北京市东城区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷

北京市东城区2014-2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若集合}3,2,1{},4,2,1,0{==B A ，则B A ＝ A. }4,3,2,1,0{B. }2,1{C. }4,0{D. }3{2. 已知0cos ,0sin ><θθ，则角θ是 A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是 A. xy 1=B. 2)1(-=x yC. x y -=2D. )1(log 2+=x y4. 22sin 15cos -︒15°＋2sin15°·cos15°的值为A.213+ B.23 C.26 D.4321+5. 若函数0(log >=a x y a ，且1≠a ）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是6. 设2212,log ,log -===πππc b a ，则A. c b a >>B. c a b >>C. b c a >>D. a b c >>7. 为了得到函数3sin3cos 3cos 3sin ππx x y +=的图象，可以将函数x y 3sin =的图象A. 向右平移9π个单位B. 向右平移π个单位C. 向左平移9π个单位D. 向左平移π个单位8. 设函数x x x f sin )(=，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x ，且)()(21x f x f >，则A. 21x x >B. 021>+x xC. 21x x <D. 2221x x > 9. 已知函数5))10(lg(log ),,(4sin )(23=∈++=f R b a x b ax x f ，则))2(lg(lg f 的值为 A. －5B. －1C. 3D. 410. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数)(x ϕ组成的集合：对于函数)(x ϕ，存在一个正数M ，使得函数)(x ϕ的值域包含于区间],[M M -。

例如，当x x x x sin )(,)(231==ϕϕ时，B x A x ∈∈)(,)(21ϕϕ。

现有如下结论：①设函数)(x f 的定义域为D ，若对于任何实数b ，存在D a ∈，使得b a f =)(，则)(x f A ∈； ②若函数)(x f B ∈，则)(x f 有最大值和最小值；③若函数)(x f ，)(x g 的定义域相同，且B x g A x f ∈∈)(,)(，则B x g x f ∉+)()(； ④若函数)(x f ＝),2(1)2ln(2R a x x xx a ∈->+++有最大值，则B x f ∈)(。

其中正确的是 A. ②③④ B. ①③④C. ②③D. ①③二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 已知全集R U =，集合}1|{2≤=x x P ，那么P C U ＝___________。

12. 已知21)3tan(-=-απ，则)cos(2)sin()cos()2cos(απαπααπ--+-++的值是___________。

13. 求值：54log 45log 81163343++⎪⎭⎫⎝⎛-＝___________。

14. 若21)4tan(=+πθ，则θtan ＝___________。

15. 函数)631sin(2π-=x y 的单调递减区间是___________。

16. 对于任意两个实数21,x x ，定义⎩⎨⎧<≥=.,,,),max(21221121x x x x x x x x 若2)(2-=x x f ，x x g -=)(，则))(),(max(x g x f 的最小值为___________。

三、解答题：本大题共5个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分10分）已知集合}065|{2=+-=x x x A ，}01|{=-=mx x B ，且A B A = ，求实数m 的值组成的集合。

18.（本题满分10分）已知函数1cos 22sin 3)(2-+=x x x f 。

（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值。

19.（本题满分9分）已知函数)(x f ＝x x e e -+，其中e 是自然对数的底数。

（Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）判断)(x f 在),0(+∞上的单调性，并证明。

20.（本题满分9分）如图，半径为4m 的水轮绕着圆心O 做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转4圈，水轮圆心O 距离水面2m ，如果当水轮上的点P 从离开水面的时刻（P 0）起开始计算时间。

（Ⅰ）求点P 到水面的距离)(m y 与时间)(s t 满足的函数关系； （Ⅱ）求点P 第一次到达最高点需要的时间。

21.（本题满分8分）已知函数R a a x x x f ∈++-=,34)(2。

（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f y =在]1,1[-上存在零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数R b b bx x g ∈-+=,25)(。

当0=a 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使得)()(21x g x f =，求b 的取值范围。

【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1. B 2. D 3. D 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. C 10. B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 或1|{>x x }1-<x 12.31 13. 827 14. 31- 15. )](56,26[z k k k ∈++ππππ 16. －1三、解答题：本大题共5个小题，共46分。

17.（本题满分10分）解：A ＝}3,2{}065|{2==+-x x x ， 2分 因为A B A = ，所以A B ⊆。

5分当0=m 时，因为∅=B ，所以A B ⊆。

故0=m 。

7分 当0≠m 时，由A m B ⊆=}1{，得21=m 或31=m 。

9分 所以，实数m 的值组成的集合是}21,31,0{。

10分18.（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为1cos 22sin 3)(2-+=x x x fx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x 。

4分 所以)(x f 的最小正周期为π。

6分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以32626πππ≤+≤-x 。

于是，当262ππ=+x 时，)(x f 取得最大值2；当662ππ-=+x ，即6π-=x 时，)(x f 取得最小值－1。

10分19.（本题满分9分）解：（Ⅰ）因为函数)(x f 的定义域是R ，且)()(x f e e x f x x=+=--，所以)(x f 是偶函数。

3分（Ⅱ）)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数。

设210x x >>，则)()()(221121x x x x e e e e x f x f --+-+=- )1)((2121x x x x e e e ----=。

由210x x <<，得21x x e e<，所以021<-x x e e 。

又由210x x <<得021<--x x ，所以121<--x x e，所以0121>---x x e 。

所以，0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <。

所以，)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数。

9分20.（本题满分9分）解：（Ⅰ）以O 为原点建立如图所示的直角坐标系。

由于水轮绕着圆心O 做匀速圆周运动，可设点P 到水面的距离)(m y 与时间)(s t 满足函数关系)02(,2)sin(<<-++=ϕπϕωt A y 。

3分因为水轮每分钟旋转4圈， 所以15460==T ，所以1522ππω==T 。

因为水轮半径为4m ，所以A ＝4。

所以)152sin(4ϕπ+=t y 2+，)02(<<-ϕπ。

当0=t 时，0=y 。

所以6πϕ-=。

所以2)6152sin(4+-=ππt y 。

6分（Ⅱ）由于最高点距离水面的距离为6，所以2)6152sin(46+-=ππt 。

所以)6152sin(ππ-t ＝1。

所以)(226152Z k k t ∈+=-ππππ。

所以)(155Z k k t ∈+=。

所以当0=k 时，即)(5s t =时，点P 第一次达到最高点。

9分21.（本题满分8分）解：（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象与x 轴无交点，则方程0)(=x f 的判别式0<∆， 即0)3(416<+-a ，解得1>a 。

2分（Ⅱ）34)(2++-=a x x x f 的对称轴是2=x ，所以)(x f y =在]1,1[-上是减函数，)(x f y =在]1,1[-上存在零点，则必有：⎩⎨⎧≥-≤,0)1(,0)1(f f 即⎩⎨⎧≥+≤08,0a a 。

解得，08≤≤-a ，故实数a 的取值范围为08≤≤-a ；5分（Ⅲ）若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，只需函数)(x f y =在]4,1[上的值域为函数)(x g y =在]4,1[上值域的子集。

当0=a 时，34)(2+-=x x x f 的对称轴是2=x ，所以)(x f y =在]4,1[上的值域为]3,1[-。

下面求]4,1[,25)(∈-+=x b bx x g 的值域。

①当0=b 时，5)(=x g ，不合题意，舍去。

②当0>b 时，b bx x g 25)(-+=的值域为]25,5[b b +-，只需要⎩⎨⎧≥+-≤-32515b b 解得6≥。

③当0<b 时，b bx x g 25)(-+=的值域为]5,25[b b -+，只需要⎩⎨⎧≥--≤+35125b b 解得3-≤b 。

综上：实数b 的取值范围是6≥b 或3-≤b 。

8分。