清华大学本校用理论力学课件第10章 变质量质系动力学
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10《理论力学》课件
n
r I (e)
i
i 1
－－质点系动量定理微分形式的投影式 －－质点系动量定理的积分形式
即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时
间内作用于质点系外力冲量的矢量和.
p2 x
p1x
I
(e) x
p2 y
p1y
I (e) y
p2 z
p1z
I
(e) z
－－质点系动量定理积分形式的投影式
3．质点系动量守恒定律
r dIi(e)
Fi(i)dtr dp
或
dt
r F (e)
i
－－质点系动量定理的微分形式
即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢 量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的 矢量和.
dpx dt
F (e) x
dpy dt
F (e) y
dpz dt
F (e) z
pr 2
pr1
力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: 内力性质:
r Fi ( e,)
r
r
内力:
F (i) i
r
r
F (i) i
0
MO (Fi(i) ) 0
r Fi(i)dt
0
质 点: 质点系:
dpr
d(mivri )
r d(mivi
)
r
Fi(e)dt
r
r
Fi
(e)dt
r
Fi(i)dt
r
Fi(e)dt
问题：内力是否影响质心的运动？ 质心运动定理与动力学基本方程有何不同？
在直角坐标轴上的投影式为:
ma
Cx
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第10章
设中心O的速度为v。
T1 0
T2
1 2
3PR2 2g
v R
2
1 2
Q g
v2
vO PQ
3P 2Q v2 4g
WiF P Q s sin φ
φ
N1 Fs
T2 T1 WiF
3P 2Q v2 P Q s sin φ
4g
解得：
v2 4 P Qsin φ gs
3P 2Q
求导，得：
例10-5 图示系统，滑块A的质量为m1，与倾 角为φ的斜面间的动滑动摩擦系数为 f ；定滑 轮B的质量为m2且沿轮缘均匀分布；均质圆 柱的质量为m3，沿水平面纯滚动；弹簧的刚 性系数为k 。系统由静止开始运动，求滑块 沿斜面下滑s 时的速度和加速度。初瞬时弹 簧无变形。
D
OB
A
φ
解：以系统为研究对象 F
F Oθ
解1：以系统为研究对象，理想约束。
设中心O有微小位移ds，速度
为v，加速度为a。
T 1 m 2
ρ2 R2
v R
2
m
ρ2 R2 2R2
v2
m ρ2 R2
m ρ2 R2
dT
R2
vdv
R2
vadt
F
O ds θv a mg
Fs N
δWiF
Fds cos θ
Fr
f
cos φ s
k 8
s2
T2 T1 WiF
2m1
2m2 4
3m3
v2
m1g sin φ
f
cos φ s
k 8
s2
解得：略
3. 功率方程
功率：单位时间力所做的功。P δW
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
理论力学第10章(动量定理)
从而摩擦力为 Fd f FN f (F sin 45o mg cos 30o)
代入(1)式，求得所需时间为
t
mv
0.0941 s
F cos 45o mg sin 30o f (F sin 45o mg cos 30o)
理论力学
18
[例6]如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑 动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。
rvC
mi rvi mi
mirvi m
设rrC
r xCi
r yC j
r zCk ,则
xC
mi xi m
,
yC
mi m
yi
,
zC
mi zi m
理论力学
4
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心 是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。
d dt
(mvz )
Fz
质点的动量守恒
Fx
dt
mv2 y
mv1y
Iy
t2
t1
Fy
dt
mv2z
mv1z
Iz
t2
t1
Fz
dt
若 F 0 ，则 mv 常矢量，质点作惯性运动
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
二、质点系的动量定理
对质点系内任一质点 i，
都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量
也为m。求当 = 45º时系统的动量。
解:
曲柄OA： m , vC1
理论力学动量定理PPT课件
dpx
dt
i
Fixe ,
dpy dt
i
Fiye ,
dpz dt
i
Fize
若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的 投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。例 如
FRex 0 , px C2
式中C2为常量，由运动初始条件决定。
第23页/共50页
第10章 动量定理 质心运动定理
第4页/共50页
几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅秤指示数会 不会发生的变化？
？
第5页/共50页
几个有意义的实际问题
？ 台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，
会发生什么现象？
第6页/共50页
几个有意义的实际问题
隔板
水池
？ 抽去隔板后，将会
发生什么现象？
水
光滑台面
第7页/共50页
v
－ m1cos m2
m1 m2 m3 m4
vr
第32页/共50页
动量定理应用举例 例 题 1
解：2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体 相对地面的位移。
v
－ m1
m1cos m2
m2 m3 m4
vr
又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分， 得到四棱柱体的位移。
x － m1cos m2 s
m1 m2 m3 m4
第33页/共50页
动量定理应用举例 例 题 1
解：3.确定对凸起部分的作用力，可以 采用质心运动定理。
设物块相对四棱柱体的加速度为ar， 由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，
ae a4 0 ar a 故，四棱柱体的加速度a极易由牛顿定律 求出。 根据质心运动定理，并注意到
第10章 变质量质系动力学
! ! mv = m(v1x − v) = 2(5 − v)
! (25 + 2t )v = 2(5 − v)
− ln 5 − v = ln 25 + 2t 5 25
dv = t 2dt ∫0 5 − v ∫0 25 + 2t v = 10t v(5) = 10 25 + 2t 7
v
y
x
定常流体运动问题
请思考
" 相对速度对谁而言？ " 牛顿第二定律能否直接用于变质量质系中？
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
d (mv ) = F ( e ) dt
m dv = F ( e ) − dm v dt dt
动力学中确定研究对象的两种方法
m dv = F ( e ) + dm ur dt dt
第10章
例5
解
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
在 ∆t 时间间隔内，水 流ABCD段的水流运动 到abcd时，所受的力 以及他们对O轴之矩： 重力－由于水轮机水平 放置，重力对O轴之矩 等于0； 相邻水流的压力－忽略不计； 叶轮的反作用力矩－与水流对叶轮的驱动 力矩大小相等方向相反。
例3
qm ( r2 × v2 − r1 × v1 ) = M
例1
火箭的特征速度
第10章 忽略重力和空气阻力，当推进剂燃烧完时，
火箭获得的最大速度，称为特征速度 。
变 质 量 质 系 动 力 学
u为喷射速度
dv = −u ∫ dm ∫0 m0 m v = u ln(m0 / m)
v m
齐奥尔柯夫斯基 vc – 火箭的特征速度 m0 ＝ mk ＋mf 为火箭总质量 mk – 火箭壳体与装备质量 mf – 火箭推进剂（燃料）质量
! (25 + 2t )v = 2(5 − v)
− ln 5 − v = ln 25 + 2t 5 25
dv = t 2dt ∫0 5 − v ∫0 25 + 2t v = 10t v(5) = 10 25 + 2t 7
v
y
x
定常流体运动问题
请思考
" 相对速度对谁而言？ " 牛顿第二定律能否直接用于变质量质系中？
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
d (mv ) = F ( e ) dt
m dv = F ( e ) − dm v dt dt
动力学中确定研究对象的两种方法
m dv = F ( e ) + dm ur dt dt
第10章
例5
解
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
在 ∆t 时间间隔内，水 流ABCD段的水流运动 到abcd时，所受的力 以及他们对O轴之矩： 重力－由于水轮机水平 放置，重力对O轴之矩 等于0； 相邻水流的压力－忽略不计； 叶轮的反作用力矩－与水流对叶轮的驱动 力矩大小相等方向相反。
例3
qm ( r2 × v2 − r1 × v1 ) = M
例1
火箭的特征速度
第10章 忽略重力和空气阻力，当推进剂燃烧完时，
火箭获得的最大速度，称为特征速度 。
变 质 量 质 系 动 力 学
u为喷射速度
dv = −u ∫ dm ∫0 m0 m v = u ln(m0 / m)
v m
齐奥尔柯夫斯基 vc – 火箭的特征速度 m0 ＝ mk ＋mf 为火箭总质量 mk – 火箭壳体与装备质量 mf – 火箭推进剂（燃料）质量
清华大学版理论力学课后习题答案大全第10章动能定理及其应用习题解
CA(a)ωO(a)第10章动能定理及其应用10－1计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。
在图示位置时，若已知圆盘上A、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ =45º（图a ）。
2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。
3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。
细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。
解：1．2222221632(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω2．222122222214321(21212121vm v m r v r m v m v m T +=⋅++=3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。
现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。
当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。
解：图（a ）BA T T T +=)2121(21222211ωC C J v g W v g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕω⋅⋅+⋅++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。
齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。
曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。
试求行星齿轮机构的动能。
理论力学课件 质心运动定理,,第十章动量矩定理
质心守恒
支承面的法向反力的最小值求得为
2
221min )(ω
e m g m m F y −+=若，则。
因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。
e
m g
m m 221)(+>ω0min <N F
9.2 质心运动定理
夯体滑动而不跳起的条
件怎样建立？
问题1——运动员质心做什么运动？问题2——运动员手脚运动、肌肉收缩、关节运动是否影响质心运动？抛物线内力不影响质心运动！
跨越式翻滚式背越式
跨越式：人体质心大约在腹部，杆在双腿的下方，质心约在杆上方30cm 翻滚式：人体质心
大约在腹部，杆在
身体的下方，人体
基本上与杆平行，
质心约在杆上方
10cm
背越式：人体质心
不在身体上，可在
背部下方10cm，质
心从杆下方过杆。
1.8m-0.3m=1.5m 1.8m-0.1m=1.7m 1.8m+0.1m=1.9m
第10章动量矩定理
问题：应用动量定理和质心运动定理只能分析出其质心加速度，如何分析猫的转体？
跳水动量矩守恒
跳水运动员为什
么在空中可实现空翻
和转体的转变？
M
A。
理论力学10章.ppt
(m1 m2 ) s ks m2e2 sin t
• 齐次解：
s
k
s 0，p2
k
m1 m2
m1 m2
s Asin pt
2020/1/29
理论力学第10章
16
• 令s=l-l1，它表示从静止平衡位置起算的位 移。则得到振动方程：
m1 m2 ) s ks m2e2 sin t
t0
t0
• 质点的动量定理：质点的动量在某时段的 增量等于作用在质点上的外力对时间的积 分（冲量）。
• 质点的动量守恒定理：如果作用在质点的 外力和为零，则质点的动量保持不变。
2020/1/29
理论力学第10章
4
• 质点系的动量定理
• 质点系的每个质点，除了受到系统外部的 作用力（如重力）外，还受到相邻质点的 作用力。
n
理论力学第10章 mivi mvc
1
i 1
• 动量的质心定理：
n mivi
i 1
n
mi
i 1
dri dt
d dt
n
mi ri
i 1
n
miri
rc
i 1
m
n
mivi mvc i 1
• 2.冲量：作用力与作用时间的乘积。
t
I 0 Fdt
J z M z (F) 0
J z const
2020/1/29
理论力学第10章
30
• 例10.5 复摆的质量为m，对摆轴O的转动惯量为J， 质心C到转轴O距离为a，求微小摆动的周期T。
• 解：对摆应用动量矩定理
理论力学_动力学ppt课件
12 4 3
33
5. 回转半 径
z
Jz m
惯性半径(回转半径)
J z mρ 2
34
例题 3
已知： m ，R 。
求：角加速度
解：取圆轮为研究对象
J mgR O
JO
1 2
mR 2
mR 2
3 2
mR 2
解得： 2g
3R
FOy FOx
C O
mg
35
12.4 刚体的平面运动 微分方程
刚体平面运动 =
a. 常力 b. 变力
I Ft
dI Fdt
I 0t Fdt
冲量为矢量，其单位与动量单位相同为 N·s
15
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
dp d(mv) Fdt
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mv mv0 0t Fdt I
质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和，称为 质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。
n
p mivi
i 1
13
根据质点系质心的位矢公式
rC
miri mi
miri m
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC
O
C
z
mn
m2
m1
C
mi
rC ri
o y
x
vC
C
14
2冲量 力在作用时间上的累积效应——力的冲量
23
[例1] 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
解：LO = LOA + LOB + LOC
理论力学第十章质点动力学教学PPT解答
k m
x Asin( 0t ) , t 0 , x 0;t 0, x v0
A v0 , 0 ; 0
x v0m sin kFra bibliotekkt m
例题6
弹簧－质量系统，物块的质量为m ,弹簧的刚度系数为k,物 块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。
l0 k
m v0
● 求解第二类问题,是积分过程.
m
d2z dt 2
Fz
必须注意,在求解第二类问题时, 方程的积分中要出现积分常数,
m
d2s dt 2
Fτ
,
v2
m Fn ,
0 Fb
为了完全确定质点的运动,必须 根据运动的初始条件定出这些积
分常数.
解题步骤
根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象。 根据运动特点选取坐标系。若需要建立运动微分方 程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动 量之间的关系。 受力分析，画受力图。 建立动力学方程组并求解。
即,质点的质量与加速度的乘积,按大小与方向, 等于所受的力。上式称为质点动力学基本方 程。
矢量形式
设有可以自由运动质点 M，质量 是 m，作用力的合力是 F，加速度是 a。
d2r m dt2 F
z
M
F
r
a
O
y x
这就是质点的运动微分方程的矢量形式
直角坐标形式
把上式投影到固定直角坐标系 Oxyz 的各轴,得
ma=F
由微分方程可以解决自由质点动力学的
m
d2r dt 2
F
m
d2x dt 2
Fx
两类问题.第一类问题:已知运动,求力;第 二类问题:已知力,求运动.
理论力学第十章PPT
1. 选取质点系做为研究对象 2. 受力分析 3. 质点系各部分的运动分析 4. 写出动量表达式，表明方向 5. 利用动量定理投影式求解
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上，定子 和外壳的质量为 m，转子质量为m2。定子和机壳 1 质心 O1，转子质心 O2 O O2 = e，角速度 ω ，1 为常量。 求基础的水平及铅直约束力。
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
(i )
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
10-3 质心运动定理
1．质心
∑m i ri rC = ，m = ∑ m i m ∑m i z i ∑m i x i ， ∑m i y i ， zC = xC = yC = m m m
2.质心运动定理 2.质心运动定理 由 得 或
n d (mvC ) = ∑ F (e) i i=1 dt
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上，定子 和外壳的质量为 m，转子质量为m2。定子和机壳 1 质心 O1，转子质心 O2 O O2 = e，角速度 ω ，1 为常量。 求基础的水平及铅直约束力。
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律 ．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ， 则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0， 则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
(i )
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力 元冲量的矢量和； 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和。
10-3 质心运动定理
1．质心
∑m i ri rC = ，m = ∑ m i m ∑m i z i ∑m i x i ， ∑m i y i ， zC = xC = yC = m m m
2.质心运动定理 2.质心运动定理 由 得 或
n d (mvC ) = ∑ F (e) i i=1 dt
理论力学第10章
第 第10 10章 动量定理和 动量定理和动量矩定理动量矩定理第 第10 10章 动量定理和动量矩定理 □ 动量定理、动量矩定理 □ 质心运动定理 □ 讨论□ 质点系相对质心的动量矩定理□动量定理和动量矩定理的应用□ 动量、动量矩动量、动量矩★ 质点动量质点动量 质点的动量质点的动量 (momentum) —— 质点的 质量与质点速度的乘积，称为质点的动量质量与质点速度的乘积，称为质点的动量 = vp m = 动量具有矢量的全部特征，所以动量 是矢量，而且是定位矢量。
是矢量，而且是定位矢量。
所有质点动量的矢量和，称为 所有质点动量的矢量和，称为质点系的动 量 量，又称为 ，又称为动量系的主矢量 动量系的主矢量，简称为 ，简称为动量主矢 动量主矢。
= ii im v p å = ★ 质点系动量质点系动量 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为 的动量矢。
质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系。
动量系。
= ) , , , ( 2 2 1 1 nn m m m v v v p × × × = 根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式 iii Cmm i i i C å = rr iii Cmm i i i C å = vv Cm v p =★ 冲量冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用I 表示即 I = F t若作用力F 为变量，在微小时间间隔d t 内，F 的冲量称为元冲量。
即 d I = F d t力F 在作用时间t 内的冲量是矢量积分ò = ttd F I★ 质点动量矩 ★ 质点系动量矩□ 动量矩动量矩( v r v M mm O ´ = ) ( 质点对于点 质点对于点OO 的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 质点对于点 质点对于点O O 的动量矩。
详细版《理论力学》第十章 质心运动定理.ppt
质心运动定理的表示方法
直角坐标表示法：
自然表示法：
maCx
m
d 2 xC dt 2
FixE
maCy
m
d 2 yC dt 2
FiyE
maCz
m
d 2zC dt 2
FizE
maC
m dvC dt
FiE
maCn
m vC2
FinE
maCb 0 FibE
︵。︵
10
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
练习1： 质量50kg，长度2 2m的均质杆A端搁在光滑水平面
上，另一端B与水平杆BD铰接并用铅直绳BE悬挂。已知系统
静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，B点的加速度为
7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对AB杆的反力。
BD杆质量不计。
解：1.
2.
受力分析； 运动分析；
y
以B为基点，分析A点加速度：
得：
FN
FN
mg
maCy
mg m aB 2 ︵。︵
例3: 质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，沿
水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度为
aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2）圆 轮所受摩擦力的大小。
解：
aO
3aA 2
2.受力分析
M
C aO mg
3.质心运动定理
maO F
FN F
F
3 2
ma
A
︵。︵
23
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电
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质系动量定理 dp lg N dt N 3 gx
例4
水箱
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
水流由龙头以每秒2kg的流量射入质量为25kg 的水箱车内，射入速度为v1 = 10 m/s，斜角 = 60°。水箱车开始处于静止，可在水平道 上自由运动，不计摩擦阻力。设水箱足够长， 求车的速度v(t)和v(5) 。
例3
链条自由下落
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
已知：链条的、l。 求：链条自由下落时，磅秤的指示。
例3
解法一
第10章 考虑已落到磅秤上的链条为变质量质点，加
变 质 量 质 系 动 力 学
入质点的绝对速度与相对速度均为 。
由于链条下落时各环相互不挤 压，故各环均为自由落体。下 落 x 距离后有 ，所以 N = 3 xg。
变 质 量 质 系 动 力 学
提高质量比，需使用新材料及新结构
铝合金、镁合金、钛合金、高分子材料、复合材料 薄壳结构、薄壁结构、蜂窝夹层结构、杆系结构： m0/mk 9 对鸡蛋而言，m0/mk = 7
按目前的技术水平vc 9.5km/s。考虑空气 阻力、重力影响，实际到达速度 v0 < 7.9 km/s (7.9km/s 为第一宇宙速度)。 目前都 用多级火箭入轨，以后可能实现单级入轨
r2 mv2 r1 mv1
dLO ( qm (r2 v2 r1 v1 ) M Oe ) dt
例1
力的分量F和R： 1.保持叶片不动 2.叶片以速度u右移
叶片压力
第10章 已知: , A, v, v=v。求以下两种情况中动约束
变 质 量 质 系 动 力 学
提高火箭特征速度的途径 vc= uln(m0/mk)
第10章
提高喷射速度u，需研制新型推进剂
煤油+液氧 (苏联“卫星号”芯级) u = 3000 m/s 偏二甲肼+红烟硝酸 (长征一号 一.二级) u = 2500 偏二甲肼+四氧化二氮 (长征三号 一.二级) u = 2900 液氢+液氧 (长征三号 三级) u = 4300 m/s
定常流体运动问题
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
基本假设 流体的流动状态(速度场)不随时间变化 流体不可压缩 P1 B v1 不考虑流体的粘性。
质量流率 qm m Av
A
连续性方程 A1v1 A2v2 qm 应用质系动量定理
dvC m F (e) + dm vr dt dt
磅秤指示为已落于磅秤上的链 条重量的三倍
例3
解法二
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
取链条整体为研究对象，应用质系动量定理 求解。 质系动量： p (l x) x
dp (lx xx x2 ) dt lg 3 gx
g x x 2 2 gx
讨论
第10章
同时有质量加入及排出的情况
m 0 dvC (e) m F + mvr mvr dt vr — 排出质量的相对速度
变 质 量 质 系 动 力 学
变质量质系的质心运动定理
mvc F (e) + Φ
Φ dm vr dt
若并入质量，则 与vr同向；若排出质量， 则 与vr反向； — 称为推力或反推力
请思考
d 牛顿第二定律 dt (mv ) F (e) m dv F ( e) dm v dt dt
是否正确?
动力学中确定研究对象的两种方法
第10章
m dv F (e) + dm vr dt dt
m dv F ( e) dm v dt dt
变 质 量 质 系 动 力 学
二者不同，但后者是错误的。因为在应用牛 顿第二定律(以及由它导出的普遍定理)时， 研究对象是由确定质点所组成的系统；显然 其质量是不变的。而在应用变质量质系质心 运动定理时，研究对象是由确定的控制界面 内的质点所组成的系统，界面中的质点是变 化的。这两种确定研究对象的方法在流体运 动学及流体动力学中都有重要应用。第一种 方法称为拉格朗日法，第二种方法称为欧拉 法。
例2
火箭的特征速度
第10章 忽略重力和空气阻力，由燃烧喷射推进剂使
变 质 量 质 系 动 力 学
火箭获得的速度增量，称为特征速度
dv u dm 0 m0 m v u ln(m0 / m)
v
m
mk – 火箭质量 vc – 火箭的特征速度
u
讨论：(1) 特征速度与m的变化规律无关 (2) 增加特征速度的两种途径： 提高喷射速度 u 提高质量比m0 /mk
例1
解
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
(1) 定常运动问题 Av(v cos v) F F Av2 (1 cos )
Av(v sin 0) R R Av2 sin
(2) 叶片有右移速度 u 时 F A(v u)2 (1 cos ) R A(v u)2 sin 工程背景是叶片机，流体的相对运动 仍为定常运动
y x
例4
m(t ) 25 2t
解
第10章 取t时刻水箱和箱中水为研究对象，其质量为
变 质 量 质 系 动 力 学
应用变质量质系质心运动定理
mv qm (v1x v) 2(5 v)
(25 2t )v 2(5 v)
ln 5 v ln 25 2t 5 25
(m m)(vC vC ) (mvC mu) F (e) t v m C m vC m (u vC ) F (e) t t t m v 0 lim 质量连续变化时： t 0 t C dvC m F (e) + dm vr — 密歇尔斯基方程 dt dt vr u vC
第10章
变质量质系动力学
2013年4月22日
工程背景
第10章
神州二号发射成功
2001年1月10日
变 质 量 质 系 动 力 学
变质量质系的质心运动定理
第10章
m
F (e)
F (e)
变 质 量 质 系 动 力 学
u
vC
m m
m
t时刻
vC vC
t + t 时刻
对由m及m组成的系统应用动量#39;
v2
LO ( LO ) A' B ' D' C ' ( LO ) ABDC
v2
[( LO ) A' B ' DC ( LO )CDD' C ' ] [( LO ) ABB1 A1 ( LO ) A1 B1 DC ] ( LO )CDD 'C ' ( LO ) ABB1A1
R
W v 2
D
C
P2
qm (v2 v1 ) R+ P1 + P2 W
流体受到的约束力（红色项为动约束力）
R qm (v2 v1 ) P P2 W 1
定常流体运动问题
第10章
v1 B B1
A A1
v1 B B'
变 质 量 质 系 动 力 学
A A'
r1
O
r1
r2
D C
dv t 2dt 0 5 v 0 25 2t v 10t v(5) 10 25 2t 7
v
y x
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
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