《线段的垂直平分线》教案

《线段的垂直平分线》教案

教学目标

知识与技能：

1、能用多种方法作出线段的垂直平分线并说明其正确性.

2、掌握线段垂直平分线的性质定理，能够证明线段垂直平分线的性质定理.并能用定理解决一些实际问题.

过程与方法：

1、通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力.

2、体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．

情感与价值观要求：

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重难点

重点：线段垂直平分线性质定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

难点：线段垂直平分线的性质定理的内涵和证明.

教学方法

引导探索

教学过程

一、忆一忆，由旧引新

1、什么叫做轴对称图形？又什么是轴对称？

2、线段是轴对称图形吗？对称轴有几条？(引出垂直平分线)

3、你能画线段的垂直平分线吗？它又有什么性质？

二、动手操作，合作交流

1．已知线段AB，画出它的垂直平分线. A B 说出你的作图思路.议一议：能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下.

2．线段垂直平分线的作法

①折纸法：(学生动手，教师引导)

②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；(学生动手，教师引导)

③尺规法：(师生一起动手)

(1)分别以点A、B为圆心，以大于1

2

AB长为半径画弧(为什么？)交于点E、F；

(2)过点E、F作直线.

则直线EF就是线段AB的垂直平分线.

(为什么直线EF是线段AB的垂直平分线呢？这就要证明OA=OB且∠AOE=900或∠BOE= 900，请同学们思考、讨论、交流，最后老师给出证明)

证明：分别连接AE、AF、BE、BF，则AE=AF=BE=BF Array在△AEF和△BEF中

AE=BE

AF=BF

EF=EF

∴△AEF≌△BEF (SSS)

∴∠AEF=∠BEF

在△AOE和△BOE中

AE=BE

∠AEF=∠BEF

∴△AOE≌△BOE(SAS)

∴ OA=OB∠AOE=∠BOE

OE=OE

∵∠AOE+∠BOE=180°

∴∠AOE=∠BOE =90°

即直线EF垂直平分线段AB

三、合作探究

1.探索线段垂直平分线性质定理

问题1：已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，在EF上任取一点P，连结P A、PB；测量P A、PB的长，你能发现什么？

测量时要求学生变换P点的位置，看看P点到线段两个端点的距离的大小？面向全班提问：不难得到：P A=PB，在引到学生用语言表达猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等.

猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等.

此时让学生说说该猜想的题设(线段垂直平分线上的点)与结论点(这一点与线段两端的距离相等)，并用数学式子来表达：

已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足是O，P是EF上任意一点，连结P A、PB.

求证：P A=PB

此时要做好分析，证明线段相等，通常是证明这两条线段所在的三角形全等，如果不能，再用别的方法，引导学生思考后再证明，可以让学生上黑板板演，教师点评)

证明：∵EF⊥AB (已知)

∴∠POA =∠POB =90(垂直定义)

在ΔPOA 和ΔPOB 中，

OA =OB (已知) ∠POA =∠POB (已证)

OP =OP (公共边)

∴ΔAOP ≌ΔBOP (SAS )

∴P A =PB

结论：定理：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等.

几何符号语言：

∵EF 是线段AB 的垂直平分线，点P 是EF 上的一点(题设)

∴P A =PB (结论)

作用：是用来证明线段相等的依据. 2、垂直平分线的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 例：已知：如图，△ABC 的边AB 、AC 的垂直平分线相交于点O .求证：点P 在BC 的垂直平分线上

证明：连接OA 、OB 、OC ，

∵点O 在AB 、AC 的垂直平分线上(已知)

∴OA =OB 、OA =OC (线段垂直平分线上的点于线段两端点的距离相等)

∴OB =OC (等量代换)

∴点O 在BC 的垂直平分线上(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)

A B

A B

四、畅谈收获

通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？

1、垂直平分线的作法

2、垂直平分线的性质和它的运用

3、垂直平分线与轴对称的联系

五、布置作业

课本P117习题.