矩阵6

§5. 矩阵函数我们知道，在复变函数论中，复变量幂级数：∑∞=0!m mm zzeR =+∞=ˆ（和函数）∑∞=----0121)!12()1(m m m m zz R sin ˆ=+∞=∑∞=-+2)!2()1(1m mmm zz R cos ˆ=+∞=都在整个复平面上收敛，因而都有确定的和（如上）。

由上节Th 3.及推论知n n C A ⨯∈∀，则方阵幂级数：∑∞==0!m Amem A—称为A 的指数函数Am Am m m sin )!12()1(0121=--∑∞=--—称为A 的正弦函数201(1)cos (2)!mmm AA m ∞=+-=∑—称为A 的余弦函数都收敛，且其和为方阵的函数（可以用幂级数的和函数来定义矩阵函数）根据1)1()1ln(11=⋅-=+∑∞=-R Zmz m mm1!)1()1()1(1=⋅+-⋅⋅-⋅+=+∑∞=R Zm m I z m mαααα可以定义矩阵函数，)ln(A E +与α)(A E +为：（只要1)(<A ρ）∑∞=-⋅-=+11)1()ln(m mm AmA E∑∞=⋅+-⋅⋅-⋅+=+1!)1()1()(m mAm m E A E αααα一般地，有如下重要结论：若复变量幂级数∑∞=0m m m z c 的收敛半径为R ，其和为f (z )，即)()(0R z zcz f m mm<=∑∞=则),)(()(0∑∞=⨯∈<=m nn mm CA R A A c A f ρ)(A f 称为矩阵幂级数∑∞=0m mm Ac 的和矩阵—A 的函数。

那么，对于∑∞=0m m m A c ，且R A <)(ρ时，绝对收敛，而如何求出和矩阵（矩阵函数）)(A f ——是本节课所要解决的问题。

Th 1.对nn C Z ⨯∈∀，若∑∞=0m mm Z c 收敛，其和记为)(Z f ，即：∑∞==)(m mmZcZ f则当),,,(21t Z Z Z diag Z =时，有))(,),(),(()(21t Z f Z f Z f diag Z f =Proof :mt Nm mN t Z Z Z diag cZ Z Z diag f Z f )),,,((lim)),,,(()(21021 ∑=∞→==),,,(lim 021mt Nm m m N m m m N m m N Z c Z c Z c diag ∑∑∑===∞→=)lim ,,lim ,lim(021mt Nm mN m N m mN m N m mN Z cZ cZ cdiag ∑∑∑=∞→=∞→=∞→=))(,),(),((21t Z f Z f Z f diag =另证：),,,(21mt mmmZ Z Z diag Z =∑∑∞=∞===210),,,()(m mt mmmm mmZ Z Z diag cZcZ f∑∞==21),,,(m mt m mm mmZ c Z c Z cdiag ))(,),(),((21t Z f Z f Z f diag =Th 2.设)()(0R z z c z f m mm <=∑∞=是收敛半径为R 的复变量幂级数。

又n n J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000111λλλ 是n 阶约当块，则当R<0λ时，矩阵幂级数mmm cJ ∞=∑绝对收敛，且其和为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-'-'''==--∞=∑)()()!2(1)()()()!1(1)(!21)()()(00)2(000)1(00000λλλλλλλλf f n f f fn f f f J cJ f n n m mm注：)(0J f 的第一行恰为函数∑∞==0)(m m m x c x f 在0λ点处的T aylor 级数的导数，（注意约当块的另一种形式，和为转置）。

∴求)(0J f 时，应先求出各阶T aylor 级数的导数，写到对应的位置上即可。

有了上述两个定理的准备工作，就可以计算矩阵函数)(A f 了。

下面分两种情况来讨论： 一、 若),,(~21m diag A λλλ即121),,(-=PPdiag A m λλλi λ为A 的特征值，这就有了：Th 3.设复变数幂级数∑∞==0)(m m m z c z f 的收敛半径为R ，若：121),,()(-⨯=∈PPdiag CA n nn λλλ 且R A <)(ρ，则：矩阵函数∑∞=-==0121))(),(),(()(m n mm Pf f f Pdiag A c A f λλλ显见①)(A f 的特征值为)(),(),(21n f f f λλλ 。

②))(),(),((~)(21n f f f diag A f λλλ 推论1.若121),,(-=PPdiag A m λλλ 则：①1),,,(21-=Peee Pdiag e nA λλλ②121)sin ,,sin ,(sin sin -=PPdiag A n λλλ ③121)cos ,,cos ,(cos cos-=PPdiag A n λλλ可见，在求矩阵函数)(A f 时，先看A 是否相似于对角阵),,(21n d i a g λλλ ，若~A 对角阵，则求出P ，即可得121))(),(),(()(-=Pf f f Pdiag A f n λλλeg 1.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2010A 求A e Asin ,解：由)2(21+=+-=-λλλλλA EA ∴的特征值2,021-==λλ01=λ时，由0)(21=⇒=-x XA E θλ 取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011ξ 22-=λ时，由02)(212=--⇒=-x x X A E θλ取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212ξ令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2011P （通过求特征相量求P ），则P 可逆，且⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-2102111012211P则12000-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-20001PAP ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴----2212021211001eeP e P eA⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2sin 02sin 210)1sin(000sin 1P P A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2cos 02cos 212102cos 0cos 1P P A二、当A 与约当标准形相似时一般地，A 不与对角阵相似，则必与Jordan 形相似。

事实上，对角阵是Jordan 形的一种特殊情形。

Th 4.设复变数幂级数∑∞==0)(m m m z c z f 的收敛半径为R ，n n C A ⨯∈12211))(,),(),((-=PJ J J Pdiag A s s λλλ 且R A <)(ρ，则121))(,),(),(()(-=PJ f J f J f Pdiag A f s其中111i ii i s i n n J λλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ 是i n 阶约当块，且nn si i=∑=1eg 2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=032100010A求A e解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-λλλλ321001)(A E23)1)(2()(323--=+-=λλλλλD ； 1)(2=λD1)(1=λD23)1)(2()(+-=λλλE1)(2=λE1)(1=λE初等因子组：2)1()2(+-λλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴100110002~J A 即PJAP PJP A =⇒=-1 令),,(321x x x P=则),,2(),,(3221321x x x x PJ Ax Ax Ax AP--===则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-==)(23232211x x Ax x Ax x Ax求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=114012111P （不唯一）(如何求P )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-336252121911P121)))1(()),2(((--=∴PJ f J f Pdiag eA⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--31313292959291929100000114012111112e e e e⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-----3131329295929192914211212112e e e e e e e e e e e §6.矩阵谱上的函数矩阵的多项式表示Df 1.设n n C A ⨯∈，r λλλ ,,21是A 的所有互异的特征值，A 的最小多项式为：rd r d d mP)()()()(2121λλλλλλλ---= 其中i d 为A 的Jordan 标准形中包含i λ的Jordan 块的最大阶数，且nd ri i≤∑=1若函数)(λf 各阶导数存在，则称下列m 个值： 其中，m 为A 的最小多项式的次数。

12(1)111(1)222(1)(),(),,()(),(),,()(),,,(),(),,()r d d d r r r f f ff f f f f f f λλλλλλλλλλ---'⎫⎪'⎪⎬⎪⎪'⎭为在的谱上的值若上述m 个值均存在，则称)(λf 在A 的谱上有意义。

Th 1.A 的最小多项式)(λm P 在A 的谱上的值全为0。

Proof :0)()()(21====r m m m P P P λλλrrrd r r d dd r d dd r d d m d d d P )()()()()()()()()()(2121212112212111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---++---+---='--r i P i m ,,2,10)( =='⇒λ同理0)(0)(0)()1(2)1(1)1(21===---r d md md mr P P PλλλTh 2.若多项式)(λg 在A 的谱上的值全为0，则)(λg 必可被A 的最小多项式整除。

)()()()(0)()()(0)()()(0)()1(2λλλλλλλλλλλλλλg P g g g g g g m di i d i i i i i i ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⇒=-⇒='-⇒=-Th 3.设n n C A ⨯∈，)(λf 与)(λg 为两个多项式，则()()()()f A g A f g A λλ=⇔与在的谱上的值相同Proof :⇒由)()(A g A f = 令)()()(λλλg f h -=则0)(=A h ，)(λh ∴是A 的零化多项式)()()(λλλq P h m ⋅=∴由Th 1.，)(λm P 在A 谱上的值全为0。