最优控制(Ch5)

最优控制与滤波理论Principle of Optimal Control and Filtering第五章离散系统最优控制Chapter 5 Optimal Control of Discrete Time Systems • 5.1 离散变分法与Euler方程• 5.2 离散极小值原理• 5.2 离散线性调节器¾研究离散系统最优控制的原因：计算机控制系统的普及化¾两种离散系统：1.无采样器：如社会经济系统等•泛函求极值问题：2.有采样器：如工业受控对象等•泛函求极值问题（等间隔采样）：•简写同无采样器系统1u()00min (x(),)(x(),u(),)..x(1)(x(),u(),)x()x f k f f k k k J k k L k k k s t k g k k k k ϕ−==++==∑01u()00min (x(),)(x(),u(),)x[(1)]x[]..(x(),u(),)x()x f k f f kT k k J k T k T L kT kT kT k T kT s t f kT kT kT k T Tϕ−==++−==∑§5.1 离散变分法与Euler 方程¾当控制序列不受约束时，采用离散变分法，得到离散极值的必要条件-¾Lagrange •连续时间：•离散时间：¾性能指标设存在极值解x(k )= x*(k )+x(k (J (J 第x(k )= x*(k )时J 最小，意即：α=0时因此：于是有：于是（000111x (x x f f f k T k k k k k k k k δδδ−=−=−=⎧⎨⎩⎧=⎨⎩⎧=⎨⎩∑∑∑上式对任意δx(k )离散Euler 方程：横截条件：¾例：¾900111x ()x ()0x()x()x()ff k k k TTk k k k k k k L L L k k k k k δδ=−−−==∂∂∂⎧⎫++=⎨⎬∂∂∂⎩⎭∑(5.1.3)等式约束下的离散泛函极值问题••令则()min u k 01()min (x(),)(x(),u(),)f k f f u k k k nrJ k k L k k k ϕ−==+∑H9若泛函极值存在，则如下方程成立：•Euler 方程：•横截条件：∵x ∈R n ，u ∈R rx (Tf k δx ()Tk δu ()Tk δ{}11(x(),)()λ(1)x(1)f k Tf f k k J k k H k k k ϕ−==+−++∑()(x(),u(),)λ(1)f(x(),u(),)TH k L k k k k k k k =++问题：泛函极值存在的必要条件：协态方程：控制方程：横截条件：状态方程：边界条件：(x(),)λ()x()f f f f k k k k ϕ∂=∂()λ()x()H k k k ∂=∂()u()H k k ∂=∂()(x(),u(),)λ(1)f (x(),u(),)T H k L k k k k k k k =++00x(1)f(x(),u(),)x()x k k k k k +==01()000min (x(),)(x(),u(),)..x(1)f(x(),u(),),x ,u ,x()x ,x()f k f f u k k k nrf f J k k L k k k s t k k k k k k k k ϕ−==++=∈∈=∑\\固定，自由•例5.1.1 已知离散系统及边界条件：x (k +1)= x (k )+au (k ) x (0)=1 x (10)=0性能指标为：求使性能指标极小的控制序列u (k )与相应的状态序列x (k )。

解：两端状态固定的有约束极值问题伴随方程：控制方程：9201()2k J u k ==∑221()f(x(),u(),)()()21()()(1)(()())2k L u k k k k x k au k H k u k k x k au k λ==+=+++()(x(),u(),)λ(1)f(x(),u(),)T H k L k k k k k k k =++()λ()(1)()()x()H k k k k k C k λλλ∂=⇒+==∂故()0()(1)0()u()H k u k a k u k aC k λ∂=⇒++=⇒=−∂状态方程x(k+1)= x(k)+au(k) 故x(k+1)= x(k)-a2C x(1)= x(0) -a2Cx(2)= x(1) -a2C= x(0) -2a2Cx(3)= x(2) -a2C= x(0) -3a2C…x(k)= x(0) -ka2C代入边界条件：x(0)=1 x(10)=0 得：C=1/(10a2)最优控制：u*(k)= -1/(10a)最优轨线：x(k)= 1-0.1k*注：也可用z变换法替代后面的递推，自己试试§5.2离散极小值原理•庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系统情况。

为了获得离散系统的极小值原理，有人曾从离散系统与连续系统比较接近这点出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系统，但除了采样周期足够小的情况外，其余都失败了。

•离散极小值原理的普遍论述较复杂，证明过程十分冗长。

9这里不加证明地给出结论。

离散极小值原理k 0, x(k 0)=x 0固定，k f态序列{x*(k )}及适当的序列{λ1.状态方程: x*(k +1)=f[x*(k 2.伴随方程：()λ()x()H k k k ∂=∂01()00min (x(),)(x(),u(),)..x(1)f (x(),u(),),x()x x(),u()f ,,f k f f u k k k n n J k k L k k k s t k k k k k k k L ϕϕ−==++==∈∈∈∈∑\\\[()x((x(H k H k L k ==其中：3.极值条件：4.5.¾说明1.2.9***()U x (),u (),λ(1),min x (),u(),λ(1),u k H k k k k H k k k k ∈⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦§5.3离散线性调节器¾类似于线性连续系统的二次型最优控制问题，线性离散系统的二次型最优控制也是线性控制律。

¾线性连续系统的二次型最优控制问题的解可最后归结到一个最优状态反馈律和求解一个黎卡提矩阵微分方程。

9线性离散系统的二次型最优控制问题的解可最后归结到一个最优状态反馈律和求解一个黎卡提矩阵差分方程（与黎卡提矩阵微分方程相类似）。

¾讨论两种状态调节器•时变状态调节器•定常状态调节器时变状态调节器离散线性系统的状态差分方程为：x(k +1)= A(k )x(k )+ B(k )u(k )(k =0,1,2, …, N -1)性能指标为：x(0)=x0, 固定，N 固定，X(N )自由，x(k )∈R n ，u(k ) ∈R r F ≥0，对称；Q(k )≥0，对称；R(k )>0，对称求最优控制序列{u*(k )}使性能指标J 最小。

{}1011x ()Fx()x ()Q()x()u ()R()u()22N T T T k J N N k k k k k k −==++∑{}11()x ()Q()x()u ()R()u()22λ(1)A()x()B()u()T T T H k k k k k k k k k k k k =++++伴随方程：极值条件：∵R(k )>0，∴u(kx(k 边界条件：横截条件：()λ()T H k k ∂=()u()H k k ∂∂λ()N =1λ()Q()x()A ()λ(1)x(1)A()x()B()R ()B ()λ(1)λ()Fx()T T k k k k k k k k k k k k N N −⎧=++⎪+=−+⎨⎪=⎩9上述三个方程组成离散两点边值问题，可解出λ(k )，但是得到的u*(k )是开环控制。

z 如何得到闭环最优控制u(x(k ))?(5.3.2)•用数学归纳法推导9假设λ(k +1)=P(k +1)x(k +1)当k =N -1时，由横截条件有：λ(N )= P(N )x(N ) (其中P(N )=F)证明λ(k )=P(k )x(k ) 是否成立。

•将(5.3.3)代入(5.3.2)得：将(5.3.4)代入(5.3.3)得：(5.3.3)111x(1)A()x()B()R ()B ()P(1)x(1)x(1)I B()R ()B ()P(1)A()x()(5.3.4)T T k k k k k k k k k k k k k k k −−−+=−++⎡⎤∴+=++⎣⎦11λ(1)P(1)I B()R ()B ()P(1)A()x()T k k k k k k k k −−⎡⎤+=+++⎣⎦(5.3.5)1x(1)A()x()B()R ()B ()λ(1)(5.3.2)T k k k k k k k −+=−+将(5.3.5)代入伴随方程得：因此，假设条件λ(k +1)=p(k +1)x(k +1)成立。

将(5.3.5）代入(5.3.1)，得：则111u()R ()B ()P(1)I B()R ()B ()P(1)A()x()T T k k k k k k k k k k −−−⎡⎤=−+++⎣⎦{}1111λ()Q()A ()P(1)I B()R ()B ()P(1)A()x()P()Q()A ()P(1)I B()R ()B ()P(1)A()λ()P()x()1,,0T T T T k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k N −−−−=⎡⎤++++⎣⎦⎡⎤=++++⎣⎦=∀=−"令那么成立（）(5.3.6)⎣⎦(5.3.7)111K R ()B ()P(1)I B()R ()B ()P(1)A()T T k k k k k k k k −−−⎡⎤=+++⎣⎦令u()Kx()k k λ()Q()x()A ()λ(1)T k k k k k =++u(k )=-R -1(k )B T (k )λ(k +1) (5.3.1)11λ(1)P(1)I B()R ()B ()P(1)A()x()(5.3.5)T k k k k k k k k −−⎡⎤+=+++=−(5.3.8)u(k )是x(k )的线性反馈11P()Q()A ()P(1)I B()R ()B ()P(1)A()(5.3.6)T T k k k k k k k k k −−⎡⎤=++++⎣⎦1u()R ()B ()P(A()x()T k k k k k k −=−+11P(1)I B()R ()B ()P(1)A()A ()(P()Q())T T k k k k k k k k k −−−⎡⎤+++=−⎣⎦代入上式得：若A(k )可逆，则由式(5.3.6)得：[]1u()R ()B ()A ()P()Q()x()T T k k k k k k k −−=−−(5.3.9)*通过(5.3.6)计算出P(k )，然后可得u(k )。