江西省鹰潭市2021届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)
江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题
江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷考试时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,1,2,3}A =,集合{}2|B x x x ==,则A B =( ) A. {0,1,2.3} B. {1,0,1}-C. {1.2}D. {0,1}D利用集合交集的定义计算即可.{}{}2|0,1B x x x ===,则{}0,1A B =故选:D2. 已知复数511i z i-=+,z 的虚部是( )A. 1-B. i -C. 1D. iC利用复数的乘方和除法法则化简复数z ,利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.()()()25111211112i i ii z i i i i i ----=====-+++-,z i ∴=,因此,z 的虚部是1.故选:C.3. 已知1::P p a≤1,2:10q a -≥则P 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据题意,化简,p q ,即可利用集合之间的关系,判定得到结论.1:p a≤1,化简可得:0p a <或1a ≥, 2:10q a -≥,化简可得:1q a ≤-或1a ≥,由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥, 可知,pq q p ⇒,故p 是q 的必要不充分条件,故选:B方法点睛:判断充要条件的方法是:①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题,则命题p 是命题q 的充分不必要条件; ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题,则命题p 是命题q 的必要不充分条件; ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题,则命题p 是命题q 的充要条件;④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题,则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p 与命题q 的关系.4. sin155sin35cos25cos35︒︒-︒︒=( )A. B. 12-C.12B根据诱导公式,以及两角和的余弦公式直接化简,即可得出结果.sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1cos 2535cos602=-︒+︒=-︒=-.故选:B.关键点点睛:该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值,涉及诱导公式,正确解题的关键是熟练掌握公式.5. 在6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中,25x y 的系数是( )A. 20B.152C. 12-D. 252-C将原式变形为666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭,再根据6()x y +的展开式的通项公式616rr r r T x y C -+=,分别令=5r , 4r =求解.666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭, 6()x y +的展开式的通项公式为616rr r r T x y C -+=,令=5r 时,25x y 的系数是56123C =; 令4r =时,25x y 的系数是4615C =--,所以6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中,25x y 的系数是3-15=-12,故选:C6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉;甲戌、乙亥、丙子…癸未;甲申、乙酉、丙戌…癸巳;…,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年,那么2121年是“干支纪年法”中的( ) A. 庚午年 B. 辛未年C. 庚辰年D. 辛巳年D根据“干支纪年法”的规则判断.2021年是辛丑年,则2081年是辛丑年,天干10个一循环,地支12个一循环,2082年到2121年共40年,天干正好又是辛,因为40除以12的余数为4,故地支为丑后的第四个巳,因此2021年是辛巳年.故选:D .7. 已知|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则下列不等关系正确的是( )A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<B根据|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ,再利用35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减求解.因为|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()0.50.50.50.5|log 2.51||log 2.51|og 5og 0502..3333log 2.55555l l f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()22|log 71|log 2 3.533log 755f -=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,03(1)5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=,所以0.52log 0.2log 3.50>>,又35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减,所以0.52og log00.2 3.5333 555 l⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝<⎭⎭<,即()()0.52log 2.5log7(1)f f f<<,故选:B8. 若函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos2y xω=的图象重合,则ω的值可能为()A. 1-B. 2-C.12- D.14-C写出平移的函数解析式,根据诱导公式求得ω的表达式,比较可得.函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得图象的解析式为1sin2()sin2633y x xππωωωπ-⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,它与cos2y xω=相同,则1232kωπππ--=+,16,2k k Zω=--∈,只有C满足.故选:C.9. 如图ABCDEF为五面体,其中四边形ABCD为矩形,//EF AB,3332AB EF AD===,ADE和BCF△都是正三角形,则该五面体的体积为()A.23B.232 D.322A把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱,结合棱锥和棱柱的体积公式,即可求解.过点F作FO⊥平面ABCD,垂足为O,取BC的中点P,连接PF,过点F作FQ AB⊥,垂足为Q,连接OQ,交CD于G,得到四棱锥F BCGQ-,同理得到四棱锥E ADMN-,可得F BCGQ E ADMNV V--=,如图所示,因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形,所以11()1,3,122OP AB EF PF OQ BC =-====,可得222OF PF OP =-=,所以112212233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==⋅=⨯⨯⨯=,中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱, 其体积为 122122FGQ EMN FGQV SEF -=⨯=⨯⨯⨯=, 所以该五面体的体积为22722233FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+⨯=.故选:A.求空间几何体的表面积与体积的求法:(1)公式法:对于规则的几何体的表面积和体积,可直接利用公式进行求解;(2)割补法:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积的计算,或不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算;(3)等体积法:等体积法也称积转化或等积变形,通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决锥体的体积,特别时三棱锥的体积.10. 在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=,3AF FB →→=,AQ 交BC 于点D ,AQ QD λ→→=,则λ的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C由题得2(1)3AQ x AB x AC →→→=+-,3(1)4AQ y AC y AB →→→=+-,求出,x y 的值,再根据1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+,,,B D C 共线,得解.因为,,B Q E 三点共线,所以2(1)(1)3AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,因为,,C Q F 三点共线,所以3(1)(1)4AQ y AC y AF y AC y AB →→→→→=+-=+-,所以3(1)114,.223(1)3x y x y y x ⎧=-⎪⎪∴==⎨⎪=-⎪⎩, 所以11=,231AQ AB AC AD λλ→→→→=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+, 因为,,B D C 共线, 所以1+11,523λλλλλ++=∴=.故选:C 结论点睛:如果,,A B C 三点共线,则1212(1)OA OB OC λλλλ→→→=++=,要根据已知条件灵活运用这个结论解题.11. 已知A .B .C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过原点O ,AC 经过右焦点F ,若BF AC ⊥且3||||AF CF =,则该双曲线的离心率是( )A. B.53C.D.94A根据题意,连接','AF CF ,构造矩形'FAF B ;根据双曲线定义表示出各个边长,由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系,进而求出离心率. 设左焦点为'F ,AF m =,连接','AF CF ,则3FC m = ,'2AF a m =+ ,'23CF a m =+,'2FF c =, 因为BF AC ⊥,且AB 经过原点O , 所以四边形'FAF B 为矩形,在Rt △'AF C 中,222'+'AF AC F C =, 将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++, 化简得m a =,所以在Rt △'AF F 中,222'+'AF AF F F =,代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =,即10e ,故选:A.关键点点睛:该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题,根据题意画出草图,分析出'FAF B 为矩形是解题关键,然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度,最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.12. 设k 、b R ∈,若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立,则221k b k +--的最小值是( ) A. 2e - B. 11e -+ C. 1e -+ D. 1e --C令()()ln 1f x x x k x =+-+,分析得出()max b f x ≥,分1k ≤、1k >两种情况讨论,可得出()()max ln 11f x k k =----,进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---,令10t k =->,利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值,即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+,则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立,所以,()max b f x ≥. ①当1k ≤时,()110f x k x'=+->,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,函数()f x 无最大值,不合乎题意;②当1k >时,令()0f x '=,可得11x k =-. 当101x k <<-时,()0f x '>,此时函数()f x 单调递增, 当11x k >-时,()0f x '<,此时函数()f x 单调递减, 所以,()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭, 即()ln 11b k k ≥----,()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----,设10t k =->,令()ln 21t g t t +=-,则()2ln 1t g t t+'=, 当10<<t e 时,()0g t '<,此时函数()g t 单调递减,当1t e>时,()0g t '>,此时函数()g t 单调递增.所以,()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,因此,221k b k +--的最小值是1e -.故选:C.结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解: (1)x D ∀∈,()()min m f x m f x ≤⇔≤; (2)x D ∀∈,()()max m f x m f x ≥⇔≥; (3)x D ∃∈,()()max m f x m f x ≤⇔≤; (4)x D ∃∈,()()min m f x m f x ≥⇔≥.二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分13. 已知实数x ,y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩,则3z x y =-的最大值为_____.10作出可行域,作出目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.作出可行域,如图ABC 及其内部(含边界),其中()0,1A ,()2,0B ,()4,2C ,作直线30x y -=,由3z x y =-得3y x z =-,直线向下平移时截距减小,z 增大, 当直线l 过()4,2C 时,max 34210z =⨯-=, 故答案为:10.14. 已知函数()f x 是奇函数,当0x <时,()sin 1f x x =-,则函数() f x 在2x π=处的切线方程为_____.2y =先求出切线的斜率,再求出切线的方程.详解】当0x <时,()=cos f x x ',所以()=cos()022f ππ'--=,因为函数是奇函数,所以对称点处的导数相同,所以()()=022f f ππ''=-,所以切线的斜率为0,又因为()()[sin()1]2222f f πππ=--=---=, 所以切线方程为2y =. 故答案为:2y =结论点睛:曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-,这个结论要理解记住并熟练利用.15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点,且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ,AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数,则MFN △的面积为_____. 2根据题意,画出图形,结合抛物线的定义以及三角形的面积公式,根据题中所给的条件,列出等量关系,求得结果.【详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===,由抛物线定义可得,AM a BN b ==, 且180********AFM BFN ︒-∠+︒-∠=︒,故90AFM BFN ∠+∠=︒, 故90MFO NFO ∠+∠=︒即MF NF ⊥.设MAF θ∠=,则由余弦定理得222(1cos )MF a θ=-,222(1cos )NF b θ=+,2211sin ,sin 22MAFNBFSa Sb θθ== 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数,所以有2211sin sin 122a b θθ⋅=,即222sin 4a b θ=,所以2222221()()sin 44MFN S MF NF a b θ===,所以MFN △的面积为2, 故答案:2.关键点点睛:该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题,正确解题的关键是熟练掌握抛物线的定义,得到其相应的性质.16. 在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,//,AB CD AB AD ⊥,22CD AD AB ===,若动点Q 在平面P AD 内运动,使得CQD ∠与BQA ∠相等,则三棱锥- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____. 40103π 根据题意推出AB QA ⊥,CD QD ⊥,再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =,在平面PDA 内,建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=,从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22,即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22,再寻找三棱锥的外接球球心,计算球半径,进而计算球的体积即得结果.因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAD ⊥平面ABCD ,因为//AB CD ,AB ⊥AD ,所以AB ⊥平面PAD ,CD ⊥平面PAD , 因为Q 在PAD △内及边上,所以QA 、QD 在平面PAD 内, 所以AB QA ⊥,CD QD ⊥, 所以在Rt CDQ △内,tan CD CQD DQ ∠=,在Rt ABQ △内,tan ABBQA QA=,因为CQD BQA ∠=∠,所以CD AB DQ QA=,因为2,2CD AB ==, 所以2QD AQ=,在平面PDA 内,以DA 的中点为原点O ,线段DA 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系: 则(1,0)D -,(1,0)A ,设(,)P x y ,则22||(1)DQ x y =++,22||(1)QA x y =-+,由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+,化简得22(3)8x y -+=, 所以动点Q 在平面P AD 内运动,Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=,如图所示,当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22,也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22,下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方,QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上,即y 轴上,设外接圆圆心N ,半径r ,则2sin DQr DAQ=∠,而22,2,4QS AS DS ===,故()()222222223,42226AQ DQ =+==+=,222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===,所以32266sin 2DQ r DAQ ==⨯=∠,故3AN r ==,则223122ON =-=.如图三棱锥Q ACD -,CD ⊥平面PAD ,2CD AD ==,ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上,过M ,N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线,交于点I ,即是三棱锥外接球球心,因为12,222DM AC IM ON ====, 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()()222222210R DI DM IM ==+=+=,所以三棱锥Q ACD -的外接球的体积为3344333V R ππ===.故答案为:3. 方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第T ~22为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选做题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =,等比数列{}n b 前三项依次为11a -,22a +,33a .(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S .(1)6n a n =-,1342n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭;(2)211388222nn n n S ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由题设求出d 即可求得n a ,进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ,即可求得n b ;(2)先由(1)求得n n a b +,再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得:2(7)4(156),1d d d +=⨯+∴=-,或11d =(舍)6n a n ∴=-又11254,6b a b =-==,∴公比133422n n q b -⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭(2)13 6,42nn na n b-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭1122n n nS a b a b a b=++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯++()()1212n na a ab b b=++⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯211388222nnn ns⎛⎫∴=-+-+ ⎪⎝⎭.思路点睛:该题考查的是有关数列的问题,解题思路如下:(1)首先设出数列的公差,利用题中所给的条件,建立等量关系式,求得公差,根据首项,写出{}n a的通项,进而求得{}n b的首项和公比,求得其通项公式;(2)结合(1)的结论,利用分组求和法,求得其前n项和n S.18. 如图,在三棱锥A BCD-中,ABD△是等边三角形,2AC=,2BC CD==,BC CD⊥,E为空间内一点,且CDE△为以CD为斜边的等腰直角三角形.(1)证明:平面ABD⊥平面BCD;(2)若2BE=,试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值.(1)证明见解析;(26(1)取BD的中点O,连接OC,OA,证明二面角A BD C--的平面角AOC∠是直角,得面面垂直;(2)以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OA为z轴建立空间直角坐标系,不妨令E在平面BCD上方,取CD的中点F,连接OF,EF,可证明CD⊥平面EOF,得证平面EOF⊥平面OCD,EFOπθ∠=-,得出各点坐标,由2BE=求得cosθ,得出E点坐标,再求出两个平面的法向量,由法向量夹角得二面角.解:(1)取BD的中点O,连接OC,OA,因为ABD △是等边三角形,2BD =,所以AO BD ⊥,且3AO =,又因为2BC CD ==,所以OC BD⊥112CO BD ==,又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又AO BD ⊥,因为CO BD O ⋂=,二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角, ∴平面ABD ⊥平面BCD ;(2)由(1)以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴,OA 为z 轴建立空间直角坐标系, 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ,连接OF ,EF ,则,OF CD EF CD ⊥⊥.OF EF F ⋂=,,OF EF ⊂平面EOF ,∴CD ⊥平面EOF ,CD ⊂平面OCD ,∴平面EOF ⊥平面OCD ,22OF =,6EF =,设EFO πθ∠=-,则(0,0,0)O ,(1,0,0)C ,(0,1,0)D ,3)A ,(0,1,0)B -1111211132cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ⎛=+=∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-,13,,444CE ⎛=- ⎝⎭,设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =,则0CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩, 0136044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩, 令1x =,则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =,所以|cos ,|4OC n〈〉==,即平面ECD 与平面ECD 方法点睛:本题考查证明面面垂直,考查向量法求二面角.求二面角的方法:(1)几何法(定义法):根据定义作出二面角的平面角并证明,然后解三角形得出结论; (2)空间向量法:建立空间直角坐标系,写出各点为坐标,求出二面角两个面的法向量,由两个平面法向量的夹角得二面角(它们相等或互补).19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,长轴为4,不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过右焦点2F ,问y 轴上是否存在点D ,使得三角形ABD 为正三角形,若存在,求出点D ,若不存在,请说明理由.(1)22143x y +=;(2)不存在这样的点D ,理由见解析.(1)由题意可得2a =,设点()11,A x y ,()22B x y ,利用点差法可得22AB OMk k b a=-⋅,即可求出b ,从而得解;(2)设直线:(1)l y k x =-,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,即可表示出点M ,假设存在点D ,求出MD 的直线方程,从而得到D 点坐标,利用弦长公式求出AB 、MD ,由ABD △为等边三角形,则||||MD AB =,即可得到方程,即可判断; 解(1)由题意可知:24a =,所以2a =设点()11,A x y ,()22B x y ,A ,B 在椭圆上2211221x y a b∴+=..............① 2222221x y a b +=...............② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+..............③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=,即22221212220x x y y a b--+=,所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为:22143x y +=(2)设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k-∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭,假设存在点D ,则MD 的直线方程为:2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+.||0MD =-=若ABD △为等边三角形则:||||MD AB =()2221214||23434k k k k+=++即223270k +=,方程无实数解, ∴不存在这样的点D(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x (或y )建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶8元,未售出的饮品降价处理,以每瓶3元的价格当天全部处理完.根据一段时间以来的销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:C ︒)有关.如果最高气温不低于30,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[25,30),需求量为300瓶;如果最高气温低于25,需求量为200瓶.为了确定七月份的订购计划,统计了前三年七月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求七月份这种饮品一天的需求量x (单位:瓶)的分布列;(2)若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元,则该月份一天的进货量n (单位:瓶)应满足什么条件? (1)答案见解析;(2)267400n ≤≤.(1)根据题意,求得随机变量X 的所有可能取值为500,300,200,求得相应的概率,即可求得随机变量的分布列;(2)由题意得出200500n ≤≤,分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时,12(,)()E Y E Y ,再令1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥,即可求解.(1)依题意,可得随机变量X 的所有可能取值为500,300,200,. 由表格数据知273627(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090P x P x P x =========, 因此分布列为(2)由题意可知,这种饮品一天的需求量最多为500瓶,最少为200瓶, 因此只需考虑200500n ≤≤, 当300500n ≤≤时,1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =⨯⨯--+⨯--⨯+⨯=-,令1)(700E Y ≥,即9000.5700n -≥,解得400n ≤. 当200300n ≤<时,2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =⨯⨯--+⨯=+令2)(700E Y ≥,即1.5n 300700+≥,解得 8003n ≥, 因为n Z ∈,所以267n ≥, 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()()ax f x ax=. (1)讨论函数()f x 的单调区间. (2)若当1a =时,()9()2()f x F x f x ex=+,求证:()0F x > (1)答案见解析;(2)证明见解析.(1)对函数()f x 求导,分0a >和0a <两种情况,结合函数的定义域得出函数的单调性;(2)要证()0F x >,由于0x >,即证ln 2ln e90x xx +>.令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>,对函数求导并化简,构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导,令分子为()2ln 1x x x ϕ=-+,利用导数判断出单调性和最小值,得出函数()h x 的单调性,由零点存在定理知极小值即为最小值,利用导数判断出最小值的范围,命题得证. (1)()21ln ()ax f x ax -'=, 当0a >,定义域为(0,)+∞,令()0f x '>,得0e x a <<,()0f x '<得e x a> ()f x ∴在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减当0a <,定义域为(,0)-∞,令()0f x '>,得ex a <,()0f x '<得0e x a<< ()f x ∴在,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增,在,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减(2)要证()0F x >,0x,即证ln 2ln e90x xx +>.令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>,则ln ln ln 221ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]xxx xxxxex ex e x x x x x x-'=⋅⋅+⋅=-+, 设()(1ln )ln h x x x x =-+,则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x'-+=-+=, 令()2ln 1x x x ϕ=-+,其中0x >,22()1x x x xϕ-'=-=. 当02x <<时,()0x ϕ'<,此时函数()ϕx 单调递减;所以,min ()(2)32ln 20x ϕϕ==->,则对任意的0x >,()0h x '>, 所以,函数()h x 在(0,)+∞上为增函数,因为11111ln ln 02222h ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)10h =>,由零点存在定理可知,存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=,可得000ln 1ln 1x x x =-.当00x x <<时,h(x)<0,即()0F x '<,此时函数()F x 单调递减;当0x x >时,()0h x >,即()0F x '>,此时函数()F x 单调递增.()0000ln 11ln 1ln 2min 000009m()m 2ln 92ln 9ln 2ln x x x x x x e x ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭, 令1121022929ln (ln 2,0),()2,()0(1)t t t x p t e p t e t t t '--=∈-=+=--<-, 则函数()p t 在(ln 2,0)t ∈-时单调递减, 所以,1ln 229()(ln 2)20ln 2p t p e -+<-=-<,所以,()min 0m()0x m x => 因此,对任意的0x >,m()0x >,即()0F x >.方法点睛:本题考查导函数在函数单调性和极值以及最值中的应用,考查导数证明不等式,考查分类讨论思想,其中利用导函数判断单调性的步骤为:1. 先求出原函数的定义域;2. 对原函数求导;3. 令导数大于零;解出自变量的范围;该范围即为该函数的增区间;同理令导数小于零,得到减区间;4. 若定义域在增区间内,则函数单增;若定义域在减区间内则函数单减,若以上都不满足,则函数不单调.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)写出曲线1C 的普通方程,2C 的直角坐标方程;(2)过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线,交2C 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.(1)221(0)x y y +=≥,80x -=;(2)最小值3,最大值3. (1)用消元法得1C 的普通方程,由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程; (2)求出P 到直线2C 的距离的最大值和最小值后可得结论.(1)曲线1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥直线2C 的普通方程为80x -=.(2)曲线1C 上任意一点(cos ,sin )[0,]P θθθπ∈到2C 的距离为1|cos 8|cos 423d πθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭.则cos 4sin 603d PA πθ⎛⎫==+- ⎪︒⎝⎭,当0θ=,||PA 取得最小值,最小值为3.当23πθ=,||PA 取得最大值,最达值为3. 关键点点睛:本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查点到直线的距离公式.化参数方程为直角坐标方程时,注意变量的取值范围,本题中0y ≥,对圆来讲可以用参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示圆上的点,从而求得点到直线的距离,利用三角函数知识求得最值.这里仍然要注意θ的范围是[0,]π.23. 已知a ,b ,c 为正数.(1)证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥; (2)求4444111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值.(1)证明见解析;(2)(1)利用基本不等式可证得命题成立;(2)三次使用不等式且等号同时成立,可求得最小值.(1)证明a ,b ,c 均为正数,23322223232b a c a c b a b a c b c∴+≥+≥+≥ 以上三式相加,得233263232b a c a c b a b a c b c +++++≥ 2332111333223b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥.(当且仅当32a b c ==时等号成立) (2)因为0a >,0b >,0c >,444444343111813()()a b c abc a b c abc ⎛⎛⎫∴+++++≥=+ ⎪ ⎝⎭⎝≥= 当且仅当383a b c ===,即时等号成立.所以原式的最小值为。
江西省鹰潭市2021届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
江西省鹰潭市2021届高三第一次模拟考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知复数312i z i=+,则复数z 的实部为( )A. 25-B. 25i -C. 15-D. 15i -【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:∵3(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i --===--++-, ∴复数z 的实部为25-. 故选A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.2.已知集合|A x y ⎧⎫==⎨⎩,{}|31xB y y ==-,则( ) A. B A ⊆ B. A B ⊆C. A B =D. AB =∅【答案】B 【解析】 【分析】集合A 研究对象是定义域,集合B 的研究对象是值域,分别求得,A B 的范围,由此得出选项.【详解】集合A 研究对象是定义域,即220x x -++>,解得12x -<<.集合B 的研究对象是值域,由于30,311x x >->-,即1y >-.所以集合A 是集合B 的子集.故选B.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象,考查函数的定义域与函数的值域,还考查了子集的知识,属于基础题.3.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图,图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )A. 2019年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B. 2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C. 从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看,该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A : 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低, 差值为439724111986-=,接近2000万件,所以A 是正确的;对于选项B : 2018年1~4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%,均超过50%,在3月最高,所以B 是正确的;对于选项C :2月份业务量同比增长率为53%,而收入的同比增长率为30%,所以C 是正确的; 对于选项D ,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%,并不是逐月增长,D 错误. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用,新知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知向量a 与b 夹角为120︒,3a =,||13a b +=,则||b =( )A. 1B. 3C. 4D. 5【解析】 【分析】由已知条件对||13a b +=两边平方,进行数量积的运算即可得到2||3||40b b --=,解该方程即可得出||b .【详解】解:根据条件,222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=; ∴解得4b =,或1-(舍去). 故选C .【点睛】考查数量积的运算及其计算公式,解一元二次方程和 22||b b =.5.曲线344y x x =-+在点(1,1)处的切线的倾斜角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 135【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数,在(1,1)处的导数就是切线的斜率,然后求出倾斜角即可.【详解】解:344y x x =-+可得,2()34f x x '=-,(1)1f '=-,设切线的倾斜角为α,tan 1α=- 可得135α=︒ 故选D .【点睛】本题考查直线的倾斜角,利用导数研究曲线上某点切线方程,考查计算能力,是基础题.6.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ,若存在实数1x 、2x ,使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为( ) A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π【答案】C【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,得2A =,根据题意即求半个周期的A 倍. 【详解】解:依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++3sin2019cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2A ∴=,22019T π=, 12||22019min T x x π∴-==,12A x x ∴-的最小值为22019π,故选:C .【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质,考查三角函数恒等变换,属中档题.7.在如图算法框图中,若33(21sin )a x x dx -=++⎰,程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍,那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )A. 3k <B. 3k >C. 4k <D. 4k >【答案】C 【解析】 【分析】根据积分和二项式定理的内容求出a ,S ,结合程序框图进行模拟运算即可.【详解】解:()33233(21sin )cos a x x dx x x x--=⎰++=+-93cos393cos36=+--++=,二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数为325240C ⋅=,即340120S =⨯=,根据程序图6k a ==,1S =,若此时输出S ,不满足题意,则继续运行得6S =,5k =6S =,5k =,若此时输出S ,不满足题意,则继续运行得30S =,4k =30S =,4k =,若此时输出S ,不满足题意,则继续运行得120S =,3k = 120S =,3k =,若此时输出S ,满足题意,所以判断语句应填写4k < 故选C 项.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,求出a ,S 的值,利用模拟运算法是解决本题的关键.8.已知抛物线C :22(0)x py p =>的焦点为F ,抛物线C 的准线与y 轴交于点A ,点()01,M y 在抛物线C 上,5||4y MF =,则tan FAM ∠=( ) A.25 B.52C.54D.45【答案】D 【解析】 【分析】过M 向抛物线的准线作垂线,垂足为N ,根据MN MF 和M 在坐标求出p 的值,进而可得出MN 的值,再计算出tan FAM ∠即可.【详解】解:过M 向抛物线的准线作垂线,垂足为N ,则005||24y p MN y =+=,故02y p =. 又()01,M y 在抛物线上,故012y p =,于是122p p =,解得12p =,∴055||44y MN ==, ∴||4tan tan ||5AN FAM AMN MN ∠=∠==. 故选D .【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A. 431033C. 23833【答案】B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,1104323333V =⋅=. 故选:B.10.设P 为双曲线22221x y a b-=右支上一点,1F ,2F 分别为该双曲线的左右焦点,c ,e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率.若120PF PF ⋅=,直线2PF 交y 轴于点A ,则1AF P 的内切圆的半径为()A. aB. bC. cD. e【答案】A【解析】分析:首先应用向量的数量积等于零,可以断定向量垂直,从而得到三角形是直角三角形,之后应用直角三角形的内切圆的半径等于两直角边和减去斜边长,再结合双曲线的定义最后求得结果. 详解:根据题意120PF PF ⋅=,可知1AF P ∆是直角三角形,根据直角三角形的内切球的半径公式以及双曲线的定义可知11122r PF PA AF PF PA AF =+-=+-1212()2PF AF PA PF PF a =--=-=,求得r a =,故选A.点睛:该题考查的是有关直角三角形的内切圆的半径公式,一是要注意向量垂直的条件为向量的数量积等于零的应用,再者就是双曲线的定义要铭记.11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=,且(2,2]x ∈-时,()2111,022()2,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪⎝⎭=⎨⎪-+-<≤⎩,则函数4()()log g x f x x =-的零点个数是( )A. 4B. 7C. 8D. 9【答案】D 【解析】根据()()4f x f x +=可知,函数的周期为4,画出()f x 与4log y x =的图象如下图所示,由图可知它们交点个数为8,也即()g x 的零点个数为8个.【点睛】本题主要考查周期函数图像的画法,考查分段函数图像的画法,考查含有绝对值函数的图像画法.对于分段函数,需要将图像每一段都画出来,题给函数()f x 第一段函数含有两个绝对值,则分成()[]0,1,1,2两段,去绝对值来画.log ay x =的图像是由log a y x =的图像保留,然后关于y 轴对称再画另一半所得.12.设*n N ∈,函数1()xf x xe =,21()()f x f x '=,32()()f x f x '=,…,1()()n n f x f x +'=,曲线()n yf x 的最低点为n P ,12n n n P P P ++的面积为n S ,则( ) A. {}n S 是常数列 B. {}n S 不是单调数列 C. {}n S 是递增数列 D. {}n S 是递减数列【答案】D 【解析】根据题意得()()()'211xf x f x x e ==+,()()()'322xf x f x x e ==+…,()()()'1x n n f x f x x n e +==+,又曲线()n y f x =的最低点为n P ,则当1n =时111P e-⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当2n =时1212P e -⎛⎫- ⎪⎝⎭,,当3n =时1313P e -⎛⎫- ⎪⎝⎭, …,则1n n P n e -⎛⎫- ⎪⎝⎭,,1111n n P n e ++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,2212n n P n e ++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,222211122n n n n P P n e e e k e +++----==--,2n n P P l +:()22112n n e y x n e e +---=-+21e d -=,2n n P P +=则()122212n n n P P P n e S e ++∆+-==所以{}n S 是递减数列,故选D点睛:本题根据题意总结出()n f x 最低点的规律,计算三角形面积时采用了点到线的距离为高,在计算出底边长度,从而计算出面积,这样虽计算量较大,但是最后好多可以约去,得出函数的单调性,本题也可以通过分割三角形计算面积二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设变量x,y满足约束条件20x yx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩,则26z x y=-+的最大值为__________.【答案】6 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,将目标函数化为11322y x z=+-,利用数形结合即可的得到结论.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由26z x y=-+得直线l:11322y x z=+-,平移直线l,由图象可知当直线l经过点(0,0)O时截距最小,此时z最大,max6z=.即z的最大值是6。
2021届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题Word版含答案
2021届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<,若AB B =,则实数a 的取值范围是( )A .(),1-∞B .(],1-∞-C .()1,+∞D .[)1,+∞2.函数y = )A .()1,3-B .(]1,3-C .()()1,00,3-D .()(]1,00,3-3.下列命题中:①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定;②“若260x x +-≥,则2x >”的否命题; ③命题“若2560x x -+=,则2x =”的逆否命题; 其中真命题的个数是( )A .0个B .1个C .2个D .3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数,则m 的值为( )A .1或3B .1C .3D .25.已知函数()21xf x =-+,定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则()F x 是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E F 、分别是边11AA CC 、的中点,点M 是1BB 上的动点,过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为( ) A .()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B .()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C .()[]3,0,12f x x x =-∈ D .()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A .(),4-∞ B .(]4,4- C .()[),42,-∞-+∞ D .[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是( )A .B .C .D .9.函数()ln x y e x a =-+(e 为自然对数的底数)的值域是正实数集R +,则实数a 的取值范围为( ) A .(),1-∞- B .(]0,1 C .(]1,0- D .()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数,若()ln 2x f x =,且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰,则a b +的最小值为( )A .42.2 C .92 D .9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数,若[]0,1x ∈时,()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则( )A .1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B .1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C .1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D .1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意12x x ≠,都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+,则称()f x 为“H 函数”.给出下列函数:①31y x x =-++;②()32sin cos y x x x =--;③1xy e =+;④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩,其中“H 函数”的个数有( )A .3个B .2个C .1个D .0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题(本小题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若方程210x mx m -+-=有两根,其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________. 14.设,A B 是非空集合,定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且.已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>,则M N ⊗=___________.15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ,则实数a 的取值范围是___________. 16.给出下列四个命题:①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0;②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≤时,()()1f x x x =+,则()f x 的解析式为()2f x x x =-;③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到; ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域; (2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18.(本小题满分12分)命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<,命题3:101q a +<-. (1)若“p 或q ”为假命题,求实数a 的取值范围;(2)若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为,且满足()01f =. (1)求()f x 的解析式;(2)若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立,求实数k 的取值范围.20.(本小题满分12分)某店销售进价为2元/件的产品A ,假设该店产品A 每日的销售量y (单位:千件)与销售价格x (单位:元/件)满足的关系式()210462y x x =+--,其中26x <<. (1)若产品A 销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A 所获得的利润;(2)试确定产品A 销售价格x 的值,使该店每日销售产品A 所获得的利润最大.(保留1位小数点) 21.(本小题满分12分) 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈.(1)若()f x 是在定义域内的增函数,求c 的取值范围; (2)若函数()()()52F x f x f x '=+-(其中()f x '为()f x 的导函数)存在三个零点,求c 的取值范围. 22.(本小题满分12分) 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =(e 为自然对数的底)时取得极值且有两个零点. (1)求实数m 的取值范围;(2)记函数()f x 的两个零点为12,x x ,证明:212x x e >.2021届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解:(1)∵()12f =,∴()log 420,1a a a =>≠,∴2a =......................2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==,函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =,∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2.....................10分18.解:(1)关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<,0a >时,显然不成立,0a =时成立,......................1分 0a <时,只需240a a ∆=+<即可,解得:40a -<<,故p 为真时:(]4,0a ∈-;...............................4分关于命题3:101q a +<-,解得:21a -<<,...............6分 命题“p 或q ”为假命题,即,p q 均为假命题,则41a a ≤-≥或;..........................9分(2)非:21q a a ≤-≥或,所以121m m +≤-≥或, 所以31m m ≤-≥或..................12分19.解:(1)由题意可以设()(22f x a x x =+++-,................2分 由()011f a =⇒=,∴()(22241f x x x xx =+++=++;................6分 (2)当[]1,1x ∈-时,11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦..........................8分∵()f x 开口向上,对称轴为2x =-,∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增........................9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭. ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭......................12分 20.解:(1)当4x =时,销量()210446212y =+-=千件, 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元;.....................5分 (2)该店每日销售产品A 所获得的利润:()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<.................8分令()0f x '=,得103x =,且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0f x '>,函数()f x 单调递增; 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上,()0f x '<,函数()f x 递减,.........................10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点,也是最大值点,.................11分 所以当103.33x =≈时,函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,利润最大.............................12分21.解:(1)因为()()22xf x x x cec R -=-+∈,所以函数()f x 的定义域为R ,且()2212xf x x ce -'=--,由()0f x '≥得22120x x c e ---≥,即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立............2分 再令()()21212x g x x e =-,则()22x g x xe '=,令()0g x '=得0x =, 而当0x <时,()0g x '<,当0x >时,()0g x '>,所以当0x =时,()g x 取得极小值也是最小值,即()()min 102g x g ==-. 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦...........................5分(2)由(1)知()2212xf x x c e-'=--,所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=,整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.......................7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-, 令()0h x '=,解得3x =-或1x =, 列表得:由表可知当3x =-时,()h x 取得极大值62e -;.........................9分 当1x =时,()h x 取得极小值232e -. 又当3x <-时,2270,02x x x e +->>,所以此时()0h x >, 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭........................12分22.解:(1)()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==, 由()10a f x x e+'=⇒=,且当1a x e +<时,()0f x '>,当1a x e +>时,()0f x '<,所以()f x 在1a x e +=时取得极值,所以10a e e a +=⇒=,.................2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=,函数()f x 在()0,e 上递增,在(),e +∞上递减,()1f e m e=-,()00x x →>时,();f x x →-∞→+∞时,()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ,故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩;..........................5分 (2)不妨设12x x <,由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩,则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-,...............7分欲证212x x e >,只需证明:()12ln 2x x >,只需证明:()122m x x +>,即证:()122211ln2x x x x x x +>-,即证2122111ln21x x x x x x +>-,设211x t x =>,则只需证明:1ln 21t t t ->+,...................9分 也就是证明:1ln 201t t t -->+,记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+,∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++, ∴()u t 在()1,+∞单调递增,∴()()10u t u >=,所以原不等式成立,故212x x e >得证.........................12分。
2021年高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷.一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)【题文】1.已知复数,则它的共轭复数等于( )A. B. C. D.【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】C解析:因为,所以,则选C.【思路点拨】复数的概念及代数运算是常考知识点,熟记运算规则是解题的关键.【题文】2.命题“”的否定是()A. B.C .D .【知识点】特称命题与全称命题A3【答案解析】B 解析:根据特称命题的否定是全称命题,其否定格式是特称变全称,结论变否定,所以选B.【思路点拨】熟悉特称命题与全称命题的否定格式是快速判断的关键.【题文】3.已知是两个不同的平面,下列四个条件中能推出的是( )①存在一条直线; ③存在两条平行直线;②存在一个平面; ④存在两条异面直线.A.①③B.②④C.①④D.②③【知识点】两面平行的判定G4【答案解析】C 解析:由垂直同一直线的两面平行知①正确,排除B,D ,两个平面内各有一个直线与另一个面平行,两面还可能相交所以③错误,排除A ,则选C.【思路点拨】对于多项选择问题,可用排除法进行判断.【题文】4.已知平面向量的夹角为且,在中,,,为中点,则( )A.2B.4C.6D.8【知识点】向量的数量积F3【答案解析】A 解析:因为,所以()232223423222AD m n m n =+=-=+-⨯⨯⨯= .【思路点拨】求向量的模通常利用模的平方等于向量的平方进行转化求值.【题文】5.已知sin α+2cosα=3,则tan α=( )A .22B . 2C .- 22D .- 2 【知识点】同角三角函数基本关系式C2 【答案解析】A 解析:因为 sin α+2cosα=3,所以,得,整理得)222121,tan 2ααα-=-=,所以选A.【思路点拨】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式及其应用,可把已知通过两边平方转化为熟悉的正弦余弦二次式,再化切求值.【题文】6.执行如图所示的程序框图后,输出的值为4,则P 的取值范围是 ( )A . B.C . D.【知识点】程序框图L1【答案解析】D 解析:依次执行循环结构得:第一次执行s=,n=2,第二次执行s=+,n=3,第三次执行s= s=+,n=4,因为输出的值为4,所以,则选D.【思路点拨】对于循环结构的程序框图,可依次执行循环体,直到跳出循环,再进行解答.【题文】7.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为和的线段,则的最大值为()A. B. C. D.【知识点】三视图G2【答案解析】C解析:根据题意,可构建长方体模型,其体对角线长为,则a, b,分别为三个面上的对角线长,设长方体的三条棱长分别为x,y,z,则有22222222222++=+=+=+=,所以,则,当且仅当a=b时等号x y z x y x z a y z b7,6,,成立,所以选C .【思路点拨】由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体,三视图中的三个投影,是三个面对角线,设出三度,利用勾股定理建立等量关系,再利用基本不等式求出最大值.【题文】8.将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级2人,要求甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为 ( )A.18 B.15 C.12 D.9【知识点】排列组合的应用J2【答案解析】D解析:可以先排高三年级有种排法,再排高一年级有=3种排法,剩余的排在高二,所以一共有3×3=9种排法.【思路点拨】在计算有限制条件的排列问题时,可以从特殊位置出发,先排特殊位置再排一般位置.【题文】9.设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使=,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】双曲线的几何性质H6【答案解析】A解析:由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴,这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形.因为有且只有一对相较于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,所以直线A1B1和A2B2,关于x轴对称,并且直线A1B1和A2B2,与x轴的夹角为30°,双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°,否则不满足题意.则有,得,所以选A. 【思路点拨】本题抓住双曲线的对称性得到两直线的相互位置,再结合双曲线的渐近线确定两直线的变化范围,进而得到其离心率的范围.【题文】10.已知实数满足,则的最大值为()A.11 B.12 C.13 D.14【知识点】二元一次不等式组表示的平面区域E5【答案解析】D解析:不等式组表示的平面区域为如图三角形ABC表示的区域,则,显然点A到直线3x+4y﹣7=0的距离最大,又A点坐标为(﹣1, ﹣1),所以A到直线3x+4y﹣7=0的距离为,则所求的最大值为14,所以选D..【思路点拨】一般遇到不等式组表示的平面区域问题时经常利用其几何意义数形结合解答. 【题文】11.已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩,函数若存在,使得成立,则实数的取值范围是( )[A. B. C. D.【知识点】函数的值域B3【答案解析】B 解析:因为当时,,所以此时函数单调递增,其值域为,当x 时,值域为,所以函数f(x)在其定义域上的值域为[0,1],又函数g(x)在区间[0,1]上的值域为[﹣2a+2, ﹣+2],若存在,使得成立,则 解得,所以选B .【思路点拨】本题的本质是两个函数的值域交集非空,可通过求值域解答.【题文】12.已知任何一个三次函数都有对称中心,记函数 的导函数为,的导函数为,则有=0.若函数,则 1234017()()()()2014201420142014f f f f ++++=A. 4017B. -4017C.8034D. -8034【知识点】导数的应用,函数图像的应用B8 B12【答案解析】D 解析:因为得x=1,所以函数的对称中心为(1,﹣2),则有,所以140172401640171201420142014201420142014f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=﹣4×4017,则 1234017()()()()2014201420142014f f f f ++++=﹣2×4017=﹣8034,所以选D.【思路点拨】本题抓住函数的中心对称特点,利用倒写相加求和法求和.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二.填空题(每题5分,共20分。
江西省鹰潭市高考数学一模试卷(理科)
程,相关数据如下表(表中 Yi=lnyi,
):
5.5 8.7 1.9 301.4
79.75
385
①根据回归方程类型及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;
②该汽车交易市场对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格 4%的佣金, 对使用时间 8 年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格 10%的佣金.在图 1 对使 用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以 2017 年的数据作
=fn′(x),曲线 y=fn(x)的最低点为 Pn,△PnPn+1Pn+2 的面积为 Sn,则( )
A. {Sn}是常数列
B. {Sn}不是单调数列
C. {Sn}是递增数列
D. {Sn}是递减数列
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
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13. 设变量 x,y 满足约束条件
故选:A.
2.【答案】B
【解析】【分析】 本题考查函数定义域和值域的求解,考查集合的包含关系等基础知识,考查运算求解能 力,考查函数与方程思想,是基础题. 先分别求出集合 A 和 B,由此能求出结果. 【解答】
解:∵集合
,
∴A={x|-x2+x+2>0}={-1<x<2}, B={y|y>-1}, ∴A⊆B. 故选 B.
8.【答案】D
=40,即 S=3×40=120,
【解析】【分析】 过 M 向抛物线的准线作垂线,垂足为 N,根据 |MN|=|MF|和 M 在坐标求出 p 的值,进而可得出 |MN|的值. 本题考查了抛物线的性质,属于中档题. 【解答】 解:过 M 向抛物线的准线作垂线,垂足为 N,
则|MN|=y0+ = ,故 y0=2p.
2021年高三数学第一次模拟试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次模拟试题理(含解析)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A等于()1.(5分)(xx•乐山一模)设全集U={x丨x>0},集合A={x丨x>2},则∁UA.{x|0<x<2}B.{x|x<2}C.{x|x≤2}D.{x|0<x≤2}补集及其运算考点:专题:计算题.分析:直接利用补集的定义,求出A的补集即可.解答:解:因为U={x丨x>0},集合A={x丨x>2},则∁U A={x丨0<x≤2},故选D.点评:本题考查补集的运算,补集的定义,考查基本知识的应用.2.(5分)(xx•乐山一模)已知点A(﹣1,0)、B(1,3),向量=(2k﹣1,2),若⊥,则实数k的值为()A.﹣2 B.﹣1 C.1D.2考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题:常规题型;计算题.分析:先用B的坐标减去A即得的坐标,再利用两个向量垂直,数量积等于0求出实数k的值.解答:解:∵=(2,3),向量a=(2k﹣1,2),∵⊥,∴•=(2,3)•(2k﹣1,2)=2(2k﹣1)+6=0,∴k=﹣1,故选 B.点评:本题考查利用两个向量的数量积判断2个向量垂直的方法,两个向量垂直,数量积等于0.3.(5分)(xx•乐山一模)“a>1”是“函数f(x)=a x﹣1﹣2(a>0且a≠1)在区间[1,2]上存在零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:探究型.分析:先判断函数f(x)在区间[1,2]上存在零点的条件,然后判断a>l与条件之间的关系,判断是充分条件还是必要条件.解答:解:要使函数f(x)=a x﹣1﹣2(a>0且a≠1)在区间[1,2]上存在零点,则有f(1)f(2)≤0,即﹣1×(a﹣2)≤0,解得a≥2.所以a>1推不出a≥2,但a≥2⇒a>1,所以“a>1”是“函数f(x)=a x﹣1﹣2(a>0且a≠1)在区间[1,2]上存在零点”的必要不充分条件,故选B.点评:本题考查了充分条件和必要条件的判断.要求掌握判断充分条件和必要条件的方法:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.4.(5分)(xx•乐山一模)下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是()A.①,②y=x2,③,④y=x﹣1B.①y=x3,②y=x2,③,④y=x﹣1C.①y=x2,②y=x3,③,④y=x﹣1D.①,②,③y=x2,④y=x﹣1考点:幂函数图象及其与指数的关系.专题:综合题.分析:通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数;①对应的幂指数大于1,通过排除法得到选项.解答:解:②的图象关于y轴对称,②应为偶函数,故排除选项C,D①由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于1,故排除A故选B点评:本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数.5.(5分)(xx•乐山一模)一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积为()A.6B.8C.8D.12考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:此几何体是一个正三棱柱,正视图即内侧面,底面正三角形的高是,由正三角形的性质可以求出其边长,由于本题中体积已知,故可设出棱柱的高,利用体积公式建立起关于高的方程求高,再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可.解答:解:设棱柱的高为h,由左视图知,底面正三角形的高是,由正三角形的性质知,其边长是4,故底面三角形的面积是 =4由于其体积为,故有h×=,得h=3由三视图的定义知,侧视图的宽即此三棱柱的高,故侧视图的宽是3,其面积为3×=故选A点评:本题考点是简单空间图形的三视图,考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力,三视图的投影规则是:“主视、俯视长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等”.6.(5分)(xx•乐山一模)已知锐角θ的终边上有一点P(sin10°,1+sin80°),则锐角θ=()A.85°B.65°C.10°D.5°考点:任意角的三角函数的定义.专题:三角函数的求值.分析:由任意角的正切函数的定义可得 tanθ=,利用同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式化简为tan85°,由此求得锐角θ的值.解答:解:∵已知锐角θ的终边上有一点P(sin10°,1+sin80°),由任意角的正切函数的定义可得tanθ======tan(45°+40°)=tan85°,∴锐角θ=85°,故选A.点评:本题主要考查任意角的正切函数的定义,同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.7.(5分)(xx•乐山一模)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,对角线AC、DB相交于点O,若,,则=()A.B.C.D.考点:向量加减混合运算及其几何意义.专题:计算题.分析:先证明△DOC∽△BOA,然后根据AB=2CD得到AO与AD的比例关系,最后转化成用基底表示即可.解答:解:∵AB∥CD,AB=2CD,∴△DOC∽△BOA且AO=2OC则=2=而=+=+=∴==()=故选D.点评:本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义,解题的关键是弄清AO与AD的比例关系,属于基础题.8.(5分)(xx•乐山一模)直线y=5与y=﹣1在区间[0,]截曲线y=msinx+n(m,n>0)所得的弦长相等且不为零,则下列正确的是()A.m≤B.m≤3,n=2 C.m>D.m>3,n=2考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:计算题.分析:由于曲线y=msinx+n(m,n>0)的周期T=,依题意,可求得n=2,m>3.解答:解:∵曲线y=msinx+n(m,n>0)的周期T=,直线y=5与y=﹣1在区间[0,]截曲线y=msinx+n(m,n>0)所得的弦长相等且不为零,∴n==2;m+2>5,∴m>3.故选D.点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求得n=2是关键,也是难点,考查理解与应用能力,属于中档题.9.(5分)(xx•乐山一模)在数列{a n}中,a1=2,na n+1=(n+1)a n+2(n∈N*),则a10为()A.34 B.36 C.38 D.40考点:数列递推式.专题:计算题.分析:先根据地推关系得到,再由可求出a10的值.解答:解:∵na n+1=(n+1)a n+2∴∴=2[()+()+…+(1﹣)]+2=a10=38故选C.点评:本题主要考查数列的递推关系式,考查综合观察和转化能力.10.(5分)(xx•乐山一模)函数f(x)=,满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1或B.﹣C.1D.1或﹣或考点:运用诱导公式化简求值.专题:计算题.分析:依题意,可求得f(1),由f(1)+f(a)=2可得f(a),利用f(x)=,即可求得a的所有可能值.解答:解:∵f(x)=,∴f(1)=e0=1,又f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1;∴当﹣1<a<0时,f(a)=2sinπa2=1,∴a2=或a2=,∴a=﹣或a=﹣;当a≥0时,e a﹣1=1,∴a=1.综上所述,a=﹣或a=﹣或a=1.故选D点评:本题考查函数解析式的应用,考查分析、运算能力,属于中档题.11.(5分)(xx•乐山一模)函数f(x)=﹣(cosx)1g|x|的部分图象是()A.B.C.D.考点:函数的图象.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:先利用函数f(x)=﹣(cosx)1g|x|的奇偶性进行排除,再对x→0+时的函数符号判断即可.解答:解:∵f(x)=﹣(cosx)1g|x|,∴f(﹣x)=﹣[cos(﹣x)]1g|﹣x|=﹣(cosx)1g|x|=f(x)(x≠0),∴函数f(x)=﹣(cosx)1g|x|为偶函数,故其图象关于y轴对称,可排除B,D;又当x→0+时,cosx>0,1g|x|<0,∴当x→0+时,f(x)=﹣(cosx)1g|x|>0,故可排除C;故选A.点评:本题考查函数的图象,着重考查函数的奇偶性与单调性,属于基础题.12.(5分)(xx•重庆)把函数f(x)=x3﹣3x的图象C1向右平移u个单位长度,再向下平移v个单位长度后得到图象C2、若对任意的u>0,曲线C1与C2至多只有一个交点,则v的最小值为()A.2B.4C.6D.8考点:函数单调性的性质;函数的图象;函数的零点与方程根的关系.专题:计算题;压轴题.分析:由平移规律得出平移后的曲线对应的解析式,因两曲线有交点,故相应方程有根,对方程(x ﹣u)3﹣3(x﹣u)﹣v=x3﹣3x,进行变形,得出v关于u 的不等式,转化成恒成立的问题求参数v的范围.解答:解:根据题意曲线C的解析式为y=(x﹣u)3﹣3(x﹣u)﹣v,由题意,方程(x﹣u)3﹣3(x﹣u)﹣v=x3﹣3x至多有一个根,即3ux2﹣3xu2+(u3﹣3u+v)=0至多有一个根,故有△=9u4﹣12u(u3﹣3u+v)≤0对任意的u>0恒成立整理得对任意u>0恒成立,令,则由此知函数g(u)在(0,2)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数,所以当u=2时,函数g(u)取最大值,即为4,于是v≥4;故选B.点评:考查据题意进行转化的能力,以及观察变形的能力,解本题过程中,把一个变量表示成另一个变量的函数,依据不等式恒成立的问题转化求求函数的最值来求出参数的范围,题型新颖.二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.13.(4分)(xx•乐山一模)复数z满足等式(2一i)•z=i,则复数z在复平面内对应的点的坐标为.考点:复数的代数表示法及其几何意义.专题:计算题.分析:将所给的式子变形表示出复数z,再分子分母同乘以2+i进行化简,整理出实部和虚部,再写出复平面内对应的定的坐标.解答:解:由(2一i)•z=i得,z====,则复数z在复平面内对应的点的坐标为,故答案为:.点评:本题考查了复数的除法运算和复数的几何意义,对于除法运算需要分子分母同乘以分母的共轭复数再进行化简.14.(4分)(xx•乐山一模)已知命题p:“∃x∈[1,2],使x2﹣a<0成立”,若¬p是真命题,则实数a的取值范围是a≤1.考点:特称命题;命题的否定.专题:计算题.分析:由已知,∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,为真命题,即x2≥a在x∈[1,2]恒成立,只须a≤(x2)min=解答:解:由已知¬p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,为真命题.即x2≥a在x∈[1,2]恒成立,只须a≤(x2)min=1即可故答案为:a≤1点评:本题考查命题真假,求参数取值范围,考查转化,逻辑思维能力.15.(4分)(xx•乐山一模)如图,已知直线l过点A(0,4),交函数y=2x的图象于点C,交x轴于点B,若AC:CB=2:3,则点B的横坐标为 3.16 .(结果精确到0.01,参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771)考点:指数式与对数式的互化.专题:计算题.分析:设点B为(a,0),由于点A(0,4)以及AC:CB=2:3,可得点C的坐标,再代入函数y=2x 的解析式,解出即可.解答:解:设点B为(a,0),由已知直线l过点A(0,4),且直线AB交函数y=2x的图象于点C,AC:CB=2:3,则点C的坐标为,由于点C在函数y=2x的图象上,则,即得=2+log23﹣log25=又由lg2=0.3010,lg3=0.4771,则a≈3.16.故答案为 3.16.点评:本题考查方程的零点与方程根的关系,用待定系数法求点B的横坐标的值.在解答的过程当中充分体现了问题转化的能力以及运算的能力.值得同学们体会反思.16.(4分)(xx•乐山一模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且满足x1∈(0,1),x2∈(1,2),则的取值范围是.考点:函数在某点取得极值的条件.专题:导数的综合应用.分析:求导数,利用导函数f′(x)=x2+ax+b的图象开口朝上且x1∈(0,1),x2∈(1,2),得a,b的约束条件,据线性规划求出最值.解答:解:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,∴x1,x2是导函数f′(x)=x2+ax+b的两根由于导函数f′(x)=x2+ax+b的图象开口朝上且x1∈(0,1),x2∈(1,2),∴满足条件的约束条件的可行域如图所示:令Z=,则其几何意义是区域内的点与(0,3)连线的斜率,∴由,可得a=﹣3,b=2∴∈()∵=,∴=时,的最小值为,=3时,=∴的取值范围是,故答案为:点评:本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,以及会进行简单的线性规划的能力,解题时要认真审题,仔细解答.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17.(12分)(xx•乐山一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<)的图象(部分)如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a=l,b+c=2,f(A)=1,求△ABC的面积.考点:余弦定理;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:计算题;三角函数的图像与性质.分析:(1)根据函数的最大值得出A=2,由函数的周期T=4(﹣)=π算出ω=2,得函数表达式为f(x)=2sin(2x+φ).最后根据当x=时函数取得最大值,解出φ=,从而得出函数f(x)的解析式;(2)由(1)的函数解析式结合f(A)=1解出A=,利用余弦定理结合题中数据算出bc=3(2﹣),再根据正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积.解答:解:(1)∵函数的最大值为2,∴A=2又∵函数的周期T=4(﹣)=π,∴ω==2,得函数表达式为f(x)=2sin(2x+φ)∵f()=2为函数的最大值,∴2×+φ=+2π(k∈Z)结合|φ|<,取k=0得φ=∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+)(2)由(1)得f(A)=2sin(2A+)=1,∵A∈(0,π),∴2A+=,得A=根据余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc(1+cos),即1=22﹣2bc(1+cos),解之得bc==3(2﹣)因此,△ABC的面积S=bcsinA=3(2﹣)×sin=点评:本题给出三角函数的部分图象,求函数的表达式,并依此求三角形ABC的面积,着重考查了三角函数的图象与性质、三角形的面积公式和余弦定理等知识,属于中档题.18.(12分)(xx•乐山一模)已知函数是奇函数.(1)求m的值;(2)请讨论它的单调性,并给予证明.考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.专题:计算题;证明题.分析:(1)由函数奇偶性的定义可知,f(﹣x)+f(x)=0,将f(x)的解析式代入求解m即可.(2)先求出f(x)的定义域,因为函数是奇函数,故只要先判断f(x)在(0,1)内的单调性即可,可由单调性的定义直接判断.解答:解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)+f(x)=0;即,解得:m=1,其中m=﹣1(舍);经验证当m=1时,确是奇函数.(2)先研究f(x)在(0,1)内的单调性,任取x1、x2∈(0,1),且设x1<x2,则,,得f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减;由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数f(x)在(﹣1,0)内单调递减.点评:本题考查函数单调性的判断和证明及已知奇偶性求参数和奇偶性的应用问题,属基本题型的考查.19.(12分)(xx•乐山一模)济南高新区引进一高科技企业,投入资金720万元建设基本设施,第一年各种运营费用120万元,以后每年增加40万元;每年企业销售收入500万元,设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额)(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?(Ⅱ)若干年后,该企业为开发新产品,有两种处理方案:①年平均利润最大时,以480万元出售该企业;②纯利润最大时,以160万元出售该企业;问哪种方案最合算?考点:数列的应用.专题:综合题.分析:(Ⅰ)根据第一年各种运营费用120万元,以后每年增加40万元,可知每年的运营费用是以120为首项,40为公差的等差数列,利用f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额,可确立函数的解析式,进而可建立不等式,从而可求从第几年开始获取纯利润.(Ⅱ)①求出年平均利润,利用基本不等式,可求此方案获利最大值的时间;②f(n)=﹣20n2+400n﹣720=﹣20(n﹣10)2+1280,利用配方法,求此方案获利最大值的时间,比较即可得出结论.解答:解:由题意知每年的运营费用是以120为首项,40为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为f(n),设.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)(Ⅰ)获取纯利润就是要求f(n)>0,故有﹣20n2+400n﹣720>0,解得2<n<18.又n∈N*,知从第三年开始获取纯利润.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)①年平均利润,当且仅当n=6时取等号.故此方案获利6×160+480=1440(万元),此时n=6.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)②f(n)=﹣20n2+400n﹣720=﹣20(n﹣10)2+1280,当n=10时,f(n)max=1280.故此方案共获利1280+160=1440(万元).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)比较两种方案,在同等数额获利的基础上,第①种方案只需6年,第②种方案需要10年,故选择第①种方案.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)点评:本题考查数列模型,考查基本不等式的运用,考查二次函数最值的研究,解题的关键是建立数列模型,选择适当的方法求最值.20.(12分)(xx•乐山一模)已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(Ⅰ)证明:BN⊥平面C1NB1;(Ⅱ)求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值;考点:用空间向量求平面间的夹角;由三视图求面积、体积;直线与平面垂直的判定.专题:综合题.分析:(Ⅰ)根据题意,可得BA,BC,BB1两两垂直,以BA,BB1,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,用坐标表示点、向量,利用数量积证明NB⊥NB1,BN⊥B1C1,即可证明BN⊥平面C1NB1.(Ⅱ)是平面C1B1N的一个法向量,求出平面NCB1的一个法向量,利用向量的数量积,可求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值.解答:(Ⅰ)证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB1两两垂直.以BA,BB1,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)则B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4).∴,.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)∴NB⊥NB1,BN⊥B1C1.又NB1与B1C1相交于B1,∴BN⊥平面C1NB1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(Ⅱ)解:∵BN⊥平面C1NB1,∴是平面C1B1N的一个法向量,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)设为平面NCB1的一个法向量,则,∴所以可取.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)则cos==∴所求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)点评:本题考查线面垂直,考查面面角,解题的关键是构建空间直角坐标系,确定平面的法向量.21.(12分)(xx•乐山一模)已知数列{a n}是等差数列,a5=5,若(6﹣a1)=a2+a3,且A、B、C三点共线(O为该直线外一点);点列(n,b n)在函数x的反函数的图象上.(1)求a n和b n;(2)记数列C n=a n b n+b n(n∈N*),若{C n}的前n项和为T n,求使不等式成立的最小自然数n的值.考点:数列与向量的综合;数列与不等式的综合.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)利用三点共线的结论,可得6﹣a1=a2+a3,结合a5=5,求出首项与公差,可求a n;利用点列(n,b n)在函数x的反函数的图象上,可求b n;(2)确定数列的通项,利用错位相减法求和,即可求得结论.解答:解:(1)设数列{a n}的公差为d,则∵(6﹣a1)=a2+a3,且A、B、C三点共线,∴由三点共线的条件,可得6﹣a1=a2+a3,∴a1+d=2,∵a5=5,∴a1+4d=5,∴d=1,a1=1,∴a n=n;∵点列(n,b n)在函数x的反函数的图象上∴;(2)C n=a n b n+b n=,∴T n=,∴T n=两式相减,可得T n==∴T n=∴3﹣T n=∴等价于∴n>6∴使不等式成立的最小自然数n的值为7.点评:本题考查数列的通项与求和,考查数列与不等式的联系,确定数列的通项,正确求和是关键.22.(14分)(xx•乐山一模)已知函数f(x)=e x﹣kx,(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;(2)若k>0,且对于任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)设函数F(x)=f(x)+f(﹣x),求证:F(1)F(2)…F(n)>(n∈N+).考点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值;不等式的证明.专题:计算题;压轴题.分析:(1)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0,f′(x)<0(2)f(|x|)是偶函数,只需研究f(x)>0对任意x≥0成立即可,即当x≥0时f(x)min >0(3)观察结论,要证F(1)F(2)…F(n)>,即证[F(1)F(2)…F(n)]2>(e n+1+2)n,变形可得[F(1)F(n)][F(2)F(n﹣1)]…[F(n)F(1)]>(e n+1+2)n,可证F(1)F(n)>e n+1+2,F(2)F(n﹣1)>e n+1+2,F(n)F(1)>e n+1+2.问题得以解决.解答:解:(Ⅰ)由k=e得f(x)=e x﹣ex,所以f'(x)=e x﹣e.由f'(x)>0得x>1,故f(x)的单调递增区间是(1,+∞),由f'(x)<0得x<1,故f(x)的单调递减区间是(﹣∞,1).(Ⅱ)由f(|﹣x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函数.于是f(|x|)>0对任意x∈R成立等价于f(x)>0对任意x≥0成立.由f'(x)=e x﹣k=0得x=lnk.①当k∈(0,1]时,f'(x)=e x﹣k>1﹣k≥0(x>0).此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.故f(x)≥f(0)=1>0,符合题意.②当k∈(1,+∞)时,lnk>0.当x变化时f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (0,lnk)lnk (lnk,+∞)f′(x)﹣0 +f(x)单调递减极小值单调递增由此可得,在[0,+∞)上,f(x)≥f(lnk)=k﹣klnk.依题意,k﹣klnk>0,又k>1,∴1<k<e.综合①,②得,实数k的取值范围是0<k<e.(Ⅲ)∵F(x)=f(x)+f(﹣x)=e x+e﹣x,∴F(x1)F(x2)=,∴F(1)F(n)>e n+1+2,F(2)F(n﹣1)>e n+1+2,F(n)F(1)>e n+1+2.由此得,[F(1)F(2)F(n)]2=[F(1)F(n)][F(2)F(n﹣1)][F(n)F(1)]>(e n+1+2)n故,n∈N*.点评:本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.@ 21715 54D3 哓28944 7110 焐n30561 7761 睡Z33240 81D8 臘u21631 547F 呿U&27966 6D3E 派=30114 75A2 疢。
江西省鹰潭市高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
江西省鹰潭市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(+i)•z=﹣i(i是虚数单位),那么复数z对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.用三段论推理:“任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0”,你认为这个推理()A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误D.是正确的3.已知向量=(1,2),向量=(3,﹣4),则向量在向量方向上的投影为()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.24.下列说法正确的是()A.若命题p:∃x0∈R,x02﹣x0+1<0,则¬p:∀x∉R,x2﹣x+1≥0B.已知相关变量(x,y)满足回归方程=2﹣4x,若变量x增加一个单位,则y平均增加4个单位C.命题“若圆C:(x﹣m+1)2+(y﹣m)2=1与两坐标轴都有公共点,则实数m ∈[0,1]为真命题D.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,则P(X>4﹣a)=0.68 5.(1﹣2x)(1﹣x)5的展开式中x3的系数为()A.10 B.﹣10 C.﹣20 D.﹣306.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是()A.4 B.C.D.27.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺8.要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将y=cos(2x﹣)图象上的所有点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度9.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l,与该抛物线及其准线从上向下依次交于A,B,C三点,若|BC|=3|BF|,且|AF|=3,则该抛物线的标准方程是()A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x10.已知等差数列{a n}的公差d≠0,S n为其前n项和,若a2,a3,a6成等比数列,且a10=﹣17,则的最小值是()A. B.C.D.11.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=()A.0 B.﹣100 C.100 D.1020012.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f′(x),且满足xf′(x)+2f(x)>0,则不等式的解集为()A.{x>﹣2011}B.{x|x<﹣2011}C.{x|﹣2011<x<0}D.{x|﹣2016<x<﹣2011}二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,y0)处的瞬时变化率为﹣8,则点M的坐标为.14.设P为双曲线=1右支上的任意一点,O为坐标原点,过点P作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点,则平行四边形PAOB的面积为.15.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.16.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,且是1与a n的等差中项.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设T n为数列{}的前n项和,证明:<T n<1(n∈N*)18.第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).(Ⅰ)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);(Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假设两国代表团获得的金牌数不会相等),规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知甲、乙猜中国代表团的概率都为,丙猜中国代表团的概率为,三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为X ,求X 的分布列及数学期望EX .19.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AB ,CD 1的中点,AA 1=AD=1,AB=2.(1)求证:EF ∥平面BCC 1B 1; (2)求证:平面CD 1E ⊥平面D 1DE ;(3)在线段CD 1上是否存在一点Q ,使得二面角Q ﹣DE ﹣D 1为45°,若存在,求的值,不存在,说明理由.20.如图,设椭圆C1: +=1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.21.已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2(f'(x)+)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;(Ⅲ)求证:×××…×<(n≥2,n∈N*).[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.江西省鹰潭市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(+i)•z=﹣i(i是虚数单位),那么复数z对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由复数代数形式的乘除运算化简,求得z的坐标得答案.【解答】解:(+i)•z=﹣i,∴(+i)(﹣i)•z=﹣i(﹣i),∴4z=﹣1﹣i,∴z=﹣﹣i,复数z对应的点的坐标为(﹣,﹣),位于复平面内的第三象限.故选:C2.用三段论推理:“任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0”,你认为这个推理()A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误D.是正确的【考点】演绎推理的意义.【分析】要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提,小前提和结论是否都正确,根据三个方面都正确,得到结论.【解答】解:∵任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0,大前提:任何实数的绝对值大于0是不正确的,0的绝对值就不大于0.故选A.3.已知向量=(1,2),向量=(3,﹣4),则向量在向量方向上的投影为()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据平面向量的数量积运算与向量投影的定义,写出对应的运算即可.【解答】解:向量=(1,2),向量=(3,﹣4),∴•=1×3+2×(﹣4)=﹣5,||==5;∴向量在向量方向上的投影为:||cos<,>===﹣1.故选:B.4.下列说法正确的是()A.若命题p:∃x0∈R,x02﹣x0+1<0,则¬p:∀x∉R,x2﹣x+1≥0B.已知相关变量(x,y)满足回归方程=2﹣4x,若变量x增加一个单位,则y平均增加4个单位C.命题“若圆C:(x﹣m+1)2+(y﹣m)2=1与两坐标轴都有公共点,则实数m ∈[0,1]为真命题D.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,则P(X>4﹣a)=0.68【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由特称命题的否定为全称命题,可判断A;由线性回归方程的特点,即可判断B;由x=0,可得圆与y轴的交点,y=0,可得圆与x轴的交点,解不等式可得m的范围,即可判断C;由随机变量X~N(2,σ2),则曲线关于直线x=2对称,即可判断D.【解答】解:对于A,若命题p:∃x0∈R,x02﹣x0+1<0,则¬p:∀x∈R,x2﹣x+1≥0,故A错;对于B,已知相关变量(x,y)满足回归方程=2﹣4x,若变量x增加一个单位,则y平均减少4个单位,故B错;对于C,命题“若圆C:(x﹣m+1)2+(y﹣m)2=1与两坐标轴都有公共点,令x=0,可得(y﹣m)2=2m﹣m2≥0,解得0≤m≤2,令y=0,则(x﹣m+1)2=1﹣m2≥0,解得﹣1≤m≤1,综合可得0≤m≤1,则实数m∈[0,1]为真命题,故C正确;对于D,已知随机变量X~N(2,σ2),则曲线关于直线x=2对称,若P(X<a)=0.32,则P(X>4﹣a)=0.32,故D错.故选:C.5.(1﹣2x)(1﹣x)5的展开式中x3的系数为()A.10 B.﹣10 C.﹣20 D.﹣30【考点】二项式系数的性质.【分析】由(1﹣2x)(1﹣x)5=(1﹣2x),即可得出.【解答】解:(1﹣2x)(1﹣x)5=(1﹣2x),展开式中x3的系数为﹣﹣2=﹣30.故选:D.6.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是()A.4 B.C.D.2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】根据四棱锥的三视图,得出该四棱锥底面为直角梯形的直四棱锥,结合图中数据求出它的体积.【解答】解:根据四棱锥的三视图,得;该四棱锥是直四棱锥,四棱锥的底面为直角梯形,梯形的上底长为1,下底长为2,高为2;所以,该四棱锥的体积为V=S底面积•h=×(1+2)×2×2=2.故选:D.7.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺【考点】等差数列的通项公式.【分析】由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,其公差为d,由等差数列的前n项和公式能求出公差.【解答】解:由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,记为:a1,a2,a3,…,a n,其公差为d,则a1=5,S30=390,∴=390,∴d=.故选:B.8.要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将y=cos(2x﹣)图象上的所有点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】先根据诱导公式将函数y=cos(2x﹣)化为正弦的形式,再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案.【解答】解:y=cos(2x﹣)=sin(2x﹣+)=sin(2x+),y=sin(2x+)=sin[2(x﹣)+],∴要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将y=cos(2x﹣)图象上的所有点向右平行移动个单位长度,故选D.9.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l,与该抛物线及其准线从上向下依次交于A,B,C三点,若|BC|=3|BF|,且|AF|=3,则该抛物线的标准方程是()A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x【考点】抛物线的简单性质.【分析】分别过A、B作准线的垂线,利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离,结合已知比例关系,即可得p值,进而可得方程【解答】解:分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则|BC|=3a,|BD|=a,∴,在直角三角形ACE中,∵|AF|=3,|AC|=3+4a,∴3|AE|=|AC|∴3+4a=9,即a=,∵BD ∥FG ,∴,,解得p=2,从而抛物线的方程为y 2=4x . 故选:C .10.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,S n 为其前n 项和,若a 2,a 3,a 6成等比数列,且a 10=﹣17,则的最小值是( )A .B .C .D .【考点】数列与不等式的综合;等比数列的通项公式.【分析】根据题意,由等差数列的通项公式可得(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ),解可得a 1、d 的值,进而讨论可得a 1、d 的值,即可得=,令≥且≥,解出n 的值,解可得n=4时,取得最小值;将n=4代入=中,计算可得答案.【解答】解:∵等差数列{a n }的公差d ≠0,a 2,a 3,a 6成等比数列,且a 10=﹣17,∴(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ),a 10=a 1+9d=﹣17 解得d=﹣2,a 1=1或d=0,a 1=﹣17(舍去)当d=﹣2时,S n =n +=﹣n 2+2n ,则=,令≥且≥,解可得2+≤n≤3+,即n=4时,取得最小值,且=﹣;故选:A.11.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=()A.0 B.﹣100 C.100 D.10200【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;数列的求和;数列递推式.【分析】先求出分段函数f(n)的解析式,进一步给出数列的通项公式,再使用分组求和法,求解.【解答】解:∵,由a n=f(n)+f(n+1)=(﹣1)n•n2+(﹣1)n+1•(n+1)2=(﹣1)n[n2﹣(n+1)2]=(﹣1)n+1•(2n+1),得a1+a2+a3+…+a100=3+(﹣5)+7+(﹣9)+…+199+(﹣201)=50×(﹣2)=﹣100.故选B12.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f′(x),且满足xf′(x)+2f(x)>0,则不等式的解集为()A.{x>﹣2011}B.{x|x<﹣2011}C.{x|﹣2011<x<0}D.{x|﹣2016<x<﹣2011}【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】根据条件,构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论【解答】解:构造函数g(x)=x2f(x),g′(x)=x(2f(x)+xf′(x));当x>0时,∵2f(x)+xf′(x)>0,∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,∵不等式,∴x+2016>0时,即x>﹣2016时,∴(x+2016)2f(x+2016)<52f(5),∴g(x+2016)<g(5),∴x+2016<5,∴﹣2016<x<﹣2011,故选:D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,y0)处的瞬时变化率为﹣8,则点M的坐标为(﹣2,9).【考点】导数的几何意义.【分析】求导函数,令其值为﹣8,即可求得结论.【解答】解:∵y=2x2+1,∴y′=4x,令4x0=﹣8,则x0=﹣2,∴y0=9,∴点M的坐标是(﹣2,9),故答案为:(﹣2,9).14.设P为双曲线=1右支上的任意一点,O为坐标原点,过点P作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点,则平行四边形PAOB的面积为15.【考点】双曲线的简单性质.【分析】方法一:设P的参数方程,求得直线PA的方程,将y=x代入,求得A和B点坐标,根据平行四边形PAOB的面积即公式可求得平行四边形PAOB 的面积;方法二:设P点坐标,求得PA方程,将y=x代入即可求得A点坐标,利用点=|OA|•d,即可求得平行四到直线的距离公式,d=,则S=2S△OPA边形PAOB的面积.【解答】解:方法一:双曲线=1的渐近线方程为y=±x,不妨设P为双曲线右支上一点,其坐标为P(6secφ,5tanφ),则直线PA的方程为y﹣5tanφ=﹣(x﹣6secφ),将y=x代入,解得点A的横坐标为x A=3(s ecφ+tanφ).同理可得,点B的横坐标为x B=3(secφ﹣tanφ).设∠AOF=α,则tanα=.∴平行四边形PAOB的面积为S□PAOB=|OA|∙|OB|∙sin2α=••sin2α=•sin2α=•tanα=18×=15,平行四边形PAOB的面积15,方法二:双曲线=1的渐近线方程为y=±x,P(x0,y0)直线PA的方程为y﹣y0=﹣(x﹣x0),直线OB的方程为y=x,,解得x A=(6y0+5x0).又P到渐近线OA的距离d==,又tan∠xOA=∴cos∠xOA=,=|OA|•d==×丨∴平行四边形OQPR的面积S=2S△OPA6y0+5x0丨×=×900=15,故答案为:15.15.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有732种不同的涂色方法.【考点】排列、组合的实际应用.【分析】分三类讨论:A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E 用3种颜色,利用分步计数原理,可得结论.【解答】解:考虑A、C、E用同一颜色,此时共有4×3×3×3=108种方法.考虑A、C、E用2种颜色,此时共有C42×6×3×2×2=432种方法.考虑A、C、E用3种颜色,此时共有A43×2×2×2=192种方法.故共有108+432+192=732种不同的涂色方法.故答案为732.16.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为.【考点】轨迹方程;数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,设出动点的坐标,利用向量的坐标公式求出向量坐标,利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程,得到P的轨迹是底面圆的弦,利用勾股定理求出弦长.【解答】解:以AB所在直线为x轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,﹣1,0),B(0,1,0),,,设P(x,y,0).于是有.由于AM⊥MP,所以,即,此为P点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为故答案为三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,且是1与a n的等差中项.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设T n为数列{}的前n项和,证明:<T n<1(n∈N*)【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(Ⅰ)n=1时,可求得a1=1;依题意,4S n=(a n+1)2,n≥2时,4S n﹣1=(a n﹣1+1)2,二式相减,可得a n﹣a n﹣1=2,从而可求数{a n}的通项公式;(Ⅱ)利用裂项法可求得=﹣,于是可求数列{}的前n项和T n,利用放缩法即可证明.【解答】解:(Ⅰ)n=1时,a1=1,n≥2时,4S n﹣1=(a n﹣1+1)2,又4S n=(a n+1)2,两式相减得:(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣2)=0,∵a n>0,∴a n﹣a n﹣1=2,∴数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,即a n=2n﹣1.(Ⅱ)由=﹣,故T n=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣<1当n=1时,T1=,故<T n<1(n∈N*)18.第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).(Ⅰ)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);(Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假设两国代表团获得的金牌数不会相等),规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知甲、乙猜中国代表团的概率都为,丙猜中国代表团的概率为,三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为X,求X的分布列及数学期望EX.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】(Ⅰ)作出两国代表团获得的金牌数的茎叶图,通过茎叶图可以看出,中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值,俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中,中国代表团获得的金牌数比较分散.(Ⅱ)由已知得X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和EX.【解答】解:(Ⅰ)两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值;俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中,中国代表团获得的金牌数比较分散.…(Ⅱ)由已知得X的可能取值为0,1,2,3,设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙猜中国代表团,则P(X=0)=P()P()P()=(1﹣)2(1﹣)=,P(X=1)==+(1﹣)2×=,P(X=2)==()2(1﹣)+C()(1﹣)()=,P(X=3)=P(A)P(B)P(C)=()2()=,故X的分布列为:…EX==.…19.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CD1的中点,AA1=AD=1,AB=2.(1)求证:EF∥平面BCC1B1;(2)求证:平面CD1E⊥平面D1DE;(3)在线段CD1上是否存在一点Q,使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°,若存在,求的值,不存在,说明理由.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】(1)过F作FM∥C1D1交CC1于M,连结BM,推导出EBMF是平行四边形,从而EF∥BM,由此能证明EF∥平面BCC1B1.(2)推导出D1D⊥CE,CE⊥DE,从而CE⊥平面D1DE,由此能证明平面CD1E ⊥平面D1DE.(3)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系,利用向量法能求出线段CD1上存在一点Q,使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°,且=.【解答】证明:(1)过F作FM∥C1D1交CC1于M,连结BM,∵F是CD1的中点,∴FM∥C1D1,FM=C1D1,又∵E是AB中点,∴BE∥C1D1,BE=C1D1,∴BE∥FM,BE=FM,EBMF是平行四边形,∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1内,∴EF∥平面BCC1B1.(2)∵D1D⊥平面ABCD,CE在平面ABCD内,∴D1D⊥CE在矩形ABCD中,DE2=CE2=2,∴DE2+CE2=4=CD2,∴△CED是直角三角形,∴CE⊥DE,∴CE⊥平面D1DE,∵CE在平面CD1E内,∴平面CD1E⊥平面D1DE.解:(3)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系,则C(0,2,0),E(1,1,0),D1(0,0,1)平面D1DE的法向量为=(﹣1,1,0),设=(0,2λ,﹣λ),(0<λ<1),则Q(0,2λ,1﹣λ),设平面DEQ的法向量为=(x,y,z),则,令y=1,则=(﹣1,1,),∵二面角Q﹣DE﹣D1为45°,∴cos45°===,由于0<λ<1,∴﹣1,∴线段CD1上存在一点Q,使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°,且=.20.如图,设椭圆C1: +=1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由已知可得a,又由椭圆C1的离心率得c,b=1即可.(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为:x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2)联立得y2﹣8my﹣16=0.|AB|=,同理得|CF|=•.△ABC面积s=|AB|•|CF|=.令,则s=f(t)=,利用导数求最值即可.【解答】解:(1)∵椭圆C1: +=1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,∴a=2,又∵椭圆C1的离心率是.∴c=,⇒b=1,∴椭圆C1的标准方程:.(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为:x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2)联立得y2﹣8my﹣16=0.y1+y2=8m,y1y2=﹣16,∴|AB|==8(1+m2).过F且与直线l垂直的直线设为:y=﹣m(x﹣2)联立得(1+4m2)x2﹣16m2x+16m2﹣4=0,x C+2=,⇒x C=.∴|CF|=•.△ABC面积s=|AB|•|CF|=.令,则s=f(t)=,f′(t)=,令f′(t)=0,则t2=,即1+m2=时,△ABC面积最小.即当m=±时,△ABC面积的最小值为9,此时直线l的方程为:x=±y+2.21.已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2(f'(x)+)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;(Ⅲ)求证:×××…×<(n≥2,n∈N*).【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函数的增区间(或减区间),对于本题的(1)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况;(2)点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,即切线斜率为1,即f'(2)=1,可求a值,代入得g(x)的解析式,由t∈[1,2],且g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数可知:,于是可求m的范围.(3)是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利用前面的结论构造函数,利用函数的单调性,对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解.【解答】解:(Ⅰ)当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞);当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1];当a=0时,f(x)不是单调函数(Ⅱ)得a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3∴,∴g'(x)=3x2+(m+4)x﹣2∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=﹣2∴由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,所以有:,∴(Ⅲ)令a=﹣1此时f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以f(1)=﹣2,由(Ⅰ)知f(x)=﹣lnx+x﹣3在(1,+∞)上单调递增,∴当x∈(1,+∞)时f(x)>f(1),即﹣lnx+x﹣1>0,∴lnx<x﹣1对一切x∈(1,+∞)成立,∵n≥2,n∈N*,则有0<lnn<n﹣1,∴∴[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程;(2)由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标.另外:设P(cosα,sinα),由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最小值和P的坐标.【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1,即有椭圆C1: +y2=1;曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2,即有ρ(sinθ+cosθ)=2,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0,即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0;(2)由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0,由直线与椭圆相切,可得△=36t2﹣16(3t2﹣3)=0,解得t=±2,显然t=﹣2时,|PQ|取得最小值,即有|PQ|==,此时4x2﹣12x+9=0,解得x=,即为P(,).另解:设P(cosα,sinα),由P到直线的距离为d==,当sin(α+)=1时,|PQ|的最小值为,此时可取α=,即有P(,).[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(1)当a=2时,由已知得|2x﹣2|+2≤6,由此能求出不等式f(x)≤6的解集.(2)由f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,得|x﹣|+|x﹣|≥,由此能求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,∴﹣2≤x﹣1≤2,解得﹣1≤x≤3,∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.(2)∵g(x)=|2x﹣1|,∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3,|x﹣|+|x﹣|≥,当a≥3时,成立,当a<3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥>0,∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,解得2≤a<3,∴a的取值范围是[2,+∞).4月10日。
江西省鹰潭市2021届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)
江西省鹰潭市2021届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知复数312i z i=+,则复数z 的实部为( )A. 25-B. 25i -C. 15-D. 15i -【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:∵3(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i --===--++-, ∴复数z 的实部为25-. 故选A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.2.已知集合|A x y ⎧⎫==⎨⎩,{}|31xB y y ==-,则( ) A. B A ⊆B. A B ⊆C. A B =D.A B ⋂=∅【答案】B 【解析】 【分析】集合A 研究对象是定义域,集合B 的研究对象是值域,分别求得,A B 的范围,由此得出选项. 【详解】集合A 研究对象是定义域,即220x x -++>,解得12x -<<.集合B 的研究对象是值域,由于30,311xx>->-,即1y >-.所以集合A 是集合B 的子集.故选B.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象,考查函数的定义域与函数的值域,还考查了子集的知识,属于基础题.3.如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是()A. 2018年14~月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B. 2018年14~月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C. 从两图来看,2018年14~月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从14~月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A: 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值为439724111986-=,接近2000万件,所以A是正确的;对于选项B: 2018年1~4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%,均超过50%,在3月最高,所以B是正确的;对于选项C:2月份业务量同比增长率为53%,而收入的同比增长率为30%,所以C是正确的;对于选项D,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%,并不是逐月增长,D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用,新知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知向量a与b的夹角为120︒,3a=,||13a b+=,则||b=()A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件对||13a b +=两边平方,进行数量积的运算即可得到2||3||40b b --=,解该方程即可得出||b .【详解】解:根据条件,222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=; ∴解得4b =,或1-(舍去). 故选C .【点睛】考查数量积的运算及其计算公式,解一元二次方程和 22||b b =.5.曲线344y x x =-+在点(1,1)处的切线的倾斜角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 135【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数,在(1,1)处的导数就是切线的斜率,然后求出倾斜角即可.【详解】解:344y x x =-+可得,2()34f x x '=-,(1)1f '=-,设切线的倾斜角为α,tan 1α=- 可得135α=︒ 故选D .【点睛】本题考查直线的倾斜角,利用导数研究曲线上某点切线方程,考查计算能力,是基础题.6.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ,若存在实数1x 、2x ,使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为( )A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得2A =,根据题意即求半个周期的A 倍. 【详解】解:依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++3sin2019cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2A ∴=,22019T π=, 12||22019min T x x π∴-==,12A x x ∴-的最小值为22019π,故选:C .【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质,考查三角函数恒等变换,属中档题.7.在如图算法框图中,若33(21sin )a x x dx -=++⎰,程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍,那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )A. 3k <B. 3k >C. 4k <D. 4k >【答案】C【解析】 【分析】根据积分和二项式定理的内容求出a ,S ,结合程序框图进行模拟运算即可.【详解】解:()33233(21sin )cos a x x dx x x x--=++=+-⎰93cos393cos36=+--++=,二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数为325240C ⋅=,即340120S =⨯=,根据程序图 若填5k =,6a =,6S =,S 不满足条件.4k =,S 6530=⨯=,S 不满足条件.3k =,654120S =⨯⨯=,则3k =满足条件.输出120S =, 故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,求出a ,S 的值,利用模拟运算法是解决本题的关键.8.已知抛物线C :22(0)x py p =>的焦点为F ,抛物线C 的准线与y 轴交于点A ,点()01,M y 在抛物线C 上,05||4y MF =,则tan FAM ∠=( ) A.25B.52C.54D.45【答案】D 【解析】 【分析】过M 向抛物线的准线作垂线,垂足为N ,根据MN MF 和M 在坐标求出p 的值,进而可得出MN 的值,再计算出tan FAM ∠即可.【详解】解:过M 向抛物线的准线作垂线,垂足为N ,则005||24y p MN y =+=,故02y p =. 又()01,M y 在抛物线上,故012y p =,于是122p p =,解得12p =,∴055||44y MN ==,∴||4 tan tan||5ANFAM AMNMN∠=∠==.故选D.【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:3cm)是()A. 431033C. 3833【答案】B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,1104323333V=⋅=.故选:B.10.设P为双曲线22221x ya b-=右支上一点,1F,2F分别为该双曲线的左右焦点,c,e分别表示该双曲线的半焦距和离心率.若120PF PF ⋅=,直线2PF 交y 轴于点A ,则1AF P 的内切圆的半径为( ) A. a B. bC. cD. e【答案】A 【解析】分析:首先应用向量的数量积等于零,可以断定向量垂直,从而得到三角形是直角三角形,之后应用直角三角形的内切圆的半径等于两直角边和减去斜边长,再结合双曲线的定义最后求得结果.详解:根据题意120PF PF ⋅=,可知1AF P ∆是直角三角形,根据直角三角形的内切球的半径公式以及双曲线的定义可知11122r PF PA AF PF PA AF =+-=+-1212()2PF AF PA PF PF a =--=-=,求得r a =,故选A.点睛:该题考查的是有关直角三角形的内切圆的半径公式,一是要注意向量垂直的条件为向量的数量积等于零的应用,再者就是双曲线的定义要铭记.11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=,且(2,2]x ∈-时,()2111,022()2,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪⎝⎭=⎨⎪-+-<≤⎩,则函数4()()log g x f x x =-的零点个数是( )A. 4B. 7C. 8D. 9【答案】D 【解析】根据()()4f x f x +=可知,函数的周期为4,画出()f x 与4log y x =的图象如下图所示,由图可知它们交点个数为8,也即()g x 的零点个数为8个.【点睛】本题主要考查周期函数图像的画法,考查分段函数图像的画法,考查含有绝对值函数的图像画法.对于分段函数,需要将图像每一段都画出来,题给函数()f x 第一段函数含有两个绝对值,则分成()[]0,1,1,2两段,去绝对值来画.log a y x =的图像是由log a y x =的图像保留,然后关于y 轴对称再画另一半所得.12.设*n N ∈,函数1()xf x xe =,21()()f x f x '=,32()()f x f x '=,…,1()()n n f x f x +'=,曲线()n yf x 的最低点为n P ,12n n n P P P ++的面积为n S ,则( )A. {}n S 是常数列B. {}n S 不是单调数列C. {}n S 是递增数列D. {}n S 是递减数列 【答案】D 【解析】根据题意得()()()'211xf x f x x e ==+,()()()'322xf x f x x e ==+…,()()()'1x n n f x f x x n e +==+,又曲线()n y f x =的最低点为n P ,则当1n =时111P e-⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当2n =时1212P e -⎛⎫- ⎪⎝⎭,,当3n =时1313P e ,-⎛⎫- ⎪⎝⎭…,则1n n P n e -⎛⎫- ⎪⎝⎭,,1111n n P n e ,++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,2212n n P n e ++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,222211122n n n n P P n e e e k e+++----==--,2n n P P l +:()22112n n e y x n e e +---=-+ 2222211212n n e d e e e ++-=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,222214n n n e P P e ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭则()122212n n n P P P n e S e ++∆+-==所以{}n S 是递减数列,故选D点睛:本题根据题意总结出()n f x 最低点的规律,计算三角形面积时采用了点到线的距离为高,在计算出底边长度,从而计算出面积,这样虽计算量较大,但是最后好多可以约去,得出函数的单调性,本题也可以通过分割三角形计算面积二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设变量x ,y 满足约束条件0020x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩,则26z x y =-+的最大值为__________.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,将目标函数化为11322y x z =+-,利用数形结合即可的得到结论.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由26z x y =-+得直线l :11322y x z =+-, 平移直线l ,由图象可知当直线l 经过点(0,0)O 时截距最小,此时z 最大,max 6z =. 即z 的最大值是6。
2021届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试理科数学试卷
2021年江西省鹰潭市高三第一次模拟考试理科数学试卷 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.设集合,集合,则等于( ) A .()3,7 B .[]3,7 C .(]3,7 D .[)3,72.已知为虚数单位,为实数,复数z =(a −2i)(1+i)在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条 3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a n >0,q >1,且a 3+a 5=20,a 2a 6=64, 则=( )A .63B .48C .42D .36 4.已知,则( ) A .-35 B .35 C .-45 D .45 5.已知命题:抛物线的准线方程为;命题:若函数为偶函数,则关于对称.则下列命题是真命题的是 A . B . C .(¬p)∧(¬q) D .6.已知实数{},8,7,6,5,4,3,2,1∈x ,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于...121的概率为( )A .34B .85C .87D .21 7.已知,则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中,项的系数为( )A .638B .6316C .D .638- 8.甲乙两人从门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有( ) A .30种 B .36种 C .60种 D .72种 9.已知是双曲线的左焦点,过作倾斜角为的直线,直线与双曲线交于点与轴交于点且,则该双曲线的离心率等于( ) A . B . C . D . 10.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集( )A .B .C .D .11.设函数,若对任意给定的,都存在唯一的,满足,则正实数a 的最小值是 ( )A .B .C .D .二、填空题 12.已知2a =,3b =,且a 与b 的夹角为60,则2a b -= .13.设实数,x y 满足,{102,1,x y y x x ≤≤-≥则124yx z ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的最大值为 .14.棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则的最小值为 .15.球为边长为的正方体的内切球,为球的球面上动点,为中点,DP BM ⊥,则点的轨迹周长为 . 三、解答题16.(本小题满分12分)已知公比为负值的等比数列{}n a 中,154a a =,41a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()11112231n n n n b n n +++=++⋅⋅⋅+⨯⨯+,求数列{}n n a b +的前n 项和n S . 17.(本小题满分12分)湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱,节目每周直播一次,在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕,现场的某位大众评审对这位歌手进行投票,每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的,求:(1)恰有人把票投给歌手甲的概率;(2)投票结束后得票歌手的个数的分布列与期望.18.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,AE ⊥平面ABC ,CD ∥AE ,F 是BE 的中点,BC AC =1=,90ACB ∠=︒,22==CD AE .(1)证明DF ⊥平面ABE ;(2)求二面角A BD E --的余弦值的大小.19.(小题满分12)椭圆C 的方程为2222 1 (0)x y a b a b+=>>,1F 、2F 分别是它的左、右焦点,已知椭圆C 过点(0, 1),且离心率e =. (1)求椭圆C 的方程; (2)如图,设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ,直线l 的方程为4x =,P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点,求12F D F E ⋅的值;(3)过点(1 0)Q ,任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点,与l 交于R 点,RM xMQ =,RN yNQ =. 求证:4450x y ++=.20.已知函数f(x)=x 2−ax(a ≠0),g(x)=lnx ,f(x)图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为l 1,g(x −1)与x 轴的交点N 处的切线为l 2, 并且l 1与l 2平行.(1)求f(2)的值;(2)已知实数t ∈R ,求函数y =f[xg(x)+t],x ∈[1,e]的最小值;(3)令F(x)=g(x)+g′(x),给定x ,1x 2∈(1,+∞),x<1x 2,对于两个大于1的正数,存在实数满足:,,并且使得不等式|F(α)−F(β)|<|F(x 1)−F(x 2)|恒成立,求实数的取值范围. 21.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ,BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、,若102==PB PA . (1)求证:AB AC 2=;(2)求DE AD ⋅的值.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程P E已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数). (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14=AB ,求直线的倾斜角α的值. 23.设函数f (x )=|x -a |.(1)当a =2时,解不等式f (x )≥4-|x -1|;(2)若f (x )≤1的解集为[0,2],112a m n+=(m >0,n >0),求证:m +2n ≥4.参考答案1.D【解析】试题分析:由题可知,,解得,故集合,,解得,故集合,即,因此选D.考点:集合的交并补运算2.A【解析】试题分析:由题可知,,当时,点M的坐标为,在第四象限,然而当点在第四象限时,有,解得,因此“”是“点在第四象限”的充分而不必要条件;考点:•复平面的定义 充要条件的判断3.A【解析】试题分析:由题可知,有,,解得,因此,;考点:•等比数列的通项公式 等比数列的求和公式4.D【解析】试题分析:由题可知,,于是,根据,有;考点:•三角函数和差化积 诱导公式5.D【解析】∵函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为π,∴命题p为假命题;∵函数为偶函数,2∴f(x +1)=f(1−x),∴关于对称,故命题q 为真命题,由真值表可知命题为真命题,故选D 6.B【解析】 试题分析:由题可知,当输入1=x 时,进过循环,输出40=x ,当输入2=x 时,进入循环,输出67=x ,当输入3=x 时,进入循环,输出94=x ,当开始输入大于4的时候,输出的x 均满足题意,因此输出的x 不小于...121的概率为85; 考点:程序框图7.C【解析】试题分析:由题可知,,于是,即原式912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 变为,则项为,因此项的系数为; 考点:•定积分运算 二项式定理8.A【解析】试题分析:甲乙从4门课程中各选修2门共有224436C C =种选法,用对立事件做,其中甲乙所选课程相同时共有246C =种选法,所以甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36630-=种.故C 正确.考点:排列组合.9.B【解析】试题分析:由题可知,设过焦点F 作倾斜角为的直线为,故点,设点,由,可得,解得,将点A代入到双曲线方程中,根据,解得,故;考点:双曲线的离心率10.A【解析】试题分析:由题意得,令,其导函数为∵时,,∴∴在上单调递增;又不等式可化为,即,∴;解得,∴该不等式的解集是为,故选A.考点:函数的单调性与导数的关系.【方法点睛】本题主要考查的是利用函数的单调性与导数的关系,属于中档题,根据条件可构造函数,利用函数的单调性和导数的关系可判断的单调性,再把不等式化为,利用单调性求出不等式的解集,因此正确的构造函数是解决这类问题的关键.11.B【解析】试题分析:当时,,值域为(0,1],所以;当时,,值域为,所以;当时,,值域为,则,故,当时,值域为,当时,值域为,因为,所以,对称轴为,故在上是增函数,则在上的值域为,即),有题意知,,解得,故正实数a 的最小值为; 考点:指数函数的解析式以及定义12【分析】把已知条件代入向量的模长公式计算可得【详解】2a = ,3b =,a b ,的夹角为60︒则有23cos603a b ⋅=⨯⨯︒=()22224413a b a a b b ∴-=-⋅+= 则213a b -=故答案为13【点睛】本题主要考查的是平面向量数量积的运算以及向量模的计算,解题时可以采用平方的思想,属于基础题13. 【解析】 试题分析:由题可知,做出函数的可行域如图,当目标函数经过点A 时,取得最大值,即; 考点:简单的线性规划14【解析】试题分析:由三视图可知该几何体为三棱锥,底面直角三角形边长为1,y,有一条侧棱垂直于底面,设侧棱长为m,则有22224 {1m ym x+=+=,整理得225522x y xy xy+=≥∴≤≤115x yx y xy+∴+=≥=≥=,当期仅当x y=时等号成立,最小值为5考点:1.三视图;2.均值不等式求最值15.【解析】试题分析:由题可知,要有DP BM⊥,利用三垂线定理,只需考虑DP在平面的射影与垂直,由平面几何知识可知为的中点,如图2所示,此时,的轨迹即为过与平面垂直的平面与球O面相交截得的圆,此时球心O到此圆面的距离即为到的距离,由正方体的边长为4,如图3,与,可得,在中,为的中点,,所以,即球心O到此圆面的距离为,又球O 的半径为1,所以圆(的轨迹)的半径为,因此所求P 的轨迹周长(即为此圆的周长)为.考点:柱、锥、台、球的结构特征 16.(1)1)21(8--=n n a ;(2)n S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n )21(1316)1(21++n n ; 【解析】试题分析:(1)由题可知,等比数列的通项公式为11-=n n q a a ,通过154a a =,41a =-,求得公比q 为21-,首项81=a ,代入到通项公式中,即可得到1)21(8--=n n a ;(2)通过裂项相消法,解出n b 的通项公式为n b n =,故数列{}n n a b +由等差数列和等比数列组成,根据等差数列与等比数列的前n 项和,得出前n 项和n S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n )21(1316)1(21++n n ; 试题解析:(1)因为数列{}n a 是等比数列,所以42351==a a a ,则23-=a 或2,因为数列{}n a 的公比为负值,所以23=a ,故2134-==a a q ,则8231==qa a ,故111)21(8---==n n n q a a 即数列{}n a 的通项公式为1)21(8--=n n a 6分 (2)由条件知,)1(1321211+++⋅⋅⋅⋅+⨯++⨯+=n n n n n b n ))1(1321211)(1(++⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+=n n n )1113121211)(1(+-+⋅⋅⋅⋅+-+-+=n n n n n n =+-+=)111)(1( 9分则n b a n n n +-=+-1)21(8故)(21n n a a a S +⋅⋅⋅⋅++=)(21n b b b +⋅⋅⋅⋅+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n )21(1316)1(21++n n 。
2021年江西省鹰潭市中国数学奥林匹克协作体学校高三数学理模拟试题含解析
2021年江西省鹰潭市中国数学奥林匹克协作体学校高三数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若是偶函数,且当x∈时,,则的解集是()A.{|-1 << 0} B.{| < 0或1< < 2}C.{| 0 < < 2} D.{| 1 << 2}参考答案:C略2. 经统计,某地的财政收入与支出满足的线性回归模型是(单位:亿元),其中为随机误差,如果今年该地区财政收入10亿元,则年支出预计不超出( )A.10亿B.11亿C.11.5亿 D.12亿参考答案:D3. 已知sin(α+)+sin α=-,则cos(α+)的值为A.-B.C.-D.参考答案:B本题主要考查三角恒等变换.解答本题时要注意根据两角和的三角公式以及诱导公式,结合角与角之间的关系灵活处理. 因为sin(α+)+sin α=-,所以sin(α+)+sin α=sin α+cos α=sin(α+)=-,所以sin(α+)=-.因为(α+)-(α+)=,所以cos(α+)=cos(+α+)=-sin(α+)=.故选B.4. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布()A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺参考答案:B【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的定义与前n项和求解即可.【解答】解:由题意每天织布的数量组成等差数列,在等差数列{a n}中,a1=5,a30=1,∴S30==90(尺).故选:B.【点评】本题考查了等差数列的前n项和的求法问题,解题时应注意数列知识在生产生活中的合理运用,是基础题目.5. 命题“若”的逆否命题是A.若B.若C.若则D.若参考答案:D略6. 若函数,则= 。
江西省鹰潭市2021届高三数学一模试题文含解析
江西省鹰潭市2021届高三数学一模试题文(含解析)一、单选题(共12小题).1.已知(1+i)z=i(i为虚数单位),在复平面内,复数z的共轭复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合M={x|x2﹣2021x≤0},N={﹣1,0,1,2},则集合M∩N=()A.{1,2} B.{0,1,2} C.{﹣1,0} D.∅3.下列说法①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;②设有一个回归方程,变量x增加1个单位时,y平均增加5个单位;③线性回归方程必过点;④设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0,x,y之间的线性相关程度越高;其中错误的个数是()A.3 B.2 C.1 D.04.已知直线l1:mx+(m+1)y+2=0,l2:(m+1)x+(m+4)y﹣3=0,则“m=﹣2”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.图①是程阳永济桥又名“风雨桥”,因为行人过往能够躲避风雨而得名.已知程阳永济桥上的塔从上往下看,其边界构成的曲线可以看作正六边形结构,如图②所示,且各层的六边形的边长均为整数,从内往外依次成等差数列,若这四层六边形的周长之和为156,且图②中阴影部分的面积为,则最外层六边形的周长为()A.30 B.42 C.48 D.546.袋子中有四张卡片,分别写有“瓷、都、文、明”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“瓷、都、文、明”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件A发生的概率为()A.B.C.D.7.如图1,直线EF将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿边EF翻折,如图2,在翻折过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合),下列说法正确的是()A.在翻折过程中,恒有直线AD||平面BCFB.存在某一位置,使得CD||平面ABFEC.存在某一位置,使得BF||CDD.存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE8.已知P(x,y)是圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=r2(r>0)上任意一点,若|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值,则实数r的取值范围是()A.0<r≤1 B.1≤r≤2 C.r≥1 D.r≥29.过点的直线l与抛物线y2=2x交于A、B两点,C(2,0).则△ABC面积的最小值为()A.B.C.D.210.如图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是()A.3 B.4 C.5 D.611.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,AB=2AD=4,平面PAD ⊥底面ABCD,△PAD为等边三角形,则球面O的表面积为()A.B.32πC.64πD.12.已知曲线f(x)=ke﹣x在点x=0处的切线与直线x﹣2y﹣1=0垂直,若x1,x2是函数g (x)=f(x)﹣|lnx|的两个零点,则()A.|x1﹣x2|>2 B.x1+x2>eC.<x1x2<1 D.<x1x2<1二、填空题(每小题5分).13.已知tanα=,则=.14.已知{a n},{b n}均为等比数列,其前n项和分别为S n,T n,若对任意的n∈N*,总有=,则=.15.已知向量,且,若,其中x>0、y>0且x+y=4,则的最小值为.16.已知F1,F2是双曲线的左,右焦点,点P在双曲线的右支上,如果|PF1|=t|PF2|(t∈(1,3]),则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是.三、解答题17.已知函数的最小正周期为π.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边,角A是锐角,f(A)=0,a=1,b+c=2,求△ABC的面积.18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,BC⊥平面PAB,PA=PB=AB=BC=2AD=2,点E为线段PB的中点.(1)求证:平面DAE⊥平面PBC;(2)求三棱锥D﹣ACE的体积.19.2019年12月份至今,新冠肺炎的爆发引起全球关注.新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒,其传染性强,可通过呼吸道飞沫进行传播,传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现.新冠肺炎具有一定的潜伏期,为研究潜伏期与患者年龄的关系,一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息,得到如下列联表:潜伏期不超过6天潜伏期超过6天总计50岁以上(含50岁)65 35 100 50岁以下55 45 100 总计120 80 200 (1)根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关?(2)佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎,N95、R95、P95是三种不同材质的口罩,已知某药店现有N95、R95、P95口罩的个数分别为54个,36个,18个,某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查,再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比,求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率.附:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.63520.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点均在以原点为圆心,短半轴长为半径的圆上,且该圆截直线x+y﹣2=0所得的弦长为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知直线y=k(x﹣1)与椭圆C的两个交点为A、B,点D的坐标为(,0).问:的值是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.21.已知函数f(x)=e x﹣ax﹣1(其中a∈R,e为自然对数的底数).(1)若函数f(x)无极值,求实数a的取值范围;(2)当x>0时,证明:(e x﹣1)ln(x+1)>x2.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:极坐标与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|,(a>0).(1)若f(2)<a+1,求a的取值范围;(2)若对∀a∈(0,+∞),f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围.参考答案一、单选题(每小题5分).1.已知(1+i)z=i(i为虚数单位),在复平面内,复数z的共轭复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:由(1+i)z=i,得,∴复数z的共轭复数对应的点是,在第四象限.故选:D.2.已知集合M={x|x2﹣2021x≤0},N={﹣1,0,1,2},则集合M∩N=()A.{1,2} B.{0,1,2} C.{﹣1,0} D.∅解:∵M={x|0≤x≤2021},N={﹣1,0,1,2},∴M∩N={0,1,2}.故选:B.3.下列说法①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;②设有一个回归方程,变量x增加1个单位时,y平均增加5个单位;③线性回归方程必过点;④设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0,x,y之间的线性相关程度越高;其中错误的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0解:①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,正确;②设有一个回归方程,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位,因此不正确;③线性回归方程必过点,正确;④设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0,x,y之间的线性相关程度越弱,因此不正确.其中错误的个数是2.故选:B.4.已知直线l1:mx+(m+1)y+2=0,l2:(m+1)x+(m+4)y﹣3=0,则“m=﹣2”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:若“l1⊥l2”,则m(m+1)+(m+1)(m+4)=0,解得:m=﹣1,或m=﹣2故“m=﹣2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选:A.5.图①是程阳永济桥又名“风雨桥”,因为行人过往能够躲避风雨而得名.已知程阳永济桥上的塔从上往下看,其边界构成的曲线可以看作正六边形结构,如图②所示,且各层的六边形的边长均为整数,从内往外依次成等差数列,若这四层六边形的周长之和为156,且图②中阴影部分的面积为,则最外层六边形的周长为()A.30 B.42 C.48 D.54解:设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1,a2,a3,a4成等差数列,由题意得6(a1+a2+a3+a4)=156,即a1+a2+a3+a4=26,所以2a1+3d=13,因为阴影部分的面积S=6×=,所以=11,联立得或(不合题意舍),故a4=a1+3d=8,所以最外层六边形的周长为48.故选:C.6.袋子中有四张卡片,分别写有“瓷、都、文、明”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“瓷、都、文、明”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件A发生的概率为()A.B.C.D.解:利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“瓷、都、文、明”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 估计事件A发生的随机数有:021,001,130,031,103,共5个,由此可以估计事件A发生的概率为p=.故选:C.7.如图1,直线EF将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿边EF翻折,如图2,在翻折过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合),下列说法正确的是()A.在翻折过程中,恒有直线AD||平面BCFB.存在某一位置,使得CD||平面ABFEC.存在某一位置,使得BF||CDD.存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE解:对于A,由题意得:DE∥CF,AE∥BF,∵AE∩DE=E,BF∩CF=F,∴平面ADE∥平面BCF,∵AD⊂平面ADE,∴在翻折过程中,恒有直线AD||平面BCF,故A正确;对于B,∵直线EF将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,∴CD与EF相交,∴不存在某一位置,使得CD||平面ABFE,故B错误;对于C,∵CD∩平面BFC=F,BF⊂平面BFC,∴不存在某一位置,使得BF||CD,故C错误;对于D,∵四边形DEFC是梯形,DE⊥CD,∴DE与EF不垂直,∴不存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE,故D错误.故选:A.8.已知P(x,y)是圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=r2(r>0)上任意一点,若|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值,则实数r的取值范围是()A.0<r≤1 B.1≤r≤2 C.r≥1 D.r≥2解:由题意可知此圆夹在两直线3x﹣4y=0和3x﹣4y+16=0之间时,|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值,所以,∴0<r≤1.故选:A.9.过点的直线l与抛物线y2=2x交于A、B两点,C(2,0).则△ABC面积的最小值为()A.B.C.D.2解:设直线l的方程为:x=ty+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程,消去x得:y2﹣2ty﹣1=0,∴y1+y2=2t,y1y2=﹣1,∴S△ABC===,∴当t=0时,S△ABC的值取到最小值,最小值为,故选:A.10.如图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是()A.3 B.4 C.5 D.6解:由程序框图知:第一次循环sin=1>sin0=0,a=1,T=1,k=2;第二次循环sinπ=0<sin=1,a=0,T=1,k=3;第三次循环sin=﹣1<sinπ=0,a=0,T=1,k=4;第四次循环sin2π=0>sin=﹣1,a=1,T=2,k=5;第五次循环sin=1>sin2π=0,a=1,T=3,k=6.不满足条件k<6,跳出循环,输出T=3.故选:A.11.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,AB=2AD=4,平面PAD ⊥底面ABCD,△PAD为等边三角形,则球面O的表面积为()A.B.32πC.64πD.解:令△PAD所在圆的圆心为O1,则圆O1的半径r=,因为平面PAD⊥底面ABCD,所以OO1=AB=2,所以球O的半径R==,所以球O的表面积=4πR2=.故选:D.12.已知曲线f(x)=ke﹣x在点x=0处的切线与直线x﹣2y﹣1=0垂直,若x1,x2是函数g (x)=f(x)﹣|lnx|的两个零点,则()A.|x1﹣x2|>2 B.x1+x2>eC.<x1x2<1 D.<x1x2<1解:f(x)=ke﹣x的导数为f′(x)=﹣ke﹣x,在点x=0处的切线斜率为﹣k,由切线与直线x﹣2y﹣1=0垂直,可得﹣k=﹣2,解得k=2,则f(x)=2e﹣x,令g(x)=0,则|lnx|=2e﹣x,作出y=|lnx|和y=2e﹣x的图象,可知恰有两个交点,设零点为x1,x2且|lnx1|>|lnx2|,0<x1<1,x2>1,故有>x2,即x1x2<1.又g()=2e﹣2<0,g()=2e﹣1>0,可得<x1<.即x1x2>,g()<0,对x1右边界进一步缩小范围至g(e)>0,而x2>1,确定x2右边界g()<0,这样x1∈(,e),x2∈(1,),相乘得到<x1x2<.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知tanα=,则= 2 .解:====2.故答案为:2.14.已知{a n},{b n}均为等比数列,其前n项和分别为S n,T n,若对任意的n∈N*,总有=,则=9 .解:设{a n},{b n}的公比分别为q,q′,∵=,∴n=1时,a1=b1.n=2时,.n=3时,.∴2q﹣5q′=3,7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0,解得:,或(不合题意,舍去).∴.故答案为:9.15.已知向量,且,若,其中x>0、y>0且x+y=4,则的最小值为2.解:因为向量,且,,其中x>0、y>0且x+y=4,则2=x2+y2+2xy=x2+y2+xy=x2﹣4x+16=(x﹣2)2+12≥12;当x=2时取最小值12;∴x=2时,的最小值为:=2.故答案为:2.16.已知F1,F2是双曲线的左,右焦点,点P在双曲线的右支上,如果|PF1|=t|PF2|(t∈(1,3]),则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是.解:双曲线的渐近线方程为y=±x,设|PF1|=s,|PF2|=m,则s=mt(1<t≤3),由双曲线的定义可得s﹣m=2a,解得m=,由m≥c﹣a,可得t≤,又1<t≤3,可得≥3,即有c≤2a,则c2≤4a2,即b2≤3a2,可得所求渐近线斜率的范围是(0,].故答案为:(0,].三、解答题17.已知函数的最小正周期为π.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边,角A是锐角,f(A)=0,a=1,b+c=2,求△ABC的面积.【解答】(本题满分为12分)解:(Ⅰ)=,…∴T==π,从而可求ω=1,…∴f(x)=sin(2x+)…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,(k∈Z),可得:,所以f(x)的单调递增区间为:.…(Ⅱ)∵f(A)=0,∴,又角A是锐角,∴,∴,即.…又a=1,b+c=2,所以a2=b2+c2﹣2bc•cos A=(b+c)2﹣3bc,∴1=4﹣3bc,∴bc=1.…∴.…18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,BC⊥平面PAB,PA=PB=AB=BC=2AD=2,点E为线段PB的中点.(1)求证:平面DAE⊥平面PBC;(2)求三棱锥D﹣ACE的体积.解:(1)证明:由已知,BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,∴AE⊥BC,由PA=PB=AB,点E为线段PB的中点,∴AE⊥PB,∵PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC,∵AE⊂平面DAE,∴平面DAE⊥平面PBC.(2)解:由AD∥BC,得BC∥平面DAE,∴点C到平面DAE的距离等于点B到平面DAE的距离,由已知BC⊥平面PAB,AD∥BC,由题意得AD⊥平面PAB,∵PA=PB=AB=2,AD=1,∴AE=,∴三棱锥D﹣ACE的体积为:V D﹣ACE=V C﹣DAE=V B﹣DAE=V D﹣AEB==.19.2019年12月份至今,新冠肺炎的爆发引起全球关注.新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒,其传染性强,可通过呼吸道飞沫进行传播,传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现.新冠肺炎具有一定的潜伏期,为研究潜伏期与患者年龄的关系,一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息,得到如下列联表:潜伏期不超过6天潜伏期超过6天总计50岁以上(含50岁)65 35 100 50岁以下55 45 100 总计120 80 200 (1)根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关?(2)佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎,N95、R95、P95是三种不同材质的口罩,已知某药店现有N95、R95、P95口罩的个数分别为54个,36个,18个,某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查,再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比,求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率.附:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解:(1),故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关;(2)由题意,N95、R95、P95口罩分别抽取的个数分别为3个、2个、1个,记3个N95口罩为a1,a2,a3,2个R95口罩为b1,b2,1个P95口罩为c1,抽取的全部结果为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a3,b1)(a3,b2),(a3,c1),(b1,b2),(b1,c1),(b2,c1)共15种,至少一个是N95口罩的有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c1),共12种,所以至少一个是N95口罩的概率为.20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点均在以原点为圆心,短半轴长为半径的圆上,且该圆截直线x+y﹣2=0所得的弦长为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知直线y=k(x﹣1)与椭圆C的两个交点为A、B,点D的坐标为(,0).问:的值是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.解:(1)以原点为圆心,短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,因为圆x2+y2=b2过椭圆的两焦点,所以b=c,因为圆x2+y2=b2截直线x+y﹣2=0所得弦长为2,所以圆心到直线的距离与弦长的一半的平方和等于半径的平方,所以2=2,解得b=2,所以a2=b2+c2=2b2=8,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣8=0,所以△>0,所以x1+x2=,x1x2=,因为D(,0),所以=(﹣x1,﹣y1),=(﹣x2,﹣y2),所以•=(﹣x1,﹣y1)•(﹣x2,﹣y2)=x1x2﹣(x1+x2)++k2(x1﹣1)(x2﹣1),=(1+k2)x1x2﹣(+k2)(x1+x2)+k2+=(1+k2)()﹣(+k2)()+k2+=+=﹣,所以•的值为定值﹣.21.已知函数f(x)=e x﹣ax﹣1(其中a∈R,e为自然对数的底数).(1)若函数f(x)无极值,求实数a的取值范围;(2)当x>0时,证明:(e x﹣1)ln(x+1)>x2.【解答】(1)解:f'(x)=e x﹣x﹣a,∵函数f(x)是R上的单调递函数,∴f'(x)≥0在x∈R上恒成立,即e x﹣x≥a在x∈R时恒成立,或f'(x)≤0在x∈R上恒成立,即e x﹣x≤a在x∈R时恒成立,令g(x)=e x﹣x,则g'(x)=e x﹣1,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,则g(x)min=g(0)=1,无最大值,故f'(x)≥0在x∈R上恒成立,f(x)在R上单调递增,∴实数a的取值范围是(﹣∞,1];(2)证明:由(Ⅰ)可知,当a=1时,当x>0时,f(x)>f(0)=0,即e x﹣1>+x,欲证(e x﹣1)ln(x+1)>x2,只需证(+x)ln(x+1)>x2,即证ln(x+1)>即可,构造函数h(x)=ln(x+1)﹣(x>0),则h′(x)=﹣=>0恒成立,故h(x)在(0,+∞)单调递增,从而h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)﹣>0,亦即ln(x+1)>,故(e x﹣1)ln(x+1)>x2.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:极坐标与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.【解答】(1)直线L的参数方程为:(t为参数).曲线C的极坐标方程是,转化为直角坐标方程为:y2=8x(2)当时,直线l的参数方程为:(t为参数),代入y2=8x得到:.(t1和t2为A和B的参数),所以:,t1t2=﹣16.所以:.O到AB的距离为:d=.则:=.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|,(a>0).(1)若f(2)<a+1,求a的取值范围;(2)若对∀a∈(0,+∞),f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)f(2)=|2+|+|2﹣a|<a+1,∴2++|2﹣a|<a+1,等价于或,解得a≥2或<a<2,故a的取值范围为(,+∞)(2)a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥||≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|+a|=+a ∵a>0时,a+≥2=2,当且仅当a=1时取等号,∴∀a∈(0,+∞),f(x)≥m恒成立,∴m≤2.。
江西省鹰潭市高考第一次模拟数学试题(理)含答案
鹰潭市高三第一次模拟考试数学(理科) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知3)i z i ⋅=-(i 是虚数单位),那么复数z 对应的点位于复平面内的( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.用三段论推理:“任何实数的绝对值大于0,因为a 是实数,所以a 的绝对值大于0”,你认为这个推理( ) A .大前提错误B .小前提错误C .推理形式错误D .是正确的3.已知向量(1,2)a =,向量(3,4)b =-,则向量a 在向量b 方向上的投影为( ) A .2-B .1-C .0D .24.下列说法正确的是( )A .若命题p :0x R ∃∈,20010x x -+<,则p ⌝:x R ∀∉,210x x -+≥B .已知相关变量(,)x y 满足回归方程24y x =-,若变量x 增加一个单位,则y 平均增加4个单位C .命题“若圆C :22(1)()1x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点,则实数[]0,1m ∈”为真命题D .已知随机变量2~(2,)X N σ,若()P X a <0.32=,则(4)0.68P X a >-= 5.5(12)(1)x x --的展开式中3x 的系数为( ) A .10B .10-C .20-D .30-6.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是( )A .4B .43C .83D .27.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为( ) A .829尺 B .1629尺 C .3229尺 D .12尺 8.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象,只需将cos(2)6y x π=-图象上的所有点( ) A .向左平行移动6π个单位长度 B .向右平行移动6π个单位长度C .向左平行移动12π个单位长度 D .向右平行移动12π个单位长度 9.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ,与该抛物线及其准线从上向下依次交于A ,B ,C 三点,若||3||BC BF =,且||3AF =,则该抛物线的标准方程是( )A .22y x =B .23y x =C .24y x =D .26y x =10.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前n 项和,若2a ,3a ,6a 成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是( ) A .12-B .58-C .38-D .1532-11.已知函数2()cos()f n n n π=,且()(1)n a f n f n =++,则12100a a a +++=…( ) A .100-B .0C .100D .1020012.函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数,其导函数为'()f x ,且满足'()2()0xf x f x +>,则不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+的解集为( )A .{}|2011x x >-B .{}|2011x x <-C .{}|20110x x -<<D .{}|20162011x x -<<-第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知曲线2()21f x x =+在点00(,)M x y 处的瞬时变化率为8-,则点M 的坐标为 .14.设P 为双曲线2213625x y -=右支上的任意一点,O 为坐标原点,过点P 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A ,B 两点,则平行四边形PAOB 的面积为 . 15.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.16.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,S 是圆锥的顶点,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周),若AM MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S n S 1与n a 的等差中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,证明:213n T ≤<(*)n N ∈. 18.第32届夏季奥林匹克运动会将于在东京举行,下表是五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).第30届伦敦 第29届北京 第28届雅典 第27届悉尼 第26届亚特兰大中国 38 51 32 28 16 俄罗斯2423273226(Ⅰ)根据表格中两组数据完成五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);(Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假设两国代表团获得的金牌数不会相等),规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45,丙猜中中国代表团的概率为35,三人各自猜哪个代表团的结果互不影响,现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为X ,求X 的分布列及数学期望EX .19.长方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别是AB ,1CD 的中点,11AA AD ==,2AB =.(Ⅰ)求证://EF 平面11BCC B ; (Ⅱ)求证:平面1CD E ⊥平面1D DE ;(Ⅲ)在线段1CD 上是否存在一点Q ,使得二面角1Q DE D --为45︒,若存在,求11||||D Q D C 的值;若不存在,说明理由.20.如图,设椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>,长轴的右端点与抛物线2C :28y x =的焦点F 重合,且椭圆1C 的离心率是32.(Ⅰ)求椭圆1C 的标准方程;(Ⅱ)过F 作直线l 交抛物线2C 于A ,B 两点,过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ,求ABC ∆面积的最小值,以及取到最小值时直线l 的方程. 21.已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒,对于任意的[]1,2t ∈,函数32()('())2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数,求m 的取值范围; (Ⅲ)求证:ln 2ln 3ln 4ln 1234n n n⨯⨯⨯⨯<…(2n ≥,*n N ∈). 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(R α∈)(α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin()224πρθ+=.(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-,当x R ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.鹰潭市高三第一次模拟考试数学试题(理科)答案一、选择题1-5:CABCD 6-10:BBDCA 11、12:AD二、填空题13.(2,9)- 14.15 15.732 16.72三、解答题17.解:(Ⅰ)当1n =时,11a =,当2n ≥时,由公式可得11()(2)0n n n n a a a a --+--=,得12n n a a --=,所以{}n a 是等差数列,通项公式为21n a n =-. (Ⅱ)由12112121n n a a n n -=--+,故111111(1)()()1335212121n T n n n =-+-++-=--++…,所以213n T ≤<成立. 18.解:(Ⅰ)两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图:通过茎叶图可以看出,中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值;俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中,中国代表团获得的金牌数比较分散. (Ⅱ)由已知得X 的可能取值为0,1,2,3. 设事件A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙猜中国代表团, 则(0)()()()P X P A P B P C ==2432(1)(1)55125=--=, (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯--+-⨯=, (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =-+⋅⨯-⨯=, 24348(3)()()()()55125P X P A P B P C ===⨯=. 故X 的分布列为:X 0 1 2 3P2125 19125561254812521956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.(Ⅰ)证明:过F 作11//FM C D 交1CC 于M ,连接BM . ∵F 是1CD 的中点,∴11//FM C D ,1112FM C D =, 又∵E 是AB 中点,∴11//BE C D ,1112BE C D =, ∴//BE FM ,BE FM =,EBMF 是平行四边形, ∴//EF BM ,又BM 在平面11BCC B 内,∴//EF 平面11BCC B .(Ⅱ)证明:∵1D D ⊥平面ABCD ,CE 在平面ABCD 内, ∴1D D CE ⊥,在矩形ABCD 中,222DE CE ==, ∴2224DE CE CD +==,∴CED ∆是直角三角形,∴CE DE ⊥, ∴CE ⊥平面1D DE ,∵CE 在平面1CD E 内,∴平面1CD E ⊥平面1D DE .(Ⅲ)解:以D 为原点,DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系,则(0,2,0)C,(1,1,0)E ,1(0,0,1)D .平面1D DE 的法向量为(1,1,0)EC =-,设11(0,2,)DQ DC λλλ==-,(01λ<<),则(0,2,1)Q λλ-, 设平面DEQ 的法向量为(,,)n x y z =,则0,2(1)0,m DE x y m DQ y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令1y =,则2(1,1,)1n λλ=--,∵二面角1Q DE D --为45︒, ∴2||2cos 452||||222()1m EC m EC λλ⋅︒===⋅⋅+-, 由于01λ<<,∴21λ=,∴线段1CD 上存在一点Q ,使得二面角1Q DE D --为45︒,且11||21||D Q D C =.20.解:(Ⅰ)∵椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>,长轴的右端点与抛物线2C :28y x =的焦点F 重合, ∴2a =,又∵椭圆1C 33c =1b =, ∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=. (Ⅱ)过点(2,0)F 的直线l 的方程设为2x my =+,设11(,)A x y ,22(,)B x y , 联立22,8,x my y x =+⎧⎨=⎩得28160y my --=,∴128y y m +=,1216y y =-, ∴2221212||1()48(1)AB my y y y m =++-=+.过F 且与直线l 垂直的直线设为(2)y m x =--,联立22(2),1,4y m x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)161640m x m x m +-+-=,∴2216214C m x m +=+,故222(41)41C m x m -=+,∴2224||1|141C F CF m x x m m =+-=++ ABC ∆面积222116(1)||||1241m S AB CF m m +=⋅=++ 21m t +=,则3216()43t S f t t ==-,422216(49)'()(43)t t f t t -=-, 令'()0f t =,则294t =,即2914m +=时,ABC ∆面积最小, 即当5m =ABC ∆面积的最小值为9, 此时直线l 的方程为52x y =+. 21.解:(Ⅰ)(1)'()(0)a x f x x x-=>, 当0a >时,()f x 的单调增区间为(0,1],减区间为[1,)+∞;当0a <时,()f x 的单调增区间为[1,)+∞,减区间为(0,1]; 当0a =时,()f x 不是单调函数.(Ⅱ)'(2)12af =-=,得2a =-,()2ln 23f x x x =-+-, ∴32()(2)22mg x x x x =++-,∴2'()3(4)2g x x m x =++-,∵()g x 在区间(,3)t 上总不是单调函数,且'(0)2g =-,∴'()0,'(3)0.g t g <⎧⎨>⎩由题意知:对于任意的[]1,2t ∈,'()0g t <恒成立,所以有'(1)0,'(2)0,'(3)0,g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩∴3793m -<<-.(Ⅲ)令1a =-,此时()ln 3f x x x =-+-,所以(1)2f =-, 由(Ⅰ)知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增, ∴当(1,)x ∈+∞时,()(1)f x f >,即ln 10x x -+->, ∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立, ∵2n ≥,*n N ∈,则有0ln 1n n <<-,∴ln 10n n n n-<<, ∴ln 2ln 3ln 4ln 12311234234n n n n n-⋅⋅<⋅⋅=……(2n ≥,*n N ∈). 22.解:(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=. (Ⅱ)由题意,可设点P 的直角坐标为3,sin )αα,因为2C 是直线,所以||PQ 的最小值即P 到2C 的距离()d α的最小值,3()2sin()2|32d παα==+-.当且仅当26k παπ=+(k Z ∈)时,()d α2,此时P 的直角坐标为31(,)22.23.解:(Ⅰ)当2a =时,()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤,得13x -≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}|13x x -≤≤.(Ⅱ)当x R ∈时,()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+, 当12x =时等号成立, 所以当x R ∈时,()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥.(*)当1a ≤时,(*)等价于13a a -+≥,无解;当1a >时,(*)等价于13a a -+≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.。
江西省鹰潭市2023届高三高考一模数学(理)试题
一、单选题二、多选题1.已知函数满足,且在上单调,则在上的值域为( )A.B.C.D.2. 如图,生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,球缺的曲面部分叫做球冠,垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为,球缺的体积公式为,其中R 为球的半径,H 为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺,若两个球冠的面积之比为,则这两个球缺的体积之比为().A.B.C.D.3. 已知,则( ).A.B.C.D.4. 设,是不同的直线,,是不同的平面,则下列说法错误的是( )A .若,,,B .若,,则C .若,,,则D .若,,,则5. 谢尔宾斯基(Sierpinski )三角形是一种分形,它的构造方法如下:取一个实心等边三角形(如图1),沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形,挖去中间小三角形(如图2),对剩下的三个小三角形继续以上操作(如图3),按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2,则图4被挖去的三角形面积之和是()A.B.C.D.6. 过双曲线的右焦点作直线,且直线与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为,直线与另一条渐近线交于点,已知为坐标原点,若的内切圆的半径为,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D .或27. 中国足球队超级联赛的积分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某球队打完3场比赛,则该球队积分情况共有几种( )A.B.C.D.8. 已知函数,若对任意两个不等的正数,,都有恒成立,则的取值范围为A.B.C.D.9. 已知,则( )江西省鹰潭市2023届高三高考一模数学(理)试题三、填空题四、填空题五、填空题A .对于任意的实数,存在,使得与有互相平行的切线B .对于给定的实数,存在,使得成立C.在上的最小值为0,则的最大值为D .存在,使得对于任意恒成立10.在正方体中,点P满足,则()A .对于任意的正实数,三棱锥的体积始终不变B .对于任意的正实数,都有平面C .存在正实数,使得异面直线与所成的角为D .存在正实数,使得直线与平面所成的角为11. 已知数列1,1,2,3,5,8,…被称为“斐波那契数列”该数列是以兔子繁殖为例子引入的,故又称为“兔子数列”,斐波那契数列满足,,则下列说法正确的是( )A.B.C.D.12. 已知函数,若,则的取值范围为_______.13. 已知,且,则___________.14.一种药在病人血液中的量保持以上才有疗效;而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.(附:,,精确到)15. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为()件.当时,年销售总收入为()万元;当时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元,则(万元)与(件)的函数关系式为_________,该工厂的年产量为______件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入年总投资)16. 直线与轴交于点,交圆于,两点,过点作圆的切线,轴上方的切点为,则__________;的面积为__________.17. 阅读下面题目及其解答过程.六、解答题七、解答题.)求证:函数是偶函数;)求函数的单调递增区间.的定义域是,都有又因为是偶函数.时,,在区间上单调递减.时,时, ④ ,在区间⑤ 上单调递增.的单调递增区间是.以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个正确,请选出正确的选项,并填写在相应的横线上(只需填写“A”或“B”).空格序号选项①(A )(B )②(A )(B )③(A )2(B )④(A )(B )⑤(A )(B )18. 已知向量,(,),令().(1)化简,并求当时方程的解集;(2)已知集合,是函数与定义域的交集且不是空集,判断元素与集合的关系,说明理由.19. 植物生长调节剂是一种对植物的生长发育有调节作用的化学物质,它在生活中的应用非常广泛.例如,在蔬菜贮藏前或者贮藏期间,使用一定浓度的植物生长调节剂,可抑制萌芽,保持蔬菜新鲜,延长贮藏期.但在蔬菜上残留的一些植物生长调节剂会损害人体健康.某机构研发了一种新型植物生长调节剂A ,它能延长种子、块茎的休眠,进而达到抑制萌芽的作用.为了测试它的抑制效果,高三某班进行了一次数学建模活动,研究该植物生长调节剂A 对甲种子萌芽的具体影响,通过实验,收集到A 的浓度u ()与甲种子发芽率Y 的数据.表(一)A 浓度u ()发芽率Y0.940.760.460.240.10若直接采用实验数据画出散点图,(如图1所示)除了最后一个数据点外,其他各数据点均紧临坐标轴,这样的散点图给我们观察数据背后八、解答题九、解答题十、解答题的规律造成很大的障碍,为了能够更好的观察现有数据,将其进行等价变形是一种有效的途径,通过统计研究我们引进一个中间量x ,令,通过,将A 浓度变量变换为A 的浓度级变量,得到新的数据.表(二)A 浓度u ()A 浓度级x12345发芽率Y0.940.760.460.240.10(1)如图2所示新数据的散点图,散点的分布呈现出很强的线性相关特征.请根据表中数据,建立Y 关于x 的经验回归方程;(2)根据得到的经验回归方程,要想使得甲种子的发芽率不高于0.4,估计A浓度至少要达到多少?附:对于一组数据,…,,其经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.20.如图,已知四棱锥的高为1,底面是边长为2的正方形,平面PBC.(1)求证:;(2)若E是的中点,求与平面所成角的正弦值21. 学校体育节的投篮比赛中,10名学生的投中个数(每人投10个球)统计表如下:编号12345678910投中个数79898107769(1)求这10名学生投中球的个数的方差;(2)从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访,求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率.22.在中,内角,,的对边分别为,,,且.(1)求角的大小;(2)若,求的取值范围.。
2021届江西省鹰潭市高考一模数学(理)答案
鹰潭市2021届高三第一次模拟考试数学试题(理科)参考答案1-5 ADCAD 6-10 ACCBB 11-12 BD 13.52 14.9215.8 16.()4,2 17.解:(1)因为1n =时,2311S a =;2n =时,233212S a a =+,联立得:2311233212S a S a a ⎧=⎨=+⎩即()23112331212a a a a a a ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩ 解得1212a a =⎧⎨=⎩,所以公差211d a a =-=所以n a n =;┈┈┈┈┈6分(2)()()()()()121112*********+----=+--=+n n a a n b n n n n n n14414112+-=++-=n nn T n ┈┈┈┈┈12分18.(1)1000人中,步数不超过8千步的有400人,超过8千步有600人,88日行步数8≤千步日行步数8>千步总计 40岁以上40 80 120 40岁以下(含40岁)40 40 80 总计80120200024.5556.58012012080404080402002>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K故有5.97%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关.┈┈┈┈┈6分(2)每位居民步数超过8千的概率为531000600=,┈┈┈┈┈7分 设步数超过8千的最有可能是n 位居民, 则563558525352535253525319112020202111202020≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-++-----n C C C C nn n n n n nn n n n n ,∵*N n ∈∴12=n ,即最有可能是12位居民.┈┈┈┈┈12分19.(1)如图,四边形ABCD 是直角梯形,由4,2===BC CD AD 可得22==AB AC , ∴ABC ∆是等腰直角三角形,即AB AC ⊥, ∵PA ⊥平面ABCD ,∵PA AB ⊥,则PAC AB AB AC AB PA 平面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥ PC AB PAC PC PAC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面┈┈┈┈┈5分(2)假设存在符合条件的点M ,且()10<<=λλDP DM 如图建立空间直角坐标系xyz D -, 则()()()()2,0,2,0,2,0,0,2,4,0,0,2P C B A()()λλ2,0,22,0,2,2-=+=-=DM AD AM AC设平面AMC 的法向量为()z y x n ,,1=,则()⎩⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅021200011z x y x n AM n AC λλ 取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλ12,1,11n ,取平面ADC 的法向量()1,0,02=n ┈┈┈┈┈10分 则()2122122)1(2,cos 2221=⇒=-+-=λλλλn n ,即()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==22,2,3,2,1,11BM n 设BM 与平面MAC 所成的角为ϑ,则962,cos sin 1==n BM ϑ┈┈┈┈┈12分 20.解:(1)若1=a ,则函数()x e x x x f x -+=ln ,定义域为(0,)+∞,可得()xe x xf +='ln ,则()()e f e f ='-=1,11,故曲线()f x 在点()()1,1f 的切线l 方程为1-=ex y 设切线l 与y x ,轴分别交于A,B 两点, 令0=x 得1-=y ,令0=y 得e x 1=,即()1,0,0,1-⎪⎭⎫⎝⎛B e A , 所以eS AOB 21=∆┈┈┈┈┈4分 (2)由(0,1)x ∈,()()02)l (n xa x x x f x g x e <⇒>-+-+ ,设()()2ln xh x x e x x =-+-,(0,1)x ∈,则()()l 1xx x h x e --'=⎛⎫ ⎪⎝⎭, 当01x <<时,10x -<,设()1xu x e x =-,则()210xu x e x=+>',所以()u x 在(0,1)上单调递增. 又1202u e ⎛⎫=<⎪⎝⎭,()110u e =->, ∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00u x =,即001xe x =,00ln x x =-.┈┈┈┈┈9分当()00,x x ∈时,()0u x <,()0h x '>;当()0,1x x ∈时,()0u x >,()0h x '<,∴函数()h x 在0(0,)x 内单调递增,在0(),1x 内单调递减,∴()()()()00000000max 00122ln 2212x h x h x x e x x x x x x x ⎛⎫==-+-=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭, 函数00212y x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增,∴()()04,3h x ∈--,()a h x >对任意的(]0,1x ∈恒成立,又a Z ∈,∴a 的最小值是3-.┈┈┈┈┈12分21.解:(1)∵53QF =,∴513Q y +=,∴23Q y =,283Q x =.∵Q 为抛物线1C 与椭圆2C 在第一象限的公共点,∴2248193a b+=且221a b -=, ∴2243a b ⎧=⎨=⎩,∴2C :22143y x +=.┈┈┈┈┈4分(2)由已知得直线l 斜率存在,设为1y kx =+设()11,A x y ,()22,B x y ,()1,0-x P ,则由抛物线1C :241x y =知x y 21=',∴直线PA :2111124y x x x =-,PB :2221124y x x x =-,∴4,221021-=⋅=+x x x x x设直线AB 的方程为:m kx y +=联立⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得0442=--m kx x ,即44,42121-=-=⋅=+m x x k x x ,∴()1,2,1-=k P m ┈┈┈┈┈7分 设()33,C x y ,()44,D x y由()()222221346903644431y x k x kx k y kx ⎧+=⎪⇒++-=⇒∆=+⎨⎪=+⎩, 342634k x x k +=-+,342934x x k -=+ ∴D C ==,()2212134k k +==+┈┈┈┈┈10分∴P l h →=∴()22121112234PCD P l k S CD h k →+==⋅+△()322212134k k +=+. 令21(1)k t t +=≥,∴3212()31tg t t =+,∴12218(1)'()0(31)t t g t t +=>+,∴当1t =,即0k =时,PCD S ∆取最小值3.┈┈┈┈┈12分22.解(Ⅰ)直线l 的普通方程为tan (2)(2)y x x α=-≠.由22cos 2a ρθ=,得()422222cos sin aρρθρθ=-,∴贝努利双纽线的直角坐标方程为()()222222x y a x y +=-┈┈┈┈┈5分.(Ⅱ)曲线C 向左平移2个单位得到曲线:tan (0)C y x x α'=≠,当6πα=时,其极坐标方程为(0)6πθρ=≠,联立24cos 2,,6ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得ρ=,66A B ππ⎫⎛⎫∴⎪ ⎪⎭⎝⎭.┈┈┈┈┈10分23.解:(1)①当1-≤x 时,()413≥--=x x f ,解得35-≤x ; ②当11<<-x 时,()43≥+=x x f ,解得方程无解; ③当1≥x 时,()413≥+=x x f ,解得1≥x ;综上,原不等式的解集为[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,135,┈┈┈┈┈5分 (2)由任意1x R ∈,都存在2x R ∈,使得()()12f x g x =得:(){}(){}y y f x y y g x =⊆=又因为()112+≥-++=a a x x x f()11224g x x x x x=++=++≥所以14a +≥ 所以5a ≤-或3a ≥.┈┈┈┈┈10分。
2021年江西省鹰潭市高考数学一模试卷(理科)
2021年江西省鹰潭市高考数学一模试卷(理科)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1. 已知A ={x|x =2n −1,n ∈N ∗},B ={x|(x −2)(x −5)≤0},则A ∩B =( )A. {3,5}B. {3,4,5}C. (3,5)D. [3,5]2. 设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 3a 4的值为( )A. 158B. 154C. 74D. 783. 已知a =ln22,b =1e ,c =ln33,则a 、b 、c 的大小关系为( )A. b <c <aB. c <a <bC. a <c <bD. c <b <a4. 下列说法中正确的是( )①不等式1x >12的解集是{x|x <2};②命题“∀x ∈R ,x 2−x +2≥0”的否定是∃x 0∈R ,x 02−x 0+2<0; ③已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)且P(X <4)=0.9,则P(0<X <2)=0.4. A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ①②③5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休,在数学的学习和研究中,函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数f(x)=(x −1x )sin|x|(−π≤x ≤π,x ≠0)的图象可能为( )A.B.C.D.6. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0)(c >0),过点P(a2c,0)的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ,B 两点,且F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √67. 若α,β∈(π2,π),且sinα=2√55,sin(α−β)=−35,则sinβ=( )A. −11√525B. −√55C. √55D. 11√5258. 如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图,图中网格纸的小正方形的边长为1,则四面体ABCD 外接球的体积为( )A. 500π3B. 100π3C.125π6D. 20π9. 已知随机变量X 服从二项分布B(a,13),其期望E(X)=1,当{x ≥1y ≥2x +y ≤4时,目标函数z =x −y 的最小值为b ,则(a +bx)5的展开式中各项系数之和为( )A. 0B. 1C. 25D. 3510. 已知O 为△ABC 内的一点,满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,且△OAB 的面积与△OBC 的面积之比为3:1,若在△ABC 内任取一点,则该点取自△OAC 的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 2311. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),已知(−π6,0)为f(x)图象的一个对称中心,直线x =13π12为f(x)图象的一条对称轴,且f(x)在[13π12,19π12]上单调递减.记满足条件的所有ω的值的和为S ,则S 的值为( )A. 85B. 125C. 165D. 18512. 已知奇函数f(x)的定义域为(−π2,0)∪(0,π2),其导函数是f′(x).当x ∈(0,π2)时,f′(x)sinx −f(x)cosx <0,则关于x 的不等式f(x)<2f(π6)sinx 的解集为( )A. (−π2,−π6)∪(0,π6) B. (−π2,π6)∪(π6,π2) C. (−π6,0)∪(0,π6)D. (−π6,0)∪(π6,π2)二、单空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 若复数z =(1+i)23+4i,则|z|= ______ .14. 小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游,且每人只参加了其中一个景点的旅游,记事件A 为“4个人去的景点互不相同”,事件B 为“只有小赵去了龙虎山景点”,则P(A|B)= ______ .15.设抛物线y2=2x的焦点为F,过F的两条直线l1,l2分别交抛物线于点A,B,C,D,且l1,l2的斜率k1,k2满足k12+k22=2,则|AB|+|CD|的最小值为______ .16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A=2B,则ac+2b2的取值范ab 围为______ .三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.已知正项等差数列{a n}满足:S n2=a13+a23+⋯+a n3,n∈N∗,S n是数列{a n}的前n项和.(1)求数列{a n}的通项公式;(n∈N∗),数列{b n}的前项和为T n,求T2n.(2)令b n=(−1)n4n(2a n−1)(2a n+1)18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出,永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召下,全国人民积极工作,健康生活.当前,“日行万步”正式成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数,得到如下表格:(1)为研究日行步数与居民年龄的关系,以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样,从上述1000位居民中抽取200人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关;(2)以这1000位居民日行步数超过8千步的频率代替该地区1位居民日行步数超过8千的概率,每位居民日行步数是否超过8千相互独立.为了深入研究,该研究团队随机调查了20位居民,其中日行步数超过8千的最有可能(即概率最大)是多少位居民?附:P(K2≥k0)0.050.0250.010 k0 3.841 5.024 6.635 K2=n(ad−bc)2,其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图,在四棱锥中P−ABCD,PA⊥平面ABCD,AD//BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=√2.(1)求证:AB⊥PC;(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M−AC−D的大小为45°,如果存在,求BM与平面MAC所成的角的正弦值,如果不存在,请说明理由.20.已知函数f(x)=xlnx+e x−ax,g(x)=(x2−2x−1)e x−x2.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若对任意x∈(0,1),f(x)+g(x)<0,求整数a的最小值.21. 如图:已知抛物线C 1:x 2=4y 与椭圆C 2:y 2a 2+x2b2=1(a >b >0)有相同焦点F ,Q 为抛物线C 1与椭圆C 2在第一象限的公共点,且|QF|=53,过焦点F 的直线l 交抛物线C 1于A ,B 两点、交椭圆C 2于C ,D 两点,直线PA ,PB 与抛物线C 1分别相切于A ,B 两点. (Ⅰ)求椭圆C 2的方程;(Ⅱ)求△PCD 的面积S 的最小值.22. 在极坐标系下有许多美丽的曲线,如贝努利双纽线ρ2=a 2cos2θ的形状是一个横8字,和谐、对称、优美.以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系下,曲线C 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα(α≠π2+kπ,k ∈Z,t 为参数). (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和贝努利双纽线的直角坐标方程;(Ⅱ)若a =2,α=π6,将曲线C 向左平移2个单位得到曲线C′,曲线C′与贝努利双纽线交于A ,B 两点,求A ,B 的极坐标.|+2.23.设函数f(x)=|2x+1|+|2x−a|,g(x)=|x+1x(1)若a=1,解不等式f(x)≥4;(2)如果任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵A={x|x=2n−1,n∈N∗},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5}.故选:A.可求出集合B,然后进行交集的运算即可.本题考查了集合的描述法和列举法的定义,一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查了计算能力,属于基础题.2.【答案】D【解析】解:∵等比数列{a n}的公比q=2,前n项和为S n,∴S3a4=a1(1−23)1−2a1×23=78.故选:D.利用等比数列的前n项和公式、通项公式直接求解.本题考查等比数列的运算,涉及到等比数列的前n项和公式、通项公式等基础知识,考查运算求解能力等核心数学素养,是基础题.3.【答案】C【解析】解:bc =lneeln33=3elneln3=log3e e3,∵e3>3e,∴bc>1,∴b>c,同理c>a.故选:C.通过除,把得到的结果和1比较便可以得到答案.本题考查对数的比较大小,属于中等题.4.【答案】A【解析】解:①不等式1x >12的解集是{x|0<x <2};所以①不正确;②命题“∀x ∈R ,x 2−x +2≥0”的否定是∃x 0∈R ,x 02−x 0+2<0,满足命题的否定形式,所以②正确;③已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)且P(X <4)=0.9,则P(X <2)=0.5, P(2<X <4)=0.4,∴P(0<X <2)=0.4.所以③正确; 故选:A .通过不等式的解集判断①;命题的否定形式判断②;正态分布判断③.本题考查命题的真假的判断与应用,考查正态分布的性质,不等式的解法,命题的否定,是基础题.5.【答案】D【解析】解:∵f(−x)=(−x +1x )sin|−x|=−(x −1x )sin|x|=−f(x), ∴函数f(x)为奇函数,排除选项A 和B ,当x ∈(0,1)时,sin|x|=sinx >0,x <1x ,∴f(x)<0,排除选项C , 故选:D .先判断函数的奇偶性,再考虑x ∈(0,1)时,f(x)与0的大小关系,得解.本题考查函数的图象与性质,一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力,属于基础题.6.【答案】A【解析】解:由F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知,F 1A//F 2B ,所以△AF 1P∽△BF 2P ,且PF1PF 2=3,即a 2c+c =3(c −a 2c ),化简可得c 2a =2,即e 2=2,所以e =√2(负值舍去), 故选:A .利用已知向量关系推出△AF 1P∽△BF 2P ,且PF1PF 2=3,由此建立等式关系即可求解.本题考查了双曲线的性质以及向量共线的性质,涉及到三角形相似,考查了学生的运算能力,属于中档题.7.【答案】C【解析】解:∵α,β∈(π2,π),且sinα=2√55,∴cosβ=−√1−sin 2β=−√55,∵sin(α−β)=−35,∴α−β∈(−π2,0),∴cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=45,则sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=2√55×45+√55×(−35)=√55, 故选:C .由题意利用同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式,求得sinβ=sin[α−(α−β)]的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式的应用,属于基础题.8.【答案】C【解析】解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为三棱锥体; 如图所示:O 为外接球的球心,设外接球的半径为R , 所以R =√22+(32)2=52,故V 球=43⋅π⋅(52)3=125π6.故选:C .首先把三视图转换为几何体的直观图,进一步求出几何体的外接球半径,最后求出球的体积.本题考查的知识要点:三视图和几何体的直观图之间的转换,几何体外接球的半径的求法,球的体积公式,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.9.【答案】B【解析】解:由约束条件作出可行域如图,联立{x =1x +y =4,可得A(1,3),由z =x −y ,得y =x −z ,由图可知,当直线y =x −z 过A 时, 直线y =x −z 在y 轴上的截距最大,z 有最小值为−2,即b =−2. ∵随机变量X 服从二项分布B(a,13),其期望E(X)=1, ∴13a =1,即a =3.∴(a +bx)5=(3−2x)5,取x =1,可得(a +bx)5的展开式中各项系数之和为1. 故选:B .由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数求解b ,再由二项分布的概率求得a ,代入(a +bx)5,取x =1得答案.本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想,考查二项分布的期望与二项式定理的应用,是中档题.10.【答案】B【解析】解:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ , 变为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ . 如图,D ,E 分别是对应边的中点,由平行四边形法则,知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2λOD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 故OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,O 在DE 上,DE 为△ABC 的中位线, 故△AOB 底边AB 上的高是△ABC 底边AB 上高的一半, 则S △AOB =12S △ABC ,∵S △COB =13S △AOB =13×12S △ABC =16S △ABC ,S △COA =S △ACB −16S △ABC −12S △ABC =13S △ABC , 则S △COAS△ABC=13.故在△ABC 内任取一点,则该点取自△OAC 的概率为13. 故选:B .由题意画出图形,可得O 在三角形ABC 的中位线上,由已知面积关系求得S △COAS △ABC=13,则答案可求.本小题主要考查向量的加法与减法、及向量共线的几何意义等基础知识,考查几何概型概率的求法,考查数形结合、化归与转化思想,属于中档题.11.【答案】B【解析】解:函数f(x)=sin(ωx +φ),由题意知−π6ω+φ=k 1π,k 1∈Z ,13π12ω+φ=k 2π+π2,k 2∈Z ,两式相减可求得ω=45[(k 2−k 1)+12],k 1,k 2∈Z ,即ω=45(k +12),k ∈Z , 因为f(x)在[13π12,19π12]上单调递减,所以T2≥19π12−13π12=π2, 所以2π2×45(k+12)≥π2,且45(k +12)>0,k ∈Z ,解得0≤k ≤2,所以k =0,1,2, k =0时,ω=25,此时φ=π15,符合题意; k =1时,ω=65,此时φ=π5,不满足f(x)在[13π12,19π12]上单调递减,不符合题意;k =2时,ω=2,此时φ=π3,符合题意; 所以符合条件的ω值之和为25+2=125.故选:B .由题意列方程组求出ω的值,再利用函数的单调性确定ω的值,从而求得符合条件ω值之和.本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了分析问题和解决问题的能力,属于中档题.12.【答案】D【解析】解:设g(x)=f(x)sinx,∴g′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin2x,∵当x∈(0,π2)时,f′(x)sinx−f(x)cosx<0,∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,π2)上单调递减,∵f(x)是定义在(−π2,0)∪(0,π2)上的奇函数,故g(−x)=f(−x)sin(−x)=f(x)sinx=g(x)∴g(x)是定义在(−π2,0)∪(0,π2)上的偶函数.∴g(x)在(−π2,0)上单调递增.①当x∈(0,π2)时,sinx>0,则不等式f(x)<2f(π6)sinx可转化为f(x)sinx<f(π6)sinπ6,即g(x)<g(π6),∴x>π6,故x∈(π6,π2).②当(−π2,0)时,sinx<0,则不等式f(x)<2f(π6)sinx可转化为f(x)sinx>f(π6)sinπ6,即g(x)>g(π6)=g(−π6),∴x>−π6,故x∈(−π6,0).不等式f(x)<2f(π6)sinx的解集为(−π6,0)∪(π6,π2).故选:D.设g(x)=f(x)sinx,利用导数判断出g(x)的单调性,根据函数的单调性求出不等式的解集.本题主要考查利用导数研究函数的单调性,不等式的解法,考查转化思想、分类讨论思想以及运算求解能力,属于中档题.13.【答案】25【解析】解:∵z =(1+i)23+4i=1+2i+i 23+4i=2i 3+4i,∴|z|=|2i 3+4i|=|2i||3+4i|=√32+42=25. 故答案为:25.利用复数代数形式的乘除运算化简,再由商的模等于模的商求解. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.14.【答案】14【解析】 【分析】先分别求出P(A),P(AB),由此能求出P(A|B)的值.本题考查概率的求法,考查古典概型、条件概率等基础知识,考查运算求解能力等数学核心素养,是基础题. 【解答】解:小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游,每人只参加了其中一个景点的旅游,记事件A 为“4个人去的景点互不相同”,事件B 为“只有小赵去了龙虎山景点”, 则P(A)=A 4444=332,P(AB)=C 11A 3344=3128,∴P(A|B)=P(AB)P(A)=3128332=14.故选:14.15.【答案】8【解析】解:抛物线的焦点坐标为F(12,0),设直线l 1:y =k 1(x −12)(k 1≠0),直线l 2:y =k 2(x −12)(k 2≠0), 联立{y 2=2xy =k 1(x −12),整理得4k 12x 2−(4k 12+8)x +k 12=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=1+2k 12,设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),同理可得x 3+x 4=1+2k 22.由抛物线的性质可得:|AB|=2+2k 12,|CD|=2+2k 22,又∵k 12+k 22=2,∴|AB|+|CD|=4+2(k 12+k 22)k 12k 22=4+4k 12k 22≥4+4(k 12+k 222)2=4+4=8.∴|AB|+|CD|的最小值为8. 故答案为:8.由抛物线方程求得焦点坐标,分别设出两直线方程,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系及抛物线弦长公式求得|AB|,|CD|,作和后利用基本不等式求最值.本题考查抛物线的几何性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.16.【答案】(2,4)【解析】解:由于A =2B ,作∠CDA =∠A ,则CD =AC =BD =b ,因为cb >1,2ba >1,可得cb +2b a>2,所以ac+2b 2ab =c b +2b a=ac+2b 2ab<a(a+b)+2b 2ab=a 2+2b 2ab+1=1+2×(b a)2ba+1,令t =b a ,可得12<t <1, 所以1+2×(b a)2b a +1=1t +2t +1,令f(t)=1t +2t +1,可得f′(t)=2−1t2=(√2t−1)(√2t+1)t 2,由12<t <1,可得f(t)在(12,√22]单调递减,在(√22,1)上单调递增,所以ac+2b 2ab=c b +2b a <4, 综上ac+2b 2ab=cb+2b a∈(2,4).故答案为:(2,4).作∠CDA =∠A ,则CD =AC =BD =b ,由cb >1,2ba >1,可得cb +2b a>2,可求ac+2b 2ab=cb+2b a=ac+2b 2ab<a(a+b)+2b 2ab=1+2×(b a)2b a+1,令t =b a ,可得12<t <1,利用二次函数的性质可求1+2×(b a)2b a+1=1t +2t +1在(12,√22]单调递,在(√22,1)上单调递增,可得cb +2b a<4,从而得解.本题主要考查了二次函数的性质,解三角形,考查了函数思想和数形结合思想的应用,属于中档题.17.【答案】解:(1)正项等差数列{a n }满足:S n 2=a 13+a 23+⋯+a n3, 当n =1时,解得a 1=1,当n =2时,(1+a 2)2=a 13+a 23,解得a 2=2. 故数列的公差d =2−1=1. 所以a n =1+n −1=n . (2)由于b n =(−1)n 4n(2an −1)(2a n +1)=(−1)n ⋅4n (2n−1)(2n+1)=(−1)n (12n−1+12n+1),所以T 2n =−(1+13)+(13+15)+⋯+(14n−1+14n+1)=−1+14n+1=−4n4n+1.【解析】(1)根据正项等差数列{a n }满足:S n 2=a 13+a 23+⋯+a n3,得到首项和公差,再求出通项公式;(2)先化简b n ,再利用裂项相消法求出T 2n .本题考查的知识要点:数列的递推关系式,数列的求和,裂项相消法在数列求和中的应用,考查运算能力,属于基础题.18.【答案】解:(1)1000人中,步数不超过8千步的有400人,超过8千步有600人, 按分层抽样,抽取的人数中不超过8千步的有80人,超过8千步的有120人,列联表如下:∴K 2=200×(40×80−40×40)280×120×120×80≈5.556>5.024,∴有97.5%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关. (2)每位居民步数超过8千米的概率为6001000=35, 设步数超过8千米的最有可能是n 位居民,则{C 20n ⋅(35)n ⋅(25)20−n ≥C 20n−1⋅(35)n−1⋅(25)21−n C 20n ⋅(35)n ⋅(25)20−n ≥C 20n+1⋅(35)n+1⋅(25)19−n , 解得:585≤n ≤635,∵n ∈N ∗,∴n=12,即最有可能是12为居民.【解析】(1)根据题意提完表格,然后求出K2,进行比较判断.(2)先求出每位居民步数超过8千米的概率,再利用超几何分布列出不等式组,解出n 的取值范围即可.本题主要考查了独立性检验的实际应用,考查了超几何分布,是中档题.19.【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是直角梯形,AD=CD=2,BC=4,∴AC=2√2,AB=√(BC−AD)2+CD2=2√2,∴△ABC是等腰直角三角形,即AB⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB,又PA∩AC=A,∴AB⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴AB⊥PC.(2)假设存在符合条件的点M,过点M作MN⊥AD于N,则MN//PA,∴MN⊥平面ABCD,∴MN⊥AC.过点M作MG⊥AC于G,连接NG,则AC⊥NG,∴∠MGN是二面角M−AC−D的平面角.若∠MGN=45°,则NG=MN,又AN=√2NG=√2MN,设MN=x,则AN=√2x,ND=2−√2x,MD=√3x,由x2+(2−√2x)2=3x2,解得x=√22,∴MN=√22,即M是线段PD的中点.∴存在点M使得二面角M−AC−D的大小为45°.在三棱锥M−ABC中,V M−ABC=13S△ABC⋅MN=13×12×4×2×√22=2√23,设点B到平面MAC的距离是h,则V B−MAC=13S△MAC⋅ℎ,∵MG=√2MN=1,∴S△MAC=12AC⋅MG=12×2√2×1=√2,∴13×√2×ℎ=2√23,解得ℎ=2.在△ABN中,AB=2√2,AN=1,∠BAN=135°,∴BN=√8+1+2×2√2×1×√22=√13,∴BM =√BN 2+MN 2=√13+12=3√62, ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为ℎBM =3√62=2√69.【解析】(1)利用直角梯形的性质求出AB ,AC 的长,根据勾股定理的逆定理得出AB ⊥AC ,由PA ⊥平面ABCD 得出AB ⊥PA ,故AB ⊥平面PAC ,于是AB ⊥PC ;(2)假设存在点M ,做出二面角的平面角,根据勾股定理求出M 到平面ABCD 的距离从而确定M 的位置,利用棱锥的体积求出B 到平面MAC 的距离h ,根据勾股定理计算BM ,则ℎBM 即为所求角的正弦值.本题考查了项目垂直的判定与性质,空间角与空间距离的计算,属于中档题.20.【答案】解:(1)若a =1,则函数f(x)=xlnx +e x −x ,定义域是(0,+∞),可得f′(x)=lnx +e x ,则f(1)=e −1,f′(1)=e , 故曲线f(x)在点(1,f(1))的切线l 的方程为y =ex −1, 设切线l 与x ,y 轴分别交于A ,B 两点,令x =0得y =−1,令y =0得x =1e ,即A(1e ,0),B(0,−1), S △AOB =12e ;(2)由x ∈(0,1),f(x)+g(x)<0,得a >lnx −x +(x −2)e x , 设ℎ(x)=(x −2)e x +lnx −x ,x ∈(0,1),则ℎ′(x)=(x −1)(e x −1x ), 当0<x <1时,x −1<0,设u(x)=e x −1x ,则u′(x)=e x +1x 2>0,故u(x)在(0,1)递增, 又u(12)=√e −2<0,u(1)e −1>0,故存在x 0∈(12,1),使得u(x 0)=0,即e x 0=1x 0,lnx 0=−x 0,当x ∈(0,x 0)时,u(x)<0,ℎ′(x)>0,当x ∈(x 0,1)时,u(x)>0,ℎ′(x)<0, 故函数ℎ(x)在(0,x 0)内单调递增,在(x 0,1)内单调递减,故ℎ(x)max =ℎ(x 0)=(x 0−2)e x 0+lnx 0−x 0=(x 0−2)⋅1x 0−2x 0=1−(2x 0+2x 0),∵函数y =1−(2x 0+2x 0)在x 0∈(12,1)时单调递增,故ℎ(x 0)∈(−4,−3),∵a >ℎ(x)对任意x ∈(0,1]恒成立,又a ∈Z ,故a 的最小值是−3.【解析】(1)代入a 的值,求出函数的导数,计算f(1),f′(1),求出切线方程,从而求出三角形的面积即可;(2)求出a >lnx −x +(x −2)e x ,设ℎ(x)=(x −2)e x +lnx −x ,x ∈(0,1),求出函数的导数,根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值,求出a 的最小值即可.本题考查了切线方程问题,考查三角形的面积以及函数恒成立问题,考查转化思想,是难题.21.【答案】解:(Ⅰ)∵|QF|=53,∴y Q +1=53,∴y Q =23,x Q2=83. ∵Q 为抛物线C 1与椭圆C 2在第一象限的公共点, ∴49a 2+83b 2=1且a 2−b 2=1,解得{a 2=4b 2=3,∴椭圆C 2:y 24+x 23=1;(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0), 由已知得直线l 斜率存在,设为y =kx +1,则直线PA :y =12x 1x −14x 12,直线PB :y =12x 2x −14x 22,则有{x 0=x 1+x 22y 0=x 1x 24,即P(x 1+x 22,x 1x 24),又∵k =y 1−y2x 1−x 2=x 1+x 24,x 1x 2=−4,∴P(2k,−1),联立方程组{y 24+x 23=1y =kx +1,消去y 可得:(3k 2+4)x 2+6kx −9=0, 则△=36k 2+36(3k 2+4)=36(4k 2+4),且{x 1+x 2=−6k3k 2+4x 1x 2=−93k 2+4, 则由弦长公式可得:|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2, ∴|CD|=√1+k 2⋅√36(4k 2+4)3k 2+4=12(1+k 2)3k 2+4,∴点P 到直线l 的距离为ℎp→l =2√k 2+1,∴S △PCD =12|CD|ℎp→l =12⋅12(1+k 2)3k 2+4⋅2√k 2+1=12(1+k 2)323k 2+4. 令1+k 2=t(t ≥1),∴g(t)=12t 323t+1,∴g′(t)=18t 12(t+1)(3t+1)2>0恒成立,∴当t =1,即k =0时,S △PCD 的面积最小,且S △PCD 的最小值为3.【解析】(1)由抛物线定义可得点Q 的纵坐标,再代入抛物线方程可得Q 的横坐标,然后把Q 的坐标代入椭圆方程再结合焦点坐标即可求解;(2)经分析直线l 的斜率存在,可设出直线l 的方程,与椭圆方程联立,写出韦达定理的关系式,然后求出弦长|CD|,再求出P 到直线l 的距离,即可求出三角形PCD 的面积的表达式,再利用函数的性质求出最小值即可.本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆相交的位置关系,涉及到求面积的最小值问题和函数思想,考查了学生的运算能力,属于中档题.22.【答案】解:(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα(α≠π2+kπ,k ∈Z,t 为参数).转换为直线l 的普通方程为y =tanα(x −2)(x ≠2). 由ρ2=a 2cos2θ,得ρ4=a 2(ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ), 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2,所以贝努利双纽线的直角坐标方程为(x 2+y 2)2=a 2(x 2−y 2).(Ⅱ)曲线C 向左平移2个单位得到曲线C′:y =xtanα(x ≠0), 当α=π6时,其极坐标方程为θ=π6(ρ≠0),联立{ρ2=4cos2θ,θ=π6,得ρ=±√2,∴A(√2,π6),B(−√2,π6).【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系,把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换; (Ⅱ)利用极径的应用,三角函数的关系式的变换的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应用,三角函数关系式的变换,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题. 23.【答案】解:(1)当a =1时,f(x)=|2x +1|+|2x −1|={−4x,(x <−12)2,(−12≤x ≤12)4x,(x >12).∵f(x)≥4,∴当x <−12时,−4x ≥4,∴x ≤−1; 当−12≤x ≤12时,显然不成立; 当x >12时,4x ≥4,∴x ≥1,∴f(x)≥4的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞).(2)由任意x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得f(x 1)=g(x 2),可得{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又∵f(x)=|2x+1|+|2x−a|≥|2x+1−(2x−a)|=|1+a|,g(x)=|x+1x |+2=|x|+|1x|+2≥4,当且仅当x=±1取等号,∴|1+a|≥4,∴a≤−5或a≥3,∴a的取值范围为(−∞,−5]∪[3,+∞).【解析】(1)将a=1代入f(x)中,根据f(x)≥4,利用零点分段法解不等式即可;(2)由任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2),可得{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},再由f(x)≥|a+1|,g(x)≥4,得到关于a的不等式,然后求出a的取值范围.本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式和恒成立问题,考查了分类讨论思想和转化思想,属中档题.。
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江西省鹰潭市2021届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知复数312i z i=+,则复数z 的实部为( )A. 25-B. 25i -C. 15-D. 15i -【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:∵3(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i --===--++-, ∴复数z 的实部为25-. 故选A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.2.已知集合|A x y ⎧⎫==⎨⎩,{}|31xB y y ==-,则( ) A. B A ⊆B. A B ⊆C. A B =D.A B ⋂=∅【答案】B 【解析】 【分析】集合A 研究对象是定义域,集合B 的研究对象是值域,分别求得,A B 的范围,由此得出选项. 【详解】集合A 研究对象是定义域,即220x x -++>,解得12x -<<.集合B 的研究对象是值域,由于30,311xx>->-,即1y >-.所以集合A 是集合B 的子集.故选B.【点睛】本小题主要考查集合的研究对象,考查函数的定义域与函数的值域,还考查了子集的知识,属于基础题.3.如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )A. 2018年14~月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B. 2018年14~月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C. 从两图来看,2018年14~月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从14~月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A : 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低, 差值为439724111986-=,接近2000万件,所以A 是正确的;对于选项B : 2018年1~4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%,均超过50%,在3月最高,所以B 是正确的;对于选项C :2月份业务量同比增长率为53%,而收入的同比增长率为30%,所以C 是正确的; 对于选项D ,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%,并不是逐月增长,D 错误.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用,新知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知向量a 与b 的夹角为120︒,3a =,||13a b +=,则||b =( )A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件对||13a b +=两边平方,进行数量积的运算即可得到2||3||40b b --=,解该方程即可得出||b .【详解】解:根据条件,222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=; ∴解得4b =,或1-(舍去). 故选C .【点睛】考查数量积的运算及其计算公式,解一元二次方程和 22||b b =.5.曲线344y x x =-+在点(1,1)处的切线的倾斜角为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 135【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数,在(1,1)处的导数就是切线的斜率,然后求出倾斜角即可.【详解】解:344y x x =-+可得,2()34f x x '=-,(1)1f '=-,设切线的倾斜角为α,tan 1α=- 可得135α=︒ 故选D .【点睛】本题考查直线的倾斜角,利用导数研究曲线上某点切线方程,考查计算能力,是基础题.6.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ,若存在实数1x 、2x ,使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为( )A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得2A =,根据题意即求半个周期的A 倍. 【详解】解:依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++3sin2019cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2A ∴=,22019T π=, 12||22019min T x x π∴-==,12A x x ∴-的最小值为22019π,故选:C .【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质,考查三角函数恒等变换,属中档题.7.在如图算法框图中,若33(21sin )a x x dx -=++⎰,程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍,那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )A. 3k <B. 3k >C. 4k <D. 4k >【答案】C【解析】 【分析】根据积分和二项式定理的内容求出a ,S ,结合程序框图进行模拟运算即可.【详解】解:()33233(21sin )cos a x x dx x x x--=++=+-⎰93cos393cos36=+--++=,二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数为325240C ⋅=,即340120S =⨯=,根据程序图 若填5k =,6a =,6S =,S 不满足条件.4k =,S 6530=⨯=,S 不满足条件.3k =,654120S =⨯⨯=,则3k =满足条件.输出120S =, 故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,求出a ,S 的值,利用模拟运算法是解决本题的关键.8.已知抛物线C :22(0)x py p =>的焦点为F ,抛物线C 的准线与y 轴交于点A ,点()01,M y 在抛物线C 上,05||4y MF =,则tan FAM ∠=( ) A.25B.52C.54D.45【答案】D 【解析】 【分析】过M 向抛物线的准线作垂线,垂足为N ,根据MN MF 和M 在坐标求出p 的值,进而可得出MN 的值,再计算出tan FAM ∠即可.【详解】解:过M 向抛物线的准线作垂线,垂足为N ,则005||24y p MN y =+=,故02y p =. 又()01,M y 在抛物线上,故012y p =,于是122p p =,解得12p =,∴055||44y MN ==,∴||4 tan tan||5ANFAM AMNMN∠=∠==.故选D.【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:3cm)是()A. 431033C. 3833【答案】B 【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,1104323333V=⋅=.故选:B.10.设P为双曲线22221x ya b-=右支上一点,1F,2F分别为该双曲线的左右焦点,c,e分别表示该双曲线的半焦距和离心率.若120PF PF ⋅=,直线2PF 交y 轴于点A ,则1AF P 的内切圆的半径为( ) A. a B. bC. cD. e【答案】A 【解析】分析:首先应用向量的数量积等于零,可以断定向量垂直,从而得到三角形是直角三角形,之后应用直角三角形的内切圆的半径等于两直角边和减去斜边长,再结合双曲线的定义最后求得结果.详解:根据题意120PF PF ⋅=,可知1AF P ∆是直角三角形,根据直角三角形的内切球的半径公式以及双曲线的定义可知11122r PF PA AF PF PA AF =+-=+-1212()2PF AF PA PF PF a =--=-=,求得r a =,故选A.点睛:该题考查的是有关直角三角形的内切圆的半径公式,一是要注意向量垂直的条件为向量的数量积等于零的应用,再者就是双曲线的定义要铭记.11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=,且(2,2]x ∈-时,()2111,022()2,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪⎝⎭=⎨⎪-+-<≤⎩,则函数4()()log g x f x x =-的零点个数是( )A. 4B. 7C. 8D. 9【答案】D 【解析】根据()()4f x f x +=可知,函数的周期为4,画出()f x 与4log y x =的图象如下图所示,由图可知它们交点个数为8,也即()g x 的零点个数为8个.【点睛】本题主要考查周期函数图像的画法,考查分段函数图像的画法,考查含有绝对值函数的图像画法.对于分段函数,需要将图像每一段都画出来,题给函数()f x 第一段函数含有两个绝对值,则分成()[]0,1,1,2两段,去绝对值来画.log a y x =的图像是由log a y x =的图像保留,然后关于y 轴对称再画另一半所得.12.设*n N ∈,函数1()xf x xe =,21()()f x f x '=,32()()f x f x '=,…,1()()n n f x f x +'=,曲线()n yf x 的最低点为n P ,12n n n P P P ++的面积为n S ,则( )A. {}n S 是常数列B. {}n S 不是单调数列C. {}n S 是递增数列D. {}n S 是递减数列 【答案】D 【解析】根据题意得()()()'211xf x f x x e ==+,()()()'322xf x f x x e ==+…,()()()'1x n n f x f x x n e +==+,又曲线()n y f x =的最低点为n P ,则当1n =时111P e-⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当2n =时1212P e -⎛⎫- ⎪⎝⎭,,当3n =时1313P e ,-⎛⎫- ⎪⎝⎭…,则1n n P n e -⎛⎫- ⎪⎝⎭,,1111n n P n e ,++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,2212n n P n e ++-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,222211122n n n n P P n e e e k e+++----==--,2n n P P l +:()22112n n e y x n e e +---=-+ 2222211212n n e d e e e ++-=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,222214n n n e P P e ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭则()122212n n n P P P n e S e ++∆+-==所以{}n S 是递减数列,故选D点睛:本题根据题意总结出()n f x 最低点的规律,计算三角形面积时采用了点到线的距离为高,在计算出底边长度,从而计算出面积,这样虽计算量较大,但是最后好多可以约去,得出函数的单调性,本题也可以通过分割三角形计算面积二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设变量x ,y 满足约束条件0020x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩,则26z x y =-+的最大值为__________.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,将目标函数化为11322y x z =+-,利用数形结合即可的得到结论.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由26z x y =-+得直线l :11322y x z =+-, 平移直线l ,由图象可知当直线l 经过点(0,0)O 时截距最小,此时z 最大,max 6z =. 即z 的最大值是6。