2.5从力做的功到向量的数量积(3)
高中数学(北师大版)必修四教案：2.5 从力做的功到向量的数量积
从力做功到向量的数量积【学习目标】（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. （2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 【学习难点】运算律的理解 【知识衔接】1.已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a b的坐标；2.已知a (x, y)和实数λ, 求λa的坐标；3.已知),(),,(2211y x B y x A ，求AB 的坐标；4.向量a 、b 共线的两种判定方法：a ∥b( )▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁。
【学习过程】1.由力做的功：W = |F |•|s |cos ， 是F 与s 的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a ||b |cos ， 并规定0与任何向量的数量积为0。
2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
范围0 ≤ ≤180 。
由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。
③在实数中，若a 0，且a •b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a •b =0，不能推出b =0。
因为其中cos 有可能为0.这就得性质2.④已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a •b = b •c a = c如右图：a •b = |a ||b |cos = |b ||OA|Oa cbb •c = |b ||c |cos = |b ||OA| a •b =b •c 但a c⑤在实数中，有(a •b )c = a (b •c )，但是(a •b )c a (b •c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的射影。
北师大版数学必修四课件：2.5从力做的功到向量的数量积
r
r
(2)求 a 在 b 上的射影.
r r 及 【审题指导】已知向量a , b 的模及其夹角，求 a a gb
在 b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何 意义求解便可.
【规范解答】(1) Q a 5, b 4, a 与 b 的夹角θ=120°，
r r r r a gb a b cos 5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10. 2
求:
u r r (1) 2 的值； u r r (2) 2 的值.
u r r 【审题指导】利用 2
u r r 2 u r r 2 ， 2
u r r 2
2
分别求解.
【规范解答】由题意可知 g 2 0， 结合 1, 4,
思想计算cosθ 的值.
向量的夹角与向量所在直线所成的角不同，前
者的范围是［0,π］，而后者的范围是 ［0, ］ . 2
r ur 【例3】设 n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向
量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角.
r ur 【审题指导】 n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其 r 数量积，又向量 a,b 均由向量 n 和 m 线性表示，待求向量
求向量的模 求向量的模的常见思路及方法： 1.求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵 活应用 a a , 勿忘记开方.
r2 r r2 r
2. a ga a 2 a 或 a a 2 ， 此性质可用来求向量的模，可以
实现实数运算与向量运算的相互转化.
r r
从力做的功到向量的数量积
特别地ａ：与ａrａｂ·r反= _向r__ar时 _r2__，ａ__ｂ ·_= _|_ar_a___g|__b2_________（|_a长__|g度_| _b）_|
(3)cosθ=
ab
rr ab
（夹角）
(4) a b a b . 当且仅当a∥b时等号成立
特别提醒：
1.
rr aa
r a
2
2.若 e1, e2 是单位向量,则 ur uur ur uur e1 e2 e1 e2 cos cos
解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝－6.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37， ∴|a－b|＝ 37.
点评： 利用|a|2＝a2 求向量的模时转化为求向量的平方问题．
点评： 利用|a|2＝a2求向量的模时转化为求向量的平方问 题．
rr 有时也记作《 a ，b 》
O
rA
a
计算向量的夹角时要 将两个向量起点放在
一起.
θ为锐角
向量的夹角
Ar
a
O
r
bB
θ为钝角
r
a
r
ObB
A
0
rr a 与b 同向
r
r
a
Bb O
A
180
rr a 与 b 反向
B
r
b
O
r a
A
90
rr a 与 b 垂直，
rr 记作 a b
当
_0_o______9_0__o
600
[反馈训练、巩固落实]
五、课堂练习（学生活动）
1. ①已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 120°，
2.5从力做的功到向量的数量积
§5从力做的功到向量的数量积一、课题引入：在物理学上，我们知道，如果一个物体在力→F 的作用下发生了一段位移→s ，如图2—5—1，那么力→F 所做的功θcos ||||→→=F s W ，其中θ是→F 与→s 的夹角。
图2—5—1功是一个数量，它由力→F 和位移→s 两个量来确定。
由此联想，能否把“功”看成是这两个向量的运算的结果呢？从而，同学们发挥你们的聪明才智，去攀登科学高峰吧！二、新知识探究1。
力做的功的定义一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。
如图2—5—2，一个物体在力→F 的作用下发生了一段位移→s ，那么力→F 所做的功为θcos ||||→→=F s W ，其中θ是→F 与→s 的夹角。
图2—5—2（1）当900<≤θ时，0>W ，即力→F 做正功；（2）当90=θ时，即力→F 的方向与位移→s 的方向垂直时，0=W ，力→F 不做功； （3）当18090≤<θ，0<W ，即力→F 做负功。
2。
两个向量夹角的定义已知如图2—5—3（1）两个非零向量→a 、→b ，如图2—5—2（2）作→=a ， →=b ，则∠AOB=θ（)1800︒≤≤︒θ叫作向量→a 与→b 的夹角。
图2—5—3（1）当0=θ时，→a 与→b 同向； （2）当180=θ时，→a 与→b 反向；（3）当90=θ时，→a 与→b 垂直，记→a ⊥→b ；注意：（1）在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，如图2—5-4所示：图2—5—4（2）规定→0与任意向量垂直。
3、向量→b 在→a 方向上的射影|→b |θcos 叫作向量→b 在→a 方向上的射影，它是一个实数，与向量→a 的方向与→b 所成的角有关，与向量→a 的位置无关。
已知向量→a 和→b ，如图2—5—5，→=a ， →=b ，过点B 作1BB ⊥OA 于1B ，则θcos ||1→=b OB 。
第1部分第二章§5从力做的功到向量的数量积
答案：C
7．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与 b 的夹角为________度． 解析：设a，b夹角为θ，则由a⊥c，得a·c＝0，即 (a＋b)·a＝0，a2＋a·b＝0，∴1＋2cos θ＝0，从而θ ＝120°. 答案：120
答案：B
向量的数量积 (1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则 |b|cos θ 叫 作向量b在a方向上的射影． (2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ ，我们把 |a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ .
(3)数量积的特殊情况： 当两个向量相等时，a·a＝ |a|2 .
a·b＝0
a·e |a|cos θ
≤ 等号
问题1：试想当力扩大2倍，力对物体所做的功也 扩大2倍吗？
提示：是．即(2F)·s＝2(F·s)． 问题2：实数的乘法满足交换律、结合律、乘法 对加法的分配律，向量数量积的运算是否也有类似 运算律？ 提示：有．
向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a (交换律)； (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb)(结合律)； (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
4．向量数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c＝ a·(b·c)不一定正确．
[例1] 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③ a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
[思路点拨] 由条件确定向量夹角后，代入数量积 定义进行计算．
[精解详析] ①当a∥b时，若a与b同向， 则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27. 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积课件高一必修4数学课件
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易错辨析
反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形
特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的
向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并
写出相应点的坐标即可求解.
(2)向量的夹角是由向量的方向确定的,在△ABC 中, 与,
射影.
3.掌握向量数量积的定义、几
何意义、物理意义,会求向量
的数量积.
4.掌握平面向量数量积的性
质及运算律,并能应用性质及
运算律解决有关长度、角度、
垂直等问题.
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四
一、向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a和b,作
=a,,=b
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.
2.范围:[0°,180°].当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向(fǎn xiànɡ);当
)
(4)在△ABC 中,||=5,||=6,∠ABC=60°,则 ·=15. (
答案(dá àn):(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
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探究(tànjiū)
一
高中数学知识点精讲精析 从力做的功到向量的数量积
2.5 从力做的功到向量的数量积1．向量数量积的物理意义：力F 与其作用下物体位移s 的数量积•F s2．两个向量的数量积：(1)设两个非零向量a OA =与b OB =,称∠AOB=θ为向量a 与b 的夹角， (00≤θ≤1800)，当非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当a 与b 反方向时θ=1800，0与其它非零向量不谈夹角问题（2）数量积的定义：a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ, 叫做a 与b 的数量积; 规定00a ⋅=,其中︱b ︱cos θ∈R ，叫向量b 在a 方向上的投影. 3.数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.4．平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± ④乘法公式成立： ()()2222a b a b a b ab +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =05．两个向量的数量积的坐标运算：已知1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +6．向量数量积的性质：（1）a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔02121=+y y x x（2）当a 与b 同向时，||||,a b a b ⋅=⋅当a 与b 反向时，||||,a b a b ⋅=-⋅一般地||||,a b a b ⋅≤⋅ 特别地：2||a a a ⋅=——向量运算与模的转化。
北师大版数学高一必修4备课资料2.5从力做的功到向量的数量积
备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.图8向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·＞0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是·BC≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,=c ,则22)(|)||(|c b c b •-等于( )A..0B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值. 解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+.9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴c osθ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147. (设计者：陆萍)。
2.5从力做的功到向量的数量积----教案
2-5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能⑴通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. ⑵体会平面向量的数量积与向量投影的关系.⑶掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.⑷能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 难点:. 运算律的理解三.学法与教学用具自主性学习+探究式学习法 教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？ 【新课引入】在物理学中，力F 对物体做的功为||||cos W F s θ=，θ是F 与s 的夹角功W 可以看成是向量F 、s 的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。
从而引出两个向量的夹角的概念。
【新课探究】1、两个向量的夹角⑴定义：已知两个非零向量a和b ，在平面上任取一点O ，作,O A aO B b == ，则A O B ∠称做向量a和b 的夹角，记作：,a b ，并规定：0,a b π≤≤ 。
练习1：在ABC ∆中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：⑴AB AC 与,⑵AB C 与B ，⑶AC C与B 的夹角。
2.5从力的做功到向量的数量积
教师辅导讲义数量|a||b|cos_θ叫向量a与b的数量积(或内积).向量a与b的数量积记作a·b，零向量与任一向量的数量积为0.已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，过点A 向直线OB 作垂线，垂足为A ′，得到a 在b 上的投影γ＝OA ′→，γ称为投影向量.|a |cos 〈a ，b 〉称为投影向量γ的数量，也称为向量a 在向量b 方向上的投影数量，可以表示为a ·b|b |.2.向量数量积a ·b 的几何意义b 的长度|b |与a 在b 方向上的投影数量|a |cos_θ的乘积；或a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影数量|b |cos_θ的乘积.【知识点讲解三：数量积的运算性质】1.数量积的运算律对任意的向量a ，b ，c 和实数λ： (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)与数乘的结合律：λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )； (3)关于加法的分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 2.数量积的性质(1)若e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉； (2)若a ，b 是非零向量，则a ·b ＝0⇔a ⊥b ； (3)a ·a ＝|a |2，即|a |＝a ·a ； (4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |(|a ||b |≠0)；(5)|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立.【知识点讲解四：向量数量积的坐标表示】1.平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3.四个重要公式(1)向量模长公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)点到直线的距离的向量表示已知定点A 和向量AB →，点P 是直线AB 外一点，若n ⊥AB →，则P 点到直线AB 的距离的向量表示d ＝⎪⎪⎪⎪AP→·n |n |.【例题解析1】向量的数量积、投影数量[例1] (1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求：①a ·b ； ②a 2－b 2； ③(2a －b )·(a ＋3b ).(2)如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求： ①AD →·BC →；②AB →·CD →；③AB →·DA →；④AB →在CB →上的投影数量.【巩固练习1】1.已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a ·b ；(2)(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b ).3.设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为____________________________.【本知识点小结3】 【例题解析4】向量数量积的坐标运算[例4] (1)已知a ＝(－4，3)，b ＝(1，2)，则a 2－(a －b )·b ＝( ) A.8B.3＋5C.28D.32(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于________.(3)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________.【巩固练习4】4.已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标；(2)若向量c ＝(2，－1)，求(a ·c )b .【本知识点小结4】【例题解析5】利用坐标运算解决向量模长问题[例5] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝________. (2)已知向量a 在向量b ＝(1，3)方向上的投影为2，且|a －b |＝5，则|a |＝________.【巩固练习5】5.若向量a 的始点为A (－2，4)，终点为B (2，1)，则： (1)向量a 的模长为________；(2)与a 平行的单位向量的坐标为________.【本知识点小结5】【例题解析6】向量的夹角、垂直问题[例6] (1)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.(2)如图，△AOE 和△BOE 都是边长为1的等边三角形，延长OB 到C 使|BC |＝t (t ＞0)，连接AC 交BE 于点D ，连接OD .①用t 表示向量OC →和OD →的坐标；②当OC →＝32OB →时，求向量OD →和EC →的夹角的大小.【巩固练习6】6.已知四边形ABCD 的顶点分别为A (2，1)，B (5，4)，C (2，7)，D (－1，4)，求证：四边形ABCD 为正方形.四、当堂检测限时（分钟） 用时（分钟）难度 分值 得分 得分率1.已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为π3时，a 在e 方向上的投影数量为( )A.43B.4C.42D.8＋322.如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中，最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 5→·P 1P 2→D.P 1P 6→·P 1P 2→3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49B.43C.－43D.－494.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )A.4 2B.2 5C.8D.825.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°6.在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[0，1]7.(多选题)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论不正确的是( )A.a ∥bB.a ⊥bC.|a |＝|b |D.a ＋b ＝a －b8.(多选题)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，下列命题正确的是( )A.|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3B.|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2π3，π C.|a －b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3D.|a －b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π9.(多选题)设向量a ＝(2，0)，b ＝(1，1)，则下列结论中不正确的是( )A.|a |＝|b |B.a·b ＝12C.(a －b )⊥bD.a ∥b10.已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________. 11.下列命题：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |； ③|a ||b |＜a ·b ；④(a ·a )a ＝a 3；⑤非零向量a ，b 满足a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；⑥若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 上的投影数量，其中正确的是________(填序号). 12.已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，则向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影数量为________. 13.(2020·全国卷Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________.14.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.15.已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影数量为________. 16.已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________.17.(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ， 则cos 2θ的最小值是________.18.已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数λ，使λa ＋b 与a －2b 共线？ (3)是否存在实数μ，使μa ＋b 与a －2b 垂直？19.在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角θ的余弦值.20.已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →||BC →|＝22，试判断△ABC 的形状.21.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2).(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影数量.22.已知OP →＝(2，1)，OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点).(1)求CA →·CB →取得最小值时OC →的坐标； (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .23.已知点A (－1，0)，B (0，1)，点P (x ，y )为直线y ＝x －1上的一个动点.(1)求证：∠APB 恒为锐角；(2)若四边形ABPQ 为菱形，求BQ →·AQ →的值.五、【当堂总结】。
2.5从力做的功到向量的数量积
1.掌握平面向量数量积的物理背景； 2.理解一个向量在另一个向量方向上的正投影的概念；
3.掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义.
我们学过功的概念，即一个物体在力 F 的作用下产生位移 s， 力 F 所做的功W应当怎样计算？
F
s
W=| F|| s |cosθ
数量积a b a b cos
0
两个向量的数量积是一个数量，它的 大小与这两个向量的长度及夹角有关.
思考1：向量的数量积是一个数量，那么
它什么时候为正，什么时候为负？
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
即0 a 0
数量积 a ·b =| a || b |cos
2 2 | a | | a || b | cos60° 6 | b |
36 12 96 72.
2 2 | a | a b 6 | b |
例2：在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分 别为a,b,c,证明:
a2=b2+c2-2bccosA
向量 a 与 b的数量积等于 b 的长度 向上投影 a cos 的积.
b 与 a在
b方
向量的数量积的物理意义：
力对物体做功, 就是力F与其作用下 物体的位移S的数量积F S .
投影的作图:
B b O O B B
θ
a
b
B1
θ
O
B O a
(5)对任意两个向量，有 | a b || a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立.
例1： a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数
2.5 从力做的功到向量的数量积问题导学1．向量数量积的定义及几何意义活动与探究1已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°． (1)求a·b ；(2)求a 在b 上的射影．迁移与应用(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影；(2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a·b ．(1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a·b ＞0⇔θ为锐角或零角；②若a·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a·b ＜0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ． ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b ． 2．平面向量数量积的运算活动与探究2已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求①a ·b ；②(a ＋b )2；③(a －b )2；④a 2－b 2；⑤(2a ＋3b )·(3a －2b )．迁移与应用1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·a ＋a ·b ＝__________． 2．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )＝__________．向量数量积的运算中要注意的问题：(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异．(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2；(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2．(3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”． 3．求向量的模活动与探究3(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |．迁移与应用已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|．求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题活动与探究4已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．迁移与应用1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________．2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|． 求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．向量夹角的求法：(1)求向量的夹角要利用公式cos θ＝a ·b|a ||b |，通常分别要求a ·b 和|a |·|b |的值． (2)对于不方便单独求出a ·b 与|a |·|b |的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)．(3)要注意向量夹角的取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系．5．解决有关垂直问题活动与探究5已知a ⊥b ，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．迁移与应用已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ．向量垂直的应用(1)理论依据：a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解．当堂检测1．若|a |＝5，|b |＝6，〈a ，b 〉＝60°，则a ·b ＝( )． A ．15 B ．15 3 C ．15 2 D ．102．已知|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角为( )． A ．150° B．120° C．60° D．30°3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )． A ．a ∥b B ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b4．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋3b |＝__________．5．已知两个非零向量a ，b ，夹角θ＝120°，且(a －3b )⊥(7a ＋5b )，问是否存在实数λ，满足(a －4b )⊥(λa －b )?答案：课前预习导学 【预习导引】1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 (4)同向 反向 垂直 a ⊥b 预习交流1 120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s 预习交流2 提示：无关．由向量射影的定义知，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ，其中θ为a ，b 的夹角，所以a 在b 方向上的射影只与|a |和a ，b 的夹角有关．预习交流3 C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b ＝0 (5)|a | (6)a ·b |a ||b |(7)≤ 等号 预习交流4 (1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5 (1)提示：若a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cD a ＝c .由下图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用 解：(1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2 解：①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×5×12＝10；②(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝16＋20＋25＝61；③(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝16－20＋25＝21；④a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝16－25＝－9；⑤(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×16＋5×4×5×12－6×25＝－4.迁移与应用 1．1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos 45°＝1＋22. 2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0.活动与探究3 (1)B 解析：|2a －b |＝2a －b 2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3. |a ＋2b |＝a ＋2b 2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用 解：∵a ⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0， ∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b |＝3a ＋b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b |＝a －2b2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4 解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝a －b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102.设a －b 与a ＋b 的夹角为φ，则 cos φ＝a －b ·a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55. ∴a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55. 迁移与应用 1．135° 解析：设夹角为θ， ∵a ·(a ＋b )＝1，∴|a |2＋a·b ＝1，即2＋2×1×cos θ＝1，∴cos θ＝－22，∴a ，b 的夹角为135°.2．解：如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b . (1)由于|a|＝|b|＝|a ＋b|， 即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|，所以∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°. (2)∵∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°. 又|OA →|＝|OB →|， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 的夹角为30°. 活动与探究5 解：∵a ⊥b ， ∴a·b ＝0.又a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，∴[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.∴－k a 2＋t a·b ＋(t －3)(－k )a·b ＋(t －3)t b 2＝0， ∴－4k ＋(t －3)t ＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14⎝⎛⎭⎪⎫t －322－916(t ≠0)．∴当t ＝32时，k 取最小值－916.迁移与应用 解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ·7a －5b ＝0，a －4b ·7a －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴θ＝60°. 【当堂检测】1．A 2．B 3．B 4．43 5．解：由(a －3b )⊥(7a ＋5b )， 得(a －3b )·(7a ＋5b )＝0.即7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0，①由(a －4b )⊥(λa －b )，得(a －4b )·(λa －b )＝0，即λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.②又a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－12|a ||b |，③把③代入①得|a |＝|b |， 再代入②得⎝⎛⎭⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵|a |＞0，∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，使(a －4b )⊥(λa －b )．。
北师大版必修四 2.5 从力做的功到向量的数量积 课件 (17张)
解:
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
课堂小结
知识： （1）平面向量的数量积； （2）平面向量的数量积的几何意义； （3）平面向量数量积的重要性质
思想方法： （1）转化、数形结合、分类讨论等思想 （2）公式或定义法
作业
不渴望能够一跃千里，只 希望每天能够前进一步。
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
单位设向a量、，b是是非a与零概向e念的量解夹，析e角是 ，与 则b
方向相同的
a b | a || b | cos
(1)e
a
a
e|a
|
cos
bB
((32)当)aa与bb同向a 时b ，0a
(a + b) ·c = ON |c|
b
a
a+b
O
M
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
学以致用
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
北师大版数学高一必修4知识必备 2.5从力做的功到向量的数量积
§5 从力做的功到向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，如图2-5-1所示，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB 称为a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉.图2-5-1(2)范围：［0,π］，〈a ，b 〉=〈b ，a 〉.(3)当〈a ，b 〉=2π时，称向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任一向量垂直. (4)当〈a ，b 〉=0时，a 与b 同向；当〈a ，b 〉=π时，a 与b 反向.2.向量的射影图2-5-2已知向量a 和b ，如图2-5-2所示，作=a ，=b ,过点B 作的垂线，垂足为B 1，则OB 1的数量|b |cosθ 叫做向量b 在向量a 方向上的正射影（简称射影）.3.向量的数量积（内积）（1）定义：|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ.（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.（3）几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cosθ的乘积，或看作是b 的长度｜b ｜与a 在b 方向上的射影|a |cosθ的乘积.4.向量数量积的性质设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.（1）e ·a =a ·e =|a |cos 〈a ，e 〉.（2）a ·b ⇔a ·b =0.（3）当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |；特别地：a ·a =|a |2或|a |=a a •.（4）cos 〈a ，b 〉=||||b a b a •. （5）|a ·b |≤|a ||b |.5.向量数量积的运算律交换律：a ·b =b ·a ；结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）(λ∈R )；分配律：（a ＋b ）·c =a ·c ＋b ·c .知识导学1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题. 疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？ 剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.①从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.②从运算的表示方法上看：两个向量a 、b 的数量积称为内积，写成a ·b ；大学里还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a ·b =0，则a =0或b =0或〈a ,b 〉=2π；在向量的数乘中，若λa =0，则λ=0或a =0；在实数的乘法中，若a ·b =0，则a =0或b =0.在向量的数量积中：a ·b =b ·c ⇒b =0或a =c 或〈b ，(a －c )〉=2π；在向量的数乘中，λa =λb （λ∈R ）⇒a =b 或a ≠b ；在实数的乘法中，ab =bc ⇒a =c 或b =0.在向量的数量积中：(a ·b )c ≠a ·（b ·c )；在向量的数乘中，（λｍ）a =λ(ｍa )（λ∈R ,m ∈R ）；在实数的乘法中，有(a ·b ）c =a ·（b ·c ).④从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小|λ|倍.2.如何应用|a |=a a •来求平面内两点间的距离？剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=1，∠DAB=3π，求对角线AC 和BD 的长.图2-5-3解：设=a ，=b .则|a |=3，|b |=1，〈a ,b 〉=3π. ∴a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=23. 又∵AC =a +b ,=a -b ，∴|AC |=132)(222=+•+=+=b b a a b a ，|DB 72)(222=+•-=-=b b a a b a ，∴AC=13,DB=7.由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度； ②应用公式|a |=a a •，通过向量运算求出向量的长度；③把向量的长度还原成平面内两点间的距离.。
2.5从力做的功到向量的数量积学案
§5从力做的功到向量的数量积1．向量的夹角定义已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角范围0°≤θ≤180°特例θ＝a 与b 同向θ＝a 与b 反向θ＝a 与b 垂直，记作a ⊥b ，规定0可与任一向量垂直思考1：△ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？[提示]如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°.2．向量的数量积(1)射影叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝，其中θ是a与b的夹角．(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积．(5)性质①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ.②若a⊥b，则；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作③|a|＝a·a＝a2.④cosθ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(6)运算律已知向量a，b，c与实数λ，则：①交换律：a·b＝b·a；②结合律：(λa)·b＝＝③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.思考2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？[提示]如图所示，OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cosθ叫作向量a在b方向上的射影．1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影为()A．－4B．4C．－2D．22．已知三角形ABC中，BA→·BC→<0，则三角形ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形3．已知向量|a|＝2，|b|＝2，a·b＝1，则|a－b|＝()A．6B．2C．22D．34．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.求向量的数量积【例1】已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°.求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2.1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ求解．要特别注意书写时a与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．1．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求：(1)a·b；(2)a在b方向上的投影；(3)(a－2b)·(a＋b)；(4)(a－b)2.求向量的模【例2】(1)平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12(2)已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求|a＋b＋c|.(1)B[|a＋2b|＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.]1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2＝|a|2，最后勿忘开方．2．一些常见等式应熟记：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求|a＋b|.向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]a·b＝0⇔a⊥b.2．|a·b|与|a|·|b|的大小关系如何？为什么？[提示]|a·b|≤|a|·|b|.因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|.由|cosθ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|.3．对于向量a·b，如何求它们的夹角θ？[提示]求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．【例3】已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ.[思路探究]先求|a|，|b|及a·b，再由公式cosθ＝a·b|a||b|求解．1．将例3中的条件变为“|a|＝1，a·b＝12，(a－b)(a＋b)＝12”，试求a与b的夹角．2．将例3中的条件变为“a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|”，试证明：(a ＋b)⊥(a－b)．1．求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cosθ＝a·b|a||b|求cosθ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cosθ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．2．两向量垂直⇔a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．向量数量积的性质及作用：设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.即当a与b 共线时，|a·b|＝|a||b|.此性质可用来证明向量共线．(3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cosθ＝a·b|a||b|，此性质可求a与b的夹角.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量的数量积仍是一个向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ>0⇔a·b>0.()(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.()2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的射影为() A．4B．43C．42D．8＋323．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝_____________. 4．已知|a|＝1，|b|＝2，设a与b的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a－b|；(2)若a与a＋b垂直，求θ.。
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授课时间2013-05-22 第53课时
高一年级数学授课人：贺正平
课题：2.5从力做的功到向量的数量积（3）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面
向量的垂直关系.
2.过程与方法
通过例题理解向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮
助学生理解和巩固相应的知识；通过讲解例题，培养学生逻辑思维
能力.
3.情感态度价值观
让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理
解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于
创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义，运算律. 难点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义，运算律.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
回顾：1.平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a||b|cos θ， 并规定0与任何向量的数量积为0。
⋅
2.|b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的射影。
几何意义：数量积a •b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|cos θ的乘积。
3.性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。
①e •a = a •e =|a|cos θ ②a ⊥b ⇔ a •b = 0
③当a 与b 同向时，a •b = |a||b|；当a 与b 反向时，a •b = -|a||b|。
特别的a •a = |a|2或a a a ⋅=
||
④cos θ =||||b a b a ∙（|a||b|≠0） ⑤ |a ⋅b|≤|a||b|
新课：向量的运算律;
1.交换律：a •b = b •a
证：设a ，b 夹角为θ，则a •b = |a||b|cos θ，b •a = |b||a|cos θ ∴a •b = b •a
2.数乘结合律：(λa) •b =λ(a •b) = a • (λb)
证：若λ= 0， 此式显然成立.
若λ> 0， (λa) •b =λ|a||b|cos θ，
λ(a •b) =λ|a||b|cos θ，
a • (λb) =λ|a||b|cos θ，
所以(λa) •b =λ(a •b) = a • (λb).
若λ< 0， (λa) •b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ，
λ(a •b) =λ|a||b|cos θ，
a • (λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ。
所以(λa) •b =λ(a •b) = a • (λb).
综上可知(λa) •b =λ(a •b) = a • (λb)成立.
3.分配律：(a + b) •c = a •c + b •c
证：在平面内取一点O ，作−→−OA = a, −→−AB = b
∵a + b （即−→
−OB ）在c 方向上的投影
C
等于a 、b 在c 方向上的投影和，即：|a + b| cos θ = |a| cos θ1 + |b| cos θ2
∴| c | |a + b| cos θ =|c| |a| cos θ1 + |c| |b| cos θ2 ∴c • (a + b) = c •a + c •b 即：(a + b) •c = a •c + b •c.
五、巩固深化，发展思维
1.教材P109练习1、2题
2. 教材P111练习1、2、3、4、5题
3.①在ΔABC 中，设边BC ，CA ，AB 的长度分别为a ，b ，c ，用向量方法证明：A bc c b a cos 2222-+=
②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
中：−→−−→−=DC AB
，−→−−→−=BC AD ，−→
−AC =−→−AB +−→−AD ∴|−→−AC |2=|−→−AB +−→−AD |2=−→−AB 2+−→−AD 2+2−→−AB •−→−AD
而−→−BD =−→−AB -−→−AD
∴|−→−BD |2=|−→−AB -−→−AD |2=−→−AB 2+−→−AD 2-2−→−AB •−→−AD
∴|−→−AC |2 + |−→−BD |2 = 2−→−AB 2+2−→−AD 2= |−→−AB |2+|−→−AD |2+|−→−BC |2+|−→
−DC |2
六、小结:
①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.②向量数量积的几何意义和物理意义.③向量数量积的五条性质.④向量数量积的运算律.
A B D C
七、评价设计
作业：习题2.5 A组第7题2.5B组第一题1．八、课后反思：。