引而自发-由一道课本习题看数学作文的尝试

引而自发:由一道课本习题看数学作文的尝试
摘要：数学作文是“发现式学习”的一种有效形式. 本文着重展示了在一道课本习题的基础上开展数学作文的活动，其中学生的成果和教师的精心组织以及认真批阅都充分体现了数学作文对于
培养学生发散思维的积极作用.
关键词：课文习题；数学作文；发现式学习
学习从方式上来说，大致可分成“接受式学习”和“发现式学习”两类. 接受式学习是我们所熟知的，它的主要形式是教师讲、学生听. 而与前者不同，发现式学习是以学生的主体地位和以学生的发展为本来设计学习方式的. 这种学习方式关注的是学习过程和学
习方法. 与之相适应的，数学作文是以借鉴语文作文的形式，在教师的点拨下，让学生亲身去经历、感受、探索和发现，体验成功和失败，尝试正确和错误. 这种探索有明确的课题和目标，并通过小组合作互动来进行；探索和评估都带有过程性、开放性，教师只是一位参与者，他既是学生的教师，也是学生的学生，接受着学生对探索活动的评估. 下以一道习题为例展示数学作文的布置和师生
的交流过程.
作业：如图1，直线y=x-2和抛物线y2=2x相交于点a，b，求证：oa⊥ob.
要求：以这道习题的解法、变式、拓展等方面为内容，写一篇数学作文；以学习小组形式完成.
几天后，作文上交，作文和评注经简单如下.
作文一
习题的解法
证法一：将y=x-2代入y2=2x中，得（x-2）2=2x，化简得x2-6x+4=0，解得x=3±，y=1±，因为kobkoa=×=－1，所以oa⊥ob.
证法二：同证法一得方程x2-6x+4=0，由一元二次方程根与系数的关系，可知x1+x2=6，x1x2=4. 可得y1y2=（x1-2）（x2-2）=-4，因此kobkoa=×=－1，于是oa⊥ob.
证法三：由证法一得方程：x2-6x+4=0，同理得方程y2-2y-4=0. 两式相加得：x2+y2-6x-2y=0，方程表示的是以ab为直径的圆，显然原点o在圆上，因此oa⊥ob.
批注证法一的解法思路自然，易理解. 但计算相对烦琐. 当方程中系数为字母或绝对值较大时，证法二比证法一简单，对于椭圆、双曲线更是如此. 证法三思路比较新颖，可以拓展知识面，但推广应用有局限性.
当然，此题也可运用向量知识来解，希望加以思考.
作文二?摇?摇?摇?摇?摇
习题的变式
①直线y=x-2和抛物线y2=2px（p>0）相交于点a，b，且oa⊥ob，求p.
②直线y=kx-2和抛物线y2=2x相交于点a，b，且 oa⊥ob，求
k.
③直线y=x+b和抛物线y2=2x相交于点a，b，且 oa⊥ob，求b. 以①为例作解答，其他以此类推，仅提供答案.
解：①将y=x-2代入y2=2px中，得x2-（4+2p）x+4=0. 易得
x1+x2=4+2p，x1x2=4. 因而y1y2=（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4，又由垂直可得x1x2+y1y2=0，故2x1x2-2（x1+x2）+4=0，解得p=1.
同理易得②k=±1，③b=0或b=-2.
批注上面的三种变式通过某些条件与结论的置换，扩大了视野，丰富了知识，但深度不够！且有些答案有误.内容亦可进一步加深. 如下例，请自解.
引申：直线y=kx+b和抛物线y1=2px （p>0）相交于点a，b，且oa⊥ob. 求证：直线过定点.
?摇?摇以上两篇作文是大多数学习小组所撰写的，研究的结果稍显粗浅，但培养了学生的创新能力. 当然这次作业中，也出现了百花齐放、百家争鸣的现象，不一一述说，仅看以下几例：
作文三
习题的拓广一
引：直线y=k（x-2p）和抛物线y2=2px （p>0）相交于点a，b，求证：oa⊥ob.
分析：把y=k（x-2p）代入y2=2px，得k2x2-（4pk2+2p）x+4p2k2=0，
所以x1+x2=，x1x2=4p2，且y1y2=k2［x1x2－2p（x1+x2）+4p2］. 于是kobkoa=×==－1，因此oa⊥ob.
批注把特殊的结果一般化，具有“画龙点睛”之效. 但仍可进一步思考：结果与该直线的何种特点有联系，不妨一试.
作文四
习题的拓广二
直线y=x-a（a>2）和抛物线y2=2x相交于点a，b（位于x轴两侧），点c（a，0）.
①当c向x轴正方向移动时，∠aob如何变动？
②何时∠aob=135°？
解①当c向x轴正方向移动时，∠aob越变越小. ②将y=x-a代入y2=2x中，得x2+（-2a-2）x+a2=0，由上可知：tan45°====
＝====1. 解得：a=12或a=0（舍去），所以a=0.
批注变静为动，具有求新精神！但我觉得：首先，第一小题应给予说明，且加以归纳总结：∠aob变动由何因素决定？其次，能否将直线或抛物线方程一般化，从而“功德圆满”. 此题我也未研究过，希望和你们（学习小组）加强合作，一起去探索这一问题！作文五
习题的拓广三
直线y=x-2和抛物线y2=2px（p>0）相交于点a，b，且oa⊥ob，求p.
解：将y=x-2代入y2=2px中，得x2-（4+2p）x+4=0，*易得
x1+x2=4+2p，x1x2=4. 从而y1y2=（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4，因此x1x2+y1y2=2x1x2-2（x1+x2）+4=4-4p. 又因为oa⊥ab，所以=－1，整理得x1x2+y1y2=x+y. 又由*得x=（4+2p）x1-4，又y=2px1，故4－4p=（4+4p）x1－4. 而x1=，故4－4p=（4+4p）［2+p+］－4，整理得=.
因为p>0，所以p无解.
批注此题对垂直条件进行了换位，题目就发生了微妙的变化，虽然结果无解，但是这种探究的思想和方法值得提倡. 不过我们不应浅尝辄止，能否进一步思考：①如何改动直线方程使p有解？②若ob⊥ab呢？
在发现式学习的过程中，可以培养学生的发散思维能力. 发散思维是对数学问题进行多方向、多角度的思考，不局限于既定知识的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式. 学生在完成数学作文的过程中联想丰富、思路开阔、寻求变异，它对推广原问题，引申旧知识，发现新方法等具有积极的推动作用. 教材的表述侧重于集中思维，对于发散思维的描述和再现需要通过教师对教材的处理和分析来进行补充和加强. 数学作
文值得一试！。