第一章函数与极限习题课2016-9-26

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第一章函数与极限习题

第一章函数与极限【内容提要】1. 函数的定义与性质（1）常量与变量、区间与邻域常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。

（2）函数的概念设有两个变量x 和y ，D 为一非空数集，如果对于D 内每一个数x ，变量y 按一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称y 是x 的函数。

记作y=f (x )。

数集D 称为函数的定义域。

（3）函数的表示法解析法、列表法、图象法。

（4）函数的性质有界性、奇偶性、单调性、周期性。

2. 函数的极限（1）自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数X ，当|x |>X 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数∞→x x f 当)(时的极限，记作lim ()()()x f x A f x A x →∞=→→∞或。

（2）自变量趋于有限值时函数的极限设函数f (x )在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数0)(x x x f →当时的极限，记作0l i m ()()()x f x Af x A x x →∞=→→或。

（3）极限存在定理函数f (x )在点0x 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→== （4）函数极限的性质定理1（唯一性）若lim ()x f x →∞（或0lim ()x x f x →）存在，则它的极限是唯一的。

定理2（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则在点0x 的某一邻域内函数f (x )有界。

定理3（局部保号性）若0lim ()x x f x →=A ，且A>0(或A<0)，则存在点0x 的某一去心邻域，使得在该邻域内的任意x 都有f (x )>0(或f (x )<0)。

第1章函数与极限 (详解答案)

第一节映射与函数1. 填空题（1） [)4,5 （2）21x y e -=+, x R ∈ （3）214x（4）ln y t = ，cos t u =，vu e=，v x=（5）[]1,3 （6）15 （7）a （8）1 （9） 62. 选择题（1）D （2）B （3）B （4）C （5）A （6）B （7）B （8）A （9）D （10）D 3. 解：设 1t x =+ ，则1x t =-22()sin[(1)2(1)]2(1)sin(1)22f t t t t t t ∴=-+---=--+从而2(1)sin[(1)1]2(1)2f x x x -=----+2sin(2)24x x x =--+4. 解：1()11[1()]12()321xf x x x f f x x f x x x----++===-++++5. 解：（1）由0sin 1x ≤≤ 解得 22k x k πππ≤≤+ k Z ∈(sin )f x ∴的定义域为{}22,k x k k Z απππ≤≤+∈（2）由011011x a a x a x a a x a≤+<-≤≤-⎧⎧⇒⎨⎨≤-<≤≤+⎩⎩当 1a a -<时，即12a > 时，不等式组无解，从而()()f x a f x a ++-定义域为∅当1a a -≥时，即12a ≤时不等式的解为1a x a ≤≤-所以()()f x a f x a ++-的定义域为{|1}x a x a ≤≤- 6. 解：设221xx y =+，解得21x y y=-从而2log ()1y x y=-，01y <<所以221xx y =+的反函数为：2log ()1x y x=-，01x <<7. 解：当10x -≤≤时，2()y f x x ==，解得x y =-，01y ≤≤当01x <≤时 ()l n y f x x ==，解得yx e = 0y -∞<≤当12x <≤时 12x y e -=，解得1ln2y x =+，22y e <≤综合得1,01(),01ln ,222xx x f x e x xx e -⎧-<≤⎪⎪=-∞<≤⎨⎪⎪+<≤⎩8. 解：1()sin662ππϕ==; 2()sin 442ππϕ-=-=; (2)0ϕ-=;图形略. 9. 解：22()1()1()x f x x ⎧--⎪-=⎨--⎪⎩ ，x x -≤>211x x-⎧=⎨-⎩ ，x x ≥<当0x >时，2()1f x x =- 2()1f x x -=- ()()0f x f x ∴+-= 当0x <时，2()1f x x =- 2()1f x x -=- ()()0f x f x ∴+-= 当0x =时，(0)1f =- ()()2(0)f x f x f +-==- 综合得0,0()()2,0x f x f x x ≠⎧+-=⎨-=⎩10. 解：1[()]01f g x ⎧⎪=⎨⎪-⎩，()1()1()1g x g x g x <=>101⎧⎪=⎨⎪-⎩，000x x x <=>()1,1[()]1,1,1f x e xg f x ex e x -⎧<⎪===⎨⎪>⎩11. 解：当0x <时，()x x ϕ=11[()][()()][]022f x x x x x ϕϕϕ=+=-=当0x ≥时，2()x x ϕ=21[()][()()]2f x x x xϕϕϕ=+=综合得：2[()]f x xϕ⎧=⎨⎩ ，00x x <≥12. 解：22()(1)f x f x x +-= ，① 令1t x =-，1x t =-代入①得22(1)()(1)f t f t t -+=-即22(1)()(1)f x f x x -+=-② 联立① ②解得21()(21)3f x x x =+-13. 解：()xf x e = 2()[()]x f x e ϕϕ∴=又[()]1f x x ϕ=- ，从而2()1x e x ϕ=-()ln(1)x x ϕ⇒=- ， 0x ≤14. 解：当20x -≤<时，即022x ≤+<22()(2)2(2)(2)2f x f x x x x x=+=+-+=--当02x ≤≤时，2()2f x x x =- 当24x <≤时，即022x <-≤22()(2)2(2)(2)68f x f x x x x x =-=---=-+-综合得2222()268x x f x x xx x ⎧--⎪=-⎨⎪-+-⎩ [2,0)[0,2](2,4]x x x ∈-∈∈15. 解：0.15()7.50.25(50)xf x x ⎧=⎨+-⎩ ，05050x x <≤>16.解：（1）90900.01(100)75P x ⎧⎪=--⎨⎪⎩， 010010016001600x x x ≤≤<≤> （2）.230310.0115x L x xx ⎧⎪=-⎨⎪⎩00010016001600x x x ≤≤<≤> （3）. 21000()L =元 17. 解：由题设圆锥的高为R 圆锥的底圆周长为(2)R πα- 从而底圆半径为22Rπαπ-于是圆锥的体积22312(2)3212V R R R παπαπππ--⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭18. 证明：（1）()g x 为偶函数，则有()()g x g x -= [()][()f g x f g x -=所以[()]f g x 为偶函数（2）又12x x ∀<由于()g x 单调减小，则有12()()g x g x > 又()f x 单调增加，则有12[()][()]f g x f g x > 所以[()]f g x 单调减小19. 证明：()f x 为奇函数，故()()f x f x =-，任取120l x x -<<<，则有210x x l<-<-<又()f x 在(0,)l 内单调增加2121()()()()f x f x f x f x ∴-<-⇒-<- 即12()()f x f x <所以()f x 在(,0)l -内单调增加第二节数列的极限1、填空题（1）0 （2）必要（3）-12、选择题（1）B （2）D3. （1）lim 0n n x →∞=（2）lim 0n n x →∞=（3）3lim 2n n x →∞=（4）发散4. 证明： {}n x 有界，即0M ∃>，使n x M < 又lim 0n n y →∞= ，即0ε∀>，存在正整数N ，当n N >时，有0n n y y M ε-=<于是0n n n n x y x y M Mεε-=<= ，即lim 0n n n x y →∞=5. 证明： lim n n u a →∞= 从而0ε∀>，存在正整数N ，n N >当时，有n u a ε-<又n n u a u a ε-≤-< l i m n n u a →∞∴=反之不成立，例如(1)n n u =- l i m 1n n u →∞= 但lim lim (1)n n n n u →∞→∞=-不存在6. 证明：对任意0ε>由2lim k k x a →∞=，则10K ∃>，当1k K >时，则有2k x a ε-< ①21lim k k x a -→∞=，则20K ∃>，当2k K >时，有21k x a ε--< ②取{}12max 2,21N K K =-，当n N >时，若n 为偶数，设1122n k N K k K =>≥⇒> 由①得2n k x a x a ε-=-<若n 为奇数，设222121n k N K k K =->≥-⇒> 由②得21n k x a x a ε--=-<综合得0ε∀>，取{}12max 2,21N K K =-，当n N >时，有n x a ε-< l i m n n x a →∞∴=7. 证明：取2n k =，则2241k k x k =+有221lim lim412k k k k x k →∞→∞==+取21n k =-，则212143k k x k --=-- 21211lim lim 432k k k k x k -→∞→∞-=-=--221lim lim k k k k x x -→∞→∞≠数列{}n x 的极限不存在8. （1）证明：0ε∀>，取93N ε=-，当n N >时，有3993333n n n N ε-=<=+++3lim33n n n →∞∴=+（2）证明:0ε∀>，取4N ε=，当n N >时，有22244441(4)n n nnnnn n n ε++--==<<++24lim1n n n→∞+∴=第三节函数的极限1、填空题（1）充分充分（2）不存在，1 （3） b ，1，12、选择题（1）C （2）D （3）D （4）A3. （1）2 （2） 0 （3）23 （4）2π4. 解： 1111lim ()lim (1)2x x f x x --→→=+= 1111lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=由于1111lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠∴当1x →时，函数的极限不存在5. 解：由题设2()2x f x xx -⎧⎪=⎨⎪-⎩1111x x x <--≤≤>11lim ()lim 1x x f x x --→→∴==；11lim ()lim (2)1x x f x x ++→→=-=-，于是1lim ()x f x →∴不存在又11lim ()lim (2)3x x f x x --→-→-=-=- ；11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，于是1lim ()x f x →-∴不存在6. （1）证明：0ε∀>，取3εδ=，当0x δδ<-<时，(32)4323x x δε--=-<=2lim (32)4x x →∴-=（2）证明：0ε∀>，取21K ε=，当x K <时cos 110x xxKε-<<=cos lim0x x x→+∞∴=7. 证明：设1()sinf x x=，取122n x n ππ=+，则0n x →当n →∞时，1lim ()lim sin1n n n nf x x →∞→∞==再取1'n x n π=，则0n x →，（n →∞）1lim (')lim sin0'n n n n f x x →∞→∞==由函数极限与数列极限的关系知01lim sinx x→不存在8. 证明：lim ()x f x A →+∞= ，∴对取定的02A ε=>，存在0M >，当x M >时，有()2A f x A -<从而()()2A f x A f x A -<-<，故有()2A f x >第四节无穷小与无穷大1、填空题（1）0， -5 （2）0 （3）无穷小（4）∞2、选择题（1）A （2）D （3）C3. （1）解：有限个无穷小之和仍为无穷小（2）无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小（3）lim ln x x →∞=+∞ 1l i mln x x→∞∴=（4）无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小4. （1）证明：0ε∀>，取δε=，当01x δ<-<时，21011x x x δε--=-<=+211lim1x x x →-∴=+（2）证明：对任意0M >，取11m in{,}22Mδ=，当x δ<时，1212||2112x x x Mxxx x+-+=>>> 021limx x x→+∴=∞5. 解：取2n x n π=→∞ ()2n f x n π=lim ()lim 2n n n f x n π→∞→∞∴==∞故()cos f x x x =在(,)-∞+∞内无界但'22n x n ππ=+→∞(')0n f x = l i m (')nn f x →∞= 由海涅定理知，当x →+∞时，函数不是无穷大第四节极限运算法则1、填空题（1）发散（2） 0，6 （3） 0 （4）不存在2、选择题（1）D （2）C （3）D （4）B3. （1）解：=0原式（2）解：()()()()333111=limlim3333x x x x x x x x →→---==-++原式（3）解：()321133311=lim311x x x x x →-=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭原式（4）解：=3原式（5）解：=0原式（6）解：70209938=5原式（7）解：=2原式（8）解：()()()()232211112132=limlim lim11111x x x x x x x x xx xx x x →→→-+++-+==-=--++-++原式（9）解：()()()()444221291414=limlimlim333222123x x x x x x x x x x x →→→-++--===---++原式（10）解：()22222111=limlimlim211111x x x x x xx x xx xx→∞→∞→∞+-===++++++原式（11）解：2222()11=limlim2()x x a x aax a x a a x a→→+-==++++原式（12）解：原式=()()()()1212111lim11n n m m x x x x x x xxx ----→-++++-++++=121211lim 1n n m m x x x x n xxx m----→++++=++++（13）解：原式=213(21)lim n n n →∞+++- = 222lim 1n n n n→∞=（14）解：原式= 1211333lim213nn n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13（15）解：原式=11111lim 12231n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =1lim 11n n →∞⎛⎫-⎪+⎝⎭ = 1（16）解：原式=112112lim 113113nnn →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭-⎛⎫- ⎪⎝⎭-=1212lim31123nnn →∞⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=43（17）解： ()2233lim 03x x x x→-=+ ∴原式= ∞（18）解： 1lim0xxx e e-→+∞=+ c o s 1x ≤ ∴原式=0（19）. 原式=21(1)(1)(1)lim1nx x x x x →-+-++--=2121(1)1(1)(1)(0)lim1n n x x x x x xxx x --→⎡⎤-+-+++++++++⎣⎦-=211lim 1(1)(1)(1)n x x x x x x -→⎡⎤++++++++++⎣⎦=123n ++++ =(1)2n n +（20）. 解：原式=2222(1)(1)lim11x x x x x x x x x →∞++--++++-+=222lim11x xx x x x →∞+++-+又222222limlim11111111x x xx x x x x x xxx→+∞→+∞+++-++++-+同除=1222222limlim11111111x x xx x x x x x xx x→-∞→-∞-+++-++++-+同除=-1故此极限不存在4. 解：0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=-2331lim ()lim 11x x x x f x x ++→→+-==-+lim ()1x f x →∴=-2331lim ()lim01x x x x f x x →+∞→+∞+-==+lim ()lim (1)x x f x x →-∞→-∞=-=-∞5. 解：因为21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭所以()()()211lim01x a x a b x b x →∞--++-=+由公式得100a ab -=⎧⎨+=⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩6. 解：24lim94x x ax b x →++=- ()4l i m 40x x →-= ()24lim 0x x ax b →∴++= 即 4x = 是方程 20x ax b ++= 的一个根设()()24x ax b x c x ++=+-于是有()2449lim lim 44x x x ax b x c c x →→++==+=+-5c ∴=即()()225420x ax b x x x x ++=+-=+- 1a ∴= 20b =-7. 解：由33lim 10x x ax →∞⎡⎤--=⎣⎦得 331lim 10x x a x→∞⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦331lim 10x a x →∞⎡⎤⇒--=⎢⎥⎣⎦331lim11x a x→∞∴=-=-8. 解：由32()2lim2x f x xx→∞-=可设32()22f x x x ax b =+++又0()lim3x f x x→= 0lim ()0x f x →∴=可得0b =32223limx x x axa x→++∴==于是32()223f x x x x =++第六节极限存在准则，两个重要极限1 填空题（1）1 （2）1ln 83 （3）92 选择题（1）B （2）A （3）C （4）D 3 计算下列极限（1）解：原式0sin 34limtan 32x xx x x→+==+（2）解：原式22sin sin lim2lim2sin x x x x x x x →→===（3）解：原式0cos lim limcos 1sin sin x x x xx x xx→→===（4）解：原式2233000sin 2sin sintan (1cos )1sin 1122lim lim lim cos 2cos 22x x x xx x x x x xx x x x x→→→⎛⎫ ⎪-==== ⎪⎪⎝⎭（5）解：另2t x π=-，原式000cos sin sin 222lim lim lim 1t t t t t t t t tπππ→→→⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-=-（6）解：另arccos x t π-=，则()cos cos x t t π=-=-原式221121limlim 1cos 22sin2x x ttt t++→-→-===-（7）解：原式sin2lim2nn nx x xx →∞==（8）解：原式2222sin 25214104lim lim 2253535cos x x x x x x x x x x x→∞→∞++===++（9）解：原式()()221sin111lim 231x x x x →-==+-（10）解：原式()()sin 411sin 4lim lim41184x x xx x x xx→→++=++=4 计算下列极限（1）解：原式1lim 22x x xee→∞==（2）解：原式()121lim212lim 121x x x x x e ex →∞+++→∞⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭（3）解：原式0121lim 21102lim 11x x x xx x e e x →-→⎛⎫+== ⎪-⎝⎭ （4）解：原式2lim 22lim 1x xx x x e ex ααααα→∞--+→∞-⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭（5）解：原式0lim 3tan cos x x xee →==（6）解：原式()22cos 111lim20lim 1cos 1x x xx x x e e→--→=+-==⎡⎤⎣⎦（7）解：原式01lim xx x e xe e →==（8）解：原式limx xxeeαβαβ→+∞==（9）解：原式11lim lnlim ln 1ln 1xx x x x e xx →+∞→+∞+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭ （10）解：原式3341133lim 1111xx x e e e x x x x →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5 证明：（1）2222222nn n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++又2222limlim1n n nnn n n ππ→∞→∞==++由两边夹定理得22211lim ()12n n n n n n n πππ→∞+++=+++（2）先证：22n a ≤<，显然122a ≤<，假设22n a ≤< 12242n n a a +≤=<=由数学归纳法得{}n a 有界且22n a ≤< 又1221n n nnna a a a a +==>所以{}n a 是单调递增数列由单调有界准则得{}n a 有极限设lim n n a a →∞=，从而有2a a=解得2a =或0a =即lim 2n n a →∞=（3）0x → 不妨设12x <，即1122x -<<13122nn nx ∴<+<又13limlim122nnn n →∞→∞==所以，由两边夹定理得lim 11n n x →∞+=（4）设12n n nn n m x a a a =+++{}12max ,,,m A a a a = ，故nnn n n nn n x A A A m A A m≤+++==又有12nn n n nn n m x a a a A A =+++>=由lim lim n n n A A m A →∞→∞== 故lim n n x A →∞=12lim n n n n n m n x a a a A →∞∴=+++=第七节无穷小的比较1 填空题（1）1 （2）-1 （3）52（4）22 选择题（1）A （2）C （3）C （4）A 3 计算下列极限（1）解：原式033lim22x x x →==（2）解：原式0lim212x xx →==（3）解：原式03lim3x x x→==（4）解：原式34lim212x x x x→==（5）解：原式222sin limlim1x x x x x xx→→===（6）解：原式00,limlim 1,,n n mmx x n m x xn m xn m -→→>⎧⎪====⎨⎪∞<⎩（7）解：原式()200221tan cos 12lim lim 31111sin 3232x x x xx x x x x x →→--===- （8）解：原式0lim x axan x n→==（9）解：原式()()()11111lim lim1223x x x x x x →→-===-++（10）解：原式()()222001cos sin 1sin cos 1limlim21sin cos 11cos sin 113lim lim 12224x x x x x x sx x x xxx x xx x x x →→→→-++-==++-⎡⎤⎛⎫=+=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭4 解：()()0lim1lim 0x x fx fx x→→=∴=于是()()1112f x fx +-所以()()11112limlim 2x x fx fx xx→→+-∴==第八节函数的连续与间断点1 填空题（1）-1 （2）0 （3）无穷，可去（4）无穷 2 选择题(1)C (2)A (3)B 3 解：()211lim lim 1x x f x x ++→→==()()()11lim lim 1x x f x f x f +-→→==故()f x 在1x =处连续4 解：()f x 在(),+∞-∞内连续，故()f x 在0x =处连续 ()()0lim lim x x f x f x -+→→∴=()01lim lim sin0x x f x x x--→→== ()()2lim lim x x fx a xa ++→→=+=0a ∴=5 解：()()22211cos 2lim limlim 2x x x ax a x a f x xx---→→→-===()()()20lim lim ln ln 01x x f x b x bf ++→→=+==由()f x 在0x =处连续，有ln 12a b ==解得2a b e ==6 解：()11lim lim1x x xf x e ++→→==+ ()11lim lim11x x xf x e --→→==+()()0lim lim x x f x f x +-→→=所以，()f x 在0x =处连续 7 解：当1x <，即11x -<<时 ()2201lim lim1n nn x x f x x xx-→∞→-==+当1x =时，()221lim01n nn x f x x x→∞-==+当1x >时，()2222111lim lim 2111nnnn n nxx f x x x x x→∞→∞--===-++(),10,0,1x x f x x x x ⎧<⎪∴==⎨⎪->⎩()11lim lim 1x x f x x --→→== ()11lim lim 1x x f x x ++→→==-1x ∴=是()f x 的跳跃间断点()()1111lim lim 1x x f x x --→-→-=-= ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-1x ∴=-也是()f x 的跳跃间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续1 填空题（1）()(),00,-∞+∞ （2）1 （3）2 2 求下列极限（1）解：原式=()(),,f x x F x A x b ∈⎧⎪=⎨=⎪⎩()2lim 211x x x ee→+--=（2）解：原式334lim sin 2sin 12x x ππ→⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）解：原式=()2cos 05610ln 10e +=++-（4）解：原式22231lim225x x x x x →∞+-==-+（5）解：原式1112000ln 112lim lim ln 1ln lim 1ln 222x x x x x x x x e x →→→⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥==+=+==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（6）解：原式()0lim cot sin lim cos cot ln 1sin 0lim x x x xxx x x e ee e →→+→====3 解：函数()()()()()()()()32231111336322x x x x x x x x f x x x x x x +-+-++--===+-+--其连续区间为()()(),33,22,-∞--+∞ 又()()()111lim lim22x x x x f x x →→+-==-()()()33118lim lim25x x x x fx x →-→-+-==--()()()2211lim lim2x x x x fx x →→-+==∞-第十节闭区间上连续函数的性质1 选择题（1）A (2)B2 证明：设()5333f x x x =+- 在[]0,1上连续，且有()()030110f f =-<=>故由零点定理：()0,1ξ∃∈使得()0f ξ=，x ξ=是()0f x =的根即：53330x x +-=在()0,1上至少有一个根 3 证明：设()sin f x x a x b =--()f x 在[]0,a b +内连续，且()00f b =-<()()1sin 0f a b a a b +=-+≥⎡⎤⎣⎦所以，由零点定理得：()0,a b ξ∃∈+使得()0f ξ=，x ξ=是()0f x =的根即方程sin x a x b =+至少有一个根不超过a+b4 证明：设()()F x f x x =-在[],a b 上连续，且()()()()F 0F 0a f a ab f b b =-<=->由零点定理得：(),a b ξ∃∈使得()0f ξ=，即()f ξξ= 5 证明：设()()()[]F 0,x f x f x a x a =-+∈ 它在[]0,a 上连续且()()()F 2a f a f a =-，()()()F 00f f a =-若()()2f a f a =，则取a ξ=，即有()()f f a ξξ=+ 若()()2f a f a ≠，又因为()()02f f a ≠，()()F 020F a ∴< 由零点定理得：()0,a ξ∃∈使得()()f f a ξξ=+ 综合得，[]0,a ξ∃∈使()()f f a ξξ=+ 6 证明：设()lim x bf x A →=做辅助函数()()[),,,fx x a b F x A x b⎧∈⎪=⎨=⎪⎩显然()F x 在闭区间[],a b 上连续，故()F x 在[],a b 上有界从而()f x 在[),a b 内有界综合练习题（一）1.填空题（1）()211x x + （2）1 （3）12，3 （4）3 （5）0（6）32（7）-2,3 （8）（1,2）（9）1 （10）12.选择题（1）D （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）B （8）A （9）D（10）C3 解：()2222sin sin 12sin 1sin x f x x x=-+-，另2sin t x =所以，()121t f t t t=-+- 即()121x f x x x=-+-4 解：由()1sin af x bf x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭○1另1x t=-，有()111sin sin af bf t t t t⎛⎫⎛⎫-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()11sinaf bf x x x⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭○2联立○1○2解得()22221sin sinab f x x a ba bx=+--5 解：()()()2243,1121,1012,12,10x x x x x x f x x x ⎧⎧++≤-++++≤⎪+==⎨⎨>-+>⎪⎩⎩()22,02,x x x f x x ⎧-≥-=⎨<⎩当0x >时，()()()222222f x f x x x x x +-=+-=-+ 当0x =时，()()000f x f x +-=+= 当0x <时，()()222f x f x x x +-=++综合得：()()2222,00,022,x x x f x f x x x x x ⎧-+>⎪+-==⎨⎪++<⎩ 6 证明：()f x 关于x a =，x b =对称，h ∴∀有()()f a h f a h -=+()()f b h f b h -=+ (),x ∴∀∈-∞+∞有()()()()()()()2222fx f a a x f a a x f a x f b x a b f b x a b f x b a =--=++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+=+-+=+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以()f x 是以()2b a -为周期的周期函数7 解（1）()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=-又()()()22f f x f x =+- 令1x =-得 ()()()()211212f f f f a =--== 令1x =有()()()231f f f =-- ○1 令3x =有()()()253f f f =- ○2○1+○2得，()()()5122f f f -=，()()()52215f f f a =+= （2）若()f x 是以2为周期的周期函数()()2f x f x x R ∴+=∀∈又()()()22f f x f x =+- ()20f ∴= 即20,0aa ==8（1）由2xxe ey --=得21x e y y =++ ()()2ln 1,x y y y ∴=++∈-∞+∞2xxe ey --∴=的反函数为()()2ln 1,y x x x =++∈-∞+∞（2）当0x -∞<<时，()1,,1y x y =-∈-∞- 解得，()1,,1x y y =-∈-∞- 当01x ≤≤时，2y x = 01y ≤≤解得x y =[]0,1y ∈当1x <<+∞时，13x y -= [)1,y ∈+∞ 解得31log x y =+ ()1,y ∈+∞综合得()[]()31,,1,0,11log ,1,x x y x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪=∈⎨⎪+∈+∞⎪⎩9 （1）解：原式22222141cos 2tan 2limlimlim lim213sin sin x x x x x x x x x xx xxx→→→→-=+=+=+=（2）解：原式()()()()4428222222lim2lim32134213x x x x x x x x →→--+-+===++-++（3）解：同除x -，则原式2211141lim1sin 1x xxx x x→-∞+---==+（4）解：原式()()()23330011tan cos 21limlim1sin 1sin 20tan sin lim 11sin x x x x x x x x x x x x x x e ee x →→-++→-⎛⎫=+=== ⎪+⎝⎭（5）解：原式()()222211cos 1cos 12limlim lim 11121cos 1cos 222x x x xx x xxx xx +++→→→--====++（6）解：原式()()333311tan 1sin tan sin 12limlimlim41tan 1sin 1tan 1sin x x x xx xx xxxx xxx x→→→+-+-====++++++ （7）解：11220022lim lim 1111x x x x x x e x e x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭121220022lim lim 1111x x xx x x x e x e e x e e ++--→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以，原式1=（8）解：原式()()()1111lim 303lim 13xxxx ab c xxxxxx a b c e →-+-+-→⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭()()()001111limlimlim13ln 33xxxx x x abcxxx abceeabc→→→⎡⎤---⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦===10 解：()()221lim limlim 20x x x f x x x x--+→→→==+∞-=()0lim x f x →∴不存在()()222lim lim 20x x f x x x --→→=-= ()()22lim lim 360x x f x x ++→→=-=()2lim 0x f x →∴=又()()()21lim limlim lim 36x x x x f x fx x x→-∞→-∞→+∞→+∞===-=+∞11 解：由题设可得211lim 10x b x a xxx →+∞⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭所以，有211lim 10x b a x x x →+∞⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭ 得211lim 11x b a x x x →+∞⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭又由于()2211lim1lim21x x x b x x x x x x→+∞→+∞-+=-+-==--++12 解：22222111121n n n nn n n nn ≤+++≤+++++22limlim11n n nn n nn →∞→∞==++222111lim 112n n n n n →∞⎛⎫∴+++=⎪+++⎝⎭ 13 解：由()32lim2x P x xx→∞-=，可设()322P x x x ax b =-++又()0lim1x P x x→= 得()0lim 0x P x →=，于是有0b =1=322limx x x axax→-+= ()322P x x x x ∴=-+14 解：由题设可设()()()()24f x A x x x a =--- 又()()()2lim124212x fx A a x →=⇒--=- ○1 ()()()4lim142414x fx A a x →=⇒--=- ○2 由○1○2解得，1,32A a ==()()()()12432f x x x x ∴=---()()()311lim3234322x fx x →∴=--=--15 解：由题设可设可得()()l i m 1s i n 210x f x x →+-=，从而()l i m s i n 2x f x x →= ()()()11s i n 21s i n 22f x x f xx x f x∴+-又()()()301sin 2112limlimlim 133xx x x fx xxfx fx ex→→→+-===-()0lim 6x f x →∴=16 解：()()0sin lim lim110x x x f x f x--→→==-≠=- 所以()f x 在0x =处不连续17 解： ()f x 在0x =处连续， ()()()0lim lim 0x x f x f x f -+→→∴==()()()211ln 12lim lim lim 2211x x x xx xx a fx xx x---→→→++-+====+--()()20lim lim x x a f x x b b++→→==+=于是：2b =18 解：()()0lim lim ln 1ln 10x x f x x --→→=+== ()1110lim lim x x x f x e e ++--→→==故0x = 是()f x 的跳跃间断点又()1111lim lim 0x x x f x e---→→== ，()1111lim lim x x x fx e++-→→==+∞故1x =是()f x 的无穷间断点19 证明：设()sin 1f x x x =++，显然()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内连续又0202222f f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点定理,22ππξ⎛⎫∃∈-⎪⎝⎭，使()0f ξ=，x ξ=即为()0f x =的一个根sin 1x x ∴++在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内至少有一个根 20 证明：()f x 在 [],a b 上连续， ()f x ∴在[]1,n x x 上连续于是()f x 在[]1,n x x 内存在最大值M ，最小值m ，从而有()()()12n n m f x f x f x n M ≤+++≤()()()12n fx f x f x m Mn+++∴≤≤由介值定理得，()1,n x x ξ∃∈使()()()()12n fx f x f x f nξ+++=21 证明：()00,x ∀∈+∞()()()0000000000lim lim lim limx x x x x x x xx x x f x f x f x f fx f x x x →→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()000000000lim lim lim lim x x x xx x x x x x x f x f x fx f fx f x x x →→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x t x =则()()010lim lim 1x xt x f f t f x →→⎛⎫==⎪⎝⎭又()()()()11110f f f f =+⇒=()()00lim x x fx fx →∴=所以，()f x 在0x 处连续，由0x 的任意性知，()f x 在()0,+∞ 内连续。

第一章函数与极限习题课16页

连续函数的运算性质
非初等函数的连续性
初等函数的连续性
间断点定义
第一类可跳去跃间间断断点点
第二类无振穷荡间间断断点点
连续函数的性质
求极限的常用方法
1.利用连续性求极限; 2.消去零因子法求极限; 3.无穷小因子分出法求极限; 4.利用无穷小运算性质求极限; 5.利用左右极限求分段函数极限; 6.利用两个重要极限； 7.利用等价无穷小替换；
( l1 n f ( x [ )~ ] f ( x )) e . lig m (x)f(x)
原式 li[m 1(1tax n1)x 1 ]3 x 0 1sixn
lim [1taxnsix n]x13
x 0
1six n
lx i0m ta 1 xn ssix n ix nx13lx i0m (s1ix n s(1i x n)ccoo xx)ssx13
解将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原 li 式 ( 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
n
1 x
(1 x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)
lim
n
1 x
(1x2n)1(x2n)
1 x2n1
当 x1时 ,
limf(x)lim (1x)2.
x1
x1
lif m (x )lif m (x )
x 1
x 1
limf(x)limcosx0. 故 f(x)在 x1间.断
x1
x1
2
当x1时,
x
limf(x)limcos 0.
x1
x1
2

第一章函数与极限

第一章作业题1、求极限⎪⎭⎫⎝⎛---→x x x 1113lim 313、求极限465lim 222-+-→x x x x3、求极限354lim 4-+-→x x x4、求极限0sin 3lim tan 5x xx →5、求极限x x x x sin )3(lim 0+→6、求极限x x x 3arcsin )21ln(lim 0+→7、求极限lim cos x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭2118、求极限tan sin lim sin x x xx →-309、求极限lim tan x x e x →-01210、求极限sin lim x xx ππ→-11、求极限 sin()lim x x x x →--+23371212、求极限lim x x x x →---22112113、求极限lim x x x +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭231114、求极限112sin 1lim 30--+→x x e x15、求极限x x x 2arcsin )21ln(lim 0-→16、求极限)0(2sin 2lim ≠∞→x x n n n17、求极限x x x x 3sin 5232lim 2+-∞→18、求极限x x x x sin 232lim 2-∞→19、求极限xe x x 2arcsin 1lim 20-→ 20、求极限x x x x sin 53lim 32+-∞→21、求极限2312lim 4--+→x x x22、设,232sin 3lim 0=→mx xx 求m 的值23、已知42)1ln(lim 20=++→x x ax x ,求a 的值24、设()⎪⎩⎪⎨⎧+--=21121x x x f 11>≤x x 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f 的值25、已知函数(),()(),()sin ,()x ax x f x e x axx bx ⎧+>⎪⎪==⎨⎪⎪<⎩11000 在x =0处连续，求,a b 值26、求函数()x x x f x x x +--=+-322336的连续区间；间断点；并指明间断点的类型 27、设函数sin ,(),xx x f x a x x x ⎧>⎪=⎨⎪++≤⎩2300在点x =0处连续，求a 的值 28、求函数,(),x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩211101的连续区间；间断点；并指明间断点的类型 29、求函数()x f x x x -=-+22132的连续区间；间断点；并指明间断点的类型 30、设tan ,(),sin ,xx x f x a x x b x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪⋅+>⎪⎩001，求解：（1）()f x 在点x =0的左极限及右极限；（2）当a 和b 取何值时，()f x 在点x =0连续。

高数习题课

e −b 有无穷间断点 x =0 例7. 设函数 f (x) = (x−a)(x−1 ) 及可去间断点 x =1, 试确定常数 a 及 b . x e −b 为无穷间断点, ∴lim 解: =∞ ) x→ (x−a)(x−1 0 (x−a)(x−1 ) a lim = 即 =0 x x→ 0 1−b e −b 由此得 a = 0, b ≠1 ex −b ∵x =1为可去间断点 , ∴lim 极限存在, ) x→ x(x−1 1
1+tan x x3 ) . 例5. 求极限 lim ( x→ 1+sin x 0 1 1+tan x x3 解: 原式 = lim [1+( −1 )] 1+sin x x→ 0 1 tan x−sin x x3 = lim [1+ ] 1+sin x x→ 0
1
lim 1± f (x)]g(x) [
3
3
练习：练习： (1) 求 lim
x→ ∞
x2 + x2 +3
4
2x− 2x −1 (2) lim(3 1−x3 −ax+b) =0 确定常数 a 及 b
x→ ∞ +
解:
原式 = lim x(3
∞ x→
x 1 ∴ lim(3 x3 −1−a+b ) =0 x x→ ∞
1 x3
−1−a+ b ) =0
习题课函数与极限
一. 函数 1. 函数的概念定义: x∈D
f
对应规律
y∈W={y y = f (x), x∈D }
值域
定义域
y
图形: } C ={(x, y) y = f (x), x∈D ( 一般为曲线 )

高等数学第一章习题集(函数与极限)

6
高等数学习题集
(5) lim 1 x 1 x ；
x0
x
(6)
lim
x1

x
1 1

3 x3 1

．
3.
设
lim
x

x2 1 x 1

ax

b

0,
求 a 和 b 的值．
7
高等数学习题集
§1.6 极限存在准则两个重要极限
1. 选择题.
(1)
lim
x x0
f
(x )存在是
f (x) 在 x0 的某一去心领域内有界的______ 条件.
(2)
设函数
ax2 f (x)
2x 1
x 1, 且 lim f (x) 存在，则 a _____. x 1 x1
3* 根据函数极限的定义证明：
(1)
lim
x
1 x3 2x3
x x0
x x0
A) lim f x lim f x
x x0
x x0
C) lim f x 不一定存在 x x0
(2) lim x2 9 (
).
x3 x 3
).
B) lim f x lim f x
x x0
x x0
1 x sin x 1
(题集
§1.8 函数的连续性与间断点
1. 选择题.
(1) 设 f x 在 x x0 处连续 , 且存在 0 , 使当 0 x x0 时有 f x 0, 则
(
)．
A) f x0 0

第01章函数与极限习题详解

第一章函数与极限习题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x=+-；解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ，解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =+解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++- (0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +；当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫=- ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭．4．设1||1,()0||1,()21|| 1.xx f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21xx xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，112||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1,1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证．6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？（1）))()ln,()ln3f x xg x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）()()f x g x == 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-；不是，因为对应法则不同．（4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x -=-，(,1)x ∈-∞．解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x-=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+=+=-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数．（3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2c o s s i n 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22c o s s i n 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2xxa ay -+=.解：因为()()2xxaaf x f x -+==，所以函数2x xa ay -+=是偶函数．9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数；（2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）|sin |y x =；周期函数，周期为π．（2）1sin πy x =+；周期函数，周期为2．（3）tan y x x =；不是周期函数．（4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1y x y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xfx x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax b y ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a-=-，则反函数1()()b dx f x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =+；解：依题意，1(1010)2yyx -=+，所以反函数11()(1010),2x xf x x R--=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32y x =，所以反函数1arccos3(),[0,3]2xf x x -=∈．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-．解：（1）215()e ,(0),(2)xy f x f e f e+====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV h V r H r=∈．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2,4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+ ，（1）求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2）求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3）求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=．（2）要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1），则只要9997,9n >取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε->取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-< 成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim!n n →∞=；（2）lim1n n→∞=．解：（1）0ε∀>，要使111|0|!!n n nε-<<＝，只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使22|12)nn ε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|nε<, 则lim1n n→∞=.3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =，显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤，又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为limx →∞=, (3)π|cos|12n +≤, 所以 (3)πlim2x n →∞+=.6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理,0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时,||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥．3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim (21)5x x →-=；（2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim42x x x →--=-+；（4）limx →=.证明:(1) 由于|(21)5|2|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim (21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 由于|0|=<,任给0ε>,要使|0|ε-<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有|0|ε<,故limx →+∞=.4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim ()1x f x →-∞=；（2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x af x b +→=；（4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于0lim ||lim 0x x x x ++→→==, 0lim ||lim ()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=.6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则l i m()x f x A→∞=．证明: 由于l i m ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x=为当x →∞时的无穷小；（3）13x y x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x xx x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x xx x ε-=≤<, 故1limsin 0x x x→∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x Mxxx +=+>->,所以13limx x x→+=∞.2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数 sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M=+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cosy xx=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1tx =,类似第2题可得．习题 1-51．求下列极限：（1）23231lim41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ ；（3）22212lim n n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ；（4）1132lim 32nn n n n ++→∞+-；（5）2211lim54x x x x →--+；（6）3221lim53x x x x →+-+；（7）lim x →+∞；（8）2221lim53x x x x →∞+++；（9）33()limh x h xh→+-；（10）22131lim41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（12）23lim 531x x x x x →∞+-+；（13）1limx →（14）3lim 21x xx →∞+；（15）3lim (236)x x x →∞-+；（16）323327lim3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n nn n nn→∞++=+-．(2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦= 1lim(1)11n n →∞-=+．(3)22212lim n n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ =21(1)12lim 2n n n n→∞+=．(4) 1132lim32n n n n n ++→∞+-=21()13lim2332()3nn n →∞+=-⋅．(5) 2211lim54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx→+=lim x→111lim 2x →+∞-=．(8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim2531x x xx→∞+=++．(9) 33()lim h x h xh→+-=32233(33)limh x x h xh h xh→+++-=3220lim (33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim11x x x x→+=++．(11) 23lim531x x x x x →∞+-+=22311lim0315x x xxx→∞+=-+．(12) 1limx →=1limx →=1lim x →．(13) 3lim21x xx →∞+=2lim12x xx→∞=+∞+．(14) 3lim (236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x xx→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim (327)lim3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩ 问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0lim ()lim 1,lim ()lim (2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数12111x x ex ---的极限．解：因为11211111limlim (1)0,1x x x x x e x ex ----→→-=+=-11211111lim lim (1),1x x x x x ex ex ++--→→-=+=+∞-所以12111lim 1x x x ex -→--不存在。

函数,极限,连续-习题课

取Nmax{9,[

]},则 0n N, 有
即
n2 n 1 lim 2 . n 2n n 9 2
例5
证
证明
lim
x 2
x 2. x 1
x x2 | 2 || | x 1 x 1 1 不妨取 | x 2 | 2 ,即 3 5 1 3 1 x | x 1 | 2. 2 2 2 2 | x 1| x2 | 2 | x 2 | | x 2 | . 则 | x 1 2 1 取 min{ , },则x:0<|x-2|<，有 2 2 x | 2 | . 证毕. x 1
f (x ) x 2 2 x 2
例3 判断下列函数的奇偶性
a x 1 ① yx x a 1
② y ln x x 2 1
(
)
1 1 ax 1 x x x x a 1 1 a a a ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x 解 ① 1 a x 1 1 ax 1 ax 1 x x a a x x a 1 a 1 为偶函数。 x x f ( x) ∴函数 y x x a 1 a 1
1
x ln (1 2 x ) ～ 12 x
e
x 0
x 2x lim ( cos sin x 1 x )
1 x
e
2
复习: 若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有 x x0 x x0
x x0
lim 1 u ( x)
v( x)
lim
1 (1 x 3 ) 2 x 3 1 x 3 x 2
x 3

函数及极限练习习题及标准答案.docx

第一章函数与极限（ A ）一、填空题1、设 f ( x) 2 x lg lg x ，其定义域为。

2、设 f ( x) ln( x1) ，其定义域为。

3、设 f ( x)arcsin( x3) ，其定义域为。

4、设 f ( x) 的定义域是 [0 ， 1] ，则 f (sin x) 的定义域为5、设 yf ( x) 的定义域是 [0 ， 2] ，则 y f ( x 2 ) 的定义域为x 22x k 4 ，则 k=。

6、 limx 3x 37、函数 yx有间断点，其中为其可去间断点。

sin x。

8、若当 xsin 2x 0 处连续，则 f (0)。

0 时， f ( x) x，且 f ( x)在 xnnn9、 lim (222 )。

nn1 n2n n10、函数 f ( x) 在 x 0 处连续是 f (x) 在 x 0 连续的条件。

11、 lim (x 31)( x 2 3x 2)。

2x5 5x3x12、 lim (12 )kn e3 ，则 k=。

nn13、函数 yx 21。

x 2 3x的间断点是214、当 x时， 1是比x 3x 1的无穷小。

x15、当 x0时，无穷小 11 x 与 x 相比较是无穷小。

116、函数 ye x 在 x=0 处是第类间断点。

3x 1间断点。

17、设 y x，则 x=1 为 y 的118、已知 f3 ，则当 a 为时，函数 f ( x)1 处连续。

3a sin xsin 3x 在 x33sin xx19、设 f ( x)2xf (x) 存在，则 a=1若 lim。

x 0(1 ax) xxx sin x2 水平渐近线方程是。

20、曲线 yx 221、 f ( x)4x 21的连续区间为。

x 2 1x a , x 0 22、设 f ( x)在 x 0 连续，则常数cosx , x 0a=。

二、计算题1、求下列函数定义域（1）1y；（） ysin x ；21 x1（3） ye x ；2、函数 f ( x) 和 g( x) 是否相同？为什么？（1） f ( x)ln x 2, g( x) 2 ln x ；（2） f ( x)x , g( x)x 2 ；（ 3） f ( x) 1 , g( x) sec 2 x tan 2 x ；3、判定函数的奇偶性（1） yx 2 (1 x 2 ) ；（2） y 3x 2 x 3 ；（3） yx( x 1)( x 1) ；4、求由所给函数构成的复合函数（1）yu 2, usin v,vx 2；（ 2） yu , u 1 x 2 ；5、计算下列极限（1） lim (11 11n ) ；（ 2） lim12 32 ( n 1) ；n2 42nnx 25；x 22x 1；（3） lim3（ 4） limx 2 1x2xx1（5）lim (11 )(2 12 ) ；（6） lim x 32x 2 ； xxxx 2( x 2) 2（7） lim x2sin1；（8） limx 2 1 ； xxx1 3 x1 x（9） lim x( x 21 x) ；x6、计算下列极限（1） limsin wx；（2） limsin 2x；xxxsin 5x（3） lim x cot x ；（ 4） lim (x ) x ；xx 1 xx 11x 1 ；（6） lim (1x) x；（5） lim ()xx 1x7、比较无穷小的阶（1）x时，2xx 2与 x 2x 3；（2）时，1 (12) ；1 x与xx 128、利用等价无穷小性质求极限（1） lim tan x sin x ；（ 2） lim sin(xn) (n , m 是正整数 ) ；x 0sin x 3x 0(sin x)m9、讨论函数的连续性f ( x)x 1, x 1在 x 1 。

高等数学(同济大学版) 课程讲解第一章习题课1教学内容

课时授课计划课次序号：08 一、课题：第一章函数与极限习题课二、课型：习题课三、目的要求：1.加深对函数、极限、连续等基本概念的理解；2.熟练掌握极限的运算方法.四、教学重点：极限运算、两个重要极限、无穷小比较、函数的连续性．教学难点：极限存在准则．五、教学方法及手段：讲练结合，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学习题课讲义》，同济大学数学教研组主编，高等教育出版社；3.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：总复习题一3（2）（3），8（2）（4）（6），10，11，12八、授课记录：九、授课效果分析：第一章函数与极限习题课一、主要内容1. 函数函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数.2. 极限极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则.3. 连续函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段函数的连续性.二、典型例题1. 求复合函数例1设()f x =[()]f f x .解[()]f f x ===.2. 利用函数概念求函数表达式例2 设(e )1sin xf x x =++，求()f x .解令e xt =，则ln x t =，()1ln sin(ln )f t t t =++，()1ln sin(ln )f x x x ∴=++. 例3 设2()sin ,[()]1f x x f x x ϕ==-,求()x ϕ.解 2[()]sin ()1f x x x ϕϕ==-,2()arcsin(1),[x x x ϕ∴=-∈.3. 求00或∞∞型未定式的极限例4 330()lim h x h x h→+-解 []223300()()()()lim limh h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦. 例5 3x →解33(23)92)x x x →→+-=343x x →→===.例6 limx解limlim1x x ==.4.求0⋅∞或∞-∞型未定式的极限例7 1lim x-→解1111lim lim lim(1)2x x x x x ----→→→→===+=. 例8 1lim x →313()11x x --- 解 233211113132lim()lim lim 11111x x x x x x x x x x x →→→++----===----++. 5. 求幂指函数（001,0,∞∞型未定式）的极限例9 32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭解 22223211lim lim 1lim 1222222x x x xxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2211lim 1e, lim 22222xx x x x x -→∞→∞⎛⎫+==- ⎪--⎝⎭Q ，1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭；例10 21ln(1)0lim(cos )x x x +→解 1222cos 1cos 111ln(1)ln(1)ln(1)lim(cos )lim(1cos 1)lim (1cos 1)x x x x x x x x x x x --+++→→→⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦， 1cos 1222000cos 112lim(1cos 1)e,lim lim ln(1)2x x x x x x x x x -→→→--+-===-+Q ，211ln(1)20lim(cos )e x x x -+→∴=. 6. 极限的反问题例11 55)(2-++=x bx ax x f （b a ,为常数），问b a ,分别取何值时，有（1）1)(lim =∞→x f x （2）0)(lim =∞→x f x （3）1)(lim 5=→x f x解（1）1,0==b a （2）0,0==b a（3）由已知得 0)5(lim 25=++→bx ax x ，所以 015=++b a ，代入原式115)1(lim 555lim 525=-=-=-+--→→a ax x x ax ax x x ，所以3,52-==b a . 7. 利用夹逼准则求极限例12 nnnnn 321lim ++∞→解 nn n n 333213⋅≤++≤Θ, 333213⋅≤++≤∴n n n n ,而333lim =⋅∞→n n ,33lim =∞→n , ∴3321lim =++∞→n n n n n8. 利用单调有界准则求极限例13 若x 1,x 2，x n +1n =1,2,…），求lim n n x →∞.解因为12x x ==有21x x >,今设1k k x x ->，则1k k x x +，由数学归纳法知，对于任意正整数n 有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增.又因为12x =<，今设2k x <，则12k x +==，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n n x →∞存在.设lim n n x b →∞=，对等式1n x +=两边取极限得b =22b b =+，解得2b =，1b =-（由极限的保号性，舍去），所以lim 2n n x →∞=. 9. 求n 项和（或积）数列的极限例14 21111lim 3153541n n →∞⎛⎫++++⎪-⎝⎭L解 211111111lim lim 3153541133557(21)(21)n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪-⋅⋅⋅-+⎝⎭⎝⎭L L 11111111lim 12335572121n n n →∞⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭L 111lim 12212n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. 例15 设2coscos cos 222n n x x xx =L ，求lim n n x →∞.解 2sin sincos cos cos sin 222222nn n n n xx x x x xx ==L ,sin (0)2sin 2n n n x x x x ∴=≠, sin sin sin lim limlim(0)2sin 222nnn n n n n n x x xx x x x x →∞→∞→∞∴===≠g .当0x =时，1n x =，lim 1n n x →∞=10. 无穷小的比较与无穷小阶的确定例16 若0→x 时，21cos(e 1)x --和nm x 2等价无穷小，则,m n 各为多少？解因为当0→x 时，2~cos 12x x -，e 1~xx -，所以222(e 1)1cos(e 1)~2x x ---，从而22224(e 1)()~222x x x -= ,所以 1,4-==m n .例17 0limx→解)()22000112lim x x x x x →→→==4x →==例18 0limx →ln cos 2ln cos3xx解 [][]000ln 1(cos 21)ln cos 2cos 21limlim limln cos3ln cos311(cos31)x x x x x x x x x →→→+--==-+- 22200021(2)1cos 2442lim lim lim .11cos399(3)2x x x x x x x x x →→→-====- 例19 0x → 解2000122lim lim 2sin 24x x x x x xx x →→→+===. 11. 讨论函数的连续性与间断点例20 求下列函数的间断点，并说明类型（1）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+=-001)1ln()(11x ex x x f x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+<π-=01)1(0sin )4()(22x x x x x x x x x f解（1）)(x f 的间断点可能为0、1.0=x Θ时，(0)0,f =lim ()lim ln(1)0(0)x x f x x f --→→=+==, 11100lim ()lim (0)x x x f x e e f +--→+→==≠0=∴x 为第一类跳跃间断点.又1=x Θ时，)(x f 在1=x 处无定义，且111lim x x e +-→=+∞，1=∴x 为)(x f 的无穷间断点.（2） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--±=k x ,3,2,1,0都可能为间断点.当0=x 时，20(1)()0,lim ()lim 0(0)1x x x x f x f x f x ++→→+====-，而22000(4)4lim ()lim lim (4)(0)sin x x x x x x f x x f x x πππ---→→→--==-=≠, 0=∴x 为第一类跳跃间断点.当2-=x 时，)(x f 无定义，但π=+π-=-→-→8)2()4(lim)(lim 222x x x x f x x , 2-=∴x 时为可去间断点.当...............5,4,3,1k x ----±=时)(x f 都无定义，且极限为无穷大，因此全为无穷间断点.例21 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(020sin )(x bx x x x x axx f 问常数b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.解 000ln(13)33lim ()lim lim x x x x x f x bx bx b---→→→--===-,000sin lim ()lim lim x x x ax ax f x a x x +++→→→===, 当0lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即2,5.1=-=a b 时，)(x f 在0=x 处连续. 12. 闭区间上连续函数性质的应用例22 证明方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.证令()ln(1)2e xf x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>, (1)ln(1)20e f =+-<,由零点定理知,至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0f ξ=.即方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.三、课后练习1．求下列极限：(1) xx x x tan 2sinlim20→ (2) )sin 1cos (sin lim 0x x x x x -→ (3) n n n n 2)31(lim +-∞→ (4) )1ln()cos 1(1cossin 3lim 20x x x x x x +++→(5) x x x x )1232(lim ++∞→ (6) x x xx x 5sin 3sin lim0+-→ (7) 11sinlim-+∞→x x x x x （8）x x x x sin 1sin 1lim 0--+→2.(1) 已知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+=1)1(13)(22x x x A x x f 且)(lim 1x f x → 存在，求常数A .(2) 已知02])2([5lim22=-+--+→x B x A x x ，试求常数A 、B.3. 求下列函数的间断点，并指明其类型.（1）)32()1()(11xxe e xf ++= （2）)4)(1(2)(---=x x xx f（3）231)(22+--=x x x x f （4）)4(2)(22--=x x xx x f4.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=00cos 22)(x ae x xx x f x ,问a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续?5. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，b d c a <<<，q p ,为正数.证明：在],[b a 内至少有一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.。

【高等数学习题及解答】第一章函数与极限

第一章
函数与极限
一、极限的求法
1 x
1.
(1) lim(1 kx) ( k 0为常数）
x 0
1 x ( 2) lim( ) 2 x 0 1 x
2
1 2 x sin x
1 x x sin x (3) lim x 1 x ( 4) lim
x 0
1 t an x 1 sin x x 2 ln( 1 x)
x x sin x sin x x cos x ln ln 2 sin x sin x x sin x lim lim lim 2 x 0 sin 2 x x 0 x 0 x 2x 1 sin x x cos x lim 3 x 0 2 x 1 cos x cos x x sin x lim 2 x 0 2 3x 1 1 sin x 1 lim 2 x 0 3 x 6 x sin 2 x lim e6 x 0 sin x
1 1
0 （4）思路分析：这是一道综合题，且是型极限， 0 运用洛必达法则去求解。 t x 0 a t dt 条件 a x 解： lim lim ＝1 x 0 bx sin x x 0 b cos x
x 2 2
x2 lim 0, lim(b cos x) b 1 0, 即b 1 x 0 x 0 ax x t2 x2 0 a t dt a x 所以， lim lim x 0 bx sin x x 0 1 cos x 1 x2 1 x2 lim lim x 0 a x 1 cos x a x0 1 cos x 1 x2 2 lim 1，得a 4 a x 0 1 x 2 a 2 故a 4, b 1为所求。

1-6第一章节习题课

设f
(x)

1 1
x
，求(1)
f (x 1)
；(2)
f [ f (.1x )]
解：(1) f (x 1) 1 1 (x 1) 1 x
(2) f

f

1 x

f

x x 1

1 x
1

x 1 2x 1
x 1
题型1 函数值与函数记号例16 设 f (x 1) x2 4x 3 ，求 f (x) f ( 1 )
将下列函数分解为简单函数：
1y cos35 2x 2y e 2x1
解： y u3,u cos v,v 5 2x y eu,u v,v 2x 1
函数
lim f ( x) A
x
极限 lim f ( x) A
x x0
极限存在的充要条件p16
1．判断函数在指定点的连续性
例13
设函数
f
(x)

sin 2x x
a
x0 x0
在 x 0 处连续．则a = 2
2．求函数的连续区间
例14
求函数
f
(x)

x2

1 3x

2
的连续区间．
解
( , 1),(1 , 2),(2 , )
二、典型例题
题型1 函数值与函数记号
例15
0

0.
x1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3

.
3．利用零因子消去法求解 0 型未定式的极限

高等数学习题-第1章-函数与极限(精品文档)

高等数学第一章函数与极限一、选择题（共 191 小题）1、A下列函数中为奇函数的是；　；；答（）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π2、A[][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是；；；答（）x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π223、D关于函数的单调性的正确判断是当时，单调增；当时，单调减；当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。

答（）y xA x y xB x y xC x y x x y xD x y x x y x=-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1010101010101()()()()4、C答（）；；；的是下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 1212)(2222+--++=+=++=+-=x x x x y D xxx y C x x y B y A x x5、A函数　是奇函数；偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值答（）f x a xa xa A B C D a ()ln()()()()()=-+>06、Bf x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数；奇函数；偶函数；周期函数。

答（）　7、D设，，，则此函数是周期函数；Ｂ单调减函数；奇函数偶函数。

答（）　f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪330ππ8、C设，，，则此函数是奇函数；偶函数；有界函数；　周期函数。

答（）f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤⎧⎨⎪⎩⎪3330029、Bf x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333232在其定义域，上是最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；　非周期函数。

高数第一章习题课 [兼容模式]

1 1 1 lim [ 2 + + ⋅⋅⋅ + ] 2 2 8. (n + 1) ( 2n) n →∞ n 1 1 1 解：令 xn = 2 + +⋅ ⋅ ⋅ + 2 n (n+1) (2n)2 n+1 n+1 则有： ≤ xn ≤ 2 则有： 2 (n + n) n
=0
9.
求极限
n+1 n+1 a + b lim , ( 0 < a < b) n→ ∞ n n a +b
=b
10.
[ ( x + a )( x + b) − x ] 求极限 xlim →∞ 1
= (a + b) 2
11. 当a取何值时, cos x , x < 0, 函数 f ( x ) = 在 x = 0处连续. a + x , x ≥ 0, 解 ∵ f ( 0) = a ,
− +
无穷间断点振荡间断点
至少一个不存在
4. 闭区间上连续函数的性质有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 . （与这一内容有关的往往是证明题）与这一内容有关的往往是证明题）
3x + 1 , x < 1 , 例1. 设函数 f ( x) = x ≥1 x,
解:
求
f [ f ( x)] .
3 f ( x) + 1 , f [ f ( x)] = f ( x) ,
f ( x) < 1 f ( x) ≥ 1
x<0
3(3x + 1) + 1
= 3x + 1 , x,

习题课函数与极限

x
?
lim f ( n)
n
x
(含 x n)
?
x
?
lim f ( x )
x
?
2. 极限的性质（1）极限的唯一性.
δ 0, 当 0 | x - x0 | 时,
有 f ( x) 0
（2）极限的局部保号性.
若 lim f ( x ) A
. .

(5)
x x~x
2
5. 函数连续的定义
若 lim f ( x ) A f (a ) ,
x a
则称 y=f (x)在点 a 连续。 (2) 有极限 (3) 有定义
f (x)在点a 处：(1) 连续三者关系是：
(2) (1) (3)
箭头不可逆，请举例。
6. 间断点的分类
可去型: 若 lim f ( x )存在. 第一类
yБайду номын сангаас
o
y
4 2
1
⑵
1
x
1, x 0 x , (2) f ( x) x 1, x 0
2
⑶
x
x0
o1
2 ( x 1 ) 2, x 1 1, x 1 3 (3) f ( x) 3 x 1 x 1 4, x 1 1, x 1
(2) y max sin x , cos x , x [ 0, ] 2
是
(3) y arcsin u , u 2 x 2
不是
提示: (2)
y
cos x ,
sin x ,
0 x 4
x 4 2
例5. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么? x, x 0 2 x (1) f ( x) x , x 0

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第一章
函数与极限习题课
本章知识要求
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1、掌握：函数、初等函数、极限、无穷小与无穷大、函数连续性的概念，以及闭区间上连续函数的性质。 2、熟悉：无穷小的性质，应用极限的四则运算法则及两个重要极限求极限。了解：无穷小的比较，极限存在准则，函数的间断点及其分类。
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1. f ( x) 在 [a , b] 上有界; 2. f ( x) 在 [a , b] 上必有最大值与最小值; 3. f ( x) 在 [a , b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
4.当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) , 使 f ( ) 0.
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（3）两个重要极限
sin x 1) lim 1 x 0 x
2) lim ( 1 ) e
n 1 n n
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5.函数的连续性
f ( x )在点 x0 连续的等价形式
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左连续
右连续
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5. 闭区间上连续函数的性质
设 f ( x ) C [ a , b] ,则
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本章要点
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1、函数的定义 2、函数的特性 3、极限的定义 4、极限的计算方法 5、函数连续性的定义 6、闭区间上连续函数的性质
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1.函数的定义及函数的二要素
定义域
对应规律
单调性,奇偶性,
2.函数的特性
有界性,周期性
3.初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而构成并可以用一个式子表示的函数称为初等函数。
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4. 极限求法
（1）极限运算法则
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1) 无穷小运算法则
2) 极限四则运算法则（2）求分式函数 (分母不为0) 2) x x0 时,对 0 型,约去公因子 0
3) x 时,分子分母同除最高次幂
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