2015九年级下数学讲义 第八讲
(中考数学复习)第8讲 一元二次方程 课件 解析
(1)证明：∵一元二次方程为x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，
Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，∴此方程有两个不相等的
实数根．
(2)解：∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数
根，由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且
△ABC是等腰三角形，
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＝2 014.
3．(2013·日照)已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，
则下面对x1的估计正确的是
( A )
A．－2<x1<－1
B．－3<x1<－2
C．2<x1<3
D．－1<x1<0
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题组三 利用根的判别式解决问题
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1．(2013·温州)方程x2－2x－1＝0的根是____________． 2．(2013·聊城)若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个
根，则方程的另一个根x2＝___5__．
6
A．x－6＝－4 C．x＋6＝4
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＝x1·(x1＋2 013)＋2 013x2＋x2－2 013 ＝(x1＋2 013)＋2 013x1＋2 013x2＋x2－2 013 ＝x1＋x2＋2 013(x1＋x2)＋2 013－2 013 ＝1＋2 013
中考数学复习 第8讲 三角形(一)试题-人教版初中九年级全册数学试题
第八讲三角形（一）8.1 三角形的线段与角基础盘点1．不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做.2．（1）从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.（2）连接三角形的与对边的线段，叫做三角形的中线.（3）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.注意：三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线.3．三角形的两边之和第三边，两边之差第三边.4．三角形的内角和是；三角形的一个外角大于，三角形的一个外角等于.考点呈现考点1 三角形的高例1（2015•某某）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A B C D解析：根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．只有D符合题意，故选D．评注：本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外.考点2 三角形三边关系例2（2015•某某）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．12 D．16解析：设第三边的长为x，因为三角形两边的长分别是4和10，所以10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．故选C．评注：三条线段能否构成一个三角形，关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，否则就不能构成一个三角形.考点3 三角形的外角例3（2015·某某）图1中∠1的大小等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°图1解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算，得∠1=130°﹣60°=70°．故选D．评注：本题考查了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质，理解“与它不相邻的内角”是解题的关键．考点4 三角形的内角和例4（2015•某某）如图2，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°图2解析：因为∠A=60°，所以∠ABC+∠ACB=120°.因为BE，CD是∠B,∠C的平分线，所以∠CBE=∠ABC，∠BCD=.所以∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，所以∠BFC=180°﹣60°=120°.故选C．评注:本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，综合运用三角形内角和定理和角平分线的定义是解答此题的关键．误区点拨1.对三角形的重要线段的认识有误例1 下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高是一条垂线C.三角形的三条中线相交于一点D.三角形的中线、角平分线和高都在三角形内错解：A或B或D剖析：选A是混淆了一个角的平分线与三角形角平分线的本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；选B是对三角形的高的定义理解有误，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，因此三角形的高也是线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，故选D也是错误的.只有C选项是正确的.2.运用三角形三边关系时出错例2（2015·某某）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 1,2,3B.,1，2，3C.3,4,8D.4,5，6错解：A或B或C剖析：利用三角形三边关系来判断所给的线段能否构成三角形时，只需求出三角形较小两边的和，如果这两边的和大于第三边，即可保证三角形任何两边的和大于第三边.选项A中1+2=3，选项B中1+2＜3；选项C中3+4＜8，所以A，B,C都不能构成三角形，应选D.跟踪训练1（2015•某某）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．2（2015•某某）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角尺ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（）A ．105°B ．110°C ．115°D ． 120°第1题图3.（2015•滨州）在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，则∠C 等于( )A.45°B.60°C.75°D.90°4.（2015•某某）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）A ． 120° B． 130° C． 140° D． 150°第4题图 第5题图5.（2015·某某）如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC ＝度.8.2 全等三角形基础盘点2.全等三角形的性质：（1）全等三角形相等；（2）全等三角形相等；3.全等三角形的判定方法：（1）三相等的两个三角形全等；（2）两角和对应相等的两个三角形全等；（3）两角和相等的两个三角形全等；（4）两边和相等的两个三角形全等；（5）斜边和相等的两个直角三角形全等.4.角平分线上的点到角两边的距离.．考点呈现考点1 全等三角形的性质E B DA例1（2015·某某）如图1，△ABC≌△DEF，则EF=．图1解析：因为△ABC≌△DEF，所以BC=EF，则EF=5．评注：按照全等三角形的对应顶点中字母的出现位置来确定对应元素，在相应位置上出现的字母所表示的元素必为对应元素.这种方法的使用前提是表示全等三角形时，所写的表达式中对应顶点的位置必须写得准确无误.此题主要考查了全等三角形的性质，找出对应边是解题关键．考点2 全等三角形的判定例2（2015•某某）如图2，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C． AD∥BC D． DF∥BE图2解析：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中因为，所以△ADF≌△CBE（SAS）.故选B．评注：添加使两个三角形全等的条件，基本方法是先结合图形挖掘隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等），然后根据全等三角形的判定方法去补充适当的条件．考点3 角平分线的性质例3（2015•某某）如图3，OC是∠A OB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3解析：过点P作PE⊥OB于点E，如图3.根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得PE=PD.因为PD=6，所以PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．图3评注：应用角平分线的性质及其判定时，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接运用这两个定理，而不要去寻找全等三角形．误区点拨1.混淆全等三角形的对应元素例1如图4所示，△ABD≌△CAE，∠BAD=∠ACE，∠D=∠E.请写出全等三角形的其他对应元素.图4错解：对应角∠ B和∠ CAE，对应边BD和CE ，AD和AE ， AB和AC .剖析：全等三角形的对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.因此，对应边应该是BD与AE，AD与CE，AB与CA.注意，记两个全等三角形时，对应的顶点字母写在对应的位置上，由字母顺序去找对应元素就不会出错.2.误将“SSA”当成“SAS”来证题例2 如图5，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，试说明∠BAE=∠CAE．图3DC B AE图5错解：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,AE AE ACE ABE EC EB 所以△AEB≌△AEC．所以∠BAE=∠CAE．剖析：本题错在说明两个三角形全等时用了“边边角”的条件来判定，这是不正确的．因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．正解：因为BE=CE ， 所以∠EBC=∠ECB．又因为∠ABE=∠ACE， 所以∠ABC=∠ACB，AB=AC ．在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,AC AB CE BE AE AE 所以△AEB≌△AEC．所以∠BAE=∠CAE．跟踪训练1.（2015•某某）如图，下列条件中，不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ． AB=DC ，AC=DB B ． AB=DC ，∠ABC=∠DCBC ． BO=CO ，∠A=∠D D ． AB=DC ，∠A=∠D第1第9题M D B FE OO P AB A C第1题图第2题图2．(2015•某某)如图，OP平分∠MON , PE⊥OM于E, PF⊥ON于F,OA=OB, 则图中有对全等三角形3. (2015·义乌)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A 与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是A. SASB. ASAC. AASD. SSS第3题图第4题图4.（2015•某某）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8.3 等腰三角形基础盘点1. 有的三角形叫做等腰三角形.2.（1）等腰三角形是对称图形，其对称轴是；（2）等腰三角形的两个相等（简写成“等边对等角”），等腰三角形的、和互相重合（简称“三线合一”）.3. 等边三角形是的三角形，也叫正三角形，它是对称图形，有条对称轴.4.（1）的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）；（2）的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形.考点呈现考点1 等腰三角形的边长确定例1（2015•某某）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A． 11 B． 16 C． 17 D． 16或17解析：①6是腰长时，三角形的三边长分别为6，6，5，利用三角形的三边关系判断可知其能组成三角形，则周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边长分别为6，5，5，利用三角形的三边关系判断可知其能组成三角形，则周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．评注：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确底和腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.考点2 等腰三角形的性质例2（2015•湘西州）如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36°B． 60°C．72°D．108°图1解析：因为∠A=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°，因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=36°，所以∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．评注：本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．考点3 等腰三角形的“三线合一”例3(2015•某某)如图2，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°解析：AB=AC ，D 为BC 的中点，所以AD 平分∠BAC，AD⊥BC .所以∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°.所以∠C=∠ADC -∠DAC=55° .故选C.此题方法不唯一评注：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线互相重合，称“三线合一”． “三线合一”是说明两角相等、两线段相等及两线垂直的重要依据，一定要注意它适用的X 围和结论成立的条件.考点4 等腰三角形的判定例4（2015•某某）在平面直角坐标系中，点A ，B ，动点C 在x 轴上，若以A ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为A.2B.3C.4D.5解析：如图3，首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB 的中垂线与x 轴的交点，即可求出点C 1；然后再求出AB 的长为16，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与x 轴的交点为点C 2，C 3；最后判断出以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与x 轴没有交点，据此判断出点C 的个数为3个.故选B ．评注：本题是在坐标系中进行图形操作，考查等腰三角形的分类思想.同学们解答此类问题时，要按AB 为底边和腰分类思考，同时不要遗漏. D CBA图2图3误区点拨例1（2015•宿迁）若等腰三角形中的两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）A ．9B ． 12C ． 7或9D ． 9或12错解：当腰长为2，底为5时，周长为2×2+5=9；当腰长为5，底为2时，周长为5×2+2=12，故选D.剖析：由三角形三边之间的关系可知，当腰长为2，底为5时，不能构成三角形，而边长为5cm 的边只可以作腰，不可以作底，因此周长只能为12.本题应分两种情况来考虑求解是正确的，但要注意构成三角形的条件.2.忽视分类思想的应用例2 （2015•某某）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．错解：如图4，由 BD ⊥AC ，∠ABD=20°，得到顶角∠BAC=70°；图4图5剖析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角时，同错解；当等腰三角形的顶角是钝角时，如图5，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°.故答案为110°或70°.跟踪训练C ABD1. (2015·某某)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第1题图第2题图第3题图第4题图2. （2015•某某）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△B的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3. （2015•某某）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18°D．64°4. （2015•某某）如图，在一X长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为参考答案 8.1 三角形的线段与角1.82.C3.C4.C解析：因为∠B=40°，所以由三角形内角和定理，得∠BAC +∠A CB=180°-40°=140°.所以∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC +180°-∠B C A=360°-140=220°.所以∠EAC+∠ECA=21(∠DAC+∠FCA)=110°.所以由三角形内角和定理，得∠AEC=70°. 8.2 全等三角形1.D2.38.3 等腰三角形1.D2.C3.B4. 8或2或2解析：如图分三种情况：①中剪下的等腰三角形的面积为21×4×4=8；②中剪下等腰三角形的面积为21×4×221-4=2；③中剪下等腰三角形的面积为21×4×223-4=2.①②③第4题图。
初三数学总复习指导--第八讲 二次函数
第八讲 二次函数一、课标下复习指南1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)． 2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的顶点是)44,2(2a b ac a b--，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab2-，y 有最小值a bac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a bx 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝ab2-时，y 有最大值a bac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况： 当∆＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2aacbb ---和)0,24(2aacbb -+-，这两点的距离为||42a ac b-；当∆＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab -；当∆＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点．4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定． 二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)； (2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)；(3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0； ④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)， 其中正确的结论有( )． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．例4 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->k B ．47->k 且k ≠0 C ．47-≥k D ．47-≥k 且k ≠0说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意： ①方程类型．②一元二次方程两根相等⇔抛物线与x 轴有一个公共点； 一元二次方程两根不等⇔抛物线与x 轴有两个公共点； 一元二次方程无实根⇔抛物线与x 轴无公共点．例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )． A ．0B ．－1C ．2D ．⋅41例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________； ②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________； ③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________； ④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． 例7(1)(2，0)， y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2－4x ＋3．①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．例8 如图8－6，二次函数y ＝xm x )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)； (2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式．例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．思考若过点A的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式?例10已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F)，最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．四、课标考试达标题(一)选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值如果总是负数，那么a，b，c满足( )．A．a＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，b2－4ac＞0 C．a＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b2－4ac＜02．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－14所示，则y＝ax－b的图象一定经过( )．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．A．－4＜x＜1 B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1 D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )．A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋27．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．A．4元或6元B．4元C．6元D．8元(二)填空题8．抛物线y＝x2－2x－8的对称轴方程为______，顶点为______，与x轴的交点为______，与y轴的交点为______．9.已知抛物线y＝x2＋p x＋q与x轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是_．10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为(1，2)，与y轴的交点为(0，3)，则a＋b＋c＝______．11．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______．12．若抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式为______．13．若抛物线y＝x2＋bx＋5的顶点在x轴上，则b的值为______．(三)解答题14．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝)1<mm与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，0(+5<求线段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．。
九年及数学中考专题(数与代数) 第八讲《方程与方程组(2)》课件(北师大版)
二.复习目标
3.了解方程组及其解的的概念， 3.了解方程组及其解的的概念，理解二元一 了解方程组及其解的的概念 次方程组的概念并掌握解二元一次方程组的 两种基本解法——代入法和加减法， ——代入法和加减法 两种基本解法——代入法和加减法，并依此 能解简单的三元一次方程组. 能解简单的三元一次方程组. 4.能够正确运用整式方程 能够正确运用整式方程、 4.能够正确运用整式方程、分式方程和方程 组解决与方程有关的问题. 组解决与方程有关的问题.
三.知识要点
2.方程组的有关概念： 2.方程组的有关概念： 方程组的有关概念 的概念： 二元一次方程组的概念 ②二元一次方程组的概念： 含有两个未知数的两个一次方程方程所 组成的一组方程叫做二元一次方程组. 组成的一组方程叫做二元一次方程组. A.二元一方程组的解 二元一方程组的解： A.二元一方程组的解：二元一次方程组中的 每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解. 每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解. B.解的情况 一般情况下， 解的情况： B.解的情况：一般情况下，二元一次方程有 一个、无数个解或无解. 一个、无数个解或无解.
x = cy + d
三.知识要点
3.二元一次方程组的解法： 3.二元一次方程组的解法： 二元一次方程组的解法 代入消元法的一般步骤： ②代入消元法的一般步骤： C.解 解这个一元一次方程，求出x（ ） C.解：解这个一元一次方程，求出 （或y） 的值； 的值； D.同代 同代： 的值代入 求出y的 D.同代：把x的值代入 ，求出 的 y = ax + b 求出 值）； 或把y的值代入 值（或把 的值代入 ，求出x值 x= E.联 把出x、 的值用 cy {”联立起来 的值用“ + d 联立起来， E.联：把出 、y的值用“{”联立起来，即 是方程组的解. 是方程组的解.
寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第八讲 二次函数与存在性问题(学生版)
COA B xy第八讲 二次函数与存在性问题明确目标﹒定位考点存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
热点聚焦﹒考点突破二次函数1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.2、二次函数的顶点坐标是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.3、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，（由图象可知，“左同右异”） 故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.4、一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.5、抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221216、特殊值记忆：二次函数 c bx ax y ++=2，当x =1时，y = 当x =-1时，y = 当x =0时，y =7、存在性问题的处理思路： ① 研究背景图形．② 分析不变特征（点、线、角），结合形成因素（判定），考虑需要满足的条件．③ 画图求解：往往先从一种情形入手．先画出大致图形，再结合特征不断精确．在图形上求解一种情况后，结合运动范围，考虑其他情形． ④ 结果验证：画图或推理，验证已求结果．考点1： 四边形之存在性问题例1.如图，抛物线41=y x 2c bx ++与x 轴交于A （5,0）、B （-1,0）两点，过点A 作直线AC ⊥x 轴，交直线x 2y =于点C ； （1）求该抛物线的解析式；（2）求点A 关于直线x 2y =的对称点A `的坐标，判定点A `是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段C A `于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【规律方法】1. 存在性问题的处理思路① 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判 定等）考虑分类．②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．2. 菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化探究思想来分析，将复杂、陌生问题转化为简单、熟悉问题解决．如：①菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解决． ③ 矩形存在性问题通常转化为直角三角形存在性处理． ③正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理．考点2： 相似三角形的存在性例2.如图，已知抛物线与坐标轴交于A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(-1，0)，过点C 的直线与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且．（1）点C 的坐标是____________，b _______，c ______． （2）求线段QH 的长（用含t 的代数式表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．【规律方法】相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；234y x bx c =++334y x t=-01t <<A BCOHPQxy3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 考点3： 全等三角形的存在性例3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x =3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式．（2）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【规律方法】全等三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和24y ax bx =++不变特征后列方程求解．3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 考点4：角度的存在性例4.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于C ，D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为(3，72)．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标．【规律方法】角度存在性的处理思路1.和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过三角函数将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．2.一般过定点构造直角三角形．3.当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理．【变式训练1】【难度分级】 A题（1）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0，-2)，与直线y=x交于点A(-2，-2)，B(2，2)．（1）求抛物线的解析式．（2）线段MN在线段AB上移动（点M不与点A重合，点N不与点B重合），且MN 若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q，则以P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【难度分级】 B题（2）已知：抛物线C1：y＝x2。
北师大版九年级数学下册讲义(新课复习版)
第一讲 成比例线段及平行线分线段成比例一、知识点荟萃1、 线段的比： 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nmCD AB = 2、四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dcb a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. 3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a,b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =。
4、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：a ∥b ∥c ，则EFBCDE AB =5、黄金分割：如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC = ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.AC AB ＝5－12≈0.618. 注意：一条线段有两个黄金分割点．6、比例性质：（1）如果a b ＝c d，那么 ，反之也成立．其中a 与d 叫做比例外项，b 与c 叫做比例内项．特殊地，a b ＝bc ⇔b 2＝ac .（2）比例的合比性质 如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±dd. （3）比例的等比性质如果a b ＝cd ＝…＝m n(b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋mb ＋d ＋…＋n ＝ab.二、典例精讲例1、根据比例性质求解： （1）（2）已知43=b a ，则=+b b a ，=-b b a ，例2、已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a －b +c =6.（1）求a ，b ，c 的值。
人教版九年级下册数学综合复习：第8讲《分式方程及其应用》
C.
2x x-1
x
1 1
1
D.
x
2
3
x
x
相等，求甲、乙每小时各做零件多少个。如果设乙每小时
做x个，那么所列方程是（ B ）
A.90 = 60 B. 90 = 60 C. 90 = 60
x x+6
x+6 x
x- 6 x
D.90 = 60
x x- 6
命题点4：分式方程的应用
5．(温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道 铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务 的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据 题意可列出方程：__1_6x_0_=__x2_0+_05___．
500 = 800 x x + 30
解得 x=50 经检验：x=50是原分式方程的解 所以 x+30=80 答：排球单价是50元，足球单价是80元。
(2)若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
解：设可购买排球m个，购买足球n个，由题意，得
50m+80n=1200
整理，得
m = 24 -
8n 5
∵m,n都是正整数
考 点试 训
命题点1：分式方程的解法
1.(滨州)分式方程 x - 1 =
3的解为(Fra bibliotekx - 1 ( x - 1) ( x + 2)
C
)
A.x=1
B.x=-1
C.无解
D.x=-2
命题点2：分式方程的增根
2．(聊城)如果解关于x的分式方程 m - 2x = 1 时出现增
x- 2 2- x
根，那么m的值为（ D )
上海1对3秋季课程讲义-数学-九年级-第8讲-相似综合二(动点产生的相似三角形分类讨论)-教案
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第8讲-相似综合二（相似三角形的分类讨论）学习目标1．相似三角形的基本图形；2．理解和掌握相似的分类讨论技巧．教学内容（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。
（二）上次预习思考内容讨论分享一、相似三角形的基本图形：1）直角三角形：2）非直角三角形：二、确定一个相等角的相似（证明等角的方法）：1）两全等（相似）三角形的对应角相等；2）同一三角形中等边对等角；3）等腰三角形中三线合一平分顶角；4）两直线平行：同位角、内错角相等；5）同角的等角、余角、补角相等；6）相应三角比相同的两个角相等；7）同圆或等圆中，等弦（弧）所对的圆心角、圆周角相等；8）圆内接四边形的外角等于内对角；1、P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有……………（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条答案：C2、如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是……………（）（A）2（B）3（C）4（D）5答案：C3、如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．【答案】∠B＝∠ACP，或∠ACB＝∠APC，或AC2＝AP·AB．不相似的是例题1、如图，是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与ABC( )（A）△BDE （B）△BCD （C）△FGH（D）△BFG.参考答案：B例题2、在中，，，、分别为、上一点，，当取何值时，与相似.参考答案：这个让我们想到A 型图和反A 型图（1）（2）这种题目学生可以想到A 型图，容易疏忽反A 型图，这个要重点强调例题3： 在正方形ABCD 中，已知6=AB ，点E 在边CD 上，且2:1:=CE DE ，如图,点F 在BC 的延长线上，如果△ADE 与点C 、E 、F 所组成的三角形相似，那么=CF ．参考答案：12或34． 例题4：点P 在线段AB 上移动，AB BD AB CA ⊥⊥,，7,3,2===AB BD CA ，当AP = __________时，△ACP 与△PBD 相似．答案：5146,1，例题5、如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ． （1）当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，△ABC ∽△CDB ？ABC ∆3AB =4AC =D E AB AC 1AD =AE ADE ∆ABC ∆ADAEAB AC=43AE ∴=ADAEACAB=34AE ∴=ABCD E（2）过A 作BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E ，若△ABC ∽△CDB ．求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）．【答案】（1）∵ ∠ABC ＝∠CDB ＝90°，∴ 当BC AC ＝BDBC时，△ABC ∽△CDB ． 即b a ＝BDb ．∴ BD ＝a b 2．即当BD ＝ab 2时，△ABC ∽△CDB ．∵ △ABC ∽△CDB ，∴ ∠ACB ＝∠CBD ．∴ AC ∥ED ．又 ∠D ＝90°，∴ ∠ACD ＝90°．∴ ∠E ＝90°．∴ 四边形AEDC 为矩形．例题6、如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC （AB ＞AE ）． （1）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设BCAB＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF ∽△BFC ，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】如图，是相似．【证明】延长FE ，与CD 的延长线交于点G ．在Rt △AEF 与Rt △DEG 中， ∵ E 是AD 的中点，∴ AE ＝ED ． ∵ ∠AEF ＝∠DEG ，∴ △AFE ≌△DGE ．∴ ∠AFE ＝∠DGE ．∴ E 为FG 的中点．又 CE ⊥FG ，∴ FC ＝GC ．∴ ∠CFE ＝∠G ．∴ ∠AFE ＝∠EFC ． 又 △AEF 与△EFC 均为直角三角形，∴ △AEF ∽△EFC ．① 存在．如果∠BCF ＝∠AEF ，即k ＝BCAB ＝23时，△AEF ∽△BCF ．证明：当BC AB ＝23时，DEDC＝3，∴∠ECG ＝30°．∴ ∠ECG ＝∠ECF ＝∠AEF ＝30°．∴ ∠BCF ＝90°－60°＝30°． 又 △AEF 和△BCF 均为直角三角形，∴ △AEF ∽△BCF ．② 因为EF 不平行于BC ，∴ ∠BCF ≠∠AFE ．∴ 不存在第二种相似情况．例题7、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，CA ＝8 cm ，动点P 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使S △BCP ＝41S △ABC ？【答案】当点P 从点C 出发，运动在CA 上时，若S △BCP ＝41S △ABC，则21·CP ·BC ＝41·21AC ·BC ， ∴ CP ＝41·AC ＝2（cm ）． 故由点P 的运动速度为每秒2 cm ，它从C 点出发1秒时，有S △BCP ＝41S △ABC．当点P 从点C 出发运动到AB 上时，如图，可过点P 作PD ⊥BC 于D ．若S △BCP ＝41S △ABC，则21PD ·BC ＝41·21AC ·BC ． ∴PD ＝41AC ＝2（cm ）．∵ Rt △BAC ∽Rt △BPD ， ∴AB BP ＝ACPD． 又 AB ＝22BC AC ＝10，故 BP ＝8102⋅＝25，AP ＝AB －BP ＝10－25＝7.5． 也就是说，点P 从C 出发共行15.5 cm ，用去7.75秒，此时S △BCP ＝41S △ABC．答：1秒或7.75秒．例题8、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥BC ，3AB =，2AD =．点P 在线段AB 上，联结PD ，过点D 作PD 的垂线，与BC 相交于点C ．设线段AP 的长为x ． （1）当AP AD =时，求线段PC 的长；（2）设⊥PDC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当⊥APD ⊥⊥DPC 时，求线段BC 的长．参考答案：解：（1）过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．⊥AB BC ⊥，CE AD ⊥，PD ⊥CD ，AD // BC ， ⊥⊥ABC =⊥AEC =⊥PDC = 90°，3CE AB ==． ⊥AD // BC ，⊥180A ABC ∠+∠=o ．即得90A ∠=o ． 又⊥ADC DCE DEC ∠=∠+∠，ADC ADP PDC ∠=∠+∠， ⊥ADP DCE ∠=∠．又由90A DEC ∠=∠=o ，得 ⊥APD ⊥⊥DCE ． ⊥AD APCE DE=． 于是，由2AP AD ==，得 3DE CE ==．在Rt ⊥APD 和Rt ⊥DCE 中，得 22PD =，32CD =． 于是，在Rt ⊥PDC 中，得 22121827PC PD CD =+=+=．（2）在Rt⊥APD 中，由 2AD =，AP x =，得24PD x =+．⊥⊥APD ⊥⊥DCE ， ⊥AD PD CE CD =．⊥233422CD PD x ==+．A BCDPA BCD（备用图）在Rt ⊥PCD 中，2221133(4)32224PCD S PD CD x x ∆=⋅⋅=⨯+=+．⊥所求函数解析式为2334y x =+． 函数的定义域为 0 < x ≤ 3．（3）当⊥APD ⊥⊥DPC 时，即得⊥APD ⊥⊥DPC ⊥⊥DCE ．根据题意，当⊥APD ⊥⊥DPC 时，有下列两种情况：（⊥）当点P 与点B 不重合时，可知 APD DPC ∠=∠．由⊥APD ⊥⊥⊥DCE ，得AP PD DE DC =．即得AP DEPD CD =． 由⊥APD ⊥⊥DPC ，得AP ADPD DC=． ⊥AD DE CD CD=．即得2DE AD ==．⊥4AE =．易证得四边形ABCE 是矩形， ⊥4BC AE ==． （⊥）当点点P 与点B 重合时，可知 ABD DBC ∠=∠．在Rt⊥ABD 中，由2AD =，3AB =，得13BD =． 由⊥ABD ⊥⊥DBC ，得AD BDBD BC =．即得21313BC=． 解得132BC =． ⊥⊥APD ⊥⊥DPC 时，线段BC 的长分别为4或132．1、如图，D 是⊥ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使⊥ACD 与⊥ABC 相似．你添加的条件是 ．【答案】∠B =∠ACD 或者∠ADC =∠ACB 或者2AC AD AB =g ．2、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ）A ．AC AP AB AC = B ．ABACBC PC =C ．∠ACP ＝∠BD ． ∠APC ＝∠ACB 【答案】B ．3、例题2. 在⊥ABC 中，⊥B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD•DC ，则⊥BCA 的度数为 ． 考点：相似三角形的判定与性质。
第八讲 三共定理之共边定理
第八讲“三共定理”——共边定理新知探索共边定理问题回顾：在上一讲中，我们留下了一道习题：如图AB、PQ相交于M。
求证：BMAMSSBPQAPQ=∆∆在这道题目中，ΔAPQ和ΔBPQ没有共同的高，你能求它们的面积比吗？如果不能，我们先放一放，先观察下面四组图形：它们有什么共同的特点？在上面四组图中：它们都有一条公共边AB的两个三角形，这样的两个三角形叫做共边三角形。
【思考】：如果过共边三角形ΔABM、ΔABN的顶点M、N作直线，与公共边相交于点P，那么共边三角形的面积比与PNPM有何关系？如下图：通过猜想，可以把这个事实概括为一个重要的结论：共边定理我们如何来证明这个定理呢？【分析】我们以第一种情形来加以证明。
如图：方法1：ΔABM、ΔABN虽有公共的边AB，但没有公共的高，不能直接应用共高定理。
但是图中出现很多的三角形中，出现了一条共高三角形的关系链：ΔABM—ΔBPM—ΔBPN—ΔABN。
在这些三角弄散中，前者与相邻的后者是两个共高三角形。
如下图：证明：由已知，根据共高定理分别可得：PBABSSBPMABM=∆∆①NPMPSSBPNBPM=∆∆②ABPBSSABNBPN=∆∆③把①、②、③三式左右两边分别相乘，可得：NPMPABPBNPMPPBABSSSSSSABNBPNBPNBPMBPMABM=⨯⨯=⨯⨯∆∆∆∆∆∆即NPMPABPBNPMPPBABSSABNABM=⨯⨯=∆∆∴NPMPSSABNABM=∆∆方法2：这种方法表达更简洁，学习程度较好的同学可以阅读参考。
证明：由共高定理可得：NPMPABPBNPMPPBABSSSSSSSSABNBPNBPNBPMBPMABMABNABM=⨯⨯=⨯⨯=∆∆∆∆∆∆∆∆即：NPMPSSABNABM=∆∆方法3：证明：如图，延长PB至点Q，使PQ=AB，连接MQ、NQ。
由共高定理可得：PQ MA BMSS∆∆=；PQ NA BNSS∆∆=；NPMPSSPQNPQM=∆∆∴NPMP S S S S PQN PQM ABN ABM ==∆∆∆∆ 即NP MP S S ABN ABM =∆∆ 想一想：其它三种情形的共边三角形，你能否用上述三种方法一一证明？试试看！【实践练习1】如下图，根据给的条件填空：①=∆∆ABC ABE S S ；②=∆∆BDCABD S S ； ③=∆∆BDE ABE S S ；④=∆∆DEC ABD S S ⑤=FE AE 。
2015年新湘教版九年级下学期数学教案(全册)
第1章二次函数1.1 二次函数【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0<x<50)；电脑价格y （元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000,(0<x<1).它们有什么共同点?一般形式是y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a ≠0)这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有. 二、思考探究，获取新知 二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax 2+bx+c(a, b,c 是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.三、典例精析，掌握新知例1 指出下列函数中哪些是二次函数.(1)y=(x-3)2-x 2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=22x；(5)y=5-x 2+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是.【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是2次.3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0. 例2 讲解教材P3例题.【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数），当m 为何值时: (1)函数是一次函数; (2)函数是二次函数.【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.解:(1)由200m m m ⎧-=⎨≠⎩得010m m ⎩=≠⎧⎨或 ,∴m=1.即当m=1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数. (2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1,∴当m ≠0且m ≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数.【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.四、运用新知，深化理解1.下列函数中是二次函数的是（ ） A. 2123y x x =+- B.y=3x 3+2x 2 C.y=(x-2)2-x 3 D.212y x =- 2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.若函数232(3)1k k y k xkx -+=-++ 是二次函数，则k 的值为（ ）A.0B.0或3C.3D.不确定4.若y=(a+2)x 2-3x+2是二次函数，则a 的取值范围是 .5.已知二次函数y=1-3x+5x 2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .6.某校九（1）班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式 ，它 （填“是”或“不是”）二次函数.7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x 的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.(1)求y 关于x 的函数关系式； （2）试求自变量x 的取值范围；（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.【答案】1.D 2.D 3.A 4.a ≠-2 5.5,-3,1 6.21122y x x =- 是 7.（1）y=25-πx 2=-πx 2+25. (2)0＜x ≤52.(3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4. 即剩余部分的面积约为12.4.【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数的有关概念.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流. 【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.1.教材P 4第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢? 【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线. 二、思考探究，获取新知探究1 画二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象. 画二次函数y=ax 2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x 2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y 轴对称的特征. ③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法. 探究2 y=ax 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2,212y x,y=2x 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a ＞0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.y=ax 2(a ＞0)图象的性质 1.图象开口向上.2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降.三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围.解:(1)由已知得22042k k k +≠+-=⎧⎨⎩ ,解得k=2或k=-3.所以当k=2或k=-3时，函数24(2)k k y k x+-=+是关于x 的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x ≥0时，y 随x 的增大而增大. 四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）A.y=x 2B.y=x-1C. 34y x =D.y=1x2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＜y 3＜y 2 C.y 3＜y 2＜y 1 D.y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x2的开口向，顶点坐标为，对称轴为，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x≤0时，y随x的增大而；当x＞0时，y随x的增大而 .4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴，43，±3,减小，增大4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y 轴对称，又∵BC与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=38.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.一、情境导入，初步认识1.在坐标系中画出y=12x2的图象，结合y=12x2的图象，谈谈二次函数y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=-12x2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1画y=ax2(a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=-12x2的图象.【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.问:从所画出的图象进行观察,y=12x2与y=-12x2有何关系？归纳：y=12x2与y=-12x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论) 探究2二次函数y=ax2(a＜0)性质问：你能结合y=-12x2的图象，归纳出y=ax2(a＜0)图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a<0)图象的性质.1.开口向下.2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y随x的增大而增大，简称左升.探究3二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是，顶点是，当a＞0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越；当a＜0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越 .答案:y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小三、典例精析，掌握新知例1 填空：①函数y=(-2x)2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是 .②函数y=x2,y=1x2和y=-2x2的图象如图所示，2请指出三条抛物线的解析式.解:①抛物线，（0，0），y轴，向上；②根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=1x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.2【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值.【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.解:∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1,∴抛物线为y=-x2.当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2.【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a 值.四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D.点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）3.二次函数226(1)m m y m x +-=-,当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= .4.已知点A （-1，y 1),B(1,y 2),C(a,y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1,则y 1,y 2,y 3中最大的是 .5.已知函数y=ax 2经过点(1,2).①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况.【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D 2.B 3.2 4.y 35.①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）y=ax 2(a<0)图象的性质；（2）y=ax 2(a ≠0)关系式的确定方法.1.教材P 10第1~2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出y=ax 2(a ＜0)的图象和性质，进而得出y=ax 2（a ≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【知识与技能】1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想.【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质.【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=12x2与y=12(x-1)2的图象，完成下表.2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？3.对于二次函数12(x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表.三、典例精析，掌握新知例1 教材P12例3.【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象.例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A 重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-12＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小.解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又-12＜x1＜x2,∴y1＞y2.【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）A.-1B.1C.0D.没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2;(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.5.（广东广州中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图象;(3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x25.解：(1)y=-13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.1.教材P12第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质.2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系.3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化. 【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力.【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.【教学难点】由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.一、情境导入，初步认识复习回顾:同学们回顾一下:①y=ax2,y=a(x-h)2,（a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x 的增减性分别是什么？②如何由y=ax2(a≠0)的图象平移得到y=a(x-h)2的图象？③猜想二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1 y=a(x-h)2+k的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：①y=-12(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？②将抛物线y=-12x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=-12(x+1)2-1.2.同学们讨论回答：①一般地，当h＞0,k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线y=a(x-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.②抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？探究2二次函数y=a(x-h)2+k的应用【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向.答案：抛物线，直线x=h,(h,k),上，下三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式.【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式.解:抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为（-1,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化.例2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C？并说明理由.【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为y=a(x-12)2+20,∵点（0，2）在图象上，∴144a+20=2,∴a=-18,∴y=-18(x-12)2+20.当x=20时，y=-18×(20-12)2+20=12,即抛物线过点（20,12),∴该火球能点燃目标.【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型.四、运用新知，深化理解1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,则必须（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位2.抛物线y=x2-4与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）A.45B.45+4C.12D.25+43.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（）4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是，顶点坐标是，当x 时，y随x的增大而增大.5.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则a= ,c= .6.把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q（3，0），求平移后抛物线的解析式.【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑.【答案】1.B 2.B 3.C 4.y轴，（0，6），＜0 5.3,2 6.y=(x-1)2-4五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：①二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质；②如何由抛物线y=ax2平移得到抛物线y=a(x-h)2+k.【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握y=ax2与y=a(x-h)2+k二者图象的位置关系.第1~3题.1.教材P152.完成同步练习册中本课时的练习.掌握函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.【过程与方法】1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想. 【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识. 【教学重点】①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.【教学难点】能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.3.画y=-2x 2+6x-1的图象.4.抛物线y=-2x 2如何平移得到y=-2x 2+6x-1的图象.5.二次函数y=-2x 2+6x-1的y 随x 的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax 2+bx+c 与y=a(x-h)2+k 的转化过程.二、思考探究，获取新知探究1 如何画y=ax 2+bx+c 图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出y=ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标.2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.探究2 二次函数y=ax 2+bx+c 图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？ 学生回答，教师点评：抛物线y=ax 2+bx+c=224()24b ac b a x a a -++ ,对称轴为x=-2b a ,顶点坐标为(-2b a ,244ac b a -),当a ＞0时，若x ＞-2b a ，y 随x 增大而增大，若x ＜-2b a ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，若x ＞-2b a ，y 随x 的增大而减小，若x<-2b a，y 随x 的增大而增大. 探究3 二次函数y=ax 2+bx+c 在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？学生回答，教师点评：三、典例精析，掌握新知例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k 的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.①y=14x2-3x+21 ②y=-3x2-18x-22解：①y=14x2-3x+21=14(x2-12x)+21=14(x2-12x+36-36)+21=14(x-6)2+12.∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6.②y=-3x2-18x-22=-3(x2+6x)-22=-3(x2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3,5)，对称轴是x=-3.【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？①S与l有何函数关系？②举一例说明S随l的变化而变化?③怎样求S的最大值呢?解:S=l (30-l)=- l2+30l (0＜l＜30)=-( l2-30l)=-( l-15)2+225画出此函数的图象，如图.∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.四、运用新知，深化理解1.（北京中考）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（）A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3,4)2.（贵州贵阳中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A.有最小值5、最大值0B.有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值63.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴.(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；④a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;④a＞1.其中正确结论的序号是 .【教学说明】通过练习,巩固掌握y=ax2+bx+c的图象和性质.【答案】1.A 2.B 3.(1)①④ (2)②③④五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：（1）用配方法求二次y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴；（2）由y=ax2+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值.1.教材P15第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.。
苏科版九年级数学下册第八章《8.3 统计分析帮你做预测 》公开课课件(共10张PPT)
8.3 统计分析帮你做预测
思考一： 在刚才的问题中，还可以选用其他的直线来近似
的表示我国1992～2004年GDP随年份变化而变化的 大致发展趋势吗？
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021 1:55:45 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/262021/10/262021/10/2610/26/2021
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/262021/10/26October 26, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/262021/10/262021/10/262021/10/26
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 8.3 统计分析帮你做预测
思考二： 在生活中还有很多类似的例子，两个量之间存在
着一定的关系，你能举一个这样的例子吗？ 说一说，你打算如何探索你所说的例子中两个量
的关系？
8.3 统计分析帮你做预测
小结
1．通过本节课的学习，你对统计分析又有 怎样的认识？
2．你对本节课的知识还存在哪些疑惑吗?
8.3 统计分析帮你做预测
作业
课后作业：《补充习题》 8.3.
计算与思考：
设直线AB上点的坐标满足函数表达式y＝kx＋b． 由直线AB过点（1992，23 938）、（2004，136 876）， 可得方程组：
初中数学九下8
投影面
时,这个平面图形在投影面上的投
影是与它
的平面图形,其相似比等于投影
中心到
的距离与投影中心到 的距离
之比.
课堂小结
通过本节课的学习，谈谈你的收获？
1.投影，中心投影 2.中心投影的性质
布置作业
习题8.1 2 ，3
投射线 投影面
在点光源下形成的物体的投影叫中心投影，点光源叫做投 影中心.
合作探究
自主阅读P161，完毕下列问题:
(1)想一想，点A在投影面H内的中心投到桌面上的影子,是什么形状?它们的长与否相等? 变化它们的角度,形状与大小又怎么变化?
探索规律（一）
影长与竹签长的比较：
当线段AB的端点不在同一条投射线上
时，
、
、
.
当线段AB的端点在同一条投射线上时， ．
巩固新知
画出下图中路灯光线下木桩的影子
拟定下图路灯灯泡的位置.
析:过一根木杆的顶端及其影子顶端作一条直线; 再过另一根木杆的顶端及其影子顶端作一条直线; 两直线相交于点O.点O就是路灯灯泡所在的位置.
拓展延伸
阅读P161-P162内容,思考下列问题:
(3)取一张平行四边形的纸片，在灯泡和桌面位 置都固定时，观察纸片的投在桌面上影子的形状， 并比较纸片的面积与影子的面积的的大小.
（4）变化灯泡与纸片的距离，或纸片与桌面间 的距离，观察影子的形状和大小的变化.
探索规律（二）
中心投影的性质:
普通地,在中心投影下,当每一种平面图形与
第八章 投影与识图
8.1 中心投影
观赏图片 导入新课
前面的皮影和手影都是在灯光照 射下形成的影子.这种现象就本节学习 的内容——投影
学习目的
九年级数学思维培训第八讲 构造相似辅助线——A、X字型
第八讲 构造相似辅助线——A 、X 字型
一、知识要点与思维方法
1、了解特征：与三角形一边平行的直线，在原三角形上截得的三角形与原三角形相似。
2、解题方法：（1）当题目图中出现“A ”“X ”型时，可利用比例线段求解；
（2）当图中出没有“A ”“X ”型时，可作平行线辅助线，构造“A ”“X ”型，得到比
例线段.
二、例题选讲
例1、如图，E 是□ABCD 的边AB 的中点，AC EF FD AF ,,31 相交于G ，求GC
AG 的值
例2、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F.
求证：AF=EF
C
例3、如图，直线交△ABC的BC，AB两边于D，E，与CA延长线交于F，若BD
DC＝
FE
ED=2，
求BE：EA的比值.
三、课堂练习
1、如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，求DF：FE的
值.
2、如图，在ABC
∆中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O.
（1）当
1
A2
AE
C
=时，求
AO
AD
的值；
（2）当
11
A34
AE
C
=、时，求
AO
AD
的值；
（3）试猜想
1
A1
AE
C n
=
+
时
AO
AD
的值，并证明你的猜想.
A
C
F
E
B D
E
D C
A
O。
九年级下册第八章知识点
九年级下册第八章知识点第八章知识点本章主要介绍了九年级下册的知识点。
以下将分节对每个知识点进行详细的讲解和阐述。
知识点一：二次函数二次函数是一种常见的数学函数，在数学中有着广泛的应用。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在本章中，我们将学习如何求解二次函数的顶点、轴对称、图像特征等内容，并通过例题的演示来加深理解。
知识点二：三角函数三角函数是研究角与边之间关系的数学函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
本章将讲解三角函数的定义、性质以及相关的求解方法，并通过实例来应用三角函数解决实际问题。
知识点三：平面向量平面向量是用来表示平面上具有大小和方向的量。
在本章中，我们将学习平面向量的定义、运算法则以及平面向量与几何形状的关系。
此外，还将介绍平面向量的数量积和向量积，并通过实例展示其应用。
知识点四：立体几何立体几何是研究空间图形的一门学科，也是数学中的重要内容之一。
本章将介绍立体几何的基本概念、性质和判定方法。
具体包括平面与立体的关系、立体的表面积和体积计算等内容，并通过实例来巩固掌握。
知识点五：概率统计概率统计是一种研究随机现象的数学方法。
在本章中，我们将学习概率的基本概念、常用的概率计算方法以及与事件相关的概率定理。
此外，还将介绍统计学的基本概念和统计分布，并通过实例对概率统计进行应用。
知识点六：解析几何解析几何是研究几何图形的代数方法。
本章将学习解析几何的基本原理、坐标系的建立以及直线与曲线的方程表示等内容。
同时，我们还将介绍平面与空间几何问题的解析解法，并通过实例展示其应用。
知识点七：数学建模数学建模是利用数学方法对实际问题进行描述、分析和求解的过程。
本章将介绍数学建模的基本思路、方法和步骤，包括问题的分析、模型的建立以及解决方案的验证等内容。
通过实例的讲解，提高学生的数学建模能力和实际问题解决能力。
以上便是九年级下册第八章的知识点概述。
九年级数学第八章知识点
九年级数学第八章知识点数学作为一门科学学科，是人们生活中不可或缺的一部分。
而对于九年级的学生来说，《数学》课程相对较为重要，尤其是第八章的知识点更是关系到学生是否能够建立牢固数学基础的关键。
在这一章节中，我们学习了一些重要的知识点，涉及到函数、方程以及概率统计等内容。
其中，函数的理解是非常重要的，因为函数是解决实际问题的一种数学工具。
我们学习了函数的定义、函数的性质以及函数的运算等等。
首先，我们需要明确函数是什么。
函数是一对对应关系，它将自变量和因变量进行关联，即通过自变量的取值，唯一确定因变量的取值。
在我们的日常生活中，有很多例子可以解释函数的概念，比如温度与时间、价格与数量等等。
函数的图像可以用曲线、折线等方式来表示，描绘出自变量和因变量之间的关系。
通过观察函数的图像，我们可以推断出函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性等。
其次，我们了解了函数的性质。
函数的性质可以通过函数的图像来判断。
例如，如果函数的图像是递增的，那么我们就可以认为这个函数是单调递增的；如果函数的图像是对称的，那么我们就可以认为这个函数是偶函数。
这些性质不仅帮助我们理解函数，还可以帮助我们解决实际问题。
进一步地，我们掌握了函数的运算。
函数的运算可以分为四则运算和复合运算。
四则运算包括加减乘除，我们可以对函数进行加减乘除的操作，得到一个新的函数。
复合运算则是将两个函数进行组合，得到一个新的函数。
函数的运算可以帮助我们求解一些复杂的问题，例如函数的极值、零点等。
除了函数的知识点，我们还学习了方程的知识。
方程是一个等式，它表示两个量相等。
我们学习了一元一次方程、一元一次不等式、二次方程等内容。
通过解方程，我们可以找到方程的解，进一步解决实际问题。
解方程的方法有很多种，例如代入法、等式法、图像法等等。
通过熟练掌握这些方法，我们可以迅速解决复杂的方程问题。
最后，我们还学习了概率统计的知识。
概率统计是一种研究随机事件发生规律的数学方法。
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3.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
4.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+1上，则m的值为_______________
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长
图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB=75°．
（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）
（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．
5．如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，若AD=2，CD=6，求AD的长
6．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．
（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．
8．（1）证明三角形中位线定理：_______________________________；[要求根据1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹）；（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
10．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB= ，求△AOC的面积．
练习
1．（2014临沂）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）
A.40°B．60°C．80°D.100°
2．如图，∠A0B的两边0A，0B均为平面反光镜，∠A0B=40°．在射线0B上有一点P，从P点射出一束光线经0A上的Q点反射后，反射光线QR恰好与0B平行，则∠QPB的度数是（）
九年级数学下学期讲义第八讲
授课时间：2015年5月2日
授课时段：19:30—21:30
科目：中考数学—三角形
课时：2课时
学生：
授课老师：徐峰
教学过程（内容）
备注
例题讲解
1．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=2ห้องสมุดไป่ตู้°，则∠2的度数为（）
A．60°B．45°C．40°D．30°
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为__________
（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
9．（2014绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
中考数学—直角三角形的边角关系
1．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）
A．26米B．28米C．30米D．46米
2．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为__________
3．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=_________
5.如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=_____________
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长_________
7．已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．
（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；
6．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．
（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）
7.为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．
4．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
5．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12.tan∠BAD= ，求sinC的值.
8．如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040）
9．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
相似
1．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）
A． B． C． D．
2.如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=
4.（2014扬州）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为cm3．