【人教版】2020七年级数学下册 培优新帮手 专题27 以形借数—借助图形思考试题 (新版)新人教版
K12推荐学习七年级数学下册 培优新帮手 专题27 以形借数—借助图形思考试题 (新版)新人教版
27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面:1.从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能.2.有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解.阅读与思考【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同形状的共有____________种。
(“五羊杯”竞赛试题)x y z则解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为........y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究:信息读取(1)甲、乙两地之间的距离为___________km。
(2)请解释图中点B的实际意义。
图像理解(3)求慢车和快车的速度。
(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
问题解决(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。
人教版七年级数学下册《27.1_图形的相似_第2课时》精品课件1
AB A1B1
=
BC B1C1
= CD = DA C1D1 D1A1
课程讲授
2 相似多边形及其性质
例 如图,四边形 ABCD 和 EFGH 相似,求角α,β的
大小和EH的长度 x.
x
H
21
D
A
β
E 118°
18
24
78° 83°
B
C
F
α G
课程讲授
2 相似多边形及其性质
解:因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似,所以它们的对应 角相等.
A1
A
D
D1
B
C
B1
C1
测量两个多边形的各对应角和对应边,你能发现什么规律?
课程讲授
2 相似多边形及其性质
A1
A
D
D1
B
C
B1
C1我Leabharlann 发现:∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1,
AB A1B1
=
BC B1C1
= CD = DA C1D1 D1A1
课程讲授
2 相似多边形及其性质
A1
练一练:两个相似多边形一组对应边分别为3 cm,4.5 cm
,那么它们的相似比为( A )
A. 2
3
B. 3
2
C. 4
9
D. 9
4
随堂练习
1.下列各组线段是成比例线段的是( D )
A.2 cm,5 cm,6 cm,8 cm B.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C.3 cm,6 cm,7 cm,9 cm D.3 cm,6 cm,9 cm,18 cm
随堂练习
2.若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且相似比为
七年级数学培优专题27 以形助数_答案
专题27 以形助数——借助图形思考例1 7 提示:设圆周长为9,套成的三角形三边所对的弧长分别为x ,y ,z ,则x+y+z=9,不妨设z y x ≤≤,则(x ,y ,z )只有(1,1,7),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(2,2,5),(2,3,4)和(3,3,3)这7种情形.例2(1)900 (2)图中点B 的实际意义是:当慢车行驶4h 时,慢车和快车相遇.(3)由图像可知,慢车12h 行驶的路程为900km ,所以慢车的速度为12900=75km/h ;当慢车行驶4h 时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为900km ,所以慢车和快车行驶的速度之和为4900=225km/h,所以快车的速度为150km/h.(4)根据题意快车行驶900km 到达乙地,所以快车行驶150900=6h 到达乙地,此时两车之间的距离为6×75=450km ,所以点C 的坐标为(6,450).设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ,把(4,0),(6,450)带入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 645040,解得⎩⎨⎧-==900225b k所以,线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x .(5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车的行驶时间是4.5h ,把x=4.5代入y=225x-900,得y=112.5,此时,慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ,所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ,即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ,y ,z ,没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ,如图所示.()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=-=+=+,28,,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y. 由y-2z=m ≥0得9y-58≥0,∴958≥y由29-4y=z ≥0得y ≤429,∵y 为整数,∴y=7 从而z=1,x=8,n=7,m=5. 故栏目A 的收视率为28n x +×100﹪=2825×100﹪≈53.6﹪ 例4 第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁.例5如图,A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合,而a ,b ,c ,…,f ,g 则分别表示各类优秀学生的人数,如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数.则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得:a=9,b=6,c=5,d=7,e=6,f=8,g=10.故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人,而全班仅有50人,故统计错误.【能力训练】1.2 提示:如图,用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人,如果两个人已经赛过一盘,就在相应的两个点之间连一条线段.2.4.4小时3.244.32﹪ 提示:依照图中数据计算:000000001002.108.155.12442.10298.15265.12⨯++⨯+⨯+⨯=32﹪ 5.5:16.C 提示:由直方图可知,乘车人数为25人,由扇形图可知,乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15(人).骑车人数为50-25-15=10(人).7.C8.D 提示:若A,C种同一种植物,则A,C有4×1种栽种法,B,D都有3种栽种法,共有4×3×3=36种栽种方案;若A,C种不同的植物,则有4×3种载法,B,D都有2种,共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.9.15人提示:如图,用A,B两个圆分别表示参加数学竞赛的男、女生人数,用C,D两个圆分别表示参加英语竞赛的男、女生人数,只参加数学竞赛的男生人数是120-75=45人,只参加英语竞赛的男生人数是80-75=5人,设两科都参加的女生人数为x人,则只参加数学竞赛的女生数为(80-x)人,只参加英语竞赛的女生人数为(120-x)人,由题意得120-x+80-x+x+45+75+5=260,解得x=65,故答案为80-x=15人.10.从A城出发到B城的路线分成如下两类:(1)从A城出发到达B城,经过O城。
初中九年级数学下册人教版27.1图形的相似(2)ppt课件
C`
A
B
A`
B`
练一练
把四边形ABCD放大1倍(要求:放大后的顶点在 格点上)。
D` A`
八年级 数学
B`
C`
A
D
B
C
动动手
如下图的左边格点图中有一个四边形, 请在右边的格点图中画出一个与该四边 形相似的图形。
..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... .....
解: 设两地的实际距离为x
1
30
10000000 x
x = 300000000
x = 3000千米
答: 甲,乙两地的实际距离为3000千米
2. 如图所示的两个三角形一定相似吗?为什么?
5
5
10
10
不一定相似
3. 如图所示的两个五边形相似,求未知边a、b、
c、d的长度.
c
d
6 9
35 2
b
a
7.5
形成认识
2、两个相似多边形对应边的比也叫做这两个多边形的 相似比.
3、相似多边形的识别: 如果两个多边形对应边成比例,对应角相等,
那么这两个多边形相似.
下图是两个等边三角形,找出图形中的 成比例线段,并用比例式表示.
两个任意三角形是相似图形吗?
两个任意等腰三角形呢?
AC BC AB DH EH DE
探索二
再看看图中两个相似的五边形,是否 与你观察所得到的结果一样?
形成认识:
1.相似多边形的特征:
对应边成比例,对应角相等.
符号语言(以四边形为例): ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′ AB BC CD DA
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考(附答案)
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面:1.从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能.2.有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解.阅读与思考【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同形状的共有____________种。
(“五羊杯”竞赛试题)x y z则解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为........y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究:信息读取(1)甲、乙两地之间的距离为___________km。
(2)请解释图中点B的实际意义。
图像理解(3)求慢车和快车的速度。
(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
问题解决(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。
2020七年级数学下册 培优新帮手 专题21 从不同的方向看试题 (新版)新人教版
21 从不同的方向看阅读与思考20世纪初,伟大的法国建筑家列·柯尔伯齐曾说:“我想,到目前为止,我们从没有生活在这样的几何时期,周围的一切都是几何学.”生活中蕴含着丰富的几何图形,圆的月亮,平的湖面,直的树干,造型奇特的建筑,不断移动、反转、放大缩小的电视画面……图形有的是立体的,有的是平面的,立体图形与平面图形之间的联系,从以下方面得以体现:1.立体图形的展开与折叠; 2.从各个角度观察立体图形; 3.用平面去截立体图形.观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法. 例题与求解【例1】如图是一个正方体表面展开图,如果正方体相对的面上标注的值相等,那么x y =____.(四川省中考试题)解题思路:展开与折叠是两个步骤相反的过程,从折叠还原成正方体入手.【例2】如图,是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图,那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( )A .5个B .6个C .7个D .8个(四川省成都中考试题)解题思路:根据三视图和几何体的关系,分别确定该几何体的列数和每一列的层数.888102x y 主视图左视图 俯视图【例3】由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图. (1)请你画出这个几何体的一种左视图;(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n ,求n 的值.(贵州省贵阳市课改实验区中考试题)解题思路:本例可以在“脑子”中想象完成,也可以用实物摆一摆.从操作实验入手,从俯视图可推断左视图只能有两列,由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键,而有序思考、分类讨论,则可避免重复与遗漏.【例4】如图是由若干个正方体形状木块堆成的,平放于桌面上.其中,上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点,如果最下面的正方体的棱长为1,且这些正方体露在外面的面积和超过8,那么正方体的个数至少是多少?按此规律堆下去,这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少?(江苏省常州市中考试题)解题思路:所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和,就是所求的面积.从简单入手,归纳规律.【例5】把一个正方体分割成49个小正方体(小正方体大小可以不等),请画图表示.(江城国际数学竞赛试题)解题思路:本例是一道图形分割问题,解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力,需要把图形性质与计算恰当结合.俯视图 主视图【例6】建立模型18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题.(1)根据上面的多面体模型,完成表格中的空格:多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体 4 4长方体8 6 12正八面体8 12正十二面体20 12 30 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是____.(2)—个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是___.(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个,八边形的个数为y个,求x y的值.解题思路:对于(1),通过观察、归纳发现V,F,E之间的关系,并迁移应用于解决(2),(3).模型应用如图,有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形,白皮为正六边形,且边长都相等,求正五边形、正六边形个数.(浙江省宁波市中考试题改编)能力训练A级1.如图是正方体的展开图,则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是___.(山东省菏泽市中考试题)第3题图2.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体的个数是____.(湖北省武汉市中考试题)3.—个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示,则其主视图的面积为____.(山东省烟台市中考试题)4.如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色),则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有__(山东省青岛市中考试题)5.一个画家有14个边长为1m 的正方体,他在地面上把它们摆成如图的形式,然后他把露出的表面都涂上颜色,那么被涂颜色的总面积为( )A .19m 2B .41m 2C .33m 2D .34m 2(山东省烟台市中考试题)6.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成,如图是它的主视图和俯视图,那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )A .3B .4C .5D .64左视图32左视图 图① 图② 图③654321第1题主视图 左视图 俯视图第2题(河北省中考试题)7.从棱长为2的正方体毛坯的一角,挖去一个棱长为1的小正方体,得到一个如图所示的零件,则这个零件的表面积是( )A .20B .22C .24D .26(河北省中考试题)8.我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,它的主视图是( )(2012年温州市中考试题)9.5个棱长为1的正方体组成如图的几何体.(1)该几何体的体积是____(立方单位),表面积是____(平方单位); (2)画出该几何体的主视图和左视图.(广州市中考试题)正面A B C D牟合方盖甲主视方向 乙主视图俯视图10.用同样大小的正方体木块搭建的几何体,从正面看到的平面图形如图①所示,从上面看到的平面图形如图②所示.(1)如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成,试画出从左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形.(2)这样的几何体最多可由几块小正方体构成?并在所用木块最多的情况下,画出从左面看到的所有可能的平面图形.(“创新杯”邀请赛试题)B 级1.如图,是一个正方体表面展开图,请在图中空格内填上适当的数,使这个正方体相对两个面上标注的数值相等.(《时代学习报》数学文化节试题)2.如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图,若组成这个几何体的小正方体的块数为n ,则n 的所有可能的取值之和为____.(江苏省江阴市中考试题)3.如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图,图中单位为厘米,则立体图形的体积为____立方厘米.主视图俯视图 aa -2-1a-图① 图②(“华罗庚金杯赛”试题)4.若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形,平放于桌面上,上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点,最下面的正方体棱长为1,如果塔形露在外面的面积超过7,则正方体的个数至少是( )A .2B .3C .4D .5(江苏省常州市中考试题)5.由若干个单位立方体组成一个较大的立方体,然后把这个大立方体的某些面涂上油漆,油漆干后,把大立方体拆开成单位立方体,发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆,那么大立方体被涂过油漆的面数是( )A .1B .2C .3D .4(“创新杯”邀请赛试题)6.小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体,则其中棱长为1的小正方体的个数是( )A .22B .23C .24D .25(浙江省竞赛试题)7.墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形,如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制),但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时,在墙面及地面上的影子不变,那么你最多可以搬走多少个小正方体?221主视图2左视图左视图(江苏省竞赛试题)8.一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a ,b ,c (a >b >c )厘米.如图,将它展开成平面图,那么这个平面图的周长最小是多少厘米?最大是多少厘米?(江苏省竞赛试题)9.王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中,若杯口直径为20厘米,杯底直径为10厘米,杯高为12厘米,杯身长13厘米,问果汁可以倒满多少杯?(世界数学团体锦标赛试题)10.一个边长为5厘米的正方体,它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的..P 为上底面ABCD 的中心,如果挖去(如图)的阴影部分为四棱锥,剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体?(深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛试题)上面右面 (水平线)正面① ② ⑦ ⑥ ④⑤③ a bc 10121320BD FPH专题21 从不同的方向看例1 14 提示:2x =8,y =10,x +y =14. 例2 D例3 (1)左视图有以下5种情形:(2)n =8,9,10,11.例4正方体个数至少为4个.正方体露在外面的面积和的最大值为9. 提示:最下面正方体1个面的面积是1,侧面露出的面积和是4,每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下面正方体1个面面积的12,所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上面露出的面积和(正好是最下面正方体上底面的面积1)即是这些正方体露在外面的面积和.如:2个正方体露出的面积和是4+42+1=7,3个正方体露出的面积和是4+42+44+1=8,4个正方体露出的面积和是4+42+44+48+1=812,5个正方体露出的面积和是4+42+44+48+416+1=834,6个正方体露出的面积和是4+42+44+48+416+432+1=878,…… 故随着小正方体木块的增加,其外露的面积之和都不会超过9.例5为方便起见,设正方体的棱长为6个单位,首先不能切出棱长为5的立方体,否则不可能分割成49个小正方体.设切出棱长为1的正方体有a 个,棱长为2的正方体有b 个,如果能切出1个棱长为4的正方体,则有⎩⎨⎧a +8b +64=216a +b =49-1,解之得b =1467.不合题意,所以切不出棱长为4的正方体.设切出棱长为1的正方体有a 个,棱长为2的正方体有b 个,棱长为3的正方体有c 个, 则⎩⎨⎧a +8b +27c =216a +b +c =49,解得a =36,b =9,c =4,故可分割棱长分别为1,2,3的正方体各有36个,9个,4个,分法如图所示.例6(1)6 6 V +F -E =2 (2)20 (3)这个多面体的面数为x +y ,棱数为24×32=36条.根据V +F -E =2,可得24+(x +y )-36=2,∴x +y =24. 模型应用设足球表面的正五边形有x 个,正六边形有y 个,总面数F 为x +y 个.因为一条棱连着两个面,所以球表面的棱数E 为12(5x +6y ),又因为一个顶点上有三条棱,一条棱上有两个顶点,所以顶点数V =12(5x +6y )·23=13(5x +6y ).由欧拉公式V +F -E =2得(x +y )+13(5x +6y )-12×(5x +6y )=2,解得x =12.所以正五边形只要12个.又根据每个正五边形周围连着5个正六边形,每个正六边形又连着3个正五边形,所以六边形个数5x3=20,即需20个正六边形. A 级1.6 2.5 3.8 4.4(2n -1) 5.C 6.B 7.C 8.B 9(1)5 22 (2)略 10.(1)(2)11块.B 级1.上空格填12,下空格填2 2.38 3.2π 4.B5.D 提示:设大立方体的棱长为n ,n >3,若n =6,即使6个面都油漆过,未油漆的单位立方体也有43=64个>45,故n =4或5.除掉已漆的单位立方体后,剩下未漆的构成一个长方体,设其长、宽、高分别为a ,b ,c ,abc =45,只能是3×3×5=45,故n =5.6.C 提示:若分割出棱长为3的正方体,则棱长为3的正方体只能有1个,余下的均是棱长为1的正方体,共37个不满足要求.设棱长为2的正方体有x 个,棱长为1的正方体有y 个,则⎩⎨⎧x +y =298x +y =64,得⎩⎨⎧x =5y =24.7.有不同的搬法.为保证“影子不变”,可依如下原则操作:在每一行和每一列中,除保留一摞最高的不动以外,该行(列)的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体.如图所示,20个方格中的数字,表示5行6列共20摞中在搬完以后最终留下的正方体个数.照这样,各行可搬个数累计为27,即最多可搬走27个小正方体.8.要使平面展开图的周长最小,剪开的七条棱长就要尽量小,因此要先剪开四条髙(因为c 最小),再剪开一条长a 厘米的棱(否则,不能展开成平面图),最后再剪开两条宽b 厘米的棱(如图中所表示的①〜⑦这七条棱).由此可得图甲,这时最小周长是c ×8+b ×4+a ×2=2a +4b +8c 厘米.图甲 图乙要使平面展开图的周长最大,剪开的七条棱长就要尽量大,因此要先剪开四条最长的棱(长a ),再剪开两条次长的棱(宽b ),最后剪开一条最短的棱(高c ),即得图乙,这时最大周长是a ×8+b ×4+c ×2=8a +4b +2c 厘米.9.如图,由题意知AB =12,CD =13,AC =12,BD =13,过点D 作DE 垂直于AB 于点E ,则DE =12,于是Rt △BDE 中BE =5.延长AC ,BD 交于F ,则由CD :AB =5:10=1:2知CF =12,AF =24于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差,即22311102451270033V cm p p p =贩-贩= 而大容器内果汁的体积是23512700cm p p 创=所以果汁可以倒满1400070020p p ?杯。
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11.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积是32 dm2,上下 空白各1 dm,两边空白各0.5 dm,被印刷部分从上到下的长是x dm,四周空 白处的面积为S dm2.
(1)求S与x的函数解析式; (2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时,求用来印刷这张广告的纸张的 长和宽各是多少; (3)在(2)的条件下,内外两个矩形是位似图形吗?请说明理由.
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(3)是位似图形.理由如下:印刷部分的宽为3x2=382=4(dm),从而有 150=48,即广告纸与印刷部分的图形的长与宽之比均为 2,故两个矩形相 似,另知四对对应点的连线都过点 O,对应边分别平行,故它们是以点 O 为位似中心的位似图形.
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解:(1)设经过 A,E,D 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c, ∵A1,23,E32,2,D2,32,代入, 解得 a=-2,b=6,c=-52. ∴经过 A,E,D 三点的抛物线的解析式为 y=-2x2+6x-52.
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9.如图,AC∥BD,CE∥DF. (1)△OAE与△OBF是否相似?是否位似?请说明理由; (2)△ACE与△BDF是否位似?请说明理由.
解:(1)△OAE 与△OBF 既相似也位似,理由如下: ∵AC∥BD,CE∥DF,∴OOAB=OODC,OODC=OOEF.∴OOAB=OOEF. ∵∠AOE=∠BOF,∴△OAE∽△OBF. 又∵△OAE 和△OBF 对应点的连线都经过点 O,对应边平行 或在同一条直线上, ∴△OAE 与△OBF 位似.
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10.如图,矩形 ABCD 的长和宽分别为23和 1,且 OB=1,E23,2, 连接 AE,ED.
(1)求经过 A,E,D 三点的抛物线的解析式; (2)若以原点 O 为位似中心,将五边形 AEDCB 放大,使放大后的五边 形的边长是原五边形对应边长的 3 倍,请在如图所示的网格中,画出放大 后的五边形 A′E′D′C′B′; (3)经过 A′,E′,D′三点的抛物线能否由(1)中的抛物线平移得到? 请说明理由.
推荐七年级数学下册培优新帮手专题20情境应用试题新版新人教版
20 情景应用题阅读与思考强调数学应用,突出对应用意识的考查是现今各级考试的显著特点,随着社会不断进步,尤其是改革开放以来我国社会主义市场经济的蓬勃发展,许多应用题也烙上了时代的印迹.这些应用题高度关注社会热点,以丰富的生产、生活实践活动和多彩的市场经济为背景,具有鲜明的时代特点,常见的问题有储蓄利息、商品利润、股票交易、价格控制、经济预算、企业决策、人口环境等.解决这些问题须注意:1.理解相关词语的意义,熟悉基本关系式:①利率=×100%,利息=本金×利率×存期;本息和=本金+利息=本金×(1+利率×存期);;②利润率=×100%,利润=利润率×进货价;售出价=进货价+利润=进货价×(1+利润率);③总成本=固定成本+可变成本.2.在理解题意、理顺数量关系的基础上,用方程(组)、不等式(组)及相关数学知识解决问题.例题与求解【例1】某商店将某种超级DVD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元出租费”的广告,结果每台超级DVD仍获利208元,那么每台超级DVD的进价是元.(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:设未知数,利用售出价、进货价、利润之间的关系建立方程.【例2】某人将甲、乙两种股票卖出,其甲种股票卖价1200元,赢利20%,其乙种股票卖价也是1200元,但亏损20%,该人此次交易的结果是().A.不赔不赚B.赚100元C.赔100元D.赚90元(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:要判断此人交易的结果,关键是计算出该人购买甲、乙两种股票的进价.【例3】商业大厦购进某种商品1000件,销售价定为购进价的125%,现计划节日期间按原定售价让利10%售出至多100件商品,而在销售淡季按原定售价的60%大甩卖,为使全部商品售完后赢利,在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品?(河北省竞赛试题)解题思路:恰当引元,解题的突破口是把“至多”“至少”“赢利”等词语转化为对应的数学关系式.【例4】某大型超市元旦假期举行促销活动,假定一次购物不超过100元的不给优惠,超过100元而不超过300元时,按该次购物金额9折优惠,超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠,小美两次购物分别用了94.5元和282.8元.现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品,那么,小丽应该付款多少元?(海南省中考试题)解题思路:先求出小美第二次购物的原价,再分情况讨论.【例5】某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款:投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁5年,5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购.投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择:方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可获得得租金为商铺标价的10%.方案二:投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款.2年后每年可获得租金为商铺标价的10%.但要缴纳租金的10%作为管理费用.⑴请问:投资者选择哪种购铺方案,5年后所获得的投资收益率更高?为什么?(注:投资收益率=×100%)⑵对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一、乙选择了购铺方案二.那么五年后两人获得的收益将相差5万元.问:甲、乙两人各投资了多少万元?。
七年级数学下册 培优新帮手 专题02 数的整除性试题 (新版)新人教版
02 数的整除性阅读与思考设,是整数,≠0,如果一个整数使得等式=成立,那么称能被整除,或称整除,记作|,又称为的约数,而称为的倍数.解与整数的整除相关问题常用到以下知识:1.数的整除性常见特征:①若整数的个位数是偶数,则2|;②若整数的个位数是0或5,则5|;③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数,则3|(或9|);④若整数的末二位数是4(或25)的倍数,则4|(或25|);⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数,则8|(或125|);⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数,则11|.2.整除的基本性质设,,都是整数,有:①若|,|,则|;②若|,|,则|(±);③若|,|,则[,]|;④若|,|,且与互质,则|;⑤若|,且与互质,则|.特别地,若质数|,则必有|或|.例题与求解【例1】在1,2,3,…,2 000这2 000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不能被5整除.(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想:自然数能同时被2和3整除,则能被6整除,从中剔除能被5整除的数,即为所求.【例2】已知,是正整数(>),对于以下两个结论:①在+,,-这三个数中必有2的倍数;②在+,,-这三个数中必有3的倍数.其中 ( )A.只有①正确B.只有②正确C.①,②都正确D.①,②都不正确(江苏省竞赛试题) 解题思想:举例验证,或按剩余类深入讨论证明.【例3】已知整数能被198整除,求,的值.(江苏省竞赛试题) 解题思想:198=2×9×11,整数能被9,11整除,运用整除的相关特性建立,的等式,求出,的值.【例4】已知,,都是整数,当代数式7+2+3的值能被13整除时,那么代数式5+7-22的值是否一定能被13整除,为什么?(“华罗庚金杯”邀请赛试题) 解题思想:先把5+7-22构造成均能被13整除的两个代数式的和,再进行判断.【例5】如果将正整数M放在正整数左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为的“魔术数”(例如:把86放在415左侧,得到86 415能被7整除,所以称86为415的魔术数),求正整数的最小值,使得存在互不相同的正整数,,…,,满足对任意一个正整数,在,,…,中都至少有一个为的“魔术数”.(xx年全国初中数学竞赛试题) 解题思想:不妨设(=1,2,3,…,;=0,1,2,3,4,5,6)至少有一个为的“魔术数”.根据题中条件,利用(是的位数)被7除所得余数,分析的取值.【例6】一只青蛙,位于数轴上的点,跳动一次后到达,已知,满足|-|=1,我们把青蛙从开始,经-1次跳动的位置依次记作:,,,…,.⑴写出一个,使其,且++++>0;⑵若=13,=2 012,求的值;⑶对于整数(≥2),如果存在一个能同时满足如下两个条件:①=0;②+++…+=0.求整数(≥2)被4除的余数,并说理理由.(xx年“创新杯”邀请赛试题) 解题思想:⑴.即从原点出发,经过4次跳动后回到原点,这就只能两次向右,两次向左.为保证++++>0.只需将“向右”安排在前即可.⑵若=13,=2 012,从经过1 999步到.不妨设向右跳了步,向左跳了步,则,解得可见,它一直向右跳,没有向左跳.⑶设同时满足两个条件:①=0;②+++…+=0.由于=0,故从原点出发,经过(-1)步到达,假定这(-1)步中,向右跳了步,向左跳了步,于是=-,+=-1,则+++…+=0+()+()+…()=2(++…+)-[()+()+…+()]=2(++…+)-.由于+++…+=0,所以(-1)=4(++…+).即4|(-1).能力训练A级1.某班学生不到50人,在一次测验中,有的学生得优,的学生得良,的学生得及格,则有________人不及格.2.从1到10 000这1万个自然数中,有_______个数能被5或能被7整除.(上海市竞赛试题) 3.一个五位数能被11与9整除,这个五位数是________.4.在小于1 997的自然数中,是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )A.532 B.665 C.133 D.7985.能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A.1 B.2 C.3 D.6(江苏省竞赛试题) 6.用数字1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的三位数中,是9的倍数的数有( ) A.12个B.18个 C.20个 D.30个(“希望杯”邀请赛试题) 7.五位数是9的倍数,其中是4的倍数,那么的最小值为多少?(黄冈市竞赛试题)8.1,2,3,4,5,6每个使用一次组成一个六位数字,使得三位数,,,能依次被4,5,3,11整除,求这个六位数.(上海市竞赛试题)9.173□是个四位数字,数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9,11,6整除.”问:数学老师先后填入的这3个数字的和是多少?(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1.若一个正整数被2,3,…,9这八个自然数除,所得的余数都为1,则的最小值为_________,的一般表达式为____________.(“希望杯”邀请赛试题) 2.已知,都是正整数,若1≤≤≤30,且能被21整除,则满足条件的数对(,)共有___________个.(天津市竞赛试题) 3.一个六位数能被33整除,这样的六位数中最大是__________.4.有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个.A.333 B.334 C.335 D.3365.一个六位数能被12整除,这样的六位数共有( )个.A.4 B.6 C.8 D.126.若1 059,1 417,2 312分别被自然数除时,所得的余数都是,则-的值为( ).A.15 B.1 C.164 D.1747.有一种室内游戏,魔术师要求某参赛者相好一个三位数,然后,魔术师再要求他记下五个数:,,,,,并把这五个数加起来求出和N.只要讲出的大小,魔术师就能说出原数是什么.如果N=3 194,请你确定.(美国数学邀请赛试题)8.一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为“拷贝数”,试求所有的三位“拷贝数”.(武汉市竞赛试题)9.一个六位数,如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置,则所得的新六位数恰为原数的6倍,求这个三位数.(“五羊杯”竞赛试题)10.一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和为1 999,求这个四位数,并说明理由. (重庆市竞赛试题)11.从1,2,…,9中任取个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求的最小值.(xx年全国初中数学竞赛试题)专题02 数的整除性例1 267 提示:333-66=267.例2 C 提示:关于②的证明:对于a ,b 若至少有一个是3的倍数,则ab 是3的倍数.若a ,b 都不是3的倍数,则有:(1)当a =3m +1,b =3n +1时,a -b =3(m -n );(2)当a =3m +1,b =3n +2时,a +b =3(m +n +1);(3)当a =3m +2,b =3n +1时,a +b =3(m +n +1);(4)当a =3m +2,b =3n +2时,a -b =3(m -n ).例3 a =8.b =0提示:由9|(19+a +b )得a +b =8或17;由11|(3+a -b )得a -b =8或-3.例4 设x ,y ,z ,t 是整数,并且假设5a +7b -22c =x (7a +2b +3c ) +13(ya +zb +tc ).比较上式a ,b ,c 的系数,应当有,取x =-3,可以得到y =2,z =1,t =-1,则有13 (2a +b -c )-3(7a +2b +3c )=5a +7b -22c .既然3(7a +2b +3c )和13(2a +b -c )都能被13整除,则5a +7b -22c 就能被13整除.例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数,又a 1,a 2,…,a n 互不相等,不妨设a 1 <a 2<…<a n ,余数必为1,2,3,4,5,6,0,设a i =k i +t (i =1,2,3,…,n ;t =0,1,2,3,4,5,6),至少有一个为m 的“魔术数”,因为a i ·10k+m (k 是m 的位数),是7的倍数,当i ≤b 时,而a i ·t 除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当i =7时,而a i ·10k除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当i =7时,依抽屉原理,a i ·10k与m 二者余数的和至少有一个是7,此时a i ·10k+m 被7整除,即n =7.例6 (1)A 5:0,1,2,1,0.(或A 5:0,1,0,1,0) (2)a 1000=13+999=1 012. (3)n 被4除余数为0或1.A 级1.1 2.3 143 3.39 798 4.A 5.C 6.B7.五位数—abcde =10×—abcd +e .又∵——abcd 为4的倍数.故最值为1 000,又因为—abcde 为9的倍数.故1+0+0+0+e 能被9整除,所以e 只能取8.因此—abcde 最小值为 10 008.8.324 561提示:d +f -e 是11的倍数,但6≤d +f ≤5+6=11,1≤e ≤6,故0≤d +f -e ≤10,因此d +f -e =0,即5+f =e ,又e ≤d ,f ≥1,故f =l ,e =6,9.19 提示:1+7+3+□的和能被9整除,故□里只能填7,同理,得到后两个数为8,4.B 级1.2 521 a =2 520n +1(n ∈N +) 2.573.719 895提示:这个数能被33整除,故也能被3整除.于是,各位数字之和(x +1+9+8+9+y )也能被3整除,故x +y 能被3整除.4.B 5.B6.A 提示:两两差能被n 整除,n =179,m =164.7.由题意得—acb +—bac +—bca +—cab +—cba =3 194,两边加上—abc .得222(a +b +c )=3194+—abc ∴222(a +b +c ) =222×14+86+—abc .则—abc +86是222的倍数.且a +b +c >14.设——abc +86=222n 考虑到——abc 是三位数,依次取n =1,2,3,4.分别得出——abc 的可能值为136,358,580,802,又因为a +b +c >14.故——abc =358.8.设N 为所求的三位“拷贝数”,它的各位数字分别为a ,b ,c (a ,b ,c 不全相等).将其数码重新排列后,设其中最大数为——abc ,则最小数为——cba .故N = ——abc -——cba =(100a +10b +c )- (100c +10b +a )=99(a -c ).可知N 为99的倍数.这样的三位数可能是198,297,396,495,594,693,792,891,990.而这9个数中,只有954- 459=495.故495是唯一的三位“拷贝数”.9.设原六位数为———abcdef ,则6×———abcdef =———defabc ,即6×(1000×——abc +——def )=1000×——def +——abc ,所以994×——def -5 999×——abc ,即142×——def =857×——abc , ∵(142,857)=1,∴ 142|—abc ,857|——def ,而——abc ,——def 为三位数,∴—abc =142,——def =857,故———abcdef =142857.10.设这个数为——abcd ,则1 000a +100b +10c +d +a +b +c +d =1 999,即1 001a +101b +11c +2d =1 999,得a =1,进而101b +11c +2d =998,101b ≥998-117-881,有b =9,则11c +2d =89,而0≤2d≤18,71≤11c≤89,推得c=7,d=6,故这个四位数是1 976.11.当n=4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.当n=5时,设a1a2,…,a5是1,2,…,9中的5个不同的数,若其中任意若干个数,它们的和都不能被10整除,则中不可能同时出现1和9,2和8,3和7,4和6,于是中必定有一个为5,若中含1,则不含9,于是,不含,故含6;不含,故含7;不含,故含8;但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若中含9, 则不含1, 于是不含故含4; 不含故含3; 不含故含2; 但是是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n的最小值为5(本资料素材和资料部分来自网络,供参考。
初中数学培优专题学习专题27 以形借数——借助图形思考
专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面:1.从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能.2.有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解.阅读与思考【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同形状的共有____________种。
(“五羊杯”竞赛试题)x y z则解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为........y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究:信息读取(1)甲、乙两地之间的距离为___________km。
(2)请解释图中点B的实际意义。
图像理解(3)求慢车和快车的速度。
(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
问题解决(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。
人教版七年级数学下册培优资料教师版(辅导用)
1第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行。
2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们。
3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图,三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,一共构成哪几对对顶角?一共构成哪几对邻补角? 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角。
⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线。
有6对对顶角. 12对邻补角。
【变式题组】01.如右图所示,直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ,则:⑴∠ARC 的对顶角是 。
邻补角是 。
⑵中有几对对顶角,几对邻补角? 02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角。
问:当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例2】如图所示,点O 是直线AB 上一点,OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC .⑴求∠EOF 的度数;⑵写出∠BOE 的余角及补角。
【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解;【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC =21∠BOC ,∠FOC =21∠AOC ∴∠EOF =∠EOC +∠FOC =21∠BOC +21∠AOC =()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC +∠AOC =180° ∴∠EOF =21×180°=90° ⑵∠BOE 的余角是:∠COF 、∠AOF ;∠BOE 的补角是:∠AOE 。
专题27 以形借数——借助图形思考
七年级数学竞赛专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面:1.从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能.2.有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解.阅读与思考【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同形状的共有____________种。
(“五羊杯”竞赛试题)解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,x y z则9≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即x y z++=。
不妨设x y z可。
【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为........y(km),图中的折线表示y 与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究:信息读取(1)甲、乙两地之间的距离为___________km。
(2)请解释图中点B的实际意义。
图像理解(3)求慢车和快车的速度。
(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
问题解决(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。
【最新人教版初中数学精选】第2套 第二十七章 27.3 位 似课件.ppt
解:由图 D62 知:A(6,0),B(6,4),C(0,4),利用位似图形 对应点的坐标的变化规律,分别取点 A′(3,0) , B′(3,2) , C′(0,2),依次连接点O,A′,B′,C′,则四边形OA′B′C′ 就是所求作的四边形,如图D62.
图 D62
2.位似图形的画法 探究:如图 27-3-1,用位似的方法把四边形 ABCD 放大为 原来的 2 倍(要求:位似中心在四边形内).
图 27-3-1
解:(1)在四边形 ABCD 内取一点 O; (2)以 O 为端点作射线 OA,OB,OC,OD; (3)分别在射线OA,OB,OC,OD 上取点A′,B′,C′, D′,使OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′= ___1_∶__2__; (4)连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,得到四边形 A′B′C′D′,如图27-3-2,则四边形 A′B′) C.(2,-1)
图 27-3-7 B.(8,-4)或(-8,4) D.(8,-4)
4.如图 27-3-8,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点上,边 OA 在 x 轴上,OC 在 y 轴上,请在图中作出 与矩形 OABC 关于点 O 位似,且相似比为12的矩形 OA′B′C′.
图 27-3-2
归纳:(1)画位似图形的一般步骤: ①确定__位__似__中__心__; ②分别连接位似中心和能代表原图的关键点并将其延长; ③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点; ④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形. (2)位似中心可取在图形的__外__部、__内__部、边或顶点上. (3)位似图形由__位__似__中__心__、__相__似__比__两个要素决定.
七年级数学下册培优新帮手10多变的行程问题试题
10 多变的行程问题阅读与思考行程问题的三要素是:距离(s )、速度(v )、时间(t ),基本关系是:s vt =,s v t =,s t v=. 行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题;按运动路线可分为直线形问题、环形问题等.其中相遇问题、追及问题是最基本的类型,它们的特点与常用的等量关系如下:1.相遇问题其特点是:两人(或物)从两地沿同一路线相向而行,而最终相遇,一般地,甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离.2.追及问题其特点是:两人(或物)沿同一路线、同一方向运动,由于位置或者出发时间不同,造成一前一后,又因为速度的差异使得后者最终能追及前者.一般地,快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离.例题与求解【例1】 在公路上,汽车A 、B 、C 分别以80千米/时,70千米/时,50千米/时的速度匀速行驶,A 从甲站开往乙站,同时,B 、C 从乙站开往甲站.A 在与B 相遇后两小时又与C 相遇,则甲、乙两站相距__________千米.(“希望杯”竞赛试题)解题思路:本例为直线上的相遇问题,可依据时间关系列方程.【例2】 如图,某人沿着边长为90来的正方形,按A →B →C →D →A …方向,甲从A 以65米/分的速度,乙从B 以72米/分的速度行走,当乙第一次追上甲时在正方形的( ).A .AB 边上 B .DA 边上C .BC 边上D .CD 边上乙甲BCAD(安徽省竞赛试题)解题思路:本例是一个特殊的环形追及问题,注意甲实际在乙的前面390270⨯=(米)处.【例3】 亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行.比赛程序是:运动员先同时下水游泳1。
5千米到第一换项点,在第一换项点整理服装后,接着骑自行车40千米到第二换项点,再跑步10千米到终点.下表是亚洲铁人三项赛女子组(19岁以下)三名运动员在比赛中的成绩(游泳成绩即游泳所用时间,其他类推,表内时间单位为秒).用时间用时间191 1 99775 4 92740 3 220194 1 503110 5 68657 3 652195 1 35474 5 35144 3 195(1)填空(精确到0.01):第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒;第194号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒;第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒;(2)如果运动员骑自行车都是匀速的,那么在骑自行车的途中,191号运动员会追上195号或194号吗?如果会,那么追上时离第一换项点有多少米(精确到0。
2020-2021学年人教版初三数学下册27.2.3 相似三角形应用举例课件
P
60m Q 45m R
b
S 90m T a
例3 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选 定一个目标作为点 A,再在河的这一边选点 B 和 C, 使 AB⊥BC,然后,再选点 E,使 EC ⊥ BC ,用视线 确定 BC 和 AE 的交点 D.
此时如果测得 BD=120米,DC=60米,EC=50米, 求两岸间的大致距离 AB. A
A
D E
B
C
亲爱的读者: 春去春又回,新桃换旧符。在那桃花盛开的地方,在这 醉人芬芳的季节,愿你生活像春天一样阳光,心情像桃花 一样美丽,感谢你的阅读。
例1 如图,木杆 EF 长 2 m,它的影长 FD 为3m,测 得 OA 为 201 m,求金字塔的高度 BO.
解:太阳光是平行的光线,因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠怎AO样B测=∠出DFE = 90°,∴△ABO ∽△DEF.
∴ BOOA的O长A?, EF FD
∴ BO OA EF 201 2
练一练
1. 如图,要测量旗杆 AB 的高度,
可在地面上竖一根竹竿 DE,
测量出 DE 的长以及 DE 和 AB
在同一时刻下地面上的影长即
可,则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A.AB EF DE BC
C.AB BC DE EF
B.AB DE EF BC
D.AB AC DE DF
2. 如图,九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度,当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时,他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合,同一时刻,其他成员测得 AC = 2 米,AB = 10 米,则旗杆的高度是___8___米.
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27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面:1.从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能.2.有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解.阅读与思考【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同形状的共有____________种。
(“五羊杯”竞赛试题)x y z则解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为........y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究:信息读取(1)甲、乙两地之间的距离为___________km。
(2)请解释图中点B的实际意义。
图像理解(3)求慢车和快车的速度。
(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
问题解决(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。
求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时?(江苏省南京市中考试题)解题思路:函数图像包含了两种不同层次的信息:有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息,也有在0~4小时之间以及稍后的一段时间内,快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
A B C三个特色栏目的收视情况,向28位观众进行调查,调查后得【例3】某电视台为了解,,知:每位观众至少收看了其中的一个栏目;没有收看栏目A的观众中,收看栏目B人数为收看栏目C的两倍;在收看栏目A的观众中,只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的人数多1;只收看一个栏目的观众中,有一半没有收看B或栏目C,求栏目A的收视率。
(“《数学周报》”杯全国数学竞赛试题)解题思路:设未知数,借助于图表表示题中各数量之间的关系。
【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加推铅球比赛,通知抽签决定出赛顺序,在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测。
甲猜:乙第三,丙第五;乙猜:戌第四,丁第五;丙猜:甲第一,戌第四;丁猜:丙第一,乙第二;戌猜:甲第三,丁第四。
老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中,问:出赛顺序中,第一、第三、第五分别是哪位同学?(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:文字罗列出来的条件,其相互关系错综复杂,不便分析和推断,不妨借助于图表直观地表示研究对象及其关系。
【例5】某班有50名同学,期末考试优秀的学生人数及科目如表:数这里,一科优秀者包括两、三科优秀者,两科优秀者包括三科优秀者,试说明上述统计表有错误。
(“创新杯”竞赛试题)解题思路:借助于图形直观地表示出数学、外语、语文优秀学生的集合,有利于分析与推断。
能力训练1.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘,到现在为止,甲已经赛了4盘,乙赛了3盘,丙赛了2盘,丁赛了1盘。
则小强已经赛了________盘。
(“华罗庚金杯”竞赛试题)2.某市储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4小时,调进物资2小时后开始调出物资(调s吨与时间(t小时)之间的函数关系如图,进物资与调出物资的速度保持不变)。
储运部库存物资()这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是___________________。
(山东省济南市中考试题)3.甲、乙两人同时从A地出发,以各自的速度匀速汽车到B地后原地休息,甲、乙两人的距离x时之间的函数关系的图像如图,则,A B两地的距离为(y千米)与乙骑车的时间()______________________千米。
4.一台计算机的硬盘分为3个区,每个区的使用情况如图所示,则这个硬盘的使用率为______________________。
(“希望杯”邀请赛试题)A B C三支足球队举行单循环比赛(每支队与另一支队只比赛一场,共三场),下表给出的5.,,是比赛的部分结果:请根据上表,填上A队与C队比赛时的比分为_______________。
(重庆市竞赛试题)6.如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),则下列结论中错误的是()A.该班总人数为50人 B.骑车人数占总人数的20%C.步行人数30人 D.乘车人数是骑车人数的2.5倍),7.某人骑车沿直线旅行,先前进了a千米,休息了一段时间,又原路返回b千米(b a再前进c千米,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图为()。
A. B. C. D.、、、四个区域栽种观赏植物,要在同一区域种同一种植物,8.一圆形地块,打算分A B C D相邻(有公共边)的两块里中不同的植物。
现有4种不同的植物可供选择,那么所有的栽种方案的Array个数为 ( )。
A.66 B.68C.60 D.84(重庆市竞赛试题)9.某校参加数学竞赛有120名男生,80名女生;参加英语竞赛有120名女生,80名男生。
已知该校总共有260名学生参加了竞赛,其中有75名男生两科竞赛都参加了,问参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数有多少人?(“祖冲之杯”邀赛试题)10.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:h )如图所示。
若汽车行驶的平均速度为80km/h 。
而汽车每行驶1 km 需要的平均费用为1.2元。
试指出此人从A 城出发到B 城的最短线路,并求出所需费用最少多少元?(全国初中数学竞赛试题)11.刚回到营地的两个抢险队又接到救灾命令:一分队立即出发赶往30千米外的A 镇;二分队因疲劳可在营地休息a 03a (≤≤)小时再赶往A 镇参加救灾。
一分队出发后得知,唯一通往A 镇的道路在里营地10千米处发生塌方,塌方处地形复杂,必须有一分队用1小时打通.已知一分队的行进速度为5千米/时,二分队的行进速度是4a +()千米/时. (1)若二分队在营地不休息,问二分队几个小时能赶到A 镇?(2)若需要二分队和一分队同时赶到A 镇,二分队应在营地休息几个小时?(3)下列图中,①②分别描述一分队和二分队离A 镇的距离y (千米)和时间x (小时)的函数关系,请写出你认为所有可能合理图像的代号,并说明它们的实际意义.A B C D(安徽省中考题)12.已知函数|1|2|1||2|y x x x =+--++错误!未找到引用源。
.(1)在直角坐标系中作出函数图象.(2)已知关于x 的方程3|1|2|1||2|0kx x x x k +=+--++≠()错误!未找到引用源。
有三解.求k 的取值范围.(“创新杯”竞赛试题)27 以形助数 ——借助图形思考例1 7 提示:设圆周长为9,套成的三角形三边所对的弧长分别为x ,y ,z ,则x+y+z=9,不妨设z y x ≤≤,则(x ,y ,z )只有(1,1,7),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(2,2,5),(2,3,4)和(3,3,3)这7种情形.例2(1)900 (2)图中点B 的实际意义是:当慢车行驶4h 时,慢车和快车相遇.(3)由图像可知,慢车12h 行驶的路程为900km ,所以慢车的速度为12900=75km/h ;当慢车行驶4h 时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为900km ,所以慢车和快车行驶的速度之和为4900=225km/h,所以快车的速度为150km/h.(4)根据题意快车行驶900km 到达乙地,所以快车行驶150900=6h 到达乙地,此时两车之间的距离为6×75=450km ,所以点C 的坐标为(6,450).设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ,把(4,0),(6,450)带入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 645040,解得⎩⎨⎧-==900225b k所以,线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x . (5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车的行驶时间是4.5h ,把x=4.5代入y =225x-900,得y=112.5,此时,慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ,所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ,即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ,y ,z ,没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ,如图所示.()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=-=+=+,28,,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y. 由y-2z=m ≥0得9y-58≥0,∴958≥y由29-4y=z ≥0得y ≤429,∵y 为整数,∴y=7从而z=1,x=8,n=7,m=5. 故栏目A 的收视率为28n x +×100﹪=2825×100﹪≈53.6﹪ 例4 第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁.例5如图,A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合,而a ,b ,c ,…,f ,g 则分别表示各类优秀学生的人数,如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数.则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得:a=9,b=6,c=5,d=7,e=6,f=8,g=10. 故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人,而全班仅有50人,故统计错误. 【能力训练】1.2 提示:如图,用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人,如果两个人已经赛过一盘,就在相应的两个点之间连一条线段.2.4.4小时3.244.32﹪ 提示:依照图中数据计算:00000001002.108.155.12442.10298.15265.12⨯++⨯+⨯+⨯=32﹪5.5:16.C 提示:由直方图可知,乘车人数为25人,由扇形图可知,乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15(人).骑车人数为50-25-15=10(人).7.C8.D 提示:若A,C种同一种植物,则A,C有4×1种栽种法,B,D都有3种栽种法,共有4×3×3=36种栽种方案;若A,C种不同的植物,则有4×3种载法,B,D都有2种,共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.9.15人提示:如图,用A,B两个圆分别表示参加数学竞赛的男、女生人数,用C,D两个圆分别表示参加英语竞赛的男、女生人数,只参加数学竞赛的男生人数是120-75=45人,只参加英语竞赛的男生人数是80-75=5人,设两科都参加的女生人数为x人,则只参加数学竞赛的女生数为(80-x)人,只参加英语竞赛的女生人数为(120-x)人,由题意得120-x+80-x+x+45+75+5=260,解得x=65,故答案为80-x=15人.10.从A城出发到B城的路线分成如下两类:(1)从A城出发到达B城,经过O城。