第四章 平面上两条直线的位置关系
湘教版数学七年级下册4.1 平面上两条直线的位置关系(48页)
如图，直线 EF 与 AB，CD 相交， 构成 8 个角.指出图中所有的对顶角、同位角、 内错角和同旁内角. 解 对顶角有∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8； 同位角有∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7； 内错角有∠1和∠6， ∠4和∠5； 同旁内角有∠1和∠5， ∠4和∠6.
4.一个长方体如图. （1）和 AA1平行的棱有多少条？ （2）和 AB 平行的棱有多少条？ （3）和 AD 平行的棱有多少条？请分别表示出来.
解：（1）有 3 条，分别为：BB1 , CC1 , DD1. （2）有 3 条，分别为：A1B1 , C1D1 , CD. （3）有 3 条，分别为：A1D1 , B1C1 , BC.
第4章 相交线与平行线
4.1 平面上两条直线的位置关系
湘教版·七年级数学下册
第4章 相交线与平行线
4.1.1相交与平行
湘教版·七年级数学下册
情情境景导导入入
小明家客厅的窗户由两扇窗页组成，下图表示两扇窗页开合的 状态. 当我们把两扇窗页近似地看成在同一平面内，并且考虑每扇 窗页的四条边所在的直线时，这些直线的相互位置有哪些关系？
a
A
B
C
b
D
1.如图，直线 AB 与 CD 是平行线.记做“ AB∥ CD ”， 这里“ ∥ ”是平行符号. 读做“ AB 平行于 CD ”.
2.若用 a、b 表示这两条直线，那么直线 a 与直线 b 平行，
记做“ a∥ b ”，读做“ a 平行于 b ”.
任意画一条直线 a， 并在直线 a 外任取一点 P． 请画一条 过点 P 且与 a 平行的直线．
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
2.1两条直线的位置关系2
C
如图，过点C作直线AB的垂线，
●
垂足为D，垂线段CD的长度叫
做点C到直线AB的距离。
AD
B
议一议
你知道体育课上体育老师是如何测量跳
远成绩的吗？你能说说其中的道理吗？
垂线段AE的长度就是这位同学的跳远成绩
N
踏E
板
M
B
C
A
D
沙坑
随堂练习
1、如图，∠ABC=900，则AB与BC的位置关系是 _____;AB=6，BC=8,AC=10,则A到BC的距离是 ______,C到AB的距离是_______.
做一做
（2）你能借助直尺在方格纸上画出两条互相垂直 的直线吗？
做一做
（3）你能用折纸的方法得到两条互相垂直 的直线吗？试试看，请说明你的理由。
想一想 画一画
（1）如图，点A在直线l上，过点A画直线l的垂线， 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 你能画出几条？点A在直线l外呢？
P
P
l
A
C BD
2、如图，这是马路上的人行横道线，即斑马线 的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条 线段AC、AB、AD中最短的是_____,道理是 __________
课堂小结
1、什么是垂直？
两条直线相交形成四个角，如果有一个角是直角， 那么称这两条直线互相垂直， 其中一条直线是另 一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2、垂直的表示方法
通常有符号“⊥”表 示
借助三角尺在白纸上画
3、垂线的画法 借助直尺在方格纸上画
用线的性质：
P
P
l
l
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、垂线的性质：
七年级数学下第4章《相交线与平行线》4.1平面上两条直线的位置关系4.1.1相交与平行习题湘教版
You made my day!
我们，还在路上……
第四章 相交线与平行线 4．1 平面上两条直线的位置关系
4．1.1 相交与平行
1. 同一平面内，不重合的两直线的位置关系有两 种：平__行__，相__交__．
2. 平行公理：经过直线外一点有一条并且只有一条 直线与已__知__直__线__平__行__．
3. 推论：若直线 a∥b，b∥c，则_a_∥__c．
10. 如图所示，取一张长方形的硬纸片 ABCD，EF 为折痕，把长方形 ABFE 平放在桌面上，另一个面 CDEF 无 论 怎 样 改 变 位 置 总 有 CD∥AB 存 在 ， 根 据 是 _平__行_于 __同 __一__条__直__线__的__两__条__直__线__互__相__平__行__．
解：由答图①、②、③、④可知，三条直线可以将 平面分成四或六或七部分．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一2022/3/212022/3/212022/3/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/212022/3/212022/3/213/21/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/212022/3/21March 21, 2022
(1)经过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
(2)经过一点有无数条直线与已知直线相交；
(3)经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线
平行；
(4)同一平面内两条直线有且只有一个公共点，则两
高中 平面解析几何 两条直线的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――两条直线的位置关系[巩固]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型二：两直线相交[例]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[巩固]如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a =_____________.解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是_________.解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_____________.解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围 是______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12，∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)， ∴－1m ≤－2或－1m ≥－12，∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)．∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.13．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.14．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,。
两条直线的位置关系-平行和垂直
直线的方程及其性质
直线的方程：一般形式为 Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0。
直线的性质
直线上的任意两点确定的直线方程是 唯一的。
两条不重合的直线，如果斜率相等，则它们平 行；如果斜率之积为-1，则它们垂直。
两条平行线之间的距离是常数，可以 通过公式计算。
两条垂直线的斜率互为相反数的倒数， 即k1*k2=-1。
01
两条垂直相交直线的交角为90度 。
02
在同一平面内，两条直线的交角 的平分线与这两条直线所形成的 四个角中，有一个角是直角。
垂直直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在坐标系中的表示
在平面直角坐标系中，两条垂直相交直线的斜 率互为相反数的倒数。即，如果一条直线的斜 率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
一条直线与y轴垂直，那么它的斜率为 0，可以表示为y=b(b为常数)的形式。
利用方程联立求解交点坐标
01
02
03
04
将两条直线的方程联立，解出 交点坐标；
若方程组无解，则两直线平行 ；
若方程组有唯一解，则两直线 相交于该点；
若方程组有无穷多解，则两直 线重合。
结合图形分析实际问题
在平面直角坐标系中， 画出两条直线的图形；
结合实际问题的背景 和意义，分析两直线 位置关系对问题的影 响。
在三角形 ABC 中，已知 A(0,0)， B(4,0)，C(0,3)。若直线 DE 与 AB 边平行且过点 C，求 DE 所在 直线的方程。
解答
由题意知 AB 边所在直线的方程为 x/4 + y/3 = 1。因为 DE 与 AB 边平行，所以 DE 所在直线的斜率 也为 -3/4。设 DE 所在直线的方 程为 y = -3/4x + b，将点 C(0,3) 代入得 b = 3。所以，DE 所在直 线的方程为 y = -3/4x + 3。
七年级数学下册4.1平面上两条直线的位置关系
c b aBA a CB 4.1.1 相交与平行教学目标1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观念.2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系, 知道平行公理以及平行公理的推论.3.会用符号语言表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.教学重点探索和掌握平行公理及其推论.教学难点对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质.教学过程一、问题情境1．经过一点可以画几条直线？经过两点呢？经过三点呢？2．①两条直线相交有 个交点. ②平面内两条直线的位置关系除相交外，还有哪些呢？ 3．线段AB ＝CD ，CD ＝EF ，那么AB 与EF 的关系怎样？ 二、新课学习（一）平行线1．观察思考：展示学具，在转动a 的过程中，有没有直线a 与直线b 不相交的位置呢？ 2．定义及表示方法：在同一平面内．．．．．．， 是平行线. 直线a 与b 平行，记作 .3．对平行线概念的理解：定义中强调“在同一平面内”，为什么要强调这句话.在同一平面内,两条直线有几种位置关系? 在空间中，是否存在既不平行又不相交的两条直线? （提示：用长方体来说明 ） 4．总结：同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1） （2） . 请你举出一些生活中平行线的例子. （二）画平行线1. 工具：直尺、三角板2. 方法：一“落”；二“靠”；三“移”；四“画”.3．请你根据此方法练习画平行线：已知:直线a,点B,点C. (1)过点B 画直线a 的平行线,能画几条?(2)过点C 画直线a 的平行线,它与过点B 的平行线平行吗? （三）平行公理及推论1．思考：上图中，①过点B 画直线a 的平行线，能画 条； ②过点C 画直线a 的平行线，能画 条； ③你画的直线有什么位置关系？ . 2．平行公理c b aA B · PCD E F①公理内容： . ②比较平行公理和垂线的第一条性质：共同点:都是“ ”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.3．推论： . ①符号语言：∵b∥a，c∥a（已知） ∴b∥c（如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行）②探索：如图,P 是直线AB 外一点,CD 与EF 相交于P.若CD 与AB 平行,则EF 与AB 平行吗?为什么?三、实效训练1．下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.下列推理正确的是 （ ）A ．因为a//d, b//c,所以c//d B.因为a//c, b//d,所以c//d C.因为a//b, a//c,所以b//c D.因为a//b, d//c,所以a//c3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.在同一平面内,两条直线的位置关系有_______ __.5.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________.6.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为_____ ___.7.两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.8.在同一平面内，与已知直线L 平行的直线有 条，而经过L 外一点，与已知直线L 平行的直线有且只有 条. 四、小结与反思1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 2．预习时的疑难解决了吗？ 五、课后作业课本P74.1,P75.2，34.1.2 相交直线所成的角(1)教学目标1.通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和有条理表达能力.2.在具体情境中了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题.教学重难点对顶角相等的性质及应用.教学过程一、问题情境1．在同一平面内的两条直线有几种位置关系？ 2．经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？3．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 即：如果b ∥a ，c ∥a ，那么b c. 二、新课学习1.准备一张纸片和一把剪刀，用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程,握紧把手时, 随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀两刀刃之间的角引发了什么变化? . 如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀刃之间的角又发生什么了变化? .2．如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线, 剪纸过程就关系到两条相交直线所成的角的问题, 阅读课本P 75内容,探讨两条相交线所成的角有哪些?各有什么特征?3.画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类? 例如:（1）∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为 ，称这两个角互为 .用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 （2）∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD 两边的 ，称这两个角互为 .用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 .4.根据观察和度量完成下表: 两直线相交所形成的角分类位置关系数量关系4321ODC BA5.用语言概括邻补角、对顶角概念.的两个角叫邻补角. 的两个角叫对顶角. 6.探究对顶角性质.在图1中,∠AOC 的邻补角有两个，是 和 ,根据“同角的补角相等”,可以得出 = ,而这两个角又是对顶角，由此得到对顶角性质:对顶角相等．．．．．. 注意：对顶角概念与对顶角性质不能混淆，对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.你能利用“对顶角相等”这条性质解释剪刀剪纸过程中所看到的现象吗？O F ED CBA O ED CB A 7.例题示范:如图,直线a,b 相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数. 提示：未知角与已知角有什么关系？通过什么途径去求 这些未知角的度数？,规范地写出求解过程.三、实效训练1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )12121221A.1个B.2个C.3个D.4个2.如右图,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O, ∠AOD 的对顶角是_____, ∠AOC 的邻补角是_______，若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______，∠AOE+∠DOB+∠COF=_____.3.如图，直线AB,CD 相交于O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,•求∠EOB 的度数.四、小结与反思 本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 五、课后作业 课本P 78 4，5.4.1.2 相交直线所成的角(2)教学目标1．理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们2．通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力3．使学生认识图形是由简到繁组合而成，培养学生形成基本图形的结构的能力教学重难点三线八角的意义是重点，能在各种变式的图形中找出这三类角既是重点，也是难点教学过程一、问题情境1．两条直线相交后产生了几个角?每两个角之间的关系是什么? 2．三条直线之间也可以有什么样的位置关系?上节课是对相交的两条直线所形成的四个角进行研究，今天我们就对三条直线相交后形成的八个角进行研究，简称为：三线八角。
两条直线的位置关系
命题点 2 点关于直线对称 例 3 如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射
到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )
A．3 3
B．6
C．2 10
D．2 5
解析：直线 AB 的方程为 x＋y＝4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关 于 y 轴的对称点为 C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝ 62＋22＝2 10.
6．点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y， －x)．
7．点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b －y)． 8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 9．点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称 点为(k＋y，x－k)．
答案：－2 2
题组三 易错排查 5．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m 等于( )
A．2
B．－3
C．2 或－3
D．－2 或－3
解析：直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有m2 ＝m＋3 1≠－42，
故 m＝2 或－3.故选 C.
【思维升华】 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般 情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意 x，y 的系数不能同时为 零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
湘教版七年级数学下册_4.1 平面上两条直线的位置关系
特别提醒 ◆同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没
有公共顶点，但有一条边落在同一条直线上. ◆两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同
位角、2对内错角、2 对同旁内角.
感悟新知
例5 如图 4.1 － 6，结合图形解答下列问题： (1) ∠ 1 与∠ 2 是直线______ 和直线_______
知4－练
感悟新知
知4－练
方法点拨 在进行角的计算时，“对顶角相等”这个结论
常常被用来将要求的角和特征相同的两个角转化成 与已知条件相关的角来求解，即对顶角构建了一个 已知条件和待求结论之间的 “桥梁”.
感悟新知
知识点 5 同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角和同旁内角的识别如下表：
知5－讲
感悟新知
角的名称 位置特征
在截线同侧， 同位角 在被截两直
线同方向
内错角
在截线两侧 (交错)， 在被截两直 线之间
在截线同侧， 同旁内角 在被截两直
线之间
基本图形
图形结构特征知5－讲
形如字母“F” (或倒置、反置、 旋转)
形如字母“Z” (或倒置、反置、 旋转)
形如字母“U” (或 倒置、反 置、旋转)
感悟新知
4. 特征法： 看其是否符合“ F”“Z”“ U” 形特征； 5. 方位法： 同位角：同左、同上，同左、同下，同右、
同上，同右、同下；内错角：同内、异侧；同 旁 内 角： 同 内、 同侧 .
课堂小结
平面上两条直 线的位置关系
平行线的概念
平行线的 基本事实
平行线的基 本事实的推论
平面内 两条直 线的位 置关系
感悟新知
知3－练
方法点拨 判定两条直线平行的方法： 1. 若涉及相交问 题，则常用平行线的基本事实； 2. 若涉及三条直线的位置关系问题，则常用平行线的基本
两条直线的位置关系(基础)知识讲解
两条直线的位置关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，在正方体中：（1）与线段AB平行的线段_________；（2）与线段AB相交的线段______；（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；（2）BC、B B1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D、B1C1、CC1．【解析】（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．（2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段．【总结升华】考查平行线与相交线的定义．类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．【答案与解析】解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠3＝∠1＝65°，同理，∠4＝∠2＝115°．综上得，∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．【答案】解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得3x+2x＝180°．解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．答：这两个角的度数分别是108°，72°．类型三、垂线3．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交，则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠COE＝55°．则∠BOD的度数为().A．40°B．45°C．30°D．35°【答案】D【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE 的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．5.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
直线和平面的位置关系
o
证明：反证法.
设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
a // b, a , b .
设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
例2 已知一条直线l 和一个平面平行. 求证: 直线 l 上各点到平面的距离相等(如图).
证明: 过直线l上任意两点A, B
a
无数个
a∥
没有
a=A
一个
a
一个
一、直线和平面平行
1、直线和平面平行的判定 直线 和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行。
如 图 已 知l , m ,
l
且l//m.
求 证： l //
m α
如 图 已 知l , m ,
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
例 如图，P 是平面外一点， 过P分别作 平面的垂线PO、 斜线PA、 PB,O是垂足，A、B
是斜足.PO 8, PA 16, PB 10. 求直线PA、 PB 分别和平面所成的角的度数（ 精确到分）。
平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线逆定理
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这 条斜线的射影垂直。
PA⊥α
aα
①
PA⊥a
PO⊥a
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
P a
Ao α
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
四年级数学上第四章平行相交知识点总结
第四章相交与平行知识点总结1.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交。
注意：垂直是特殊的相交。
例题：1.两条平行线无限延长就可以相交。
（）2.两条直线不相交就一定平行。
（）2.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
例题：1.永不相交的两条直线叫做平行线。
（）2.一条直线可以看成平行线。
（）3.在同一平面内，有且只有一个交点的两条直线相交。
例题：1.如果两条直线互相垂直，那么它们一定相交。
（）2.如果两条直线有无数个交点，那么它们相交。
（）4.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
例题：1.两条直线互相垂直，其中一条叫做垂线。
（）5.过直线外一点，可以画1条直线与已知直线平行。
过直线外一点，可以画1条直线与已知直线垂直。
过直线外一点，可以画无数条直线与意志直线相交。
过直线外一点，可以画1条垂直线段。
6.过直线上一点，可以画0条直线与已知直线平行。
过直线上一点，可以画1条直线与已知直线垂直。
过直线上一点，可以画无数条直线与已知直线相交。
例题：1.过直线外一点，可以画无数条直线与已知直线平行。
（）2.过直线外一点，可以画无数条直线与已知直线垂直。
（）3.过直线外一点，可以画无数条直线与已知直线相交。
（）4.与已知直线平行的线有一条。
（）5.与已知直线垂直的线有一条。
（）6.与已知直线相交的线有一条。
（）7.两条直线相交有1个交点，三条直线相交最少有1个交点，最多有3个交点。
四条直线相交最少有1个交点，最多有6个交点。
8.两点之间，线段最短。
例题：1.两点直线，直线最短。
（）9.两点之间的线段的长度是两点之间的距离。
例题：1.两点之间的线段是两点之间的距离。
（）10.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫点到直线的距离。
从直线外一点到这条直线所画的线中，垂直线段最短。
例题：1.从一点到一条直线的线段就是点到直线的距离。
高一数学 平面内两条直线的位置关系
所求直线方程为 2x 3y 10 0.
思考：与直线Ax By C 0平行的直线可表示为： Ax By C/ 0, (C/ C)
课堂练习
1、下列各组直线中，两条直线互相平行 的是（D ）
A、y=3x+1与2y-6x-2=0
B、y=-x与2x-2y+5=o
7.3 平面内两直线位置关系(1) -----两条直线平行和直线的位置关系：
相交 (特殊：垂直） 平行 重合
1.平行
设直线l1和l2分别有如下的斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2 .
如果l1∥ l2 则b1 b2 ,
满足l1 l2
当a
0时，l1
:
y
1 a
x
2a a
2
,
l2
:
y
ax
a
1
l1 l2
( 1 ) (a) 1 a无解 a
所以a 0
例6.已知△ABC的顶点坐标为A(1,2),B(-1,1),C(0,3),求BC边上 的高所在的直线方程.
例7.已知两点A（7，－４），B（－5，6），求线段AB的 垂直平分线的方程.
当直线l1和l2有斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，
直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2 且b1≠b2
直线l1与l2的重合充要条件是 k1=k2 且b1＝b2.
当直线l1和l2 没有斜率时，直线l1和l2 均 垂直x轴，不妨设这两条直线的方程为 x= a1 ，x= a2 ,
一般地，与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+m=0,其中m待定.
直线与平面的位置关系
直线与平面平行第1页共6页直线与平面的位置关系知识点：1．直线与平面的位置关系；2．直线与平面平行的判定定理与性质定理； 3．线面平行的应用； 教学过程：1．直线与平面的位置关系；（1）直线在平面上：l α⊂---直线与平面有无数个交点；（2）直线在平面外：①l P α= ---直线与平面相交，只有一个交点；②//l α---直线与平面平行，没有交点；2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； （线线平行⇒线面平行） 已知：,,//a b a a b α⊄⊂ 求证：//a α 证明：（反证法）说明：用符号表示为：////a b a a a b αα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭例1.（1）直线α//,//111l l l ，则2l 与面α的位置关系是 ；（2）下列说法中正确的是 ①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；②若直线l 在平面α外，则α//l；直线与平面平行第2页共6页BDFEAml βα③若α⊂221,//l l l ，则α//l ；④若α⊂221,//l l l ，则l 平行于α内无数条直线；(3).下列命题不正确的是 ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；②若直线α//l，则l 与平面α内任意一条直线平行；③若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也和这个平面平行； ④若一条直线l 和平面α内的一条直线m 平行，则α//l；例2.如图，已知,E F 分别是三棱锥A B C D -的侧棱,AB AD 的中点. 求证：//E F 平面BC D ．例3．在正方体ABCD D C B A -1111中，O 为底面A B C D 的中心。
求证：111//OC AB D .例4．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；已知：//l α，l β⊂，m αβ= ，求证：//l m ． （线面平行⇒线线平行）----线面平行的性质定理；说明：用符号表示为：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒ 。
平面上直线的位置关系教案
4.11相交与平行教学设计教师：李雪一、教学目标：知识与技能：结合具体情境，了解平面内两条直线的平行与相交（包括垂直）的位置关系。
能正确判断互相平行、互相垂直，正确理解相交现象，尤其是看似不相交，实际相交的现象。
过程与方法：在探索活动中，培养观察、操作、想象等能力，发展初步的空间观念。
情感态度与价值观：引导学生树立合作探究的学习意识，体会到数学的应用和美感，激发学生的学习兴趣。
二、教学重难点：重点：正确理解“同一平面”“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
难点：相关现象的正确理解（尤其是对看似不相交，而实际上是相交现象的理解）。
三、教学过程：（一）、课前铺垫，明确“互相”的含义和“位置”的意思。
师：在课堂上，我是老师，你们是学生，我们之间是什么关系（师生关系），你们之间是什么关系（同学关系），**和**在一个座位上，他们两个是什么关系？（同桌关系），我们叫他们互为同桌，也就是互相叫做同桌。
单独一个人能叫互相吗？“互相”一般指两个人的关系，一个人不能叫互相。
同桌关系与什么有关？（与两个人所坐的位置有关）。
（二）、复习旧知，引入新课前面我们已经学习了直线，知道了直线的特点，谁能说一说直线有什么特点？（没有端点，可以向两端无限延长，不可以测量）今天咱们继续学习直线的有关知识，一起研究两条直线的位置关系。
（三）、画图感知，研究两条直线的位置关系1、学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。
（1）、师：老师这儿有一张纸，如果把它想象成一个无限大的平面，闭上眼睛，想象一下，在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线。
想一想，这两条直线的位置关系有哪几种不同的情况？（1、学生想象2、小组交流）（2）、师：每个组都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你们刚才交流的结果画下来。
注意，一张白纸上只画一种情况。
开始吧。
（学生试画，教师巡视）。
2、观察分类，初步感知相交、平行两种位置关系。
平面内两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系一、定义在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系指的是两条直线所在的平面上，它们之间的相对位置关系。
二、平行关系1.定义如果两条直线在同一平面内且不相交，则这两条直线是平行的。
2.特征① 两条平行直线的斜率相等；② 两条平行直线之间的距离是恒定的。
3.判断方法判断两条直线是否平行，可以通过比较它们的斜率是否相等来确定。
如果斜率相等，则它们是平行的；反之则不是。
三、垂直关系1.定义如果两条直线在同一平面内且相交成90度角，则这两条直线是垂直的。
2.特征① 两条垂直直线之间的乘积为-1；② 一条垂直于x轴或y轴上的直线与另一条垂直于y轴或x轴上的直线互为垂线。
3.判断方法判断两条直线是否垂直，可以通过比较它们的斜率乘积是否为-1来确定。
如果乘积为-1，则它们是垂直的；反之则不是。
四、相交关系1.定义如果两条直线在同一平面内且不平行，则这两条直线相交。
2.特征① 两条相交直线之间的夹角是非零的；② 两条相交直线之间的距离是变化的。
3.判断方法判断两条直线是否相交，可以通过比较它们的斜率是否相等来确定。
如果斜率不相等，则它们是相交的；反之则不是。
五、平面内一般位置关系1.定义如果两条直线在同一平面内，既不平行也不垂直，则这两条直线处于一般位置关系。
2.特征① 两条一般位置关系的直线之间不存在任何特殊规律；② 可以通过求出它们的交点来确定它们的具体位置关系。
3.判断方法判断两条直线是否处于一般位置关系，可以通过先判断它们是否平行或垂直，如果都不是，则它们处于一般位置关系。
然后可以通过求出它们的交点来确定它们的具体位置关系。
六、总结以上就是平面内两条直线的位置关系及其特征和判断方法。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的方法来判断两条直线的位置关系，以便更好地解决问题。
两条直线位置关系判断方法
两条直线的位置关系判断方法设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=++=一．行列式法 记系数行列式为1122,a b D a b =1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 和2l 相交⇔0D ≠ 1221b a b a ≠⇔1l 和2l 平行⇔0,0x D D =≠或0,0y D D =≠1l 和2l 重合⇔0===x y D D D二．比值法1l 和2l 相交⇔2121b b a a ≠()0b ,a 22≠； 1l 和2l 垂直⇔0b a b a 2211=+；1l 和2l 平行⇔212121c c b b a a ≠=()0c ,b ,a 222≠；1l 和2l 重合⇔212121c c b b a a ==()0c ,b ,a 222≠三．斜率法111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ⇔与相交21k k ≠ ；12l l ⇔与平行2121b b k k ≠=，12l l ⇔与重合2121b b k k ==，；12l l ⇔与垂直-1.=21k k ;特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；（3）两条直线平行⇔它们的斜率均存在且相等或者均不存在；（4）两条直线垂直⇔他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；例题分析1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ B ）A.平行的两条直线的斜率一定相等B.平行的两条直线倾斜角相等C.两直线平行的充要条件是斜率相等D.两直线平行是他们在y 轴上截距不相等的充分条件分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y 轴上的截距，反之显然不成立；2、若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a1，a2，斜率分别为k1，k2，则下列命题（1）若l1∥l2，则斜率k1=k2；（2）若斜率k1=k2，则l1∥l2；（3）若l1∥l2，则倾斜角a1=a2；（4）若倾斜角a1=a2，则l1∥l2；其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（ C ）A．1 B．2 C．3 D．4分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l2为两条不重合的直线3、已知两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，给出如下四个命题：①若sinα1=sinα2，则l1∥l2②若cosα1=cosα2，则l1∥l2③若l1⊥l2，则tanα1•tanα2=﹣1④若l1⊥l2，则sinα1sinα2+cosα1cosα2=0其中真命题是…………………………………………………………………………（ B ）A．①③B．②④C．②③D．①②③④0，，所以不一分析：①sinα1=sinα2，可知α1=α2或α1 +α2 =π，因为倾斜角α1，α2的范围[)π定推出；0，，所以可以推出；②cosα1=cosα2 ,可知α1=α2，因为倾斜角α1,α2的范围[)ππ，致使斜率不存在；③如果成立的话，必须斜率存在，可是α1=π，α2 =2④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，π，此时也成立；下证，不妨设α1=π，α2 =24、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+，记3k 2k )2k (3D -+-=.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的…………………………… ( A )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件 ；C ．充要条件;D ．既不充分也不必要条件5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合，则12l l ∥的充要条件( C ）A. 1a =-；B. 12=a ； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论当0a =时，1:2=l x ；2:1=l y ，此时垂直，不满足条件，舍去当1a -=时，1:0-=l x y ；2:0-=l y x ，此时重合，舍去当10a -，≠时，12122111+⇔=≠⇔=+a a l l a a a ∥ 法2.())1a (1a 2D );1a (2a D ,a 1D y x 2+-=+-=-=）（1a =⇔ 类似也可以用斜率法，此时只需要讨论0a =和0a ≠两种情况6、直线,01by x :l ,01y ax :l 21=-+=++则1ba -=是21l l ⊥的………………………………（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析：⇔⊥21l l 0b a =+7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………（ C ）A.充分不必要条件;B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：(比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母)直线ax+2y=0平行于直线x+y=1⇔ 10121a ≠=2a =⇔ 8.已知直线()01m 4y )m m (x )3m m 2(:l 221=---+-+与直线()R a 03y )1a (x 2:l 2∈=+--(1)m 为___1m ≠且98m ≠-__时，21l l 与相交；(2)m 为__6- __时，21l l 与垂直；分析：直线方程含有参数m ，故必须保证这个方程表示的是直线（y ,x 前面的系数不全为零),故1≠m (1)21l l 与相交⇔98≠-m ; (2)21l l 与垂直⇔6=-m9、已知直线()R ααsin x y :l 1∈=和直线c x 2y :l 2+=，则下列关于直线21l ,l 关系判断正确的有____.③____①．通过平移可以重合；②不可能垂直；③可能与x 轴围成直角三角形；分析：①如果两条直线平移之后可以重合，就必须满足斜率相同，可是2αsin ≠②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1，此时12αsin -=⋅，6π5α= ③由第②问中，可知这两条直线有可能垂直，故可能与x 轴围成直角三角形，因为只要有一个角是直角就可以啦；10、若直线l 1：2x+（m+1）y+4=0与直线l 2：mx+3y ﹣2=0平行，则m 的值为（ C ）A ．﹣2B ．﹣3C ．2或﹣3D ．﹣2或﹣3分析：同第5题11、已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是…………………………………………（ B ）A ． 无论k ，P 1，P 2如何，总是无解 B ． 无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解 C ． 存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解 D ． 存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解 分析：此时使用行列式法，否则用其他方程需要讨论，因为要保证使用条件，故下面只需要先判断1221b a b a -是否为0证： 因为 P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点并且直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a 1≠a 2，并且b 1=ka 1+1，b 2=ka 2+1，∴a 2b 1﹣a 1b 2=a 2 (ka 1+1)-a 1 (ka 2+1)=ka 1a 2﹣ka 1a 2+a 2﹣a 1=a 2﹣a 1∴方程组有唯一解．。
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第四章平面上两条直线的位置关系4.1.1 相交与平行教学目标1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；2．理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容；3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；重点：理解并掌握平行公理难点：理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容教学过程一、复习提问相交线是如何定义的？二、新课引入平面内两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？制作教具，通过演示，得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念．三、同一平面内两条直线的位置关系1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．（画出图形）2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行．3．对平行线概念的理解：两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．一个前提：对两条直线而言．4．平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．四、平行公理1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．提问垂线的性质，并进行比较．3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．五、三线八角由前面的教具演示引出．如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．七、小结让学生独立总结本节内容，叙述本节的概念和结论．八、课后作业1．教材P19第7题；2．画图说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点情况．[补充内容]1．试说明，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2．在同一平面内，两条直线的位置关系仅有两种：相交或平行．但现实空间是立体的，试想一想在空间中，两条直线会有哪些位置关系呢？（用长方体来说明）4.1. 2相交直线所成的角教学目标：1．理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念。
能准确地找出三条直线相交所构成的八个角的关系。
2．理解对顶角相等的性质。
3．会运用对顶角相等及等量代换的性质得到三条直线相交所得8个角之间的等量关系及互补关系。
教学重点：三条直线构成的角的关系，对顶角相等的性质。
教学难点：准确地找出三条直线构成的8个角之间的关系，用对顶角相交及等量代换得到它们之间的等量关系。
教学过程：一、复习1、在同一平面内的两条直线有几种位置关系？2、经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行即：如果b∥a，c∥a，那么b ∥c。
二、讲授新课1、做一做（P54的内容） 22、对顶角的概念 3 1如图∠1与∠3有共同的顶点O，其中一个角的两边分别 4是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
C B3、学生从做一做中得出相应的结论，也可从简单的推理中得到：对顶角相等。
∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。
M4、说一说：生活中的对顶角5、画直线AB、CD与MN相交，找出它们中的对顶角。
6、讲解同位角、内错角、同旁内角的概念7、假设直线AB，CD被MN所截，有一对同位角相等比如说∠1＝∠5，找出图形中相等的角或互补的角。
8、应用“对顶角相等”及“等量代换”及等式的性质，可以得出相应的一些结论：（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角也相等，同旁内角互补。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么其他几对内错角也相等，并且同位角也相等，同旁内角互补。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么另一对同旁内角也互补，并且同位角相等，内错角也相等。
D三、练习及小结1、练习P56练习1、2题2、补充：如图，直线AB，AC被DE所截，则∠1同位角，那么∠6和是内错角，∠67 5如果∠5=∠2，那么∠4 ∠6。
后记：4.2 平移教学目标1、通过具体实例认识平移，知道平移不改变图形的形状、大小。
2、认识和欣赏平移在现实生活中的应用。
3、经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念。
4、渗透一些数学思想方法：运动变化思想、化归思想。
5、体会平移来源于生活，又为创造更美好的生活而服务。
教学重点：理解平移的定义教学难点：理解平移不改变图形的形状、大小学法指导：引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好的理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力。
教学过程：一、情境导入在我们的生活中有许多现象，如开关抽屉、推开铝合金窗、推拉木门、自动门开关、乘坐手扶电梯。
这些物体作了什么运动呢？二、讲解58的观察图形思考问题：1、被推移的窗页上的每一个点，是不是都按相同的方向移动了相同的距离？2、窗页上的图案的形状和大小发生了变化吗？3、A、B两点的距离改变了吗？4、直线AB移到直线A′B′后，方向改变了吗？三、讲解平移的概念1、从上述问题中归纳：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫作平移。
2、上例中的平移中的对应点A与A′，B与B′等等，原来的图形叫作原像，在新位置的图形叫作该图形在平移下的像。
3、平移的特点：平移不改变图形的形状和大小。
平移还不改变直线的方向。
归纳：（1）平移把直线谈成与它平行的直线。
（2）两条平行直线中的一条，可以通过平移与另一条重合。
4、要求学生叙述生活中平移的例子。
四、练习和小结1、动手操作：（1）在桌面上将手中的三角板沿刻度尺向右平移2cm（2）在桌面上将手中的三角板沿刻度尺向左平移3cm。
2、P59的练习题A组1题第3、4题五、布置作业P59 A组题第2题补充：画一个三角形，（1）将这个三角形向右平移2厘米（2）将原来的三角形向下平移3厘米。
后记：X k B 1 . c o m4.3 平行线的性质教学目标：1、使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算。
2、通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力。
3、培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性。
教学重点：平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点．教学难点：正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点．教学过程：一、复习1、两条直线被第三条直线所截，形成了一些什么角？画图说明这些角的关系如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么得到的这些角又有什么关系呢？这就是我们这节课所要研究的问题。
二、讲授新课1、P61页的“做一做”(1)用量角器量出下面的两组角的大小。
图1 图2(2)上面的两组角都是同位角。
请同学们画两条平行线，然后画两条直线和平行线相交，用量角器测量一下，它们产生的几组同位角是否相等？2、猜想与探索(1)根据上述的测量，你能猜想得出什么结论吗？(2)上图1，将∠1沿着FE方向作平移，使M点移动到N点重合，则有CD∥AB，这时∠1变成了∠2，因些∠1=∠2。
归纳：平行线性质 1 两条平行线被第三条线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
(3)因为∠1=∠2，又因为∠2=∠3(对顶角相等)，所以∠1=∠3。
归纳得到平行线性质2 两条平行线被第三条线所截，内错角相等。
简单地说成：两直线平行，内错角相等。
(4) 因为∠1=∠2，又因为∠2+∠4=180°(平角定义)，所以∠1+∠4=180°。
归纳得到平行线性质3 两条平行线被第三条线所截，内旁内角互补。
简单地说成：两直线平行，同旁内角互补。
3、完成P62的“做一做”的填空。
4、讲解P62的例题例如图，在A、B两在之间要修建一条公路，在A地测得公路的走向是北偏东80°，即∠A=80°。
现在要求在A、B两地同时施工，那么在B地公路走向应按∠B等于多少度施工？分析后写出解题过程：解：因为AC，BD方向相同，所以AC∥BD。
∠A与∠B是同旁内角，所以∠A +∠B=180°从而∠B =180°－∠A＝180°－80°＝100°答：在B地应按∠B＝100°方向施工。
三、小结与练习1、P63练习1、2题2、课堂小结四、布置作业P67 A组题1、3题后记：4.4平行线的判定(1)教学目标：1、了解推理、证明的基本格式，掌握平行线判定方法的推理过程。
2、学习简单的推理论证说理的方法。
3、通过简单的推理过程的学习，培养学生进行数学推理的习惯和方法，同时培养提高学生“观察－分析－推理－论证”的能力。
教学重点：平行线判定方法1的推理过程及几何解题的基本格式教学难点：判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式。
教学过程：一、复习引入1、叙述平行线的性质定理1－3，借助图形用数学语言表达。
2、对顶角相等是成立的，反过来“相等的角是对顶角”也成立吗？那么我们知道了“两直线平行，同位角相等”是成立的，反过来“同位角相等，两直线平行”是否还成立呢？这就是我们今天所要学习的内容。
二、探究新知1、观察。
P64教材的观察学生动手量一量，再回答提出的问题。
2、探究“两直线平行，同位角相等”是成立的，反过来“同位角相等，两直线平行”是否还成立呢？如下图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，有一对同位角相等，即∠END＝∠EMB，那么AB与CD平行吗？过N作直线m平行于AB，则∠ENG＝∠EMB，由于∠END＝∠EMBm G 因此，∠ENG＝∠END，从而直线m与CD重合，因此CD∥AB。
图a 图b判定方法1 两直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行。
3、新知应用P64的例1 如图，已知∠1＋∠2＝180°，AB与CD平行吗？为什么？分析：如果要得到平行，只要证明∠2＝∠3就可以了。
解：因为∠2与∠1的补角，而∠3是∠1的补角，所以∠2＝∠3，从而AB∥CD（有一对同位角相等，两直线平行）P64例2如图，已知∠1＝∠2，说明为什么∠4＝∠5。
分析：如果∠4＝∠5，那么要证明直线a与直线b 平行，而要证明直线a与直线b平行，就要证明∠1＝∠3而∠2＝∠3，∠1＝∠2，所以∠1＝∠3。