(新课程)高中数学《1.3.2奇偶性》课件 新人教A版必修1

温馨提示： 给出奇函数 ( 或偶函数 ) 在直角坐标平面内
的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图
象是依据奇、偶函数图象的对称性．其过程是作出原图象 几个关键点 (图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y 轴的对称点．然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点， 就作出了它们在另一个半平面的图象．
解：(1)∵奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，
－f(x))关于原点的对称点P′(x，f(x))．下图为补充后的图
象．易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴右侧图象上任一点P(－x，f(x))
关于y轴的对称点P′(x，f(x))，下图为补充完后的图象．易知
f(1)>f(3)．
(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就
说函数f(x)具有奇偶性． (2)几何意义：定义域关于 原点 对称；图象关于原点 或y轴对称．
温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上
的性质，是“整体性质 ”，而函数的单调性是在函数定义
域或其子集上的性质，是“局部”性质．
1．函数y＝x4＋x2 A．是奇函数
于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？
1．偶函数 (1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有f(－x)＝ f(x) ，那么函数f(x)叫做偶函数． (2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于y轴 对
称．
温馨提示：函数f(x)是偶函数⇔对定义域内任意一个x，
有f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)的图象关于y轴对称．
思路分析：利用函数奇偶性的定义判断．
解：(1)∵定义域为R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x
＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (2)∵定义域为{x|x>1或x≤－1}，定义域关于原点不对 称， ∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)∵定义域为{－2,2}，任取x∈{－2,2}，则－x∈{－
2．奇函数
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有f(－x)＝ －f(x) ，那么函数f(x)叫做奇函数． (2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于原点对 称．
温馨提示：函数f(x)是奇函数⇔对定义域内任意一个x，
有f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)的图象关于原点对称．
3．奇偶性
(
)
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 解析：定义域是R，f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝x4＋x2＝ f(x)，所以是偶函数． 答案：B
x2(x＋1) 2．函数y＝ x＋1 A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
(
)
1．3.2
奇偶性
第1课时
函数奇偶性的概念
目标要求
热点提示
1.结合具体函数，了解 利用函数奇偶 函数奇偶性的含义； 性概念来判断函数 2．掌握判断函数奇偶性 奇偶性是本课时的 的方法. 热点内容.
我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如和
谐美、自然美、对称美……下图中的图标给我们什么感觉
呢？如果给下图中的图标建立适当的坐标系，我们不难发 现它们有的关于y轴对称，有的关于坐标原点对称．图象关
＝－x2－2x－3＝－f(x)； (2)当x>0时，－x<0， f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
温馨提示：(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注
意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2
类型二
函数奇偶性的图象特征
【例3】 (1)如下图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，
试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如下图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)
与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象．
思路分析：依据奇、偶函数的图象的对称性，分别作
出它们在y轴右侧的部分图象．
＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x) ＝x2＋2x＋3； (2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种 情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是
奇函数是错误的、不完整的．
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对 称性加以判断．
类型三 抽象函数奇偶性的证明 【例4】 已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，当且仅 当0<x<1时，f(x)<0，且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y) x＋y ＝f( )．试证明： 1＋xy (1)f(x)为奇函数； (2)f(x)在(－1,1)上单调递减．
【例2】
2 x ＋2x＋3 已知函数f(x)＝ 2 －x ＋2x－3
(x<0) ， (x>0)
判断f(x)的奇偶性．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知函数为分段函数；
②判断此函数的奇偶性． 解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明．
解：(1)当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
解析：定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原
点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．
答案：D
1 3．函数f(x)＝ －x的图象关于 ( x A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
)
4 ． (2010· 北京师大附中高一检Biblioteka ) 已知函数 f(x) ＝ ax2
2,2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函 数．
温馨提示：证明函数奇偶性必须用定义：任取x∈D，
则－x∈D，f(－x)＝±f(x)．如果D不关于原点对称，立刻否
定有奇偶性．因为它不满足任意x∈D，则－x∈D. 判断函数奇偶性方法很多，如奇函数＋奇函数＝奇函 数，奇函数 × 偶函数＝奇函数，奇函数 × 奇函数＝偶函数 等等．
＋ bx ＋ 3a ＋ b 是 偶 函 数 ， 且 定 义 域 为 [a － 1,2a] ， 则 a ＝
________，b＝________.
4 5．求证：函数f(x)＝x＋ 是奇函数． x
类型一 函数奇偶性的判定 【例1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x； x＋1 (2)f(x)＝(x－1)· ； x －1 (3)f(x)＝ x2－4＋ 4－x2.