高考高三5月内部特供卷 理科数学(一)教师版

********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********2019届高三5月份内部特供卷理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()(){}15,A x y x x x ==--∈Z ，则集合A 中元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意得，即，解得，又x ∈Z ，所以满足条件的x 为1，2，3，4，5，共5个，故选C ．2．若()()1i i 1i a b +=++（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则复数i a b -在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题意得()21i i i i 11i a b b b b +=+++=-++，所以，所以，所以复数32i -在复平面内对应的点为()3,2-在第四象限．3．袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次 抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231130133231031320122103233由此可以估计事件发生的概率为（ ）A ．19B ．29C ．518D ．718【答案】C【解析】事件A 包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0，1的组有021，001，130，031，103，共5组，故所求概率为518P =，故选C ． 4．设函数()()()54,02,0xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若角的终边经过()4,3P -，则()sin f f α⎡⎤⎣⎦的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】因为角的终边经过()4,3P -，所以3sin 5y r α-==，所以()33sin 54155f f α⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()1sin 122f f f α===⎡⎤⎣⎦，故选C ．5．已知实数，满足不等式组21035328x y x y x y -≤+≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若的最小值为9，则实数的值等于（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．9【答案】B【解析】如图，画出不等式组21035328x y x y x y -≤+≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩代表的可行域如图中阴影部分，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********因为，可画出目标函数所代表直线如图中虚线所示，且过点A处目标函数最小，由35328x yx y+=+=⎧⎨⎩，解得，代入目标函数，得，故选B．6．若直线（，）过点，当21a b+取最小值时直线的斜率为（）A．2 B．12C．D．【答案】A【解析】因为直线过点，所以，即21 2a b+=，所以2121214144424222a b b a b aa b a b a b a b⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+=+⋅=++≥+⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即时取等号，所以斜率2ab=，故选A．7．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．13-B．34C．43D．4【答案】B【解析】开始4a=，1i=，执行第一次循环，13a=-，2i=，执行第二次循环，34a=，3i=，执行第三次循环，4a=，4i=，，故a的取值周期为3，由于20196733=⨯，所以当2019i=时，退出循环，此时输出a的值为34，故选B．8．已知正四面体的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由内切球的表面积2S4π36πR==表，得内切球半径，如图，过点A作AH⊥平面BCD，则点H为等边BCD△的中心，连接BH并延长交CD于点E，且点为中点，连接，记内切球球心为，过作，设正四面体边长为，则32BE AE a==，2333BH BE a==，36HE a=，63AH a=，又因为，所以633AO a=-，由~AOF AEH△△，得AO OFAE HE=，即63333326aa a-=，解得，因为ABE△过棱和球心，所以ABE△即为所求截面，且21136254222234ABES BE AH a a a=⋅⋅=⨯⨯==△，故选C．9．已知同时满足下列三个条件：①时，的最小值为π2；②3πy f x⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数；③()06πf f⎛⎫> ⎪⎝⎭，若在有最小值，则实数的取值范围可以是（）A．0,π6⎛⎤⎥⎝⎦B．0,π3⎛⎤⎥⎝⎦C．π,6π3⎛⎤⎥⎝⎦D．π,3π2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为函数最大值为2，最小值为2-，由①知，相邻最高最低点即π22T=，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********所以，，又因为ππ2π2sin 22sin 2333y f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数， 所以ππ32π2k ϕ+=+，即ππ6k k ϕ=-+∈Z ，， 又因为()02sin s π2n 3πi 6f f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π2π6k k ϕ=+∈Z ，，所以()5π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当时，5π5π5π2,2666x t ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 此时函数有最小值，所以5π3π262t +>，即π3t >， 只有选项D 满足，故选D ．10．已知点在双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>上，，分别为双曲线的左右焦点，若12PF F △外接圆面积与其内切圆面积之比为25:4．则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．或D ．2或3【答案】D【解析】由于12PF F △为直角三角形，故外心在斜边中线上． 由于22b PF a =，所以212b PF a a=+，故外接圆半径为21122b PF a a =+．设内切圆半径为，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭， 解得2b r a c=+，由题意两圆半径比为5:2，故225:22b b a a ac +=+，化简得2e 5e 60-+=，解得或，故选D ．11．定义在R 上的函数满足，对任意，都有，非零实数，满足，则下列关系式中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】记，则，因为当时，，，所以在上单调递减，又因为，所以为偶函数，因为，所以，即，故选D ． 12．已知，为坐标原点，为的一条切线，点为上一点且满足OP OT OC λμ=+（其中33λ≥，μ∈R ），若关于的方程OP CT t =⋅存在两组不同的解，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，得半径为，22OC =，因为为的一条切线，所以2CT =，6OT =，0OT CT =⋅，26OC OT OT ⋅==，22OC CT CT =-=⋅-，因为()1CP OP OC OT OC λμ=-=+-，所以()()()2222221211CP OT OC OT OT OC OC λμλλμμ⎡⎤=+-=+-+-⋅⎣⎦， 即，化简得，在3λ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭上有两解， 所以()()()()()2222614341106136333614110Δμμμμμ⎡⎤=--⨯-->⎡⎤⎣⎦⎣⎦-->+-⎧⎪⎪⎪⎪⎨--≥⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩，解得301μ<≤，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********又因为()2OP CT OT OC CT OT CT OC CT t λμλμμ=+⋅=+=-=⋅⋅⋅， 所以，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_____．【答案】32- 【解析】因为()4442421053C 81C n n nn T x xx --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且第5项为常数项， 所以，即，令，得所有项系数和为，故答案为32-．14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为，()1m m =+-c a b ，0⋅=b c ，则______． 【答案】【解析】()()()()2211cos301m m m m m m =⋅+-=⋅+-︒+-⎡⎤⎣⋅=⎦b a b a a b b b c b b 3102m m =+-=，所以，故答案为．15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金 分割值约为0.618，这一数值也可以表示为．若，则sin63m n+=︒_________．【答案】【解析】因为，，所以，所以()22sin 18452sin182cos1822sin63sin63sin63m n ︒+︒+︒+︒===︒︒︒，故答案为．16．函数()()()323e 21x f x x a x a =-+⋅-的图像经过四个象限，则实数的取值范围是_________． 【答案】【解析】当时，e 10x ->；当时，e 10x -<；且，记，则， ①当时，恒成立，且只有，所以在R 上单调递增， 又，所以当时，，；当时，，，所以图像经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当时，令，得，当和时，，单调递增；当时，，单调递减，因为函数()()()e 1xf xg x =⋅-的图像经过四个象限， 所以，解得；③当时，令，得，当和时，，单调递增； 当时，，单调递减，因为函数()()()e 1xf xg x =⋅-的图像经过四个象限，所以，解得，综上所述：或，故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知首项为1的等差数列的前项和为，已知为与的等差中项．数列满足22n s nnn b +=． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和为．【答案】（1），；（2）()147214n n T n +=-⋅+． 【解析】（1）设等差数列的公差为，因为为与的等差中项，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********所以，即，解得， ，()21122n n n S na d n n -∴=+=-，222n S n n nn b +∴==．（2），，，下式减上式，即：()()12343242222n n n T n +=-⋅-+++-()()114214324221n n n -+-=-⋅-⋅--()147214n n +=-⋅+．18．（12分）如图，在四棱锥中，112PA CD AD AB ====，，AB CD ∥，平面平面，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）277-． 【解析】（1），，．，根据勾股定理可知．又平面面，且平面平面， 平面．又，平面．（2）以为坐标原点，分别以所在的直线为、轴，在底面内点过点作垂线为轴建立空间直角坐标系．则，，33,,022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33,,122PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1PB =-，13,,122PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面法向量为()1111,,x y z =n ，则11111113302220PC x y z PB x z ⎧⋅⎪⎨⎪=+-=⋅=-=⎩n n ， 取，，，平面一个法向量为()13,1,23=n ，设平面法向量为()2222,,x y z =n ，则222222221302233022PD x y z PC x y z =+-==+⎧⋅⎪⎪⎨⎪⋅⎪-=⎩n n ，取，，，平面一个法向量为()20,2,3=n ，12121227cos ,7⋅∴==n n n n n n ， 由图易知平面与平面夹角为钝角，所以平面平面成夹角的余弦值为27-． 19．（12分）如图甲是某商店2018年（按360天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图．（1）请计算出该商店2018年日盈利额的平均值（精确到0.1，单位：万元）；********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********（2）为了刺激消费者，该商店于2019年1月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的商品后均可参加抽奖．随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前5天抽奖活动的人数进行统计如下表：（表示第天参加抽奖活动的人数）1234550607080100经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．①根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程：②该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙），其中转盘是个八等分的圆．每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会．抽到一等奖的奖品价值128元，抽到二等奖的奖品价值32元．若该商店此次抽奖活动持续7天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到0.1，单位：万元）？（3）用（1）中的2018年日盈利额的平均值去估计当月（共31天）每天的日盈利额．若商店每天的固定支出约为1000元，促销活动日的日盈利额比平常增加20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到0.1，纯利润=盈利额-固定支出-抽奖总奖金数）参考公式及数据：1221ˆni i i ni i x y nx ybx nx==-⋅=-∑∑，，511200i i i x y ==∑，52155i i x ==∑．【答案】（1）1.3（万元）；（2）①，②2．3万元；（3）36．7万元．【解析】（1）由题意可知：，解得．所以日盈利额的平均值为0.7200.950 1.160 1.3100 1.570 1.750 1.910581.336045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（万元）． （2）①1234535x ++++==，50607080100725y ++++==，1222112005372125553ˆni i i nii x ynx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，，所以．②由转盘分布可知，顾客每次抽到一等奖的概率为18，抽到二等奖的概率为28，无奖的概率为58，设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值元，则的分布列为：()1511312888864P X ==+⨯=，()151133248432P X ==+⨯=，()552508864P X ==⨯=，128321364 1332 2564故()131312832396432E X =⨯+⨯=（元）， 由于关于的线性回归方程为，得时，；时，则此次活动参加抽奖的总人数约为，该商店在此次抽奖活动结束时共送出的奖品总价值为5883922932 2.3⨯=≈万元．（3）当月的纯利润约为（万元），故该商店当月的纯利润约为36．7万元． 20．（12分）已知，是离心率为2的椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>两焦点，若存在直线，使得，关于的对称点的连线恰好是圆的一条直径．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当时，直线是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********【解析】（1）将圆的方程配方得， 所以其圆心为，半径为1．由题意知，椭圆焦距为等于圆直径，所以，又22c e a ==，所以，，椭圆的方程为2212x y +=．（2）因为，所以直线斜率存在，，设直线，，22220y kx mx y ⎧=++-=⎪⎨⎪⎩，消理得，122421kmx x k +=-+，()212222*21m x x k -=+，又121212112y y k k x x --=⋅=-，整理得，即，所以，()*代入得()()()()22222222141102121k m k m m m k k +---+-=++，整理得，得35m =-，所以直线定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．21．（12分）函数()()2e 2x f x a x a b x =⋅--+． （1）若，在R 上递增，求的最大值； （2）若，存在，使得对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）2-；（2）．【解析】（1）当时，()()22e 4xf x x b x =--+，因为在R 上递增，所以()()2e 240x f x x b =-'-+≥任意x ∈R 恒成立，因为()2e 2x f x ''=-，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，最小，所以，即，所以最大值为2-． （2）当时，依题意()()2e 22ln2x f x a x a x =⋅---在有最大值点，因为()()e 222ln2x f x a x a --'=⋅-，且，，①当，()()e 222ln2x f x a x a --'=⋅-在R 递减，所以在，，上递增，不合题意；②当，()e 2x f x a ⋅'=-'在上递增，且，所以在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，（i ）当，2lnln2a ≥，即在上递减， 所以，即在上递增，不合题意；（ⅱ）当，在20,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，2ln ,ln2a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，且，，所以存在20,ln t a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得，且在上，，递增；在上，递减；符合题意，所求；（ⅲ）当时，在20,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，2ln ,ln2a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，且，，所以在上，递减，不合题意；（ⅳ）当时，2ln0a≤，所以在上递减， 又因为，所以在上，递减，不合题意，综上所述，当且仅当时，存在满足题意的．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，曲线是以坐标原点为顶点，直线为准线的抛物线．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）分别求出直线与曲线的极坐标方程；（2）点是曲线上位于第一象限内的一个动点，点是直线上位于第二象限内的一个动点，且π4AOB ∠=，请求出OA OB 的最大值．【答案】（1），；（2）22． 【解析】（1）因为，所以直线的极坐标系方程为， 又因为直线为抛物线的准线，所以抛物线开口朝右，且12p=，即，所以曲线的平面直角坐标系方程为，因为，，所以极坐标系方程为．（2）设，则24π,B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．()()2212222π4cos 4cos cos 22cos sin cos 22tan 14sin 1sin sin tan cos π4OA OB θθθθθθθρθρθθθθ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭∴===-==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 记tan 1t θ-=，则tan 1t θ=+，()0,t ∈+∞，则()22222112OA tOB t t t==+++， 因为12t t+≥，当且仅当时取等号，所以22OA OB≤， 所以OA OB取最大值为22． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数． （1）解关于的不等式；（2）设函数的最大值为，若22214924m a b c ++=-，求111a b c ++的最大值．【答案】（1）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）76．【解析】（1）若时，不等式即，解得52x ≤-，此时无解，若312x -≤≤时，不等式即，解得34x ≤-，此时3324x -≤≤-，若32x <-，不等式即，解得x ∈R ，此时32x <-，综上所述，3,4x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦．（2）()()33351231102222f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=--+-+≤--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中等号当且仅当32x =-时取到，故52m =．2221491a b c ∴++=． 由柯西不等式，得：222222221112311213111112323a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++≥⋅+⋅+⋅=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故21114936a b c ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，11176a b c ∴++≤，即111a b c ++的最大值为76．等号当且仅当149a b c ==，即76a =，143b =，212c =时取到．【江西省景德镇市2019届高三二模数学考试（理）试题用稿】。