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《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列(公开课课件)
教师备选
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数， 所以 an＋1＋an>0，所以aan＋n＋2＋1＋aan＋n 1＝3，
第六章
考试要求
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的 公比 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 aan＋n1＝q (n∈N*， q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那 么 G 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
则aa34qq22－ －aa34＝ ＝1224， ，
① ②
②①得aa34＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以 a1＝aq32＝1，下同方法一.
(2)(2019·全国Ⅰ)记 121
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1＝31，a24＝a6，则
S5
＝___3_____.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12， 此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝1212××33n＋n1＝3，
等比数列的定义PPT教学课件(1)
例1：求下列各数的等比中项 (1)7 3 5与7 3 5 （2）a4 a2b2与b4 a2b2(a 0,b 0)
（3）若三个数为x,2x+2,3x+3成等比数列， 则x=__
(1) G2 (7 3 5)(7 3 5) 4
G 2
(2)G ab(a2 b2 )
（3）若三个数为x,2x+2,3x+3成等比数列， 则x=__
大雪三日，湖中人鸟声俱绝。
下了三天大雪，湖中游人全无，连鸟声也都 听是雪不日。见更了定。矣，余拿一小舟，拥毳衣炉火，独往湖心亭看
这一天天刚刚亮，我划着一只小船，穿着皮袍， 带雾着淞沆火砀炉，，天一与个云人、去与山湖、心与亭水欣，赏上雪下景一白。。 树挂晶莹，白气弥漫，天、云、山、水，上上下 湖下上一影片子雪，白惟。长堤一痕，湖心亭一点，与余舟一芥，舟
作者选择那四个镜头来精心描画雪中景物的？
“长堤一痕”“湖心亭一点”
“余舟一芥”“舟中人两三粒”。
作者通过这些高度准确而形象的数量词，暗写出视线的 移动、景物的变化，让人觉察出小船正在夜色中缓缓前 进，空间正在不断地位移，这样既创造出一种梦幻般的 朦胧意境，又使人感到在这个混沌一片的冰雪世界中， 人只不过渺如一粟，这正是作者极力要抒发的人生感慨。 此段的表现手法，作者虚实并用，长堤一痕、湖心亭一 点，是实写，是作者在舟中远眺所见；余舟一芥、舟中 人两三粒却是虚写，是作者假设自己站在湖心亭上，悬 想自己刚才在舟中行进时的情形。这样虚虚实实，更给 人一种朦胧苍茫的夜间观雪感受
q 2或q 1 2
所求得三数为： 2，4，8或 8，4，2
课堂练习：
一：解答题
(1)一个等比数列的第9项是 4,公比是 ,
求它的1 第6项;
等比数列的概念(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
an 2
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
高三一轮复习等比数列课件
判断性质
根据通项公式判断等比数 列的性质，如公比、项数 等。
求解问题
利用通项公式解决等比数 列相关的问题，如求和、 判断单调性等。
特殊等比数列的通项公式
等差等比混合数列
该数列前n项中，有一部分是等差数列，一部分是等比数列，需要分别推导等 差部分和等比部分的通项公式，再结合得到混合数列的通项公式。
平方数列
算法优化
在计算机性。
05 等比数列的习题与解析
基础习题
基础习题
1. 题目：已知等比数列 { a_n } 中，a_1 = 2，a_3 = 8， 则 a_5 = _______．
3. 题目：已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和为 S_n，且 S_3，S_9，S_6 成等差数列，则 a_2a_8 = _______．
高三一轮复习等比数列课件
目录
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列在实际生活中的应用 • 等比数列的习题与解析
01 等比数列的定义与性质
等比数列的定义
等比数列的定义
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等 ，记作 a_n/a_(n-1)=r（常数） 。
分段等比数列求和
对于一些分段等比数列，需要分段进行求和，并注意分段点处的连 续性。
04 等比数列在实际生活中的 应用
等比数列在金融中的应用
复利计算
等比数列可以用于计算复利，帮 助投资者了解投资收益的增长情
况。
保险计算
保险公司在计算保险费用和赔付 时，常常使用等比数列来计算未
来价值和赔偿金额。
股票分析
等比数列的表示
通常用英文字母q表示等比数列的 公比，用a_1表示第一项，用n表 示项数。
等比数列(53张PPT)
⇐把an＋1＝2an＋1变形为an＋1＋1＝2(an＋1)
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第二章 2.4 第1课时
系列丛书
[解]
(1)∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)． an＋1＋1 ∴ ＝2. an＋1 ∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an＋1＝(a1＋1)qn－1＝2· 2n－1＝2n， ∴an＝2n－1.
Байду номын сангаас
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第二章 2.4 第1课时
系列丛书
[点评]
证明一个数列是等比数列的常用方法．
an＋1 an (1)定义法： a ＝q(常数)或 ＝q(常数)(n≥2)⇔{an} a n n －1 为等比数列． (2)等比中项法：a 等比数列． (3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N＋) ⇔{an}为等比数列．
n－1 a q 通项公式是an＝ 1 .
3．等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成 等比数列 ，则G叫做x和y的 等比中项．
2 G (2)如果G是x和y的等比中项，那么 ＝xy，即G＝± xy .
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第二章 2.4 第1课时
系列丛书
思考感悟
1．如何理解等比数列的定义？
∴数列{an}是等比数列．
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第二章 2.4 第1课时
系列丛书
[错因分析] 忽略了由Sn求an需n≥2，除此之外，还要 保证从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一非零 常数．
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等比数列定义及性质PPT课件
a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
(2) 2，2
2 , 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
(3)
1,
1 2
,Байду номын сангаас
1 4
,
1 8
,
…
.
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
用什么方法推出的呢？
.
2
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
.
5
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做 等比数列
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
(2) 2，2
2 , 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
(3)
1,
1 2
,Байду номын сангаас
1 4
,
1 8
,
…
.
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
用什么方法推出的呢？
.
2
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
.
5
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做 等比数列
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__
等比数列的概念优秀课件
n a S 3 c， （1）、设数列 n 的前项和为 n 若a n 是等比数列，求 c 。
（2）、已知 a n 是无穷等比数列，公比 a a , a a , a a , 1 2 3 4 5 6 为q ，在数列 a n 中， ， 组成一个新数列，这个数列是等比数列 吗？如果是，它的公比是多少？结论可 以推广吗？
a n
复习数列的有关概念2 如果数列 a n 的第n项 a n 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
S a a a a a n 1 2 3 n 1 n 叫做数列 a n 的前n项和。
n1 ) S 1( a n S n2 ) n S n 1(
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
等比数列(一) --等比数列概念
等比数列的概念
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a 1 表示，
第2项用 a 2表示 …，第n项用 a n 表示， …， 数列的一般形式可以成： a 1 , a 2 , a 3 , …， a n , … ， 简记：
a a ( 是与 n 无关的数或式子 n 1 n d
a n 的前n项和
A
（2）、已知 a n 是无穷等比数列，公比 a a , a a , a a , 1 2 3 4 5 6 为q ，在数列 a n 中， ， 组成一个新数列，这个数列是等比数列 吗？如果是，它的公比是多少？结论可 以推广吗？
a n
复习数列的有关概念2 如果数列 a n 的第n项 a n 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
S a a a a a n 1 2 3 n 1 n 叫做数列 a n 的前n项和。
n1 ) S 1( a n S n2 ) n S n 1(
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
等比数列(一) --等比数列概念
等比数列的概念
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a 1 表示，
第2项用 a 2表示 …，第n项用 a n 表示， …， 数列的一般形式可以成： a 1 , a 2 , a 3 , …， a n , … ， 简记：
a a ( 是与 n 无关的数或式子 n 1 n d
a n 的前n项和
A
数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt
电路设计
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
等比数列概念及性质.ppt
1 n ( ) 6
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 ;bn 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,...
2
3
×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x
3
2 1
0
· ·
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
等比数列的概念及通项公式.ppt
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
①
1，1，1，1，1 ，...... 2 4 8 16
②
1,20,202,203,204,205,...... ③
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_12_;
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2_0_;
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
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看两个数列： 3，9，27，81，……；
1 , 1 , 1 , 1 ,L ; 2 4 8 16
它们的共同特点是：
从第二项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q (q≠0)表示。
a1 a2 a3 a4
a n 1
等比数列的通项公式为
an a1 qn1
题型二：等比数列判断
例2．已知数列{an}的通项公式为an=3×2n，试 问这个数列是等比数列吗？
题型三：等比数列通项公式
练习： (1)a4 27, q 3,求a7; (2)a2 18, a4 8,求a1和q; (3)a5 4, a7 6,求a9; (4)a5 a1 15, a4 a2 6,求a3.
等比中项
如果三个数x，G，y组成等比数列，则G 叫做x和y的等比中项.
如果G是x和y的等比中项，那么 G y xG
即G2=xy，
显然两个正数(或两个负数)的等比中项有 两个，它们互为相反数，
一个正数和一个负数没有等比中项。
在一个等比数列中，从第2项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等比中项。
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(7) 1, x, x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
an1
方法二:迭代法
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1qn1
等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q, 那么根据等比数列的定义得到
当n≥2 时：
a2 a3 a4 a5 an q
等比数列的定义
1. a2 a3 a4 a5 an q
a1 a2 a3 a4
a n 1
2. an q (n 2)
an1
或
an1 q (n 1)
an
题型一：等比数列定义
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
题型四：等比中项
归纳小结
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a4
…
a3…
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 (n 1)d
方法二:(迭代法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
an 等比数列通项公式的推导：an1
q n
2
方法一:累乘法
a2 q
aa31 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q
1 , 1 , 1 , 1 ,L ; 2 4 8 16
它们的共同特点是：
从第二项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q (q≠0)表示。
a1 a2 a3 a4
a n 1
等比数列的通项公式为
an a1 qn1
题型二：等比数列判断
例2．已知数列{an}的通项公式为an=3×2n，试 问这个数列是等比数列吗？
题型三：等比数列通项公式
练习： (1)a4 27, q 3,求a7; (2)a2 18, a4 8,求a1和q; (3)a5 4, a7 6,求a9; (4)a5 a1 15, a4 a2 6,求a3.
等比中项
如果三个数x，G，y组成等比数列，则G 叫做x和y的等比中项.
如果G是x和y的等比中项，那么 G y xG
即G2=xy，
显然两个正数(或两个负数)的等比中项有 两个，它们互为相反数，
一个正数和一个负数没有等比中项。
在一个等比数列中，从第2项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等比中项。
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(7) 1, x, x2, x3, x4, L (x 0) 是,公比 q= x
an1
方法二:迭代法
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
an a1
qn1
an a1qn1
等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q, 那么根据等比数列的定义得到
当n≥2 时：
a2 a3 a4 a5 an q
等比数列的定义
1. a2 a3 a4 a5 an q
a1 a2 a3 a4
a n 1
2. an q (n 2)
an1
或
an1 q (n 1)
an
题型一：等比数列定义
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
题型四：等比中项
归纳小结
等差数列通项公式的推导: an an1 d
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a4
…
a3…
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
an a1 (n 1)d
方法二:(迭代法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
an 等比数列通项公式的推导：an1
q n
2
方法一:累乘法
a2 q
aa31 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q