6-2 平面应力状态分析
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。
在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
建筑力学(6-2章)
M=FAy x ()
弯矩M ： 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。 剪力FQ ： 构件受弯时，横截面上其作 用线平行于截面的内力。
A
FAy M
FQ C FQ C FBy M FP
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
二、剪力和弯矩的正负号规定 剪力： 外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正
FP b (↑) l FP a FB y = (↑) l
FAy=
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
a
FP
C
b
B
A
Fb FAy l
l
FBy Fa l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
FP b 0 x1 a FQ1＝FAy l Fb M 1＝FAy x1 P x1 0 x1 a l
0 x2 b 0 x2 b
FQ x1 M / l
0 x1 a
a A C
b B
M x1 Mx1 / l
FQ x2 M / l
M x2 Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b 0 x2 b
a
A
FP B
设荷载FP和支座反力FAy、
FBy均作用在同一纵向对称平
面内，组成了平衡力系使梁 处于平衡状态，欲计算任一 截面1-1上的内力。
l
A FAy FP B
FBy
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
∑Fy=0
∑MC=0
FAy－FQ=0
－FAy x+M=0 FyA
A
1
FP
B
FQ=FAy (↓)
1 x FBy
M = 75kN· m 3 3 4 4 B
6-2-屈服准则和本构关系和例题与习题
例题4.1：已知理想材料的变形体内某质点的应力状态，如下图所示，其中s σσ=（屈服应力）。
试分别采用Tresca 、Mises 和双剪应力屈服准则判别该点的变形状态。
解：由题图可见，三种应力状态均已转化为主应力状态。
于是可直接由图获得三个主应力值，然后再按三个屈服准则分别进行计算和判别。
（1）123,2σσσσσ=-==-根据Tresca 准则，13s σσσσ-==，表明该点已发生塑性屈服； 根据Mises 准则，等效应力()()222122331s 1()2σσσσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦，所以也表明该点达到了塑性屈服状态；根据双剪应力准则，式（4-16），取1b =，则较大的两个主剪应力为：13131222sσσσττ-===因此屈服函数为：1312s f b ττσ=+=，表明该点发生塑性屈服。
（2）1230.5,0.5σσσσσ===-根据Tresca 准则，13s σσσσ-==，表明该点已发生塑性屈服； 根据Mises 准则，等效应力()()222122331s 1()2σσσσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦，表明，该点已发生塑性屈服；根据双剪应力准则，式（4-16），取1b =，则较大的两个主剪应力为：13131222sσσσττ-===因此屈服函数为：1312s f b ττσ=+=，表明该点发生塑性屈服。
（3）123,1.5,2σσσσσσ=-=-=-根据Tresca 准则，13s σσσσ-==，表明该点已发生塑性屈服；0.5σ 例4.1（1）图 例4.1（3）图1.5σ 例4.1（2）图 0.5σ 0.5σ 0.5σ按Mises 准则，等效应力s 2s σσ==<，表明，该点尚未发生塑性屈服，仍处于弹性变形状态；根据双剪应力准则，式（4-16），取1b =，则较大的两个主剪应力为：121312,224ssσσσσττ-===因此屈服函数为：131234s s f b ττσσ=+=<，表明该点尚处于弹性变形状态。
《平面应力状态》课件
莫尔-库仑强度准则
总结词
该理论认为当材料某个平面上的剪应力 和正应力组合达到极限值时，材料发生 屈服。
VS
详细描述
莫尔-库仑强度准则，也称为MohrCoulomb屈服准则，它认为在某个平面 上，当剪应力和正应力的组合达到某一极 限值时，材料会发生屈服。这一理论考虑 了正应力和剪应力的共同作用，因此比最 大剪应力理论更全面。该准则适用于大多 数材料，尤其是土壤和岩石等材料。
02
通过有限元分析，得到平面内的应力分布情况，为优化设计提
供依据。
结构改进
03
基于分析结果，对结构进行改进或优化，提高其承载能力和稳
定性。
桥梁结构
建筑结构
在高层建筑或大跨度结构的分析中，对楼板、梁等 构件进行平面应力分析，以优化结构设计。
在桥梁设计中，对桥面板等关键部位进行平 面应力状态分析，以确保其承载能力和稳定 性。
机械零件
在机械零件如齿轮、轴承等的设计中，通过 平面应力状态分析，确保零件的强度和疲劳 寿命。
材料力学性能的平面应力状态研究
应力状态分析方法
解析法
通过数学公式和定理推导，得出 平面应力状态下的主应力和主方
向。
数值法
通过有限元分析等数值计算方法， 得出平面应力状态下的主应力和主 方向。
实验法
通过实验测量和数据分析，得出平 面应力状态下的主应力和主方向。
CHAPTER
03
平面应力状态的应变分析
应变分量与应变状态
应变分量
要点二
临界应变
当应变达到某一特定值时，系统会发生失稳，这个特定值 即为临界应变。
失稳判据与失稳模式
失稳判据
当系统的应力或应变超过其临界值时，系统会发生失稳 。
弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
材料力学第6章应力状态与强度理论
6.2 平 面 应 力 状 态 分析 6.3 三 向 应 力 状 态 分 析 6.4 广 义 胡 克 定 律 6.5 一般应力状态下的应变必能 6.6 工程中常用的四种强度理论
6.1 应 力 状 态 概 述
6.1.1、应力状态概念 （1）、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象 P M 低碳钢 铸铁拉伸
图c单元体的应变能为 : d: 畸变能密度 (Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion)
1 2 2 2 ud s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 1 6E —— 形状改变比能（歪形能） s 1 -s m
2t xy
s x s y
0 45
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
s x s y tg21 0 1 0 2t xy
破坏分析
低碳钢: s s 240MPa;
t s 200MPa
低碳钢
灰口铸铁 : s Lb 98 ~ 280MPa
6.5.2 线弹性体的应变能
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。
0
FP
FP
Δ Δ
O
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件， 作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时，力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
不考虑加载过程中的能量损耗，则外力功将转化为弹性变形能
s x s y 0
t
s
2
xy
材料力学第六章应力状态与强度理论
e
xy
x
b
a
a
f
y
yx
第6章
应力状态与强度理论
斜截面应力
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
xy dA cosa xdA cosa
b yx dA sina
adA
n
adA
f t
n 0
y dA sina
⇒
a dA x dA cos a cosa xy dA cos a sin a
x y
2
x y
2
因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
B1B2 2 x y 2 CD1 B1D1 xy 2 2
该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述 圆确为应力圆。
2
2
第6章
应力状态与强度理论
由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
OA1 OC CA1
OA2 OC CA2
第6章
应力状态与强度理论
主应力
由此可得两个主应力值为：
应力圆
2
1
x y
2
x y 2 2 xy
x y 2 2 xy
⇒
其中dA为斜截面ef的面积。 由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
a
x y
2
x y
2
cos 2a xy sin 2a
a
x y
2
sin 2a xy cos 2a
第6章
应力状态与强度理论
平面应力公式的进一步推导及应力状态分析
作 ∠GCP = 45D ，交圆于 P， 作 ∠A1CI = 45D ，交圆于 I。
∠A1CP = ∠A1CG + ∠GCP = −ϕ + 45D = α
射线 CP 为最大剪应力截面的外法线方向。
OC 为最大剪应力截面上的正应力。
-3-
τ xy
= sin 2ϕ
a2
+τ
2 xy
则： tg 2ϕ = τ xy = 2τ xy a σx −σy
ϕ = 1 arctg 2τ xy
2
σx −σy
代入式（1.1）得：
σα
=
σx
+σ y 2
+
a2
+
τ
2 xy
(cos
2α
cos
2ϕ
− sin 2α sin 2ϕ)
= σx +σy + 2
σ (
x
−σ 2
Chi Huanxi
Shandong Century Electric Power Development Co.Ltd，Longkou，Shandong (265700) Abstract
In this paper, formulae of new form is derived from classical ones for more easily and clearly anglicizing and calculating of the normal and shearing stress in plane stress-state, and thus the maximum and minimum values of the stress can be obtained without operation of differentiation. Keywords：stress formulae，deduction，stress circle
《平面应力状态》课件
优化方法：采用 有限元分析方法， 对零部件进行应 力分析，找出应 力集中区域
优化结果：通过 优化设计，提高 了零部件的强度 和刚度，降低了 重量和成本，提 高了产品的市场 竞争力
感谢您的耐心观看
汇报人：PPT
纯剪切应力状态：物体在两个相互垂直的平面内受到剪切应力的作用， 应力在两个平面内是均匀分布的。
应力状态与变形关系
应力状态：物体内部受到的力与面 积的比值
应力与变形的关系：应力越大，变 形越大
添加标题
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变形：物体在外力作用下产生的形 状和尺寸变化
应力状态与变形的关系：应力状态 决定了物体的变形程度
预防措施：优化设计、选用 优质材料、改进制造工艺等
稳定性准则及判据
稳定性准则：平面应力状态下，结构在受到外力作用下保持稳定状态的条件 判据：根据应力状态、材料性质和几何形状等因素，判断结构是否满足稳定性准则 稳定性分析方法：包括能量法、变分法、有限元法等 稳定性判据的应用：在工程设计中，用于评估结构的稳定性，确保结构的安全性和可靠性
平面应力状态下的应变 分析
应变概念及测量方法
应变：物体在外力作用下产生的形变 应变类型：线应变、面应变、体应变 应变测量方法：光学测量法、机械测量法、电学测量法 应变分析：通过测量应变来研究物体的应力状态和变形规律
应变与应力关系
应变：物体在外力作用下产生的形变
应变与应力的量纲：应变的单位是长度，应力的 单位是力/面积
强度计算方法
应力状态： 平面应力状 态
强度指标： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力
强度条件： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力均小 于材料的许 用应力
强度计算公
平面应力状态解析法推导
平面应力状态解析法推导咱们今天来聊聊一个听起来有点高大上，但实际上超有用的东西——平面应力状态解析法。
别紧张，咱们一步步来，保证让你觉得这事儿就像喝杯茶一样轻松。
想象一下，你手里有一块钢板，上面受了各种方向的力，这时候，钢板里的应力状态就复杂了。
咱们要做的，就是用平面应力状态解析法，把这复杂的应力状态给拆解开来，看看它到底是个啥模样。
首先，咱们得明确一下，什么是平面应力状态。
简单来说，就是物体在某个平面上受到的力。
这个平面啊，就像咱们平时用的白纸一样，平平整整的。
而物体在这个平面上受到的力，就像是有人在纸上画画，有直的线、弯的线，还有各种颜色的笔迹。
好，接下来咱们进入正题，看看怎么推导平面应力状态解析法。
一、从基础开始1.1 力的分解咱们知道，力是有方向的。
在平面应力状态下，一个物体受到的力可以分解成两个方向上的分量：一个水平方向，一个垂直方向。
就像是咱们小时候玩的拉力器，你往两边拉，它就有了一个水平方向上的拉力；而如果你往上拉，它就多了一个垂直方向上的拉力。
1.2 应力的概念应力呢，就是物体单位面积上受到的力。
咱们可以把物体想象成一块大蛋糕，应力就像是蛋糕上挤的奶油，越多越厚，就表示受到的力越大。
二、平面应力状态的分析2.1 方向应力方向应力啊，就是物体在某个特定方向上受到的应力。
就像是咱们吃烤肉，肉片上的纹理就是它的方向，而火烤在上面，就是给它加了一个方向应力。
2.2 剪切应力剪切应力呢，就像是咱们用剪刀剪纸一样，纸在两个方向上都受到了力的作用，但它并没有被拉断或者压扁，而是被剪开了。
在平面应力状态下，物体也可能受到这样的剪切应力。
2.3 主应力和主方向主应力和主方向啊，就像是咱们找一个人身上的优点一样。
在平面应力状态下，物体也有一个“优点”，就是它受到的最大的那个应力，叫做主应力；而这个应力的方向呢，就是主方向。
三、推导过程3.1 建立坐标系咱们得先在物体上建立一个坐标系，就像是给地图定位一样。
第6章应力状态分析
二、应力状态分类： 三向（空间）应力状态
z
z
zx
x
x
xz
zy yz
xy yx
y
y
平面（二向）应力状态
y
x
y
x
y
y
yx
x
xy
x
x
单向应力状态
纯剪应力状态
三 向 应 力 状 态
特例
平 面 应 力 状 态
单向应力状态
特例 纯剪应力状态
一点的应力在空间不同方向上的变化 对复杂受力情况的分析
q p2 15.48 90 105.48
作业：6-4 ( f )
§6.4 三向应力状态的最大应力
一、定义 三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态.
2
三向应力状态
的应力圆
1
3
II
I
3、几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一
方向上的正应力和切应力
y
A
yx
a ( a , a )
xy
c
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。
t
y
A
a' 2
2qp
n
x oE
a (x ,xy)
yx
x
y
xy
x f
1、符号规定 正应力正负号规则
x
x
拉为正 压为负
切应力正负号规则 使微元或其局部顺 时针方向转动为正；反 之为负。
角正负号规则
t
由x正向逆时针转到n正
y
第三讲 平面应力状态分析
f
y
§3.3 平面应力状态分析
3、求解过程
(3) 任意斜截面的应力
e
x xy α
α n
α
α
e
dA
dAcos α
ayx
f
y
a dAsin f
设斜截面的面积为dA, ae的面积为dAcos，af的面积为dAsin。
对研究对象列n和t方向的平衡方程得
Fn = 0
σαdA + (τxydAcos α)sin α − (σxdAcos α)cos α + (τ yxdAsin α)cos α − (σ ydAsin α)sin α = 0
dσα dα
=
−2[ σ x
−σy 2
sin 2α + τxy
cos 2α] = 0
tan
2α0
=
−
2τ xy σx −σy
α0
α0
+
90
0和0+90º确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所
在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
§3.3 平面应力状态分析
3、求解过程
(4) 斜截面的最大正应力及方位
σα
=
σx
+σy 2
+
σx
−σy 2
cos 2α
− τ xy
sin 2α
最大正应力
将0和0+90º代入公式
得到max和min（主应力）
σσmmainx
=
σx
+σy 2
(
σx
−σy 2
)2
+
τ
2 xy
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
cha6-2结构面的变形与强度性质_图文
几种结构面的抗剪参数表
岩体结构面直剪试验结果表
二、结构面的剪切变形性质
1、剪切变形特征
• 粗糙结构面，呈脆性变形型 • 平直结构面，呈塑性变形型 • 结构面变形与风化程度有关 • 结构面的剪切刚度，随法向应力的增大而增大，随结构
面的规模增大而降低。
2. 剪切变形本构方程 • 卡尔哈韦（ Kalhaway）方程
• 法向应力σｎ大约从σｃ/3处开始，含结构面的岩块 变形由以结构面的闭合为主转为以岩块的弹性变形为 主。
应力-变形关系曲线特征
• 结构面的σｎ- ΔＶｊ曲线大致为以ΔＶｊ＝Ｖｍ为渐 近线的非线性曲线。可用初始法向刚度及最大闭合量 来确定，与结构面的类型及壁岩性质无关 。
• 结构面的最大闭合量始终小于结构面的张开度（ｅ）。
n
V j V m V
j
1 i
V j
Vm
Vm i
1
n
较适用于具有一定滑 错位移的非嵌合性结 构面。
2) Bardis方程
n
V j a bVj
na/ V 1j b
1 a b n V j
当n 时 ,Vj Vm
baVm
Kni V nj Vj 0 a(1b1 aVj)2 Vj 0a 1
tg 2 d u
•Barton方程 tgJRlCgJCSu
• Ladanyi & Archambault 提出：
1 1a S1 V a S tV g tug uaSr
剪断率 a S
AS A
剪胀率 V V
凸起岩石抗剪强度 r tg C
1 1a S1 V a S tV g tug uaSr
tgC（σ≥σ1）
1
tg(
平面应力状态分析-解析法
x 70MPa x 0 MPa
y 50 MPa
60
x
y
2
x
y
2
cos(2 60) x
sin(2 60)
70 50 70 (50) cos120 20 MPa
2
2
60
x
y
2
sin(2 60) x cos(2 60)
70 50
sin120 2
51.96 MPa
x
y
2
x
2
y
2
2 x
10 20
2
10
20
2
2
102
3.82 MPa 26.18 MPa
三个主应力按代数值排序为
1 0
2 3.82 MPa 3 26.18 MPa
练习
求主应力?
x 60 MPa y 0 MPa x 40 MPa
max
min
x
y
2
x
2
y
2
y
可确定两个相互垂直的主平面
0 0
限定它们为正的或负的锐角
主应力的计算：
max
min
x y
2
x
2
y
2
2 x
max min x y
校核式
主应力和主平面 之间的对应关系
顺τ转最大
【例 2】 求主应力?
x 10 MPa y 20 MPa x 10 MPa
max
min
主平面和主应力
对于平面应力状态，因为单元体有一对面上没有应力，所 以这一对面就是主平面，且必有一个数值为零的主应力。
下面分析单元体的其余两个主平面和主应力： 确定主平面的位置: 切应力为零的平面为主平面
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§6-2 平面应力状态分析
xy yx
1 cos 2 x y x y cos 2 cos 2 xy sin 2 2 2 2 1 cos 2 x y sin 2 cos 2 2 sin xy 2 2 2sin cos sin 2 x y x y
cos 2 xy sin 2 90o 2 2 x y sin 2 xy cos 2 90o 2
90o x y 90o
1）相互垂直的任意两截面上的正应力之和是一个定值； 2）说明切应力互等定理的正确性。
§6-2 平面应力状态分析
二、应力圆、主应力与主平面
1、应力圆
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
( ) cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
§6-2 平面应力状态分析
4、在应力圆上标出主应力和主平面方位以及最大切应力
x y 2 2 1 max x y ( ) xy min 2 2 3
2 xy
0 0 2
tan 2 0
§6-2 平面应力状态分析
解： 1）画出应力圆
60 (40) 2 30 30 2 R ( ) ( ) 58.31MPa 2 2
(
x y
2
, 0) (10, 0)
§6-2 平面应力状态分析
2）求主应力和主平面
1 68.3MPa
3 48.3MPa
0 15.48o 0 105.48o 2
(
x y
x y
x y
2
2
)2 2 (
x y
2
)2 2 xy
圆心坐标为 半径为
(
x y
, 0)
(
x y
2
)2 2 xy
§6-2 平面应力状态分析
2、应力圆的画法
τ
x A(x ,xy)
圆心坐标为 (
半径为 (
§6-2 平面应力状态分析
3） 斜面上的应力
(9.02, 58.3)
9.02 MPA 58.3MPA
§6-2 平面应力状态分析
4）画出主应力单元体
1 68.3MPa 3 48.3MPa
0 15.48o 0 105.48o 2
x y
2
, 0)
C
O
B(y, yx)
σ
x y
2
2 )2 xy
1）建立应力坐标系； 2）画出点A(x ,xy) 和B (y ,yx)；
3）AB与轴的交点C便是圆心； 4）以C为圆心AC为半径画圆。
§6-2 平面应力状态分析
3、单元体与应力圆的对应关系
点面对应：应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向 面上的正应力和剪应力； 转向一致：半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 倍角对应：半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。
x y
x y 2 2 max max min ( ) xy 2 2 min
§6-2 平面应力状态分析
例题 一点处的平面应力状态如图所示，已知： 30o , x 60MPa, y 40MPa, xy 30MPa 试利用应力圆求（1）主应力、主平面；（2） 斜面上的应 力；（3）绘出主单元体。
§6-2 平面应力状态分析
3、斜截面上的应力计算
Fn = 0， dA + xy (dA cos )sin - x (dA cos ) cos + yx (dA sin ) cos y (dA sin )sin = 0
Ft = 0， dA - xy (dA cos ) cos - x (dA cos )sin + yx (dA sin )sin y (dA sin ) cos = 0
§6-2 平面应力状态分析
§6-2 平面应力状态分析
§6-2 平面应力状态分析
一、斜截面上的应计算
1、问题简化
§6-2 平面应力状态分析
2、符号约定
1）x和y拉为正，压为负； 2）xy绕研究对象顺时针转为正； 3）与截面外法线同向为正； 4） 绕研究对象顺时针转为正； 5）是逆时针为正。