第六讲 数字问题(积的个位数)
同余法解题完整版
同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
三年级上册数学.6 多位数乘一位数第6课时 解决问题(1) (2)
第6课时解决问题(1)创设情境，引入新课。
（6分钟）为48元的书。
你认为她带多少钱合适？2.导入新课。
在生活中经常遇到类似的问题，只需要估算出大概值，不需要准确值。
这节课我们一起来学习乘法的估算。
论：一本书大约50元，3本书大约150元，小明的妈妈带150元就够了。
2.明确本节课的学习内容。
39 41 52 48 63 59 17 22最接近20的数：（）最接近40的数：（）最接近50的数：（）最接近60的数：（）答案：22 39、4152、48 63、592.估一估。
405×9≈710×4≈399×2≈496×3≈答案：3600 2800 800 15003.解决问题。
（1）买8辆玩具小汽车大约要多少钱？（2）买4架玩具飞机要多少元钱？答案：（1）97×8≈800（元）（2）105×4=420（元）二学习新知。
（25分钟）课件出示教材第70页例7。
1.读题,明确题意。
（1）从题中你了解到哪些信息？（2）讨论：怎么列式子？2.根据题意估算这道题的得数。
你打算怎样估算呢？思考：能把29×8转化为学过的口算乘法吗？板书：因为29接近30这个整十数，所以我们把29看成30，30×8=240，所以29×8大约等于240。
和250比较后发现带250元钱购买门票够了。
1.读题交流信息，明确要解决的问题，并列出算式：29×8。
2.先集体交流，再仔细思考老师的板书。
3.听老师的讲解，认识约等号。
4.学生讨论交流得出：把多位数看作与它接近的整十、整百数，卷面(3分)。
我能做到书写端正，卷面整洁。
知识技能(67分)一、我会填。
(每空1分，共25分)1.一节课是（）分钟，再加上（）分钟是1小时。
时针在6和7之间，分针指向8，此时是（）。
3.在括号里填上合适的单位。
一元硬币大约厚2（）两头牛重约1000（）武汉地铁1号线长约39（）一场足球比赛的时间是90（）4.在括号里填上合适的数。
积的个位数字
积的个位数字专题导引要求积的个位数字，可以从研究积的个位数出现的规律着手解答。
1、几个数连乘有一个数的末位上的数为0，积的末位上的数就为零；2、末位数字相同的几个数连乘，积的末位数字必呈周期出现；例题选讲例1、计算159×169×179×189×199的积的个位数。
巩固练习计算：18×28×38×48×58×68×78×88×98的积的个位数。
例2、计算36×37×38×39×46×47×48×49的积的个位数。
巩固练习计算21×23×25×27×41×43×45×47的积的个位数。
例3、计算43×43×…×43+28×28×28×…×28的结果的个位数。
30个43 30个28巩固练习计算87×87×…×87－48×48×…×48的结果的个位数。
20个87 20个48当堂测试1、计算1×2×3×…×19×20的积的个位数。
2、计算203×213×223×…×283×293的积的个位数。
3、计算32×34×36×38×42×44×46×48×52×54×56×58的积的个位数。
4、计算52×52×…×52＋43×43×…×43的结果的个位数。
10个52 10个435、计算79×79×…×79－34×34×…×34的结果的个位数。
积的个位数
积的个位数：1、计算1×2×3×4×5×6×……×27的积的个位数是多少?2、计算20082008－20072007差的个位数是多少?3、计算22××23×24×25×……×178×179的积的个位数有多少个0?4、1×2×3×4×5……×98×99×100的积的末尾有多少个0?5、计算：36×37×38×39×46×57×48×49的积的个位数。
6、计算159×169×179×189×199的积的个位数。
7、26×27×28×29×36×37×38×39×46×47×48×49的积的个位数是8、13×19×25×31×……×133的积的末尾有个零?9、小于1991的自然数中，所有奇数的积的个位数字是__________。
10、5×6×7×……×14×15所得的积的百位、十位、个位上的数字分别是________。
11、100个3连乘的积减去5，所得的差的个位数字是______。
12、要使乘积195×86×72×380×□的末五位数都是零，□中应填的自然数最小是___________。
13、1×2×3×4×……×n的积的末尾有20个连续的0，n最大是多少？最小是多少？14、1995个8的连乘积减去1995个7的连乘积，差的个位数字是多少？15、20072007-20062006的积的个位数字是？16、小于2007的自然数中，所有奇数的积的个位数字是__________。
五年级举一反三第六讲尾数和余数
尾数和余数【知识要点】一自然数末位数称自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
【例题选讲】二1、写出除 213 后余 3 的全部两位数。
2、（1） 125 ×4442444× 125 14 125 × 125 × (43)100 个125积的尾数是几？（2） 9 ×4× 92……49 积的个位数字是几？ 1 9 4 × 44× 4 351个 9（3） 23423 × 23 ×……× 3 × 18 44424443 的个位数字是几？ 1 × 44 2444 23 1× 18 × 18 ×……× 18 4 42000 个 23 2001个183、 44424 4 ÷6，当商是整数时，余数是几？ 1 …… 4 3100 个 44、有一列数，前两位数是 3 与 4，从第 3 个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第 2001 个数除以 4，余数是多少？5、甲数除以 9 余 7，乙数除以 9 余 5。
（1）甲、乙两数的和除以 9 余数是多少？（2）甲、乙两数的差除以 9 余数是多少？（3）甲、乙两数的鸡除以 9 余数是多少？【能力训练】三、能力训练】【能力训练练习一 1、写出除 109 后余 4 的全部两位数。
2、178 除以一个两位数后余数是 3，适合条件的两位数有哪些？3、写出除 1290 后余 3 的全部三位数。
练习二 1、 21 × 26）× (21 × 26 ) ×……× (21 × 26 ) 积的尾数是几？（144444424444443 4 4100 个 ( 21× 26 )2、 4 × 4 4 2……44 积的个位数字是几？ 14× 4 × 44× 4 350 个 430.7 ×47 4 .7 ……× 47 × 0.6 × 46 4 .6 ……× 46 积的尾数是多少？×2 ×2 14 0. 4 0 444 0. 3 14 0. 4 0 444 0. 32002 个 0。
人教版数学三年级上册 第六单元 多位数乘一位数 解决问题 课件(17页ppt)
1
12 ÷ 3 × 6 = 4× 6 = 24（块）
6÷ 3×12 = 2×12 = 24（块）
知识运用
同学们大扫除，3名同学擦12块玻璃。 （1）照这样计算，6名同学可以擦多少块玻璃？ （2）教室共有36块玻璃，一共需要几名同学？
2
36÷（12÷ 3） = 36÷4 = 9（名）
36÷12×3 = 3×3 = 9（名）
人教版 三年级上册
解决问题 （例8）
学习目标
学会分析应用题中的数量关系，能运用画图的方法解决 问题。 使学生学会用乘除混合运算解决生活中关于单价和总价 的实际问题。 通过小组合作交流，提高学生灵活解决问题的能力。
情境导入 小梦3天看了27页书，她每天看几页书？
根据除法的意义，列 式为27÷3=9（页）。
新课讲解
妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗， 需要多少钱？
买8个碗48元，48÷8=6计，算的正确吗？
怎么检验呢？
一个碗6元，3个碗18元。 对了！
新课讲解
妈妈买3个碗用了18元，30元可以买几个这 样的碗？
先求出一个碗的价
18 ÷格3，=再6算（30元元）可以
买几个碗。
30 ÷ 6 = 5（个）
1
24 ÷ 3 × 7 = 8× 7 = 5就6是（3页天读）24页
的阅读速度。
2
64÷（24÷3） = 6你4÷怎8么样解理决解这“个照 = 8这（问种天题速）呢度？”的？
知识运用
同学们大扫除，3名同学擦12块玻璃。 （1）照这样计算，6名同学可以擦多少块玻璃？ （2）教室共有36块玻璃，一共需要几名同学？
课堂游戏
击败外星人
地球被外星人占领，需要小朋友 们一起来击败外星人，保卫地球。请 你们解决下列的问题，并选择正确答 案，选择正确则可发射炸弹击败外星 人。小朋友们，保卫地球就靠你们啦！
整式及其加减(一)
第六讲 整式及其加减（一） 字母表示数 知识点：用字母可以表示：○1数及数量关系；○2图形的周长、面积；○3数字、图形的变化规律；○4列等量关系。
【典型例题】1、用字母a ，b 表示两个数，则：（1）a 与b 的平方和是 ；（2）a 与b 的平方差是 ；（3）a 与b 的和的平方是 ；（4）a 与b 的差的平方是 ；（5）a 与b 的积的2倍的相反数是 ；（6）a 的倒数与b 的绝对值的31的和是 。
2、若一个圆的半径为8-r ，则圆的面积=S 。
3、（1）每台电脑售价为x 元，降价0010后每台电脑的售价为 。
（2）a kg 商品的售价为p 元，则6 kg 商品的售价为 元。
（3）三个连续自然数，中间的一个为n ，则另外两个分别为 和 。
4、在一次考试中，某班28名男生的总分是m 分，26名女生的平均分是n 分，这个班的平均分是（ ）A 、542628n m + 分B 、5426n m + 分C 、54nm + 分 D 、54)(28n m + 分5、按一定规律排列的一列数：2，4，6，8，10…第)1(+n 个数是 。
6、如图，阴影部分面积可以表示为（ ）A 、bc ab +B 、)(d b c ad -+C 、)()(c a d d b c -+-D 、cd ab +7、若一个三位数的百位数字是a ，十位数字是b ，个位数字是c ，则这个三位数可表示为 。
代数式知识点： 1、定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：○1代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；○2代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
○3代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※2、代数式的书写格式：○1代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ； ○2数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如a 4； ○3带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如a ⨯312应写作a 37； ○4数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ○5在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如)4(4-÷a 应写作44-a ； 注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
数学三年级-复习第六讲-万以内数的认识-提升版(学生版)人教版
第6讲万以内数的认识1、“一、十、百、千、万〞是我们学过的五个计数单位，分别在个位、十位、百位、千位、万位上表示。
相邻两个计数单位之间的进率是10。
10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万。
万千百十个2、数位顺序表里：从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是万位。
2、读数和写数都从高位起。
万以内数的读法：读数时，要从高位读起，万位上是几就读几万，千位上是几就读几千，百位上是几就读几百，十位上是几就读几十，个位上是几就读几，中间有一个“0〞或者连续两个“0〞就只读一个“零〞，末尾不管有几个0都不读。
3、万以内数的写法：写数时，也要从高位写起，几个千就在千位上写几，几个百就在百位上写几，几个十就在十位上写几，几个一就在个位上写几，哪一位上一个数字也没有就写“0〞占位。
4、数的组成：就是看每个数位上是几，就有几个这样的计数单位组成。
例：5、数的大小比拟的方法：①位数多的大于位数少的数；②位数相同时，就比拟最高位上的数字，数字大的这个数就大，反之就小；③如果最高位上的数字相同，就比拟下一位上的数，依次类推。
6、最大的一位数：9，最小的一位数：1最大的两位数：99，最小的两位数：10两位数最高位是十位。
最大的三位数：999，最小的三位数：100三位数最高位是百位。
最大的四位数：9999，最小的四位数：1000四位数最高位是千位。
最大的五位数：99999，最小的五位数：10000.五位数最高位是万位。
最低位都是个位。
7、近似数：与准确数很接近的整十、整百、整千的数。
“大约〞“可能〞“大概〞出现就是近似数。
两位数的看个位上的数估算，三位数及三位数以上的看十位上的数估算。
〔四舍五入〕〔1〕能判断那样的数是近似数？哪样的是准备数？〔2〕能找准一个数的近似数。
8.整百、整千的加减法。
〔2〕进位、退位加减法9.用估算策略解决问题。
典例精讲【典例1】〔2021春•武侯区校级期中〕与499相邻的两个数是〔〕A．497和498B．500和501C．498和500【典例2】〔2021春•十堰期末〕李军家种果树460棵，张鑫家比李明家种的多得多，张鑫家种〔〕棵．A．420B．490C．1060【典例3】〔2021秋•北票市期末〕一个三位数，个位上是3，十位上是0，百位上的数是个位上数的2倍。
四年级上册数学教案《积的变化规律》人教版
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了积的变化规律的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对积的变化规律的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.符号意识：使学生能够理解并运用符号表示数学关系，掌握因数与积之间的变化规律，提高解决问题的能力。
3.运算能力：培养学生熟练进行乘法运算，运用积的变化规律进行简便计算，提高计算速度和准确度。
4.模型思想：通过建立因数与积之间的数量关系模型，让学生运用模型解释现实问题，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
-通过实例计算，如32×3和320×3，让学生观察积的变化，理解规律。
2.教学难点
（1）理解因数与积之间的数量关系，尤其是因数扩大（或缩小）与积扩大（或缩小）的倍数关系。
（2）在具体问题中，应用积的变化规律进行简便计算。
（3）解决实际问题时，建立数学模型，运用积的变化规律求解。
举例：
-难点一：当因数从3变为6（扩大2倍），积并非扩大2倍，而是扩大3倍。需要解释清楚因数与积的倍数关系。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一个因数不变时，另一个因数与积的倍数关系这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与积的变化规律相关的实际问题，如购物时价格和数量的变化。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过改变一个因数，观察积的变化，验证积的变化规律。
三年级上册数学教案 -多位数乘一位数第6课时 解决问题(1)人教版
三年级上册数学教案 - 多位数乘一位数第6课时解决问题（1）人教版一、教学目标1. 知识与技能：使学生能够运用多位数乘一位数的计算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、交流等学习活动，培养学生的动手操作能力、观察能力和团队合作能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索问题、解决问题的欲望。
二、教学内容1. 乘法在生活中的应用2. 多位数乘一位数的计算法则3. 解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：多位数乘一位数的计算法则在解决实际问题中的应用。
2. 教学难点：如何引导学生运用所学知识解决实际问题。
四、教学过程1. 导入利用多媒体展示生活中的实例，引导学生观察并发现其中蕴含的数学问题，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入（1）引导学生回顾多位数乘一位数的计算法则。
（2）通过实例讲解，让学生了解乘法在生活中的应用。
（3）引导学生尝试运用所学知识解决实际问题。
3. 实践操作（1）分组进行实际操作，让学生在动手操作中感受数学的魅力。
（2）引导学生观察、交流，培养学生的观察能力和团队合作能力。
4. 小结（1）引导学生总结本节课所学的多位数乘一位数的计算法则。
（2）强调乘法在生活中的应用，让学生认识到学习数学的重要性。
5. 作业布置（1）课后练习：完成教材P56页练习题。
（2）思考题：如何运用多位数乘一位数的计算法则解决更多实际问题？五、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的表现，及时调整教学策略，提高教学效果。
2. 注重培养学生的动手操作能力、观察能力和团队合作能力。
3. 教师要关注学生的作业完成情况，及时发现问题并给予指导。
六、板书设计1. 板书多位数乘一位数解决问题（1）2. 板书内容：（1）多位数乘一位数的计算法则。
（2）乘法在生活中的应用。
（3）解决实际问题的方法。
本节课通过讲解、实践操作、小结等环节，让学生掌握了多位数乘一位数的计算法则，并能够将其应用于解决实际问题。
五年级奥数题及答案-积的个位数字
五年级奥数题及答案-积的个位数字
编者小语:为了丰富同学们的学习生活，五年级奥数题栏目为同学们搜集整理了有关五年级的奥数类试题，供大家参考，希望对大家有所帮助!
五（1）班有学生38 人，他们住在同一条街的同一侧；他们家的门牌号数分别是7 号、17 号、27 号、37 号、47 号、……、357 号、367 号、377 号。
把他们38 家的门牌号数相乘，所得的积的个位数字是几？
解答：若干个数相乘的积，其个位数字决定于这若干个数的个位数字的乘积的个位数字。
38 家的门牌号数相乘，其积是：7×17×27×37×47×……×367×377观察上面算式可以看出，每个因数个位数字都是7.通过计算，不难发现，若干个7 的乘积的个位数字有如下规律：7 的个位数字是7；75 的个位数字是7；72 的个位数字是9；76 的个位数字是9；73 的个位数字是3；77 的个位数字是3；74 的个位数字是1；78 的个位数字是1.由上面可见，7 的若干个数连乘，所得的积的个位数字只有7、9、3、1，并且按这个顺序重复出现。
因此，若干个门牌号连乘，其积的个位数字也有同样的规律。
根据这个规律，很快推出：38÷4=9……2，余数2 表示38 家的门牌号连乘，其积的个位数字是7、9、3、1 中的第二个数字，即是9.。
第6讲 多位数乘一位数(学生版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)人教版
第6讲多位数乘一位数知识点一：口算乘法1.整十、整百、整千数乘一位数的口算方法：先把整十、整百、整千数0前面的数与一位数相乘，计算出积后，再看因数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
2.两位数乘一位数（不进位）的口算方法：口算两位数乘一位数，先把两位数分成几个十和几个一，再分别与一位数相乘，最后把得到的两个积相加。
知识点二：不进位笔算乘法多位数乘一位数（不进位）的笔算方法：笔算多位数乘一位数(不进位)时要注意:相同数位要对齐，从个位开始乘起，用一位数依次去乘多位数中的每一位上的数，与哪一位上的数相乘，积就对应写在那一位的下面。
知识点三：不连续进位乘法多位数乘一位数（不连续进位）的笔算乘法：计算多位数乘一位数，用一位数分别去乘多位数的每一位（从个位乘起），哪一位上相乘满十，一定要向前一位进位，每一位相乘后要加上进位的数。
知识点四：连续进位乘法多位数乘一位数(连续进位)的笔算方法：相同数位要对齐，从个位乘起，用一位数分别去乘多位数每一位上的数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几。
千万不要忘记加进位数。
知识点五：一个因数中间有0的乘法1.0和任何数相乘都得0。
2.因数中间有0的乘法与没有0的乘法计算方法相同，计算时从个位起，用一位数依次去乘另一个因数每一位上的数，在与中间的0相乘时，如果没有进位，可直接写0占位，如果有进位，必须加上进上来的数。
知识点六：一个因数末尾有0的乘法在进行因数末尾有0的乘法简便运算时，要注意两点：1.我们把一位数与多位数0前面的那个数字对齐。
2.多位数末尾有几个0，就在积的末尾添几个0。
知识点七：解决估算问题两、三位数乘一位数的估算方法：把两、三位数看成与它最接近的整十、整百、整千数，再按照整十、整百、整千数乘一位数的口算方法来算，估算出积的近似值，中间用“≈”连接。
知识点八：用乘除两步解决——归一问题解决此类“归一”应用题的关键是先根据条件求出单一的量，再用这个单一的量解决相关的实际问题。
七彩课堂三年级上册数学第六单元多位数乘一位数
七彩课堂三年级上册数学第六单元多位数乘一位数
在三年级上册数学第六单元中，学生将学习多位数乘一位数的运算。
这个单元的目标是让学生熟练掌握多位数与一位数的相乘运算方法。
在这个单元中，学生将学习如何将多位数与一位数进行相乘，计算出正确的答案。
在教学过程中，老师会引导学生理解相乘的意义和算术运算的规则，帮助他们构建正确的计算思维和解决问题的能力。
学生们需要掌握以下内容：
1.理解相乘的意义和数学符号。
2.掌握相乘的基本规则和方法。
3.利用竖式算法进行多位数与一位数的相乘运算。
4.在实际问题中应用多位数与一位数相乘解决问题。
通过这个单元的学习，学生将提升他们的数学计算能力和问题解决能力。
他们将能够灵活运用所学的知识解决多位数与一位数相乘的问题，并且理解数学运算的意义和应用。
数字运算问题计算与的和差积和商分别是多少并将结果四舍五入到个位数
数字运算问题计算与的和差积和商分别是多少并将结果四舍五入到个位数数字运算是我们日常生活中经常遇到的问题，对于计算和运算结果的处理是非常重要的。
本文将介绍数字运算问题中和、差、积和商的计算，并将结果四舍五入到个位数。
一、和的计算：和是指将两个或多个数值相加得到的结果。
在计算和时，我们将给定的数值加在一起即可。
例如，计算3和5的和，可以写作3 + 5。
二、差的计算：差是指从一个数值中减去另一个数值得到的结果。
在计算差时，我们将被减数减去减数即可。
例如，计算8减去4的差，可以写作8 - 4。
三、积的计算：积是指将两个或多个数值相乘得到的结果。
在计算积时，我们将给定的数值相乘即可。
例如，计算2和6的积，可以写作2 × 6。
四、商的计算：商是指将一个数值除以另一个数值得到的结果。
在计算商时，我们将被除数除以除数即可。
例如，计算10除以2的商，可以写作10 ÷2。
除了基本的计算操作，我们还需要将计算结果四舍五入到个位数。
四舍五入是一种常见的数值处理方式，它指的是将小数位数多的数值按照一定的规则进行近似处理，使其变为更加整齐的数值。
在本文中，我们将结果四舍五入到个位数，即保留整数部分并忽略小数部分。
下面我们来具体计算和、差、积和商，并将结果四舍五入到个位数：1. 计算和：令数字A为7，数字B为9。
计算A和B的和，即7 + 9：7 + 9 = 16将结果16四舍五入到个位数，即保留整数部分，即为16。
2. 计算差：令数字A为10，数字B为3。
计算A减去B的差，即10 - 3：10 - 3 = 7将结果7四舍五入到个位数，即保留整数部分，即为7。
3. 计算积：令数字A为4，数字B为5。
计算A和B的积，即4 × 5：4 ×5 = 20将结果20四舍五入到个位数，即保留整数部分，即为20。
4. 计算商：令数字A为15，数字B为6。
计算A除以B的商，即15 ÷ 6：15 ÷ 6 ≈ 2.5将结果2.5四舍五入到个位数，即保留整数部分，即为3。
人教版三年级上册数学 第六单元 多位数乘一位数—解决问题 课件ppt
阅读与理解 (1)提取信息 所求问题 用这些钱买9元一个的 碗,可以买几个 所需条件 6 元一个的碗,妈妈买 了6个 。
(2)请你画线段图表示数量关系,理 解题意
画法提示 买6元一个和9元一个的碗的总
钱数相同，所以 线段图中的两条线 段的总 长度相等，且长度适当
分析与解答 (1)思路分析
要求用这些钱买9元一个的碗,可以 买几个,应先求总钱数。
3.回顾与反思
将计算结果带回到原情境中,用逆 推的方法看结果是否与条件相符， 4个9元一个的碗是9X4=36(元),6个 6元一个的碗是6X6=36(元),总价钱 一样,符合题意。解答正确。答:用 这些钱买9元一个的碗,可以买4个。
3.回顾与反思 将计算结果带回到原情境中,用逆 推的方法看结果是否与条件相符买 8个碗用了48元,48÷8=6(元),1个 碗6元,3个碗18元,符合题意。解答 正确。 答:需要 48元。
买6元一个的碗，正好可以买6个。 买6个碗的总价钱，用乘法计算。
6个碗的总价钱 买9元一个的碗 求可以买几个碗，用除法计算。
(2)解决问题 分步列式: 6X6=36(元) 36÷9=4(个) 列综合算式:
6X6÷9 =36÷9 =4(个)
重点提示
先用每份数x份数求出总数，再解 决问题，这样的问题属于归总问题。
知识提炼 用乘除两步。
重点强化笔记 运用估算的知识解决行程问题 【例1]甲、乙两地相距360千米,李 叔叔驾驶汽车以每小时63千米的速 度从甲地开往乙地,如果上午6时出 发,那么他能在中午12时前到达Z地 吗?
思路导引 判断李叔叔能否在中午12时前到达 乙地,可以先求出规定的行驶时间， 列式为（ ）再算规定时间内行驶 的路程,发现63接近60，可以通过 （ ）来解决问题
第六讲数字问题（积的个位数）
第六讲数字问题（积的个位数）数字问题（积的个位数）【基本知识与方法】数字和多种进位制，构成了丰富的数字世界，其中十进制是我们最常见的。
在这满十进一的进位制中，1——9这十个兄弟快乐地生活在一起，这一讲我们就来探索它们的神秘王国。
1.进位原则：同一数字，由于所在数位不同，表示的数值是不相同的。
2.被9、11整除数的特征。
一个自然数，各个数位上的数字和能被9整除，此数可被9整除。
一个自然数若奇数上数位的和与偶数位数字和的差，能被11整除，这个数就能被11整除。
3.奇偶数的性质奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数【经典例题】例1：有三张扑克牌从左到右组成了一个三位数，把最右边的一张红桃2移动到最左边，新数和原数一样大，你能确定另外两张牌的数字是多少吗？分析：设另外的两张牌的数字为a 和b ，原数为ab ab 22=,即ab ab +=+20020,解这个方程可求ab 的值，问题就解决了。
解:设另外两张牌面的数字分别为a 和b ，，则原数为2ab ，新数为ab 2。
221989200210==+=+ab ab abab 所以另外两张牌也是2.（1）有一个5位数，首位是5，如果把5移到个位上，原数和新数一样大，求原数？（2）有一个六位数，如果把最左边的数字3移动到最右边，那么组成的六位数和原数一样大，求原来的六位数是多少？例2：将三张扑克牌从左到右排列，得到一个三位数，这三张牌重新排列，得到的最大三位数和最小三位数之差是原数的4倍，求原数是多少？分析：设三张牌从小到大一次为a,b,c.最大为abc ，最小为cba ，原数的4倍就是 abc -cba =（100a+10b+c ）-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)依分析a-c 等于4或者8当a-c=4时，原数=99×4÷4=99，99不是三位数，不符合题意。
当a-c=8时，原数=99×8÷4=198，符合题意。
人教版小学三年级上册数学精品教学课件 第六单元 多位数乘一位数 6.2.9 “归总”问题
举手回答：说 一说先求什么？
6×6÷9 ＝36÷9 ＝4（个）
答：可以分成4个小组。
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？ 如何解决“归总问题”： 先用乘法求出总量，再用除法求出新每份数 或新的单一量。
妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个，用这 些钱，买9元一个的碗可以买几个？
6×6=36（元） 36÷9=4（个）
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
6×5＝30（个）
答：一共吃了30个胡萝卜。
复习导入
妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个， 用这些钱，买9元一个的碗可以买几个？
举手回答：你得 到了哪些信息？
信息整理：
6元1个—6个 9元1个—？个
复习导入
妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个， 用这些钱，买9元一个的碗可以买几个？
6元
9元
6个
人教版 数学 三年级 上册
6 多位数乘一位数
“归总”问题
复习导入
计算。
4×6÷8 ＝24÷8 ＝3
42÷6×3 ＝7×3 ＝21
30÷6×5 ＝5×5 ＝25
复习导入
5位小朋友共搬了20盆花，平均每个小朋友搬了 多少盆花？
20÷5＝4（盆） 答：平均每个小朋友搬了4盆花。 小白兔1天需要吃6个胡萝卜，吃了5天，一共吃 了多少个胡萝卜？
举手回答：怎 样列综合算式？
答：买9元一个的碗可以买4个。
复习导入
妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个， 用这些钱，买9元一个的碗可以买几个？
回顾与 反思
买6个6元的碗需要： 6×6＝36
买4个（9元元）的碗需要： 9×4＝36（元）
解答正确。
小学奥数题_乘积的个位数
《小学奥数教程：乘积的个位数》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.4784×5589=（）A. 56786B. 26737776C. 256476672.下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积，这个数是（）A. 5096303B. 5096304C. 5096305D. 50963063.125×12.5×1.25×8×8×8积的末尾有（）个零．A. 6B. 7C. 94.2002个203相乘，积的个位是（）A. 7B. 6C. 9D. 35.减去，得数的个位数字是（）A. 0B. 2C. 6D. 86.选择：8746×7576 的积的末四位数字是（）A. 6797B. 9696C. 7669D. 67697.2003年美国密歇根州立大学一位26岁的学生发现了已知最大的质数．这个数是2的20996011次方减1．那么这个数的末位数字是（）A. 1B. 3C. 7D. 98.2+2×3+2×3×3+2×3×3×3+…+的个位数字是（）A. 2B. 8C. 4D. 69.减去，得数末尾数字是（）10.下面哪个数是2×12×22×32×42×52的积？（）A. 36900862B. 36900864C. 36900866D. 3690086811.2006个8连乘，积的末位上的数字是（）A. 8B. 6C. 2D. 412.计算25×25×25×25×25的积是（）A. 9765623B. 9765624C. 9765625D. 976562013.31001×71002×131003的末尾数字是（）A. 3B. 7C. 9D. 1314.100×101×102×103×…×199×200这101个数相乘，积的末尾连续有（）个0？A. 25B. 26C. 27D. 2815.20以内所有质数的乘积，末尾数字是（）A. 1B. 5C. 016.202个3相乘，得到的积的个位上的数是（）A. 1B. 2C. 7D. 917.把2007个2007相乘，所得结果的个位数字是（）A. 1B. 3C. 7D. 918.如果用256分别乘以下五个数，那么哪一个数与256相乘所得到的乘积中末尾含零的个数最多？答（）A. 10000B. 7500C. 5000D. 3125E. 125019.2008个7乘以2009个8的乘积的个位数字是（）A. 2B. 4C. 6D. 820.123123的个位数字是（）A. 1B. 9C. 7D. 521.一串数5，8，11，14，17，20，…，200的规律是：第一个数是5，以后各数均是前一个数加3，直到200为止，将这串数相乘，积的尾部的0的个数是（）22.的个位数字是（）A. 0B. 8C. 2D. 623.2013×2013×2013×…×2013（2014个2013）的个位数字是（）A. 3B. 9C. 7D. 1二、判断题24.判断对错积的末尾有0，那么因数的末尾一定有0。
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数字问题（积的个位数）【基本知识与方法】数字和多种进位制，构成了丰富的数字世界，其中十进制是我们最常见的。
在这满十进一的进位制中，1——9这十个兄弟快乐地生活在一起，这一讲我们就来探索它们的神秘王国。
1.进位原则：同一数字，由于所在数位不同，表示的数值是不相同的。
2.被9、11整除数的特征。
一个自然数，各个数位上的数字和能被9整除，此数可被9整除。
一个自然数若奇数上数位的和与偶数位数字和的差，能被11整除，这个数就能被11整除。
3.奇偶数的性质奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数【经典例题】例1：有三张扑克牌从左到右组成了一个三位数，把最右边的一张红桃2移动到最左边，新数和原数一样大，你能确定另外两张牌的数字是多少吗？分析：设另外的两张牌的数字为a 和b ，原数为ab ab 22=,即ab ab +=+20020,解这个方程可求ab 的值，问题就解决了。
解:设另外两张牌面的数字分别为a 和b ，，则原数为2ab ，新数为ab 2。
221989200210==+=+ab ab abab 所以另外两张牌也是2.（1）有一个5位数，首位是5，如果把5移到个位上，原数和新数一样大，求原数？（2）有一个六位数，如果把最左边的数字3移动到最右边，那么组成的六位数和原数一样大，求原来的六位数是多少？例2：将三张扑克牌从左到右排列，得到一个三位数，这三张牌重新排列，得到的最大三位数和最小三位数之差是原数的4倍，求原数是多少？分析：设三张牌从小到大一次为a,b,c.最大为abc ，最小为cba ，原数的4倍就是 abc -cba =（100a+10b+c ）-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)依分析a-c 等于4或者8当a-c=4时，原数=99×4÷4=99，99不是三位数，不符合题意。
当a-c=8时，原数=99×8÷4=198，符合题意。
【随堂练习】1.一个三位数，各个数位数字均不为0，把其中的数字重新排列，最大数与最小数的差为594，求原数中三个数字之和最大是多少？2.一个三位数，各个数位上的数字均不为0，把其中的数字重新排列得到的所有新的三位数中两两相减（大减小），最大的差为198，求原来的三位数是多少？例2：用A 、2、3、4四张扑克牌，可以组成许多不同的四位数，这些数的总和是多少那？分析：A 代表数字1，234A 这组数列就代表数字1、2、3、4，A 、2、3、4可以组成四位数共有4×3×2×1=24（个），如果我们能求出A 、2、3、4四张扑克牌在它们组成的所有四位数中代表值的总和是多少，就能求出这些数的总和。
先考虑A 在千位上时，有3×2×1=6中不同数出现，这些数位上A 代表的和为6×1000=6000，同理百位上6×100=600，十位上6×10=60，个位上6×1=6，所以A 在所组成的四位数中，所代表值的总和是1×6666=6666.再考虑2、3、4道理同上，它们各自所组成的所有四位数中，所代表值的和分别为2×6666，3×6666，4×6666.总和现在就可以求了。
解：1×6666+2×6666+3×6666+4×6666=10×6666=66660说明：用a 、b 、c 、d 组成4位数的总和公式=（a ＋b ＋c ＋d ）×6666。
【随堂练习】1.有3、5、6、7四张扑克牌，可以组成多少个不同的四位数？这些数的总和是多少？2.有标有3、5、6、7这四个数字的卡片四张，可以组成很多不同的四位数，这些数的总和是多少？3.上面两个问题的答案一样吗？为什么？例3.4×5×7×11×13×15×17所得积的各个数位上的数字和是多少？分析：15=3×5，5×5×4=100，所以积的个位，十位肯定为“0”，不影响积各个数位上的数字的和，现在要看3×7×11×13×17所得的积的各个数位上的数字之和是多少。
7×11×13=1001，3×17=51，51×1001=51051，51051×100=5105100，问题就可以解决了。
解： 4×5×7×11×13×15×17= 3×4×5×5×7×11×13×17=7×11×13×3×17×100=1001×51×100=51051×100=5105100因此原式所得：积的各个数位数字和为5＋1＋5＋1=12【随堂练习】1．4×5×7×11×13×15×67所得积的各个数位上的数字和是多少？2．3×4×5×7×11×13×15×29例4：若defabc abcdef ⨯=⨯43，则a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f=?分析：观察原式，它是把前三位和后三位调换了位置，设n def M abc ==,，简化问题，可列算式为3（1000m+n ）=4(1000n+m),解此式可求出结果。
解： 设n def M abc ==,，依题意有3×（1000m+n ）=4×(1000n+m)3000m+3n=4000n+4m2996×m=3997×n428×m=571n要使二式相等，只有使m=571,n=428.a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f=5＋7＋1＋4＋2＋8=27【随堂练习】（1）现在有4个4位数，分别是,123,412,341,234d c b a 它们的一些位数上的数字已经看不清了，且知它们的平均数为1234，求a,b,c,d 分别是多少？（2）已知四个四位数，分别是d c b a 412,234,432,234，其中a,b,c,d 为未知的数字，且知它们的平均数为5555.求a 、b 、c 、d 分别是多少？例5.已知下式成立1a21a a321a a a + 4321a a a a41 8 24321,,,a a a a 各代表不同的数字，求4321a a a a ？分析：观察全式，可发现1a =3或4，或1a =4，则21a a +不可向前进位，即4+1a =1,这是不可能的，所以 1a =3.1a =3, 21a a +=□1,2a 可能为7或者8，若82=a ，3+8=11，321a a a 不可能向前进位，即3+8+3a 不向前进位与事实相矛盾，所以72=a 。
此时43,a a 可以唯一地确定为8和4. 解：依据分析：原式中的4321a a a a =3784【随堂练习】（1）已知下式成立，1a21a a321a a a4321a a a a +54321a a a a a1 3 7 1 5 求54321,,,,a a a a a 分别是多少？（2）1a21a a321a a a4321a a a a +54321a a a a a2 6 0 6 0求由54321,,,,a a a a a 这5个数字组成的5位数中最大的是哪个数？例6.连乘积20×21×22×...... ×49×50末尾有几个零？分析：×要看末尾有几个零，必须要看它能被多少个10整除。
而10的质因数是2和5，也就是在连乘积中，2和5这两个因数出现几对，连乘积就能被几个10整除，积的末尾也就有几个零。
解：从本题看，能被5整除的数有20、25、30、35、40、45、50共有7个，其中25和50都能被5×5整除，也就是各含2个质因数5，所以七个数中有9个质因数5.能被2整除的有20、22、24、26…….我们发现，所含有质因数2的个数超过9个。
所以2和5最多只能配9对，也就是连乘积最多能被9个10整除，故连乘积的末尾有9个零。
【随堂练习】1.从1开始一直乘到100得到一个数，这个数末尾有多少个零？2．已知：符号n n i i a a a a⨯⨯⨯=∏=......211，问：∏=20010i i 的结果有多少个0？ 例7:任取一个三位数，使其与99相乘，所得的积的各个数位数字和为M ，M 的各个数位数字和为N ，N 的各个数位数字和为Q,求Q 是多少？分析：设任意一个三位数为A ，A ＜1000,A ×99≤98999,所以A 与99的积的各个数位数字和为M ≤9×4＋8＝44,M 的各个数位和N ≤3＋9=12(M 最大为39)，N 的各个数位数字和为Q ≤9(Q 最大是9)，因为A 与99得到的积能被9整除，所以M 能被9整除，同理N 能被9整除，故而Q 也能被9整除，所以Q 只能是9.解： 设任取的三位数为AA ×99≤98999因此M ≤9×4﹢8=44N ≤3﹢9=12Q ≤9又因为A ×99能被9整除，所以M 、N 、Q 均可被9整除。
所以Q 只能是9。
【课后练习】1. 求三张扑克牌5、7、8，可以组成的所有三位数的总和。
2. 求2×3×5×7×11×13×19积的各个数位的数字和。
3. 从2001、2005、2009、……、2989中，任取197个，求它的乘积的个位数字是多少？4. 1000~3000中这些整数按照顺序排列，然后变成如下形式：1，0，0，0，1，0，0，1，……3，0，0，0（1）在新数列中，第2008个数字是多少？（2）2008这个数的8，在新数列的第几位上?5.从20012003200520072999中任取出400个数，求它们的积的个位数是多少？（1）有一串数，第一个是1，第二个是3，第三个开始，每个数是其前面两个数的和的个位数。
（2）1,3,4,7,1,8,9,……..求到2008个数时，这数列的和是多少？6.有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时，所得的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？7.在一个两位数的中间添上0，那么得到的三位数比原数多8倍，求这个两位数？8.一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把它减去8，则十位上的数字就与个位上的数字相同，那么这个两位数减去10是多少？9.100以内所有双数乘积的个位数是多少？10.100以内所有单数乘积的个位数是多少？11.2008个8相乘的个位数是几？12. 20×21×22×…×49×50乘积的个位数是几？13.右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。