2017年睿达杯初中生(八年级)数学能力竞赛培训题：二(无答案)
第九届“睿达杯” 初中生数学能力竞赛(八年级 第二试)试题
第九届“睿达杯”初中生数学能力竞赛试题卷八年级 第二试 时间120分钟 满分150分一、填空（本大题共18小题20空，每空6分，共120分）1. 计算：2222201720171...331221111++++++++=___2. 已知三角形的三边长均为整数，其中有一条边是3，但不是最短边，这样的三角形有___个3. 如图，AB=BC 1=C 1C 2=C 2C 3=...=C n-1C n =1(n>2),1BC AB ⊥,211C C AC ⊥,322C C AC ⊥,...,n n n C C AC 11--⊥, 则n AC =___.4.如图,在长方形ABCD 中,点E. F 分别在CD 、AB 上,AB=8cm,BC=5cm,将长方形ABCD 沿EF 折叠成如图所示,则整个阴影部分图形的周长为___.5.已知直线y=-2x-2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点。
在直线x=2上找一点P ，使得ΔPAB 与ΔOAB 面积相等，则符合条件的点P 的坐标为___.6.若锐角三角形中有两边之比为1：2，那么这两边的夹角α的取值范围是___.7.已知m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=-25663my x y x 有正整数，则m 的值为___. 8.满足222)()1()1(y x y x +=-+-的有序数对（x,y ）有___ 对。
9.如图,△BEF 的内角∠EBF 平分线BD 与外角∠AEF 的平分线交于点D,过D 作DH ∥BC 分别交EF 、EB 于G 、H 两点。
下列结论：①HD=HB;②∠EFD=∠CFD;③HD=HF;④BH −GF=HG,其中正确的结论是___.10. 若三角形的三条高线的长度分别为6、18、h,其中h 为正整数，则h 的最大值为___.11. 若在有一个为90°的凸n 边形（n 为大于3的自然数）中，最多有M 个内角为锐角，最少有m 个内角为锐角，则M+m=___.12. 如果,32,41,2532≤-≤+=-y x y x 那么xy=___.13. 在ΔABC 中，AB=13，BC=10,CA=29,则ΔABC 的面积为___.14. 多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是x+y-2,则a+b 的值为___.15. 已知ΔABC 的一个顶点为A （4，-2），∠B 被y 轴平分，∠C 被直线y=x 平分，则直线BC 的解析式是___.16. 从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排列成一列，则在这列数中，第2017个数是___.17.如图，在四边形ABCD 中，AD=BD,AD ⊥BD,AC ⊥BC,若CD=1,BC=2,则AC=___ ;四边形ABCD 的面积为___.18.已知关于x 的方程kx+3=221++-x x ,当k=-2时，原方程的解为___.若方程有两个解，则k 的取值范围为___.二、解答题（本大题共2小题，每题15分，共30分）19.如图，已知线段AB=12,点P 为线段AB 上一点，以AP 为边作一正方形APMN ，点Q 在BP 的中垂线上，连接MQ 、PQ ，(1)当AP=3时，求△MPQ 周长的最小值；（2）求△MPQ 的面积的最大值。
2017年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及
在 Rt △ EAD 中，有 422 (98 x)2 x2 ，解得 x 58 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 2 页（共 5 页）
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．使得等式 1 1 a 3 a 成立的实数 a 的值为_______． 【答】 8 . 由所给等式可得 (1 1 a)3 a2 .令 x 1 a ，则 x 0 ，且 a x2 1，于是有 (1 x)3 (x2 1)2 ，
4．已知正整数 a,b, c 满足 a2 6b 3c 9 0 ， 6a b2 c 0 ，则 a2 b2 c2 ＝ （ ）
A. 424． 【答】C.
B. 430．
C. 441．
D. 460．
由已知等式消去 c 整理得 (a 9)2 3(b 1)2 75 ，所以 3(b 1)2 75 ，又 b 为正整数，解得1 b 6 .
2
2
Байду номын сангаас
3
A
D
F
所以梯形的面积为 1 (1 4) 4 2 10 2 .
2
3
3
E
6．如图，梯形 ABCD 中， AD // BC , A 90 ，点 E 在 AB 上，若 AE 42 ，
BE 28， BC 70 ， DCE 45 ，则 DE ＝
（）
B
C
A. 56．
B. 58．
C.60．
D. 62．
为 A. 4． 【答】B.
B．3．
C．2．
D．1．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
初中数学竞赛八年级数学竞赛赛前集训题二(含答案)
初二数学竞赛赛前集训题二一、填空题（每小题8分，共40分）1．若（2x-1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 2+a 4=______．2．在△ABC 中，M 是边AC 的中点，P 为AM 上一点，过P 作PK ∥AB 交BM 于X ，交BC 于K ，•若PX=2，XK=3，则AB=_______．3．a 、b 、c 是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m=3a+b-7c ，记x 为m 的最小值，y 为m 的最大值，则xy=_______．4．在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，，则∠ABC=________． 5．已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16，则12xy z ++12yz x ++12zx y+=__________．二、（15分）若正数a 、b 、c 满足a+c=2b三、（15分）一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，试确定这个直角三角形三边的长．四、（15分）如右图，以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE•、•CAFG•、•BCHK．连结EF、GH、KD．求证：以EF、GH、KD为边所以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍．五、（15分）13位运动员，他们着装的运动服号码分别是1～13号，问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．答案: 一、填空题1．令x=0，得a=-1．令x=1，得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=1； 令x=-1，得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a 0=-243．后面两式相加，得a 4+a 2+a 0=-121，因此，a 2+a 4=-120．2．如图，以BC 为对角线作ABDC ，延长PK 交BD 于Q ，过M 作AB 的平行线交BC 于O ，•交BD 于N ，则AB=PQ=MN ．易知CO=BO ，点O 是ABDC 的中心．因此，MO=ON ．于是，KQ=XK=•3，•所以，AB=PX+XK+KQ=2+3+3=8．3．由3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，得325,213.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩∴325,4226.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩所以，a=7c-3，b=7-11c ．由a 、b 、c 是非负实数，得730,7110,0.c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩∴37≤c ≤711．又m=3a+b-7c=3c-2，故-57≤m ≤-111．于是，x=-57，y=-111，因此，xy=577．4．如图，延长BA 到E ，使得连结CE ，则CE ∥AD ，且 在△ACE 中，有AE 2+CE 2=2+24=26=AC 2． 故∠AEC=90°．在Rt △BCE 中，，故∠ABC=60°．5．因为x+y+z=2，两边平方得x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=4． 已知x 2+y 2+z 2=16，所以xy+yz+zx=-6． 又z=2-x-y ，所以12xy z +=1422xy x y +--=1(2)(2)x y --，同理，12yz x + =1(2)(2)y z --，12zx y +=1(2)(2)z x --．故12xy z ++12yz x ++12zx y+=1(2)(2)x y --+1(2)(2)y z --+1(2)(2)z x --=(2)(2)(2)(2)(2)(2)z x y x y z -+-+----=62()4()8x y z xyz xy yz zx x y z ++--+++++-=2641128813-=-++-．二、由已知易知a-b=b-c ．．．三、设a 、b 分别为两条直角边长，则斜边长由于a 、b 、c 均为正整数，所以，a ≠b ．不妨设a>b ，依题意有2ab． 两边平方并整数，得224a b -a 2b-ab 2+2ab=0，即ab-4a-4b+8=0．从而，（a-4）（b-4）=8=1×8=2×4． 由于a 、b 为正整数，a>b ，则 48,41;a b -=⎧⎨-=⎩ 或 44,42;a b -=⎧⎨-=⎩解得a=1，b=5，c=13；a=8，b=6，c=10．所以，这个直角三角形三边的长为（12，5，13）或（8，6，10）． 四、如图，过D 作DP // KH ，则四边形DPHK 是平行四边形．所以，PH //DK．因为DP//BC，则四边形DPCB也是平行四边形．因此，PC//DB．又EA //DB，所以，EA//PC，•则四边形EACP也是平行四边形．所以，EP//AC，从而EP// FG．因此，四边形EFGP•也是平行四边形，故PG//EF．由此可见，对于△PHG，PH=DK，PG=EF，GH=GH，这表明以EF、GH、KD•为边可以构成一个三角形．由此知，在△PCG与△EAF中，PC=EA，CG=AF，PG=EF，所以，△PCG≌△EAF．同理，△PCH≌△DBK．因此，S△PHG=S△PCH+S△PCG +S△CGH =S△DBK +S△EAF +S△CGH．过A作AM⊥BC于M，延长KB交DP于N，则BN⊥DP，易知∠1=∠2．在Rt△BND与Rt△BMA中，因为BD=BA，∠1=∠2，所以，Rt△BND≌Rt•△BMA，•因此，DN=AM．故S△DBK =12KB×DN=12BC×AM=S△ABC．同理，S△EAF =S△ABC，S△CGH =S△ABC．因此，S△PHG =S△DBK +S△EAF +S△CGH =3S△ABC．五、不能办到．理由如下：假设能够排成一个圆圈，使得号码满足题设要求．我们将号码数分为A、B两组：A={1，2，3，11，12，13}，B={4，5，6，7，8，9，10}．显然，A组中的任两个数的差要么小于3，要么大于5，所以，在排成的圆圈中A组中的任两个数都不能相邻．也就是说，A组中的任两个数之间至少都要插放一个B组中的数．但A组中有6个间隔，B组中有7个数，所以，排好后有且只有一个间隔插放了B•组中的两个数．我们将B组中每个数能与A组中的数之差的绝对值不小于3，且不大于5•的配成可相邻放置的一对，则有（4，1）；（5，1），（5，2）；（6，1），（6，2），（6，3），（6，11）；（7，2），（7，3），（7，11），（7，12）；（8，3），（8，11），（8，12），（8，13）；（9，12），（9，13）；（10，13）．可见，B组中的数5，6，7，8，9都能与A组中的两个不同的数相邻放置，4只与1配对，10只与13配对，因此，排成圆圈后，4和10都不能单独插在A组中的两个不同数之间，•即4和10只能作为相邻的两个数插在A组中的两个不同数之间．也就是4与10相邻，此时10-4=6>5，与题设条件矛盾．因此，题设要求的排法不能办到．。
2017年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案和评分标准
若 b ＝6，则 (a 9)2 0 ，解得 a 9 ，此时 c 18 .
因此， a 9 ， b ＝6， c 18 ，故 a2 b2 c2 ＝441.
5．梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB 3 ， BC 4 ， CD 2 ， AD 1，则梯形的面积为 （ ）
B
形，底边 AE 边上的高为 32 12 2 2 .
A
D
H
E
C
所以△ ABE 的面积 S 1 AE 2 2 1 BE AH ，故可得 AH 4 2 .
2
2
3
A
D
F
所以梯形的面积为 1 (1 4) 4 2 10 2 .
2
3
3
E
6．如图，梯形 ABCD 中， AD // BC , A 90 ，点 E 在 AB 上，若 AE 42 ，
【答】 20 . 因为 表示100 C,C B, B A中的最小者，所以 100 C ， C B ， B A ，所以
6 3(100 C ) 2(C B ) (B A) 300 (A B C ) 120，所以 20 .
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知实数 a,b, c 满足 2a 13b 3c 90， 3a 9b c 72 ，则 3b c ＝ a 2b
A. 2．
B. 1．
C. 0．
D. 1．
【答】B.
（）
已知等式可变形为 2(a 2b) 3(3b c) 90 ， 3(a 2b) (3b c) 72 ，解得 a 2b 18 ，
A
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
2017年八年级数学竞赛试题
2017年八年级数学竞赛试卷（满分：120分 完卷时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列四组数据中，不能．．作为直角三角形的三边长的是（ ） A ． 7,24,25 B ．6,8,10 C ．9,12,15 D ．3,4,62设M=(x －3)(x －7)，N=(x －2)(x －8)，则M 与N 的关系为（ ） A.M ＜N B.M ＞N C.M=N D ．不能确定3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187… 解答下列问题：3+32+33+34+…+32015的末位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．94．若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是【 】 A ．0x y z ++= B ．20x y z +-= C ． 20y z x +-= D ． 20z x y +-=5、如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠ 1+∠ 2=（ ） A ．225° B ．235° C ．270° D ．300°第4题图第6题图第7题图6．已知△ABC 中，AB=AC ，高BD 、CE 交于点O ，连接AO ，则图中全等三角形的对数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ+BQ 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 8、点(3,5)P -关于y 轴对称的点的坐标为（ ）A ． (3,5)--B ．(5,3)C ．(3,5)-D ．(3,5) 9、下列四个命题中，真命题有（ ）① 两条直线被第三条直线所截，内错角相等．② 如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2. ③ 三角形的一个外角大于任何一个内角． ④ 如果02>x ，那么0>x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10、.当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b ﹣1）（1﹣a ﹣b ）的值为（ ） A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ． 16二、填空题（每小题6分，共36分）11.若与是同类项，则xy=.10. 如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，则∠1+∠2的度数为．第10题图 第14题图 12．如果2222(2)(2)45a b a b +++-=，则a 2+b 2的值为．532+y x b a xy b a 2425-OEDC AQPCBD A B C O13．已知2(25)1000a +=，则(15)(35)a a ++的值为．14．如图，在△ABC 中，I 是三内角平分线的交点，∠B I C=130°，则∠A=． 15．如图AB=AC,则数轴上点C 所表示的数为第15题图 第16题图16、如图，钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是.二、解答题17(12分)．已知：3a =2，3b =6，3c =18，试确定a 、b 、c 之间的数量关系.18.（16分）右图是5个连长为1的正方形的“L 形”图，过格点T 的直线交AB 于点E ，交BC 于点F.如果三角形BFE 的面积为“L 形”图面积的一半，求EF 的长度。
2017全国初中数学联赛初二卷及详解
2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.1023 B.1033C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c 55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得423AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()14210214233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。
2017年睿达杯初中生(八年级)数学能力竞赛培训题：一(无答案)
第九届“睿达杯”初中生数学能力竞赛八年级之一题组一1.a b c 、、是正整数，a b ＞，且27a ab ac bc --+=，则a c －等于______.2.若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值为______. 3.已知正整数a b c 、、满足不等式2224298a b c ab b c +++<++，则a bc 、、分别等于______.4.已知0a <，0ab <=______.5.已知a 为整数，关于x 的方程2200ax -=的根是质数，且满足27ax a ->，则a 等于______.6.已知a b c 、、满足0a b c ++=，2224a b c ++=，那么444a b c ++=______.7.若245134x x x x +-+-+的值恒为常数，求x 的范围.8.已知方程1x ax =+有一个负根且没有正根，则a 的取值范围______.9.若24422x a b x x x =--+-，则22a b +=______.10.设的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式22())a b b ++的值为______. 题组二(二次根式)11.设a 为常数，多项式321x ax ++除以21x -所得的余式为3x +，则a ＝______.12.设实数a b 、满足1a b -=-，则333a b ab -+的值为______.13.若21310x x -+=，则441x x +的个位数字是______. 14.若实数a b c 、、满足2229a b c ++=，则代数式222()()()a b b c c a -+-+-的最大值是______.15.已知p 2(1989)-，则p 的值为______.16.一个两位数xy (其中x 、y 分别表示十位上的数字和个位上的数字)减去互换数字位置后的两位数yx 所得之差恰是某自然数的平方，这样的两位数共有________个.17.若3210x x x +++=，则2726126271x x x x x x ---++++++++的值是______.18.多项式22687x y x y +-++的最小值为__________.19.已知0abc ≠，且0a b c ++=，则代数式222a b c bc ac ab++的值为__________.题组三20.若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a ＋b ＝c ，b ＋c ＝d ，c ＋d ＝a ，那么a ＋b ＋c ＋d的最大值是________.21.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则22(1)(3)(5)a b c +++++=___. 22.已知,,a b c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，那么abc ab bc ca ++的值是______． 23.已知,,,,x y z a b 均为非零实数，且满足331xy x y a b =+-，31yz y z a =+，331zx z x a b =++，112xyz xy yz zx =++，则a 的值为______． 24.A 地在河的上游，B 地在河的下游，若船从A 地开往B 地的速度为1v ，从B 地返回A 地的速度为2v ，则A,B 两地间往返一次的平均速度为__________．25.已知(2)x y +-是二元二次式2256x axy by x y ++-++的一个因式，则a b +=________．26.设a 为质数，b 为正整数，且9(2)509(4511)a b a b +=+，则____,_____a b ==．27.已知多项式32ax bx cx d +++除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是__________．28.如果点(2,)P b -和点(,3)Q a -关于x 轴对称，则a b +的值是________．29.已知：如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C,D ,E三点在同一直线上，连结BD ，BE ．则下列结论中正确的是___________.①BD ＝CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE ＋∠DBC ＝45°；④∠BAE ＋∠DAC ＝180°．(把所有正确的结论序号都填在横线上)C B第29题题组四30.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，AD 平分∠BAC ，点P ,Q 分别是AB ,AD 边上的动点，则PQ ＋BQ 的最小值是_________．第30题 第31题 第31题图31.如图，在ABC ∆中，, 90, , AC BC BCA D E =∠=是AB 边上的两点，且3AD =， 4, 45BE DCE =∠=，则ABC ∆的面积等于_________.第32题图 第33题图 32.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若112231314AP PP P P P P =====14P A ,则A ∠的度数是_________. 33.如图，ABC ∆中，30A ∠=,沿BE ，将此三角形对折，又以'BA 为边，再一次对折，C 点刚好落在BE 上的点'C 处，此时82CDB ∠=，则原三角形的B ∠=______度.34.在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除，占这100个自然数的比例为_________.35.一轮船航行于两码头之间，逆水需要10小时，顺水需要6小时，已知该船在静水中每小时可航行12千米，则水流速度为_________千米/小时.36.设a 1a a+的整数部分为_________. 37.设333199519961997, 0x y z xyz ==>，且111x y z++=_________. 38.分解因式：333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=____________________.39.已知三角形的三边长, , a b c 满足320320320a b c b c a c a b -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，则该三角形是_________三角形.题组五40.设, x y 满足3|3|19, 26x y x y x y ++-=+=，则, x y 的值分别为___________.41．若实数a 为常数，关于x 的不等式组227x a a x ⎧+≤⎨⎩＞－的整数解只有8个，则a 的值为_______. 42.一个屋里有多个桌子，有多个人；如果3个人一桌，多2个人；如果5个人一桌，多4个人；如果7个人一桌，多6个人；如果9个人一桌，多8个人；如果11个人一桌，正好，则人数最少是_______.43.若实数a ，b ，c 满足以a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是_______. 44.己知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋v －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S的最大值与最小值的和是_______.45.己知非负数a ，b ，c 满足条件3a ＋2b ＋c ＝4，2a ＋b ＋3c ＝5，设s ＝5a ＋4b ＋7c 的最大值为m ，最小值为n ，则n －m 的值为_______.46.己知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2016，c －a ＝2015．若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为_______.47．定义()11f x x=-(x ≠1)，那么()()()()2010···2010ff f f f 个＝_______. 48.若－199＜x ＜199，且m ＝||x －100|的值为整数，则m 的值有_______个．49.己知2001是两个质数的和，那么这两个质数的乘积是_______.。
八年级第二届“睿达杯”数学智能竞赛一试 答案
13
12 3
17
16
x 3
1．根据文字循环的规律容易得到． 2．特殊值代入检验即可． 3．从 5 条线段中任取 3 条的方法有 10 种，能组成三角形的有 3，5，7 等 7 种． 4．利用面积可以得到． 5． 三个质数分别是 2， 19， 23， 所以 a 2 b 2 c 2 ab bc ca
第二届“睿达杯”中小学数学智能竞赛一试
八年级参考解答
一．填空题 (每小题 5 分， 共 90 分) 题号 答案 题号 答案 1
残，阳，我
2
7 10
3 4 12 233
4
60 13
5 373 14 4
6 2 15 134
7 -5 16 1， 0
8
20 x 3 100 x
9 97 18
7 27
10
11 500
--- 找出规律 7 分 所以 （ 1） 因为 2011=2 1005+1， 即 k 1005， 又 a b 1(mod4)， 所以(1， 12)操作 2011 次结果为(1-1005， 12+1005+1) 即 x 1004, y 1018 ，所以 x y 14 ； --- 4 分
21
7 27
．
二．解答题 (每小题 15 分， 共 30 分) 19． （1）① ∵ t 1 秒，∴ BP CQ 3 1 3 厘米， 由 BD 5 ， PC BC BP 5 ， ∴ PC BD ． 又∵ AB AC ，∴ B C ，∴ △BPD ≌△CQP ； ② 若 vP vQ ，则 BP CQ ，要使 △BPD ≌△CQP ，而 B C ，则应有 --- 5 分
2017年睿达杯初中生(九年级)数学能力竞赛培训题：二(无答案)
第九届“睿达杯”初中生数学能力竞赛九年级二题组三23.如图，直线l 与反比例函数2y x=的图象在第一象限内交于A ，B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若AB ：BC ＝(m －1)：1(m ＞1)，则△OAB 的面积(用m 表示)为( )A .212m m -B .21m m -C .23(1)m m -D .23(1)2m m-24.如图，A 、B 是反比例函数1y x=上的两个点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴交于点D ，连接AD 、BC ，则△ABD 与△ACB 的面积大小关系是( )A .ADB ACB S S ∆∆>B .ADB ACB S S ∆∆<C .ADB ACB S S ∆∆=D .以上都有可能25.如图，点A 和B 是反比例函数3y x=(x ＞0)图象上任意两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足为C 和D ，连接AB ，AO ，BO ，△ABO 的面积为8，则梯形CABD 的面积为( )A .6B .7C .8D .1026.如图，动点P在函数12yx=(x＞0)的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：1y x=-+交于点E、F，则AF•BE的值等于_________.27.如图，双曲线kyx=经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是________.28.如图，双曲线2(0)y xx=>经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA 上，则四边形OABC的面积是__________.29.如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数2(0)y xx=>的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则P3点的坐标为______30.如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2,0),∠AOB＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为kyx，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经过轴对称变换后的像是O’B’.(1)当O’与点A重合时，点P的坐标是__________；(2)设P(t,0)，当O’B’与双曲线有交点时，t的取值范围是______________.。
(完整)2017睿达杯100题及答案分析
试题1、把循环小数化成分数：．2、将下列二进制数化为十进制数:（1）101010（2)= ．（2）100001(2）= ．3、将下列十进制数化为二进制数：(1）31（10)= ．（2）74（10）= ．4、将50表示为两个质数之和,不同的表示方法共有种．（只要两个质数分别相同就认为是同一种表示方法）5、三位小朋友每人隔不同的天数到图书馆一次：甲隔2天去一次，乙隔3天去一次,丙隔4天去一次．上次他们在星期二在图书馆相遇，还要天他们才能再在图书馆相遇；相遇时是星期．6、三个连续自然数的乘积等于39270．这三个连续自然数的和等于多少？7、在3。
1415926的小数部分的某一个或两个数位上加表示循环节的点，将它变成循环小数,则得到的循环小数中最大的是，最小的是．8、若，则循环小数A的每个循环节有位数字，循环节的首位数字和末位数字分别是和．9、比较与的大小，并计算它们的差．10、三种图形○，□，△的排列规律如下：○□□△△△○□□△△△○□□△△△…那么,从左到右排列的第2016个图形是，前2016个图形中○共有个．11、一个三位数，百位数与个位数字不同,它的三个数位上的数字经排列后，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差正好就是这个三位数本身,求这个三位数．（）12、一艘货船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米,到乙地后又逆水而行,回到甲地，逆水比顺水多行1小时，已知水速每小时4千米．甲、乙两地相距千米．13、数一数,下图中一共有个三角形．14、一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出,但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完．那么，共有种不同拿法．15、如图，共有个正方形．16、360这个数的因数有个，这些因数的和是．17、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒．三人同时从起点出发，最少需分钟才能再次在起点相会．18、一辆轿车在一次旅行中用1。
2017年全国初中数学联赛初二卷和详解
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.=a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpa b=+为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH =所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。
初中睿达杯试题及答案
初中睿达杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪项是光合作用的条件？A. 光B. 二氧化碳C. 水D. 所有选项答案：D2. 地球的自转周期是多久？A. 24小时B. 48小时C. 72小时D. 96小时答案：A3. 以下哪个是化学元素的符号？A. HB. HeC. OD. 所有选项答案：D4. 人体最大的器官是什么？A. 心脏B. 肝脏C. 皮肤D. 肺答案：C5. 以下哪个是物理变化？A. 铁生锈B. 木头燃烧C. 水蒸发D. 所有选项答案：C6. 以下哪个是数学中的基本概念？A. 点B. 线C. 面D. 所有选项答案：D7. 以下哪个是生物分类的基本单位？A. 界B. 门C. 纲D. 种答案：D8. 以下哪个是英语中的冠词？A. aB. anC. theD. 所有选项答案：D9. 以下哪个是计算机编程语言？A. PythonB. JavaC. C++D. 所有选项答案：D10. 以下哪个是中国古代的四大发明之一？A. 造纸术B. 指南针C. 火药D. 印刷术答案：D二、填空题（每题3分，共30分）1. 地球的大气层分为______、______、______、______和外层空间。
答案：对流层、平流层、中间层、热层2. 牛顿的三大运动定律是______、______、______。
答案：惯性定律、力的作用与反作用定律、作用力与反作用力定律3. 在化学中，元素周期表的前20个元素的名称分别是______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______、______。
答案：氢、氦、锂、铍、硼、碳、氮、氧、氟、氖、钠、镁、铝、硅、磷、硫、氯、氩、钾、钙4. 光的三原色是______、______、______。
睿达杯二试模拟测试题
第三届“睿达杯”中小学数学智能竞赛试题卷八年级 第二试 时间90分钟 满分150分一、填空题（本大题共18小题，每空6分，共120分）1.钟表的时针与分针在4点 分重合.2.已知等腰ABC ∆的三边长c b a 、、均为整数，且满足24=+++ca b bc a ，则这样的三角形共有 个.3.2000642-++-+-+-x x x x 的最小值是 .4.已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面内的一点，满足PAB ∆、PBC ∆、PCD ∆、PAD∆均为等腰三角形的点P 有 个.5.已知正整数n 小于2006，且263nn n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，则这样的n 有 个.6.设100510041005100443433232212122222222⨯+++⨯++⨯++⨯+= A ，则[]A = . 7.分解因式93523-++x x x = .8.如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧<-≥-0607n x m x 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数对()n m ,共有 对.9.已知点()()1,3,3,2B A -,点P 在x 轴上，若PB PA +长度最小，则最小值为 ；若PB PA -长度最大，则最大值为 .10.甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分.连下三盘，得分多者胜，则甲取胜的概率是 .11.如图，ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形． O 是BF 与EG 的交点．如果正方形ABCD 的面积是29cm ，CG ＝cm 2，则三角形DEO 的面积是 cm .12.用长度相等的100根火柴棒摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的三倍，则满足此条件的三角形有 个.13.已知非负实数z y x 、、满足433221-=-=-z y x ，记z y x W 543++=.则W 的最小值是 ，最大值是 .14.、如下图是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，通过观察，可以发现：第n 个“上”字需用 枚棋子.15.若实数c b a 、、满足01244,4322=--+-=+c b c b a ，则c b a ++= .16.规定：B A O 表示A 、B 中较大的数，B A ∆表示A 、B 中较小的数.若 ()()963535=∆+O ⨯∆+O A B B A ,且A 、B 均为大于0的自然数，B A ⨯的 所有取值为 .17.已知012=--x x ，则5412x x x ++= .18.如图，将等边ABC ∆沿BC 方向平移得到111C B A ∆．若3=BC ，31=∆C PB S ，则1BB ＝ ．二、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）19.设200821,,,x x x 是整数，且满足下列条件：（1）21≤≤-n x （2008,,2,1 =n ）；（2）200200821=+++x x x ；（3）2008220082221=+++x x x .求320083231x x x +++ 的最小值与最大值.20.如图，在ABC Rt ∆中，AB CD ACB ⊥=∠,90 于D ，设,,,c AB a BC b AC ===h CD =.求证：（1）222111h b a =+；（2）h c b a +<+；（3）以b a +、h 、h c +为边的三角形是直角三角形.。
“睿达杯”初中生数学培优竞赛模拟卷
“睿达杯”初中数学能力竞赛模拟卷(五)一、选择题（5×10=50分）1、已知1a b c k b c c a a b===-+++，则k 的值等于（ ） A 、12 B 、2 C 、12或2 D 、不确定 2、二次函数2(1)4y x =--的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图像其余部分不变得到一个新的图像，若使y=m 对于得到的新图像成立的x 的值恰好有三个，则m 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、如图ʘ1O 与ʘ2O 内切于点B,两圆的半径分别是R 和r,AB 为ʘ1O 的直径，ʘ1O 的弦AC 切ʘ2O 于点D,已知AD=4CD,则r:R 等于（ ）A 、1:4B 、3:7C 、2:5D 、4:94、将满足“至少出现一个数字0且是4的倍数”的正整数从小到大排列成一排数：20,40,60,80,100,104，……，则在这列数中的第158个数为：（ ）A 、2000B 、2004C 、2008D 、2012 5、a,b,c 为ABC ∆三边的长，若（a+b+c ）· (a+b-c)=ab,则ABC ∆的三内角中最大的角的度数为（ ）A 、150︒B 、120°C 、90°D 、60° 6、已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图像经过点A （-1,4）与点B （2,1），且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 最大值为（ ）A 、4B 、-4C 、8D 、-8 7、已知不等式20x mx n ++<的解集是-2<x<3,则m+n 的值为（ ） A 、-5 B 、-6 C 、-7 D 、-8 8、二次函数22453y x ax a a =-+-的最小值m 是一个与a 有关的数，若a 满足204210,a a ≤--≤则m 的最大值为（ ）A 、12B 、14C 、16D 、189、在ABC ∆中，C ∠=90°，AB=10，AC,BC 的长是关于x 的方程2-360x mx m ++=的两个根，则BCAB =（ ）A 、35B 、45C 、35或45 D 、不能确定10、直线11(0)2ky x y x x=--=与反比例函数p 的图像交于点A,与x 轴相交于点C,过点C 作x轴垂线交双曲线于点B,若AB=AC,则k 的值等于（ ）A 、3B 、-3C 、4D 、-4二、填空题（5×8=40分）11、在ABC ∆中，已知2,22B A BC AB A ∠=∠==+∠，= .12、如图，抛物线 223y x x =-++与x 正半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，线段OA,抛物线AB 段、线段BO 围成区域G （包含边界） ，点（x,y ） 在区域G 上运动，那么y-x 的最大值为 。
2017全国初中数学联赛初二卷及详解
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.=a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpa b=+为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c ，即ab ≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组. 若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.460 答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程思路：由已知等式消去c 整理后，通过a,b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b ≤6. 当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a ；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程. 因此，a=9，b=6，c=18，则a 2+b 2+c 2=441.5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）.C. D.答案：A 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB ，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH =所以梯形ABCD 的面积为()114233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD. 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°. ………5分 由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC.………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。
初二数学睿达杯试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知a、b、c是三角形的三边，且a+b=10，b+c=12，则a+c的取值范围是（）A. 10＜a+c＜22B. 8＜a+c＜20C. 6＜a+c＜18D. 4＜a+c＜142. 下列方程中，正确的是（）A. 3x+2=5x-1B. 2x-1=3x+2C. 3x+1=2x-1D. 3x-1=2x+13. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列结论正确的是（）A. a=1，b=2，c=-2B. a=1，b=-2，c=2C. a=-1，b=2，c=-2D. a=-1，b=-2，c=24. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 平行四边形5. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x＜xB. 2x＞xC. 2x≥xD. 2x≤x6. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x^2B. y=2x+1C. y=2/xD. y=2x^27. 下列数据中，众数是5的是（）A. 1，2，3，4，5，5，6，7B. 1，2，3，4，5，5，6，8C. 1，2，3，4，5，5，6，9D. 1，2，3，4，5，5，6，108. 下列图形中，对称中心是（）A. （0，0）B. （1，1）C. （2，2）D. （3，3）9. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，若OA=3，OB=2，则下列结论正确的是（）A. k=1，b=2B. k=1，b=3C. k=2，b=1D. k=2，b=310. 下列等式中，正确的是（）A. （a+b）^2=a^2+2ab+b^2B. （a-b）^2=a^2-2ab+b^2C. （a+b）^2=a^2-2ab+b^2D. （a-b）^2=a^2+2ab+b^2二、填空题（每题4分，共40分）1. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为______。
睿达杯数学试卷初二
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，有理数是（）。
A. √9B. √-1C. √0D. √22. 已知a=3，b=5，那么a²+b²的值是（）。
A. 34B. 28C. 24D. 183. 如果x²=4，那么x的值是（）。
A. 2B. -2C. ±2D. 04. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点是（）。
A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，-3）D.（-2，3）5. 如果一个三角形的两边长分别为5和8，那么第三边的长度可能是（）。
A. 7B. 13C. 3D. 15二、填空题（每题5分，共25分）6. （3√2）²=______。
7. 如果a²=16，那么a的值是______。
8. 直线y=2x+1的斜率是______。
9. 圆的半径为r，那么其周长是______。
10. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的面积是______cm²。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 解方程：2(x-3)=6。
12. 已知一元二次方程x²-5x+6=0，求该方程的解。
13. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-3，5），求线段AB的长度。
14. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。
四、应用题（每题20分，共40分）15. 小明从家到学校的距离是3km，他骑自行车以每小时15km的速度去学校，求他骑车到学校需要的时间。
16. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，如果将宽扩大到原来的2倍，那么长方形面积扩大了多少？。
2017年睿达杯初中生(八年级)数学能力竞赛培训题：三(无答案)
第九届“睿达杯”初中生数学能力竞赛八年级之三题组九 80....+_____________. 81.将不大于20的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除，则商的最小值是__________.82.如图，动点P 从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为______.第82题图 第83题图第84题图83.两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如右图，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC AB 的长是________.84.如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝46°，D 是BC 边上一点，DC ＝AB ，∠DAB ＝21°，则∠CAD 的度数是__________.85.如图所示，△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连接AD 、CE 、若∠BAD ＝39°，则∠BCE ＝_________度.EEG FA BA B第85题图 第86题图第87题图86.如图，在长方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，已知长方形ABCD 的面积是40平方厘米，则四边形MFNP 的面积是_________平方厘米.87.如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，AD 、BE 、CF 交于点G ，BD ＝2CD ，面积123,4S S ==，则ABC S ∆=_________.88.六个面上分别标有1， 2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表现展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标.按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标.已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线l ，且这条直线经过点P (4，7)，求他第三次掷得的点也在直线l 上的概率.89.已知非零实数a ，b ,c 满足0a b c ++=.求证： (1)3333a b c abc ++=(2)9a b b c c a ca b ca b a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭题组十90.已知a,b,c都是大于3的质数，且2a5b c．(1)求证：存在正整数n1，使所有满足题设的三个质数a,b,c的和a b c都能被n整除；(2)求上一问中n的最大值．(质数与合数)91．在△ABC中，BD和CE分别是AC和AB上的中线，且BD与CE互相垂直，BD＝8，CE＝2，则△ABC的面积是_________．AB92．如图，连接一个正六边形的各顶点，问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)?93．己知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度．(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；备用图1(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个，友情提醒：请在你画的图中标出己知角的度数和己知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．94．求方程x2＋2017y2＝2018x的正整数解．95．设整数a，b，c(a≥b≥c)为三角形的三边长，满足a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．96．如图，己知点O(0，0)，A(2，0)，B (0，1)，点P在△OAB内，且S△P AO＝S△P AB＝S△PBO，求点P的坐标，97．关于m和n的方程5m2－6m＋7n2＝2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．98．己知△ABC的三边为a，b，c，且a，b，c满足等式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，则△ABC是什么特殊三角形？99．如图，在△ABC中，AP＝QP＝QB＝BC，AB＝AC．求∠A的度数．CB100．如图，试把0，3，5，6，7，8，9这7个数填入图中的7个小圈，每个圈填1个数，的数值，使得图中不同的圈填不同的数．然后在两端填了x和y的每条边上标上x y)的9条边所标的数值刚好是1，2，3，4，5，6，7，8，9．(答案填在本题图中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九届“睿达杯”初中生数学能力竞赛
八年级之二
题组六
50.己知质数p、q使得表达式21
p
q
+
及
23
q
p
-
都是自然数，则p2q为___________.
51.三个不同的质数a，b，c满足ab b c＋a＝2000，则a＋b＋c＝________.
52.己知p，q均为质数，且满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是
53.己知正整数a，b，c满足下列条件a＞b＞c且(a－b)(b－c)(a－c)＝72，abc＜100，则
a，b，c依次为_______.
54.如图，己知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则
五边形ABCDE的面积为_______.
55.方程|x－|2x＋1|＝3的解是_______或_______.
56.在以下两个数串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，
1990，1993，1996，1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有_______个。
57.在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A＝60°，
则∠BOC＝_______度．
58.平面内的7条直线任两条都相交，交点数最多有a个，最少有b个．则a＋b＝_______．
59.在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△P AB，△PBC、△P AC都是等腰三角形，
那么具有这样性质的点的个数共有_______个。
题组七
60．如图，四边形ABCD 中,△EDC 是由△ABC 绕顶点C 旋转400所得,顶点A 恰好转到AB 上
一点E 的位置,则∠1＋∠2＝_____度
.
第61题
61．如图,点P 是边长为8的正方形ABCD 形外的一点，PB ＝PC .若△PBD 的面积等于48，求△PBD 的面积．
62．计算机将信息转换成二进制数来处理．二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13那么二进制数220051
(111111)
个转换成十进制
数是________．
63．设[x ]表示不大于x 的最大整数，如[π]＝
3，
则[3]100]++ ___
64．若
a b c
t b c a c a b
===+++.则一次函数y ＝tx ＋t 2的图象必定经过的象限是_____． 65．对于每个x ,函数y 是1233
22122
y x y x y x ==+=-+，，这三个函数中的最小值，则函数
y 的最大值是_______．
66．已知△ABC 中,∠A ，∠B ，∠C 的外角度数之比为α∶β∶γ(α,β,γ均为正数)，则∠A ∶∠B ∶∠C 等于________(用含α,β,γ的式子之比表示)
67．一个正八边形中最长的对角线等于a ，最短的对角线等b ，则这个正八边形的面积为_________．
68．为了绿化环境、美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1,S 2的大小关系是_______．
69．如果关于x 的不等式组70
60x m x n -≥⎧⎨-<⎩
的整数解仅为1,2,3那么适合这个不等式组的整数对
(m ,n ),共有_______对． 题组八
70.已知()2
654342621x x x x x f x ++-++=⎡⎤⎣⎦，其中()f x 是x 的多项式，则()f x ＝________. 71.在xy 直角坐标系中，在y 轴上找一点P ，使P 到点A (4，3)，点B (2，－1)的距离之和最小，则点P 的坐标是_____________.
72.如右图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为(3
，
，点C 的坐标为(
1
2
，0)，点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A ＋PC 的最小值为___________.
B
第72题图
第73题图
第74题图
73.如图，矩形ABCD 中(AD ＞AB )，M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 上，则∠ANB ＋∠MNC ＝____________.
74.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，BP ⊥AD ，垂足为P .已知AB ＝5，BP ＝2，AC ＝9.试说明∠ABC ＝3∠ACB .
75.若三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，则该三角形为_________三角形.
76.有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片，小张先用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后只用一层黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形后，又用一层白色纸片拼下去，这样重复一层一层地交换颜色地拼，当小张用黑色纸片拼过5次以后，黑、白纸片正好用完，那么，黑色纸片至少有______张.
77.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为12,S S ，则12S S +等于________.
第77题图第78题图第79题图
78.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经
过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm；如果从点A开始经过4个侧面绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm.
79.如右图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰
直角三角形为_________。