第十四章整式的乘法与因式分解复习课件
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因式分解与整式乘法复习课件
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总结词
掌握解题技巧对于提高 数学解题效率至关重要 ，以下是一些实用的解
题技巧。
观察法
通过对题目进行观察， 寻找规律或特殊性质，
从而简化计算过程。
整体代入法
在解题过程中，将某些 部分视为整体，进行代 入或计算，简化问题。
构造法
通过构造辅助函数、表 达式等手段，将问题转 化为更易于处理的形式
多项式乘多项式
总结词
掌握多项式与多项式相乘的规则
详细描述
多项式与多项式相乘时，应将第 一个多项式的每一项分别与第二 个多项式的每一项相乘，然后合
并同类项。
举例
$(x + y) times (x^2 - y^2) = x(x^2 - y^2) + y(x^2 - y^2) =
x^3 - xy^2 + xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$
练习题二：整式乘法
总结词 整式乘法是数学中的基础运算， 通过掌握整式乘法的规则和技巧 ，可以快速准确地完成复杂的数 学计算。
多项式与多项式的乘法 按照多项式乘法的步骤，逐步展 开并合并同类项。
单项式与单项式的乘法 根据系数、字母因子的乘法法则 进行计算。
单项式与多项式的乘法 将单项式分别与多项式的每一项 相乘，再合并同类项。
步骤
首先观察多项式的项，找出可以组合成整式的项，然后对每 组进行因式分解。
02
整式乘法的回顾
单项式乘多项式
01
02
03
总结词
理解单项式与多项式相乘 的规则
详细描述
单项式与多项式相乘时， 应将单项式的每一项分别 与多项式的每一项相乘， 然后合并同类项。
举例
$(2x + 3y) times (x^2 y^2) = 2x^3 - 2xy^2 + 3xy^2 - 3y^3 = 2x^3 + xy^2 - 3y^3$
人教版八年级上册数学精品教学课件 第14章 整式的乘法与因式分解 第2课时 多项式与多项式相乘
课堂小结
多项式乘 多项式
运算 法则
注意
多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 实质上是先转化为单项式×多项式, 进而转化为单项式×单项式的运算
不要漏乘；正确确定各项符号；结 果要最简
= 3x2 + 6x + x + 2 = 3x2 + 7x + 2.
结果中有同类项 的要合并同类项.
(2) 原式 = x ·x - xy - 8xy + 8y2 = x2 - 9xy + 8y2.
计算时要注意 符号问题.
(3) (x + y)(x2－xy + y2).
计算时不能漏乘
解：原式 = x ·x2－x ·xy + xy2 + y ·x2－y ·xy + y ·y2
由上面计算的结果找规律，观察填空： (x + p)(x + q) =__x_2 + __(p__+_q_)__x +__p_q___.
例4 已知等式 (x + a)(x + b) = x2 + mx + 28，其中 a、b、
m 均为正整数，你认为 m 可取哪些值？它与 a、b 的取
值有关吗？请写出所有满足题意的 m 的值. 解：由题意可得 a + b = m，ab = 28.
方法总结：化简求值的题型，注意一般应先化简， 再求值．
例3 已知 ax2＋bx＋1 (a≠0) 与 3x－2 的积不含 x2 项，
人教版数学八年级上册14整式的乘法与因式分解小节课件
解：(1) a4-16a2 = a2(a2-16) = a2(a+4)(a-4) ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 = ab(-2ab+a2+b2) = ab(a-b)2 ;
2.因式分解：
(3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ;
(4) (x2+y2)2-4x2y2 .
2.因式分解： (1) a4-16a2 ; (2) -2a2b2+a3b+ab3 ; (3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ; (4) (x2+y2)2-4x2y2 .
分解因式要观察式子的形 式，选择合适的方法，并 且分解后的结果一定要到 不能再分解为止.
2.因式分解： (1) a4-16a2 ;
∴
x=83， y=0 或
xy==083，或 xy==--814，或
x=-1， y=-84.
∴x+y=83或-85.
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
因式分解的一般步骤：
一提
看多有无公因式，若 有应先提取公因式
二套
考虑是否可用公式法分解，两项考虑 平方差公式，三项考虑完全平方公式
三查
检查是否分解彻底， 若没有则继续分解
不能直接 套公式时 可适当变 形整理
重难剖析
1.综合运用提公因式法、公式法分解因式：
= 3ab[a2-(4b)2]
= (x2-4)2
= 3ab(a+4b)(a-4b) ;
= [(x+2)(x-2)]2
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 = ab(-2ab+a2+b2) = ab(a-b)2 ;
2.因式分解：
(3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ;
(4) (x2+y2)2-4x2y2 .
2.因式分解： (1) a4-16a2 ; (2) -2a2b2+a3b+ab3 ; (3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ; (4) (x2+y2)2-4x2y2 .
分解因式要观察式子的形 式，选择合适的方法，并 且分解后的结果一定要到 不能再分解为止.
2.因式分解： (1) a4-16a2 ;
∴
x=83， y=0 或
xy==083，或 xy==--814，或
x=-1， y=-84.
∴x+y=83或-85.
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
因式分解的一般步骤：
一提
看多有无公因式，若 有应先提取公因式
二套
考虑是否可用公式法分解，两项考虑 平方差公式，三项考虑完全平方公式
三查
检查是否分解彻底， 若没有则继续分解
不能直接 套公式时 可适当变 形整理
重难剖析
1.综合运用提公因式法、公式法分解因式：
= 3ab[a2-(4b)2]
= (x2-4)2
= 3ab(a+4b)(a-4b) ;
= [(x+2)(x-2)]2
人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习
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数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
返回
数学
(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
返回
数学
17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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数学
9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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数学
18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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谢谢观看
数学
解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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数学
解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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数学
(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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数学
17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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数学
9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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数学
18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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数学
解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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数学
解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
第十四章 整式的乘法与因式分解数学活动 教学课件(共14张PPT) 人教版八年级数学上册
（2）你能用本章所学知识解释这个规律吗？
（3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 752；952。
3021； 1224； 7224； 5609
分析: a+b=10
(10n+a) (10n+b)
=100n2 +(a+b)×10n+a·b
n×（n+1)×100+a·b=
100n2 +100n+a·b
∵日历中下一行与上一行数字相差7（一周7天），
不妨设4个数字为：a,a+1,a+7,a+8;
小贴士：
（a+7)(a+1)-a(a+8)=(a2+8a+7)-(a2+8a)=7.
∴ 任一个月历都满足以上规律.
方框必需框住4个数字，含有空格的 方框不合题意.
四、梳理新知，小结新课
活动1：：观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用 本章知识证明你的结论吗？
活动2：计算下列两个数的积，你有什么发 现？你能用本章所学知识解释这个规律吗？
活动3：观察下列展开式的系数或常数
活动4：日历上，我们可以发现其中数字满
(a+b)4=1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4求(a+b)5展开后各项的系数； 足的规律，用所学知识对以上规律加以证明.
观察
设字母，写代数式
我们任意选择其中所示的方框部分，将
每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，
再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-
16×24=7，发现结果都是7.
再选择两个类似的部分试试，验证规律；
（3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 752；952。
3021； 1224； 7224； 5609
分析: a+b=10
(10n+a) (10n+b)
=100n2 +(a+b)×10n+a·b
n×（n+1)×100+a·b=
100n2 +100n+a·b
∵日历中下一行与上一行数字相差7（一周7天），
不妨设4个数字为：a,a+1,a+7,a+8;
小贴士：
（a+7)(a+1)-a(a+8)=(a2+8a+7)-(a2+8a)=7.
∴ 任一个月历都满足以上规律.
方框必需框住4个数字，含有空格的 方框不合题意.
四、梳理新知，小结新课
活动1：：观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用 本章知识证明你的结论吗？
活动2：计算下列两个数的积，你有什么发 现？你能用本章所学知识解释这个规律吗？
活动3：观察下列展开式的系数或常数
活动4：日历上，我们可以发现其中数字满
(a+b)4=1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4求(a+b)5展开后各项的系数； 足的规律，用所学知识对以上规律加以证明.
观察
设字母，写代数式
我们任意选择其中所示的方框部分，将
每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，
再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-
16×24=7，发现结果都是7.
再选择两个类似的部分试试，验证规律；
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课教学课件复习(单项式与单项式、多项式相乘)
问题探究：
如图（1）是某中学B楼和C楼之间的一个长和宽分别为米和米
的长方形绿地，如果它的长和宽分别增加米和米后变成了新的长方
形绿地如图（2）.请你计算这块新长方形绿地的面积.
图（1）
图（2）
知识讲解
你能用不同的形式表示长方形
绿地的面积吗？
此时绿地面积：
方法1 =( + ) ( + )①
化为单项式乘单项式）
单项式与多项式的乘法法则
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式
乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
用字母表示如下：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注意：（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
例3
计算:
(1)
3a(5a b)
(2) - 7x y 2 x 3 y
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
＝3ax3+（－2a＋3b）x2＋（－2b＋3）x－2.
∵积不含x2项，也不含x项，
a
2a 3b 0,
∴
∴
2b 3 0,
b
9
,
4
3
.
2
拓展练习
计算：
x2+5x+6
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致；
(3)单项式系数为负时，改变多项式每项的符号.
如图（1）是某中学B楼和C楼之间的一个长和宽分别为米和米
的长方形绿地，如果它的长和宽分别增加米和米后变成了新的长方
形绿地如图（2）.请你计算这块新长方形绿地的面积.
图（1）
图（2）
知识讲解
你能用不同的形式表示长方形
绿地的面积吗？
此时绿地面积：
方法1 =( + ) ( + )①
化为单项式乘单项式）
单项式与多项式的乘法法则
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式
乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
用字母表示如下：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注意：（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
例3
计算:
(1)
3a(5a b)
(2) - 7x y 2 x 3 y
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
＝3ax3+（－2a＋3b）x2＋（－2b＋3）x－2.
∵积不含x2项，也不含x项，
a
2a 3b 0,
∴
∴
2b 3 0,
b
9
,
4
3
.
2
拓展练习
计算：
x2+5x+6
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致；
(3)单项式系数为负时，改变多项式每项的符号.
人教版八年级数学上册课件：14章 整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)
A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则： 系数、同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分 解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.
人教版八年级上册数学精品教学课件 第14章 整式的乘法与因式分解 提公因式法
典例精析 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 ( B ) ① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；
③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).
A．1 个 B．2 个
C．3 个
D．4 个
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，
当堂练习
1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
2. 把多项式 ( x + 2 )(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2) 后，余下的部分是（ D ）
A．x + 1 B．2x C．x + 2
问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 找 3 x 2 – 6 x y 的公因式.
3 系数： 最大公约数
x
1
指数： 相同字母的
字母： 最低次数
相同的字母
所以公因式是 3x
找出多项式的公因式的一般步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的因式相同 时，提公因式后剩余的项是 1.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1)
注意：某项提出莫漏 1.
小华的解法有误吗？ 因式分解：- x2 + xy - xz. 解：原式 = - x(x + y - z).
错误
提出负号时括号 里的项没变号
4. 把下列各式分解因式： (1) 8m2n + 2mn =__2_m_n_(_4_m__+__1_)_；
第十四章整式的乘法与因式分解复习--ppt课件精选全文
提：提公因式 提负号
套 二项式：套平方差 三项式：套完全平方与十字相乘法
看： 看是否分解完
3、因式分解应用：
ppt课件
9
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1
B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2
C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)
D. 2a2 - 1 （2 a2 - 1） （2 a 1）(a 1)
2
4
22
ppt课件
10
2.下列各式是完全平方式的有( D )
① x2 2x 4 ③x2 2xy y2
② x2 x 1 4
④ 1 x2 - 2 xy y2 93
A.①②③ C. ①②④
B.②③④ D.②④
ppt课件
a0=1(a≠0) 3、幂的乘方: (am )n = amn 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项:
解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆
ppt课件
3
1、若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.
2、计算：0.251000×（-2）2001
注意点：
3.(9)1004 ( 1 )670 27
ppt课件
7
1 、已知a+b=5 ，ab= -2，
求（1） a2+b2 （2）a-b
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
2、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x-y的值；
3、已知 x 3 1 求x2-2x-3的值
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
∴420>1510.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
第十四章整式的乘法与因式分解复习
解:原式=
2
2
2
提高题
2.先化简，再求值。
(1).(2013 宁波中考)：（a 2） (a 2) a(a 2), 其中a 1
解：原式 a 2 4 a 2 2a
(2).4( x 1)2 (2x 1)2x 1 7(1 x),其中x 1
4 3 2
2
解：原式 (12 x 4 2 x 2 ) (8 x 3 2 x 2 ) ( x 2 2 x 2 )
1 6x 4x 2
2
乘法公式： 平方差公式 2 2 (a b)(a b) a b
其中a, b既可以是数 , 也可以是代数式 .
文字法则：两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差。
（1）公因式：一个多项式的各项都含有的公共的 因式，叫做这个多项式各项的公因式。 （2）找公因式：找各项系数的最大公约数与 各项都含有的字母的最低次幂的积。 （3）提公因式法：一般地，如果多项式的各项 有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 作为多项式的一个因式，然后用原多项式的 每一项除以这个公因式，所得的商作为另一 个因式，将多项式写成因式乘积的形式.
第十四章
整式的乘法与因式分解 复习
本章知识结构梳理
a a ____ a mn m n a (a ) ____ 幂的运算性质 (ab)n ____ a nb n m n mn a a ____ a
m n
m n
整式的乘法
单项式乘（除）单项式 整式的乘（除） 多项式乘（除）单项式 多项式乘以多项式 2 2 平方差： (a b)(a b) a b
2 2
提高题
3.利用乘法公式计算下列各式：
第14章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级上册 第十四章 章末复习
(3)xy2－x＝__x_(y_＋__1_)_(y_－__1_)__.
8．若x2＋kx－10＝(x－5)(x＋2)，则k的值为____－__3____．
9．已知m＋3n＝5，则2m＋6n＋2＝___1_2____．
第十四章 章末复习
10．计算： (1)(2a＋3b)(2a－b)； (2)(12x3＋6x2 )÷3x. 解：(1)原式＝4a2－2ab＋6ab－3b2
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
第十四章 章末复习
3.计算： (1)x3y·3y2＝___3_x_3_y_3 ___； (2)2x(3x2－x)＝__6_x_3－__2_x_2__； (3)8a5b3÷(－4a2b)＝__－__2_a_3_b_2 __．
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第十四章 章末复习
4．计算： (1)2a2·ab2＋ab·(－a2b)； (2)(3x－4y)(x＋2y)； (3)(6m4－8m2n2)÷2m2.
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基础练习
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第十四章 章末复习
1．(2023吉林)下列各式运算结果为a5的是( B )
A．a2＋a3
B．a2·a3
C．(a2)3
D．a10÷a2
2．(2023赤峰)下列运算正确的是( A )
A．(a2b3)2＝a4b6
B．3ab－2ab＝1
C．(－a)3·a＝a4
D．(a＋b)2＝a2＋b2
解：(1)原式＝2a3b2－a3b2＝a3b2. (2)原式＝3x2＋6xy－4xy－8y2＝3x2＋2xy－8y2. (3)原式＝6m4÷2m2－8m2n2÷2m2＝3m2－4n2.
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第十四章 章末复习
乘法公式 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
人教版八上数学第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)课件
(3) (-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy2
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
填空：
(1)(a __3_)2 a2 6a _9__ (2)(2x _5__)2 4x2 _2_0x_ 25 (3)a2 b2 (a b)2 __2a_b__ (4)(x y)2 __4_x_y__ (x y)2
(2) 先化简，再求值:
(a2 -2b2) (a+2b) -2ab(a-b)
其中
a=1,b=
1 2
.
公式的 反向使用
amn am n an m
已知10a＝4，1 0b＝7，求下列各式的值 （1）1 02a3b （2）1 02a 103b
公式的 反向使用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
= abc mmm
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
例题
例题解析
例3 计算：
（2）原式= =
xy2 (1 xy)
2
2 y
(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c) =a8b4c2
(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2 =4x2y2
幂的乘方
a a ( m ) n = mn
整 式
积的乘方
( ab
n
)=
an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
单项式与多项式相乘 m(a+b)= ma+mb
多项式的乘法(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
填空：
(1)(a __3_)2 a2 6a _9__ (2)(2x _5__)2 4x2 _2_0x_ 25 (3)a2 b2 (a b)2 __2a_b__ (4)(x y)2 __4_x_y__ (x y)2
(2) 先化简，再求值:
(a2 -2b2) (a+2b) -2ab(a-b)
其中
a=1,b=
1 2
.
公式的 反向使用
amn am n an m
已知10a＝4，1 0b＝7，求下列各式的值 （1）1 02a3b （2）1 02a 103b
公式的 反向使用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
= abc mmm
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
例题
例题解析
例3 计算：
（2）原式= =
xy2 (1 xy)
2
2 y
(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c) =a8b4c2
(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2 =4x2y2
幂的乘方
a a ( m ) n = mn
整 式
积的乘方
( ab
n
)=
an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
单项式与多项式相乘 m(a+b)= ma+mb
多项式的乘法(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
十四单元整式的乘法与因式分解知识树课件
十四单元整式的乘法与因式分解知识树课件
目录
• 因式分解 • 整式的乘法与因式分解的应用 • 整式的乘法与因式分解的注意事项 • 练习与巩固
整式的乘法
整式乘法的定义与性质
整式乘法的定义 整式乘法的性质
单项式乘单项式
单项式乘单项式的定义
单项式乘单项式的计算方法
单项式乘多项式
单项式乘多项式的定义 单项式乘多项式的计算方法
多项式乘多项式
多项式乘多项式的定义
将两个多项式相乘，根据乘法分配律和幂的运算法则进行计算。
多项式乘多项式的计算方法
将两个多项式的相应项的字母的指数相加，得到新的多项式。
因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的定义和性质是掌握整式乘法和因式分解的基础。
详细描述
因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式。它具有一些重要的性质，如：整式的乘法与因式分解是互 逆过程；因式分解后的多项式各项的系数和等于原多项式系数的和；因式分解后的多项式的各项的字母因式的指 数和等于原多项式各项的Байду номын сангаас母因式的指数和。
在处理复杂问题时，可以尝试将大问题分解为小问题，逐一解决，以降低问题的难度。
运算的灵活性
灵活运用整式乘法与因式分解 的各种方法，根据不同情况选 择合适的方法。
在运算过程中，注意观察式子 的结构特点，尝试从不同角度 思考问题，寻找更简便的解题 思路。
培养自己的思维灵活性，不断 探索新的解题方法和技巧，以 提高自己的数学思维能力。
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和方法
VS
详细描述
基础练习题主要针对整式的乘法和因式分 解的基本概念和方法进行训练，包括单项 式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项 式乘以多项式等基本运算，以及提取公因 式、公式法等因式分解技巧。
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积
2、因式分解方法：一提 二套 三看 提：提公因式 提负号 二项式： 套平方差 套 套完全平方与十字相乘法 三项式： 看： 看是否分解完 3、因式分解应用：
-mx 2、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则m=_____ ± ±4 8
4、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_____ ±4
完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
1 、已知a+b=5 ，ab= -2， 求（1） a2+b2 （2）a-b
2 2 2 a +b =(a+b) -2ab
(a-b)2Байду номын сангаас(a+b)2-4ab
2、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x-y的值；
1、因式分解意义： 和
解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆
1、若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值. 注意点： （1）指数：加减 （2）指数：乘法 转化 转化 乘除 幂的乘方 转化 同底数
（3）底数：不同底数
计算：
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2
(1)(x+4y-6z)(x-4y+6z)
知识要点: 一、幂的4个运算性质 二、整式的加、减、乘、除法则 三、乘法公式 四、因式分解
考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am ·an = am+n 2、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0) 3、幂的乘方: (am )n = amn 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项: