配方法与二次函数图形(1)
二次函数顶点坐标配方法
二次函数顶点坐标配方法二次函数是数学中的重要概念，在多个学科中都有着广泛的应用。
理解和掌握二次函数的性质和特点对于解决实际问题和应用数学是至关重要的。
在二次函数的图像中，顶点是一个十分关键的点，它具有很多重要的性质和作用。
本文将介绍如何通过已知的顶点坐标来推导和确定二次函数的相关信息。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，a不等于零。
当a等于零时，函数将不再是二次函数，而成为一次函数。
二次函数的顶点坐标可以通过求解函数的一阶导数为零的点来确定。
顶点的x 坐标可以通过以下公式得出： x = -b / (2a)将x值代入原二次函数公式，我们可以求得顶点的y坐标，即f(x)的值。
顶点坐标为(x, f(x))。
二、顶点坐标推导方法对于已知的顶点坐标 (h, k)，我们可以利用这一信息来推导和确定二次函数的相关信息。
下面将介绍两种不同的方法。
方法一：顶点配方法使用顶点配方法，我们可以将二次函数写成顶点形式。
顶点形式的二次函数如下：f(x) = a(x-h)^2 + k其中，(h, k)是顶点坐标。
通过与一般形式进行比较，我们可以将函数的相关参数确定如下：a = 1 / [4a]b = -2ahc = ah^2 + k方法二：顶点对称性方法通过顶点对称性方法，我们可以通过已知顶点坐标推导出另一个顶点。
如果 (h, k) 是一条二次函数的顶点坐标，那么对于该函数，以顶点为对称轴的图像上的任意一点 (p, q)，都满足以下关系：f(p) = f(2h - p) = q通过上述关系，我们可以将已知顶点坐标的函数图像在顶点对称轴的一侧上的任意一点对应的函数值，等于另一侧对称点的函数值。
这样，我们就可以通过已知的顶点坐标推导出另一个顶点坐标。
三、应用示例现在，我们通过一个具体的实例来演示如何利用已知顶点坐标来确定二次函数的相关信息。
假设我们已知一个二次函数的顶点坐标为 (3, -2)，现在我们要确定该二次函数的一般形式及其图像。
配方法二次函数
配方法二次函数嘿，朋友们！今天咱来聊聊配方法二次函数这个神奇的玩意儿！你说这二次函数啊，就像是一个有点调皮的小精灵，得用对方法才能把它给驯服咯。
咱先来说说啥是二次函数。
就好比你去果园摘果子，果子的高度和你走的距离之间就可能存在着二次函数的关系呢。
它的一般式是y=ax²+bx+c，这里面的 a、b、c 就像是小精灵的各种小脾气。
那配方法又是咋回事呢？这就像是给小精灵穿上一件合适的衣服，让它变得乖乖的。
咱通过一些巧妙的运算，把一般式变成顶点式y=a(x-h)²+k。
你看，这不就把小精灵的脾气摸得透透的啦！比如说，给你一个二次函数 y=x²+2x+3，咱怎么用配方法呢？嘿，别着急，跟着我一步步来。
先把 x²+2x 这部分看成一个整体，就像是给它们俩绑在了一起。
然后呢，在里面加上一个 1，为了保持平衡，还得再减去一个 1 呀。
这样就变成了 y=(x²+2x+1)+2 啦，再一化简，可不就成了 y=(x+1)²+2 嘛！你瞧，这小精灵是不是一下子就被我们给搞定啦！配方法有啥用呢？那用处可大啦！就好比你知道了小精灵的脾气，就能预测它下一步会干啥。
你能通过配方法找到二次函数的顶点坐标，知道它的对称轴，还能清楚它的最值呢！这多厉害呀，就像你有了一双能看透小精灵心思的眼睛。
咱再举个例子呗，y=2x²-4x+1。
哎呀，这次好像有点复杂呢，但咱不怕呀！还是按照老办法，先把2x²-4x 这部分处理一下，给它加上2，再减去 2。
最后变成 y=2(x²-2x+1)-1，再化简就是 y=2(x-1)²-1 啦！是不是很神奇呀？朋友们，配方法二次函数就像是一把打开数学宝藏的钥匙呀！只要你掌握了它，就能在数学的世界里畅游无阻啦！别觉得它难，多试试，多练练，你肯定能行的！就像你刚开始学走路的时候，不也跌跌撞撞的嘛，但现在不也走得稳稳当当的啦！相信自己，你一定能把这个调皮的小精灵给驯服得服服帖帖的！加油哦！。
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
一元二次方程式的公式解及二次函数图形
一元二次方程式的公式解及二次函数图形个人整理的，觉得很好，就上传到文库与大家一起分享第一章一元二次方程式的公式解及二次函數圖形重點一：由配方法導公式解==>設一般通式為為aX2 + bX + c = 0則由配方法步驟1.讓X2項係數為1(各項除a)==>2.將常數項移至等號的另一邊==>3.根據X項係數的一半進行配方==>4.等號兩邊開平方根，再移項可得公式解==>?學生練習：1.請分別使用配方法及公式解法解X2 ? 4X + 1 = 0，並驗證其結果是否相同？重點二：二次函數圖形==>一、何謂函數？令y = f (x) ，其中x稱為自變數，y為應變數，當x改變時，y會對應變換，且一個x值僅對應獨立的一個y值，則y稱為x的函數國中常見的函數形式有：常數函數(如：y =3等)、一次函數又稱線性函數(如：y =2X ? 1)、二次函數(如：y = X2 ? 3X + 2)二、二次函數的圖形==>請先看幾個二次函數圖形(如上圖，我們稱這樣的圖形為拋物線，且不難發現的是所有的拋物線都有個頂點且X2係數是正的，圖形凹口向上；反之，係數是負的，圖形凹口向下(思考：是否所有的二次函數圖形是否都為拋物線？如果是，是否有個統一的形式能表達出來？三、二次函數的通式==>我們從二次函數的一般式下手y = f (x) = aX2 + bX + c = a ( X2 +X )+ c= a ( X2 +X +()2 )+ c? a ()2= a ( X ? )2 +討論：1.若a>0，則a ( X ? )2>0，y有最小值，圖形凹口朝上，頂點為(，)，且a愈小，開口愈大2.若a<0，則a ( X ? )2<0，y有最大值，圖形凹口朝下，頂點為(，)，且a愈大，開口愈小?學生練習：1.請試繪出y = X2 ? 4X +4在座標平面上的圖形四、二次函數圖形與一元二次方程式解各數的關聯==>二次函數y = aX2 + bX + c與X軸的交點數目即為一元二次方程式aX2 + bX + c = 0的根個數(思考：X軸的方程式為y = 0五、二次函數圖形的平移==>設y = a ( X ? h )2 + k為通式，我們已知a決定開口大小及開口方向，(h，k)為頂點座標，但若此一函數圖形欲向左右或上下平移時，函數會做如何變動？我們以y = X2為例：1. 圖形右移h單位，方程式變更為：2. 圖形左移h單位，方程式變更為：3. 圖形上移k單位，方程式變更為：4. 圖形下移k單位，方程式變更為：5. 圖形同時右(左)移h單位及上(下)移k單位，方程式變更為：第二章二元一次聯立方程式其解涵義及係數分別法重點一：二元一次聯立方程式其解涵義==>一、任何一個二元一次方程式都可改寫成Y = AX + B的形式，在前面章節我們提過，此形式在座標平面上呈現的圖形為一直線，此直線上任一點座標帶回原方程式都會符合，亦是我們稱此類型為線性函數的原因二、承上，兩個不同的方程式其圖形在座標平面上為兩條不同的直線，若有交點，則必同時符合兩方程式，就我們所知兩條直線的相交情形有三種，恰可解釋二元一次聯立方程式的三種解情形，其對應關係如下：兩直線相交於一點==> 聯立方程式有為一解兩直線重疊==> 聯立方程式有為無限多組解兩直線平行不相交==> 聯立方程式無解重點二：係數分別法==>設兩個二元一次方程式分別如下：A1X + B1Y + C1 = 0 ，A2X + B2Y + C2 = 01. 若兩線重疊，則==>兩方程式係數成比例2. 若兩線平行，則3. 若兩直線相交於一點，則第三章根與係數關係重點一：根與係數關係==>一、設一元二次方程式的兩根為α、β，則此一元二次方程式可表示成( X ? α)( X ? β) = 0的形式，我們將其展開可得：X2 ? ( α + β ) X +α β = 0二、將一元二次方程式的標準式：aX2 + bX + c = 0 其X2項化成1，我們可得==> X2 + X + = 0三、比較一和二可得X2 ? ( α + β ) X +α β = 0 (1)X2 + X + = 0 (2)α + β = ? (1)α β = (2)?學生練習：1.若aX2 + bX + 16 = 0的兩根為2、4，求a + b =進階：三次根與係數關係==> aX3 + bX2 + cX + d = 0和三根：α、β、γα + β + γ= ? (1)αβ + βγ + γα = (2)α βγ = ? (3)第四章和(差)的立方公式及立方和(差)公式重點一：和(差)的立方公式推導==>一、( a + b )3 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ...先處理( a + b ) ( a + b )= ( a2+2ab+b2 ) ( a + b ) ...將( a + b )分配乘入( a2+2ab+b2 )= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 ...同類項合併= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3二、同法可証( a ? b )3 = a3 ? 3a2b + 3ab2 ? b3?學生練習：1. ( 2X + 3 )3 =2. ( 3X ? 2 )3 =重點二：立方和(差)公式推導==>一、a3 + b3 = ( a + b ) ( a2?ab+b2 )方法一：將a3 + b3 除以a + b 可得証方法二：將( a + b ) ( a2?ab+b2 ) 乘開可得証二、同法可証a3 ? b3 = ( a －b ) ( a2+ab+b2 )?學生練習：請將下列式子因式分解：1. 8X3 + 1 =2. X3 ? 27 =第五章簡易的三角函數重點一：簡易三角函數的涵義==>一、簡易的三角函數說明即為一種存在直角三角形中的對應關係，如圖：sinθ= ，cosθ=tanθ= ，cotθ=secθ= ，cscθ=二、三角函數與直角座標系的結合：sinθ= ，cosθ=tanθ= ，cotθ=secθ= ，cscθ=重點二：三角函數的基本性質：一、三角函數的範圍：0 < sinθ，cosθ< 10 < tanθ，cotθ< ∞(無限大)secθ，cscθ> 1二、三角函數的基本性質：1.倒數關係：sinθ= ，cosθ= ，tanθ=cotθ= ，secθ= ，cscθ=2.平方和關係：sin2θ+ cos2θ= 11 + tan2θ = cot2θ1 + sec2θ = csc2θ3.商數關係：tanθ= ，cotθ=4.特別角：300450600sinθcosθtanθ15.平方和公式應用：(sinθ cosθ)2 = 1 2 sinθcosθsin4θ＋cos4θ= 1 ? 2 sin2θcos2θ第六章等差數列、級數與等比數列、級數重點一：等差數列、級數==>一、數列a1、a2、a3、.........an中，若存在一數值d滿足ai+1－ai＝d 恆成立，則此數列稱為等差數列且稱d為此等差數列的公差二、級數a1＋a2＋a3＋.........an中，若存在一數值d滿足ai+1－ai＝d 恆成立，則此數列稱為等差級數且稱d為此等差級數的公差三、公式：1. an＝a1＋(n－1) d2. sn＝a1＋a2＋a3＋......an＝( a1＋an ) ＝[ 2a1＋(n－1) d ]?學生練習：1. 級數1＋4＋7＋10 (100)2. 一等差級數共20項，前10項和為110，後10項和為330，問此級數的公差為，首項為重點二：等比數列、級數==>一、數列a1、a2、a3、.........an中，若存在一數值r滿足ai+1÷ai ＝r 恆成立，則此數列稱為等比數列且稱r為此等比數列的公比二、級數a1＋a2＋a3＋.........an中，若存在一數值r滿足ai+1÷ai ＝r 恆成立，則此數列稱為等比級數且稱r為此等比級數的公比三、公式：1. an＝a1×rn－12. sn＝a1＋a2＋a3＋......an＝r > 1 時或0< r < 1 時思考：xn－1＝（x-1）（xn－1＋xn－2＋...＋x＋1）3. 當0< r < 1時an →0 ，sn →?學生練習：1.級數1＋2＋4＋8 (512)2. 1＋＋＋＋＋＋............＝????????國中升高中數學補強教材1。
二次函数配方法求最值
二次函数配方法求最值二次函数求最值的方法主要有两种，一种是利用二次函数的几何性质，另一种是通过配方法进行转化。
以下将详细介绍这两种方法的求最值过程。
一、利用二次函数的几何性质求最值对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，它的图像是一个抛物线。
根据几何性质，当抛物线开口向上时，即a>0时，二次函数的最小值出现在抛物线的顶点上；当抛物线开口向下时，即a<0时，二次函数的最大值出现在抛物线的顶点上。
以y=x^2为例，这是一条开口向上的抛物线，最小值出现在顶点上。
其中，顶点的横坐标x=-b/2a，纵坐标y=(-b/2a)^2、所以最小值为y=0，即抛物线的最小值为0。
当二次函数不是这种简单形式时，我们可以通过变形将其转化为y=a(x-h)^2+k的形式，其中(h,k)表示顶点的坐标。
具体步骤如下：1.将二次函数用配方法转化为y=a(x-h)^2+k的形式，即将二次项用完全平方式配成平方。
2.利用配方法，将二次函数转化成一个完全平方的形式。
具体的配方法步骤如下：a.将二次项的系数a取出，并将其与常数项c除以2后的结果的平方作为一个新的常数d，即d=(b/2a)^2b. 将二次项系数a乘到括号里的平方项上，即a(x^2+bx/a)。
c.将常数项c减去新的常数d，即c-d。
d. 利用一元二次三项式平方公式，将前两项平方后相加，并加上常数项c-d，即得到一个完全平方，即(x^2+bx/a)^2+c-d。
3.将二次函数化简后，与y=a(x-h)^2+k进行对比，得到方程的参数。
a.将二次函数化简后的表达式与y=a(x-h)^2+k进行对比，即由d=(b/2a)^2和c-d表示的表达式与h和k进行对比，得到方程参数h和k的值。
b.根据得到的参数h和k，就可以得到最值的横坐标和纵坐标。
二、利用配方法进行转化求最值配方法是一种通过变量替换来变形求解的方法，主要用于解决二次函数的最值问题。
二次函数的图像及一元二次方程与二次函数的关系
第十五讲二次函数的图像与性质二次函数 y ax2bx c 图象的画法1、二次函数的表示方法：1.一般式： y ax2bx c 〔 a ，b， c 为常数，a0 〕；2.顶点式： y a( x h )2k 〔 a ， h ， k 为常数，a0 〕；五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a(x h)2k ，y ax2bx c= a(x2b ca x2b b2(b2ca( xb24ac b2 x)x( ))a)4aa a a2a2a2a由此可见函数 y ax 2bx c 的图像与函数y ax 2的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
2、二次函数y ax2bx c 的图像特征〔1〕二次函数y ax 2bx c ( a≠0)的图象是一条抛物线；3、二次函数 y ax2bx c 的性质1. 当a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而减小；2a当 x b时， y 随x的增大而增大；2a当 x b时， y 有最小值4acb2．2a4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而增大；2a当 x b时， y 随x的增大而减小；2ab时， y 有最大值4ac2当 x b．2a4a3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；y 轴交点的纵坐标为负．⑶当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．例1 函数 y= x2 -2x -3 ,〔1〕把它写成y a(x m) 2k 的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的（2〕写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3〕求出图象与坐标轴的交点坐标；（4〕画出函数图象的草图；( 5 ) 设图像交x 轴于 A、 B 两点，交y 轴于 P 点，求△ APB 的面积；〔6〕根据图象草图，说出x 取哪些值时，①y=0;②y<0;③y>0.例 2、求抛物线y 1 x23x5的对称轴和顶点坐标。
第十二课时二次函数(一)
已知点A（-3，y1）、B（-1，y2)、C（2，y3）都在抛物线y=a(x-1)2+c(a
＜0）上，则y1、y2、y3的大小关系是
（用＜连接）
在下列函数图象上任取不同两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使
＜0 成立的是
（） A．y＝3x﹣1（x＜0） C．y＝﹣ （x＞0）
B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
(2019·温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取
值范围内，下列说法正确的是(
)
A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1
C. 有最大值7，有最小值－1
D. 有最大值7，有最小值－2
知识点4 二次函数图象的平移
1. 二次函数一般式平移：
平移前的 解析式
第12课时 二次函数的图象和性 质(一)
课时目标
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到 二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道 二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律.
考点六 二次函数与几何的综合运用 例6 (2019·玉林中考改编)已知抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平
方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交 于点Q.若∠DQD1＝60°，求m的值．
[方法归纳] 本题是抛物线的平移、中点坐标公式、等边三角形的判定、平面直角坐标系中 两点间距离公式的综合运用，用含m的代数式表示出点D，D1，Q的坐标是解题的关键．
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
二次函数的图像和性质1(左右平移)
么?
• (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有 什么关系? • 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大 而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
习题
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出 草图进行验证. 3 2 2 2 1. y 2x 3 5; 2. y 0.5x 1 ; 3. y 4 x 1; 3 2 2 4.y 2x 2 5; 5. y 0.5x 4 2; 6. y x 32 . 4
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
y 3x 6 x 5 5 2 3 x 2 x 提取二次项系数 3 5 配方:加上再减去一次项 2 3 x 2 x 1 1 系数绝对值一半的平方 3 2 2 整理:前三项化为平方形 配方后的表达式 3x 1 式,后两项合并同类项 3 通常称为顶点式 2 化简:去掉中括号 3x 1 2.
y 2 x 2
X=1
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x² ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=3x² 和y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x² ,y=-3(x-1)2的 图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而 增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
二次函数配方法公式过程
二次函数配方法公式过程二次函数是高中数学中重要的内容之一，它具有许多重要的性质和应用。
在解题过程中，我们经常需要运用一些方法和公式来方便地处理二次函数。
一、二次函数的标准形式二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是抛物线，其开口方向由 a 的正负号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的顶点坐标对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标可通过以下公式得到：x=-b/(2a)y=-Δ/(4a)其中，Δ = b^2 - 4ac 是二次函数的判别式。
顶点坐标是二次函数的重要特征，它能直接提供抛物线的最值和开口方向。
三、二次函数的对称轴对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴方程为 x = -b / (2a)。
对称轴是垂直于x轴的直线，与抛物线的开口方向垂直，并且将抛物线对称分为两部分。
四、二次函数的零点公式二次函数的零点即方程 y = ax^2 + bx + c 的解，可以通过以下公式得到：x=(-b±√Δ)/(2a)其中，±表示两个解，Δ = b^2 - 4ac 是二次函数的判别式。
零点是方程与x轴的交点，也是二次函数图像的横坐标。
五、二次函数的最值对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的最值可通过以下公式得到：最小值为y=c-Δ/(4a)最大值为y=c+Δ/(4a)最值对应的横坐标即为顶点的横坐标x=-b/(2a)六、二次函数的图像判断根据二次函数的标准形式 y = ax^2 + bx + c，可以通过以下步骤来判断其图像：1. 计算二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac2.如果Δ>0，则二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；3.如果Δ=0，则二次函数有一个重根，图像与x轴有一个交点；4.如果Δ<0，则二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。
数学课本-二次函数
可到达 A 点，则 A 点坐标为 （10 ,－2） 。
y
◆函数值与画图
已知 f（x）＝ 2 x－1， 3
(1) f（0）＝ －1 ，f（1）＝ －1 。 3
(3 , 1)
O (0 ,－1)
x
(2) 在坐标平面上，画出 f（x）的函数图形。
兔包一家人到公园玩棒球游戏。 我当投手。
谁要先打？
P05
y
O (0 , 0)
x
(－1 ,－2) (1 ,－2)
(－2 ,－8)
(2 ,－8)
P12
随堂练习 搭配习作 P4 基础题 2 (1) 描绘下列二次函数的图形，并求此图形的顶点坐标、对称轴及开口方向：
(1) y＝ 1 x2 2
解
x … －2 －1 0 1 2 …
y… 2 1 0 1 2…
2
2
y 顶点坐标： （0 , 0） 对称轴： x＝0（y 轴） 开口方向： 开口向上
例 3 y＝ax2 的绘图
描绘下列二次函数的图形，并求此图形的顶点坐标、对称轴及开口方向：
(1) y＝2x2
(2) y＝－2x2
解
(1) 将 x 和所对应的 y 值列表如下：
x … －2 －1 0 1 2 …
y… 8 2 0 2 8…
描点并以平滑的曲线将这些点由左至右依
y
序连接起来，如右图。 顶点坐标：（0 , 0）。
先让我。
我先。
打到了。 啊！球只擦到边。
好逊喔！爸爸示范 给你们看。
y
好厉害。
O
x
你们有没有发现，当棒球飞出去所经过的路线， 就是抛物线的一部份。
真的耶！
P06 1-1 二次函数的图形
二次函数配方法
二次函数配方法二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述许多实际问题中的关系。
在解决与二次函数相关的问题时，我们可以使用配方法，即将原方程通过特定的变换，转化成一个可以更容易求解的形式。
在本文中，我将详细介绍二次函数和配方法的概念，并提供一些实际问题的例子，以帮助读者更好地理解和应用这些内容。
首先，我们来回顾二次函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为：$$f(x) = ax^2 + bx + c$$其中，$a$、$b$和$c$为常数，$a$不能为零。
二次函数的图像通常是一个抛物线，可以是开口向上或向下的。
开口向上的情况，当$a>0$时，抛物线的最低点为顶点，称为极小值点；开口向下的情况，当$a<0$时，抛物线的最高点为顶点，称为极大值点。
配方法是一种将二次函数转化为一个完全平方的形式的方法。
其基本思想是利用二次函数的对称性和平方差公式，将二次函数改写为一个完全平方的形式，然后通过分解因式或开根号的方式进行求解。
下面我们将详细介绍配方法的步骤。
步骤1：将二次函数写成一般形式，即$f(x) = ax^2 + bx + c$。
其中，$a$不为零。
步骤2：当$a$不为1时，可以先将系数进行化简。
即将方程两边同时除以$a$，得到$f(x) = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$。
步骤3：通过平移的方式，将二次函数转化为一个完全平方的形式。
具体操作是使用一个常数$d$，使得$x^2 + \frac{b}{a}x$可以表示为$(x+ \frac{b}{2a})^2 - d$的形式。
其中，常数$d$的取值应满足$d = (\frac{b}{2a})^2$。
这一步的目的是将二次项和一次项通过平方差公式进行合并，从而形成一个完全平方。
步骤4：将上一步得到的结果代入二次函数的表达式中，即$f(x) = (x + \frac{b}{2a})^2 - d + \frac{c}{a}$。
配方法的步骤二次函数
配方法的步骤二次函数二次函数是数学中常见的基本函数之一，它的一般形式为：f(x)=ax2+bx+c其中，a、b、c为实数且a eq0。
在解决实际问题时，经常需要对二次函数进行配方法，以便于求得函数的根，或者求得其他与函数相关的信息。
配方法是一种将一般形式的二次函数转换为完全平方形式的方法。
本文将为您介绍如何应用配方法来求解二次函数的根和化简函数形式。
一、求二次函数的根要求解二次函数的根，首先需要将二次函数转化为完全平方形式，然后通过因式分解的方法得到函数的根。
下面是配方法的步骤：步骤1：令f(x)=ax2+bx+c，将b的系数项分拆为两个相等的项，并引入一个特定的常数d：$$ f(x) = ax^2 + 2\\left(\\frac{b}{2a}\\right)x + c $$步骤2：将b的系数项平方，加上一个恰当的常数e，再从函数中减去这个项。
这个过程相当于添加和减去了一个恰当的常数，保证了二次函数的等价性。
此时，我们得到了一个完全平方形式的二次函数：$$ f(x) = ax^2 + 2\\left(\\frac{b}{2a}\\right)x + c -\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2 + e - \\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2 $$ 这个过程将使我们得到一个完全平方形式的二次函数。
步骤3：接下来，将完全平方形式的二次函数进行化简，得到一个简化的函数形式。
这个过程相当于将第二步中的常数项合并，得到一个简化的二次函数：$$ f(x) = a\\left(x + \\frac{b}{2a}\\right)^2 + \\left(c -\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2 + e\\right) $$步骤4：通过因式分解法，将简化后的二次函数进行分解，得到根的表达式：$$ f(x) = a\\left(x + \\frac{b}{2a}\\right)^2 + \\left(c -\\left(\\frac{b}{2a}\\right)^2 + e\\right) = a(x - x_1)(x - x_2) $$其中，x1和x2为二次函数的根。
配方法二次函数
配方法二次函数二次函数是一种重要的数学函数形式，具有特定的曲线特征。
配方法是一种常用的求解二次函数的方法。
在本文中，我们将探讨配方法的工作原理、使用场景以及具体的求解步骤。
1. 配方法简介配方法，也称作配方法，是一种用于解二次方程的方法。
它基于二次函数的形式，通过通过配方和求根公式的使用，将二次方程化简为一次方程或其他简单的数学表达式，从而求解出变量的值。
2. 配方法的工作原理二次函数的一般形式为：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是已知的常数，x 是未知变量。
当我们使用配方法求解二次方程时，我们要通过一系列的代数操作，将二次方程转化为一个易于求解的形式。
配方法的主要步骤如下： - 将二次函数f(x)写成完全平方的形式，即将x2的系数a提取出来，得到$f(x) = a(x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{c}{a})$。
- 在括号内完成平方操作，即找到一个常数d，使得$(x + \\frac{b}{2a})^2 = x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{c}{a}$。
- 将d代入括号中，即得到$f(x) = a(x + \\frac{b}{2a})^2 +\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}$。
- 对于x的平方项，我们可以使用开方法将其转化为一次项。
解方程$(x + \\frac{b}{2a})^2 = \\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}$，得到$x + \\frac{b}{2a} = \\pm\\sqrt{\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}}$。
- 最后，通过求解一次方程$x + \\frac{b}{2a} = \\pm\\sqrt{\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}} -\\frac{b}{2a}$，我们可以得到二次方程的解。
3. 配方法的使用场景配方法主要用于解决二次方程的问题。
配方法 二次函数(最全版)PTT文档
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
(4)最值不同:分别是
和0.
x … -2 -1 0 1 2 a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
3
4…
由a,b和c的符号确定
相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
y 3 x 1 2 … 29 配方:加上再减去一次2 项系数绝对值一半的平方
14
5
2
5 14 29 …
w4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
学了就用,别客气
y3x26x5
y2x212x13
●(1,2)
?
X=1
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
●(3,-5) X=3
yaxb24a
cb2 .
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点式
y0.02x2 25 0.9x10
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
w⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
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配方法与二次函数图形(1)
在坐标平面上绘图
1. y＝（x－2）²＋1
2. y＝3＋2x－x²
3. y＝－2（x－1）²的图形，可由y＝－2x²的图形向移单位。
4.y＝1/2（x＋4）²的图形，可由y＝1/2x²的图形向移单位。
5.将y＝3x²的图形向上移5个单位，再向右移3个单位，可得到二次函数y＝的图形。
6.将y＝－x²＋1的图形向左移2个单位，再向下移4个单位，可得到二次函数y＝的图形。
二次函数的配方：利用配方法将二次函数写成y＝a（x－h）²＋k的形式，并判断其顶点、对称轴及开口方向。
16.在坐标平面上，直线y＝3分别与y＝x²交于A、B两点；与y＝2x²交于C、D两点；与y＝3x²
交于E、F两点，则AB、CD、EF的大小关系为。
17. y＝ax＋b的图形通过（1,3）、（－2,5）两点，则a＝，b＝；此拋物线的顶点A之
坐标为，又与X轴交于B、C两点，则△ABC的面积为平方单位。
18.二次函数通过（0,3）、（1,4）两点，且对称于ｙ轴，则此二次函数为y＝。
19.将二次函数的图形向右平移2单位，再向下平移3单位后所得新位置的二次函数为y＝2x²－１，
则原二次函数为y＝。