11．【答案】C【解析】∵t -≥-a e a e ，∴22||||t -≥-a e a e ，∴2222222t t -⋅+≥-⋅+a a e e a a e e ，由1=e 得，22210t t -⋅⋅+⋅-≥a e a e 对任意t ∈R 恒成立， ∴224()4(21)0(1)0∆=⋅-⋅-≤⇒⋅-≤a e a e a e ，则1⋅=a e ， ∴()2110⋅-=⋅-=-=e a e e a e ，因此，()⊥-e a e ，故选C ．12．【答案】C【解析】取AB 的中点D ，则2OA OB OD +=，∴2(1)1233OP OD OC λλ-+=+，∴D C P 、、三点共线，∴点P 轨迹一定通过ABC △的重心，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】5102 【解析】(2,2)AB =，(1,3)CD =-，设AB 和CD 的夹角为α，则向量AB 在向量CD 上的投影为2cos AB CD AB CDα⋅==． 14．【答案】35【解析】∵1=a ，1=b ，∴2222222(cos cos αβ-=-⋅+=+-a b a a b b a bsin sin )112cos()αβαβ+=+--，又-=a b ，∴245-=a b ，故112cos()αβ+--45=，即3cos()5αβ-=．15．【答案】1．【解析】过点E 向CD 作垂线，垂足为F ，则2cos 1DE DC DC DE CDE DC DF DC ⋅=⋅∠=⋅≤=，当且仅当点E 与点B 重合时，DE DC ⋅取到最大值1．16．【解析】由1AB AC BA BC ⋅=⋅=得，cos cos 1bc A ac B ==，∴cos cos b A a B =，由正弦定理得到，sin cos sin cos B A A B =，∴sin c o s c o s sin 0A B A B -=，sin()0A B -=，∴A B k -=π，()k ∈Z ，又∵A B -π<-<π，∴A B =，则a b =．又1cos =A bc ，22212b c a bc bc+-∴⨯=，∴22c =，c =三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）,3π〈〉=a b ；（2【解析】（1）32-=a b 2291247-⋅+=a a b b ，1,23π∴⋅=⇒〈〉=a b a b ．（2）3+=a b 18．【答案】（1）不能，见解析；（2）1=k ．【解析】（1）∵k k +=-a b b ，∴22()3()k k +=-a b a b ，即2222(3)(13)80k k k -+-+⋅=a b a b ，由1==a b 得，214k k+⋅=a b ．∵012>+k ，∴0⋅≠a b ．∴向量a 与b 不能垂直．1cos602=．19．【答案】4(0)x y y =>．【解析】设(,)M x y ，(,0)A a ，(0,)(0)B b b >，由题设知，(,3)PA a =，(,)AM x a y =-，(,)MB x b y =--；∵0PA AM ⋅=，∴(,3)(,)()30PA AM a x a y a x a y ⋅=⋅-=-+=①∵32AM MB =-，∴3(,)(,)2x a y x b y -=---；即323()2x a x y b y ⎧-=⎪⎨⎪=--⎩，解得23x a yb ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；代入①式得，11()3022x x x y -++=，即24x y =．∵03>=b y ，∴动点M 的轨迹方程为24(0)x y y =>．20．【答案】（1）20x y +=；（2）63x y =-⎧⎨=⎩，16ABCD S =，21x y =⎧⎨=-⎩，16ABCD S =．【解析】（1）(,)BC x y =，()(4,2)DA AD AB BC CD x y =-=-++=---+，BC DA ∥，则有(2)(4)0x y y x ⋅-+-⋅--=，化简得，20x y +=；（2）(6,1)AC AB BC x y =+=++，(2,3)BD BC CD x y =+=--；又AC BD ⊥，则(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=；联立222042150x y x y x y +=⎧⎨++--=⎩，解得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩；由BC DA ∥，AC BD ⊥知，四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形，当63x y =-⎧⎨=⎩时，(0,4)AC =，(8,0)BD =-，1162ABCD S AC BD ==，当21x y =⎧⎨=-⎩时，(8,0)AC =，(0,4)BD =-，1162ABCD S AC BD ==．21．【答案】（1）54απ∈；（2）59-．【解析】（1）()cos 3,sin AC αα=-，()cos ,sin 3BC αα=-，(cosAC ==cos BC =．由AC BC =得sin cos αα=．又3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，54απ∴∈．（2）由1AC BC ⋅=-，得()()cos 3cos sin sin 31αααα-+-=-， 2sin cos 3αα∴+=① 又222sin sin 22sin 2sin cos 2sin cos sin 1tan 1cos αααααααααα++==++，由①式两分平方得412sin cos 9αα+=，52sin cos 9αα∴=-， 22sin sin 251tan 9ααα+∴=-+．22．【答案】（1）2214y x +=；（2）存在，()122y x =±+．【解析】（1）设),(y x M 是所求曲线上的任意一点，),(11y x P 是方程422=+y x 的圆上的任意一点，则),0(1'y P ，则有11122x x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即112x x y y =⎧⎨=⎩，代入224x y +=，化简得2214y x +=，所以线段'PP 中点M 的轨迹C 的方程2214y x +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点．所以设直线l 的方程为)2(+=x k y ，与椭圆交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，N 点所在直线方程为4017x +=，由()22142y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222244440k x k x k +++-=，由()()4221644440k k k ∆=-+-≥，243k ∴≤，即k ≤212244k x x k -+=+，()2122414k x x k -=+， ON OA OB =+，即AN OB =，∴四边形OANB 为平行四边形．假设存在矩形OANB ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．即()()22212121240k x x k x x k ++++=，于是有2216404k k -=+，得12k =±，设()00,N x y ，由ON OA OB =+，得2012244174k x x x k =+=-=-+，即点N 在直线417x =-上． ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为()122y x =±+．。

数学一轮复习单元质检卷八立体几何B理

单元质检卷八立体几何(B )(时间:60分钟满分：76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(2020广东深圳模拟）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,P 为棱CC 1上的动点，Q 为棱AA 1的中点，设直线m 为平面BDP 与平面B 1D 1P 的交线,以下关系中正确的是( )A 。

m ∥D 1Q B.m ∥平面B 1D 1QC.m ⊥B 1Q D 。

m ⊥平面ABB 1A 12。

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 。

16π B.12π C 。

323πD.163π3。

（2020湖南常德一模，文6）三棱锥P-ABC 中，PA ，AM与平面PBC所成角的正切的最大值是√62，则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积是（)A。

2π B.4π C.8πD。

16π4.(2020河北邢台模拟,理11）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱A1B1上一点,且AB=2,若二面角B1—BC1-E为45°，则四面体BB1C1E的外接球的表面积为（）A.172π B.12π C.9πD。

10π5。

(2020山东枣庄模拟)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=√3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A.15B。

√56C。

√55D。

√226.（2020山西太原二模,理12)三棱锥P—ABC中,AB⊥BC，△PAC为等边三角形,二面角P-AC-B的余弦值为—√63，当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为8π。

则三棱锥体积的最大值为(）A.1 B。

2 C。

12D.13二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7。

(2020湖南常德一模,文14）如图,圆柱OO1中，两半径OA,O1B等于1，且OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为√24,则该圆柱OO1的体积为.8。

2020版高考数学北师大版(理科)一轮复习单元质检卷八立体几何(B)Word版含解析

单元质检卷八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018广东化州一模,6)设m,n为两条不同的直线,α为平面,则下列结论正确的是()A.m⊥n,m∥α⇒n⊥αB.m⊥n,m⊥α⇒n∥αC.m∥n,m⊥α⇒n⊥αD.m∥n,m∥α⇒n∥α2.(2019河北唐山摸底,9)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的表面积为()A.1-B.3+C.2+D.43.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.84.(2019届吉林长春质监一,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A.1B.C.D.5.已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上,且三棱锥O-ABC的高为2,点D 是线段BC的中点,过点D作球O的截面,则截面积的最小值为()A.B.4πC.D.3π如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,PA⊥平面ABC,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为()A.-B.-C. D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018福建厦门外国语学校模拟,15)已知棱长为1的正方体有一个内切球(如图),E为底面ABCD的中心,A1E与球相交于EF,则EF的长为.8.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019届河北衡水中学一模,18)在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=2BC=2CD,如图1.以DE为折痕将△ADE折起,使点A到达点P的位置,如图2.图1图2(1)证明:平面BCP⊥平面CEP;(2)若平面DEP⊥平面BCED,求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.10.(15分)(2019湖南岳阳一中质检二,18)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)当EM为何值时,AM∥平面BDF?证明你的结论;(3)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值.11.(15分)(2019届贵州遵义航天高中模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,△PAB为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD,E为线段AB的中点,M在线段PD上. (1)当M是线段PD的中点时,求证:PB∥平面ACM;(2)是否存在点M,使二面角M-EC-D的大小为60°,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检卷八立体几何(B)1.C对于A,当m⊥n,m∥α时,可能n⫋α或n与α斜交,故A错;对于B,m⊥n,m⊥α⇒n∥α或m⫋α,故B错;对于C,m∥n,m⊥α⇒n⊥α,C正确;对于D,m∥n,m∥α⇒n∥α或m⫋α,故D错;故选C.2.D由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,底面面积为1×1-π=1-π,底面周长为1+1+π=2+π,柱体的高为1,所以该柱体的表面积为S=2×1-+2+π×1=4.3.B由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.4.D如图所示:连接A1D,与AD1交于点O,连接OC1,在正方体中,∵AB⊥平面AD1,∴AB⊥A1D,又A1D⊥AD1,且AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面AD1C1B,所以∠A1C1O即为所求角,在Rt△A1C1O中,sin∠A1C1O=,所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为,故选D.5.A设正三角形ABC的中心为O1,连接O1O,O1C,O1D,OD,∵O1是正三角形ABC的中心,A,B,C三点都在球面上,∴O1O⊥平面ABC,结合O1C⫋平面ABC,可得O1O⊥O1C,∵球的半径R=3,O1O=2,∴在Rt△O1OC中,O1C=.又D为BC的中点,∴在Rt△O1DC中,O1D=O1C=.在Rt△OO1D中,OD==.过D作球O的截面,当截面与OD垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的半径r==,可得截面面积为S=πr2=.故选A.6.D因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).故=(-4,2,2),=(2,0,1).所以cos<,>===-.设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|=.7.设球心O到FE的距离为d,则在△OA1E中,A1E=,OE=.由等面积法可得××=××d,∴d=,∵球的半径为,∴EF=2=.故答案为.8.连接A1B,则∠A1BE是BE与CD1所成的角.设AA1=2AB=2a,则BE=a,A1B=a,则cos∠A1BE==.9.(1)证明在题图1中,因为AB=2BC=2CD,且D为AB的中点.由平面几何知识,得∠ACB=90°.又因为E为AC的中点,所以DE∥BC.在题图2中,CE⊥DE,PE⊥DE,且CE∩PE=E,所以DE⊥平面CEP,所以BC⊥平面CEP.又因为BC⫋平面BCP,所以平面BCP⊥平面CEP.(2)解因为平面DEP⊥平面BCED,平面DEP∩平面BCED=DE,EP⫋平面DEP,EP⊥DE.。

2019年高考数学(文)一轮复习题第八单元平面向量

π
考点二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向量的数量积运算
4.(2016 年全国Ⅱ卷)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m=( ). A.-8 B.-6 C.6 D.8 【解析】因为 a=(1,m),b=(3,-2),所以 a+b=(4,m-2). 因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以 12-2(m-2)=0,解得 m=8. 【答案】D 5.(2016 年全国Ⅲ卷)已知向量��= 2, 2 ,��= 2 ,2 ,则∠ABC=( ). A.30° B.45° C.60°
2 5
2 5
(θ 为参数),
而��=(x0,y0),��=(0,1),��=(2,0).
∵��=λ��+μ��=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
1 5 2 5 5 sinθ.
∴μ=2x0=1+ 5 cosθ,λ=y0=1+
两式相加,得
λ+μ=1+
5 2 5 5 sinθ+1+ 5 cosθ=2+sin(θ+φ)≤3
(其中sin�� =
5 5
,cos�� = 5 ,
2 5
)
当且仅当 θ=2+2kπ-φ,k∈Z 时,λ+μ 取得最大值 3. 故选 A. 【答案】A
4 1
C.��=3��+3��
4 1

2019-2020年高三数学试卷(理科)

2019-2020年高三数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第一卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设全集U=Z ，A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，则B （U A ）等于（）A ．{0，4，5}B ．{0，1}C ．{4，5}D ．{2，3}2．已知a =（3，4），b =（－8，6），则向量a 与b（）A ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为30°D ．夹角为60°3．复数i i 1在复平面中所对应的点到原点的距离为（）A ．21B ．22C ．1 D ．24．已知函数)6cos()6sin(xxy，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为（）A ．6,2xB ．12,2xC ．6,xD ．12,x5．设正三棱锥V —ABC 的底边长为32，高为2，则侧棱与底面所成角的大小为（）A ．4B ．32arcsinC ．6D ．2arctan 6．下列判断正确的是（）A ．“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题B ．“22bc ac”的充要条件是“b a”C ．若“p 或q ”是真命题，则p ，q 中至少有一个真命题D ．不等式111x 的解集为}2|{xx 7．已知A （7，1），B （1，4），直线ax y21与线段AB 交于点C ，且CB AC 2，则a等于（）A ．2B ．35C ．1 D ．548．下列关于函数xe x x xf )2()(2的判断正确的是（）①}20|{0)(xx x f 的解集是.②)2(f 是极小值，)2(f 是极大值.③)(x f 没有最小值，也没有最大值.④)(x f 有最大值，没有最小值.A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

2019-2020年高三8月单元检测理数试题解析(解析版)含解斩

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}{}|02,|02M x x N y y =≤≤=≤≤,从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有（）A ．① ②B ．② ③C ．③ ④D ．① ④ 【答案】B 【解析】试题分析：①中定义域为]1,0[，不符合题意；④中对应关系为一对二，不符合题意；② ③正确，故选B. 考点：函数的定义． 2.若()f x =,则()f x 的定义域为（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 【答案】A 【解析】考点：函数的定义域．3. 已知集合{}(){}1,2,3,4,5,,|,,A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．B ．C ．D ．10 【答案】D 【解析】试题分析：{}(2,1),(3,2),(3,1),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)B =，故选D. 考点：集合的表示法．4.命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤” 为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤ 【答案】C 【解析】试题分析：由[]21,2,0x x a ∀∈-≤为真命题得2max ,4,4a x x a ≥=∴≥，所以它的一个充分不必要条件为C.故选C. 考点：充分条件；必要条件．5.“a b =”是“直线2y x =+与圆()()222x a y b -+-=相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】考点：充分条件；必要条件．【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明． 6.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠,若()2g a =,则()2f =（）A ．B ．154C ．174D ．2a 【答案】B 【解析】试题分析：()()()()()()2,2,,2x x x x x x f x g x a a f x g x a a f x a a g x ----+-=-+∴-+=-+∴=-=，由()152,2,()22,(2)4xxg a a f x f -=∴=∴=-∴=，故选B. 考点：函数的奇偶性．7. 已知()f x 是定义在R 上的函数, 若函数()1y f x =+为偶函数,且当1x ≥时,有()12x f x =-,设321,,233a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则（） A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．a c b << 【答案】C【解析】考点：函数的奇偶性；函数的单调性． 8.已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（）A ．669B ．670C ．2008D ．【答案】D 【解析】试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性．9.已知函数()2,11,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩,若1212,,x x R x x ∃∈≠,使得()()12f x f x =成立, 则实数的取值范围是（）A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a >或2a <- 【答案】A 【解析】考点：函数的图象；分段函数．10.已知函数()f x 满足()()1f x f x +=-,且()f x 是偶函数, 当[]0,1x ∈时,()2f x x =,若在区间[]1,3-内, 函数()()g x f x kx k =--有个零点, 则实数的取值范围是（）A ．(]0,0.25B ．(]0,0.5C ．()0,1D ．()0,2 【答案】A 【解析】试题分析：函数()f x 满足()()()()1,2f x f x f x f x +=-∴+=，故函数是周期为的周期函数．当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈时，()()22(),[1,1]f x f x x x x =-=-=∈-，即当[]1,1x ∈-时()2f x x =，当[]1,3x ∈时，()2(2)f x x =-，由此可作出函数的图象，由函数()()g x f x kx k =--有个零点得()f x 与y kx k =+有四个交点，把点(3,1)代入y kx k =+可得14k =，可得实数的取值范围为(0,0.25]，故选A.考点：函数的周期；函数的图象．11.已知()()()2004sin 01log 1x x f x x x π≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,若、、互不相等, 且()()()f a f b f c ==,则a b c ++ 的取值范围是（）A ．()1,2014B ．()1,2015C ．()2,2015D ．[]2,2015 【答案】C 【解析】考点：函数的图象．【易错点睛】本题主要考查了函数的图象，三角函数的图象，对数函数的性质等知识点．本题的有两个关键点：一是()sin 01y x x π=≤≤关于12x =对称，由此得到1=+b a ；二是()2004log 1y x x =>值域满足(0,1)，可得20141<<c ．由此可得20152<++<c b a ．第二是本题的难点，本题也可结合函数的图象来研究．本题难度中等．12. 已知函数()y f x =的定义域为R 的偶函数, 当0x ≥时,()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩, 若关于的方程()()20,f x af x b b R ++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有个不同的实数根, 则实数的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】考点：分段函数；函数的图象．【易错点睛】本题主要考查了分段函数与复合函数的应用，函数的图象，函数与方程的关系，函数的单调性等知识点．本题由给定的关于()f x 的方程有六个根可知方程有两个解，根据根的范围分两种情况，可得每种情况下的范围，最后可得的范围．本题考查了知识点较多，逻辑能力，分析能力等能力也进行着重的考查．本题属于难题．2019-2020年高三8月单元检测理数试题解析（解析版）含解斩二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()12ax f x x +=+在区间()2,-+∞上是增函数, 求实数的取值范围是．【答案】21>a 【解析】试题分析：()1(2)1212222ax a x a af x a x x x +++--===++++,由函数在()2,-+∞上是增函数得120a -<，12a ∴>．考点：函数的单调性．14.已知()f x 是定义域为R 的偶函数, 当0x >时,()24f x x x =-, 则()25f x +<的解集是．【答案】{}73x x -<< 【解析】试题分析：当0x >时()25,450,15,05f x x x x x <∴--<∴-<<∴<<，由()f x 是定义域为R的偶函数得()5,55f x x <∴-<<，由()25f x +<得{}525,73,73x x x x -<+<∴-<<∴-<<．考点：函数的奇偶性．15.对于函数()()y f x x R =∈,给出下列命题：① 在同一直角坐标系中, 函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于直线0x =对称；②若()()11f x f x -=-,则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； ③若()()11f x f x +=-,则函数()y f x =是周期函数；④若()()11f x f x -=--,则函数()y f x =的图象关于()0,0对称. 其中所有正确命题的序号是．【答案】③④ 【解析】考点：函数的性质．【易错点睛】本题主要考查了函数的性质，主要体现在对称性和周期性的考查．要求学生要区分一个函数的对称和两个函数的对称在解析式上有什么不同，不仅偶函数具有对称性，别的函数的对称性应当怎样确定是必须要掌握的知识点．函数的周期性不仅要在定义上进行理解，更在变形上加以区分．本题的知识点集中，难度中等． 16.若函数(),y f x x D =∈同时满足下列条件：①函数()y f x =在D 内为单调函数；②存在实数,,m n D m n ∈<,当[],x m n ∈时, 函数()y f x =的值域为[],m n ,则称此函数()f x 在D 内为等射函数, 设函数()()30,1ln x a a f x a a a+-=>≠,则（1）函数()y f x =在(),-∞+∞上的单调性为(填“递增”“递减”“先增后减” “先减后增”)；（2）当()y f x =在实数集R 内等射函数时,的取值范围是．【答案】(１)递增；(２))2,1()1,0(⋃∈a ．【解析】试题分析：（１）()33ln ln ln x x a a a a f x a a a +--==+，当01a <<或1a >时，函数都为增函数，故第一个空填“增函数”；（２）由()y f x =在实数集R 内等射函数，x aa a x f x =-+=∴ln 3)(有两个不同的实根，即3ln -+-a a x a x有两个不同的实根，令'()ln 3,()ln ln ln (1)x x x g x a x a a g x a a a a a =-+-∴=-=-，令'()0,0.g x x =∴=（1）1,0a x >>时)('>x g ，<x 时'min ()0,()(0)130g x g x g a <∴==+-<，2<∴a 故21<<a ；（２）0,10><<x a 时，0)('>x g ，0<x 时，'()0g x <， min ()(0)130,2,01g x g a a a ∴==+-<∴<∴<<，综上)2,1()1,0(⋃∈a ．考点：函数单调性的判断与证明．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题:p 不等式1x x m +->的解集为R ,命题()():52xq f x m =--是增函数, 若p 或为假命题, p 且，求实数m 的取值范围. 【答案】12m ≤<．【解析】试题分析：由p 中不等式知11x x +-≥，由此可得m 的范围；由()():52xq f x m =--是增函数可得521m ->，可得521m ->的范围，由若p 或为假命题,p 且为真命题得m 的范围．试题解析：不等式11x x +-≥,∴要使不等式1x x m +->的解集为R ,则1m <,即:1p m <,函数()()252f x m =-是增函数, 则521m ->,即24,2m m <<,即:2q m <.若p 或为真命题, p 且为假命题, 则,p q 一真一假. 若p 真,假, 则12m m <⎧⎨≥⎩,此时无解. 若p 假,真,则12m m ≥⎧⎨<⎩,解得12m ≤<.考点：命题真假的判断．18.（本小题满分12分）已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,其中是大于的常数. （1）求函数()f x 的定义域；（2）当()1,4a ∈时, 求函数()f x 在[)2,+∞上的最小值；（3）若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定的取值范围．【答案】(１)当1a >时，定义域为()0,+∞，当1a =时，定义域为()()0,11,+∞，当01a <<时，定义域为(()0,111+-+∞；(２)lg2a；(３)()2,+∞．【解析】试题分析：(１)由 20ax x+->对分两种情况：一、1a >；二、01a <<．求两种情况下定义域；(２)令()2a g x x x =+-，求导知()2ag x x x=+-在[)2,+∞上是增函数，由此得()f x 在[)2,+∞上为增函数，最小值为()2lg 2a f =；(３)本题转化为21x ax+->即23a x x >-恒成立，进而转化为求2()3h x x x =-在[)2,x ∈+∞的最大值．试题解析：（1）由20ax x+->,得220x x a x -+>,1a >时,220x x a -+> 恒成立, 定义域为()0,,1a +∞=时, 定义域为{}|01,01x x x a >≠<<且时, 定义域为{|011x x x <<>.（2）设()2ag x x x=+-,当()[)1,4,2,a x ∈∈+∞时,()222'10a x a g x x x -=-=> 恒成立, ()2g x x x a ∴=+-在[)2,+∞上是增函数, ()l 2g a x f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭-在[)2,+∞上是增函数,()l 2g a x f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭-在[)2,+∞上是增函数, ()l 2g a x f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭-在[)2,+∞上的最小值为()2lg2a f =.考点：对数函数的定义域；导数求函数单调性；二次函数的最值．19.（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-,且当[]1,1x ∈- 时,()3f x x =.（1）求()f x 在[]1,5上的表达式；（2）若(){}|,A x f x a A φ=>≠,求实数的取值范围．【答案】(１)()33(2)(4),13,35x x f x x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤--⎪⎩；(２)1a <．【解析】试题分析：(１)分两种情况：１、[)1,3x ∈；２、[]3,5x ∈．利用()()2f x f x +=-可得()f x 的表达式；(２)求得()f x 的值域[]1,1-即可得的取值范围．试题解析：由()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=,故()f x 的周期为. （1）当[]3,5x ∈时,[]()()341,1,44x f x x -∈-∴-=-, 又()()()[]34,44,3,5T f x f x x x =∴=-=-∈,当[)1,3x ∈时,[)()()321,1,22x f x x -∈-∴-=-,又()()()()()[)32,22,1,3f x f x f x f x x x +=-∴=--=--∈,故()33(2)(4),13,35x x f x x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤--⎪⎩. （2）当[)1,3x ∈时,()3(2)x f x -=- 为减函数, 故()()()((]3,11,1f x f f ∈=-⎤⎦,当[]3,5x ∈时, ()3(4)x f x -=为增函数, 故()()()[]3,51,1f x f f ∈=-⎡⎤⎣⎦, , 故当[]1,5x ∈时, ()[]1,1f x ∈-,()f x 的周期函数,()f x ∴ 的值域为[]1,1-,又()f x a >,对x R ∈有解1a ∴<.考点：函数的周期性；函数的表示方法．20.（本小题满分12分）定义在R 上的单调函数()f x 满足()23log 3f =且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+.（1）求证：()f x 为奇函数；（2）若()()33920x x x f k f +--<对任意x R ∈恒成立, 求实数的取值范围．【答案】(１)证明见解析；(２)1k <-+ 【解析】试题分析：(１)令0x y ==得()00f =，令y x =-得()()f x f x -=-，此题得证；(２)很容易得()f x 是增函数，题中不等式可转化为关于的不等式，得2133xx k <-++，进而得的取值范围．试题解析：（1）()()()(),f x y f x f y x y R +=+∈ , ① 令0x y ==,代入① 式, 得()()()0000f f f +=+,即()00f =.令y x =-,代入① 式, 得()()()f x x f x f x -=+-,又()00f =, 则有()()0f x f x =+-,即()()f x f x -=-对任意x R ∈成立, 所以()f x 是奇函数.（2）()23log 30f =>,即()()30f f >,又()f x 在R 上是单调函数, 所以()f x 在R 上是增函数,又由（1）()f x 是奇函考点：函数的奇偶性；不等式恒成立问题．21.（本小题满分12分）对于定义域分别是,f g D D 的函数()(),y f x y g x ==,规定：函数()()()()()f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎪⎩当且当且当且. （1）若函数()()21,1f xg x x x ==-,写出函数()h x 的解析式；（2）求出（1）中的函数()h x 的值域；（3）若()()g x f x α=+,其中α是常数, 且[]0,απ∈,请设计一个定义域为R 的()y f x =及一个的值，使得()cos4h x x =,并给予证明.【答案】(１)()()()2,,11,11,1x x h x x x ⎧∈-∞+∞⎪=-⎨⎪=⎩；(２) (]{}[),014,-∞+∞；(３)()sin 2cos 2,4f x x x πα=+=，证明见解析．【解析】试题分析：(１)依题意得，分1,1≠=x x 讨论，利用函数性质可求得函数()h x 的解析式；(２)当1=x 时，易求()11h =；当1≠x 时，()21()()1211x h x f x g x x x x =⋅==-++--，再对分1>x 和1<x 讨论，利用基本不等式即可求得函数()h x 的值域；(３)构造函数()sin 2cos 2,4f x x x πα=+=，可求得()cos2sin 2g x x x =-，继而可证得()cos4h x x =．试题解析：（1）()()()2,,11,11,1x x h x x x ⎧∈-∞+∞⎪=-⎨⎪=⎩.（2）当1x ≠时,()211211x h x x x x =-++--, 若1x >时, 则()4h x ≥,其中等号当2x =时成立,若1x <时, 则()0h x ≤,其中等号当0x =时成立,∴ 函数()h x 的值域是(]{}[),014,-∞+∞.考点：抽象函数及其应用．22.（本小题满分12分）设函数()()ln ,xf x x axg x e ax =-=-,其中为实数.（1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数, 且()g x 在()1,+∞上有最小值, 求的取值范围；（2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数, 试求()f x 的零点个数, 并证明你的结论. 【答案】(１)a e >；(２)当1a e =或0a <时，()f x 有个零点，当10a e<<时,()f x 有个零点，证明见解析．【解析】试题分析：(１)求导数，利用()f x 在()1,+∞上是单调减函数，转化为01≤-a x在()1,+∞上恒成立，利用()g x 在()1,+∞上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；(２)先确定的范围，再分类讨论，确定()f x 的单调性，从而可得()f x 的零点个数．试题解析：（1）()1'0f x a x =-≤在()1,+∞上恒成立, 则()1,1,a x x≥∈+∞,故1a ≥.()'x g x e a =-,若1a e ≤≤,则()'0xg x e a =-≥在()1,+∞上恒成立, 此时,()xg x e ax =- 在()1,+∞上是单调增函数,无最小值, 不合；若a e >,则()'xg x e ax =-在()1,ln a 上是单调减函数, 在()ln ,a +∞上是单调增函数,()()min ln g x g a =,满足. 故的取值范围a e >.（2）()'0x g x e a =-≥在()1,-+∞上恒成立, 则xa e ≤,故()111,'(0)ax e f x a x e x x-≤=-=>.①若10a e <≤, 令()'0f x >得增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；令()'0f x <得减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭, 当0x →时,()f x →-∞ ；当x →+∞时,()f x →-∞ ；当1x a=时,1ln 10f a a ⎛⎫=--≥⎪⎝⎭, 当且仅当1a e =时取等号. 故:1a e =时,()f x 有个零点；当10a e<<时,()f x 有个零点. ②若0a =,则()ln f x x =-,易得()f x 有个零点；考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．。

2019-2020年高三联考数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高三联考数学试卷（理科）含解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．98．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取________名．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．11．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为________．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为________．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=________．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R 恒成立}，则A∩（∁U B）=________．三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A4．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A利用逆否命题的定义判断即可；B存在命题，应把存在改为任意，再否定结论；C根据充分不必要条件的定义判断即可；D根据且命题的真假判断依据判断即可．【解答】解：对于A，逆否命题把命题的条件和结论互换，再同时否定，故命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故正确；对于B，对于存在命题，应把存在改为任意，再否定结论，故命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故正确；对于C，若m，n∈R，“lnm＜lnn”，则0＜m＜n，可得“e m＜e n”，但由“e m＜e n”，m，n也可能为负值，不一定得出lnm＜lnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于D，且命题为假命题，p和q不能都是真命题，但也不一定都是假命题，故错误．故选：D．5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：二项展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣1）r•••，令12﹣=2，解得r=4；所以展开式中含x2项的系数为：（﹣1）4C62（）2=．故选：B．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=8x上的点P满足|PF|=5，可得P（3，±2），代入双曲线方程算出m的值，即可得到双曲线的a、b之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5﹣=5﹣2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．8．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【考点】函数的零点．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取15名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴高一应抽取的学生数为300×=15．故答案为：15．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD∵BC⊥CD，AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6∴三棱锥的表面积是S表故答案为：30+611．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．求出圆心到直线的距离d，即可得出曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=d﹣r．【解答】解：直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2x+2y，配方化为：（x+1）2+（y﹣1）2=2，可得圆心C2（﹣1，1），半径r=．圆心到直线的距离d==2曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=2﹣=．故答案为：．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A、B的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率．【解答】解：如图所示，由不等式组确定的平面区域A的面积为S=3×3=9，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域B的面积为S′=×3×3﹣×1×1﹣∫13dx=4﹣ln3；根据几何概型的概率公式知，该点落在区域B内的概率为P=．故答案为：．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得MC，求得PC=MP﹣MC的值，据PQ•PB=PC2求出结果．【解答】解：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．由切割线定理可得MC2=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP﹣MC=3﹣2=，由切割线定理可得PQ•PB=PC2=3，故答案为3．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁U B）=．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，∴a＞0，且对称轴﹣=，则判别式△=4﹣4ab=0，即ab=1，则==a﹣b+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，则t=a﹣b+≥2=2，即A=[2，+∞），∵|x+1|﹣|x﹣3|≤|3﹣（﹣1）|=4，∴若|x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立，则m2﹣3m≥4，即m2﹣3m﹣4≥0，即m≥4或m≤﹣1，即B={m|m≥4或m≤﹣1}，则∁U B═{m|﹣1＜m＜4}，则A∩（∁U B）={m|2≤m＜4}，故答案为：三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=，再利用三角函数的图象与性质即可得出．（Ⅱ），由于0＜C＜π，可得：＜2C﹣，可得C．因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+2×（sinx﹣cosx）×（sinx+cosx）=cos2x+sin2x﹣cos2x=，∵，4分∴对称轴方程为：，∵x∈[﹣，]，∴∈，f（x）在区间[﹣，]上单调递增，在区间上单调递减，所以，当x=时，f（x）取最大值1又=﹣＜=，当x=﹣时，f（x）取最小值﹣．（Ⅱ），∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，∴＜2C﹣，∴=，C=，因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，即c2=a2+b2﹣ab=3解得：a=1，b=2．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，由此利用对立事件概率计算公式能求出两人中所取的球颜色不同的概率．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．甲所取的两球颜色相同的概率为=，乙所取的两球颜色相同的概率为=，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）==，P（X=2）==，X0 1EX==．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EF⊥平面PAD；（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，又平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（Ⅲ）设，，∴，，∴=，即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由题意知3q2﹣4q+1=0，从而求出公比，进而求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用错位相减法求其前n项和T n；（Ⅲ）化简为c n=2n﹣1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求其前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴4a2=a1+3a3，∴3q2﹣4q+1=0，∵q≠1，∴，∴a n=•=；（Ⅱ）由（Ⅰ），∴①，②，①﹣②得，，∴．（Ⅲ）由，得c n=2n﹣1，，=，∴不超过P2016的最大的整数k是2016．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．求得M，N的坐标，由直径式的圆的方程可得MN为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b=1，由，得a2=4，b2=1．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，E（x1，y1），F（x2，y2），由可得，∴，∴，∴；（2）当直线的斜率不存在时，|EF|=1不符合．∴直线方程为和．（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，或通过求得圆心，得到圆的方程．即，∵，∴，令y=0，则x2﹣1=0，解得x=±1．∴以MN为直径的圆过定点（±1，0）．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，解出即可；（Ⅱ）构造函数，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出m的最小值即可；（Ⅲ）求出F（x）的表达式，得F（x1）+F（x2）=0，令t=x1•x2＞0，得到ϕ（t）=t﹣lnt，根据函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）切线的斜率k=f'（1）=1+m，∴1+m=2，∴m=（Ⅱ）由题意，，设①当m≤0时，因为x＞0，所以G'（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．②当m＞0时，．令G'（x）=0，因为x＞0，得，所以当时，G'（x）＞0；当时，G'（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为，，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．（Ⅲ）m=1时，，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即，整理得，令t=x1•x2＞0，则由ϕ（t）=t﹣lnt得，，可知ϕ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以ϕ（t）≥ϕ（1）=1，所以，解得，因为x1，x2为正数，所以成立．2016年9月7日。

高考数学第一轮复习单元试卷8-平面向量精品推荐

第八单元平面向量一.选择题(1) 若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( )A 30°B 60°C 180°D 180° (2) P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A 外心B 内心C 重心D 垂心(3)已知平行四边形ABCD 中, =(3, 7 ), =(-2, 3 ), 对角线AC, BD 交于点O, 则的坐标为( )A (-21, 5)B (-21, -5)C (21, -5) D (21, 5) (4) 已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--==（）A 30°B 60°C 180° D180°(5)为了得到函数y ＝sin(2x-6π)的图像,可以将函数y ＝cos2x 的图像 ( )A 向右平移6π个单位长度 B 向右平移3π个单位长度 C 向左平移6π个单位长度 D 向左平移3π个单位长度(6) 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P 的坐标为（－18，18），则5秒后点P 的坐标为（）A （－2，4）B （－30，25）C （18，－5）D （5，－18） (7) 在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（）A 5B －5C 23D 23-(8) 已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| a + 3 | = ( ) A 7 B 10 C 13D 4(9) 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,CE BC =等于（）A 2 B21C －3D －31 (18) 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（）A a ⊥eB a ⊥(a －e )C e ⊥(a －e )D (a ＋e )⊥(a －e ) 二.填空题(18)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=___ (18)已知向量a 与的夹角为180°,且|a |=2, ||=5,则(2a -)·a = . (18已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是_______ (18) 直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________ 三.解答题 (18) 已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.(18)如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.(18)已知两点M(-1,0), N(1, 0), 且点P 使⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列.(Ⅰ)点P 的轨迹是什么曲线?(Ⅱ)若点P 的坐标为(x 0, y 0), 记θ为,的夹角, 求tan θ.（18）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，A BCa且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值。

高三理科数学一轮单元卷：第八单元平面向量 A卷

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量()3,5=a ，()2,1=-b ，则2-=a b （） A ．()7,3B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,32．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =u u u r（）A B C D 3．已知向量()4,2=-a ，(),1x =b ．若a ，b 共线，则x 的值是（） A ．1-B ．2-C ．1D ．24．已知平面向量()1,3=a ，(),3x =-b ，且∥a b ，则）A ．10B C ．5D5．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（） A ．1-B ．37C ．35-D ．356．若向量a 、b 满足1=a 、=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为（）A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π 7．单位圆O 中一条弦AB，则·AB OB =u u u r u u u r（） A ．1BC ．2D ．无法确定8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（） ABCD9．在ABC △中，2BD DC =u u u r u u u r ，AD mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则mn的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．310．四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，且ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．已知向量a ，b 的夹角为120︒，则向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为（）ABCD12．在锐角ABC △中，60B =︒，2AB AC -=u u u r u u u r则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（）A ．()0,12B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则． 14．已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 15．已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB uuu r方向相同的单位向量为________．16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB P 的坐标是____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ，（1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ；（2）求向量a 在b 方向上的投影．18．（12分）已知向量()3,2=a ，()1,2=-b ．（1）求2a +b 的值；（2）若()m ⊥+a b b ，求m 的值．19．（12，()sin ,cos x x =n ，（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，()23BC k =-u u u r ，，()24AC =u u u r，，（1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件；（2）ABC △是不以C ∠为直角的Rt △，求实数k 的值．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=u u u r u u u r ．（1）若13λ=，用向量OA u u u r ，OB uuu r 表示OP uuu r ；（2）若4OA =u u u r ，3OB =u u u r，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥u u u r u u u r ？22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,A b c =+p ，(),sin sin q a c C B =--，满足+=-p q p q ．（1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()()2,cos20k A k =≠n ，⋅m n 有最大值为32，求k 的值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第八单元平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】∵()3,5=a ，()2,1=-b ，∴()()()()23,522,134,527,3-=--=+-=a b ，故选A ． 2．【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：A 选项．3．【答案】B【解析】∵()4,2=-a ，(),1x =b ，且a ，b 共线，∴24x -=，解得2x =-．故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意得，()1,3=a ，(),3x =-b ，且()11,3x ⇒=-⇒=--∥a b b ，则()21,3+=--a b ，即D ． 5．【答案】A【解析】因为向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，所以()22,1k k +=++a b ，又因为()+⊥a b a ，所以()770k +⋅=+=a b a ，1k =-，故选A ． 6．【答案】C【解析】()⊥+Q a a b ，所以，()0⋅+=a a b ，即2||cos ,0⋅+⋅=+⋅=a a a b a a b a b ，所以2||cos ,=-=⋅a a b a b [],0,∈π a b ，故a 与b 的夹角为34π，故选C ．7．【答案】A222u u u r u u r u u u r uAB uuu r 与OB uuu r 成的角为4π，2·2112AB OB =⨯⨯=u u ur u u u r ，故选A ． 8．【答案】C【解析】向量a 与b 反向：-=+a b a b ，+=-a b a b ，故选C ． 9．【答案】A 【解析】如图，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又AD mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，∴13m =，23n =，故12m n =．故选A ．10．【答案】C【解析】由于AB DC =u u u r u u u r，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ． 11．【答案】D【解析】Q 向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b ，所以2222341261+=+⋅=a b a a b +9b ，2361+=a b 22224413+=+⋅+=a b a a b b ，所以213+=a b ()()232cos 23,22326113++++==++⋅a b a b a b a b a b a b，所以向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为 191323cos 23,2616113+++==⋅a b a b a b ，故选D ． 12．【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒，2AB AC -=u u u r u u u r，∴()1,3C ，设(),0A x ，∵ABC △是锐角三角形，∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），∴14x <<，则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为()0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】32【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，()()()2sin 2sin cos 2tan 1221432sin cos sin cos tan 121x x x x x x x x x π⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭====----，故答案为3214．【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=，即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ，据此可知：2226810++=m n ． 15．【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-u u u r ，，，，5AB =u u u r ，∴与向量AB uuu r 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP uuu r ，PB u u u r(),P x y ，，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）()16,16--；（2）．【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=Q c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影18．【答案】（1（2）15-．【解析】（1）由已知得()21,6=a +b，所以2=a +b ．（2）依题意得()3,22m m m +=-+a b ，又()m ⊥Q +a b b ，()·0m ∴= +a b b ，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 19．【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n，即0x x =，化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n)1sin cos 22x x -=，20．【答案】（1）12k =；（2）2-，1-，3．【解析】（1）A B C Q，，三点不能构成三角形，∴三点A B C ，，共线；∴存在实数λ，使BC AC λ=u u u r u u u r ；22 34k λλ-=⎧∴⎨=⎩，解得12k =．k ∴满足的条件是12k =．（2）()()()23241AB CB CA k k =-=-----=u u u r u u u r u u u r，，，ABC Q △为直角三角形；∴若A ∠是直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r ，2402AB AC k k ∴⋅=+=∴=-u u u r u u u r，；若B ∠是直角，则AB BC ⊥u u u r u u u r ，2230AB BC k k ∴⋅=-++=u u u r u u u r ，解得1k =-，或3；综上可得k 的值为：2-，1-，3．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r ．∵AP AB λ=u u u r u u u r， ∴()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()1OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ．∵OP AB ⊥u u u r u u u r ，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，22．【答案】（1）3B π=；（2）1k =或2k =．【解析】（1）由条件+=-p q p q ，两边平方得0⋅=p q ，又()sin ,A b c =+p ，(),sin sin －－ac C B =q ，代入得()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=，根据正弦定理，可化为()()()0－a a c b c cb -++=，即222ac b ac +-=，又由余弦定理2222cos ＝a c b a B +-，所以1cos B =，B π=．（2）1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()2,cos2n k A =，()0k ≠，()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+-⎪⎝⎭m n 2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，而203A <<π，(]sin 0,1A ∈，①01k <≤时，sin 1A =取最大值为3222k -=，1k =． ②1k >时，当1sin A k =时取得最大值，1322k k +=解得1k =或2k =， 1k =（舍去）2k ∴=．③0k <时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A =取最大值3222k -=，1k =（舍去），综上所述，1k =或2k =．。

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：平面向量(含解析)

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练平面向量一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6，AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则CD BE ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ ．4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =u u u u r u u u r ，点N 、T 分别为线段BC 、CA 上的动点，则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r取值的集合为．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC =u u u r u u u r ,12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则CE AB ⋅=u u u r u u u r ▲ ．6、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =⋅=r r r ，若52a b +=r r ，则b r的值是．7、（盐城市2019届高三上学期期中）已知向量(1m =u r ，1)-，(cos n α=r，sin )α，其中 [0α∈，]π，若m u r ∥n r，则α＝．8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ．9、（苏州市2019届高三上学期期中）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为 ▲ ．10、（无锡市2019届高三上学期期中）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|2a ＋b|的值为 11、（徐州市2019届高三上学期期中）在平行四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若2CE ED =u u u r u u u r ,则AE BE ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．12、（常州市2019届高三上学期期末）平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==u u u r u u u r，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||2OC =u u u r ，则||OD =u u u r ________.13、（海安市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，且AM ＝1，点P 满足 P A ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)的取值范围是．14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC △所在平面内一点，满足322CP PB PA =+u u u r u u u r u u u r，则CP AB ⋅u u u r u u u r 的值为．15、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最小值是．16、（泰州市2019届高三上学期期末）已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r ，0PA PB PC λμ++=u u u r u u u r u u u r r，则λμ＝17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅u u u r u u u r ＝83，则AQ CP ⋅u u u r u u u r的最小值为18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ⋅u u u r u u u r 的最大值为19、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知⊙O 的半径为2，点A.B.C 为该圆上的三点，且AB=2，0>⋅→→BC BA ，则)(→→→+⋅BA BO OC 的取值范围是_____.20、（江苏省2019年百校大联考）在平面凸四边形ABCD 中，22AB =，3CD =，点E 满足2DE EC =uuu r uu u r ，且2AE BE ==．若85AE EC =uu u r uu u r g ，则AD BC uuu r uu u r g 的值为．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=u u u r u u u r u u u r.若2AD =，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的值为 .22、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面四边形OABC 中，已知||3OA =u u u r，OA ⊥OC ，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，若OB AC u u u r u u u r g ＝6，则||OC =u u u r＿＿二、解答题1、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=r ，(1,sin())4b πα=+r .（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值；（2）若//a b ，求锐角α的大小.2、（（南京市13校2019届高三12月联合调研）在如图所示平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =u u u r，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +u u u r u u u r 的最小值;（Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =u r u u u r ，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--r ，求m n ⋅u r r 的最小值及对应的x 值.3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量()()3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB ==-u r r，其中,A B 为ABC ∆的两个内角.（1）若m n ⊥u r r，求证：C 为直角；（2）若//m n u r r，求证：B 为锐角.4、（泰州市2019届高三上学期期末）已知向量(sin ,1)a x =r ，1(,cos )2b x =r ，其中(0,)x π∈。

高三理科数学一轮单元卷：第八单元平面向量A卷

一轮单元训练金卷？高三？数学卷（A ）第八单元平面向量注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设平面向量 a =[3,5 , -2,1，则 a- 2b =()2. 在A ABC 中，点D 为边AB 的中点，则向量CD二（）1B^-BC 2 1-BA BC 23.已知向量a = 4, -2 , b = x,1 .若a , b 共线，则x 的值是（） A . -1B . -2C . 1D . 24.已知平面向量 a =(1,3 ), b=(x,—3 )，且 a// b ，则 |a + 2b =( )A . 10B . 、5C . 5D . -105. 已知向量a h[3,1 , b h[2k -1,k ，且a b — a ，则k 的值是()A .7,3B • 7,7C .1,7D • 1,3 B • D .3 3 3A . -1B . —C .D .-7 5 56. 若向量a、b满足a =1、b = 2 , a_a，b，则a与b的夹角为( )a +b = a —bC . 210.四边形 ABCD 中，AB=DC ，且 AD —AB|=|AD + AB ，则四边形 ABCD 是(b 的夹角为120”，且a = 2 , b= 3，则向量2a + 3b 在向量2a + b 方向上的投影为( )A .叵13B . 6^1312.在锐角△ ABC 中，B =60 , AB-AC、填空题(本大题有 4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)14. 已知向量 m =(T,2 ), n =(x,4 )，若 m 丄n ,贝U 2m +n = _______________ .T15. ________________________________________________________________ 已知点A(4,1 ), B(1,5 )，则与向量AB 方向相同的单位向量为 ________________________________A .平行四边形B .菱形C .矩形D .正方形A .0,12-1B.「4,12C .0,41 D .0,217. 单位圆O 中一条弦AB 长为 2，则C .4C .D .无法确定已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是(a +b = a - b|晶=2DC , AD 二mAB nAC ，则m 的值为nD . a + b = a +b|9.在△ABC 中,AB11.已知向量a , 19一13 D .13=2则AB AC 的取值范围为(13.已知向量 a = sinx,2 ,b = cosx,1，满足 all b ，则(it)2sin x —I 4丿 sin x -cosx三、解答题(本大题有 6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. ( 10 分)已知向量 a 二 1,3 ，b 二 2, -2 ， (1) 设 c = 2a b ，求 b a c ； (2) 求向量a 在b 方向上的投影.18. (12 分)已知向量 a 二 3,2 , b = -1,2 . (1) 求a+ 2b 的值；(2) 若 a + m b 、I b ，求 m 的值.(1)若m_ n ，求tanx 的值;16.已知 A 2,3 , B 4, -3，点P 在线段 AB 的延长线上，且，则点P 的坐标是19. (12分)已知向量二 sinx,cosx ,(2)若向量m , n 的夹角为…，求sin3（1）若三点A B、C不能构成三角形，求实数k满足的条件;（2）△ABC是不以.C为直角的Rt A，求实数k的值.21. （12分）如图，在A OAB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足22. （12分）在△ABC中，角A , B , C的对边分别为q = a「c,sin C「sin B，满足p q 二p -q .(1)求角B的大小；— 1 3(2)设m = sin C , , n = 2,kcos2A k =0 , m n有最大值为一，求k 的值.l I 3丿2丿* 八' 2⑴若’=3，用向量OA，OB表示OP；(2)若OA =4 , OB =3 ,且.AOB=60，请问■取何值时使得20. （12分）已知平面上三点A B C满足，BC = 2 ―k,3 ,AC = 2,4 ,a ,b , c，向量p= sin A,bc ,一轮单元训练金卷？高三？数学卷答案（A）第八单元平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 【答案】A【解析】••• a 二3,5 , b= -2,1 ,••• a- 2b 二3,5 - 2 -2,1 二3 4,5 -2 二7,3 , 故选A .2. 【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：T T T T iT 1T TCD =CB+BD = —BC+-BA=-BA —BC .本题选择A 选项.2 23. 【答案】B【解析】••• a 二4, -2 , b= x,1 ,且a , b共线，• -2x=4，解得x = -2.故选B.4. ［答案】D【解析】由题意得，a = 1,3 , b = x, -3，且a// b= x--1= b _-1,-3 ,则a + 2b = （—1, —3 卜即|a+ 2b| =寸10，故选D.5. ［答案】A［解析】因为向量a二3,1 , b= 2k -1,k，所以a • b二2k 2,k 1，又因为a • b _ a，所以a b a= 7k 7=0, k=「1，故选A.6. ［答案】C［解析】_ a b，所以，a a b =0 ,即 a a a b =|a |2• a| | b cos a,b =0 ,所以cos（a,b）=-鸟匚二一乞2，又（a,10,兀］,故a与b的夹角为—，故选C.' a|}b 2 47. ［答案】A2 2 2［解析】单位圆O中一条弦AB长为2，则OA +OB二AB , △OAB是等腰直角三角形，所以~ri -JTAB 与OB 成的角为…，4&【答案】C9.【答案】A 【解析】如图,T T T T 2T T 2 T T 〔T 2T AD 二 AB BD 二 ABBC 二 AB AC - AB ABAC , 3 37 3 32 斗m 1丄— ,n ，故 .故选A .3 -边形的对角线相等，故为矩形，故选 C .11. ［答案】D【解析】「向量a , b 的夹角为120°，且a = 2 , b = 3 ,2a 3b - 61 .又 2a b 2 =4a 2 4a b b^13,所以向量2a - 3b 在向量2a - b 方向上的投影为19 19 J 132a -+3b cos (2a+ 3b ,2a +b)=佑农 ll = ---------------- ，故选 D .鶯'61 ”灯 13 13 12. 【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系,AB OB = 汉1汉= 1，故选A . 2【解析】向量a 与b 反向: a —b| =|a| + 冋, a +b =冋—| b ，故选C .2 2 1_ r r ■ 又 AD 二 mAB nAC ，二 10.【答案】C T TAB 二DC【解析】由于，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四所以 2a 3b 2 =4a 2 12a b+9b 2 =61 , 所以2a • b = 13，则 cos2 a 3b 2 a b 192a 3b ，2 a b= 2a 3b| 2a b ~ 6113 '••• A C =12030 :：: A :：: 90，即A 在如图的线段DE 上（不与D , E 重合），y c- 一 R D 』 EH为0,12，故选A .、填空题（本大题有 4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上） 13•【答案】3.2【解析】因为向量a 二sinx,2 , b 二cosx,1 , all b ,sin x-2cosx=0, tanx=2 ,14.【答案】10【解析】由题意可得：m n 二-x 2 4 =0 , x =8 , 即 m = -1,2 , n = 8,4，则 2m 一2,4 厂 i 「8,4 = 6,8 , 据此可知：2m n = 6282 =10 .i'z 3 4 115.【答案】 —I 5 5丿16.【答案】8,-15•/ B =60 ,AB =2,C 1, 3，设 A x,0 ,△ ABC 是锐角三角形,• 1 ：：：x ：：：4，则2二 X -X (1 丫=I x _一I 2丿1 -1，所以 42sin〔xT2 sin x cosx ] <2 tanx 1 sin x - cosxsin x- cosxtan x -12 2 1 2-1，故答案为3 2【解析】AB = 1, - 4,1 二-3,4 ,AB =5 ,-与向量AB 方向相同的单位向量为的取值范围三、解答题(本大题有 6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 •【答案】(1) -16, -16 ; (2) -2 •【解析】(1) *c 二 2,6| 亠 |2, -2 二 4,4 , ba 二 2-6 二 -4= ba c 二-16,-1618 •【答案】(1) 37 ; (2) -1 •5【解析】(1)由已知得a+ 2b = 1,6，所以a + 2b 二37 • (2)依题意得 a • m b = 3 -m,2 2m ，又；a + m b ] I b ,1.a + m b b 二0，即卩—1 3—m 2 2 2m =0，解得 m =——519•【答案】(1) tanx=1； (2) 1 •2【解析】因为P 在AB 的延长线上，故 AP , PB 设 P x,y ,c 3 ’ x-24-x3y-3—2 -3_y，解得x =8 y 「15P 的坐标为 8,-15，故填8,-15 .(2)向量a 在b 方向的投影a b42 b w 2【解析】(1)由n 可得m = 0,即— sinx -dcosx =0 ,2 2化简可得 sinx 二 cosx ，贝U tanx =1.(2)由题意可得m = 1,n|= 1, mn= ^sinx -亚cosx2 2而由m , n—可得3■兀1m n = m n cos —= —，因此有3 2si nx -cosx i 」2则sin (JI1x[=—1 I 4 2共线反向，故n 的夹角为1431120.【答案】(1) k ； (2) -2 , -1, 3 •2 【解析】(1) ： A , B , C 三点不能构成三角形，.三点A B , C 共线;••”存在实数扎，使BC = ?.A C ；二!2—k =2"，解得k=[.二k 满足的条件是 3 =4 九 2AB=CB-CA = (k-2,-3)-(-2,-4)=(k,，)'△ABC 为直角三角形;.若 A 是直角，则 AB _ AC ，. AB AC = 2k 4 =0,. k = -2 ；AB ，BC = -k 2k ■ 3 = 0，解得 k - _1，或 3；综上可得k 的值为：-2，-1，3 •(2)由题意知 O A O B =4 3 COS60 二 6，• OP AB - -，OA …OB OB -OA U 0，2 2• 1 —2 ■ OA OB - 1 一 ■ OA OB =6 1—2， -16 1 -；訓 9% -0，解得■ 13JI22.【答案】(1) B ； (2) k =1 或 k =2 .3【解析】(1)由条件| p ■ q = p -q ，两边平方得 p q = 0，又 p = sin A,b ■ c i ，q = a- c,sin C — sin B ，代入得(a —epi nA +(b +c ]si nC —s in B )=0，(2) 若.B 是直角，则 21.【答案】(1) O^.2OA 1OB . 3 32~ 1 r -OA + -OB ；亠 3 1AB ，••• 3 、10 (2)，―”13"t rOP -OA 二t (OB_OA ),T — T T —I• OP -OA = • OB -OA ，••• OP•/ OP_ AB 【解析】(1)由题意得根据正弦定理，可化为 a a -c b c c-b =0，即a2c^b^ac，2 2 2 1 Tt又由余弦定理a c「b = 2acosB，所以cosB ， B =-.1214313 i i km n =2sin C -kcos2A = 2sin C B —kcos2A = 2sin A kcos 2 A _ — I 3 丿 2 v f 2 2 k Q① 0：：：k^1 时，si nA =—取最大值为 2_k =3 , k =—.2 2② k •—时，当sinA= —时取得最大值，—-解得k =—或k=2 , k k 2 2 k =1 （舍去）.k =2 .③ k <0时，开口向上，对称轴小于 0当sinA=1取最大值2_k =3 ,k =1 （舍去）， 2 2综上所述，k =1或k=2 .(2) m = sin !C 亠一n = 2, k cos2A , k = 0 , dsi r?A 2si nA 上十 sin A 」’ 2 I k J - k ，而 0 ：：：A ：：：?二,si n Aw[0,1 ], k 2 3。

16高三文科数学一轮单元卷：第八单元平面向量 B卷

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ，若()()2k +-∥a c b a ，()k ∈R ，则k =（） A ．43B ．1922-C ．1613-D ．1316-2．已知平面直角坐标系中，O 为原点，点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC mOA nOB =+，其中m ，n ∈R ，1m n +=，则点C 的轨迹方程为（） A ．22(1)(2)5x y -+-= B ．32110x y +-= C ．20x y -=D ．250x y +-=3．若向量()3,1AB =-，()1,2=n ，且7AC ⋅=n ，那么BC ⋅n 的值为（） A ．6-B ．0C ．6D ．6-或64．如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称⨯a b 为向量的“向量积”，⨯a b 的大小为sin θ⨯=⋅a b a b ，如果5=a ，1=b ，3⋅=-a b ，则⨯=a b （） A ．3B ．4-C ．4D ．55．已知向量(1,2)=a ，(1,1)=b ，若a 与λ+a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．5(,)3-+∞B ．5(,0)(0,)3-+∞ C ．5(,)3-∞-D ．5(,)3-∞6．已知向量a ，b 满足：29=a ，12⋅=-a b ，则b 的取值范围是（） A ．4[,)3+∞B ．(0,4]C ．(4,)+∞D ．[4,)+∞7．已知点(0,0)O ，(3,0)B ，(C 向量DC OB =，E 为线段DC 上的一点，且四边形OBED 为等腰梯形，则向量OE 等于（）A ．B ．5(2或C ．5(2D ．或8．已知i 为x 轴上的单位向量，坐标平面内的点(2,1)A -，(1,3)B ，(2,1)C -，若向量AB mBC +(m为实数)与2AC +i 垂直，则实数m =（） A ．1-B ．1C ．2-D ．29．设点P 是ABC △所在平面内一点，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC △的（） A ．内心B ．外心C ．重心·D ．垂心10．已知20=≠a b ，且关于x 的方程20x x ++⋅=a a b 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是（） A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦11．已知向量≠a e ，1=e ，对任意t ∈R ，恒有t -≥-a e a e ，则（） A ．⊥a e B ．()⊥-a a e C ．()⊥-e a eD ．(()()+⊥-a e a e12．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式()()()111123OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦，(0)λλ∈≠R 且，则P 的轨迹一定通过 ABC △的（）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知点)2,1(A ，)4,3(B ，)2,2(-C ，)5,3(-D ，则向量AB 在向量CD 上的投影为．15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是边AB 上的动点，则DE DC ⋅的最大值为． 16．在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，1AB AC BA BC ⋅=⋅=，那么c = ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设a ，b ，满足1==a b ，及32-=a b （1）求a 与b 的夹角；（2）求3+a b 的值．18．（12分）已知向量a 、b 两个单位向量，且k k +=-a b b ，其中0>k ．（1）向量a 、b 能垂直吗？证明你的结论；（2）若a 与b 的夹角为60，求k 的值．19．（12分）已知点(0,3)P -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 满足：0PA AM ⋅=，32AM MB =-，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．20．（12分）在四边形ABCD 中，已知(6,1)AB =，(,)BC x y =，(2,3)CD =--，BC DA ∥；（1）试求x 与y 满足的关系式；（2）若AC BD ⊥，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．21．（12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值．22．（12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段'PP ，'P ′为垂足．（1）求线段'PP 中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,2(-Q 作直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设N 是直线4017x +=上一动点，满足ON OA OB =+(O 为坐标原点)，问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第八单元平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ，∴(34,2)k k k +=++a c ，2(5,2)-=-b a ，又()()2k +-∥a c b a ，∴2(34)5(2)k k +=-+，解得1613k =-，故选C ． 2．【答案】D【解析】由平面向量基本定理知，当OC mOA nOB =+且1m n +=时，点A ，B ，C 共线，∴点C 的轨迹为直线AB ，设(),C x y ，由两点式的直线方程得，133113y x --=---，化简为250x y +-=，故选D ． 3．【答案】C【解析】()7(3,1)(1,2)6BC AC AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=--⋅=n n n n ，故选C ． 4．【答案】C【解析】∵cos 3θ⋅=⋅=-a b a b ，3cos 5θ=-，又θ为a 与b 的夹角，∴4sin 5θ=， ∴4sin 5145θ⨯=⋅=⨯⨯=a b a b ，故选C ． 5．【答案】B【解析】∵a 与λ+a b 均不是零向量，且夹角为锐角，∴()0λ⋅+>a a b ，即(1,2)[(1,2)(1,1)]0λ⋅+>，∴530λ+>，则53λ>-，但当0λ=时，a 与λ+a b 共线且同向，不满足题设，∴0λ≠，综上知，53λ>-且0λ≠，故选B ． 6．【答案】D【解析】∵29=a ，∴3=a ，又∵12⋅=-a b ，∴12⋅=a b ，∵cos θ⋅=⋅a b a b ≤⋅a b ，∴123≤b ，则4≥b ，即b 的取值范围是[4,)+∞，故选D ． 7．【答案】A【解析】∵(3,0)DC OB ==，)3,4(C ，∴)3,1(D ．如图所示，E 为线段DC 上的一点，设E 点坐标为)3,(x ，由2==OD BE 解得2=x 或4x =舍去，∴OE )3,2(=，故选A ． 8．【答案】A 【解析】由题设知，(3,2)AB =，(4,2)AC =-，(1,4)BC =-，(3,2)(1,4)AB mBC m +=+⋅-(3,24)m m =+-，∵i 为x 轴上的单位向量，∴(1,0)=i ，则2(4,2)2(1,0)(6,2)AC +=-+=-i ，∵向量AB mBC +与2AC +i 垂直，∴()(2)0AB mBC AC +⋅+=i ，即(3,24)(6,2)0m m +-⋅-=，化简得，14140m +=，解得1m =-．故选A ． 9．【答案】D【解析】∵PA PB PB PC ⋅=⋅，∴0PB PC PA PB ⋅-⋅=，即0PB AC ⋅=同理，由PB PC PC PA ⋅=⋅可得0PC AB ⋅=，所以P 是ABC △的垂心，故选D ． 10．【答案】B 【解析】20x x ++⋅=a a b 有实根，∴240∆-⋅≥=a a b ，∴214⋅≤a b a ，设a 与b 的夹角为θ，∵20=≠a b ，∴22114cos 122θ⋅=≤=⋅aa b a b a ，又0θ≤≤π，∴,3θπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，故选B ． 11．【答案】C【解析】∵t -≥-a e a e ，∴22||||t -≥-a e a e ，∴2222222t t -⋅+≥-⋅+a a e e a a e e ，由1=e 得，22210t t -⋅⋅+⋅-≥a e a e 对任意t ∈R 恒成立， ∴224()4(21)0(1)0∆=⋅-⋅-≤⇒⋅-≤a e a e a e ，则1⋅=a e ， ∴()2110⋅-=⋅-=-=e a e e a e ，因此，()⊥-e a e ，故选C ．12．【答案】C【解析】取AB 的中点D ，则2OA OB OD +=，∴2(1)1233OP OD OC λλ-+=+，∴D C P 、、三点共线，∴点P 轨迹一定通过ABC △的重心，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】5102 【解析】(2,2)AB =，(1,3)CD =-，设AB 和CD 的夹角为α，则向量AB 在向量CD 上的投影为210cos 5AB CD AB CDα⋅==． 14．【答案】35【解析】∵1=a ，1=b ，∴2222222(cos cos αβ-=-⋅+=+-a b a a b b a bsin sin )112cos()αβαβ+=+--，又255-=a b ，∴245-=a b ，故112cos()αβ+--45=，即3cos()5αβ-=．15．【答案】1．【解析】过点E 向CD 作垂线，垂足为F ，则2cos 1DE DC DC DE CDE DC DF DC ⋅=⋅∠=⋅≤=，当且仅当点E 与点B 重合时，DE DC ⋅取到最大值1．16．【解析】由1AB AC BA BC ⋅=⋅=得，cos cos 1bc A ac B ==，∴cos cos b A a B =，由正弦定理得到，sin cos sin cos B A A B =，∴sin cos cos sin 0A B A B -=，sin()0A B -=，∴A B k -=π，()k ∈Z ，又∵A B -π<-<π，∴A B =，则a b =．又1cos =A bc ，22212b c a bc bc+-∴⨯=，∴22c =，c =三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）,3π〈〉=a b ；（2【解析】（1）32-=a b 2291247-⋅+=a a b b ，1,23π∴⋅=⇒〈〉=a b a b ．（2）3+a b 18．【答案】（1）不能，见解析；（2）1=k ．【解析】（1）∵k k +=-a b b ，∴22()3()k k +=-a b a b ，即2222(3)(13)80k k k -+-+⋅=a b a b ，由1==a b 得，214k k+⋅=a b ．∵012>+k ，∴0⋅≠a b ．∴向量a 与b 不能垂直．1cos602=．19．【答案】4(0)x y y =>．【解析】设(,)M x y ，(,0)A a ，(0,)(0)B b b >，由题设知，(,3)PA a =，(,)AM x a y =-，(,)MB x b y =--；∵0PA AM ⋅=，∴(,3)(,)()30PA AM a x a y a x a y ⋅=⋅-=-+=①∵32AM MB =-，∴3(,)(,)2x a y x b y -=---；即323()2x a x y b y ⎧-=⎪⎨⎪=--⎩，解得23x a yb ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；代入①式得，11()3022x x x y -++=，即24x y =．∵03>=b y ，∴动点M 的轨迹方程为24(0)x y y =>． 20．【答案】（1）20x y +=；（2）63x y =-⎧⎨=⎩，16ABCD S =，21x y =⎧⎨=-⎩，16ABCD S =．【解析】（1）(,)BC x y =，()(4,2)DA AD AB BC CD x y =-=-++=---+，BC DA ∥，则有(2)(4)0x y y x ⋅-+-⋅--=，化简得，20x y +=；（2）(6,1)AC AB BC x y =+=++，(2,3)BD BC CD x y =+=--；又AC BD ⊥，则(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=；联立222042150x y x y x y +=⎧⎨++--=⎩，解得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩；由BC DA ∥，AC BD ⊥知，四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形，当63x y =-⎧⎨=⎩时，(0,4)AC =，(8,0)BD =-，1162ABCD S AC BD ==，当21x y =⎧⎨=-⎩时，(8,0)AC =，(0,4)BD =-，1162ABCD S AC BD ==．21．【答案】（1）54απ∈；（2）59-．【解析】（1）()cos 3,sin AC αα=-，()cos ,sin 3BC αα=-，(cosAC ==cos BC ==．由AC BC =得sin cos αα=．又3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，54απ∴∈．（2）由1AC BC ⋅=-，得()()cos 3cos sin sin 31αααα-+-=-， 2sin cos 3αα∴+=① 又222sin sin 22sin 2sin cos 2sin cos sin 1tan 1cos αααααααααα++==++，由①式两分平方得412sin cos 9αα+=，52sin cos 9αα∴=-， 22sin sin 251tan 9ααα+∴=-+．22．【答案】（1）2214y x +=；（2）存在，()122y x =±+．【解析】（1）设),(y x M 是所求曲线上的任意一点，),(11y x P 是方程422=+y x 的圆上的任意一点，则),0(1'y P ，则有11122x x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即112x x y y =⎧⎨=⎩，代入224x y +=，化简得2214y x +=，所以线段'PP 中点M 的轨迹C 的方程2214y x +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点．所以设直线l 的方程为)2(+=x k y ，与椭圆交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，N 点所在直线方程为4017x +=，由()22142y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222244440k x k x k +++-=，由()()4221644440k k k ∆=-+-≥，243k ∴≤，即k ≤212244k x x k -+=+，()2122414k x x k -=+， ON OA OB =+，即AN OB =，∴四边形OANB 为平行四边形．假设存在矩形OANB ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．即()()22212121240k x x k x x k ++++=，于是有2216404k k -=+，得12k =±，设()00,N x y ，由ON OA OB =+，得2012244174k x x x k =+=-=-+，即点N 在直线417x =-上． ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为()122y x =±+．。

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2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ，若()()2k +-∥a c b a ，()k ∈R ，则k =（） A ．43B ．1922-C ．1613-D ．1316-2．已知平面直角坐标系中，O 为原点，点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC mOA nOB =+，其中m ，n ∈R ，1m n +=，则点C 的轨迹方程为（）A ．22(1)(2)5x y -+-=B ．32110x y +-=C ．20x y -=D ．250x y +-=3．若向量()3,1AB =-，()1,2=n ，且7AC ⋅=n ，那么BC ⋅n 的值为（） A ．6-B ．0C ．6D ．6-或64．如果向量与b 的夹角为θ，那么我们称⨯a b 为向量的“向量积”，⨯a b 的大小为sin θ⨯=⋅a b a b ，如果5=a ，1=b ，3⋅=-a b ，则⨯=a b （） A ．3B ．4-C ．4D ．55．已知向量(1,2)=a ，(1,1)=b ，若a 与λ+a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．5(,)3-+∞B ．5(,0)(0,)3-+∞ C ．5(,)3-∞-D ．5(,)3-∞6．已知向量a ，b 满足：29=a ，12⋅=-a b ，则b 的取值范围是（） A ．4[,)3+∞B ．(0,4]C ．(4,)+∞D ．[4,)+∞7．已知点(0,0)O ，(3,0)B ，()4,3C 向量DC OB =，E 为线段DC 上的一点，且四边形OBED 为等腰梯形，则向量OE 等于（）A ．(2,3)B ．5(2,3)(,3)2或C ．5(,3)2D ．(2,3)(3,3)或8．已知i 为x 轴上的单位向量，坐标平面内的点(2,1)A -，(1,3)B ，(2,1)C -，若向量AB mBC +(m为实数)与2AC +i 垂直，则实数m =（） A ．1-B ．1C ．2-D ．29．设点P 是ABC △所在平面内一点，且P A P B P B PC P C P A ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC △的（） A ．内心B ．外心C ．重心·D ．垂心10．已知20=≠a b ，且关于x 的方程20x x ++⋅=a a b 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是（） A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦11．已知向量≠a e ，1=e ，对任意t ∈R ，恒有t -≥-a e a e ，则（） A ．⊥a e B ．()⊥-a a e C ．()⊥-e a eD ．(()()+⊥-a e a e12．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式()()()111123OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦，(0)λλ∈≠R 且，则P 的轨迹一定通过 ABC △的（）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知点)2,1(A ，)4,3(B ，)2,2(-C ，)5,3(-D ，则向量AB 在向量CD 上的投影为．14．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，255-=a b ，则cos()αβ-= ． 15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是边AB 上的动点，则DE DC ⋅的最大值为． 16．在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，1AB AC BA BC ⋅=⋅=，那么c = ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设a ，b ，满足1==a b ，及327-=a b ．（1）求a 与b 的夹角；（2）求3+a b 的值．18．（12分）已知向量a 、b 两个单位向量，且3k k +=-a b a b ，其中0>k ．（1）向量a 、b 能垂直吗？证明你的结论；（2）若a 与b 的夹角为60，求k 的值．19．（12分）已知点(0,3)P -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 满足：0PA AM ⋅=，32AM MB =-，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．20．（12分）在四边形ABCD 中，已知(6,1)AB =，(,)BC x y =，(2,3)CD =--，BC DA ∥；（1）试求x 与y 满足的关系式；（2）若AC BD ⊥，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．21．（12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值．22．（12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段'PP ，'P ′为垂足．（1）求线段'PP 中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,2(-Q 作直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设N 是直线4017x +=上一动点，满足ON OA OB =+(O 为坐标原点)，问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第八单元平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c ，∴(34,2)k k k +=++a c ，2(5,2)-=-b a ，又()()2k +-∥a c b a ，∴2(34)5(2)k k +=-+，解得1613k =-，故选C ． 2．【答案】D【解析】由平面向量基本定理知，当OC mOA nOB =+且1m n +=时，点A ，B ，C 共线，∴点C 的轨迹为直线AB ，设(),C x y ，由两点式的直线方程得，133113y x --=---，化简为250x y +-=，故选D ． 3．【答案】C【解析】()7(3,1)(1,2)6BC AC AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=--⋅=n n n n ，故选C ． 4．【答案】C【解析】∵cos 3θ⋅=⋅=-a b a b ，3cos 5θ=-，又θ为a 与b 的夹角，∴4sin 5θ=， ∴4sin 5145θ⨯=⋅=⨯⨯=a b a b ，故选C ． 5．【答案】B【解析】∵a 与λ+a b 均不是零向量，且夹角为锐角，∴()0λ⋅+>a a b ，即(1,2)[(1,2)(1,1)]0λ⋅+>，∴530λ+>，则53λ>-，但当0λ=时，a 与λ+a b 共线且同向，不满足题设，∴0λ≠，综上知，53λ>-且0λ≠，故选B ． 6．【答案】D【解析】∵29=a ，∴3=a ，又∵12⋅=-a b ，∴12⋅=a b ，∵cos θ⋅=⋅a b a b ≤⋅a b ，∴123≤b ，则4≥b ，即b 的取值范围是[4,)+∞，故选D ． 7．【答案】A【解析】∵(3,0)DC OB ==，)3,4(C ，∴)3,1(D ．如图所示，E 为线段DC 上的一点，设E 点坐标为)3,(x ，由2==OD BE 解得2=x 或4x =舍去，∴OE )3,2(=，故选A ． 8．【答案】A 【解析】由题设知，(3,2)AB =，(4,2)AC =-，(1,4)BC =-，(3,2)(1,4)AB mBC m +=+⋅-(3,24)m m =+-，∵i 为x 轴上的单位向量，∴(1,0)=i ，则2(4,2)2(1,0)(6,2)AC +=-+=-i ，∵向量AB mBC +与2AC +i 垂直，∴()(2)0AB mBC AC +⋅+=i ，即(3,24)(6,2)0m m +-⋅-=，化简得，14140m +=，解得1m =-．故选A ． 9．【答案】D【解析】∵PA PB PB PC ⋅=⋅，∴0PB PC PA PB ⋅-⋅=，即0PB AC ⋅=同理，由PB PC PC PA ⋅=⋅可得0PC AB ⋅=，所以P 是ABC △的垂心，故选D ． 10．【答案】B 【解析】20x x ++⋅=a a b 有实根，∴240∆-⋅≥=a a b ，∴214⋅≤a b a ，设a 与b 的夹角为θ，∵20=≠a b ，∴22114cos 122θ⋅=≤=⋅aa b a b a ，又0θ≤≤π，∴,3θπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，故选B ． 11．【答案】C【解析】∵t -≥-a e a e ，∴22||||t -≥-a e a e ，∴2222222t t -⋅+≥-⋅+a a e e a a e e ，由1=e 得，22210t t -⋅⋅+⋅-≥a e a e 对任意t ∈R 恒成立， ∴224()4(21)0(1)0∆=⋅-⋅-≤⇒⋅-≤a e a e a e ，则1⋅=a e ， ∴()2110⋅-=⋅-=-=e a e e a e ，因此，()⊥-e a e ，故选C ．12．【答案】C【解析】取AB 的中点D ，则2OA OB OD +=，∴2(1)1233OP OD OC λλ-+=+，∴D C P 、、三点共线，∴点P 轨迹一定通过ABC △的重心，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】5102 【解析】(2,2)AB =，(1,3)CD =-，设AB 和CD 的夹角为α，则向量AB 在向量CD 上的投影为210cos 5AB CD AB CDα⋅==． 14．【答案】35【解析】∵1=a ，1=b ，∴2222222(cos cos αβ-=-⋅+=+-a b a a b b a bsin sin )112cos()αβαβ+=+--，又255-=a b ，∴245-=a b ，故112cos()αβ+--45=，即3cos()5αβ-=．15．【答案】1．【解析】过点E 向CD 作垂线，垂足为F ，则2cos 1DE DC DC DE CDE DC DF DC ⋅=⋅∠=⋅≤=，当且仅当点E 与点B 重合时，DE DC ⋅取到最大值1．16．【答案】2【解析】由1AB AC BA BC ⋅=⋅=得，cos cos 1bc A ac B ==，∴cos cos b A a B =，由正弦定理得到，sin cos sin cos B A A B =，∴sin c o s c o s sin 0A B A B -=，sin()0A B -=，∴A B k -=π，()k ∈Z ，又∵A B -π<-<π，∴A B =，则a b =．又1cos =A bc ，22212b c a bc bc+-∴⨯=，∴22c =，2c =．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）,3π〈〉=a b ；（2）13．【解析】（1）327-=a b 平方得2291247-⋅+=a a b b ，1,23π∴⋅=⇒〈〉=a b a b ．（2）2239613+=+⋅+=a b a a b b ． 18．【答案】（1）不能，见解析；（2）1=k ．【解析】（1）∵3k k +=-a b a b ，∴22()3()k k +=-a b a b ，即2222(3)(13)80k k k -+-+⋅=a b a b ，由1==a b 得，214k k+⋅=a b ．∵012>+k ，∴0⋅≠a b ．∴向量a 与b 不能垂直．（2）若a 与b 的夹角为60︒，则1cos602⋅=⋅=a b a b ． ∴21412=+k k ，解得1=k ． 19．【答案】24(0)x y y =>．【解析】设(,)M x y ，(,0)A a ，(0,)(0)B b b >，由题设知，(,3)PA a =，(,)AM x a y =-，(,)MB x b y =--； ∵0PA AM ⋅=，∴(,3)(,)()30PA AM a x a y a x a y ⋅=⋅-=-+=①∵32AM MB =-，∴3(,)(,)2x a y x b y -=---；即323()2x a x y b y ⎧-=⎪⎨⎪=--⎩，解得23x a yb ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；代入①式得，11()3022x x x y -++=，即24x y =．∵03>=b y ，∴动点M 的轨迹方程为24(0)x y y =>．20．【答案】（1）20x y +=；（2）63x y =-⎧⎨=⎩，16ABCD S =，21x y =⎧⎨=-⎩，16ABCD S =．【解析】（1）(,)BC x y =，()(4,2)DA AD AB BC CD x y =-=-++=---+，BC DA ∥，则有(2)(4)0x y y x ⋅-+-⋅--=，化简得，20x y +=；（2）(6,1)AC AB BC x y =+=++，(2,3)BD BC CD x y =+=--；又AC BD ⊥，则(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=；联立222042150x y x y x y +=⎧⎨++--=⎩，解得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩；由BC DA ∥，AC BD ⊥知，四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形，当63x y =-⎧⎨=⎩时，(0,4)AC =，(8,0)BD =-，1162ABCD S AC BD ==，当21x y =⎧⎨=-⎩时，(8,0)AC =，(0,4)BD =-，1162ABCD S AC BD ==．21．【答案】（1）54απ∈；（2）59-．【解析】（1）()cos 3,sin AC αα=-，()cos ,sin 3BC αα=-，()22cos 3sin 106cos AC ααα=-+=-，()22cos sin 3106sin BC ααα=+-=-．由AC BC =得sin cos αα=．又3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，54απ∴∈．（2）由1AC BC ⋅=-，得()()cos 3cos sin sin 31αααα-+-=-， 2sin cos 3αα∴+=① 又222sin sin 22sin 2sin cos 2sin cos sin 1tan 1cos αααααααααα++==++，由①式两分平方得412sin cos 9αα+=，52sin cos 9αα∴=-， 22sin sin 251tan 9ααα+∴=-+．22．【答案】（1）2214y x +=；（2）存在，()122y x =±+．【解析】（1）设),(y x M 是所求曲线上的任意一点，),(11y x P 是方程422=+y x 的圆上的任意一点，则),0(1'y P ，则有11122x x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即112x x y y =⎧⎨=⎩，代入224x y +=，化简得2214y x +=，所以线段'PP 中点M 的轨迹C 的方程2214y x +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点．所以设直线l 的方程为)2(+=x k y ，与椭圆交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，N 点所在直线方程为4017x +=，由()22142y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222244440k x k x k +++-=，由()()4221644440k k k ∆=-+-≥，243k ∴≤，即232333k -≤≤，212244k x x k -+=+，()2122414k x x k -=+， ON OA OB =+，即AN OB =，∴四边形OANB 为平行四边形．假设存在矩形OANB ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．11 即()()22212121240k x x k x x k ++++=，于是有2216404k k -=+，得12k =±，设()00,N x y ，由ON OA OB =+，得2012244174k x x x k =+=-=-+，即点N 在直线417x =-上． ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为()122y x =±+．。

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