天津市五校(宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中)高二数学上学期期末考试试题理
2017-2018学年天津市五校期末数学试卷(理科)(含答案)
2016-2017学年天津市五校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中）高三（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A. {1，4}B. {0，1，4}C. {0，2}D. {0，1，2，4}2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x-2y的最小值为（）A. B. -3 C. 0 D. 13.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.已知ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则AB=.A. B. C. D. 35.设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为单调递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP．设=x+y（x，y∈R），则x，y的值分别为（）A. B. C. D.8.已知f（x）=（x2-3）e x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）-t1][f（x）-t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A. （-2e，0）B. （-2e，0]C. [-2e，6e-3]D. （-2e，6e-3）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1-2i）（2+ai）=b-2i，则a+b的值为______ ．10.在的展开式中，x-3的系数为______ ．（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为______ ．13.在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为______．14.已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（Ⅱ）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A-PC-D的余弦值．18.已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．20.已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x0））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解析】解：∵集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选D．2.【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x-2y得：y=x-z，平移直线y=x，结合图象直线过A（，）时，z最小，z的最小值是：-，故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=-1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=-1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环次数不多或由规律时，常采用模拟运行程序的方法来解决，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则×sin C=，解得sin C=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos C=1+4-2×1×=3，AB=，则A是最大角，cos A=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos C=1+4+2×1×=7，则AB=，故选：B．根据题意和三角形的面积公式求出sin C的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列-1，-2，-4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立，若a n=-1（）n-1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.6.【答案】A【解析】解：双曲线的焦点的渐近线的距离为2，可得b=2；双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，可得，解得a=4．所求双曲线方程为：．故选：A．利用焦点的渐近线的距离为2，双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，求出a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】【分析】由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ+（1-λ），以及E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，根据平面向量基本定理即可得，解得λ或μ，再根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．本题考查共线向量基本定理，以及向量的减法，以及平面向量基本定理，属于中档题【解答】解：由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ=λ（-），∴-==λ（-），∴=λ+（1-λ），∵AD：DB=1：2，∵=，∴=λ+（1-λ），由E为AC中点，由E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，∴，解得∴=+，∵=x+y（x，y∈R），∴x=，y=，故选：C.8.【答案】D【解析】解：f（x）=（x2-3）e x的导数为f′（x）=（x2+2x-3）e x=（x-1）（x+3）e x，当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1或x＜-3时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）的极小值为f（1）=-2e，极大值为f（-3）=6e-3，作出y=f（x）的图象，如图：当t1＞0时，关于x的方程[f（x）-t1][f（x）-t2]=0恰好有5个实数根，即为f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5个实数根，若t1＞6e-3，f（x）=t1只有一个实根，不合题意；若0＜t1＜6e-3，f（x）=t1有三个实根，只要-2e＜t2≤0，满足题意；若t1=6e-3，f（x）=t1有两个实根，只要0＜t2＜6e-3，满足题意；综上可得，t2的范围是（-2e，6e-3）．故选：D．求出f（x）的导数，单调区间和极值，画出f（x）的大致图象，讨论t1的范围，确定t2的范围，通过图象即可得到所求范围．本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合思想方法运用，以及导数的运用：求单调区间和极值，属于中档题．9.【答案】8【解析】解：∵（1-2i）（2+ai）=（2+2a）+（a-4）i=b-2i，∴，解得．则a+b的值为：8．故答案为：8．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题．10.【答案】-24【解析】解：的展开式的通项公式为T r+1=•（4x2）6-r•（-）r=（-1）r•46-r••x12-3r，令12-3r=-3，解得r=5，∴展开式中x-3的系数为-24．故答案为-24．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-3，求出r的值，即可求得x-3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.【答案】【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×4=4，底面周长为：2+4+=6+2，故棱柱的表面积S=2×4+4×（6+2）=，故答案为：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．12.【答案】4-ln3【解析】【分析】本题考查封闭图形的面积的计算，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+，即可得出结论．【解答】解：由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+=（3x-ln x）+2=4-ln3．故答案为4-ln3．13.【答案】【解析】解：∵曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），∴曲线C1的普通方程为x2-y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a＞1，∵C1恰好经过C2的焦点（，0），∴a2-1=4，解得a=．故答案为：．求出曲线C1的普通方程为x2-y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a＞1，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程的互化及椭圆、双曲线性质的合理运用．14.【答案】（-∞，e）【解析】解：，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，就是分段函数的图象与y=kx的图象只有一个交点，如图：显然k小于直线OA的斜率时满足题意，y=e x，x≥1，导函数为y′=e x，是增函数，当x=1时，函数取得最小值，此时OA的斜率最小，为e，可得k＜e．故答案为（-∞，e）．画出分段函数与y=kx的图象，利用方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，判断k的范围即可．本题考查函数的零点的求法，导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查学生的计算能力．15.【答案】解：（1）函数=，…（4分）∴f（x）的最小正周期为π；（2）当时，2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为-1+a+1=2，∴a=2．【解析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+∈[，]，利用f（x）的最小值为2，求a的值．本题考查二倍角、辅助角公式，化简函数，考查函数的性质，属于中档题．16.【答案】解：（I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A=“恰有1位女棋手”，则，…（4分）所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为．…（5分）（II）随机变量X的所有可能取值为0，2，4．其中，，．…（9分）所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望．…（13分）【解析】（Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）∴=（2，4，0），=（0，0，λ），=（2，-1，0），∴=4-4+0=0，．∴DE⊥AC，DE⊥AP，且PA∩AC=A，∴ED⊥平面PAC，∵ED⊂平面PDE，平面PDE⊥平面PAC．解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一个法向量是=（2，-1，0），∵△PAB为等腰直角三角形，故PA=2，．设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则===，∴直线PE与平面PAC所成角的正弦值为．（ii）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），=（2，2，0），=（0，-2，2），则，令x=1，则=（1，-1，-1），∴cos＜＞==．∵二面角A-PC-D的平面角是锐角，∴二面角A-PC-D的余弦值为．【解析】（1）由AB⊥PA，AB⊥AD，建立建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PDE⊥平面PAC．（2）（i）求出平面PAC的一个法向量和，利用向量法能求出直线PE与平面PAC所成角的正弦值．（ii）求出平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：（1）当n≥2时，，，两式相减：a n=A n-A n-1=2n-1；当n=1时，a1=A1=1，也适合a n=2n-1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n-1；（2）由题意知：，C n=c1+c2+…+c n，，，两式相减可得：，即，，.（3），显然，即b n＞2，B n=b1+b2+…+b n＞2n；另一方面，，即，，…，，，即：2n＜B n＜2n+2.【解析】本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题．（1）当n≥2时，利用a n=A n-A n-1可得a n=2n-1，再验证n=1的情况，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意知：，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和C n；（3）利用基本不等式可得＞，可得B n=b1+b2+…+b n ＞2n；再由b n=，累加可，于是可证明：．19.【答案】解：（1）由已知得，解得．所以椭圆C的方程为．（2）由题意知A1（-2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），则，得．且由点P在椭圆上，得．若以MP为直径的圆过点A2，则，所以，因为点P是椭圆C上不同于A1，A2的点，所以x0≠±2．所以上式可化为，解得m=14．【解析】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．（1）由已知列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．（2）由题意知A1（-2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），求出M坐标，由点P在椭圆上，以MP为直径的圆过点A2，则，求出x0≠±2．然后求解m即可．20.【答案】解法一：（1）f'（x）=x2-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2-2x+c≥0所以（x2-2x+c）min≥0，而x2-2x+c在x=1处取得最小值，所以1-2+c≥0，c≥1；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，所以，所以c=-α2+2α，又因为y=f（x）-m有不同的零点α，β，所以f（α）=f（β），即，整理得：，所以2α+β=3．…（9分）（3）满足条件的实数c存在，由f'（x）=x2-2x+c，知过A（x0，f（x0））点与曲线相切的直线l1为：y=f'（x0）（x-x0）+f（x0），且k1=-2x0+c，将y=f'（x0）（x-x0）+f（x0）与y=f（x）联立即得B点得横坐标，所以f'（x0）（x-x0）+f（x0）=f（x）即：整理得：由已知x≠x0，所以x+2x0-3=0所以x=3-2x0，即B点的横坐标为3-2x0所以过点B的曲线的切线斜率为：===4k1+3-3c因此当且仅当 3-3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1即存在实数c=1，使为定值．…（14分）解法二：（1）f'（x）=x2-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2-2x+c≥0，所以c≥-（x2-2x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[-（x2-2x）]max，即[-（x2-2x）]max=1，故c的取值范围是[1，+∞）；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，且y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），所以f（x）-m=0的三个实数根分别为α，α，β，由根与系数的关系得；…（9分）（3）满足条件的实数c存在，因为f'（x）=x2-2x+c，所以过A（x0，f（x0））点且与曲线C相切的直线l1为：y=f'（x0）（x-x0）+f（x0），其中．设l1与C交于另一点B（x1，y1），则x0，x0，x1必为方程f（x）=f′（x0）（x-x0）+f （x0）的三个实数根，由f（x）=f′（x0）（x-x0）+f（x0）得，因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以，所以x1=3-2x0，所以===4k1+3-3c．因此当且仅当 3-3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1，即存在实数c=1，使为定值．…（14分）【解析】（1）求出函数的导数，根据x=1是函数的最小值点，得到关于c的不等式，解出即可；（2）求出c=-α2+2α，根据f（α）=f（β）得：，从而求出α和β的关系；（3）求出函数f（x）的导数，得到x+2x0-3=0，即B点的横坐标为3-2x0所以过点B的曲线的切线斜率，根据k1，k2的值，作商即可．（1）求出函数的导数，分离参数c，根据函数的单调性求出c的范围即可；（2）根据根与关系判断即可；（3）分别求出k1，k2的值，作商即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及直线的斜率问题，考查转化思想，是一道综合题．。
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等七校联考高二上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线l：mx﹣y+1﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定2．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π3．（5分）已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为（）①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则l∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知点（4a，2b）（a＞0，b＞0）在圆C：x2+y2=4和圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的公共弦上，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）设点P是函数的图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最大值为（）A．+2 B．+2 C．D．8．（5分）已知圆x2+y2+x﹣6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx﹣y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）A．y=﹣x+B．y=﹣x+或y=﹣x+C．y=﹣x+D．y=﹣x+或y=﹣x+二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点B1的坐标是．10．（5分）经过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为．11．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积是．12．（5分）一只虫子从点（0，0）出发，先爬行到直线l：x﹣y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A （1，1），则虫子爬行的最短路程是．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．14．（5分）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2=0（b ∈R）恰有三条公切线，则a+b的最大值为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0和直线l：3x+4y+14=0．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l距离的最大值．16．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥平面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：BF∥平面PDE．17．（13分）已知点P（2，﹣1），求：（Ⅰ）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（Ⅱ）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？18．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF=2，AB=1，AD=（Ⅰ）求证：BC⊥AF（Ⅱ）求证：AF∥平面DCE（Ⅲ）若二面角E﹣BC﹣A的大小为120°，求直线DF与平面ABCD所成的角．19．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．20．（14分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（Ⅰ）当Q的坐标为（1，0）时，求切线QA，QB的方程；（Ⅱ）求四边形QAMB面积的最小值；（Ⅲ）若|AB|=，求直线MQ的方程．2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线l：mx﹣y+1﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：直线l：mx﹣y+1﹣m=0，即y﹣1=m（x﹣1）即直线过（1，1）点，∵把（1，1）点代入圆的方程有1+0，∴点（1，1）在圆的内部，∴过（1，1）点的直线一定和圆相交，故选：A．2．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．3．（5分）已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为（）①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则l∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若α∥β，则l⊥β，又由m⊂β，故l⊥m，故①正确；若l∥m，m⊂β，则l∥β或l⊂β，故②错误；若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故③错误；若l⊥m，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．故四个命题中正确的命题有1个，故选：A．4．（5分）已知点（4a，2b）（a＞0，b＞0）在圆C：x2+y2=4和圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的公共弦上，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：根据题意，圆C的方程为x2+y2=4，圆M的方程为（x﹣2）2+（y ﹣2）2=4，则其公共弦的方程为x+y=2，又由点（4a，2b）在两圆的公共弦上，则有4a+2b=2，即2a+b=1，=（）（2a+b）=4++≥4+2=8，即的最小值为8；5．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．6．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取CB=1，则CA=CC1=2CB=2．∴A（2，0，0），B（0，0，1），C1（0，2，0），B1（0，2，1）．∴=（﹣2，2，1），=（0，2，﹣1）．∴===．7．（5分）设点P是函数的图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最大值为（）A．+2 B．+2 C．D．【解答】解：由函数，得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|max=|CA|+2=+2=+2．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2+x﹣6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx﹣y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）A．y=﹣x+B．y=﹣x+或y=﹣x+C．y=﹣x+D．y=﹣x+或y=﹣x+【解答】解：曲线x2+y2+x﹣6y+3=0可变为：（x+）2+（y﹣3）2=（）2得到圆心（﹣，3），半径为．因为圆上有两点P、Q关于直线kx﹣y+4=0对称，得到圆心在直线kx﹣y+4=0上，把（﹣，3）代入到kx﹣y+4=0中求出k=2，且PQ与直线垂直，所以直线PQ的斜率==﹣，设PQ方程为y=﹣x+b，联立得，代入整理得x2+（4﹣b）x+b2﹣6b+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵OP⊥OQ．∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2﹣（x1+x2）+b2=0，∴b2﹣6b+3﹣（b2﹣4b）+b2=0，∴b=或b=，所以直线PQ的方程为：y=﹣x+或y=﹣x+，经验证符合题意．故选：D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点B1的坐标是（，1，2）．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，∴B（，1，0），∴顶点B1的坐标是（，1，2）．故答案为：（，1，2）．10．（5分）经过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为1．【解答】解：经过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线斜率为1∴=1解得：m=1故答案为：111．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积是．【解答】解：如图，由题意知DE=BE=a，BD=a由勾股定理可证得∠BED=90°故三角形BDE面积是a2又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC与DE，BE仍然垂直，故AE，CE分别是以面BDE为底的两个三角形的高故三棱锥D﹣ABC的体积为×a×a2=故答案为：．12．（5分）一只虫子从点（0，0）出发，先爬行到直线l：x﹣y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A （1，1），则虫子爬行的最短路程是2．【解答】解：如图所示：设A（1，1）关于直线y=x+1的对称点是B（a，b），连接OB，和直线y=x+1交于C点，则OC+CA最短，由，解得B（0，2），故直线OB和y=x+1的交点是（0，1），故OC+CA=1+1=2，故答案为：2．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为6+πm3．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1=•π•3=π则V圆锥V长方体=1×2×3=6则V=6+π故答案为：6+π14．（5分）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2=0（b ∈R）恰有三条公切线，则a+b的最大值为6．【解答】解：∵圆C 1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2=0（b∈R）恰有三条公切线，∴由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣b）2=1，圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1，故=3，∴a2+b2=9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．令a+b=t，利用线性规划求出t的最大值．如图：可行域为圆a2+b2=9，t=a+b为目标函数，点A（﹣3，﹣3）和点B（3，3）为最优解，故B（3，3）使a+b=t 取得最大值为6，故答案为：6．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0和直线l：3x+4y+14=0．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，转化为：（x+1）2+（y﹣1）2=4，则：圆心坐标为（﹣1，1），半径r=2．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，圆心（﹣1，1）到直线3x+4y+14=0的距离d=．最大距离为：d+r=3+2=5．16．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥平面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：BF∥平面PDE．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，∴△ABD为正三角形E是AB的中点，DE⊥AB，PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴DE⊥AP，∵AP∩AB=A，∴DE⊥平面PAB，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAB；（Ⅱ）取PD的中点G，连结FG，GE，∵F，G是中点，∴FG∥CD且FG=CD，∴FG与BE平行且相等，∴BF∥GE，∵GE⊂平面PDE，BF⊄平面PDE，∴BF∥平面PDE．17．（13分）已知点P（2，﹣1），求：（Ⅰ）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（Ⅱ）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【解答】解：（Ⅰ）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x=2．若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0．由已知，得，解之得．此时l的方程为3x﹣4y﹣10=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．（Ⅱ）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k l•k OP=﹣1，所以．由直线方程的点斜式得y+1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣5=0，即直线2x﹣y﹣5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为．18．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF=2，AB=1，AD=（Ⅰ）求证：BC⊥AF（Ⅱ）求证：AF∥平面DCE（Ⅲ）若二面角E﹣BC﹣A的大小为120°，求直线DF与平面ABCD所成的角．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又∵BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴BC⊥平面ABF．∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF．（2）∵BF∥CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，∴BF∥平面CDE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴平面ABF∥平面CDE，∵AF⊂平面ABF，∴AF∥平面DCE．（3）过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN．∵BC⊥AB，BC⊥BF，∴∠ABF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，∴∠ABF=120°，∠FBN=60°．∴BN=BF=1，FN=，∵AB=1，AD=，∠BAD=90°，∴DN==3．∵BC⊥平面ABF，BC⊂平面ABCD，∴平面ABF⊥平面ABCD，又平面ABF∩平面ABCD=AB，FN⊥AB，∴FN⊥平面ABCD，∴∠FDN是直线DF与平面ABCD所成的角，∴tan∠FDN==，∴∠FDN=30°．∴直线DF与平面ABCD所成的角为30°．19．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．【解答】（I）证明：∵AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD，∵△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：则A（1，0，0），E（﹣1，1，0），A1（1，2，0），D（0，0，0），B（0，0，），∴=（﹣2，1，0），=（1，2，0），=（0，0，），∴=0，=0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．（II）=（0，2，0），=（﹣1，0，），设平面AA1B的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（，0，1），又为平面A1BD的法向量，∴二面角D﹣BA 1﹣A的余弦值为|cos＜＞|=||==．（III）==（﹣1，0，），cos＜，＞===，∴直线A1B1与平面A1BD所成角的正弦值为，∴点B1到平面A1BD的距离为A1B1×=．20．（14分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（Ⅰ）当Q的坐标为（1，0）时，求切线QA，QB的方程；（Ⅱ）求四边形QAMB面积的最小值；（Ⅲ）若|AB|=，求直线MQ的方程．【解答】解：（I）当过Q的直线无斜率时，直线方程为x=1，显然与圆相切，符合题意；当过Q的直线有斜率时，设切线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∴圆心（0，2）到切线的距离d==1，解得k=﹣．综上，切线QA，QB的方程分别为x=1，3x+4y﹣3=0．=2S△MAQ=2×=．（II）S四边形QAMB∴当MQ⊥x轴时，MQ取得最小值2，∴四边形QAMB面积的最小值为．（III）圆心M到弦AB的距离为=，设MQ=x，则QA2=x2﹣1，又AB⊥MQ，∴（x﹣）2+（）2=x2﹣1，解得x=3．∴Q（，0）或Q（﹣，0）．∴直线MQ的方程为y=﹣x+2或y=+2．。
天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校2017-2018学年高二上学期期中联考数学试题 含答案 精品
2017～2018学年度第一学期期中联考高二数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上。
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是（ ）.（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定（2）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）. （A ）23π错误！未找到引用源。
（B ）43π错误！未找到引用源。
（C ）53π （D ）2π（3）已知平面α，β，直线l ，m ，且有l ⊥α，mβ，则下列四个命题正确的个数为（ ）．①若α∥β，则l ⊥m ； ②若l ∥m ，则l ∥β；③若α⊥β，则l ∥m ； ④若l ⊥m ，则l ⊥β； （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4（4）已知点(4a ，2b )(a >0，b >0)在圆C ：x 2＋y 2＝4和圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的公共弦上，则12+a b 的最小值为（ ）. （A ）1 （B ）2（C ）4（D ）8（A）（B）（C）（D）C11（5）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．（6）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，⊥AC BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）．（A（B（C（D）35（7）设点P是函数y=，则|PQ|的最大值为（）.（A＋2（B＋2 （C（D（8）已知圆x2+y2+x–6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx–y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）．（A）y= –21错误！未找到引用源。
2021-2021学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高二(上)期末数学试卷
天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分)1．（5分）复数，则|z|＝（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S10＝100，则a8的值为（）A．16B．15C．14D．133．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”D．{a n}是等比数列，则0＜q＜1是{a n}为单调递减数列的充分条件4．（5分）已知直线2x﹣y+4＝0经过椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，且与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F2是椭圆的右焦点，且|MN|＝|MF2|，则椭圆的方程为（）A．＝1B．＝1C．+y2＝1D．＝15．（5分）如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．1B．C．D．6．（5分）已知a，b∈R，则a＞|b|是a|a|＞b|b|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf′（x）＞f（x），若f（2）＝0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞2}D．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}8．（5分）过双曲线＝1的左焦点F1（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2＝4cx于点P，若＝，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分)9．（5分）已知方程＝1表示椭圆，则k的取值范围为．10．（5分）设公比q为的正项等比数列{a n}的前n项和S n，且a n+1＞a n，若S3＝2a2+2，S4＝3a3+2，则q＝．11．（5分）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则•的值为．12．（5分）已知a＞0，b＞0，且＝1，则4a+2b+的最小值等于．13．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|＝3|BF|，且三角形CDF 的面积为，则p的值为．14．（5分）已知函数f（x）＝+3klnx+k（1﹣x），若x＝3是函数f（x）唯一的极值点，则实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，（2n﹣1）a n+1＝（2n+3）S n（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）证明：数列{}是等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．16．（13分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．17．（13分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设b n＝，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设∁n＝，数列{∁n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．O点为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（Ⅲ）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝lnx+2x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+（a﹣4）x，试讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）当a＝﹣2时，若存在正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+3x1x2＝x1+x2，求证：x1+x2．2018-2019学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分)1．（5分）复数，则|z|＝（）A．0B．C．1D．【解答】解：∵，∴．故选：D．2．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S10＝100，则a8的值为（）A．16B．15C．14D．13【解答】解：∵S10＝100＝10a1+×2，∴a1＝1，∴a8＝a1+7d＝1+7×2＝15，故选：B．3．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”D．{a n}是等比数列，则0＜q＜1是{a n}为单调递减数列的充分条件【解答】解：对于A，a＜0时，“b2﹣4ac≤0”不是“∀x∈R，ax2+bx+c≥0”的充分条件，A错误；对于B，b＝0时，由a＞c不能得出ab2＞cb2，充要条件不成立，B错误；对于C，命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”，C正确；对于D，{a n}是等比数列，0＜q＜1时，若a1＜0，则{a n}为单调递增数列，充分性不成立，D错误．故选：C．4．（5分）已知直线2x﹣y+4＝0经过椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，且与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F2是椭圆的右焦点，且|MN|＝|MF2|，则椭圆的方程为（）A．＝1B．＝1C．+y2＝1D．＝1【解答】解：∵直线2x﹣y+4＝0与x轴、y轴的交点分别为（﹣2，0）、（0，4），可得椭圆E的左焦点F1（﹣2，0），∴c＝2，∵直线与椭圆E在第二象限的交点为M，与y轴交于点N，|MN|＝|MF1|，∴|MF2|+|MF1|＝|F1N|＝2a，|F1N|＝，∴a＝3，则椭圆的方程为．故选：D．5．（5分）如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．1B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E（2，2，0），A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），＝（0，2，0），＝（﹣2，4，0），＝（﹣2，0，2），设平面ACD1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，2），∴点E到平面ACD1的距离为d＝＝＝．故选：B．6．（5分）已知a，b∈R，则a＞|b|是a|a|＞b|b|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞|b|，则a＞|b|≥0，a＞b则a|a|＝a2，则a|a|＞b|b|成立，当a＝1，b＝﹣2时，满足a|a|＞b|b|，但a＞|b|不成立，即a＞|b|是a|a|＞b|b|的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf′（x）＞f（x），若f（2）＝0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞2}D．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}【解答】解：由题意，令g（x）＝，∵x＞0时，g′（x）＝＞0．∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）＝f（x），∴g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）是奇函数，且g（x）在（﹣∞，0）递增，又g（2）＝，∴当0＜x＜2时，g（x）＜0，当x＞2时，g（x）＞0；根据函数的奇偶性，可得当﹣2＜x＜0时，g（x）＞0，当x＜﹣2时，g（x）＜0．∴不等式x•f（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜0或x＞2}．故选：C．8．（5分）过双曲线＝1的左焦点F1（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2＝4cx于点P，若＝，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0），因为抛物线为y2＝4cx，所以F2为抛物线的焦点，因为O为F1F2的中点，E为F1P的中点，所以OE为△PF1F2的中位线，所以OE∥PF2，因为|OE|＝a，所以|PF2|＝2a又PF2⊥PF，|F1F2|＝2c所以|PF1|＝2b设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c＝2a，所以x＝2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2＝4b2，即4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1＝0，∴e＝．故选：A．二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分)9．（5分）已知方程＝1表示椭圆，则k的取值范围为﹣5＜k＜2且k≠﹣．【解答】解：由题意得：解得﹣5＜k＜2且k≠﹣．故答案为：﹣5＜k＜2且k≠﹣．10．（5分）设公比q为的正项等比数列{a n}的前n项和S n，且a n+1＞a n，若S3＝2a2+2，S4＝3a3+2，则q＝2．【解答】解：S3＝2a2+2，S4＝3a3+2，可得a4＝S4﹣S3＝3a3﹣2a2，即有a1q3＝3a1q2﹣2a1q，由q＞0，且a n+1＞a n，可得q＞1，则q2﹣3q+2＝0，解得q＝2（1舍去），故答案为：2．11．（5分）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则•的值为﹣1．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：P A⊥BC，可得：•＝0．∵E是棱AB中点，∴＝（+），∴•＝（+）•＝+＝×2×2×cos120°＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（5分）已知a＞0，b＞0，且＝1，则4a+2b+的最小值等于6+4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且＝1，则4a+2b+＝（4a+2b）（）+＝6++＝＝6+4，当且仅当且＝1即b＝1+且a＝1+时取最小值6+4故答案为：6+413．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|＝3|BF|，且三角形CDF 的面积为，则p的值为1．【解答】解：过点B作BM∥l，交直线AC于点M，交x轴于点N，如图所示；设点A（x1，y1），B（x2，y2），由|AF|＝3|BF|，得x1+＝3（x2+），即x1﹣3x2＝p，…①又|QF|＝|QN|+|NF|＝|BD|+|AM|＝x2+（x1﹣x2）＝p，∴x1+3x2＝4p，…②由①②解得x1＝p，x2＝p；在Rt△ABM中，|AB|＝x1+x2+p＝p+p+p＝4p，|AM|＝x1﹣x2＝p﹣p＝2p，∴|BM|＝＝2p，∴△CDF的面积为•2p•p＝，解得p＝1．故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）＝+3klnx+k（1﹣x），若x＝3是函数f（x）唯一的极值点，则实数k的取值范围为．【解答】解：由函数的解析式可得：，由题意可知x＝3是f'（x）＝0的实数根，故e x﹣kx3≥0 恒成立，即恒成立，令，则，当x∈（0，3）时，g’（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（3，+∞）时，g’（x）＞0，g（x）单调递增，据此可知g（x）的最小值为，结合恒成立的结论可知实数k的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，（2n﹣1）a n+1＝（2n+3）S n（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）证明：数列{}是等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）证明：a1＝1，（2n﹣1）a n+1＝（2n+3）S n（n＝1，2，3，…），可得（2n﹣1）（S n+1﹣S n）＝（2n+3）S n，可得S n+1＝S n，可得＝2•，则数列{}是首项为1，公比为2的等比数列；（Ⅱ）＝1•2n﹣1，即S n＝（2n﹣1）•2n﹣1，可得前n项和T n＝1•20+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，相减可得﹣T n＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n，＝1+2•﹣（2n﹣1）•2n，化简可得T n＝3+（2n﹣3）•2n．16．（13分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x的导数为f′（x）＝﹣2x﹣1，由f（x）在x＝0处取得极值，可得f′（0）＝﹣1＝0，解得a＝1，即f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x，可得f′（x）＝﹣2x﹣1，即有f（x）在x＝1处的切线斜率为﹣，切点为（1，ln2﹣2），可得切线方程为y﹣ln2+2＝﹣（x﹣1），化为5x+2y﹣2ln2﹣1＝0；（Ⅱ）f（x）＝﹣x+b即ln（x+1）﹣x2+x﹣b＝0，令g（x）＝ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（﹣1，+∞）．关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根⇔g（x）＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．g′（x）＝﹣2x+＝，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上单调递增．当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减．∴，∴ln3﹣1≤b＜ln2+．17．（13分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵AC＝BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∵EM⊂平面AEM，∴CM⊥EM．解：（Ⅱ）如图，以M为原点，MB，MC为x，y轴，建立如图所示的坐标系M﹣xyz，∴M（0，0，0），C（0，，0），E（﹣，0，1），B（，0，0），D（，0，2），＝（﹣，0，1），＝（0，，0），＝（﹣，，0），＝（0，0，2），设平面EMC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，），设平面BCD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设平面EMC与平面BCD所成的二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝．∴平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为．（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，设N（x，y，z），且＝（0≤λ≤1），∴（x﹣，y，z﹣2）＝λ（﹣），解得x＝，∴＝（，，2﹣2λ），y＝，z＝2﹣2λ，∵直线MN与平面EMC所成角为60°，∴cos＜＞＝＝sin60°＝，解得，∴存在点N符合条件，且N是棱DC的中点．18．（13分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设b n＝，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设∁n＝，数列{∁n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵b n+1﹣b n＝＝＝＝2，∴数列{b n}是公差为2的等差数列，又＝2，∴b n＝2+（n﹣1）×2＝2n．∴2n＝，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴c n c n+2＝＝，∴数列{∁n C n+2}的前n项和为Tn＝…+＝2＜3．要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值为3．19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．O点为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（Ⅲ）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为左顶点为A（﹣4，0），所以a＝4，又e＝，所以c＝2．又∵b2＝a2﹣c2＝12，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x+4），化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]＝0，∴x A＝﹣4，，y D＝k（x D+4）＝，∵点P为AD的中点，∴P的坐标为（，）．则k OP＝﹣，直线l的方程为y＝k（x+4），令x＝0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ＝﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n＝0恒成立，∴m＝﹣3，n＝0．∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．（Ⅲ）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y＝kx，联立得M点的横坐标为x＝±，∴＝＝＝＝，当且仅当，即k＝±时取等号．∴k＝±时．取得最大值，最大值为．20．（14分）已知函数f（x）＝lnx+2x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+（a﹣4）x，试讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）当a＝﹣2时，若存在正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+3x1x2＝x1+x2，求证：x1+x2．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝lnx+2x﹣ax2，所以f′（x）＝+2﹣2ax，因为f（x）在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝1+2﹣2a＝0，解得：a＝．验证：当a＝时，f′（x）＝+2﹣3x＝﹣（x＞0），易得f（x）在x＝1处取得极大值．（Ⅱ）因为g（x）＝f（x）+（a﹣4）x＝lnx﹣ax2+（a﹣2）x，所以g′（x）＝﹣（x＞0），①若a≥0，则当x∈（0，）时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，）上单调递增；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（，+∞）上单调递减．②若a＜0，g′（x）＝﹣（x＞0），当a＜﹣2时，易得函数g（x）在（0，﹣）和（，+∞）上单调递增，在（﹣，）上单调递减；当a＝﹣2时，g′（x）≥0恒成立，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣2＜a＜0时，易得函数g（x）在（0，）和（﹣，+∞）上单调递增，在（，﹣）上单调递减．（Ⅲ）证明：当a＝﹣2时，f（x）＝lnx+2x+2x2，因为f（x1）+f（x2）+3x1x2＝x1+x2，所以lnx1+2x1+2x12+lnx2+2x2+2x22+3x1x2＝x1+x2，即lnx1x2+2（x12+x22）+（x1+x2）+3x1x2＝0，所以2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣lnx1x2，令t＝x1x2，φ（t）＝t﹣lnt（t＞0），则φ′（t）＝（t＞0），当t∈（0，1）时，φ′（t）＜0，所以函数φ（t）＝t﹣lnt（t＞0）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＞0，所以函数φ（t）＝t﹣lnt（t＞0）在（1，+∞）上单调递增．所以函数φ（t）在t＝1时，取得最小值，最小值为1．所以2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，即2（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，所以x1+x2≥或x1+x2≤﹣1，因为x1，x2为正实数，所以当x1+x2＝时，x1x2＝1，此时不存在x1，x2满足条件，所以x1+x2＞．。
天津市五校(宝坻一中静海一中杨村一中芦台一中蓟县一中)高二数学上学期期末考试试题理
2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷第I 卷(选择题 共40分)一、选择题:每小题5分,共40分,把答案涂在答题卡上． 1．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=- 2．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB =u u u ra ，1AA u u u r=c ，BC =u u u r b ，则BM u u u u r 可表示为A ．1122-++a b c B ．1122++a b c C ．1122--+a b cD ．1122-+a b c 4．直线()1(1)y k x k -=-∈R 与2220x y y +-=的位置关系A ．相离或相切B ．相切C ．相交D ．相切或相交5．方程22(2)30x y x +--=表示的曲线是A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线6．设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥． （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥． （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β．11MA B C CBAFE D D AB B 111正(主)视图11俯视图侧(左)视图21其中正确命题的个数A ．0B ．1C ．2D ．3 7．条件:3p k =；条件:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p ¬是q ¬的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线21:8C y x =的焦点F 到双曲线()22222:1,0,0y x C a b a b-=>>的渐近线的距离为455，P 是抛物线1C 的一动点，P 到双曲线2C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线20x +=的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为A ．22123y x -=B ．2214x y -=C ． 2214y x -= D ． 22132y x -= 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线2228x y -=的实半轴长与虚轴长之比为 ▲ ． 10．由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ▲ ． 12．如图，椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为43的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 ▲ ． 13．若关于x 的方程243x x b x --=+只有一个解， 则实数b 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l ax by c ++=被圆2216x y +=截得的弦的中点为M ，且满足20a b c +-=，当||OM 取得最大值时，直线l 的方程是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分13分)已知圆锥曲线22:12x y E k+=．命题p ：方程E 表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：圆锥曲线E 的离心率()2,3e ∈，若命题p q ⌝∧为真命题，求实数k 的取值范围．16．(本小题满分13分)如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点，2PA AB ==．（Ⅰ）求证//EF 平面PCD ；（Ⅱ）求直线EF 与平面PAB 所成的角； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的外接球的体积．17．(本小题满分13分)已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程． 18． (本小题满分13分)已知曲线C 在x 的上方，且曲线C 上的任意一点到点()0,1F 的距离比到直线2y =-的距离都小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设0m >，过点()0,M m 的直线与曲线C 相交于,A B 两点．①若△AFB 是等边三角形，求实数m 的值；②若0FA FB ⋅<u u u r u u u r，求实数m 的取值范围．AECDFBACFDEPOyxMAB19．(本小题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3BAD ∠=，2AD =，3DE =．（Ⅰ）异面直线AE 与DC 所成的角余弦值； （Ⅱ）求证平面AEF ⊥平面CEF ；（Ⅲ）在线段AB 取一点N ，当二面角N EF C --的大小为60︒时，求||AN ．20．(本小题满分14分)已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A ，B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）答题纸二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 10． 11． 12． 13． 14． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15． (本小题满分13分)MP O F 2D xy ACB F 116．(本小题满分13分)17．(本小题满分13分)18． (本小题满分13分)2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷一、选择题 (每小题5分,共40分．把答案涂在答题卡上．) 1．A 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．24; 10．7; 11．225+; 12．57; 13．13b -<≤或122b =-; 14．250x y ++=三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：因为22:12x y E k+=表示曲线，所以0k ≠．命题p 是真命题，则02k <<；……………………………………2分 命题q 是真命题时，因为()2,3e ∈，所以()()222232k-<<，解得42k -<<-．…………………………………………5分因为命题p q ⌝∧为真命题，所以p ⌝，q 均为真命题，……………………7分 当p ⌝为真命题时，0k <或2k ≥．…………………………………………10分 于是命题p q ⌝∧为真命题时，满足0,2,42k k k <≥⎧⎨-<<-⎩或解得42k -<<-．……………13分16.（Ⅰ）如图,连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴PD EF //．又 ∵⊄EF 平面PCD ，⊂PD 面PCD ∴//EF 平面PCD ．……4分（Ⅱ）取AB 的中点H ，连接EH ，HF ．在正方形ABCD 中，E 是BD 的中点，有HE AB ⊥．∵ PA ⊥平面ABCD ，HE ⊂平面ABCD ，∴ PA HE ⊥，∵PA AB A =I ，∴HE ⊥平面PAB ， ∴HF 是直线EF 在平面PAB 的射影，∴EFH ∠是直线EF 与平面PAB 所成的角．在直角三角形FEH 中，1HE HF ==，所以tan EFH ∠=1． ∴直线EF 与平面PAB 所成的角为45︒．…………………………9分（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，2PA AB AD ===，则222244423R AB AD AP =++=++=，即3R =．所以外接球的体积为()3344ππ343π33V R ===．…………13分17．（Ⅰ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离22bcd ab c ==+，由12d c =，得2222a b a c ==-，解得离心率32c e a ==．………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=． (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且||10AB =． 易知，AB 不与x 轴垂直．设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=．…………………………7分 设1122(,),(,),A x y B x y 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++……8分 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =． 从而21282x x b =-．于是()22212121215||1||410(2)22AB x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭．……10分由||10AB =，得210(2)10b -=，解得23b =．故椭圆E 的方程为221123x y +=．……………………………………………13分18． （Ⅰ）设点(),P x y 曲线C 上的任意一点，由题设有()||12PF y +=--，于是()()22211x y y +-=+，整理得24x y =．…………………………………2分 由于曲线C 在x 的上方，所以0y >．所以曲线C 的方程24x y =()0y >．………………………………………3分（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ．①由题意||||AF BF =，即()()2222112211x y x y +-=+-， 于是()()22221212110x x y y -+---=，将2112224,4x y x y ⎧=⎨=⎩代入，得()()121220y y y y -++=，由120,0y y >>，得12y y =． 从而12x x =-，所以122||||2||AB x x x =-=．因为△AFB 是等边三角形，所以()222222||1x x y =+-．将2224x y =代入，2221410y y -+=,解得2743y =±．此时743m =±．…8分 （此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分） ②设直线:AB y kx m =+，联立24,x y y kx m⎧=⎨=+⎩得2440x kx m --=，()2160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-．()12122y y k x x m +=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++于是()()()()11221212,1,111FA FB x y x y x x y y ⋅=--=+--u u u r u u u r()1212121x x y y y y =+-++22614m m k =-+-．因为0FA FB ⋅<u u u r u u u r，即22614m m k -+<．因k ∈R ，从而2610m m -+<．解得322322m -<<+．………………………………………………13分 19．（Ⅰ）因为//AB DC ，所以BAE ∠就是异面直线AE 与DC 所成的角，连接BE ，在ABE ∆中，2,7AB AE BE ===，于是7477cos 7227BAE +-∠==⨯⨯，所以异面直线AE 与DC 所成的角余弦值为77．……………4分 （Ⅱ）取EF 的中点M ．由于ED ⊥面ABCD ,ED ∥FB ,∴,,,ED AD ED DC FB BC FB AB ⊥⊥⊥⊥，又ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，所以，,,,ADE EDC ABF BCF ∆∆∆∆是全等三角形，,,CF CE AF AE ==所以EF CM EF AM ⊥⊥,，AMC ∠就是二面角C EF A --的平面角 …6分经计算6AM CM ==，23AC =，所以222AM CM AC +=，即AM MC ⊥．所以平面AEF ⊥平面CEF ．…………………8分（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由.2=AD 则)3,21,23(M ，)0,2,0(C ，3,1,3A ，(0,03E ，(3,1,3F．平面CEF 的法向量13332n AM ⎛== ⎝u r u u u u r ．10分设)3,,0N λ，则(3,,3EN λ=-u u u r ，)3,1,0EF =u u u r设平面NEF 的法向量()2,,n x y z =u u r ，则220EF n EN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r u u r得30330x y x my z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z λ==-，得()21,3,1n λ=--u u r ．11分 因为二面角N EF C --的大小为60︒，所以)()222333|31|22cos 60||||39313144n AN n AN λλ+-⋅︒==⋅++++-u u r u u u r u u u r u u u r ，……………………12分 整理得2630λλ+-=，解得33λ=，……………………………13分所以||232AN =……………………………………………………14分 20．解：（Ⅰ）如图，由题意得，2222b c ==．∴2b c ==2a =．∴ 所求的椭圆方程为22142x y +=． …………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）． ……………………4分由题意可设CM ：(2)y k x =+，P （1x ，1y ）．Q MD CD ⊥，∴M （2，4k ）………………………………………5分Mz y x由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得2222(12)8840k x k x k +++-=． Q 21284212k x k --=+，得2122412k x k-=+．……7分 ∴1124(2)12ky k x k=+=+， 222244(,)1212k k P k k-++．………………8分 ∴222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k -+⋅=⋅+⋅==+++u u u u r u u u r ． …………………9分（Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥， 即0MQ DP ⋅=u u u u r u u u r……10分由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =-u u u u r ，22284(,)1212k kDP k k-=++u u u r ． …………12分 ∴202284(2)401212k k QM DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++u u u u r u u u r ．即2028012k x k =+恒成立． ∴00x =．∴存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．…14分19．(本小题满分14分)ABEDFMPOF 2D xy ACB F 120．(本小题满分14分)。
天津市静海一中、芦台一中等六校2015-2016学年高二数学上学期期末联考试题 文
2015—2016学年度第一学期期末六校联考高二数学（文）试卷一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知直线02=++y ax 的倾斜角为π43，则该直线的纵截距等于（ ） A ． 1 B ．﹣1C ．2D ．﹣22. 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A.2- B.0 C.2 D.43．下列命题错误的是（ ）A ．“若x a ≠且x b ≠,则2()0x a b x ab -++≠”的否命题是“若x a =或x b =, 则2()0x a b x ab -++=”B ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题C ．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“ (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- ”D ．“2>x ”是“211<x ”的充分不必要条件 4.已知函数()f x y x'=的图像如图所示（其中()f x '是定义域为R 函数()f x 的导函数）,则以下说法错误的是（ ）A ．(1)(1)0f f ''=-=B ．当1x =-时, 函数()f x 取得极大值C ．方程'()0xf x =与()0f x =均有三个实数根D ．当1x =时,函数()f x 取得极小值5．设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（ ）． A ．αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥ B ．m αγ= ，αγ⊥，βγ⊥ C ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥ D ．n α⊥，n β⊥，m α⊥6. 已知圆022222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦长为4，则实数 a 的值是（ )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－47.设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A ．．23 C D ．138.抛物线22y px =与直线20x y a ++=交于,A B 两点，其中(1,2)A ，设抛物线焦点为F ，则||||FA FB +的值为（ ）A.二、填空题（每小题5分，共30分，将答案写在答题纸上．．．．．．．．．）9.已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m = ． 10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．11．图中的三个直角三角形是一个体积 为20cm 的几何体的三视图，该几何体 的外接球表面积为 2cm ．12.已知函数)()(3R x bx x x f ∈+=在[]1,1-上是减函数，则b 的取值范围是13.已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆225)3(22=+-y x 相切，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=,它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长 ．14.给出下列命题：①函数a ax ax x x f -++=23)(既有极大值又有极小值，则30><a a 或；②若xe x xf )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-；③过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取 值范围为13>-<a a 或;④双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的离心率为1e ，双曲线12222=-a y b x 的离心率为2e ，则21e e +的最小值为22.其中为真命题的序号是 .三、解答题(共80分) 15．（本小题满分13分）命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于B A ,两点；命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，若q p ∧为真命题，求实数k 的取值范围．16.（本小题满分13分）已知圆N 经过点(3,1)A ，(1,3)B -,且它的圆心在直线320x y --=上. （Ⅰ）求圆N 的方程;（Ⅱ）求圆N 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程。
天津市六校(宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中
天津市六校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中、四十七中）2017届高三数学上学期期中联考试题 文一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.复数31i z i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为( ) A ．1- B ．i - C ．2i D ．2 2.设变量,x y 满足条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数3z x y =+的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A．． C． D．4.如图，空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ===，，，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =( )A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 5.设,n n S T 分别是等差数列{},{}n n a b 的前n 项和，若*()21n n S n n N T n =∈+，则66a b =( ) A ．513 B ．919 C ．1123 D ．9236.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，12()l o g f x x =.设6()5a f =，3()2b f =，5()2c f =， 则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c << C. c b a << D ．c a b <<7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()s i n f x x x =-，若不等式2(4)(2)f t f m t m ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A．(,-∞ B．()C ．(),0(2,)-∞+∞D ．(,(2,)-∞+∞8.设*N ω∈且15ω≤，则使函数sin y x ω=在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调的ω的个数是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.函数()x f x x e =⋅在极值点处的切线方程为___________.10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51020a a +=，则2010S S 的值为 . 11.在ABC △中，120BAC ∠=，4AB AC ==，D 为BC 边上的点，且0AD BC ⋅=，若3CE EB =，则()AB AC AE +⋅= . 12.设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为 . 13.在正三棱柱111ABC A B C-中，1AB ==1AB 与1C B 所成角的大小为________．14．设01a <≤，函数()1,()2ln a f x x g x x x x=+-=-，若对任意的[]11,x e ∈，存在[]21,x e ∈都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是________．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本题13分）已知函数()()21cos cos 0,R 2f x x x x x ωωωω=-->∈的图像上相邻两个最高点的距离为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若ABC ∆三个内角A B C ，，的对边分别为a bc ，，，且c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a b ，的值. 16.（本题13分）某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：百元）问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？17.（本题13分）如图，四棱锥P A B C-中，PA ⊥平面,//,3,A B C D A D B C A B A D A C P A B C M =====为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．（1）证明：MN//PAB 平面；（2）求四面体N BCM -的体积．18.（本题13分）单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2l o g n n n b a a =⋅，其前n 项和为n S ，若2(1)(1)n n mS n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m的取值范围．19.（本题14分）已知函数)(1ln )(R a x x a x f ∈+-=.（1）求)(x f 的单调区间；（2）若0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立，求所有实数a 的值；（3）证明：ln 2ln3ln 4ln (1)(,1)34514n n n n N n n -+++⋅⋅⋅+<∈>+.20.（本题14分） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24840a S ==，． 数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，N n *∈．（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数， 求{}n c 的前n 项和n P ．2016-2017学年度第一学期期中六校联考高三数学文科试卷答题纸二．填空题（每小题5分，共30分）9. 10. 11. _________________12. 13. 14.__________________ 三．解答题（本大题共6小题，共80分）15. （本题13分）16. （本题13分）18. （本题13分）20. （本题14分）2016-2017学年度第一学期期中六校联考高三数学文科试卷参考答案一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.D2.C3.A4.B5.C6.B7.A8.C二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 10. 11. 8 12.9 13.90° 14.三．解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本题13分）（1）由题意可得:又因为函数图像上相邻两个最高点的距离为所以有,令即：所以函数的单调增区间为：（2）由正弦定理得：又由余弦定理得：整理得：解得：16.（本题13分）解:设每月调进空调和冰箱分别为台，总利润为（百元）则由题意，得.............6分目标函数是，...........9分画图，得的交点是（百元） ..........12分答：空调和冰箱的月供应量为4台和9台，才能使商场获得的总利润最大，总利润的最大值为9600元 ...........13分17．（本题13分)（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即，又，即，故四边形为平行四边形，于是，..........3分因为平面平面，所以平面..........6分（2）因为平面为的中点，所以到平面的距离为，..........8分取的中点，连结，由得：，由得到的距离为，故，..........11分所以四面体的体积 ..........13分18．（本题13分）由题意可知：，又因为所以．，解得或（舍）∴ ..........4分（2）由（1）知，，①-②得..........7分若对于恒成立，则， ..........9分令，则当，..........11分当，单调递减，则的最大值为，..........12分故实数的取值范围为．..........13分19．（本题14分）（1）.当时，，∴减区间为，当时，由得，由得，∴递增区间为，递减区间为...........4分（2）由（1）知：当时，在上为减函数，而，∴在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，，令，依题意有，而，且，∴在上递减，在上递增，∴，故.....9分（3）由（2）知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时等号成立.令，则有，即，整理得，当时，分别有，叠加得，即得证. ..........14分20.解：（Ⅰ）由题意，，得．…………3分，，，两式相减，得数列为等比数列，．…………7分（Ⅱ）．当为偶数时，=．……10分当为奇数时，（法一）为偶数，……12分（法二）．……………12分……………14分。
天津市六校静海一中杨村中学宝坻一中大港一中等高二上学期期中联考数学试题含答案
2019～2020学年度第一学期期中六校联考试卷高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题p ：“01,2≠--∈∀x x R x ”，则命题p 的否定为A .01,2=--∈∀x x R x B.01,0200=--∉∃x x R xC.01,2≠--∉∀x x R xD.01,0200=--∈∃x x R x2．在等差数列{}n a 中，若1675=+a a ，则6a =( ) A ．4B ．6C ．8D ．103.如果方程14522=-+-m y m x 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )A ．54<<mB ．29>m C ．294m < D ．529<<m 4.已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为}32|{>-<x x x 或，则0)10(>x f 的解集为（ ） A ．}3lg 2|{>-<x x x 或 B ．}3lg 2|{<<-x x C ．}3lg |{>x xD ．}3lg |{<x x5．若0a >，0b >，则“8≤+b a ”是“16≤ab ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0x >，0y >，8lg 2lg 4lg =+y x ，则yx 4121++的最小值是( ) A ．3 B ．49 C ．1546 D ．97．已知椭圆C 的焦点为)0,2(1-F ，)0,2(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．181222=+y xB ．14822=+y xC ．1121622=+y xD ．1162022=+y x8．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 、N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ，若41||21=k k ，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．32第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集是}32|{>-<x x x 或，则0-2>+c bx ax 的解集为____________.10.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若211=a ，423a a =，则5S = _____ ． 11．斜率为21的直线与椭圆13422=+y x 相交于B ,A 两点,AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,M m ，则=m _______________.12.已知公差不为0的等差数列{}n a ，若652642a a a a a a n =++++Λ，751-2531a a a a a a n =++++Λ，且2402=n S ，则公差d =__________．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点．若△2PF Q 的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为______________.14值为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，且22=b ，43=b ，11b a =，56b a =. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c +=，求数列}{n c }的前n 项和n S .16．（本小题满分13分）已知关于的不等式0232>+-x ax )0<a （. (1)当5-=a 时，求此不等式的解集.(2)求关于的不等式5232+->+-ax x ax 的解集17．（本小题满分13分）已知数列}{n a 满足*)341N n n a a n n ∈+=-+（，且31=a ，()I 求数列}{n a 的通项公式；()II 若*))1(4)1(12N n a a n n b n n nn ∈+-=+（，求数列}{n b 的前n 2项和n S 2．18.（本小题满分13分）已知椭圆C ： )0(12222>>=+b a by a x 右焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点Q ，若2|BQ ||AQ |= （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为43-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4-=x 上，且//OC AP ．求椭圆的方程．19．（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，等比数列{}n b 的前n 项和是n S ，1224=-b b ，32432S S S =+．已知1,3331+==b a a ．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{n c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n b n c n n ,,12，求*).(22332211N n c a c a c a c a n n ∈+++Λ．20．（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的长轴长为4,且椭圆与圆:43)322=+-y x （的公共弦长为3. (1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左右两个顶点分别为,直线1:+=kx y l 与椭圆交于两点,且满足,求的值.2019～2020学年度第一学期期中七校联考高二数学参考答案一、选择题 1—4：DCDD5—8：BBAC二、填空题9．）（2,3-10．23111．31-12．328 13．33 14．38 二、解答题 15．解：（1）22423===b b q ， 11=∴b 即12-=n n b 111==b a ，1656==b a ，31616=--=∴a a d 23-=∴n a n（2）1223-+-=n n n c21212)231(--+-+=∴nn n n S 12232-+-=n nn16．解：当5-=a 时，0235-2>+-x x 02352<-+∴x x 即0)1)(25(<+-x x所以不等式的解集为}521|{<<-x x（3）0332>--+x ax ax0)1)(3>+-∴x ax （①3-<a 时，不等式的解集为}31|{ax x <<- ②3-=a 时，不等式的解集为φ ③03<<-a 时，不等式的解集为}1-3|{<<x ax 17．解：341+=-+n a a n n Θ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=-∴-14151171342312n a a a a a a a a n n Λ 累加得：2)1)(1471--+=-n n a a n （n n a n +=∴22（2）)32)(1)(12()1(4)1()1(4)1(212++++-=+-=+n n n n n n a a n n b nn n nn )321121()1()32)(12(441-+++-=+++=n n n n n n n）（)341141)141141()9171()7151()5131(++++++--++-+++-=n n n n S n （Λ34131-++=n 18．解：（Ⅰ）2|BQ ||AQ |=，所以||||BQ AB =即c c a =- 可得21==a c e ；（Ⅱ）b =，12c a =，即2a c =，b =，可得椭圆方程为2222143x y c c+=，设直线FP 的方程为)(43c x y --=， 代入椭圆方程可得0136722=--c cx x ，解得c x -=或c x 713=， 代入直线PF 方程可得32c y =或914cy =-（舍去）， 可得)23,(cc P -, 圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，可设),4(t C -，可得cct 3234-=-，解得2=t ，即有)2,4(-C ，可得圆的半径为2， 由直线FP 和圆C 相切的条件为d r =， 可得25|3812|=-+-c ，解得2c =，可得4a =，b =可得椭圆方程为2211612x y +=． 19．解：（Ⅰ）∵423+2S 3,S S =∴()4332S 2S S S -=- ∴ 2,234==q b b 又∵ 1224=-b b ∴21=b∴nn b 2=∵1,3331+==b a a ∴n a n 3=（Ⅱ）数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯+++++⋯+=()n n n n n 262182122662)1(332⨯++⨯+⨯+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+Λ =)2232221(63322n n n ⨯++⨯+⨯+⨯+Λ令nn n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=Λ①，则1432n 22322212+⨯++⨯+⨯+⨯=n n T Λ②，①-②得：13222222+⋅-++++=-n n n n T Λ1n 221212+⋅---=n n ）（1212+-+-=n n ）（所以12)1(2+-+=n n n T ；故n n c a c a c a c a 22332211Λ+++n T n 632+=122)1(6123+-++=n n n20．（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，即为圆的直径，所以椭圆经过点， 所以，解得. 所以椭圆的方程为．（2）由得，显然△＞0恒成立． 设， 则，．又，，，，又，，，∴，整理得解得．。
天津市静海一中、芦台一中等六校高二数学上学期期末联
俯视图侧视图正视图44432015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1.“9>k ”是“方程14922=-+-k y k x 表示的图形为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则A ．若m //α，n //α，则m //nB ．若m //α，m //β，则α//βC ．若m //n ，n α⊥，则m α⊥D ．若m //α，α⊥β，则m ⊥β 3．下列四个命题中的真命题为A.0x R ∃∈，使得00sin cos 1.5x x -=-B.x R ∀∈，总有2230x x --≥C.∀x R ∈，∃y R ∈，2y x < D. 0x R ∃∈，∀y R ∈，0y x y ⋅=4．已知F 是抛物线2y x =的焦点,B A ,是该抛物线上的两点,||||=3AF BF +,则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．34 B ．1 C ．54 D ．745. 设1F 、2F 是双曲线1322=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，当21PF F ∆的面积为2时，21PF PF ⋅的值为 A ．2B ．3C ．4D ．66. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.64 B.72 C.80 D. 1127. 已知圆的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 A.43-B ．53-C ．35-D ．54-8.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．332 D ．2 第Ⅱ卷（非选择题）（将答案写在答题纸上）二、填空题、（每小题5分，共30分）9.已知两直线a y x a l 354)3(:1-=++与8)5(2:2=++y a x l 平行，则=a . 10.双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为)3,0(，则k 的值是 .11.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为 .12．若点(3,1)是抛物线px y 22=的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝ .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的范围是 .14.若曲线92-=x y 与直线0=-+m y x 有一个交点，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．(本题满分13分) 命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于B A ,两点；命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，若q p ∧为真命题，求实数k 的取值范围． 16．(本题满分13分) 已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在2．(Ⅰ)求圆C 的方程； (Ⅱ)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．17. (本题满分13分) 如图，三棱柱C B A ABC -中，CB CA =,AA AB =，060=∠BAA ．(Ⅰ)证明C A AB 1⊥； (Ⅱ)若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．18．(本题满分13分) 已知抛物线24y x =的焦点为F , 直线l 过点(4,0)M . (Ⅰ)若点F 到直线l 的距离为3, 求直线l 的斜率;(Ⅱ)设,A B 为抛物线上两点, 且AB 不与x 轴垂直, 若线段AB 的垂直平分线恰过点M , 求证: 线段AB 中点的横坐标为定值.19．(本题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.(Ⅰ)若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； (Ⅱ)点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求二面角M BQ C --的大小.ABCDQMP20. (本题满分14分)巳知椭圆222210:()x y M a b a b+=>>的长轴长为42，且与椭圆22124x y +=有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存BCAA1B1 C12015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级数学（理）答题纸二、填空题（每小题5分，共计30分）9． 10．11． 12．13． 14．三、解答题（共计80分）15．(本小题满分13分)16．(本小题满分13分)17．（本小题满分13分）18．（本小题满分13分）19. （本小题满分14分）A B CD Q MP20. （本小题满分14分）2015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级数学（理）参考答案一 选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案） 1A 2 C． 3 D 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 二、填空题、（每小题5分，共30分）9. -7 10. K=-1 11. 93π 12. 213 26[,]2314 {}[)()+∞⋃⋃-,233,03 三、解答题（共80分 15．(本题满分13分)解：∵命题p ：直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点， ∴圆心到直线的距离113002<++-⋅=k k d ，………3分2222-<>∴k k 或，………5分∵命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线 ⎩⎨⎧<<-∴006k k ，解得0<k ，………10分 ∵q p ∧为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴22-<k ………13分 16．(本题满分13分)解：（Ⅰ）由2230x y Dx Ey ++++=知圆心C 的坐标为(,)22D E--又∵圆心C 在第二象限 ∴0,0D E >< 由①②解得D=2，E=－4 …………4分∴所求圆C 的方程为：222430x y x y ++-+= ………………7分 （Ⅱ）Q 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设l ：a y x =+………8分 Q 圆C:22(x 1)(y 2)2++-=圆心)2,1(-C 到切线的距离等于半径2,即2221=-+-a,………10分,1-=∴a 或3=a ………11分所求切线方程03=-+y x 或01=++y x ………13分 17. (本题满分13分) (第一问6分第2问7分)………… 8分有题设知A (1,0,0),1A (0,3,0),C (0,0,3),B (－1,0,0),则BC uuu r =（1,0，3）,1BB u u u r =1AA u u u r=(－3AC u u u r=(0,33………… 10 分…………13分 18．(本题满分13分) (Ⅰ) 22±. …………………4分 (Ⅱ) 设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y , ),(),,(2211y x B y x A , 因为AB 不垂直于x 轴,则直线MN 的斜率为004y x -, 直线AB 的斜率为004x y -, ………………6分直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-,联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=, ……………9分 所以012044y y y x +=-, …………………10分因为N 为AB 中点, 所以1202y y y +=, 即00024y y x =-, …………………12分 所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………13分19(本题满分14分)∴)332,33,32(3132-=+=QC QP QM ， …………9分 设),,(z y x n =是平面MBQ 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00n QB n QM ，即⎩⎨⎧==03y z x ，令1=z 得⎪⎩⎪⎨⎧===103z y x ，∴)1,0,3(=n ，…………11分又)1,0,0(=m 是平面BQC 的一个法向量，∴2114)1,0,0()1,0,3(,cos =⋅•=<， 故二面角M BQ C --的大小为3π. …………14分 20(本题满分14分 ) 解 ：(I )椭圆的长轴长为422a =22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b ==所以椭圆M 的方程为22184x y +=.......................................3分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故2r 1mk =+，即()2221m r k =+.① ....................(5分 又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-= 设()()1122,,,,A x y B x y由韦达定理得1x +2x =24,12km k-+12x x =222812m k -+，..................................(7分) 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r 得到12x x +12y y =()21k +222812m k -++km 2412km k -++2m =0，....................(8分) 化简得22388m k =+，②联立①②得283r =。
学年天津市静海一中,杨村中学,宝坻一中,大港一中等七校高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2019-2020学年天津市静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等七校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知命题P：“，”，则命题P的否定为( )A. ，B. ，C. ，D. ，2.在等差数列中，若，则( )A. 4B. 6C. 8D. 103.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )A. B. C. D.4.已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为( )A. 或B.C. D.5.若，，则“”是“”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知，，，则的最小值是( )A. 3B.C.D. 97.已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为( )A. B. C. D.8.已知椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）9.已知关于x的不等式的解集是或，则的解集为______.10.记为等比数列的前n项和．若，，则______.11.斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点，则__________.12.已知公差不为0的等差数列，若…，…，且，则公差______.13.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于P，Q两点．若的内切圆与线段在其中点处相切，与PQ相切于点，则椭圆的离心率为______.14.已知以，为左右焦点的椭圆的左顶点为A，上顶点为B，点M，N是椭圆上任意两点，若的面积最大值为，则的最大值为______.三、解答题（本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.本小题13分已知是等差数列，是等比数列，且，，，求的通项公式；设，求数列的前n项和16.本小题13分已知关于x的不等式当时，求此不等式的解集．求关于x的不等式的解集17.本小题13分已知数列满足，且求数列的通项公式；若，求数列的前2n项和18.本小题13分设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为已知为原点求椭圆的离心率；设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线上，且求椭圆的方程．19.本小题13分设是等差数列，等比数列的前n项和是，，已知，求和的通项公式；设数列满足，求…20.本小题15分已知椭圆的长轴长为4，且椭圆C与圆M：的公共弦长为求椭圆C的方程；椭圆C的左右两个顶点分别为，，直线l：与椭圆C交于E，F两点，且满足，求k的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题P：“，”的否定：，，故选：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差中项的性质，属于基础题．根据等差中项的性质可得，即可得到结论．【解答】解：依题意，数列是等差数列，所以，解得故选：3.【答案】D【解析】解：由题意方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得：，并且，解得：故选：根据焦点在y轴推断出，并且，求得m的范围．本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．4.【答案】D【解析】解：一元二次不等式的解集为或，则的解集为，则可化为；解得，所以所求不等式的解集为故选：根据不等式的解集得出，求出解集即可．本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：依题意，对应正数a，b，当时，，故充分性成立，若无法推出，如当，时，而，故必要性不成立．故选：根据题意，结合基本不等式，讨论“”和“”的推出关系即可．本题考查了充分性和必要性的判断，考查了基本不等式的使用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：，，，，即，则，当且仅当且即，时取等号，则的最小值是故选：由已知结合指数与对数的运算性质可得，，从而，展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值，要注意应用条件的配凑．7.【答案】A【解析】解：，，又，，又，，，，，，，在y轴上．在中，，在中，由余弦定理可得，可得，解得椭圆C的方程为：故选：根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a，b，可得椭圆的方程．本题考查了椭圆的性质，椭圆对于的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，得是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为、，设，，，可得，，两式相减可得，，结合，得，即，，解得，得因此，椭圆的离心率故选：根据题意，结合椭圆的性质得到，可得，由此解出，即可得到该椭圆的离心率．本题给出椭圆上动点满足的条件，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念与简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】【解析】解：关于x的不等式的解集是或，方程的实数根是和3，且；由根与系数的关系，得，，，；关于x的不等式可化为，即；解得，该不等式的解集为故答案为：由不等式的解集得出a、b、c之间的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．本题考查了一元二次不等式与对应的一元二次方程的应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题．10.【答案】【解析】解：设等比数列的公比为，，，解得则故答案为：利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】【分析】本小题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，解答关键是利用方程的思想得出弦的中点的坐标表示．属于基础题．先设直线AB为：，然后与椭圆方程联立，消去x，得到关于y的一元二次方程，进而可表示出A、B两点的纵坐标的和，进而可表示出M的纵坐标，然后结合AB的中点，可确定答案．【解答】解：设直线AB为：，与椭圆方程联立得到：，，，所以，直线AB为：，AB的中点，可得，，故答案为：12.【答案】【解析】解：在等差数列中，由…，…，两式相加可得，两式相减可得，，由，得，又，，可得，则，得，，则，得故答案为：把已知两式分别作和与作差，结合求得n值，进一步求得，得，转化为与d的等式，则d可求．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：可设的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点，可得为等腰三角形，设，，可得，由切线的性质可得，解得，，设，，由，解得，则为等边三角形，即有，即有，故答案为：可设的内切圆的圆心为I，由切线的性质：切线长相等，可得为等腰三角形，设，，可得，，解得m，n，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：由题意有，，则，；设直线l为椭圆的一条与AB平行的切线，其方程设为：；由得：；，得；根据题意取；切线l到直线AB的距离为：；面积的最大值为，得设，，则；则，当且仅当时取等号；故答案为先根据的面积最大值时，点M在与AB平行且与椭圆相切的直线上，由方程联立，，求出切线方程，再由面积的最大值求出a，，代换后用均值不等式求最值．这是一道利用椭圆的切线或三角换元求三角形面积最值和利用椭圆第一定义结合均值不等式求最值的综合性问题，难度较大．15.【答案】解：设等比数列的公比为q，则，，则，，等差数列公差；，【解析】由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；直接利用数列的分组求和求解．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的求法，是基础的计算题．16.【答案】解：当时，，即，可化为，解得，所以不等式的解集为；不等式化为，即，时，不等式为；①时，，不等式的解集为；②时，，不等式的解集为；③时，，不等式的解集为【解析】时不等式化为，求出解集即可；时不等式化为，讨论与的大小，写出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．17.【答案】解：数列满足，所以，…，，利用累加法，解得，，，所以，【解析】直接利用数列的递推关系式和叠加法的应用求出数列的通项公式．利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：，即为，可得；，，即，，可得椭圆方程为，设直线FP的方程为，代入椭圆方程可得，解得或，代入直线PF方程可得或舍去，可得，圆心C在直线上，且，可设，可得，解得，即有，可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为，可得，解得，可得，，可得椭圆方程为【解析】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：，考查化简运算能力，属于拔高题．由题意可得，再由离心率公式可得所求值；求得，，可得椭圆方程为，设直线FP的方程为，联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程．19.【答案】解：是等差数列，设公比为q的等比数列的前n项和是，，已知，由于整理得，所以，解得又因为，解得，所以，数列是等差数列，由于，整理得；数列满足，所以…………，…设①，则②，①-②得：，，所以，所以…【解析】直接利用已知条件和数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．利用分组法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：由题意可得，所以，由椭圆C与圆M：的公共弦长为，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点，所以，解得所以椭圆C的方程为；由得：点为，点为，，设，，由得，，恒成立，故，，，，，，即，或【解析】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆C的方程；，设，，由得，通过韦达定理以及斜率公式，转化求解即可．。
天津市六校(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)高二数学上学期期末联考试题 理
第（5）题图2017～2018学年度第一学期期末六校联考高二数学(理）试卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求． （1)310x y +-=的倾斜角为（ ）．(A ）30 （B)60(C ）120 (D ）150（2)命题“x ∀∈R ，211≥x +”的否定是（ ）．(A)x ∀∈R ，211x <+（B ）0x ∃∈R ，2011x +≤ （C ）x ∀∈R ，211≤x +（D)0x ∃∈R ,2011x +<（3)已知空间两点(2,3,5)A ，(3,1,4)B ，则,A B 两点间的距离为（ ）．(A 2(B 6（C ）32（D 61（4)抛物线22y px =（0p >）上一点P 到焦点的距离为3，若点P 的横坐标为2，则抛物线方程为（ ）．（A)26y x =（B ）24y x =(C ）22y x = (D ）2y x =(5）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均 在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）． (A ）244π （B ）24461π （C ）244π3(D 24461π(6）设O 是空间一点,,,a b c 是空间三条直线,,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题．．．不成立的是( ）． (A)当O b a = 且α⊂a ，α⊂b 时，若c a ⊥，c b ⊥，则α⊥c （B ）当O b a = 且α⊂a ，α⊂b 时，若β//a ，β//b ，则βα// (C)当α⊂b 时，若β⊥b ，则βα⊥(D ）当α⊂b ，且α⊄c 时，若α//c ，则c b //（7）下列四个条件中,p 是q 的充分不必要．．．．．条件的是（ ）．第（14）题图(A ）有非零向量a ，b ,直线1l a ∥，直线2l b ∥,:p 12l l ∥，:q 0a b += (B ）:2p m =，:q 直线20mx y ++=与(2)10m x my +++=平行 (C ）:0p ab <,22:q ax by c +=为双曲线（D ）:0p F =,:q 曲线220x y Dx Ey F ++++=过原点 （8)有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值②双曲线22221x y a b-=与22221x y b a -=(0,0)a b >>的离心率分别是12,e e ，则22122212e e e e +是定值③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是,A B ，则直线AB 过定点其中正确的命题有（ ）． （A ）0个（B)1个（C ）2个（D)3个二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸相应位置上． (9）两条平行线1:330l x y -+=与2:320l x y --=间的距离为______．（10）已知圆的方程是223x y +=，过点(1,1)A 的直线l 被该圆截得的弦长最短，则直线l 的方程是______． （11）直线240xy 关于直线1y x 对称的直线方程为____________．（12）经过坐标原点和点(1,1)P ，并且圆心在直线2310x y ++=上的圆的方程为______．（13）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为FF 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 则双曲线的方程为____________．（14）如图,直角梯形ABCD 中,90DAB ∠=,//AB CD ，CE AB⊥于点E 。
天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________六、证明题17．在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ^，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.(1)求证：//DM 平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PDE 所成角的正弦值；(3)求点E 到PD 的距离.（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）如图，取BC 中点F ，连接,MF DF因为F 为BC 中点，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，所以BF AD =，//BF AD所以四边形ABFD 为平行四边形，所以//AB DF ，又DF Ë平面PAB ，AB Ì平面PAB ，所以//DF 平面PAB ，因为F 为BC 中点，M 为PC 中点，则//MF PB ，又MF Ë平面PAB ，PB Ì平面PAB ，所以//MF 平面PAB ，因为,,MF DF F MF DF Ç=Ì平面MDF ，所以平面//MDF 平面PAB ，又DM Ì平面MDF ，故//DM 平面PAB ．（2）根据题意，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,1,0A P B D E ，。
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2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷第I 卷(选择题 共40分)一、选择题:每小题5分,共40分,把答案涂在答题卡上． 1．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=- 2．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB =a ，1AA =c ，BC =b ，则BM 可表示为A ．1122-++a b c B ．1122++a b c C ．1122--+a b cD ．1122-+a b c 4．直线()1(1)y k x k -=-∈R 与2220x y y +-=的位置关系A ．相离或相切B ．相切C ．相交D ．相切或相交5．方程22(2)30x y x +--=表示的曲线是A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线6．设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥． （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥． （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β．11MA B C CBAFE D D AB B 111正(主)视图11俯视图侧(左)视图21其中正确命题的个数A ．0B ．1C ．2D ．3 7．条件:3p k =；条件:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p ¬是q ¬的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线21:8C y x =的焦点F 到双曲线()22222:1,0,0y x C a b a b-=>>的渐近线的距离为455，P 是抛物线1C 的一动点，P 到双曲线2C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线20x +=的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为A ．22123y x -=B ．2214x y -=C ． 2214y x -= D ． 22132y x -= 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线2228x y -=的实半轴长与虚轴长之比为 ▲ ． 10．由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ▲ ． 12．如图，椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为43的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 ▲ ． 13．若关于x 的方程243x x b x --=+只有一个解， 则实数b 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l ax by c ++=被圆2216x y +=截得的弦的中点为M ，且满足20a b c +-=，当||OM 取得最大值时，直线l 的方程是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分13分)已知圆锥曲线22:12x y E k+=．命题p ：方程E 表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：圆锥曲线E 的离心率()2,3e ∈，若命题p q ⌝∧为真命题，求实数k 的取值范围．16．(本小题满分13分)如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点，2PA AB ==．（Ⅰ）求证//EF 平面PCD ；（Ⅱ）求直线EF 与平面PAB 所成的角； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的外接球的体积．17．(本小题满分13分)已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程． 18． (本小题满分13分)已知曲线C 在x 的上方，且曲线C 上的任意一点到点()0,1F 的距离比到直线2y =-的距离都小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设0m >，过点()0,M m 的直线与曲线C 相交于,A B 两点．①若△AFB 是等边三角形，求实数m 的值； ②若0FA FB ⋅<，求实数m 的取值范围．AECDFBACFDEPOyxMAB19．(本小题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3BAD ∠=，2AD =，3DE =．（Ⅰ）异面直线AE 与DC 所成的角余弦值； （Ⅱ）求证平面AEF ⊥平面CEF ；（Ⅲ）在线段AB 取一点N ，当二面角N EF C --的大小为60︒时，求||AN ．20．(本小题满分14分)已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A ，B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）答题纸二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 10． 11． 12． 13． 14． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15． (本小题满分13分)MP O F 2D xy ACB F 116．(本小题满分13分)17．(本小题满分13分)18． (本小题满分13分)2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷一、选择题 (每小题5分,共40分．把答案涂在答题卡上．) 1．A 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．24; 10．7; 11．225+; 12．57; 13．13b -<≤或122b =-; 14．250x y ++=三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：因为22:12x y E k+=表示曲线，所以0k≠．命题p 是真命题，则02k <<；……………………………………2分 命题q 是真命题时，因为()2,3e ∈，所以()()222232k-<<，解得42k -<<-．…………………………………………5分因为命题p q ⌝∧为真命题，所以p ⌝，q 均为真命题，……………………7分 当p ⌝为真命题时，0k <或2k ≥．…………………………………………10分 于是命题p q ⌝∧为真命题时，满足0,2,42k k k <≥⎧⎨-<<-⎩或解得42k -<<-．……………13分16.（Ⅰ）如图,连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴PD EF //．又 ∵⊄EF 平面PCD ，⊂PD 面PCD ∴//EF 平面PCD ．……4分（Ⅱ）取AB 的中点H ，连接EH ，HF ．在正方形ABCD 中，E 是BD 的中点，有HE AB ⊥．∵ PA ⊥平面ABCD ，HE ⊂平面ABCD ，∴ PA HE ⊥，∵PA AB A =，∴HE ⊥平面PAB ， ∴HF 是直线EF 在平面PAB 的射影，∴EFH ∠是直线EF 与平面PAB 所成的角．在直角三角形FEH 中，1HE HF ==，所以tan EFH ∠=1． ∴直线EF 与平面PAB 所成的角为45︒．…………………………9分（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，2PA AB AD ===，则222244423R AB AD AP =++=++=，即3R =．所以外接球的体积为()3344ππ343π33V R ===．…………13分17．（Ⅰ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc ，则原点O 到直线的距离22bcd ab c ==+，由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率32c e a ==．………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b ． (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且||10AB =． 易知，AB 不与x 轴垂直．设其直线方程为(2)1y k x ，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b ．…………………………7分设1122(,),(,),A x y B x y 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x kk……8分 由124x x ，得28(21)4,14k k k 解得12k ． 从而21282x x b ．于是()22212121215||1||410(2)22AB x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭．……10分 由||10AB =，得210(2)10b ，解得23b ．故椭圆E 的方程为221123x y ．……………………………………………13分18． （Ⅰ）设点(),P x y 曲线C 上的任意一点，由题设有()||12PF y +=--，于是()()22211x y y +-=+，整理得24x y =．…………………………………2分 由于曲线C 在x 的上方，所以0y >．所以曲线C 的方程24x y =()0y >．………………………………………3分（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ．①由题意||||AF BF =，即()()2222112211x y x y +-=+-， 于是()()22221212110x x y y -+---=，将2112224,4x y x y ⎧=⎨=⎩代入，得()()121220y y y y -++=，由120,0y y >>，得12y y =． 从而12x x =-，所以122||||2||AB x x x =-=．因为△AFB 是等边三角形，所以()222222||1x x y =+-．将2224x y =代入，2221410y y -+=,解得2743y =±．此时743m =±．…8分 （此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分） ②设直线:AB y kx m =+，联立24,x y y kx m⎧=⎨=+⎩得2440x kx m --=，()2160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-．()12122y y k x x m +=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++于是()()()()11221212,1,111FA FB x y x y x x y y ⋅=--=+--()1212121x x y y y y =+-++22614m m k =-+-．因为0FA FB ⋅<，即22614m m k -+<．因k ∈R ，从而2610m m -+<．解得322322m -<<+．………………………………………………13分 19．（Ⅰ）因为//AB DC ，所以BAE ∠就是异面直线AE 与DC 所成的角，连接BE ，在ABE ∆中，2,7AB AE BE ===，于是7477cos 7227BAE +-∠==⨯⨯，所以异面直线AE 与DC 所成的角余弦值为77．……………4分 （Ⅱ）取EF 的中点M ．由于ED ⊥面ABCD ,ED ∥FB ,∴,,,ED AD ED DC FB BC FB AB ⊥⊥⊥⊥，又ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，所以，,,,ADE EDC ABF BCF ∆∆∆∆是全等三角形，,,CF CE AF AE ==所以EF CM EF AM ⊥⊥,，AMC ∠就是二面角C EF A --的平面角 …6分经计算6AM CM ==，23AC =，所以222AM CM AC +=，即AM MC ⊥．所以平面AEF ⊥平面CEF ．…………………8分（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由.2=AD 则)3,21,23(M ，)0,2,0(C ，3,1,3A ，(0,03E ，(3,1,3F．平面CEF 的法向量13332n AM ⎛==- ⎝．10分设)3,,0Nλ，则(3,,3EN λ=-，()3,1,0EF =设平面NEF 的法向量()2,,n x y z =，则220EF n EN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30330x y x my z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z λ==-，得()21,3,1n λ=--．11分 因为二面角N EF C --的大小为60︒，所以)()222333|31|22cos 60||||39313144n AN n AN λλ+-⋅︒==⋅++++-，……………………12分 整理得2630λλ+-=，解得33λ=，……………………………13分所以||232AN =……………………………………………………14分 20．解：（Ⅰ）如图，由题意得，2222b c ==．∴2b c ==2a =．∴ 所求的椭圆方程为22142x y +=． …………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）． ……………………4分由题意可设CM ：(2)y k x =+，P （1x ，1y ）．MD CD ⊥，∴M （2，4k ）………………………………………5分Mz yx由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得2222(12)8840k x k x k +++-=． 21284212k x k --=+，得2122412k x k-=+．……7分 ∴1124(2)12ky k x k=+=+， 222244(,)1212k k P k k-++．………………8分 ∴222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k -+⋅=⋅+⋅==+++． …………………9分（Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥，即0MQ DP ⋅=……10分由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =-，22284(,)1212k kDP k k-=++． …………12分 ∴202284(2)401212k k QM DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++．即2028012k x k =+恒成立． ∴00x =．∴存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．…14分19．(本小题满分14分)ABEDFMPOF 2D xy ACB F 120．(本小题满分14分)。