函数的概念及换元法文档

函数的概念一．预备知识（对应：多对一与一对一、一对多）对应是有方向性的。

找对应:生活中的实例一对一：学生与学号多对一：学生与老师一对多：班级与班级内的学生、老师与学生抽象到数集之间的对应（大量举例子）函数的本质是运算，核心是对应：即对于自变量，按照什么样的对应法则去计算其函数值；运算的本质是“位置”：运算中涉及的量处在运算式中的哪个“位置”上，该“位置”应该遵循什么样的运算规则及在哪个范围内取值.必须满足多对一与一对一的对应（一）运算1.基本运算及其逆运算许多运算式虽然很复杂，但仔细观察就会发现，它们都是由以下几种基本运算及其逆运算以不同的方式构造而成：2.运算的本质是“位置”：①.运算，实质上都是对“位置”进行运算：对运算中的各个“位置”赋予不同的值，改变的是运算的结果，而没有改变运算的法则.1,32,3134?235a b a b a b ====+=←−−−+=−−−−→+=232,22,324?28ba b a b a=====←−−−−=−−−−→=②. “位置”确定作用：参与运算的量在运算中处于哪个位置，确定了它在运算起什么样的作用.③. “位置”确定取值范围：参与运算的量处于运算中的哪个位置，就要遵循这个“位置”对取值的要求.在加法运算?a b +=中，任意两实数都可以做加法运算，所以被加数与加数都可以取任意实数；在除法运算?ab=中，分母不能为0，所以0b ≠；在开平方运算?=中，由于它是平方运算2a=的逆运算，是一个完全平方数，所以0a ≥；在对数运算2log ?a =中，由于它是指数运算2a=的逆运算，因为20>，所以0a >；3.位置与赋值：对任意一个运算“位置”，可在该“位置”允许的取值范围内任意赋值，不同的赋值就可以得到不同的运算结果：?=+y x ：32,1=+⇒==y x y x ，95,4=+⇒==y x y x ； ?=y x ：12,1=⇒==y x y x ，83,2=⇒==y x y x?sin =x ：0sin 0=⇒=x x ，22sin 4=⇒=x x π如果用一个变量x 表示某个运算“位置”上的值，并固定其它运算“位置”上的值，则运算结果这个“位置”所得到的就是关于变量x 的一个函数)(x f ： 加法运算：固定加数，用变量x 表示被加数，则可得到函数b x x f +=)(乘法运算：固定乘数，ax x f =)(除法运算：固定被除数，用变量x 表示除数，则可得到函数()af x x =（反比例函数） 固定除数，用变量x 表示被除数，则可得到函数1()f x x a=（正比例函数）幂运算： 固定底数，用变量x 表示指数，则可得到函数()xf x a =（指数函数）固定指数，用变量x 表示底数，则可得到函数()af x x =（幂函数）对数运算：固定底数，用变量x 表示真数，则可得到函数()log x f x a =（对数函数） 三角函数运算：用变量x 表示角，则可分别得到函数()sin f x x =,()cos f x x =,()tan f x x =（三角函数）由此可见，常见的几种基本初等函数，实际上就是由加法、减法、乘方、开方、指数对数、三角函数这几种基本运算固定运算中的某些位置而得到的.（二）.函数概念（核心就是对应：多对一与一对一）由函数的定义可知,所谓函数,就是对于自变量x ，按照什么样的对应法则去计算其函数值y ；运算的本质是“位置”：运算中涉及的量处在哪个位置上，就要遵循该“位置”的运算规则及其对取值范围的要求.因此,在研究函数时应搞清三个问题:1.对谁运算(定义域)：函数的本质是运算，函数解析式中所涉及到的运算中，自变量或关于自变量的式子处在哪种运算中的什么位置上，就要遵循这些位置的对取值范围的要求，所有这些取值范围的交集就是函数的定义域.如：x x f 11)(++=)00101001+∞<<<≤-⇒⎩⎨⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠≥+x x x x x x 或 2.如何运算(对应法则)：符号f(x)的理解自变量实质上表示的就是一个“位置”，对应法则就是对自变量位置上的数或式子按对应法则进行运算。

至于自变量用哪个字母表示，对函数并没有实质性的影响，如2)(x x f =，2)(t t f =，2)(m m f =虽然表示自变量的字母不同，但自变量的取值范围相同（都是R ），函数的对应法则相同，自变量在运算中位置相同，因此它们是同一个函数。

（平方、分段、常函数、D函数）3.运算结果：对于自变量的任一允许值x，所有对应的函数值y的集合就是函数的值域.函数的值域由函数定义域和对应法则f确定.函数问题常以以下三种形式呈现：①知x知f求y；②知x知y求f；③知f知y求x即“知二求一”三．研究函数问题的方法及流程（一）.三个问题1．对谁运算---自变量的取值范围就是函数的定义域2．对应法则---如何由自变量的值取得对应的函数值3．运算结果---函数值如何随自变量的变化而变化的，所有函数值的集合就是函数的值域. 问题的呈现形式：知二求一：①知x知f求y，②知x知y求f ③知y知f求x（二）.五种方法1．分类：看到字母想分类2．图象：看图说话3．换元：将复杂的函数化归为已知函数（如基本初等函数）--画出图象或示意图--看图说话4．解方程：求值即解方程5．互逆运算：将逆运算化归为正运算（三）.流程研究函数问题的流程：换元法及其应用一.预备知识1.直接关系与间接关系函数()y f x =中，自变量x 与函数值y 之间的关系有两种：一种是直接关系，如：2y x =，这里，y 的值由自变量x 平方直接得到，x 与y 之间是直接关系；另一种是间接关系，如：2(1)y x =+，这里，y 的值的需要经过两步获得： 第一步，自变量x 的值加强1，得到一个量1t x =+， 第二步，对t 做平方运算，即：21t x y tx t y =+=−−−→−−−→x 与t 之间、t 与y 之间是直接关系,而x 与y 之间是间接关系, y 与x 之间的关系是通过中间变量1t x =+而建立的.一般地，形如[()]y f u x =的函数中，函数值y 要通过两上步骤获得：()()t u x y f t x t y ==−−−→−−−→，x 与y 之间是一种间接关系，而x 与t 之间、t 与y 之间是直接关系.对这类间接关系问题，通常我们要通过x 与t 之间、t 与y 之间的关系，来研究x 与y 之间的关系.这实际上就是换元的思想.2.同一函数（相等函数）：函数的本质是运算，即对于自变量，按照什么样的运算法则得到对应的函数值；而运算的本质是“位置”，即所涉及到的量处于哪种运算的什么位置。

在函数()y f x =中，自变量实际上起着一个“位置”的作用：对于自变量这个“位置”上的每一个值，都是按照同一个法则，去得到的值，因此，自变量用哪个字母来表示，对对应法则f 并没有影响.如f （t ）=t 2；f （x ）=x 2；两个函数中，虽然自变量所用的字母不同，但两个自变量取值范围相同、自变量所在位置相同、运算法则相同（都是对自变量这个位置上的数做平方运算），因此，它们是同一个函数。

二.换元法1.用换元法构造新函数如果自变量t 取的是具体的数值，所得到的就是所对应的函数值，如果自变量t 取的是关于另一个变量x 的代数式，如1t x =-：依然是按照前面的法则进行相同的运算并将其结果赋给y=这样就得到了一个新的函数，我们用()g x 表示这个新函数，即2()(1)(1)g x f x x =-=-，这里，()g x 实际上就是由()f x 经1t x =-换元构造出的一个新函数.为便于叙述，把()f t 称为原函数，t 称为原自变量（为区别起见，这里自变量用字母t 表示），把()g x 称为新函数，x 称为新自变量。

观察()g x 的运算过程：①自变量x 取值→②计算1x -的值并将其赋给t →③计算()f t 的值并赋给y1()t x y f t x t y =-=−−−→−−−→一般地，对原函数()y f t =，经()t u x =换元可得到新函数()[()]g x f u x =，新函数的运算过程如下：()()t u x y f t x t y ==−−−→−−−→这样，可以由简单的函数构造出复杂的函数，考试中遇到的许多复杂的函数就是用这种方式构造而成的：22()()()()t x af t tg x f x a x a =+=−−−→=+=+111()()()1t x f t g x f x a t x =+=−−−→=+=+ 11()2()(1)2t x t x f t g x f x =++=−−−→=+=122()log ()(1)log (1)t x f t t g x f x x =+=−−−→=+=+sin 22()()(sin )sin sin t x f t at bt c g x f x a x b x c ==++−−−→==++2()()(2)2xt x x f t t b g x f b ==+−−−→==+ 2()()(2)2xt x x f t at g x f a ==−−−→== sin sin()t x y t y x ωϕωϕ=+=−−−→=+反过来，对于形如()[()]g x f u x =的函数，则可以看作由原函数()f t 经()t u x =换元而得到的新函数，我们可以通过()f t 来研究()y g x =的有关性质.22()():t x a y t g x x a x t y =+===+−−−→−−−→111():1y t x tg x x t y x ==+=−−−→−−→+121()2:tt x y x g x x t y =+=+=−−−→−−−→2log 12()log (1):y t t x g x x x t y ==+=+−−−→−−−→2sin 2()sin sin :t xy at bt cg x a x b x c x t y ==++=++−−−→−−−−→2()2:xt y t bx g x b x t y ==+=+−−−→−−−→ 2()2:xt y at x g x a x t y ===−−−→−−−→sin sin():t x y ty x x t y ωϕωϕ=+==+−−−→−−−→对于这样的函数，我们只要搞清楚它的原函数是谁，变换关系怎样，即搞清楚这些复杂的函数是由哪个函数经过怎样的换元构造而成的，就可以通过原函数与变换关系来研究新函数.在由原函数()f t 构造新函数()[()]g x f u x =的过程中，()t u x =是联结原函数与新函数的桥梁，它实际上给出了原函数到新函数的变换关系.2. 换元法中的运算问题对于新函数()[()]g x f u x =，其运算过程如下：()()t u x y f t x t y ==−−−→−−−→,这实际上是把由x 到y 的运算由一步分成了两步: ()t u x x t =−−−→,()y f t t y =−−−→,其中，x 与t ，,t 与y 是直接关系，而x 与y 则是间接关系.在这x ,t ,y 三个量之间的运算可形成如下四种结构:操作流程:①、画出结构图：②、在①②③三个位置摆关系（有关系摆关系，无关系摆字母） ③、搞清知谁求谁 ④、选择运算例1.2()sin 2sin 3g x x x =++的值域是 .例2.求2sin(2)3y x π=+的最大值及函数取得最大值时x 的集合求函数的最大值：例3．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)=_________ 答案：152sin 23t xy t t x t y ==++−−−−→−−−−−→①②22sin 3t x y t x t y=+=−−−−→−−−−→①②12()t xy f t x ty =-=−−−−→−−−−→①②例4.[2013·全国卷] 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )练习题1.已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )2.已知函数f(2x+1)的定义域为(－1，0)，则函数f(x)的定义域为( )3.设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是 ( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋74．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)=_________ 5. 已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.6（14乌市三模15）定义在R 上的函数)(x f 单调递增，且对任意),0(+∞∈x ，恒有1)log )((2=-x x f f ，则函数)(x f 的零点为________________.答案：217、设一次函数y =()f x (x ∈R)为奇函数，且1(1),(5)2f f ==（ ）（2014年一模）A. 52 B. 1 C.3 D. 5 选A8、定义在R 上的函数()f x 满足()f x = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则(2009)f 的值为A.-1B. 0C.1D. 2 选c21()t x y f t x t y =+=−−−−→−−−−→①②9（2006全国1文8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =A B ．2 C ． D ．4 选D10.已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x答案：C11．已知函数f(x)对任意的x 、y ∈R 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(1)＝f(1)＝2.12. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，求a ＋3b 的值。