山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理汇总

第25章 九点圆定理九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆． 如图25-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D 、E 、F ，三边BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，又AH 、BH 、CH 的中点分别为P 、Q 、R ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、O 、R 九点共圆．HO QL RN MP F E DCBA 图25-1证法1联结PQ ，QL ，LM ，MP ，则12L M B A Q P∥∥，即知L M P Q 为平行四边形，又LQ CH AB LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L 、M 、P 、Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L 、M 、N 、P 、Q 、R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠∠=∠=︒=，知D ，E ，F 三点也在这个圆上，故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法2如图25-1，由11801802NQD BQD BHD ∠=︒-∠=︒-∠，以及注意到DE 是N 与R 的公共弦，知NR DE⊥，有12N R D D R E C ∠=∠=∠，亦即180NRD EHD ∠=︒-∠，从而知()360180NQD NRD BHD EHD ∠+∠=︒-∠+∠=︒．因此，N 、Q 、D 、R 四点共圆．同理，Q 、L 、D 、R 四点共圆．即知N 、Q 、L 、D 、R 五点共圆．同理，L 、D 、R 、M 、E 以及R 、M 、E 、P 、F ；E 、P 、F 、N 、Q ；F 、N 、Q 、L 、D 分别五点共圆．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆． 证法3如图25-1．联结PL 、PN 、PQ 、PF 、LQ 、LF 、QN 、FL ，则90PDL ∠=︒．注意到PN BH ∥，NL AC ∥，BE AC ⊥，则PN NL ⊥，即90PNL ∠=︒．又PQ AB ∥，QL CH ∥，而CH AB ⊥，则QL PQ ⊥，即90PQL ∠=︒．注意到PF PH =，则PFH PHF CHD ∠∠∠==． 由LF LC =，有CFL HCD ∠∠=．因90CHD HCD ∠+∠︒=，则90PFL PFH CFL ∠∠+∠︒==．同理，PM L ∠、PEL ∠、PRL ∠皆等于90︒．即D 、N 、Q 、F 、M 、E 、R 各点皆在以PL 为直径的圆周上．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法4如图25-1，注意到LQHR 为平行四边形，QP BA ∥，RP CA ∥，则么180180QLR QHR A QPR ∠=∠︒-∠︒∠==-，即知L 、Q 、P 、R 四点共圆．又180180QDR QDH RDH QHD RHD QHR A QPR ∠∠+∠∠+∠∠︒∠︒-∠====-=（注意QP BA ∥，RP CA ∥），则知D 、Q 、P 、R 四点共圆．即知D 、L 在PQR 上．同理，E 、M 、F 、N 也在PQR 上．故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．证法5设ABC △的外心为O ，取OH 的中点并记为V ，联结AO ，以V 为圆心，12AO 为半径作圆V ，如图25-1所示．由12VP OA ∥，知P 在圆V 上．同理，Q 、R 也在圆V 上．由12OL AH ∥（可由延长AO 交ABC △的外接圆于K ，得HBKC 为平行四边形，此时L 为KH 的中点，则OL 为AKH △的中位线即得），知OL PH ∥．又OV VH =，知O L V H P V △≌△，从而12VL VP OA ==，且L 、V 、P 共线，故L 在圆V 上． 同理，M 、N 在圆V 上．由L 、V 、P 共线知LP 为圆V 的一条直径．又90LDP ∠︒=，90MEQ ∠=︒，90NFR ∠=︒，知D 、E 、F 在圆V 上． 故D 、E 、F 、L 、M 、N 、P 、Q 、R 九点共圆．上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆．显然，正三角形的九点圆即力其内切圆． 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1ABC △九点圆的圆心是其外心与垂心所连接线段的中点，九点圆的半径是ABC △的外位圆半径的12． 注意到PQR △与ABC △是以垂心H 为外位似中心的位似形，位似比是12H P H A =∶∶，因此，可得． 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是12∶的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3ABC △的外心O ，重心G ，九点圆圆心V ，垂心H ，这四点（心）共线，且12OG GH =∶∶，13GV VH =∶∶，或O 和V 对于G 和H 是调和共轭的，即OG OHGV HV=． 推论4ABC △的九点圆与ABC △的外接圆又是以ABC △的重心G 为内位似中心，位似比为1∶2的位似形．事实上，因G 为两相似三角形LMN △与ABC △的相似中心，而LMN △的外接圆即ABC △的九点圆． 推论5一垂心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆．另外，我们还可推知如下结论：结论1三角形的四个切圆（内切圆和三个旁切圆）与其九点圆相切，垂心组有四个三角形，故有16个切圆与此九点圆相切．结论2垂心组的两个三角形的外心与已知垂心组各点，关于九点圆圆心V 对称．三角形的垂心组与其外心构成的垂心组有同一九点圆．结论3垂心组的九点圆与此重心所成的另一垂心组的九点圆同心． 下面，运用九点圆定理处理一些问题：例1（2001年全国高中联赛题）如图25-2，ABC △中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ，求证： （1）OB DF ⊥，OC DE ⊥． （2）OH MN ⊥．VMO H F E DCB A图25-2证明（1）设ABC △的外接圆半径为R ，由相交弦定理，有 22R OF AF FB -⋅=，22R OD BD DC -⋅=．从而22OF OD BD DC AF FB -⋅-⋅=． 由A ，F ，D ，C 四点共圆，有 BD BC BF BA ⋅=⋅，即()()BD BD DC BF BF FA ⋅+=+， 亦即2222BF BD BD DC AF FB OF OD -=⋅-⋅=-． 故OB OF ⊥．同理，OC DE ⊥．（2）由九点圆定理的推论1，知OH 的中点V 为△DEF 的外心．又由D ，E ，A ，B 及D ， F ，A ，C 分别四点共圆，有M D M E M B M A ⋅⋅=，AD NF NC NA ⋅=⋅．由此，即知M ，N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等，从而M ，N 在这两个外接圆的根轴上，即有MN OV ⊥，故MN OH =． 例2（第31届IMO 预选题）如图25-3，ABC △中，O 为外心，H 是垂心，作CHB △，CHA △和AHB △的外接圆，依次记它们的圆心为1A ，1B ，1C ，求证：111ABC A B C △≌△，且这两个三角形的九点圆重合．OM HA 1C 1B 1K CBA图25-3证明则()()1809090180C H B B C B C A ∠=︒-︒-∠-︒-∠=∠+∠=︒-∠，知C H B △外接圆的半径和CAB △外接圆的半径相等，从而，有1A 是O 关于BC 的对称点．设M 是BC 中点，则知2AH OM =，即1AH OA =．又1AH OA ∥，则联结1AA 与OH 的交点K 为1AHAO 的中心，即1AA 与OH 互相平分于K ． 同理，1BB ，1CC 也经过K 且被它平分，从而111A B C △与ABC △关于K 中心对称，故 111A B C ABC △≌△．显然，K 是ABC △九点圆的圆心．因此，这个圆关于K 作中心对称时不变，它也是111A B C △的九点圆． 例3（1994年亚太地区数学奥林匹克题）给定非退化的ABC △，设外心为O ，垂心为H ，外接圆的半径为R ，求证：3OH R <．证明设G 是ABC △的重心，V 是九点圆的圆心，O 和V 对于G 和H 是共线且调和共轭的，考察以点O 为起点的向量，则33333OA OB OC OH OG OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭．因此3OH OA OB OC R ++=≤．仅当A B C ==时等号成立，这是不可能的，故3OH R <．例4（第30届IMO 试题）如图25-4，锐角ABC △中，A ∠的平分线与三角形的外接圆交于另一点1A ，点1B ，1C 与此类似．直线1AA 与B ，C 两角的外角平分线交于0A ，点0B ，0C 与此类似，求证： （1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的2倍． （2）000A B C △的面积至少是ABC △的面积的4倍．B 0A 0C 0C 1A 1B 1IC BA图25-4证明（1）令ABC △的内心为I （000I AA BB CC =∩∩），则I 又是000A B C △的垂心（内、外角平分线互相垂直）．显然，ABC △的外接圆是000A B C △的九点圆，即知1A ，1B ，1C 分别为0A I ，0B I ，0C I 的中点，于是得012A BI A BI S S =△△，012A CI A CI S S =△△． 从而012A BIC A BIC S S =四边形四边形．同理012B CIA B CIA S S =四边形四边形，012C AIB C AIB S S =四边形四边形． 故0001112A B C AC BA CB S S =△六边形． （2）由（1），有()11100022A BC B CA C ABA B C ABCABCS S S S S S ++=+△△△△△△．故只要证 1111A BC B CA C ABABCS S S k S ++=△△△△≥．记2BAC α∠=，2ABC β∠=，2BCA γ∠=，则()1111sin 180221sin 22A BC ABCA B AC S S AB AC αα⋅⋅︒-=⋅⋅△△ 2sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2ααααγβαβγ⋅⋅==⋅⋅⋅． 同理12sin sin 2sin 2B CA ABC S S βαγ=⋅△△，12sin sin 2sin 2C AB ABC S S γαβ=⋅△△． 于是222sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2k αβγβγαγαβ=++⋅⋅⋅≥()233cos cos cos 4αβγ-=⋅⋅≥ 223cos cos cos 3cos 14343αβγαβγ--++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．例5（第23届IMO 试题）如图25-5，123A A A △是一非等腰三角形，它的边长分别为1a ，2a ，3a ，其中()1,2,3i a i =是i A 的对边，i M 是边i a 的中点．123A A A △的内切圆圆I 切边i a 于点i T ，i S 是i T 关于i A ∠平分线的对称点，求证：11M S ，22M S ，33M S 三线共点．3211A 图25-5证明由题设，知1221M M A A ∥，下面证1121S S A A ∥． 由1T 和1S ，2T 和3T 分别关于直线1A I 对称，有1231TT T S =． 同理 1232TT T S =． 故有 3132T S T S =． 即3T 是等腰312T S S △的顶点，有 312T I S S ⊥．从而1221S S A A ∥．同理2332S S A A ∥，3113S S A A ∥．又1221M M A A ∥，2332M M A A ∥，3113M M A A ∥，于是123M M M △和123S S S △的对应边两两平行，故这两个三角形或全等或位似．由于123S S S △内接于ABC △的内切圆，而123M M M △内接于ABC △的九点圆，且123A A A △不为正三角形，故其内切圆与九点圆不重合，所以123S S S △与123M M M △位似，这就证明了11M S ，22M S ，33M S 共点（于位似中心）．例6（2007年台湾数学奥林匹克题）给定ABC △及其外接圆．证明：ABC △的外接上对径的两点对应的西姆松线相互垂直，且它们的交点在ABC △的九点圆上．证明如图25-6，设P 、P '为ABC △的外接圆O 的对径点，这两点的西姆松绒DEF 与DE F '''交于点K ． 因为KDP ECP AP P '∠=∠=∠，9090KD D E P C ACP APP AP P KDP ''''''∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，所以，180D KD KD D KDD '''∠=︒-∠-∠ ()1809090KD D KDP '=︒-∠-︒-∠=︒．F图25-6记P 、P '的西姆松线分别为1l ，2l ，则12l l ⊥于K ．由西姆松线的性质1，知1l 知PH （H 为ABC △的垂心）的中点N ，2l 过PH'的中点N '，即知NN PP ''∥．又外心O 为PP '的中点，则NN '过OH 的中点V ，且V 为九点圆圆心故NN '为九点圆直径．因为90NKN '∠=︒，所以，点K 在ABC △的九点圆上．综上所述，欲证结论获证．例7求证：三角形的外心至各顶点联结线的中点所连成的三角形，与原三角形的中点三角形有共同的九点圆．（三角形三边中点所连成的三角形为原三角形的中点三角形．）证明如图25-7，因O D B C ⊥，BC EF ∥；OE CA ⊥，CA FD ∥；OF AB ⊥，AB DE ∥，所以O 为DEF△的垂心，于是OD 、OE 、OF 与A B C '''△三边的交点所得D E F '''△的外接圆是DEF △的九点圆． 又D '，E '，F '分别是B C ''，C A ''，A B ''的中点，所以D E F ''' 又是A B C '''△的九点圆，故DEF △与A B C '''△有共同的九点圆．C 'B'A'O DA BCE F 图25-7例8设O 是ABC △的外心，连AO 、BO 、CO 分别交BC 、CA 、AB 于X 、Y 、Z ，则直径分别为AX 、BY 、CZ 的圆同切于ABC △的九点圆． 证明如图25-8，设H 为垂心，则ABC △的九点圆圆心V 在OH 的中点．设直径为AX 的圆的圆心为Ox ，D 为A 在BC 边的射影，则D 在V 上，也在x O 上．VO x QYF DG P X Z O CBA 图25-8作OP BC ⊥于P ，VG BC ⊥于G 且交AX 于Q ，连DV 交AX 于xQ '，则12OP AH QV ==，从而VP AX ∥，即有xx x O X O D O A '''==，即x O '为AX 的中点，亦即x O '与x O 重合． 此时，x x x x O V O Q O A QA O D VD ==-=-，即x O 与V 相切．同理，以BY 、CZ 为直径的圆亦与V 相切．例9在ABC △中，AD 是边BC 上的高，M ，N 分别是CA 、AE 过点A ，命BC 在l 上的射影为B C ''，联结B N '与C M '设交于点P 圆，且圆心O 与P 同在ABC △的九点圆上．证明如图25-9，B D '、C D '，则由B '、B 、D 、A ；A 、D 、C 、C '分别四点共圆，知180P PB C PC B ''''∠=︒-∠-∠ 180BAB CAC ''=︒-∠-∠ 9090BAB CAC ''=︒-∠+︒-∠ABB ACC ADB ADC ''''=∠+∠=∠+∠B DC ''=∠，即知点P 在DMN 上（DMN 即为九点圆）．PDQ R lC 'B'OM NCB A图25-9联结MD 、ND ，则知MAD △、NAD △均为等腰三角形，分别过M 、N 作DC '、DB '的垂线交于点O ，则180180180MON ROQ RDQ C DB P ''∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠，而P 在DMN 上，从而点O 在DMN 上．例10四点（没有三点共线）两两连成四个三角形，它们的九点圆共点．证明如图25-10，A 、B 、C 、D 为没有三点共线的四点，1C ，2C ，3C ，4C 分别是BCD △、CDA △、DAB △、ABC △的九点圆．C 4C 2C 3JIC 1HGFO DCBA图2510设AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 的中点分别为E 、F 、G 、H 、I 、J ．由九点圆定义知，1C 过点F 、G 、J 三点，3C 过H 、E 、J 三点．既然1C 与3C 已有一个交点J ，它们应当有第二个交点O ．联结OG 、OH 、OJ 、FG 、FJ 、EH 、EJ ，则 GOH JOG JOH JFG JEH ∠=∠+∠=∠+∠．①但JFGD 和JEHD 都是平行四边形，因而JFG JDG ∠∠=且JEH JDH ∠∠=，代入①得 COH JDG JDH CDH ∠∠+∠∠==．②联结IG ，IH ，即知GDHI 也为平行四边形，于是GDH GIH ∠∠=以此代入②，便有GOH GIH ∠∠=． 这说明点G 、H 、I 、O 四点共圆，即2C 通过点O ． 同理，4C 也通过点O ．故1C ，2C ，3C ，4C 相交于一点O ．注：当A 、B 、C 、D 中有三点共线时，那么有一个九点圆变态为一直线．这时结论仍成立，但四点共线就没有意义了． 练习题二十五1．设G 是ABC △的重心，P 是这个三角形的外接圆上任一点，联结PG 并延长至Q ，使12GQ PG =，则点Q 在ABC △的九点圆上．2．试证：ABC △的垂心H 与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．3．设I ，O 分别为ABC △的内心和外心，P 为由三个旁心所组成的A B C I I I △的外心，则I ，O ，P 三点共线．4．设ABC △的边BC ，CA ，AB 的中点分别为A '，B '，C '，从A 向BC 作垂线AH 和ABC △的九点圆相交于点K ，再作AH 关于A ∠的平分线AP 对称的线段AW ，则KA AW '∥．5．设ABC △的A ∠的平分线为AP ，从P 作内切圆的切线PF ，其切点为F ，设BC 的中点为A '，延长A F '和这个圆的另一交点为L ，则L 在ABC △的九点圆上． 6．（费尔巴哈定理）ABC △的内切圆及旁切圆与三角形的九点圆相切． 7．（2008年越南国家队选拔考试题）已知xOy ∠，M 是射线Ox 上的动点，N 是射线Oy 上的动点，设d 是xOy ∠的外角平分线，MN 的中垂线与d 交于点I ，P 、Q 是d 上的两个点，且满足IP IQ IM IN ===，K 是MQ 与NP 的交点．（1）证明：点K 总在一条固定的直线上；（2）设1d 是过M且垂直于IM 的直线，2d 是过N 且垂直于IN 的直线，1d 、2d 与d 分别交于点E 、F ．证明：EN 、FM 、OK 三线共点．。