9.6.4 第6课时 三角形的重心
三角形的重心定理
三角形的重心定理三角形是几何学中最基础且最重要的图形之一，它拥有许多有趣的性质和定理。
在本文中，我们将讨论三角形的一个重要定理——“三角形的重心定理”，并探究其相关性质和应用。
一、三角形的重心定理的表述三角形的重心定理是指：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心。
那么，什么是三角形的中线呢？在三角形ABC中，通过三角形的任意一边和该边对面点的连线，可以将这条边等分为两段，这条连线就是这条边上的中线。
由此可知，三角形ABC有三条中线：AD、BE和CF。
根据三角形的重心定理，这三条中线交于一点G，即重心。
二、三角形重心的性质1. 重心到三角形各顶点的距离相等。
设G为三角形ABC的重心，连接AG、BG和CG。
由三角形的重心定理可知，G是三角形ABC的三条中线的交点。
由此，我们可以得出重心到三个顶点A、B和C的距离相等，即GA = GB = GC。
2. 重心所在的中线是其他两条中线长度的两倍。
由三角形的中线定义可知，AG = 2GD，BG = 2GE，CG = 2GF。
因此，三角形ABC的重心所在的中线，与其余两条中线的长度存在倍数关系。
3. 重心将中线分成1：2的比例。
三角形ABC的重心G将每条中线分成1：2的比例，即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 1：2。
三、三角形重心的应用1. 计算三角形的重心坐标对于一个已知的三角形ABC，我们可以通过求出各顶点坐标的平均值来计算重心的坐标。
设A（x1, y1）、B（x2, y2）和C（x3, y3），则重心G的坐标可表示为G（(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3）。
2. 判断三角形类型通过计算三角形的重心坐标，我们可以进一步判断三角形的类型。
若重心与三个顶点的距离相等，则三角形为等边三角形；若重心到其中两个顶点的距离相等，则三角形为等腰三角形；若三个顶点到重心的距离不相等，则三角形为一般三角形。
3. 求解三角形面积在三角形的几何学中，可以使用三个顶点的坐标来计算三角形的面积，但这是一种复杂且繁琐的方法。
三角形的重心
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
重心：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理编辑三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
三角形的重心
三角形的重心三角形是平面几何中最基本的几何图形之一，它由三条线段连接而成。
在三角形的内部，有一个特殊的点被称为重心。
本文将详细介绍三角形的重心以及与之相关的性质。
一、三角形的重心定义和构造方法三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是三角形的边的中点与对应顶点连线而成的线段。
以三角形ABC为例，其中D、E和F分别是BC、AC和AB的中点，则重心G即为中线AD、BE和CF的交点。
二、重心的性质和应用1. 重心将三角形分成六个全等三角形：连接重心与三角形的各个顶点，可以发现重心将三角形分成了六个面积相等的小三角形。
这个性质在面积计算和几何题目的证明中常常被应用。
2. 重心与重心距离的关系：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
也就是说，重心到三个顶点的距离之比为2:1。
这个性质可以通过利用向量和平行四边形的性质来简单证明。
3. 重心是平衡点：三角形可以看作是质点组成的物体，而重心则类似于物体的平衡点。
也就是说，如果在三角形的各个顶点上分别放置质量相等的物体，三角形的重心将会处于平衡位置。
4. 重心与其他中心的关系：三角形的重心、外心和垂心构成一个共轭三角形，三角形的内心和垂足构成另一个共轭三角形。
这个性质在解几何问题时，常常可以利用共轭三角形之间的关系简化计算。
三、重心的应用举例1. 面积计算：利用重心将三角形分成六个全等三角形的性质，可以简化计算三角形的面积。
将三角形分成若干个全等三角形，在计算面积时可以只计算一个全等三角形的面积，然后乘以相应的比例系数。
2. 平衡问题：重心是物体的平衡点，可以应用于平衡问题的解决。
比如设计平衡木、测量物体的质心等等。
3. 几何问题证明：在证明几何问题时，重心的性质可以成为证明的依据。
利用重心到顶点的距离关系，可以推导出一些三角形内部的性质。
总结：三角形的重心是三角形的中线的交点，具有许多有趣的性质和应用。
重心将三角形分成六个全等的小三角形，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，重心是平衡点等等。
三角形的重心与中心
三角形的重心与中心三角形是一个基本的几何图形，它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质和特点时，我们经常会遇到两个关键点，即三角形的重心和三角形的中心。
本文将详细介绍三角形的重心和中心的概念、性质及其之间的关系。
一、三角形的重心三角形的重心是指三角形内三条中线的交点，通常表示为G。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，三个中点分别为D、E、F，则重心G可以通过以下公式求得：G = (A + B + C) / 3二、三角形的中心三角形的中心是指三角形内三条角平分线的交点，通常表示为I。
角平分线是连接三角形的一个顶点与对边的角的平分线段。
设三角形的三个角分别为∠A、∠B、∠C，三个角平分线交点分别为I₁、I₂、I₃，则中心I可以通过以下公式求得：I = (I₁ + I₂ + I₃) / 3三、重心与中心之间的关系1. 重心和中心均位于三角形的内部，且重心位于中心与各顶点的连线上的2/3处。
2. 当三角形为等边三角形时，重心和中心重合，即G = I。
3. 当三角形为直角三角形时，重心和中心重合，并位于斜边的中点上。
4. 在其他一般的三角形中，重心和中心并不重合，且它们的位置相对较为固定。
四、重心和中心的性质1. 重心将三角形的每条中线按1:2的比例分割。
2. 重心到三角形的顶点的距离和等于重心到对边的距离和。
3. 中心到三角形的顶点的距离和等于中心到对边的距离和的3倍。
4. 三角形的重心和中心都是三角形的一个重要的定位点，在许多证明和计算问题中均具有重要的作用。
5. 重心和中心还可以用于确定三角形的形状、面积、周长等一系列问题的求解。
五、应用举例1. 根据已知的重心或中心坐标，可以确定三角形的坐标位置。
2. 利用重心或中心的性质，可以简化三角形相关问题的解决过程。
3. 通过重心和中心的计算，可以得到三角形的内切圆和外接圆的半径、圆心坐标等信息。
结论：三角形的重心和中心是三角形内部的两个重要点，它们分别由三条中线和三条角平分线确定。
三角形的重心知识点详解2024人教版
三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。
一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
中线是从一个顶点到对边中点的线段。
重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。
二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这一性质可以通过中线定理证明。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这一性质可以通过面积公式证明。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。
4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这一性质可以通过均值不等式证明。
5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
这一性质可以通过坐标几何的方法证明。
三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。
2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
三角形重心的知识点
三角形重心的知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形重心这个超有趣的知识点呀！你知道吗，三角形的重心就像是这个三角形的“心脏”一样重要呢！比如说一个三角形的架子，要是重心找得不准，那可就摇摇晃晃不稳定啦！
重心是三角形三条中线的交点哦！想想看，就好像是三条线在争夺一个“宝贝”的位置，最后这个“宝贝”落定的地方就是重心啦！咱画个三角形试试，然后找出那三条中线，哇塞，它们相交的那个点就是重心呀。
好像在一个神秘的游戏中找到了关键线索一样呢！
嘿，你再想想，如果在三角形上放一些东西，那重心可就决定了这个三角形会不会平衡呢！比如把一些积木摆成三角形，要让它稳稳当当的，就得找到重心的位置。
这就跟我们走路要保持平衡一样重要呀，要是重心歪了，那不就得摔跤啦！
真的，三角形重心可是有大用处的呢！不管是在建筑设计中还是在日常生活里，都离不开它。
所以呀，一定要好好了解它哦！我的观点就是，三角形重心真的超级有意思又非常实用，一定要重视起来哟！。
三角形的重心知识点
三角形的重心知识点一、重心的定义。
1. 在三角形中，重心是三角形三条中线的交点。
- 中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
例如，对于△ABC，设D为BC边的中点，连接AD，则AD是BC边上的中线。
三角形有三条中线，分别是三条边对应的中线，这三条中线交于一点，这个点就是重心，通常用字母G表示。
二、重心的性质。
1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
- 以△ABC为例，G为重心，AD是BC边上的中线，则AG = 2GD，同理，若BE是AC边上的中线，BG = 2GE；若CF是AB边上的中线，CG = 2GF。
2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
- 即S△ABG = S△BCG = S△ACG。
因为每个三角形的面积等于三角形ABC面积的三分之一。
这是由于重心将每条中线分成2:1的两段，根据等底同高三角形面积比等于底边比等原理可以得出。
3. 若在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)，则重心G的坐标为((x_1 + x_2+x_3)/(3),(y_1 + y_2 +y_3)/(3))。
- 例如，若A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则重心G的坐标为((1 + 3+5)/(3),(2 +4+6)/(3))=(3,4)。
三、重心的应用实例。
1. 在求解三角形相关线段长度问题中的应用。
- 例如，已知三角形的一条中线长为6，求重心到这条中线所对顶点的距离。
根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，设重心到对边中点的距离为x，则重心到顶点的距离为2x，中线长为3x = 6，解得x = 2，所以重心到顶点的距离为2x=4。
2. 在求解三角形面积相关问题中的应用。
- 若已知三角形的面积为S，求由重心和三角形三个顶点组成的每个小三角形的面积。
根据重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，可知每个小三角形的面积为(S)/(3)。
三角形的重心与重心定理解析
三角形的重心与重心定理解析三角形是几何学中的基本形状之一，它具有独特的性质和定理。
其中，三角形的重心是三条中线的交点，而重心定理则是三角形中心重心的性质之一。
本文将对三角形的重心以及重心定理进行详细解析。
一、三角形的重心三角形的重心是指三条中线的交点，中线是指三角形的一个顶点与对边中点之间的线段。
设三角形的三个顶点为A、B、C，三角形的重心记为G。
则GA是顶点A处的中线，GB是顶点B处的中线，GC是顶点C处的中线。
重心具有以下性质：1. 三个中线交于一点，即重心G。
2. 重心到三角形的各个顶点的距离相等，即GA = GB = GC。
3. 重心将每条中线按照1:2的比例分割。
三角形的重心是三角形中心的一种，它在很多问题中都有重要的作用。
二、重心定理重心定理是指：三角形重心到三个顶点的距离之和等于三个顶点到对边中点距离之和的3倍。
设三角形的三个顶点为A、B、C，三角形的重心为G，三个对边的中点分别为D、E、F。
则重心定理可以表述为：AG + BG + CG = 3(GD + GE + GF)重心定理的证明可以通过向量、坐标法以及利用中线的性质等多种方法进行推导。
重心定理的应用非常广泛，下面举两个例子进行说明：例一：证明三角形的重心与重心定理给定三角形ABC，它的重心为G。
我们要证明重心到三个顶点距离之和等于三个顶点到对边中点距离之和的3倍。
首先，连接重心G与各个顶点A、B、C，分别得到GA、GB、GC。
然后，通过连接对边中点D、E、F与重心G，分别得到GD、GE、GF。
根据重心的性质，我们知道GA = GB = GC，以及重心将每条中线按照1:2的比例分割，即GD:AG = GE:BG = GF:CG = 2:1。
根据重心定理的定义，我们需要证明AG + BG + CG = 3(GD + GE + GF)。
由于GA = GB = GC，所以AG + BG + CG = 3GA。
而根据重心分割每条中线的性质，我们可以得到GD + GE + GF = AG。
三角形重心
三角形重心三角形是几何学中最简单、最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，有一个特殊的点称为三角形的重心，它是三条中线的交点。
重心在三角形的性质和应用中有着很重要的地位。
在本文中，将深入探讨三角形重心的定义、性质、计算方法和应用领域。
1. 重心的定义和性质三角形的重心定义为三条中线的交点，其中中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
如果一个三角形的三条中线相交于一点，则该点就是三角形的重心。
以下是三角形重心的一些性质：（1）三角形的重心和顶点的连线是三等分角的角平分线；（2）三角形的重心到三边的距离满足距离定理，即重心到顶点所在边的距离是重心到对边的距离的两倍；（3）重心到三边的距离和相等；（4）三角形的重心是三个中线的交点，也是质心的两倍。
2. 重心的计算方法计算三角形的重心可以使用向量法或坐标法。
以坐标法计算为例，假设一个三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3,y3)。
可以通过以下公式计算重心的坐标G(x, y)：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过坐标法计算重心的好处是，无论三角形的形状和大小如何改变，只要知道顶点的坐标，就能准确计算重心的坐标。
3. 重心的应用领域重心在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个重心的应用领域：（1）建筑物和桥梁设计：重心在建筑物和桥梁的设计中起着关键作用。
确定一个建筑物或桥梁的重心可以帮助工程师分析和预测结构的稳定性和平衡性。
（2）机械工程：在机械工程中，重心的概念经常用于计算和设计运动系统的稳定性。
（3）物理学：在物理学中，重心是许多力学问题的重要概念。
通过确定物体的重心，可以帮助理解和分析物体的运动和平衡状态。
（4）地理学：在地理学中，重心被用来计算地球表面的重心，以便更好地了解地球的质量分布和地理数据分析。
（5）航空航天工程：在航空航天工程中，重心对于飞机和火箭的稳定性和控制至关重要。
三角形的重心、垂心、外心和内心的认识(二)2024
三角形的重心、垂心、外心和内心的认识（二）引言：三角形是一种基本的几何图形，它具有独特的性质和特点。
在三角形中，重心、垂心、外心和内心是四个重要的点，它们分别具有不同的特性和作用。
在本文中，我们将进一步探讨三角形的重心、垂心、外心和内心的认识，帮助读者更好地理解和应用它们。
正文：一、重心（Center of Gravity）重心是三角形内部所有点的平均位置。
它具有以下性质：1. 重心所在的直线称为重心线，它经过三角形的顶点与对边的中点。
2. 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形。
3. 如果一个三角形均匀分布质量，则它的重心就是质心。
二、垂心（Orthocenter）垂心是三角形三条高线的交点。
它具有以下性质：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
2. 垂心到三角形三条边的距离乘积最小。
3. 如果一个三角形是锐角三角形，则垂心在三角形内部；如果是直角三角形，则垂心是直角的顶点；如果是钝角三角形，则垂心在三角形外部。
三、外心（Circumcenter）外心是三角形外接圆的圆心。
它具有以下性质：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。
2. 外心到三角形三条边的距离相等，且等于外接圆的半径。
3. 一个三角形的外心可以通过三条边的垂直平分线的交点确定。
四、内心（Incenter）内心是三角形内切圆的圆心。
它具有以下性质：1. 内心到三角形三条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2. 内心到三角形的三个顶点的距离之和等于三角形的周长。
3. 一个三角形的内心可以通过三条边的角平分线的交点确定。
总结：三角形的重心、垂心、外心和内心是三角形内部的特殊点，它们在三角形的性质和计算中扮演着重要的角色。
重心代表了平均位置，垂心代表了高线的交点，外心代表了外接圆的圆心，内心代表了内切圆的圆心。
通过深入理解和认识这些点的性质，我们可以更好地应用它们解决问题，进一步研究和探索三角形的奥秘。
9.6.4 第6课时 三角形的重心(公开课).
第6课时 三角形的重心
[点评] 此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三 角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的 距离的2倍．
第6课时 三角形的重心
课堂小结
知识回顾：
1.说出三角形的中线的定义 2.三角形有几条中线？ 3.三角形的3条中线交于一点吗？ 4.你能证明这个结论吗？
第6课时 三角形的重心
► 知识点二 三角形的重心的概念 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心． [拓展]1.每一个三角形有且只有一个重心； 2．重心一定在三角形的内部．
6.4 探索三角形相似的条件
第6课时 三角形的重心
第6课时 三角形的重心
新知梳理
► 知识点一 黄金三角形 “黄金三角形”：顶角为____3_6_°_____的等腰三角形是黄金 三角形，底与腰的比值约为0.618.
第6课时 三角形的重心
重难互动探究
探究问题一 黄金三角形的应用
例 1 顶角为 36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图 6－4－ 93 所示，△ABC，△BDC，△DEC 都是黄金三角形．已知 AB＝1，则 DE＝__________.(精确到 0.01)
图 6－4－95
第6课时 三角形的重心
解：延长 AG 到点 G′，与 BC 相交于点 D，使 DG＝DG′，则 △BDG≌△CDG′，
∴CG′＝BG＝8. 1
∵DG＝2AG＝3， ∴DG＝DG′＝3，∴GG′＝6. ∵CG＝10，∴△CGG′是直角三角形．
1 ∵S△GBC＝S△CGG′＝2×8×6＝24， ∴S△ABC＝3S△GBC＝72.
[答案] 0.38
图 6－4－93
第6课时 三角形的重心
[解析] 由于△ABC，△BDC，△DEC 都是黄金三角形，因此我
三角形重心概念(一)
三角形重心概念(一)
三角形重心概念简述
什么是三角形重心?
三角形重心是指三角形内部的一个特殊点，它由三角形的三条中
线的交点所确定。
中线是连接三角形顶点与对应边中点的线段，而重
心则是这三条中线的交点。
重心的性质
•三角形的三条中线与重心共点，即重心是三角形三条中线的交点；•重心将每条中线分为相应部分的比例相等，即从重心到三角形对边的距离与对应中线长度的比值相等；
•重心到三角形三个顶点的距离之和最小；
•重心内外的三个小三角形面积之和等于原三角形面积的三分之一。
重心的应用
三角形重心是几何学中一个常见而重要的概念，它在许多几何问
题中都有广泛的应用。
•质心：三角形中的重心也称为质心，它是三角形的重要几何中心之一。
质心具有诸多性质和应用，例如在质心坐标系下，三角形
的重心成为坐标原点，方便进行计算和研究。
•结构分析：重心可以用于分析物体的力学性质和结构稳定性。
对于均匀分布的物体，其重心位于几何中心，可以帮助确定物体受力和平衡的情况。
•曲线设计：重心可以用于绘制曲线和设计图形。
通过合理设置重心的位置，可以使曲线或图形在视觉上更加平衡和美观。
总结
三角形重心是一个重要的几何概念，它具有许多性质和应用。
重心不仅能帮助我们理解三角形的结构和性质，还可以在力学、曲线设计等领域发挥重要作用。
三角形的重心
三角形的重心在我们的数学世界中，三角形是一个极其基础且重要的图形。
而三角形的重心，作为三角形的一个重要特性，有着独特的性质和广泛的应用。
首先，让我们来明确一下，什么是三角形的重心。
简单来说，三角形的重心就是三角形三条中线的交点。
那什么又是中线呢？连接三角形顶点和它对边中点的线段就叫做中线。
为了更直观地理解三角形的重心，我们不妨动手做一个小实验。
拿一张稍硬的纸，画出一个三角形，然后找出三条边的中点，连接顶点和中点画出中线。
这时，你会发现这三条中线相交于一点，这个点就是三角形的重心。
三角形的重心有一些非常有趣的性质。
其中一个重要的性质是，重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着，如果我们把重心和顶点相连，并延长这条线，使其与对边相交，那么重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的两倍。
比如说，在三角形 ABC 中，G 是重心，连接 AG 并延长交 BC 于 D。
那么就有 AG ＝ 2GD。
同样的道理，BG ＝ 2GE，CG ＝ 2GF，其中 E、F 分别是 AC、AB 的中点。
为什么会有这样的比例关系呢？我们可以通过一些简单的几何证明来理解。
以证明 AG ＝ 2GD 为例。
连接 BE，因为 E 是 AC 的中点，所以三角形 ABE 和三角形 CBE 的面积相等。
又因为三角形 AGB 和三角形 BGD 分别以 AG 和 GD 为底时，高相同，且三角形 ABE 的面积是三角形 AGB 面积的两倍，三角形 CBE 的面积是三角形 BGD 面积的两倍，所以 AG ＝ 2GD。
三角形重心的另一个重要性质是，它是三角形的几何中心。
这意味着，如果我们把三角形看成是一块均匀的薄板，那么重心就是薄板的平衡点。
也就是说，如果用一个支点支撑在重心的位置，三角形薄板能够保持平衡。
这个性质在实际生活中有很多应用。
比如在建筑设计中，为了保证建筑物的结构稳定，工程师们需要考虑重心的位置。
如果建筑物的重心不在合理的位置，就可能会出现倾斜、倒塌等危险情况。
三角形的重心
三角形的重心嘿，咱们今天来聊聊三角形的重心这个有趣的话题！先来讲讲我曾经遇到的一件小事儿。
有一次我在公园里散步，看到一群小朋友在玩跷跷板。
其中有个聪明的小家伙，发现要让跷跷板平衡，两边人的位置和重量得搭配好。
这就让我想到了三角形的重心，就像跷跷板的平衡关键点一样。
那什么是三角形的重心呢？简单来说，三角形的重心就是三角形三条中线的交点。
可别小看这个交点，它有着很特别的性质呢！咱们来做个小实验，拿一张硬纸板，剪出一个三角形。
然后找出三条边的中点，把相对的中点连接起来，这就是中线啦。
三条中线相交的那个点，就是重心。
如果我们在这个重心的位置上挂一个重物，你会发现三角形会稳稳地保持平衡。
这就像是那个跷跷板，找到了重心，就找到了平衡的关键。
再想象一下，如果把三角形看成是一块薄板，那么通过重心把薄板悬挂起来，薄板就能保持水平。
这是不是很神奇？在实际生活中，三角形的重心也有很多用处呢。
比如说建筑师在设计桥梁的时候，就得考虑到结构的重心，这样才能保证桥梁的稳固。
还有咱们常见的三脚架，它的稳定性就和三角形的重心有关。
我们来深入研究一下三角形重心的性质。
重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1。
这意味着，如果从重心向一条边的中点连线，这条线会把中线分成 2：1 的两段。
假设三角形的三个顶点分别是 A、B、C，对应的三条中线分别是AD、BE、CF，交点是 G（也就是重心）。
那么 AG 与 GD 的长度比就是 2：1，BG 与 GE 的长度比也是 2：1，CG 与 GF 的长度比同样是 2：1。
同学们可以自己动手画几个不同形状的三角形，然后找出重心，量一量这些线段的长度，验证一下这个比例关系。
咱们再来说说怎么求三角形的重心坐标。
如果三角形的三个顶点坐标分别是（x₁, y₁)、（x₂, y₂)、（x₃, y₃)，那么重心的坐标就是（（x₁＋ x₂＋ x₃) ／ 3, （y₁＋ y₂＋ y₃) ／ 3) 。
三角形的重心
三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加+的表示正的部分N+：正自然数集即正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加*的表示除0以外的部分N*：除了0的自然数集即正整数集Z*：非零整数集R*：非零实数集集合通常表示为大写字母A，B，C……。
而元素通常表示为小写字母a,b,c……。
重心、垂心、内心和外心。
正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。
一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
三角形的重心与垂心
三角形的重心与垂心三角形是解析几何学中一个重要的概念，它由三个点组成，而在三角形中，有两个特殊的点，一个是重心，另一个是垂心。
本文将就三角形的重心与垂心展开探讨并说明它们的性质和作用。
一、三角形的重心重心是指三角形三条中线的交点，它被平分为三个部分。
设三角形的三个顶点分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，则重心G(x, y)的坐标可以通过以下公式求得：x = (x₁ + x₂ + x₃) / 3y = (y₁ + y₂ + y₃) / 3重心是三角形内部的一个点，在几何形状的分析中具有重要的作用，它具有以下几个性质：1. 重心位于三角形三条中线的交点，且到三角形的三个顶点距离相等，这意味着重心到三个顶点的距离相等，体现了平衡的概念。
2. 重心将三角形分为三个相等的小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 当三角形的形状改变时，重心的位置也会相应改变，但仍然位于三角形内部。
4. 如果将三角形看作是一个物体，则该物体在重心处具有平衡的作用，即当物体在重心处支点转动时，平衡不会被破坏。
重心在实际应用中也有广泛的用途，比如在建筑、航空航天、机械设计等领域，经常需要考虑到物体的平衡性，而重心的概念可以帮助工程师进行结构设计和分析。
二、三角形的垂心垂心是指三角形三条高的交点，它的坐标称为H(x, y)。
对于任意一个三角形ABC，垂心的坐标可以通过以下公式求得：x = (a²x₁ + b²x₂ + c²x₃) / (a² + b² + c²)y = (a²y₁ + b²y₂ + c²y₃) / (a² + b² + c²)其中，a、b、c分别为三角形的边长，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)分别为三角形的三个顶点坐标。
垂心也是三角形中的一个重要点，它具有以下几个性质：1. 垂心是三条高的交点，即从垂心到三角形的三个顶点的线段互相垂直。
第6课时 三角形的重心和垂心
第6课时 三角形的重心和垂心【知识概述】三角形的重心是三角形三条中线的交点，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.重心与各顶点的连线得到的三个三角形面积相等.三角形的垂心是三角形三条高的交点，三角形两个顶点与其对边高线的两个垂足，均四点共圆；两边 高的垂足与这两边夹角的顶点和垂心均四点共圆. 【例题精选】例1 如图，点G 是△ABC 的重心，∠ACB=90°，且AG ⊥CG ，CG 的延长线交AB 于H ．(1)求证：△CAG ∽△ABC ； (2)求S △AGH ：S △ABC 的值.例2 如图，在△ABC 中，H 为垂心，O 为外心，OE ⊥BC 于E .求证：12OE=AH .思路点拨：当题目条件同时给出三角形的垂心和外接圆时，可尝试运用外接圆的直径、三角形的高线构造出平行四边形进行解题.(例2)（例1）【配套练习】1. 如图，G 是△ABC 的重心，AB >BC >CA ，记△GAB , △GBC , △GCA 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则有（ ） A. B ． C ． D ．的大小关系不确定2．如图，H 是△ABC 的垂心，△ABC 的外接圆半径为R ，△BHC 的外接圆半径为r ，则R 与r 的大小关系是（ ） A ．R ＝rB ．R ＞rC ．R ＜rD ．无法确定3．如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的（ ） A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心4. 已知点G 是△ABC 的重心，AG 的延长线交BC 于点D ，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，如果BC=6，那么线段GE 的长为_____________.5. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A= ______度.6. 已知任意三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心．如图AB 是半圆的直径，如图1，点C 在半圆外；如图2，点C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图并简要说明画法（不需证明）． （1）在图1中，画出△ABC 的垂心，简要说明画法. （2）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高，简要说明画法.123S S S >>123S S S ==123S S S <<123S S S、、(第1题)(第3题)(第2题)(第7题)7. 如图，扇形OAB 的圆心角为90°，半径为6，点P 在AB ︵(不含端点)上运动，PH ⊥O A 于H ，△OPH 的重心为G ．(1) 当点P 在AB ︵上运动时，线段GO 、GP 、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求出其相应的长度；(2) 设PH = x ，GP =y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值范围； (3) 如果△PGH 为等腰三角形，试求出线段PH 的长．8. 如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与BC 交于点M ，若OH ⊥AO ，BC=10，OA=6，求OM 的长.H (第7题) (第8题)第6课时 三角形的重心和垂心参考答案例1 (1)如图，设GH=a ，∵点G 是△ABC 的重心，∴CG=2HG=2a ，CH 为AB 边上的中线，∴CH=AH=BH=3a ，∠1=∠B ，∵AG ⊥CG ，∴∠2+∠3=90°，而∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴∠B=∠3，而∠ACB=∠AGC=90°，∴△CAG ∽△ABC ；(2)∵点G 是△ABC 的重心，∴CG=2HG ，∴HG=13CH ，∴S △AHG=13S △ACH ，∵AH =HB ，∴S △ACH = 12S △ABC ，∴S △AHG=16S △ABC ，∴S △AGH ：S △ABC=1：6．例2 如图，作⊙O 的直径BF ，连结CF ，AF ，CH ，∴∠BCF=∠BAF=90°，∵OE ⊥BC ，∴BE =EC ．∵OB=OF ，∴OE =12CF ．∵H 是△ABC 的垂心，∴AH ⊥BC ，∵CF ⊥BC ，∴AH ∥CF ，同理可得：CH ∥AF ，∴四边形AHCF 是平行四边形，∴AH=CF ，∴OE =12 AH ．【练习】1．B 2．A 3．C 4． 2 5． 60°6．(1) 如图1，连结AD ，BE 交于点P ，连结CP 并且延长交AB 于点F ．(2) 如图2，延长AC 、BC 分别交半圆于点E 、D ，连结AD ，BE ，并延 长相交于点P ，连结PC 并延长交AB 于点T ，则CT 就是AB 上的高．7．(1)延长 HG 交OP 于点E ，延长PG 交AO 于D ，∵G 是△OPH 的重心，且∠PHO =90°，∴GH ＝23HE ＝23×12 OP ＝13×6＝2，故在线段 GO 、GP 、GH 中．有长度保持不变的线段，就是GH ．(2)OH12DH OH =DP ∴y ＝GP ＝23DP ＝1336＋3x 2(06)x <<的中位线，． 练6 练8例21B例1。
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重难互动探究
探究问题一 黄金三角形的应用
例 1 顶角为 36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图 6－4－ 93 所示，△ABC，△BDC，△DEC 都是黄金三角形．已知 AB＝1，则 DE＝__________.(精确到 0.01)
[答案] 0.38
图 6－4－93
第6课时 三角形的重心
[ 解析] 由于△ABC，△BDC，△ DEC 都是黄金三角形，因此我 们可以利用黄金三角形的特殊性， 即顶角为 36°的等腰三角形， 且 DC BC 底边与腰成黄金比．不妨设 DE＝x，则有 DC＝x， ≈0.618， ≈ BC AB 0.618，则 DC≈0.618×0.618·AB≈ 0.382≈0.38.
[拓展]1.每一个三角形有且只有一个重心；
2．重心一定在三角形的内部．
第6课时 三角形的重心
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知识点三
三角形的重心的性质
1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2．重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
3．重心和三角形3个顶点的的任意一条连线将三角形的面积 平分．
第6课时 三角形的重心
第6课时 三角形的重心
探究问题三
例3 的面积．
三角形重心性质的应用
设 G 是△ABC 的重心， 且 AG＝ 6， BG＝8， CG＝10， 求△ABC
第6课时 三角形的重心
[解析 ] 延长 AG 到点 G′，与 BC 相交于点 D，使 DG＝DG′， 则△BDG≌△CDG′，所以 CG′＝BG＝8，根据重心的性质可求得 DG ＝DG′＝3，则 GG′＝6，又 CG ＝10，所以△CGG′是直角三角形， 并可求得其面积，从而得出△BGC 的面积，即可求得△ABC 的面积．
图6－4－91
第6课时 三角形的重心
►
活动2
教材导学
认识三角形的重心 阅读教材P61思考与探索，完成下列各题．
第6课时 三角形的重心
如图 6－4－92 所示，BE ，CD是△ ABC的中线， BE和 CD 相交于
点O，连接DE.
4 ； (1)若DE＝2，则BC＝____ (2)S△ODE与S△OBD
图 6－ 4－95
第6课时 三角形的重心
解：延长 AG 到点 G′，与 BC 相交于点 D，使 DG＝DG′，则 △BDG≌△CDG′， ∴CG ′＝BG＝8. 1 ∵DG ＝ AG＝3， 2 ∴DG ＝DG′＝3，∴GG′＝6. ∵CG ＝10，∴△CGG′是直角三角形． 1 ∵S△GBC＝S△CGG′＝ × 8×6＝24， 2 ∴S△ABC＝3S△GBC＝72.
证明：延长OE到点G，使OG＝OB. ∵OG＝OB，∴点O是BG的中点．又∵点D是BC的中点，∴OD是
△BGC的一条中位线，∴AD∥CG.
∵点 O是BG的中点 ，点 F是AB的中点 ，∴ OF 是△ BGA的一条中 位线，∴CF∥AG. ∵AD∥CG，CF∥AG，∴四边形AOCG是平行四边形，∴AC，OG 互相平分，∴AE＝CE.
1 2 ． 的面积之比为____
图6－4－92
第6课时 三角形的重心
新 知 梳 理
► 知识点一 黄金三角形
36° “黄金三角形”：顶角为___________ 的等腰三角形是黄金 三角形，底与腰的比值约为0.618.
第6课时 三角形的重心
►
知识点二
三角形的重心的概念
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．
数 学
新课标（苏教） 九年级下册
6.4 探索三角形相似的条件
第6课时 三角形的重心
第6课时 三角形的重心
探 究 新 知
► 活动1 知识准备 A )
1．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是(
A．AD平分∠BAC B．BD＝DC
C．点D是BC的中点 D．BC＝2DC
第6课时 三角形的重心
2．如图6－4－91，请你画出三角形的3条中线．你发现 三条中线在三角形内部交于一点 _____________________________________________ ．
第6课时 三角形的重心
[ 点评 ] 此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三 角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的
距离的2倍．
第6课时 三角形的重心
课 堂 小 结
第6课时 三角形的重心
[ 反思] 重心和三角形 3个顶点组成的3个三角形面积相等吗 三角形的重心
[ 归纳总结] 正确认识黄金三角形的特点是解决本题的关键
．
第6课时 三角形的重心
探究问题二
例2
证明三角形重心的性质
已知：如图 6－4－94，△ ABC 的两条中线 AD，CF 相交
于点 O ，连接并延长 BO，交 AC 于点 E.
图 6－ 4－94 求证： AE＝CE.
第6课时 三角形的重心