陕西省咸阳市高三第三次高考模拟题(数学理)(含答案)word版
陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)
高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合=（ ）A. [-2，2]B. （1，+∞）C. （-1，2]D. （-∞，-1]⋃（2，+∞）2.已知复数z满足（1+i）z=i（i为虚数单位），则复数Z在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知平面向量=（l，x），=（4，2），若向量2+与向量共线，则x=（ ）A. B. C. D.4.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元x12345y1015304550A. 60B. 63C. 65D. 695.程序框图如图，当输入x为2019时，输出y的值为（ ）A.B. 1C. 2D. 46.已知a、b、c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若则△ABC的形状为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形7.在正方体ABCD-ABC l D l中，E、F分别是AB、B1C1的中点，则异面直线A1E、FC所成角的余弦值为（ ）A.B.C. D.8.函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A. B. C. D.10.若a ＞0，b ＞0，二项式（ax +b ）6的展开式中x 3项的系数为20，则定积分的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 311.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为，，则A. B. 2 C. D. 312.已知函数y =f （x ）为R 上的偶函数，当x ∈[0，l ）时f '（x ）＜0当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，且f （x ）≥-m 2+2m 对m ∈R 恒成立，函数g （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0）的一个周期内的图象与函数f （|x |）的图象恰好有两个公共点，则g （x ）=（ ）A. -cosπxB. -sinπxC.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=3，则sin2α+cos 2α的值为______．14.某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书；乙说：甲或丙得到英语书；丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书 .最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是15.已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，且f（3）=3，则f（-1）=______16.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且|FA||FB|=6，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，S n是前n项和，且a2+a6=l6，S5=30．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b，求数列{b n}的前n项和T n．18.随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如表：序号12345678910组合学科物化生物化政物化历物化地物化政物生历物生地物政历物政地物历地人数20人5人10人5人5人15人10人5人0人5人11121314151617181920合计化生政化生历化生地化政历化政地化历地生政历生政地生历地政历地5人…………………………10人5人……25人200人为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析（I）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率：（Ⅱ）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为x，求随机变量X的分布列和数学期望．19.已知点Q是圆M：上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P．Ⅰ求动点P的轨迹E的方程Ⅱ若A是轨迹E的左顶点，过点的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．20.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD=BD=2，AB=2，CD=4，点M是EC的中点．（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面BDE（Ⅱ）求二面角E-BD-M的余弦值．21.设函数f（x）=e x+ae-x，a∈R．（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并求极值；（Ⅱ）若a=-1，且对所有x≥0都f（x）≥mx成立，求实数m的取值范围．22.设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．直线C1（t为参数），曲线C2：ρ2-2ρcosθ-8=0．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）直线C1与曲线C2交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程．23.设函数f（x）=|2x-4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）-2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|-2≤x≤2}，B={x|x＞-1}；∴A∩B=（-1，2]．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵（1+i）z=i，∴．∴复数z对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，得到z的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量的坐标关系．可求出，根据向量与向量共线即可得出12-4（2x+2）=0，解出x即可．【解答】解：；∵与共线；∴12-4（2x+2）=0；∴．故选：B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了线性回归方程的应用问题，属于基础题．由表中数据计算、，求出回归方程，利用方程计算x=6时的值即可．【解答】解：由表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（10+15+30+45+50）=30，回归方程，其中，∴,∴=11x-3，故x=6时，=11×6-3=63，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为63万元．故选B．5.【答案】A【解析】解：∵2019÷3=673，∴经过673次循环后x=0，满足条件．x≥0，则x=0-3=-3，此时x≥0不成立，输出y=2-3=，故选：A．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查两角和与差的正弦函数公式，象限角的符号，属于基础题．由已知不等式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到sin A cos B＜0，根据sin A 恒大于0得到cos B＜0，进而可得B为钝角，即可得解．【解答】解：∵A，B为三角形的内角，sin A>0,sin B>0,可得：sin C＜sin B cos A，∴可得：sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B＜sin B cos A，整理得：sin A cos B＜0，∵sin A>0，∴cos B＜0．∵B∈（0，π），∴B为钝角，△ABC为钝角三角形．故选：A．7.【答案】D【解析】解：以A为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-ABC l D l中棱长为2．则A1（2，0，2），E（2，1，0），F（1，2，2），C（0，2，0），=（0，1，-2），=（-1，0，-2），设异面直线A1E、FC所成角为θ，则cosθ===．故异面直线A1E、FC所成角的余弦值为．故选：D．以A为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E、FC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；当x→-∞时，ln|x|→+∞，e x→0，∴当x→-∞时，→+∞，故选：A．由x→-∞时，ln|x|→+∞，e x→0即可得答案．本题考查函数的图象及图象变换，考查极限思想方法，是基础题．9.【答案】C【解析】解：设水深为x尺，则（x+2）2=x2+52，解得x=，即水深尺．又葭长尺，则所求概率P=，故选：C．设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查勾股定理的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，二项式（ax+b）6的展开式为T r+1=C6r（ax）3b3，当r=3时，有T4=20a3b3x3，若二项式（ax+b）6的展开式中x3项的系数为20，则有a3b3=1，又由a＞0，b＞0，则ab=1，=x2+x2=a2+b2，又由ab=1，则=a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b时，等号成立；即定积分的最小值为2；故选：C．根据题意，求出二项式（ax+b）6的展开式，令r=3时，求出其展开式中x3项的系数，进而分析可得ab=1，进而由定积分的计算公式可得=a2+b2，由基本不等式的性质计算可得答案．本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，涉及基本不等式的应用，关键是求出a 、b的值．11.【答案】B【解析】解：可设A（-c，0），C（c，0），B为第一象限内的点，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），双曲线的方程为-=1（m，n＞0），可设|AB|=s，|CB|=t，可得s+t=2a，s-t=2m，解得s=a+m，t=a-m，在直角三角形ABC中，可得4c2=s2+t2=2a2+2m2，即有+=2，即+=2，故选：B．可设A（-c，0），C（c，0），B为第一象限内的点，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），双曲线的方程为-=1（m，n＞0），可设|AB|=s，|CB|=t，运用椭圆和双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理和离心率公式，化简可得所求值．本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由-m2+2m=-（m-1）2+1≤1，又f（x）≥-m2+2m对m∈R恒成立，所以f（x）min=1，又已知函数y=f（x）为R上的偶函数，当x∈[0，l）时f'（x）＜0当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，则函数y=f（x）在[0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，即当且仅当x=±1时，f（x）=1，又函数g（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一个周期内的图象与函数f（|x|）的图象恰好有两个公共点，则公共点为（-1，1），（1，1），则T=，即ω=π，又g（1）=1，所以sin（π+φ）=1，所以sinφ=-1，cosφ=0，所以g（x）=sin（πx+φ）=sinπx cosφ+cosπx sinφ=-cosπx，故选：A．由不等式恒成立问题得：f（x）≥-m2+2m对m∈R恒成立，所以f（x）min=1，由函数图象的性质得：函数y=f（x）在[0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，即当且仅当x=±1时，f（x）=1，又函数g（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一个周期内的图象与函数f（|x|）的图象恰好有两个公共点，则公共点为（-1，1），（1，1），则T=，即ω=π，又g（1）=1，所以sin（π+φ）=1，所以sinφ=-1，cosφ=0，所以g（x）=sin（πx+φ）=sinπx cosφ+cosπx sinφ=-cosπx，得解．本题考查了不等式恒成立问题及函数图象的性质，属中档题．13.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴sin2α+cos2α==．故答案为：．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.【答案】化学【解析】【分析】先阅读再结合简单的合情推理得：甲得到的书是英语或化学，当甲得到英语书．则乙说：甲或丙得到英语书；是正确的，与题设矛盾，故甲得到化学书．得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．【解答】解：由甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，且丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书．则甲得到的书是英语或化学，当甲得到英语书．则乙说：甲或丙得到英语书；是正确的，与题设矛盾，故甲得到化学书．故答案为：化学．15.【答案】3【解析】解：根据题意，函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，则f（3）=-f（1）=3，则有f（1）=-3又由f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1）=3，即f（-1）=3，故答案为：3．根据题意，由函数的对称性可得f（3）=-f（1）=3，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的对称性，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y=k（x-1），联立方程组，消去y得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，抛物线的准线方程为x =-1，故|FA |=x 1+1，|FB |=x 2+1，∴|FA ||FB |=（x 1+1）（x 2+1）=x 1+x 2+x 1x 2+1=x 1+x 2+2=6，∴|AB |=|FA |+|FB |=x 1+x 2+2=6．故答案为：6．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的斜率为k ，联立方程组消元，根据跟与系数的关系和弦长公式即可得出|AB |的值．本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是前n 项和且a 2+a 6=16，S 5=30，可得2a 1+6d =16，5a 1+10d =30，解得a 1=d =2，则a n =2n ；（Ⅱ）==-，{b n }的前n 项和T n =1-+-+…+-=1-=．【解析】（Ⅰ）数列{a n }是公差设为d 的等差数列，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得==-，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率为：p ==．（Ⅱ）由题可知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X 的可能取值为0，1，2，P （X =0）==，P （X =1）==，P （X =2）==，∴X 的分布列为：X0 1 2P∴E （X ）==．【解析】（Ⅰ）由题意知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且化学的学生中随机抽取3人，由此能求出这3人中至少有2人要学习生物的概率．（Ⅱ）由题可知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】（I）解：由垂直平分线的性质可得：|PN|=|PQ|，则：|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=6＞2，∴动点P的轨迹E为椭圆．设标准方程为：+=1（a＞b＞0）．则2a=6，c=，b2=a2-c2．联立解得a=3，b2=4．∴动点P的轨迹E的方程为+=1．（Ⅱ）证明：由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，（k≠0）．A（-3，0），B（x1，y1），C（x2，y2）．联立，解得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，△=144（9k2-m2+4）＞0．∴x1+x2=-，x1x2=．k AB+k AC=+====．由直线l经过点（-3，8），∴8=-3k+m，∴k AB+k AC=．∴直线AB、AC的斜率之和为定值．【解析】（I）由垂直平分线的性质可得：|PN|=|PQ|，可得：|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=6＞2，由椭圆定义可得动点P的轨迹E为椭圆．（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，（k≠0）．A（-3，0），B（x1，y1），C（x2，y2），与椭圆方程联立可得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k AB+k AC，即可证明直线AB、AC的斜率之和为定值．本题考查了定义法求轨迹方程、综合考查了直线与圆锥曲线方程联立解决复杂的存在探究问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】证明：（Ⅰ）由题意知AD=BD=2，AB=2，则AD2+BD2=AB2，根据勾股定理得BD⊥AD，∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，平面ADEF平面ABCD=AD，平面ADEF，,∴ED⊥平面ABCD，又∵平面ABCD，平面ABCD，则ED⊥BD，∵AD∩ED=D，平面ADEF，平面ADEF，∴BD⊥平面ADEF，∵BD平面BDE，∴平面ADEF⊥平面BDE．解：（Ⅱ）以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由题得D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），C（-2，2，0），M（-，1），=（-，1），=（0，2，0），由（Ⅰ）可得AD⊥平面BDE，则可取平面BDE的法向量=（2，0，0），设平面BDM的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（），设二面角E-BD-M的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-BD-M的余弦值为．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）推导出BD⊥AD，ED⊥BD，从而BD⊥平面ADEF，由此能证明平面ADEF⊥平面BDE ．（Ⅱ）以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-M的余弦值．21.【答案】解：（I）f′（x）=e x-ae-x，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增．当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=ln，在x∈（-∞，ln），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．在x∈（ln，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．∴x=ln时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln）=2．（II）令F（x）=f（x）-mx=e x-e-x-mx，F（0）=0．x≥0．F′（x）=e x+e-x-m，F′（0）=2-m．令H（x）=e x+e-x-m．H′（x）=e x-e-x≥0．∴函数H（x）在（0，+∞）上单调递增．∴F′（x）在[0，+∞）上单调递增．若m≤2，F′（x）≥2-m≥0，得F（x）在[0，+∞）上单调递增，有F（x）≥F（0）=0，符合题意．若m＞2，令F′（x）＜0，解得0≤x≤ln．∴F（x）在（0，ln）上单调递减，有F（x）＜F（0）=0，不符合题意，舍去．∴实数m的取值范围是（-∞，2]．【解析】（I）f′（x）=e x-ae-x，对a分类讨论，即可得出单调性与极值．（II）令F（x）=f（x）-mx=e x-e-x-mx，F（0）=0．x≥0，利用导数研究其单调性即可得出范围．本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）C2的直角坐标方程为：（x-1）2+y2=9．（Ⅱ）将C1代入C2得t2+（2sinα）t-8=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t M==-sinα，所以AB的中点M的轨迹方程为（α为参数），消去参数α，得M点的轨迹的普通方程为（x-1）2+（y-）2=．【解析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式可得；（Ⅱ）将C1代入C2得AB的中点M对应的参数，得点M的轨迹的参数方程，消去参数可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x-4|+1≥x+3，则2|x-2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x≤，所以原不等式的解集为（-∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f（x）-2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x-2|-2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）=2|x-2|-2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）=2|x-2|-2|x+2|+1≤2|（x-2）-（x+2）|+1=9，所以a≤g（x）max=9，即a∈（-∞，9]．【解析】（Ⅰ）分2段去绝对值解不等式组在相并；（Ⅱ）分离参数转化为求函数的最小值，利用绝对值不等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题 含答案
陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题注意事项:1.本试卷共4页满分150分时间120分钟;2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号并认真核准条形码上的姓名、准考证号;3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰;4.考试结束,监考员将试题卷答题卡一并收回第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={1,2,3,4,5},集合{|04},B x x <=<则图中阴影部分表示 A.{1.2,3,4}B.{1，2，3}C.{4，5}D.{1，4}2.已知等比数列{a n }的前n 项和为143,2,1,n S a a a ==则4S = A.31 B.15 C.8 D.73.某医院抽调甲、乙、丙三名医生,抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战，其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作,则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为 A.112 B.16 C.15 D.194.已知非零向量a,b 满足||,a b =且−⊥(a b)b 则与a b 的夹角为A.π6B.π4C.π3D.π25.设复数=满足|1i |1z −+=,z 在复平面内对应的点为(),,P x y 则点P 的轨迹方程为()2222.1 1 .(1)1A x y B x y ++=−+= ()()2222.(1) 1 .111C x y D x y +−=−++=6.“22ππα−<<”是“方程2212cos x y α−=表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体。
2022年陕西省咸阳市高考(理科)数学三模试卷(Word版 含解析)
2022年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．22．已知命题p ：∀x ∈R ，e x ＞0，命题q ：∃x 0∈（0，1），log 12(x 0+1)＞0，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p ∧（￢q ）B ．（￢p ）∨qC ．（￢p ）∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q3．已知正项等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝4a 3，则a 6＝（ ） A ．16B ．32C ．64D ．﹣324．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为23，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ） A ．23B ．1112C ．34D ．895．素数也叫质数，部分素数可写成“2n ﹣1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n ﹣1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423﹣1，第19个梅森素数为Q ＝24253﹣1，则下列各数中与PQ 最接近的数为（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．1045B ．1051C ．1056D ．10596．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，点P 到点（0，√3）的距离与P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．1+√37．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．y＝±√3x B．y＝±√33x C．y＝±x D．y＝±2x8．已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝（）A．−4√3B．−√32C．4√3D．√329．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．410．设(5x−√x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N＝240，则展开式中x3的系数为（）A．﹣150B．150C．﹣500D．50011．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）A．(√5+1)πB．(1+2√5)πC．(√5+2)πD．(2+2√5)π12．已知定义在R上的可导函数f（x），对∀x∈R，都有f（﹣x）＝e2x f（x），当x＞0时，f（x）+f'（x）＜0，若e2a﹣1f（2a﹣1）≤e a+1f（a+1），则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．[﹣1，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=(1，2)，b→=(3，m)，且a→⊥(2a→−b→)，则|a→−2b→|=．14．观察下列不等式1+122＜321+122+132＜531+122+132+142＜74，…照此规律，第n个不等式为．15．已知数列{a n}的前n项和S n=n2，则数列{1a n a n+1}的前2022项和为．16．已知集合M0＝{x|0＜x＜1}，给定一个函数y＝f（x），定义集合M n＝{y|y＝f（x），x∈M n ﹣1}，若M n∩M n﹣1＝∅对任意的n＝N*成立，则称该函数y＝f（x）具有性质“&”．（1）写出一个具有性质“&”的一次函数：；（2）给出下列函数①y=1x，②y＝x2+1，③y=cosπ2x+2，其中具有性质“&”的函数的序号是：（写出所有正确答案的序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答：第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12．（Ⅰ）求f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A)=12，a =√3，求△ABC外接圆的面积．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，△PBC 是边长为√2的等边三角形，BD ＝PD ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PBD ；（Ⅱ）设E 是BP 的中点，求AB 和平面DAE 所成角的余弦值．19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占35，统计后得到如下2×2列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计 线上销售时间不少于8小时1720线上销售时间不足8小时合计45（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？（Ⅱ）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为√3的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 方程；（Ⅱ）设圆心为原点，半径为√a 2+b 2的圆是椭圆C 的“基圆”，点P 是椭圆C 的“基圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点．试判断l 1，l 2是否垂直？并说明理由．21．设函数f （x ）＝x 2+mln （x +1）（m ∈R ）．（Ⅰ）若m ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，求实数m 的取值范围． （二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心C （1，2），半径为2，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是θ=π4（ρ∈R ）． （Ⅰ）求⊙C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与⊙C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|x +3|． （Ⅰ）求不等式f （x ）≤2的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤|2a +1|恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【分析】根据复数相等求出x ，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 解：∵（1+i ）x ＝1+yi ， ∴x +xi ＝1+yi ，即{x =1y =x ，解得{x =1y =1，即|x +yi |＝|1+i |=√2， 故选：B ．2．已知命题p ：∀x ∈R ，e x ＞0，命题q ：∃x 0∈（0，1），log 12(x 0+1)＞0，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p ∧（￢q ）B ．（￢p ）∨qC ．（￢p ）∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q【分析】根据题意，分析命题p 、q 的真假，进而由复合命题的真假分析选项，即可得答案．解：根据题意，对于p ，y ＝e x 是指数函数，∀x ∈R ，总有e x ＞0，p 是真命题；对于q ，函数y =log 12（x +1）为减函数，∀x ∈（0，1），都有x +1∈（1，2），必有log 12（x +1）＜log 121＝0，q 是假命题；则p ∧（￢q ）是真命题， 故选：A ．3．已知正项等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝4a 3，则a 6＝（ ） A ．16B ．32C ．64D ．﹣32【分析】由已知结合等比数列的性质先求出q ，然后结合等比数列的通项公式求解． 解：因为正项等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝4a 3，所以q 2=a5a 3=4，所以q ＝2，则a 6=a 2⋅q 4=2×25＝32． 故选：B ．4．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为23，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ） A ．23B ．1112C ．34D ．89【分析】可知患者通过飞沫传播不被感染的概率为13，再利用对立事件求概率． 解：∵患者通过飞沫传播被感染的概率为23，∴患者通过飞沫传播不被感染的概率为13，∴甲、乙两患者都不是通过飞沫传播被感染的概率为13×13=19，故甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为1−19=89；故选：D ．5．素数也叫质数，部分素数可写成“2n ﹣1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n ﹣1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423﹣1，第19个梅森素数为Q ＝24253﹣1，则下列各数中与PQ 最接近的数为（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．1045B ．1051C ．1056D ．1059【分析】由P Q=24423−124253−1≈2170，令2170＝k ，化指数式为对数式求解．解：PQ=24423−124253−1≈2170．令2170＝k ，则lg 2170＝lgk ， ∴170lg 2＝lgk ， 又lg 2≈0.3，∴51＝lgk ， 即k ＝1051，∴与PQ 最接近的数为1051．故选：B ．6．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，点P 到点（0，√3）的距离与P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．1+√3【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可． 解：抛物线y 2＝4x ，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P 到点A （0，√3）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值， 就是P 到（0，√3）与P 到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P 到点A （0，√3）的距离与P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：√(0−1)2+(√3−0)2−1＝1． 故选：A ．7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√3xB ．y ＝±√33xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x【分析】利用已知条件求出方程组，得到a ，b ，c ，即可求解双曲线的渐近线方程． 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，可得：{ca =2bc√a 2+b =2c 2=a 2+b 2，解得a =2√33，c =4√33，b ＝2， 所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±abx ＝±√33x ．故选：B ．8．已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝（ ）A ．−4√3B ．−√32C ．4√3D ．√32【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得tan α的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．解：∵已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，即 12sin α−√32cos α＝﹣3（√32cos α+12sin α），化简可得2sin α=−√3cos α，求得tan α=sinαcosα=−√32，则tan2α=2tanα1−tan 2α=−4√3，故选：A ．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【分析】模拟程序的运行，分类讨论，即可求解．解：当条件x ≥0，y ≥0，x +y ≤2不成立时，输出S 的值为1； 当条件x ≥0，y ≥0，x +y ≤2成立时，S ＝2x +y ，不等式组{y ≥0x≥0x +y ≤2，表示的平面区域如图中阴影部分（含边界），由图可知当直线S ＝2x +y 经过点M （2，0）时S 最大， 其最大值为2×2+0＝4， 故输出S 的最大值为4． 故选：D ．10．设(5x−√x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N＝240，则展开式中x3的系数为（）A．﹣150B．150C．﹣500D．500【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得系数．解：(5x−√x)n中，令x＝1得展开式的各项系数之和M＝4n根据二项式系数和公式得二项式系数之和N＝2n∵M﹣N＝240∴4n﹣2n＝240解得n＝4∴(5x−√x)n=(5x−√x)4的展开式的通项为T r+1=C4r(5X)4−r(−√x)r=(−1)r54−r C4r x4−r 2令4−r2=3得r＝2故展开式中x3的系数为52C42＝150故选：B．11．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）A．(√5+1)πB．(1+2√5)πC．(√5+2)πD．(2+2√5)π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是具有公共顶点的两个圆锥，圆锥的底面半径都是1，高均为2，再由圆锥的表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是具有公共顶点的两个圆锥，圆锥的底面半径都是1，高均为2，则该几何体的表面积为2π×12+2π×1×√22+12=2(√5+1)π．故选：D．12．已知定义在R上的可导函数f（x），对∀x∈R，都有f（﹣x）＝e2x f（x），当x＞0时，f（x）+f'（x）＜0，若e2a﹣1f（2a﹣1）≤e a+1f（a+1），则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．[﹣1，2]【分析】令g（x）＝e x f（x），判断g（x）的单调性和奇偶性，根据e2a﹣1f（2a﹣1）≤e a+1f（a+1），得到g（2a﹣1）≤g（a+1），再求出a的取值范围．解：令g（x）＝e x f（x），则当x＞0时，g'（x）＝e x[f（x）+f'（x）]＜0，所以g（x）＝e x f（x）在区间（0，+∞）单调递减，又g（﹣x）＝e﹣x f（﹣x）＝e﹣x（e2x f（x））＝e x f（x）＝g（x），所以g（x）为偶函数，且在区间（﹣∞，0）单调递增，又e2a﹣1f（2a﹣1）≤e a+1f（a+1），即g（2a﹣1）≤g（a+1），所以|2a﹣1|≥|a+1|，即（2a﹣1）2≥（a+1）2，解得a≤0或a≥2，所以a的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=(1，2)，b→=(3，m)，且a→⊥(2a→−b→)，则|a→−2b→|=5√2．【分析】根据题意，求出2a→−b→的坐标，由数量积的坐标计算公式可关于m的方程，解可得m 的值，即可得b →的坐标，进而可得a →−2b →的坐标，由此计算可得答案． 解：根据题意，向量a →=(1，2)，b →=(3，m)，则2a →−b →=（﹣1，4﹣m ），若a →⊥(2a →−b →)，则a →•（2a →−b →）＝﹣1+2（4﹣m ）＝0，解可得m =72，则a →−2b →=（﹣5，5）， 故|a →−2b →|=√25+25=5√2； 故答案为：5√2． 14．观察下列不等式 1+122＜32 1+122+132＜53 1+122+132+142＜74，… 照此规律，第n 个不等式为 1+122+⋯+1(n+1)2＜2n+1n+1 ． 【分析】依题意观察不等式的左边的变化是一个数列{1n2}的求和形式．最后一项是1(n+1)2．不等式的右边是2n+1n+1的形式，进而得到答案．解：由已知中不等式： 1+122＜32 1+122+132＜53 1+122+132+142＜74，… 依题意观察不等式的左边的变化是一个数列{1n 2}的求和形式． 最后一项是1(n+1)2．不等式的右边是2n+1n+1的形式．所以第n 个式子应该是1+122+⋯+1(n+1)2＜2n+1n+1． 故答案为1+122+⋯+1(n+1)2＜2n+1n+1． 15．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则数列{1a n a n+1}的前2022项和为 20224045．【分析】由a n ＝S n ﹣S n ﹣1求得a n ＝2n ﹣1，再由裂项相消法即可求出． 解：因为S n =n 2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，满足a 1＝1， 所以a n ＝2n ﹣1， 所以1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{1a n a n+1}的前2022项和为12(1−13+13−15+15−17+⋯+14043−14045)=20224045，故答案为：20224045．16．已知集合M 0＝{x |0＜x ＜1}，给定一个函数y ＝f （x ），定义集合M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n﹣1}，若M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ＝N *成立，则称该函数y ＝f （x ）具有性质“&”．（1）写出一个具有性质“&”的一次函数： y ＝x +1（答案不唯一） ；（2）给出下列函数①y =1x，②y ＝x 2+1，③y =cos π2x +2，其中具有性质“&”的函数的序号是： ①② （写出所有正确答案的序号）【分析】（1）可取y ＝x +1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断； （2）分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断．解：（1）可取y ＝x +1，由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}， 可得M 1＝{y |1＜y ＜2}，M 2＝{y |2＜y ＜3}， …，M n ﹣1＝{y |n ﹣1＜y ＜n }，M n ＝{y |n ＜y ＜n +1}， 满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立；（2）①y =1x，由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}，可得M 1＝{y |y ＞1}，M 2＝{y |0＜y ＜1}，M 3＝{y |y ＞1}，M 4＝{y |0＜y ＜1}，…， 满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立，故①具有性质“&”； ②y ＝x 2+1，由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}， 可得M 1＝{y |1＜y ＜2}，M 2＝{y |2＜y ＜5}，M 3＝{y |5＜y ＜26}，…， 满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立，故②具有性质“&”；③y ＝cos π2x +2，由M 0＝{x |0＜x ＜1}，M n ＝{y |y ＝f （x ），x ∈M n ﹣1}，可得M 1＝{y |2＜y ＜3}，M 2＝{y |1＜y ＜2}，M 3＝{y |1＜y ＜2}，…， 不满足M n ∩M n ﹣1＝∅对任意的n ∈N *成立，故③不具有性质“&”． 故答案为：y ＝x +1（答案不唯一）；①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答：第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数f(x)=√3sin x 2cos x 2−cos 2x 2+12．（Ⅰ）求f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A)=12，a =√3，求△ABC外接圆的面积．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可求f(A)=sin(A −π6)=12，结合范围0＜A ＜π，可求A =π3，进而根据正弦定理可求△ABC 的外接圆半径，即可求解△ABC 的外接圆的面积．解：（Ⅰ）f(x)=√3sin x 2cos x 2−cos 2x 2+12=√32sinx −12cosx =sin(x −π6)，令−π2+2kπ≤x −π6≤π2+2kπ(k ∈Z)， 解得−π3+2kπ≤x ≤23π+2kπ(k ∈Z)，故函数f （x ）的单调递增区间为[−π3+2kπ，23π+2kπ](k ∈Z)． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(x −π6)，则f(A)=sin(A −π6)=12，又0＜A ＜π， 故A =π3．设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得，2R =asinA =√3sin π3=2，∴R ＝1，故△ABC 的外接圆的面积为S ＝π．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，△PBC 是边长为√2的等边三角形，BD ＝PD ．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面PBD ；（Ⅱ）设E 是BP 的中点，求AB 和平面DAE 所成角的余弦值．【分析】（I ）通过线线垂直证明线面垂直；（II ）以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，利用向量法求AB 和平面DAE 所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BD 、CD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BD ，PD ⊥CD ，在Rt △PBD 中，PB =√2，∴BD ＝PD ＝1， 在Rt △PCD 中，可得CD ＝1，于是BD 2+DC 2＝BC 2，可得BD ⊥DC ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，从而AB ⊥BD ， 由于PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又PD ∩BD ＝D ，∴AB ⊥平面PBD ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD ⊥DC ，又PD ⊥平面ABCD ，故以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），A （1，﹣1，0），B （1，0，0），P （0，0，1），∵E 是BP 的中点，∴E(12，0，12)，则AB →=(0，1，0)，DA →=(1，−1，0)，DE →=(12，0，12)，设平面DAE 的法向量n →=(x ，y ，z)．则 {n →⋅DA →=x −y =0n →⋅DE →=12x +12z =0， 取x ＝2，可得n →=(2，2，−2)，则cos〈AB →，n →〉=AB →⋅n→|AB →||n →|=21×√12=√33，故AB 和平面DAE 所成角的余弦值为√63．19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占35，统计后得到如下2×2列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计 线上销售时间不少于8小时1720线上销售时间不足8小时合计45（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？（Ⅱ）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）由题意得出2×2列联表，利用公式求得K 2＝9.375＞6.635，结合附表，即可得出结论．（Ⅱ）求出样本容量与总体容量之比，进而求出销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数，得出X 的所有可能取值，求出相应的概率，得出X 的分布列，利用期望公式求出E （X ）即可． 解：（Ⅰ）由题意可得下面的2×2列联表：销售额不少于30万元 销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 3 20线上销售时间不足8小时10 15 25 合计271845根据上面的列联表得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=45×(17×15−10×3)220×25×27×18=9.375＞6.635，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关． （Ⅱ）企业总数为45，样本容量与总体容量之比为545=19，∴从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2， 则随机变量X 的可能取值为0，1，2，P(X =0)=C 152C 182=3551，P(X =1)=C 31C 151C 182=517，P(X =2)=C 32C 182=151，∴X 的分布列为：X 012P3551517151数学期望E(X)=0×3551+1×517+2×151=13． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为√3的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 方程；（Ⅱ）设圆心为原点，半径为√a 2+b 2的圆是椭圆C 的“基圆”，点P 是椭圆C 的“基圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点．试判断l 1，l 2是否垂直？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由△AB 1B 2是面积为√3的正三角形求得a ，b ，c 得椭圆方程；（Ⅱ）设P （x 0，y 0）是“基圆”上任意一点，切线斜率存在时，设经过P 与椭圆相切的直线方程为y ＝kx +m ，其中m ＝y 0﹣kx 0，由直线与椭圆相切，判别式Δ＝0得出k ，m 关系，把m ＝y 0﹣kx 0代入，利用过韦达定理得k 1k 2＝﹣1，证得垂直，再确定切线斜率不存在时，切线也相互垂直，从而完成证明． 解：（Ⅰ）{S △AB 1B 2=√34c 2=√3b =csin60°a 2=b 2+c 2⇒{a =√7，b =√3，c =2．∴椭圆C 方程为：x 27+y 23=1．（Ⅱ）设P （x 0，y 0）是“基圆”上任意一点，则x 02+y 02=a 2+b 2=10，①当经过P 与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P 与椭圆相切的直线方程为y ＝kx +m ，其中m ＝y 0﹣kx 0， {y =kx +m ，x 27+y 23=1，⇒（7k 2+3）x 2+14kmx +7m 2﹣21＝0，由Δ＝0得7k 2﹣m 2+3＝0，将m ＝y 0﹣kx 0代入上式可得(7−x 02)k 2+2x 0y 0k +(3−y 02)=0，所以k 1k 2=3−y 027−x 02=x 02−77−x 02=−1，∴l 1⊥l 2． ②当经过P 与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P 的坐标为(±√7，±√3)，例如过(√7，√3)的切线方程是x =√7，y =√3，显然l 1⊥l 2，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P 都可使l 1⊥l 2． 21．设函数f （x ）＝x 2+mln （x +1）（m ∈R ）．（Ⅰ）若m ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，求实数m 的取值范围． 【分析】（I ）m ＝﹣1，利用导数求得f '（0）＝﹣1．可求得切线方程；（II ）求得函数的导函数f′(x)=2x +m x+1=2x 2+2x+m x+1，进而2x 2+2x +m ＝0．对△分类讨论可求得m 的取值范围．解：（Ⅰ）m ＝﹣1，∴f （x ）＝x 2﹣ln （x +1）．f′(x)=2x −1x+1，k ＝f '（0）＝﹣1． 又f （0）＝0，∴f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣x ．（Ⅱ）f （x ）＝x 2+mln （x +1），f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），f′(x)=2x +m x+1=2x 2+2x+m x+1，令2x 2+2x +m ＝0．当b 2﹣4ac ＝4﹣8m ≤0，即m ≥12时，f '（x ）≥0，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增， 又f （0）＝0，∴在（0，1）上无零点，不合题意；当b 2﹣4ac ＝4﹣8m ＞0，即m ＜12时，2x 2+2x +m ＝0有两根x 1，x 2（x 1＜x 2）；当2×（﹣1）2+2×（﹣1）+m ＞0，即0＜m ＜12时，x 1∈(−1，−12)，x 2∈(−12，0)，此时f （x ）在（x 2，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，∴在（0，1）上无零点，不合题意；当m ＝0时f （x ）＝x 2，此时f （x ）在（0，1）上无零点，不合题意； 当m ＜0时x 1∈（﹣∞，﹣1），x 2∈（0，+∞），此时f （x ）在（0，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增，f （0）＝0， ∴f （x 2）＜0，f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，即f （1）＞0即可．解得m ＞−1ln2． 综上，若f （x ）在区间（0，1）上存在唯一零点，则m 的取值范围为(−1ln2，0)． （二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心C （1，2），半径为2，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是θ=π4（ρ∈R ）． （Ⅰ）求⊙C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与⊙C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 【分析】（I ）根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解．（II ）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解． 解：（I ）∵⊙C 的圆心C （1，2），半径为2， ∴（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，即x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0， ∵{x =ρcosθy =ρsinθ， ∴ρ2﹣2ρcos θ﹣4ρsin θ+1＝0，∴⊙C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ﹣4ρsin θ+1＝0，∵直线l的极坐标方程是θ=π4（ρ∈R），∴y＝x．（II）∵⊙C的圆心C（1，2），半径r＝2，∴圆心到直线y＝x的距离d=√1+1=√22，∴|AB|=2√r2−d2=2√22−12=√14．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|2a+1|恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将f（x）写成分段函数，分类讨论求解绝对值不等式即可；（Ⅱ）根据f（x）的分段表达式可得f（x）的最大值，再求解绝对值不等式即可．解：（Ⅰ）①当x＜﹣3时，4≤2，无解；②当﹣3≤x＜1时，﹣2x﹣2≤2，解得﹣2≤x＜1；③当x≥1时，﹣4≤2，解得x≥1；综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[﹣2，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）max＝4，∴|2a+1|≥4，解得a≤−52或a≥32，∴a的取值范围为(−∞，−52]∪[32，+∞)．。
陕西省咸阳市2023届高三三模理科数学试题
陕西省咸阳市2023届高三三模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、填空题
13．若一数列为2，7，14，23，×××，则该数列的第8个数是________．14．已知三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若
三、解答题
17．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
(1)求这100份数学试卷的样本平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)在样本中，从数学成绩不低于125分的试卷中，随机抽取3份进行答卷情况分析，
设X 为抽取的试卷成绩不低于135分的试卷份数，求X 的分布列及数学期望．18．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BB C C 是边长为1的正方形，平面11BB C C ^平
面11AA B B ，4AB =，1160A B B Ð=°，G 是11A B 的中点．
其中(1,0),(3,2)A B ，
(1)1a b -=++，令1z a b =++，即b 作出直线10a b ++=，平移直线1a b ++
17．(1)100
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）根据频率分布直方图估
（2）根据超几何分布的分布的知识计算出
【详解】（1）这100份数学试卷的平均分为´+´+´+´
600.02700.08800.14900.15 100.。
_2020年咸阳市三模数学(理科)试题及其答案
咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题注意事项：1. 试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答题前，考生必须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合,集合，则图中阴影部分表示（ ）A. B. C.D. 2．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）A.31B.15C.8D.73. 2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ）A.B.C.D.4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）{}1,2,3,4,5A ={}|(4)0=-<B x x x {}1,2,3,4{}1,2,3{}4,5{}1,4{}n a n n S 342a a =11a =4S =112161519,a b |||= a b ()a b b -⊥ a bA.B.C.D.5．设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为P(x ，y )，则点P 的轨迹方程为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞（方盖）。
陕西咸阳市高考模拟(三)数学(理)试题(附答案)
陕西咸阳市高考模拟（三）数学（理）试题参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差球的表面积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L24S R π=其中x 为样本平均数 其中R 表示球的半径 如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V=343R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n p k C p p -=-（k =0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集为实数R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，则()R AB ∩ð= ( ) A. {}|11x x -≤≤ B. {}|11x x -≤< C. φ D. {}|1x x = 2．若复数()i m iiz -+-+=111（i 为虚数单位）为非纯虚数，则实数m 不可能．．．为 ( ) A ．0B ．1C ．-1D ．23．如果过曲线234+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，那么点P 的坐标为 ( ) A ．()1,0B ．()0,1-C ．()0,1D ．()1,0-4．将函数sin 2cos2y x x =+的图像向左平移4π个单位长度，所得图像的解析式是 ( )A ．cos 2sin 2y x x =+B ．cos 2sin 2y x x =-C ．sin 2cos 2y x x =-D ．cos sin y x x =5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 12 D. 166． 如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线()sin 0y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 ( ) A ．1π B . 2π C. 3π D. 4π7．执行如右图所示的程序框图，若输出的n =5，则输入整数p 的最小值是（ ）A ．7B ．8C ．15D ．168．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题9．已知双曲线12222=-bx a x 的左焦点为F ，()()b B a A ,0,0,，当⊥时，则该双曲线的离心率e 等于 ( )A. 215+ B.1110.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过*()k k ∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数.对下列4个函数： ①()cos()2f x x π=--；②1()()3x f x =；③2()log f x x =-；④()2()235f x x π=-+. 其中是一阶格点函数的有( ) A ．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上.)11．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论： . .12．一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是 腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球 的表面积．．．为 . 13．已知企业生产汽车甲种配件每万件要用A 原料3吨，B 原料2吨；乙种配件每万件要用A 原料1吨，B 原料3吨；甲配件每件可获利5元，乙配件每件可获利3元，现有A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，利用现有原料该企业可获得的最大利润是 .14． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-u u u r u u u r且，则ABC ∆的面积等于 ．15．(考生注意：请在下列二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.)A.（不等式选讲选做题）不等式112≤++x x 的实数解集为_________． B.（坐标系与参数方程选讲选做题）若ABC ∆的底边,2,10A B BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为________________.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>>≤在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3.(I)求()f x 的解析式；(II)求()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.17.（本小题满分12分）设S n 是正项数列}{n a 的前n 项和， 3242-+=n n n a a S ．（I ）求数列}{n a 的O主视图 左视图俯视图通项公式；（II ）n n n nn b a b a b a T b +++==Λ2211,2求已知的值．18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ABC ⊥平面,//AEDB ,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为6.（I ）在线段DC 上存在一点F ，使得EF DBC ⊥面，试确定F 的位置；（II ）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19．(本小题满分12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815；（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通过的概率均为23；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率22e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)3S -的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．A A21. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x x ax =+-（Ⅰ）当3=a 时，求()x f 的单调增区间；（Ⅱ）若()x f 在(0,1)上是增函数，求a 得取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设()()31,2≤≤-+=x a x x x g ，求函数()x g 的最小值.陕西咸阳市高考模拟（三）数学（理）试题参考答案11.正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值. 12.π3 13. 27万 14.3215. A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤23|x x B. 10cos 20+=θρ或2sin 40302θρ-=或102cos402-=θρ三、解答题：16. 解：(I)∵在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3. ∴21,2,2362T A b πππ===-=，,2T πω== ，()()sin 22f x x ϕ=++，……3分 由当23x π=时，y 最大值3得()44sin 1,2332k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈⎪⎝⎭526k πϕπ=-，∵ϕπ≤，∴56ϕπ=- ()5sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………6分(II) ∵3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴75132666x πππ≤-≤ …………8分∴当32x π=时，()f x 取最大值32 ； …………10分当76x π=时，()f x 取最小值1. …………12分17. 解：（I ）当n = 1时，21111113,424a S a a ==+-又0>n a 解得a 1 = 3．当n≥2时，()()32)32(4444121211-+--+=-=-=----n n n n n n n n n a a a a S S S S a .1212224---+-=∴n n n n n a a a a a ， …………3分∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ．2011=-∴>+--n n n n a a a a Θ（2≥n ）， }{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列．12)1(23+=-+=∴n n a n ． …………6分（II ）123252(21)2nn T n =⨯+⨯+++⋅L ．① 又因为21232(21)2(21)2n n n T n n +=⨯++-⋅++L②②－① 13212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T Λ …………9分112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n ．所以 22)12(1+⋅-=+n n n T ．…………12分18． 解：（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结CG ，则CG AB ⊥，又DB ABC ⊥平面，可得DB CG ⊥,所以ABDE CG 面⊥， 所以6sin CG CDG CD ∠==，CG=3,故CD=22 222DB CD CB =-=………3分取CD 的中点为F ，BC 的中点为H,因为1//2FH BD =，1//2AE BD =，所以AEFH 为平行四边形，得//EF AH ，…………………5分AH BC AH AH BD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面BCD ∴EF DBC ⊥面存在F 为CD 中点，DF=2时，使得EF DBC ⊥面…6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(1,3,0)C 、(0,0,0)B 、(2,0,1)E 、()0,0,2D ，从而BE =u u u r(2,0,1)，EC =u u u r(1,3,1)--，(2,0,1)DE =-u u u r 。
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，集合B ={x|0<x <4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3}C.{4, 5}D.{1, 4}2. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝2a 3，a 1＝1，则S 4＝（ ） A.31 B.15 C.8 D.73. 2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线．某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ） A.112 B.16C.15D.194. 已知非零向a →，b →满足|a →|=√2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A.π6B.π4C.3π4D.5π65. 若复数z 满足|z −l +i|＝l ，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ） A.(x +1)2+(y +1)2＝1 B.(x +1)2+(y −1)2＝1 C.(x −1)2+(y −1)2＝1 D.(x −1)2+(y +1)2＝16. “−π2<α<π2”是“方程x 22−y 2cos α=1表示双曲线”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A.a ，bB.a ，cC.c ，bD.b ，d8. 若数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1+a 2020＝27，b 1⋅b 2020＝2函数f(x)满足f(x +2)＝−f(x)且f(x)＝e x ，x ∈[0, 2]，则f(a1010+a 10111+b1010b 1011)=( )A.eB.e 2C.e −1D.e 99. 函数y =2x −12x +1⋅sin x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.10. 已知x ，y 满足不等式组{y ≥0y ≤x x +y −m ≤0，且目标函数z ＝3x −2y 的最大值为180，则实数m 的值为（ ）A.60B.70C.80D.9011. 已知抛物线C:y 2＝8x ，点P ，Q 是抛物线上任意两点，M 是PQ 的中点，且|PQ|＝10，则M 到y 轴距离的最小值为（ ） A.9 B.8 C.4 D.312. 已知函数f(x)＝e −x −e x +ax （a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[1, +∞) B.[2, +∞) C.(2, +∞) D.(1, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．若tan α=13,tan (α+β)=12，则tan β＝________．已知在三棱锥A −BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC =√3,AD =2√2，则三棱锥A −BCD 外接球的体积为________√3π ．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．给出以下四个命题：①数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．②在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为34． ③将多项式a 6x 6+a 5x 5+...+a 1x +a 0分解因式得(x −2)(x +2)5，则a 5＝8．④若∫ ba f(x)dx >0，那么由y ＝f(x)，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方． 其中正确命题的序号为________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分设a ，b ，c 分别为锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足√3sin A(cot A +cot B)=2sin C,b =4． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 面积的最大值．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别是其左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且椭圆C 的离心率为12，△AF 2B 的内切圆面积为π,S △AF 2B =4． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)若|AB|=247时，求直线l 的方程．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意．完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对线上教学是否满意与性别有关”；(Ⅱ)从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望． 附；K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是边长为2的正三角形，△ADC 是等腰直角三角形∠ADC ＝90∘，AB ＝BD ．(Ⅰ)证明：平面ADC ⊥平面ABC ；(Ⅱ)点E 在BD 上，若平面ACE 把三棱锥A −BCD 分成体积相等的两部分，求二面角A −CE −D 的余弦值．已知函数f(x)=12ax2−(2a+1)x+2ln x．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a＝0时，证明f(x)<2e x−x−4．（其中e为自然对数的底数）（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为{x=2cosαy=√3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l过A，B两点，且这两点的极坐标分别为A(2√7,0),B(2√7,π2)．(Ⅰ)求C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)若M为曲线C上一动点，求点M到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]已知a>0，b>0，且a+b＝2．(Ⅰ)若1a +4b≥|2x−1|恒成立，求x的取值范围；(Ⅱ)证明：(1a +1b)(a3+b3)≥4．参考答案与试题解析2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算【解析】由集合的交、并、补的混合运算可得：阴影部分所表示的集合为A∩∁R B，得解．【解答】解：∵集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={x|0<x<4}，∴∁R B={x|x≥4或x≤0}.由韦恩图可得，阴影部分表示的是A中去掉B的那部分，∴阴影部分所表示的集合为A∩(∁R B)={4, 5}.故选C.2.【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】利用等比数列的通项公式求出公比q＝2，由此能求出S4．【解答】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a4＝2a3，a1＝1，∴q3＝2q2，解得q＝2，∴S4=1−241−2=15．3.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=C31C31=9，医生甲和护士A被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，由此能求出医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率．【解答】某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，基本事件总数n=C31C31=9，医生甲和护士A被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为p=19．4.【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据平面向量的数量积与模长公式，列出等式即可求出a→与b→夹角【解答】设a→与b→的夹角为θ；因为|a→|=√2|b→|，且(a→−b→)⊥b→，∴(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2=0，∴|a→|×|b→|×cosθ−|b→|2＝0；⇒cosθ=√22；∵θ∈[0, π]；∴θ=π45.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】根据条件可得√(x−1)2+(y+1)2=l，化简即可得到z在复平面内对应的点的轨迹．【解答】∵z在复平面内对应的点为(x, y)，|z−l+i|＝l，∴|z−l+i|=√(x−1)2+(y+1)2=l，∴(x−1)2+(y+1)2＝1，6.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件双曲线的标准方程【解析】方程x 22−y 2cos α=1表示双曲线，可得cos α>0，解出即可判断出结论． 【解答】 方程x 22−y 2cos α=1表示双曲线，可得2cos α>0，即cos α>0，可得2kπ−π2<α<2kπ+π2，k ∈Z ．∴ “−π2<α<π2”是“方程x 22−y 2cos α=1表示双曲线”的充分不必要条件． 7.【答案】 A【考点】简单空间图形的三视图 【解析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案． 【解答】∵ 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）． ∴ 其正视图和侧视图是一个圆，∵ 俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ∴ 俯视图是有2条对角线且为实线的正方形， 8.【答案】 A【考点】数列与函数的综合 【解析】利用等差数列以及等比数列的性质，化简f(a1010+a 10111+b1010b 1011)为f(9)，结合已知条件，转化求解即可．【解答】数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1+a 2020＝27，b 1⋅b 2020＝2，所以f(a1010+a 10111+b1010b 1011)=f(a 1+a 20201+b1b 2020)=f(271+2)=f(9)，函数f(x)满足f(x +2)＝−f(x)且f(x)＝e x ，x ∈[0, 2]， ∴ f(9)＝−f(7)＝f(5)＝−f(3)＝f(1)＝e ． 故选：A ． 9.【答案】 D【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据题意，用排除法分析：令x ＝0和x ＝π，求出函数的值，由排除法分析选项即可得答案． 【解答】根据题意，设y ＝f(x)=2x −12x +1⋅sin x ，当x ＝0时，有f(0)=20−120+1sin 0＝0，排除B 、C ； 当x ＝π时，sin π＝0，有f(π)＝0，排除A ； 10.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数z ＝3x −2y 的最大值为180，通过直线平移，找到取得最大值的交点，利用数形结合即可的得到结论． 【解答】作出不等式组对应的平面区域，如图： 由z ＝3x −2y 化简为y =32x −12z ， 平移直线y =32x −12z ， 由图象可知当直线y =32x −12z ， 经过点A(m, 0)时，直线y =32x −12z 的截距最小，此时z 最大， z max ＝3m ＝180， 解得：m ＝60． 11. 【答案】 D【考点】 抛物线的性质 【解析】法一：设直线l 的方程为x ＝my +n ，设点A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算|AB|，并利用条件|AB|＝12，得出m 与n 所满足的关系式，然后求出点M 的坐标，可得出点M 到x 轴距离的表达式，将关系式代入并结合基本不等式可得出点M 到x 轴距离的最小值即可． 法二：运用抛物线的定义解题；PQ ≤PF +QF ，再由中位线定理和抛物线的定义． 【解答】法-：由题意可知直线l 的斜率不为零，设l:x ＝my +n ，设点A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)， 则点M(x 1+x 22, y 1+y 22)，点M 到x 轴的距离为y 1+y 22．由{x =my +n y 2=8x，整理得y 2−8my −8n ＝0．△＝64m 2+32n >0，由韦达定理得y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝−8n ．|AB|=√1+m 2⋅|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√64m 2+32n =10，可得n =258(1+m )−2m 2， ∵y 1+y 22=4m ，∴x 1+x 22=m ⋅y 1+y 22+n ＝m ⋅4m +n ＝4m 2+258(1+m 2)−2m 2＝2m 2+258(1+m 2)=2(1+m 2)+258(1+m 2)−2≥2√2(1+m 2)×258(1+m 2)−2＝5−2＝3；当且仅当 2(1+m 2)=258(1+m 2)，即当m ＝±12时，等号成立， 此时n =258(1+m 2)−2m 2＝2，△＝64m 2+32n >0成立，合乎题意！因此，点M 到y 轴的距离的最小值为3，此时，直线l 的方程为x ±12y −2＝0． 法二：因为：|PQ|≤PF +QF ＝x 1+x 2+p ⇒x 1+x 2≥10−p ＝6； ∴ PQ 的中点M 到y 轴距离的值为：x 1+x 22≥3；即最小值为3． 12. 【答案】 C【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)＝0在R 上有两个不同根，结合函数的性质可求． 【解答】由题意可得，f′(x)＝−e −x −e x +a ＝0有2个不同的实数根，即a ＝e x +e −x 有2个不同的实数根， 令g(x)＝e x +e −x ，则g′(x)＝e x −e −x 在R 上单调递增且g(0)＝0，故当x <0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x >0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(0)＝2， 故a >2．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【答案】17【考点】两角和与差的三角函数 【解析】把β变为(α+β)−α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，将tan (α+β)和tan α的值代入即可求出值． 【解答】∵ tan α=13,tan (α+β)=12， ∴ tan β＝tan [(α+β)−α]=tan (α+β)−tan α1+tan (α+β)tan α=12−131+12×13=17．【答案】 4【考点】球的表面积和体积 球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】利用三棱锥侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积． 【解答】三棱锥A −BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个， 长方体的对角线就是球的直径，该长方体的三边分别为1，√3，2√2， 所以球的直径为：√1+(√3)2+(2√2)2=2√3， 所以球的半径为√3，所以三棱锥A −BCD 的外接球的体积为43π×(√3)3＝4√3π 【答案】 a 38【考点】 类比推理 【解析】首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，结合空间正方体的结构特征，即可类比推理出两个两个正方体重叠部分的体积． 【解答】∵ 同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心， 则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心， 则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38，【答案】 ②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】举例说明①④错误；由几何概型求概率说明②正确；由二项式系数的性质求得a 5说明③正确． 【解答】常数列也是等差数列，但常数列的通项公式为常数函数，不是n 的一次函数，故①错误； 根据几何概型可知，△PBC 的面积大于S4的概率为S−S 4S=34，故②正确；由二项展开式的通项公式可得，(x +2)5中x 4的系数为C 51×2=10，x 5的系数为C 50=1，则a 5＝10−2＝8，故③正确；若∫ ba f(x)dx >0，那么由y ＝f(x)，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形可能一部分在x 轴下方，一部分在x 轴上方．如∫ 30(x −1)dx >0，由y ＝f(x)，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形如图：故④错误．∴正确命题的序号是②③．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分【答案】（1）∵√3sin A(cot A+cot B)=2sin C,b=4，可得√3sin A(cos Asin A +cos Bsin B)＝2sin C，∴可得√3sin A(sin B cos A+cos B sin Asin A sin B )=2sin C，即√3sin A⋅sin(A+B)sin A sin B=2sin C，∴可得sin B=√32，又∵B为锐角，∴B=π3．（2）∵由(Ⅰ)可知B=π3，且b＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2−2ac cos B，可得16＝a2+c2−ac≥2ac−ac＝ac，∴S△ABC=12ac sin B≤12×16×√32=4√3，故△ABC面积的最大值为4√3．【考点】正弦定理【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B=√32，结合B为锐角，可求B的值．(Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可求得16≥ac，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】（1）∵√3sin A(cot A+cot B)=2sin C,b=4，可得√3sin A(cos Asin A +cos Bsin B)＝2sin C，∴可得√3sin A(sin B cos A+cos B sin Asin A sin B )=2sin C，即√3sin A⋅sin(A+B)sin A sin B=2sin C，∴可得sin B=√32，又∵B为锐角，∴B=π3．（2）∵由(Ⅰ)可知B=π3，且b＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2−2ac cos B，可得16＝a2+c2−ac≥2ac−ac＝ac，∴S△ABC=12ac sin B≤12×16×√32=4√3，故△ABC面积的最大值为4√3．【答案】（1）由题意可得e=ca=12，因为△AF2B的内切圆面积为π，所以内切圆的半径为1，所以△AF2B的面积为12⋅4a⋅1＝4所以a＝2，进而可得c＝1，而b2＝a2−c2＝3，所以椭圆的方程为：x24+y23=1；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由(Ⅰ)可得F1(−1, 0)，当直线AB的斜率不存在时可得|AB|＝2⋅b2a=3不符合题意，所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝k(x+1)，联立直线与椭圆的方程：{y=k(x+1)3x2+4y2−12=0整理可得：(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12＝0，可得x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，所以|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=12(1+k2)3+4k2=247，解得k＝±1，所以直线l的方程为：x−y+1＝0或x+y+1＝0．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的应用椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)由离心率可得a，c的关系，再由内切圆的面积求出内切圆的半径，进而求出三角形AF2B的面积，由题意可得a的值，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅱ)设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的表达式，再由题意可得参数的值，进而求出直线l的方程．【解答】（1）由题意可得e=ca=12，因为△AF2B的内切圆面积为π，所以内切圆的半径为1，所以△AF2B的面积为12⋅4a⋅1＝4所以a＝2，进而可得c＝1，而b2＝a2−c2＝3，所以椭圆的方程为：x24+y23=1；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由(Ⅰ)可得F1(−1, 0)，当直线AB的斜率不存在时可得|AB|＝2⋅b2a=3不符合题意，所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝k(x+1)，联立直线与椭圆的方程：{y =k(x +1)3x 2+4y 2−12=0 整理可得：(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12＝0， 可得x 1+x 2=−8k 23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2=247，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为：x −y +1＝0或x +y +1＝0． 【答案】（1）2×2联表如下：K 2=120(30×15−25×50)255×65×80×40≈6.713>6.635，故有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关“． （2）抽取的8名学生中男生有3人，女生有5人，从中抽取3人，则男生人数ξ的可能取值有0，1，2，3． 且P(ξ＝0)=C 53C 83=528，P(ξ＝1)=C 31⋅C52C 83=1528，P(ξ＝2)=C 32⋅C51C 83=1556，P(ξ＝3)=C 33C 83=156．故ξ的分布列为：E(ξ)＝0×528+1×1528+2×1556+3×156=98． 【考点】离散型随机变量及其分布列 独立性检验离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据男女比列计算人数，计算k 2与6.635比较大小得出结论； （2）根据超几何分布的概率公式得出分布列，并计算数学期望． 【解答】（1）2×2联表如下：则{n →⋅CA →=2x =0n →⋅CE →=x +√32y +12z=0 ，取y ＝1，得n →=(0, 1, −√3)， 同理，解得平面DCE 的法向量m →=(1, −√33, −1)， 设二面角A −CE −D 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√77． ∴ 二面角A −CE −D 的余弦值为√77．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)取AC 中点O ，连结OD ，OB ，推导出OD ⊥AC ，BO ⊥AC ，BO ⊥AC ，从而∠DOB 是二面角D −AC −B 的平面角，由此能证明平面ADC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −CE −D 的余弦值． 【解答】（1）证明：取AC 中点O ，连结OD ，OB ，由题设可知，△ACD 是等腰直角三角形，且∠ADC ＝90∘， ∴ AD ＝DC ，∴ OD ⊥AC ，∵ △ABC 是正三角形，∴ BO ⊥AC ， ∴ △ABC 是正三角形，∴ BO ⊥AC ， ∴ ∠DOB 是二面角D −AC −B 的平面角， 在Rt △AOB 中，BO 2+AO 2＝AB 2，又AB ＝BD ，OD ＝AO ，∴ BO 2+AO 2＝AB 2＝BD 2， ∴ ∠DOB ＝90∘，∴ 平面ADC ⊥平面ABC ． （2）由题设及(Ⅰ)知OA ，OB ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，C(−1, 0, 0)，D(0, 0, 1)，∵ 点E 在BD 上，平面ACE 把三棱锥A −BCD 分成体积相等的两部分， ∴ 由题设知三棱锥A −BCE 的体积为三棱锥A −BCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12， ∴ E 是DB 的中点，∴E(0, √32, 12)，∴ CD →=(1, 0, 1)，CA →=(2, 0, 0)，CE →=(1, √32, 12)，设平面ACE 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅CA →=2x =0n →⋅CE →=x +√32y +12z =0 ，取y ＝1，得n →=(0, 1, −√3)， 同理，解得平面DCE 的法向量m →=(1, −√33, −1)， 设二面角A −CE −D 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√77． ∴ 二面角A −CE −D 的余弦值为√77．【答案】（1）由题意，函数的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=ax −(2a +1)+2x =(ax−1)(x−2)x，当a ＝0时，f ′(x)=2−x x，当x ∈(0, 2)时，f′(x)>0，当x ∈(2, +∞)时，f′(x)<0；当a <0时，f ′(x)=a(x−1a)(x−2)x，当x ∈(0, 2)时，f′(x)>0，当x ∈(2, +∞)时，f′(x)<0；当0<a <12时，当x ∈(0,2)∪(1a ,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(2,1a )时，f′(x)<0； 当a =12时，f′(x)≥0；当a >12时，当x ∈(0,1a )∪(2,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(1a ,2)时，f′(x)<0； 综上所述，当a ≤0时，f(x)在(0, 2)上单调地增，在(2, +∞)上单调递减； 当0<a <12时，f(x)在(0,2),(1a ,+∞)上单调递增，在(2,1a )上单调递减； 当a =12时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >12时，f(x)在(0,1a ),(2,+∞)上单调递增，在(1a ,2)上单调递减； （2）证明：当a ＝0时，由f(x)<2e x −x −4，只需证明e x >ln x +2， 令g(x)＝e x −ln x −2(x >0)，g ′(x)=e x −1x ，易知g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且x →0时，g′(x)<0，g′(1)＝e −1>0， ∴ 存在x 0∈(0, 1)，使得g′(x 0)＝0，则e x 0=1x 0(0<x 0<1)，且当x ∈(0, x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(x 0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， ∴ 当x ＝x 0时，g(x)取得唯一的极小值，也是最小值，∴ g(x)的最小值是g(x 0)=e x 0−ln x 0−2=1x 0−ln1ex 0−2=1x 0+x 0−2>0，∴ f(x)<2e x −x −4成立． 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)求导，分a ＝0，a <0，0<a <12，a =12及a >12讨论f′(x)与0的关系，进而得出单调性情况； (Ⅱ)依题意，只需证明e x >ln x +2，令g(x)＝e x −ln x −2(x >0)，利用导数求其最小值大于0即可得证． 【解答】（1）由题意，函数的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=ax −(2a +1)+2x =(ax−1)(x−2)x，当a ＝0时，f ′(x)=2−x x，当x ∈(0, 2)时，f′(x)>0，当x ∈(2, +∞)时，f′(x)<0；当a <0时，f ′(x)=a(x−1a)(x−2)x，当x ∈(0, 2)时，f′(x)>0，当x ∈(2, +∞)时，f′(x)<0；当0<a <12时，当x ∈(0,2)∪(1a,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(2,1a)时，f′(x)<0； 当a =12时，f′(x)≥0；当a >12时，当x ∈(0,1a )∪(2,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(1a ,2)时，f′(x)<0； 综上所述，当a ≤0时，f(x)在(0, 2)上单调地增，在(2, +∞)上单调递减； 当0<a <12时，f(x)在(0,2),(1a ,+∞)上单调递增，在(2,1a )上单调递减； 当a =12时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >12时，f(x)在(0,1a ),(2,+∞)上单调递增，在(1a ,2)上单调递减； （2）证明：当a ＝0时，由f(x)<2e x −x −4，只需证明e x >ln x +2， 令g(x)＝e x −ln x −2(x >0)，g ′(x)=e x −1x ，易知g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且x →0时，g′(x)<0，g′(1)＝e −1>0， ∴ 存在x 0∈(0, 1)，使得g′(x 0)＝0，则e x 0=1x 0(0<x 0<1)，且当x ∈(0, x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(x 0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴ 当x ＝x 0时，g(x)取得唯一的极小值，也是最小值，∴ g(x)的最小值是g(x 0)=e x 0−ln x 0−2=1x 0−ln 1e x 0−2=1x 0+x 0−2>0，∴ f(x)<2e x −x −4成立．（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】（1）曲线C 的参数方程为{x =2cos αy =√3sin α（α为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1，点A(2√7,0),B(2√7,π2)转换为直角坐标为(2√7,0)，(0,2√7)，所以直线l 的直角坐标方程为x +y −2√7=0． （2）设M(2cos θ, √3sin θ)到直线x +y −2√7=0的距离d =√3sin √7|√12+12=√7sin √7|√2≥√7−2√7|√2=√142， 所以点M 到直线l 的距离的最小值为√142． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】（1）曲线C 的参数方程为{x =2cos αy =√3sin α（α为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1，点A(2√7,0),B(2√7,π2)转换为直角坐标为(2√7,0)，(0,2√7)，所以直线l 的直角坐标方程为x +y −2√7=0．（2）设M(2cos θ, √3sin θ)到直线x +y −2√7=0的距离d =√3sin √7|22=√7sin √7|√2≥√7−2√7|√2=√142， 所以点M 到直线l 的距离的最小值为√142． [选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）由a +b ＝2得12(a +b)＝1， 则1a +4b =12(a +b)(1a +4b )=12(1+4+ba +4ab)≥12(5+2√b a ⋅4ab)=92，当且仅当b a =4ab时，1a +4b 取最小值92， 所以92≥|2x −1|，即−92≤2x −1≤92，解得−74≤x ≤114．（2）证明：∵ (1a+1b)(a 3+b 3)＝a 2+b 2+b 3a+a 3b≥a 2+b 2+2√b 3a a 3b=a 2+b 2+2ab ＝(a +b)2＝4，∴ (1a +1b )(a 3+b 3)≥4． 【考点】函数恒成立问题 不等式的证明 【解析】(Ⅰ)配凑均值不等式的形式求1a +4b的最小值，再由恒成立转化成关于x的不等式，求解即可．(Ⅱ)展开变形利用均值不等式即可证明．【解答】（1）由a+b＝2得12(a+b)＝1，则1a +4b=12(a+b)(1a+4b)=12(1+4+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当ba=4ab时，1a+4b取最小值92，所以92≥|2x−1|，即−92≤2x−1≤92，解得−74≤x≤114．（2）证明：∵(1a +1b)(a3+b3)＝a2+b2+b3a+a3b≥a2+b2+2√b3aa3b=a2+b2+2ab＝(a+b)2＝4，∴(1a +1b)(a3+b3)≥4．第21页共22页◎第22页共22页。
陕西省咸阳市届高三模拟考试三模数学理试题含答案
2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合Ax|1x3，Bx|y1AB〔〕，那么x1A．1,3B．1,3C．(1,3]D．(1,3]2.复数z2，那么〔〕1iA．z的虚部为1B．z的实部为1C．|z|2D．z的共轭复数为1i3.在区间,上随机选取一个实数x，那么事件“sinx3〕〞发生的概率为〔222A．1B．1C．1D．14364.双曲线C的方程为y2x21，那么以下说法正确的选项是〔〕49A．焦点在x轴上B．虚轴长为4C．渐近线方程为2x3y0D．离心率为13 35.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时f(x)xlog3(a6)a3，那么f(a)〔〕A．9B．6C．3D．1如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积是〔〕A．120B．60C．24D．207.的半径1，A，B，C，D上四个点，且AB AC AD，ABC面的最大〔〕A．1B．2C．3D．28.三棱PABC中，PA平面ABC，ABBC，假设AB2，BC3，PA4，三棱的外接球的外表〔〕A．13B．20C．25D．29秦九昭算法是南宋期数学家，秦九昭提出的一种多式化算法，即使在代，它依然是利用算机解决多式的最算法，其算法框如所示，假设入的a0，a1，a2，⋯，a n分0，1,2，⋯，n，假设n4，根据算法算当x 1多式的，出的果是〔〕A ．3B ．6C ．10D ．15x y 1,10.实数x ，y 满足4xy 9,给x ，y 中间插入5个数，这7个数构成以x 为首项，y3,y 为末项的等差数列，那么这7个数和的最大值为〔〕A ．49B ．63C ．21D ．4942211.函数f(x)Acos(x )〔A0，0，| |〕的局部图象如下图，那么f(x) 的图象向右平移2个单位后，得到g(x)的图象，那么g(x)的解析式为〔〕A ．g(x)2 3sinx B ．8C ．g(x)2 3cosxD ．8xg(x) 2 3sin8xg(x) 2 3cos8lnx ,x 2,f(x)m 恰有一个零点，那么实数m 的取值范12.函数f(x)x函数g(x)x 2,x2,围为〔 〕A ．(0,ln2) (1,4] B ．2eC ．(,0]1D ． (,4] e1(,0) (,4)1( ,4]e第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.在ABC中，sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么cosC．名党员干局部配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有种不同的分配方式〔用数字作答〕．15.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于4A，B两点，假设以AB为直径的圆过点(p,2)，那么该抛物线的方程为．216.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．甲说：我摸到卡片的标号是10和12；乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B60，三边a，b，c成等比数列，且面积为43，在等比数列a b．n中，a14，公差为〔1〕求数列a n的通项公式；〔2〕数列c n满足c n16，设T n为数列c n的前n项和，求T n．anan118.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB//DC，AB AD，且PA AB，PAD是等边三角形，AB AD2DC2，M为PB的中点．〔1〕求证：CM平面PAB；〔2〕求二面角 D PB A的余弦值．19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间〔单位：小时〕的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表〔学习时间均在区间0,6内〕：学习时[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)5,6间频数318422高二学生学习时间的频率分布直方图：〔1〕根据高二学生学习时间的频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数；〔2〕利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2,3)，[3,4)的两组里随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3,4)这一组中至少有1人被抽中的概率；〔3〕假设周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否那么为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成22列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一高二合计K2n(ad bc)2，其中na bcd．(ab)(cd)(a c)(b d)P(K2k0)k020.圆(x2)2y216的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(2,0)，线段PN的垂直平分线交PM于G点．1〕求点G的轨迹C的方程；2〕过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与〔1〕中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求|QT|．21.函数f(x)xlnx，g(x)a(x2x)．21f(x)g(x)对x(1,)恒成立，求a的取值范围；〔〕假设12⋯1ne对于正整数n恒成立〔其〔2〕证明：不等式11(n1)2(n1)2(n1)2中e⋯为自然对数的底数〕．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为1，x2cos,曲线C2的参数方程为〔为参数〕．y sin〔1〕求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；〔2〕直线l：y x与曲线C1交于A，B两点，P是曲线C2上的动点，求PAB的面积的最大值．选修4-5：不等式选讲〔1〕a，b R，且|a|1，|b|1，求证：a2b21a2b2．2x的不等式|x1|2|x2|m有解，求实数m的取值范围．〔〕假设关于2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学答案一、选择题1-5:CADCB6-10:BADCD11、12：BC二、填空题13.114.3615.y24x和94三、解答题17.解：〔1〕由a，b，c成等比数列得b2ac，因为S ABC431acsinB，所以b4，2所以 a n是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得a n4n．〔2〕由〔1〕可得c n111n(n1)n ，n1T n(11)(11)⋯(11)11．223n n1n1〔1〕证明：取PA的中点为E，连接EM，ED，由题意知EM//1AB//DC，可得四边形CDEM为平行四边形，所以CM//DE．2由题可知，BA DA，BA PA，且PA ADA，AD平面PAD，PA面PAD，所以BA平面PAD，又∵DE平面PAD，∴BADE，∵PAD为正三角形，∴DE PA，又∵PA AB A，AB平面PAB，AP平面PAB，DE 平面PAB ，又DE//CM ，CM 平面PAB ．〔2〕解：由〔1〕可知BA 平面PAD ，又BA 平面ABCD ，那么平面PAD 平面ABCD ，PAD 为正三角形，因此取AD 的中点O 为坐标原点，以OD 为x 轴，在底面内过O 作AD的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间坐标系，∵ABAD 2CD 2，∴A( 1,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,3)，M(1,1,3)，22那么MC(3,0, 3)，PB ( 1,2,3)，PD (1,0,3)，22设平面PBD 的法向量为n (x,y,z)，n PB0,x2y3z0,3,3,1)，那么即可取n( n PD 0, x 3z 0,cos n,MCn MC73 7，|n| |MC|37设二面角D PB A 的大小为7．，那么cos719.解：〔1〕由图可知，学生学习时间在区间0,3内的频率为 ，设中位数为 x ，那么(，解得x，即该校高二学生学习时间的中位数为．〔2〕根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2,3)中抽取4人，从高一学生学习时间在[3,4)中抽取2人，设在[3,4)1人被抽中的事件为A，那么P(A)1C23这一组中至少有P(A)14．C625〔3〕年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一41620高二91120合计132740K240(411169)2，20201327所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．20.解：〔1〕由题意知，线段PN的垂直平分线交PM于G点，所以|GN||GP|，∴|GM||GN||GM||GP||MP|422|MN|，∴点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a4，2c22，b2a2c22，∴点G的轨迹C的方程为x2y21．42〔2〕依题意可设直线l方程为x myx2y2，4，将直线方程代入142化简得(m22)y28my120，设直线l与椭圆C的两交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由64m2412(m22)0，得m26，①且y1y28m，y1y212，②m2m222因为点A关于x轴的对称点为D，那么D(x1,y1)，可设Q(x0,0)，y2y1y1y2，所以k BDx1m(y2y1)x2所以BD所在直方程y y2y1y2(xmy24)，m(y2y1)令y0，得x02my1y24(y1y2)，③y1y2把②代入③，得x01，Q点的坐(1,0)，|QT|3．21.解：〔1〕f(x)a(x2x)0，即xa(x1)，g(x)等价于xlnx lnx022h(x)lnx a(x1)xh(x)0，h'(x)1a2ax，，即x22x 2当a0，h'(x)0，h(x)在x(1,)增，又h(1)0，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，即f(x)g(x)不成立；当0a2，21，x(1,2)，h'(x)0，h(x)增，a a所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)不成立；当a2，x(1,)，2ax0，h'(x)0，h(x)在x(1,)减，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)恒成立．上所述，当f(x)g(x)x(1,)恒成立a[2,)．〔2〕由〔1〕知当a2x(1,)有lnxx1恒成立．令x1k，k1,2,3,⋯,n,有ln(1k2)k成立，(n2n)(n21)(11)ln(11)22)ln(1n2) (n2ln(1⋯1)1)(n1)(nln (11 2⋯(1n2)(1(n 2)(n 2)(n 1)1)1)(n 1 2 ⋯(n n n(n1) n 1，1)2 (n1)21)2 2(n 1)2 2(n1)2所以(1122)⋯(1n 2)e ．(n2)(1(n 1)1)(n1)22.解：〔1〕因为曲线C 1的极坐标方程为1 ，那么直角坐标方程为 x 2 y 21；x 2cos ,x 2y 2曲线C 21的参数方程为y sin〔为参数〕，那么普通方程为．4〔2〕由题意知|AB| 2，设P(2cos ,sin )，点P 到直线yx 的距离为|2cossin |，2所以S PAB1|AB|d 1 2 |2cos sin |10|sin()|10 ．22 2 2223.〔1〕证明：∵a 2b 2 1a 2b 2 a 2(b 21)(1b 2)(b 21)(a 2 1)，又a ，bR ，且|a|1，|b|1，∴a 2 1 0，b 210，∴(b 21)(a 2 1)0，即a 2b 2 1a 2b 2．〔2〕解：|x1| 2|x2| m 有解等价于m(|x 1| 2|x2|)min ，5 3x,x 1,|x1|2|x2| 3 x,1 x 2,由单调性知:|x1| 2|x2| 1，3x 5,x 2,所以m 1．陕西省咸阳市届高三模拟考试三模数学理试题含答案。
_2020年咸阳市三模数学(理科)试题及其答案
咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题注意事项：1. 试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答题前，考生必须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若集合,集合，则图中阴影部分表示（ ）A. B. C.D. 2．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）A.31B.15C.8D.73. 2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ）A.B.C.D.4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）{}1,2,3,4,5A ={}|(4)0=-<B x x x {}1,2,3,4{}1,2,3{}4,5{}1,4{}n a n n S 342a a =11a =4S =112161519,a b |||= a b ()a b b -⊥ a bA.B.C.D.5．设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为P(x ，y )，则点P 的轨迹方程为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞（方盖）。
陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)
陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）设为实数，若复数，则（）A .B .C .D .3. （2分）下图是正态分布N（0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（）。
注：①②③A . 0B . 14. （2分） (2018高二下·南宁月考) “ ”是“函数的最小正周期为4”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二上·黄骅期中) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A . 35B . 206. （2分）采用系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为12抽到的16人中，编号落人区间[1，160]的人做问卷A，编号落入区问[161，320]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分）(2017·诸城模拟) 若函数f（x）= sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x= 对称，且当x1 ，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·无为期中) 已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A . ﹣5B . ﹣1C . 0D . 19. （2分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2 ，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=ex+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 110. （2分）已知F1 ， F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点P是C1与C2的公共点，若椭圆C1的离心率e1= ，∠F1PF2= ，则双曲线C2的离心率e2的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）已知某圆与y轴切于点（0，3），与x轴所截得的线段长为8，则该圆的标准方程为________12. （1分）(2017·大庆模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为________．13. （1分）(2018·衡水模拟) 在区间上随机取两个数，，则事件“ ”发生的概率为________．14. （1分）的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________15. （1分） (2015高三上·盐城期中) 设函数是奇函数，则实数m的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2015高一下·天门期中) 已知函数f（x）=2 sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g（）=1，a=2，b+c=4，求△ABC的面积．17. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图多面体ABCD中，面ABCD为正方形，棱长AB=2，AE=3，DE= ，二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，且EF∥BD．（1）证明：面ABCD⊥面EDC；（2）若直线AF与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角AF﹣E﹣DC的余弦值．18. （5分） (2017高三上·廊坊期末) 已知向量 =（2sin ，2sin ）， =（cos ，﹣ sin）．（Ⅰ）求函数f（x）= • + 的最小正周期；（Ⅱ）若β= ，g（β）=tan2α，α≠ + 且α≠ +kπ（k∈Z），数列{an}满足a1= ，an+12= ang（an）（n≤16且n∈N*），令bn= ，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn ．19. （10分）(2017·重庆模拟) 为了回馈顾客，某商场在元旦期间举行购物抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得3分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得2分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，抽奖结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≥3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出为了累计得分较大，两种方案下他们选择何种方案较好，并给出理由？20. （15分） (2018高二下·海安月考) 已知函数f(x)＝ex ， g(x)＝x－b ，b∈R．（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2 [0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．21. （15分）(2017·潍坊模拟) 已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、。
陕西省咸阳市2023届高三三模理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，…的图形之一，此图形中的余弦值是（）A．B．C．D．2. 已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）A．B．C．D．5. 已知数据是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上某人2018年8月份的收入x 101(约100万元)，则相对于x ，y ，z ，这101个数据( )A ．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变C ．平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变D ．平均数变大，中位数可能不变，方差变大6. 若复数满足（为虚数单位），则（ ）A．B ．1C．D ．27. 已知复数，则复数的共轭复数为 （ ）A．B．C．D．8. 已知复数为其共轭复数，则的虚部为（ ）A ．2B．C．D．9.平面向量满足，对任意的实数t ，恒成立，则（ ）A．与的夹角为B ．为定值C ．的最小值为D．在上的投影向量为10. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器以BC 为轴顺时针旋转，则（）陕西省咸阳市2023届高三三模理科数学试题三、填空题四、解答题A ．有水的部分始终是棱柱B ．水面所在四边形EFGH 为矩形且面积不变C．棱始终与水面平行D ．当点H 在棱CD 上且点G 在棱上（均不含端点）时，不是定值11.函数（其中A ，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．的值域为B．的最小正周期为πC．D ．将函数f （x ）的图象向左平移个单位，得到函数的图象12. 下列为真命题的有（ ）A ．90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5B．设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8C ．甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18D ．已知随机变量，且，则13. 计算______．14. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，若，点在角的终边上，则角___________.(用弧度表示)15. 已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______．16. 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．(1)求及线段的长；(2)求的面积．17.在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18. 如图所示，在三棱柱中，M为棱的中点.（1）求证∶平面；（2）若⊥平面ABC，，AB=AC=AA1=2，求点B到平面AB1M的距离.19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)求角A的值；(2)若，，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．20. 已知数列{a n}满足a1＝1，S n＝.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(－1)n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求T2 021.21. 已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和为.。
陕西省咸阳市高三数学第三次高考模拟题 理
陝西咸陽市2011屆高考模擬（三）數學（理）試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務必先將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡上.2．選擇題答案使用2B 鉛筆填塗，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效． 4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．5．做選考題時，考生按照題目要求作答，並用2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號塗黑． 參考公式：樣本資料1x ，2x ，，n x 的標準差 球的表面積公式(n s x x =++- 24S R π=其中x 為樣本平均數其中R 表示球的半徑如果事件A 、B 互斥，那麼 球的體積公式()()()P A BP A P B +=+ V=343R π如果事件A 、B 相互獨立，那麼 其中R 表示球的半徑 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次實驗中發生的概率是P ，那麼 n 次獨立重複試驗中事件A 恰好發生k 次的概率()(1)k kn k n n p k C p p -=-（k =0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（選擇題 共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．已知全集為實數R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，則()R A B ∩ð= ( )A. {}|11x x -≤≤B. {}|11x x -≤<C. φD. {}|1x x = 2．若複數()i m ii z -+-+=111（i 為虛數單位）為非純虛數，則實數m 不可能‧‧‧為 ( ) A ．0B ．1C ．-1D ．23．如果過曲線234+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，那麼點P 的座標為 ( ) A ．()1,0B ．()0,1-C ．()0,1D ．()1,0-4．將函數sin 2cos 2y x x =+的圖像向左平移4π個單位長度，所得圖像的解析式是 ( )A ．cos 2sin 2y x x =+B ．cos 2sin 2y x x =-C ．sin 2cos 2y x x =-D ．cos sin y x x =5．等差數列{}n a 的前n 項和為n S ，且91a ，32a ，3a 成等比數列. 若1a =3，則4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 12 D. 166． 如右圖，在一個長為π，寬為2的矩形OABC 內，曲線()sin 0y x x π=≤≤與x 軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC 內隨機投一點（該點落在矩形OABC 內任何一點是等可能的），則所投的點落在陰影部分的概率是 ( )A ．1πB .2πC.3πD.4π7．執行如右圖所示的程式框圖，若輸出的n =5，則輸入整數p 的最小值是（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．168．設α、β 為兩個不同的平面，l 、m 為兩條不同的直線，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的兩個命題：①若α∥β，則l ∥m ；②若l ⊥m ，則α⊥β．那麼 ( )A ．①是真命題，②是假命題B ．①是假命題，②是真命題C ．①②都是真命題D ．①②都是假命題9．已知雙曲線12222=-bx a x 的左焦點為F ，()()b B a A ,0,0,，當AB FB ⊥時，則該雙曲線的離心率e 等於 ( )A.215+ B. C. 1 D .110. 在平面直角坐標系中，橫縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數()f x 的圖像恰好通過*()k k ∈N 個格點，則稱函數()f x 為k 階格點函數.對下列4個函數：①()cos()2f x x π=--；②1()()3xf x =；③2()log f x x =-；④()2()235f x x π=-+.其中是一階格點函數的有 ( ) A ．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．將答案填在題中的橫線上.)11．在平面幾何中，已知“正三角形內一點到三邊距離之和是一個定值”，類比到空間寫出你認為合適的結論： . .主視圖 左視圖12．一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中主視圖和左視圖是 腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球 的表面積‧‧‧為 .13．已知企業生產汽車甲種配件每萬件要用A 原料3噸，B 原料2噸；乙種配件每萬件要用A 原料1噸，B 原料3噸；甲配件每件可獲利5元，乙配件每件可獲利3元，現有A 原料不超過13噸，B 原料不超過18噸，利用現有原料該企業可獲得的最大利潤是 .14． 在ABC ∆中，角,,A B C 所對的邊分別是,,a b c ，若222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-且，則ABC ∆的面積等於 ．15．(考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分.) A.（不等式選講選做題）不等式112≤++x x 的實數解集為_________． B.（幾何證明選講選做題）如右圖，在△ABC 中，AC AB =, 以BC 為直徑的半圓O 與邊AB 相交於點D ，切線DE ⊥AC ，垂足為點E ．則AECE=_______________． C. （坐標系與參數方程選講選做題）若ABC ∆的底邊,2,10A B BC ∠=∠=以B 點為極點，BC 為極軸，則頂點A 的極座標方程為________________.三、解答題（本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.） 16.（本小題滿分12分）函數()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>>≤在一個週期內，當6x π=時，y 取最小值1;當23x π=時，y 最大值3. (I)求()f x 的解析式；(II)求()f x 在區間3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. 17.（本小題滿分12分）設S n 是正項數列}{n a 的前n 項和， 3242-+=n n n a a S ． （I ）求數列}{n a 的通項公式；（II ）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．（本小題滿分12分）如圖，在多面體ABCDE 中，D B A B C ⊥平面,//AEDB ,ABC ∆且是邊長為2的等邊三角形，1AE =，ODGFECD 與平面ABDE所成角的正弦值為4（I ）在線段DC 上存在一點F ，使得EF DBC ⊥面，試確定F 的位置； （II ）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19．(本小題滿分12分)某企業準備招聘一批大學生到本單位就業，但在簽約前要對他們的某項專業技能進行測試．在待測試的某一個小組中有男、女生共10人（其中女生人數多於男生人數），如果從中隨機選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為815； （Ⅰ）求該小組中女生的人數；（Ⅱ）假設此項專業技能測試對該小組的學生而言，每個女生通過的概率均為34，每個男生通過的概率均為23；現對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進行測試，記這3人中通過測試的人數為隨機變數ξ，求ξ的分佈列和數學期望.20．（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在座標原點，離心率2e =，且其中一個焦點與抛物線214y x =的焦點重合． (Ⅰ)求橢圓C 的方程；(Ⅱ)過點1(,0)3S -的動直線l 交橢圓C 於A 、B 兩點，試問：在座標平面上是否存在一個定點T ，使得無論l 如何轉動，以AB 為直徑的圓恒過點T ，若存在，求出點T 的座標；若不存在，請說明理由．21. （本小題滿分14分）已知函數2()ln f x x x ax =+- （Ⅰ）當3=a 時，求()x f 的單調增區間；HABA（Ⅱ）若()x f 在(0,1)上是增函數，求a 得取值範圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，設()()31,2≤≤-+=x a x x x g ，求函數()x g 的最小值.參考答案第Ⅰ卷（選擇題 共50分）一、選擇題： 題號 1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案 D A AB C A B DAD第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二、填空題：11.正四面體(正方體)內一點到四(六)個面的距離之和是一個定值. 12.π3 13. 27萬 14.32 15. A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤23|x x B.31 C. 10cos 20+=θρ或2sin 40302θρ-=或102cos 402-=θρ三、解答題：16. 解：(I)∵在一個週期內，當6x π=時，y 取最小值1;當23x π=時，y 最大值3. ∴21,2,2362T A b πππ===-=，,2T πω== ，()()sin 22f x x ϕ=++，……3分 由當23x π=時，y 最大值3得()44sin 1,2332k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭526k πϕπ=-，∵ϕπ≤，∴56ϕπ=- ()5sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………6分(II) ∵3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴75132666x πππ≤-≤ …………8分∴當32x π=時，()f x 取最大值32 ； …………10分 當76x π=時，()f x 取最小值1. …………12分17. 解：（I ）當n = 1時，21111113,424a S a a ==+-又0>n a 解得a 1 = 3．當n ≥2時，()()32)32(4444121211-+--+=-=-=----n n n n n n n n n a a a a S S S S a .1212224---+-=∴n n n n n a a a a a ， …………3分∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ． 2011=-∴>+--n n n n a a a a （2≥n ）， }{n a 数列∴是以3為首項，2為公差的等差數列． 12)1(23+=-+=∴n n a n ． …………6分（II ）123252(21)2n n T n =⨯+⨯+++⋅．① 又因為21232(21)2(21)2n n n T n n +=⨯++-⋅++②②－① 13212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T …………9分112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n ．所以 22)12(1+⋅-=+n n n T ．…………12分18． 解：（Ⅰ）取AB 的中點G ，連結CG ，則CG AB ⊥，又DB ABC ⊥平面，可得D B C G ⊥,所以A B D E CG 面⊥， 所以s i n 4CG CDG CD ∠==，CG=,故CD=2DB ……………………………………………3分取CD 的中點為F ，BC 的中點為H,因為1//2FH BD =，1//2AE BD =，所以AEFH 為平行四邊形，得//EF AH ，………………………………5分AH BC AH AH BD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面BCD ∴EF DBC ⊥面存在F 為CD 中點，EF DBC ⊥面…6分（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則0)C 、(0,0,0)B 、(2,0,1)E 、()0,0,2D ，從而BE =(2,0,1)，EC=(1)--，(2,0,1)DE =-。
陕西省咸阳市数学高考理数三模考试试卷
陕西省咸阳市数学高考理数三模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·邹平模拟) “log2（2x﹣3）＜1”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2017高一下·拉萨期末) 若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A . 22B . 27C . 31D . 564. （2分）有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍，这座塔一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是（）A . 190B . 191C . 192D . 1935. （2分） (2018高一下·大连期末) 下列四个函数中，图象可能是如图的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·吉林期中) 定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，是锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 正方形中，点，分别是，的中点，那么（）A .B .C .D .8. （2分）若函数y=log2x 的图像上存在点（x,y)，满足约束条件，则实数m的最大值为（）A .B . 1C .D . 29. （2分）(2018·栖霞模拟) 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若（为坐标原点）的面积为，且双曲线的离心率为，则抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·长春期末) 对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2 ，则a＜b；④ ；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2017高一下·牡丹江期末) 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，记与平面所成的角为，下列说法正确的是个数是（）①点F的轨迹是一条线段② 与不可能平行③ 与是异面直线④ ⑤当与不重合时，平面不可能与平面平行A . 2B . 3C . 4D . 512. （2分）等轴双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点为F（c，0），方程的实根分别为和，则三边长分别为｜｜，｜｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A . 锐角B . 直角C . 钝角D . 不能确定二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·中山月考) 已知复数满足，则 ________．14. （1分）(2017·黑龙江模拟) 的展开式中，常数项为20，则实数a的值为________．15. （1分）(2017·河北模拟) 如图所示的“数阵”的特点是：毎行每列都成等差数列，则数字37在图中出现的次数为________．16. （1分） (2016高二上·菏泽期中) 在数列{an}中，a1=﹣，且an=1﹣（n＞1），则a2016的值________三、解答题： (共7题；共75分)17. （10分） (2015高二上·潮州期末) 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）若，，求a．18. （10分）(2017·莱芜模拟) 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．19. （15分）(2017·白山模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，，E、F分别为AD、PC中点．（1）求点F到平面PAB的距离；（2）求证：平面PCE⊥平面PBC；（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．20. （10分） (2015高二上·怀仁期末) 已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（1）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（2）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求直线y=kx斜率k的取值范围．21. （10分） (2019高二下·福州期中) 定义在实数集上的函数，．（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．22. （10分）(2018·安徽模拟) 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求 .23. （10分）已知不等式|x2﹣3x﹣4|＜2x+2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a、b的值；（2）若m，n∈（﹣1，1），且mn= ，S= + ，求S的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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陕西咸阳市2017届高考模拟（三）数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差 球的表面积公式s =24S R π=其中x 为样本平均数其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V=343R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n p k C p p -=-（k =0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集为实数R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，则()R A B ∩ð= ( )A. {}|11x x -≤≤B. {}|11x x -≤<C. φD. {}|1x x = 2．若复数()i m iiz -+-+=111（i 为虚数单位）为非纯虚数，则实数m 不可能．．．为 ( )A ．0B ．1C ．-1D ．23．如果过曲线234+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，那么点P 的坐标为 ( )A ．()1,0B ．()0,1-C ．()0,1D ．()1,0-4．将函数sin 2cos 2y x x =+的图像向左平移4π个单位长度，所得图像的解析式是 ( )A ．cos 2sin 2y x x =+B ．cos 2sin 2y x x =-C ．sin 2cos 2y x x =-D ．cos sin y x x =5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4S = ( )A. 7B. 8C. 12D. 166． 如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线()sin 0y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 ( )A ．1πB .2πC.3πD.4π7．执行如右图所示的程序框图，若输出的n =5，则输入整数p 的最小值是（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 8．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 ( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题9．已知双曲线12222=-bx a x 的左焦点为F ，()()b B a A ,0,0,，当⊥时，则该双曲线的离心率e 等于 ( )A.215+11 10. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好 通过*()k k ∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数.对下列4个函数：①()cos()2f x x π=--；②1()()3xf x =；③2()log f x x=-；④()2()235f x x π=-+.其中是一阶格点函数的有 ( ) A ．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上.) 11．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出主视图 左视图你认为合适的结论： . . 12．一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是 腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球 的表面积．．．为 . 13．已知企业生产汽车甲种配件每万件要用A 原料3吨，B 原料2吨；乙种配件每万件要用A 原料1吨，B 原料3吨；甲配件每件可获利5元，乙配件每件可获利3元，现有A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，利用现有原料该企业可获得的最大利润是 .14． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a b c +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC ∆的面积等于 ．15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.)A.（不等式选讲选做题）不等式112≤++x x 的实数解集为_________．B.（几何证明选讲选做题）如右图，在△ABC 中，AC AB =, 以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．则AECE=_______________． C. （坐标系与参数方程选讲选做题）若ABC ∆的底边,2,10A B BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为________________.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>>≤在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3. (I)求()f x 的解析式；(II)求()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. 17.（本小题满分12分）设S n 是正项数列}{n a 的前n 项和， 3242-+=n n n a a S ． （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，D B A B C ⊥平面,//AEDB ,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，ODGFECD 与平面ABDE所成角的正弦值为4（I ）在线段DC 上存在一点F ，使得EF DBC ⊥面，试确定F 的位置； （II ）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19．(本小题满分12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815； （Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通过的概率均为23；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.20．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率2e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)3S -的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x x ax =+- （Ⅰ）当3=a 时，求()x f 的单调增区间；HABA（Ⅱ）若()x f 在(0,1)上是增函数，求a 得取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设()()31,2≤≤-+=x a x x x g ，求函数()x g 的最小值.参考答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：题号答案第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：11.正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值. 12.π3 13. 27万 14.32 15. A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤23|x x B.31 C. 10cos 20+=θρ或2sin 40302θρ-=或102cos 402-=θρ三、解答题：16. 解：(I)∵在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3. ∴21,2,2362T A b πππ===-=，,2T πω== ，()()sin 22f x x ϕ=++，……3分 由当23x π=时，y 最大值3得()44sin 1,2332k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭526k πϕπ=-，∵ϕπ≤，∴56ϕπ=- ()5sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………6分(II) ∵3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴75132666x πππ≤-≤ …………8分 ∴当32x π=时，()f x 取最大值32 ； …………10分 当76x π=时，()f x 取最小值1. …………12分17. 解：（I ）当n = 1时，21111113,424a S a a ==+-又0>n a 解得a 1 = 3．当n≥2时，()()32)32(4444121211-+--+=-=-=----n n n n n n n n n a a a a S S S S a .1212224---+-=∴n n n n n a a a a a ， …………3分∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ． 2011=-∴>+--n n n n a a a a （2≥n ）， }{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列． 12)1(23+=-+=∴n n a n ． …………6分（II ）123252(21)2n n T n =⨯+⨯+++⋅ ． ① 又因为21232(21)2(21)2n n n T n n +=⨯++-⋅++②②－① 13212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T …………9分112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n ．所以 22)12(1+⋅-=+n n n T ．…………12分18． 解：（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结CG ，则CG AB ⊥，又DB ABC ⊥平面，可得D B C G ⊥,所以A B D E CG 面⊥，所以s i n CG CDG CD ∠==，CG=,故CD=2DB = ……………………………………………3分取CD 的中点为F ，BC 的中点为H,因为1//2FH BD =，1//2AE BD =，所以AEFH 为平行四边形，得//EF AH ， (5)分AH BC AH AH BD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面BCD ∴EF DBC ⊥面存在F 为CD 中点，EF DBC ⊥面…6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则0)C 、(0,0,0)B 、(2,0,1)E 、()0,0,2D ，从而BE =(2,0,1)，EC =(1)--，(2,0,1)DE =-。