3.1一元二次方程 (1)
3.1《用公式法求解一元二次方程》
§2.3用公式法求解一元二次方程（1）
【学习内容】用公式法求解一元二次方程（P41-P43页）
【学习目标】1、能够正确的导出一元二次方程的求根公式；2、能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况正确；3、熟练的使用求根公式解一元二次方程。
对子间等级评定：
对子间提出的问题：
1、 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)7252=+x x ; （2）0202542=++x x ； （3）(3x+1)(x+2)=-4
2、用公式法解下列方程：
（1）2x 2-4x-1=0; (2)5x+2=3x 2; (3)(x-2)(3x-5)=1
（4）x x 2
352.02=+ （5）212308
x x -+=
3、知一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)如果k 是符合条件的最大整数，
4、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
5、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
今天我知道了：
我发现了：
我学会了：
【教师寄语】《新课堂，我展示，我快乐，我成功》-------。
一元二次方程及其解法(一)特殊的一元二次方程的解法—知识讲解
一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以 ． 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩ 【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x 的值，得到两个关于p 、q 的方程，解方程组可求p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x 2=24，x 2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1)(x+5)2=225；(2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96.【答案】(1)∵ (x+5)2=225，∴ x+5=15或x+5=-15．所以，原方程的根为x=10或x=-20．(2)∵ (3y-2)2=27，∴ 3y-2=或3y-2=-．所以，原方程的根为y=或y=．(3)原方程可化为(b+4)2=32，所以有b+4=或b+4=-．所以，原方程的根为b=-4+或b=-4-．类型五、因式分解法解一元二次方程5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。
一元二次方程传播类问题公式
一元二次方程传播类问题公式大家好，今天我们来聊聊一元二次方程。
别看这名字听上去高大上，其实它和我们日常生活中的很多问题息息相关，比如计算装修面积、安排活动日程等等。
我们就像是要找一个“合适的桥梁”，通过一元二次方程的公式，把这些看似复杂的计算变得简单易懂。
1. 一元二次方程的基本概念首先，什么是一元二次方程呢？简单来说，就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、( c ) 是常数，( x ) 是未知数。
这个方程的图像是个抛物线，它就像是你用铅笔画的曲线，左右对称。
1.1 一元二次方程的标准形式把一元二次方程写成标准形式很重要，形式就是 ( ax^2 + bx + c = 0 )。
这就像给房子设计图时需要准确的尺寸一样，公式里每个系数 ( a )、( b )、( c ) 代表了不同的含义：( a ) 是二次项的系数，决定了抛物线的开口方向和大小。
( b ) 是一次项的系数，影响抛物线的左右移动。
( c ) 是常数项，决定了抛物线的上下位置。
1.2 判别式的作用在一元二次方程中，我们常常用到“判别式”。
听起来有点复杂，其实就是 ( Delta = b^2 4ac )。
这个东西决定了方程的根的性质：如果 ( Delta > 0 )，方程有两个不同的实数根。
如果 ( Delta = 0 )，方程有两个相同的实数根（也就是一个根）。
如果 ( Delta < 0 )，方程没有实数根，只有复数根。
2. 一元二次方程的求解方法接下来，我们来看看怎么解这个方程。
别担心，我会把每一步都讲得清清楚楚。
2.1 求根公式最常用的方法就是“求根公式”啦。
这个公式就是 ( x = frac{b pm sqrt{Delta}}{2a} )。
这听起来有点复杂，但只要按步骤来，就能搞定：1. 先算判别式 ( Delta = b^2 4ac )。
2. 然后把 ( Delta ) 代入公式，计算出 ( sqrt{Delta} )。
一元二次方程课件
归纳概括
（1）只含有一个未知数 ） （2） ） 未知数的最高次数是 整理后 未知数的最高次数是2 （3）整式方程 ）
—— 一元二次方程
练习一： 练习一：
辨一辨
下列方程是一元二次方程吗，若不是，为什么？ 下列方程是一元二次方程吗，若不是，为什么？
（1） − x 2 = 0 1
（3） x 2 = 5 − 4 x 9
整理得： a − b − 3 = 0, 即 a − b = 3 . 当 a − b = 3时， 3 a − 3b + 4 = （ a − b ) + 4 = 3 × 3 + 4 = 13 3
回顾总结： 回顾总结：
学习了本节课，你有什么收获？ 学习了本节课，你有什么收获？ 请说出来与大家分享。 请说出来与大家分享。
(m−2)x +(m−3)x+5=0
|m|
时是一元二次方程； 时是一元二次方程； 时是一元一次方程
课外拓展
已知关于x的一元二次方程 已知关于 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为 求a+b+c的值 一个根为1, 的值. 一个根为 的值 变形: 你能通过观察,求出方程 变形 若a+b+c=0,你能通过观察 求出方程 你能通过观察 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗 一个根吗? 一个根吗 推广: 你能通过观察,求出方程 推广 若a-b+c=0, 你能通过观察 求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗 一个根吗? 一个根吗 若4a+2b+c=0呢？ 呢
分类讨论思想
练习四： 练习四：
2.若关于 的方程 2+bx-3=0有一个根是 ， 若关于x的方程 有一个根是-1， 若关于 的方程ax 有一个根是 的值。 求3a-3b+4的值。 的值
一元二次方程(1)课件浙教版八年级下册数学
2、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0得： 32+3a+a=0
a 9 4
例题学习
一元二次方程
例2、已知一元二次方程
2x2
bx c 0
的两个根为
x1
5 2
和 x2 3 ，求这个方程.
解：将
x1
5和 2
x2
3代入方程
一种 思想
类比思想
后续还会学习什么呢？ 解
应
法
用
新知引入
2.1一元二次方程
下列方程中哪些是熟悉的方程？分别是什么方程？
什么是一元一次方程？ 只有一个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
什么是二元一次方程？ 有两个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
新知探究
2.1一元二次方程
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)把面积为4m2的一张纸分割成如图的正方形和长方形 两部分，求正方形的边长.
(1) 9x2=5-4x.
(2) (2-x)(3x+4) = 3.
解：
(1)移项，整理，得9x2+4x-5 = 0.
这个方程的二次项系数是9 ，一次项系数是4 ，常数项是-5.
(2) 方程左边多项式相乘，得-3x2 +2x+8 = 3 ， 移项，整理，得-3x2 +2x+ 5 = 0. 这个方程的二次项系数是-3 ，一次项系数是2 ，常数项是5.
解：因为关于x的一元二次方程 (a－2)x2＋3x＋a2－4＝0的常数项为0，
a 2 0 a2 4 0
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第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】:知识结构网络一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2 =bb -0或x a 2二b的形式的方程求解。
当b 一0时，可两边开平方求得方程的解；当b：：： 0时, 方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x m）^ n 的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式ax2 bx 0，确定a、b、c的..b b2- 4ac 值；（2）计算b2-4ac的值并判别其符号；（3）若b2-4ac — 0，则利用公式x二」b—4ac求2a 方程的解，若b2 -4ac ：：： 0，则方程无实数解。
【典型例题】(1) 6x 2 —7x —3=0 (用因式分解法)解：(3x1)( 2x - 3) = 0 • 3x 1 二 0 或 2x _3=0 1 3 x 1, x 2 = — 3 2 (2) 3x 2 = 4x 1 （用公式法）解：3x 2 — 4x — 1 = 0.-：=(一4)2 - 4 X 3 X ( _1) = 28 . 0解:手）—2= 3 2, -5 2【经典练习】、直接开方法二、配方法注：（1） 2x 2 -、2x -30 = 0 二、公式法1. 用求根公式法解下列方程(1) x 2 2x —2 =0; -(-4) ± ,28 2 ± ,7(3) 2x -2x-30 0 （用配方法） ,2 x (-2)2 4 二 15 ( (1) (x 1)2 二(1 -2x)(2) (x a)2 = b.2121 (2) 3x2 = 4x 1解：2(2) 2y 8y _1 =0 ;解：2 1⑶2x -3x 0 ;8解：(4) 3y2 -2y =1 ;解：(5) 2x2 5x -1 =0 ;解：2 —(6) x 2..5x 3=0 ;解：(7) 3x2 -4x 5 =0 ;解：(7)方程无实数根；(8) 、2x2 4 3x - 2 .2 =0 ;解：(9) 0.02x2 - 0.03x =0.35 ;解：(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数，再代入求根公式, (10) (1 2、3)x —x2二、、3(1 、3)解：。
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。
不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。
其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。
一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。
解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。
3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。
希望这些简单的介绍对你有所帮助。
如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。
一元二次方程的基本解法
一元二次方程的基本解法嘿，小伙伴们，今天咱们聊聊一元二次方程。
别一听这个名词就头大，其实它就是个数学小怪兽，但说白了，也就是我们经常见到的那种“x的平方加上x再加上常数等于零”的方程。
我们一步步来，把它拆解开，搞清楚怎么解这个方程，让它不再那么神秘。
1. 一元二次方程是什么？一元二次方程，其实就是含有一个未知数的二次方程，形如：ax² + bx + c = 0。
听起来有点拗口，对吧？别担心，咱们举个例子，帮大家更好地理解。
1.1 方程的组成部分ax²：这里的a是二次项的系数，它决定了方程的开口方向和大小。
bx：b是一次项的系数，它决定了方程的斜率。
c：c是常数项，也就是方程的“常驻”部分。
拿一个具体的方程来看，比如：2x² + 3x 5 = 0。
这就是个一元二次方程，我们的目标就是找到x的值，让这个方程成立。
1.2 方程的几何意义如果把方程画在坐标系上，你会发现它的图像是一条抛物线。
找方程的解，就是找这条抛物线和x轴交点的位置。
说白了，就是找那些“x”值，让方程的值变成零。
2. 解一元二次方程的常见方法好了，了解了方程的基本概念，我们来看看具体的解法吧。
一般来说，有几种常用的办法。
2.1 配方法这方法有点像玩魔术，咱们把方程变得简单易解。
首先，把方程改写成一个完全平方的形式。
举个例子，我们来看方程：x² + 6x + 8 = 0。
1. 把方程左边调整为完全平方：我们可以把x² + 6x变成(x + 3)² 1，然后得到(x + 3)² 1 + 8 = 0。
2. 化简方程：变成(x + 3)² + 7 = 0。
3. 解方程：我们把(x + 3)² = 7，开方得到x + 3 = ±√(7)，但因为√(7)是虚数，这表明方程没有实数解。
配方法虽然有点复杂，但它特别适合用来解决某些特殊类型的方程。
2.2 求根公式这个方法就像是数学界的万能钥匙。
3.1.1一元二次方程课件
AC BC , 那么点C叫做线段AB的黄金分割点， AB AC
AC与AB的比称为黄金比.
其实,黄金分割就是三条能
A
C
B
构成比例线段的特殊线段 AB,AC和BC.其中线段AC是 线段AB和线段BC的比例中 项,也可写成AC2=AB· BC. 设AB=1 AC=x 则BC=1-x 可得: x2=1-x
回顾与思考
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一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (173-x)x=7140 即 x2 - 173x +7140 = 0 . 即 x2 +7x -36＝0. 2＋(x＋7)2＝112 x 2=1-x 即 x2 ＋x －1 ＝0. x
上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、 一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
解：设竹竿的长 为x尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程： 2尺 数学化
培养能力之源泉
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
x－4
4尺
想一想
培养能力之阵地
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x 32＝0 5 2 ＋ 36 x － 32
一元二次方程知识要点
一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式： a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b ，、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。
2. 一元二次方程的解法： 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式。
请注意以下等价命题:Δ＞0 〈=〉 有两个不等的实根； Δ=0 <=〉 有两个相等的实根； Δ＜0 <=〉 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）。
4。
一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 （a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式： .acx x abx x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 ac x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 ⇔ a b-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；(2）两根互为倒数 ⇔ a c=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根 ⇔ ac = 0且a b-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；（4)有两个零根 ⇔ ac = 0且a b-= 0 ⇔ c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ⇔ ac=0 ⇔ c=0；（6）两根异号 ⇔ ac＜0 ⇔ a 、c 异号；（7)两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号;(8)两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ⇔ ac ＞0，a b-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；(10）有两个负根 ⇔ a c ＞0，a b-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号, a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意:当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解。
小学数学认识一元二次方程
小学数学认识一元二次方程一元二次方程是小学数学中较为复杂的一个概念，需要对数学概念有一定的了解才能理解和解决。
一元二次方程包含一个未知数和其次方的方程，通常写作ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a不等于0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法以及应用。
一、基本概念在学习一元二次方程之前，我们需要了解一些基本概念。
1.1 平方数：一个数的平方，例如1、4、9、16等。
1.2 二次方程：方程中含有未知数的平方项的方程，例如x^2 + 2x + 1 = 0就是一个二次方程。
1.3 一元二次方程：方程中只有一个未知数的平方项的方程，例如3x^2 - 2x + 1 = 0就是一个一元二次方程。
二、解法解一元二次方程通常有以下两种方法：因式分解法和求根公式法。
2.1 因式分解法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 1) = 0，从而得到x的解为x = 3或x = 1。
2.2 求根公式法：对于一般的一元二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以代入a = 2，b = 5，c = 2，然后计算得到x的解为x = -1/2或x = -2。
三、应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。
3.1 抛物线运动：抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来表示。
例如，投掷一颗子弹的运动轨迹可以表示成y = -5x^2 + 10x + 3的形式，其中y为高度，x为时间。
3.2 建模和预测：一元二次方程可以用来对一些现实问题进行建模和预测。
例如，根据某商品的销售数据，可以建立销售量和价格之间的一元二次方程，从而预测不同价格下的销售量。
3.3 几何问题：一元二次方程也可以用来解决几何问题。
一元二次方程计算题 (1)
一元二次方程计算（1）1．用配方法解一元二次方程x2+4x+c＝0（c为常数）2．解方程：x2﹣4x＝73．解方程：x2+6x＝﹣74．用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．5．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式组：6．解方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）＝．7．解方程或不等式：（1）解方程：2x2﹣4x﹣6＝0（2）解不等式：8．解下列方程：（1）；（2）x2﹣2x﹣6＝0．9．解方程：x2+6x﹣3＝0．10．解方程和不等式组：（1）x2﹣2x﹣4＝0（2）答案：1．用配方法解一元二次方程x2+4x+c＝0（c为常数）【解答】解：方程整理得：x2+4x＝﹣c，配方得：x2+4x+4＝4﹣c，即（x+2）2＝4﹣c，当4﹣c＞0时，x+2＝±，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；当4﹣c＝0时，x1＝x2＝﹣2；当4﹣c＜0时，方程无解．2．解方程：x2﹣4x＝7【解答】解：方程配方得：x2﹣4x+4＝11，即（x﹣2）2＝11，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．3．解方程：x2+6x＝﹣7【解答】解：∵x2+6x＝﹣7，∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，则x+3＝±，∴x＝﹣3±，即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．4．用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，x2﹣x＝17，x2﹣x+＝17+，（x﹣）2＝，x﹣＝±，所以x1＝，x2＝．5．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式组：【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0∴x2﹣2x＝1∴（x﹣1）2＝2∴x﹣1＝±，解得，x1＝1+，x2＝1﹣；（2）由不等式①，得x＜2，由不等式②，得x＞﹣1，故原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．6．解方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）＝．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5，∴△＝4﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，则x＝＝1±，∴；（2）两边都乘以（x+1）（x﹣2），得：x+1＝4（x﹣2），解得x＝3，经检验x＝3是方程的解．7．解方程或不等式：（1）解方程：2x2﹣4x﹣6＝0（2）解不等式：【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣6＝0，x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0，x+1＝0，x1＝3，x2＝﹣1；（2），∵解不等式①得：x＜4，解不等式②得：x＞2，∴不等式组的解集是2＜x＜4．8．解下列方程：（1）；（2）x2﹣2x﹣6＝0．【解答】解：（1）去分母得6x﹣3（x﹣1）＝12﹣2（x+2），去括号得6x﹣3x+3＝12﹣2x﹣4，移项得6x﹣3x+2x＝12﹣4﹣3，合并得5x＝5，系数化为1得x＝1；（2）x2﹣2x＝6，x2﹣2x+1＝7，（x﹣1）2＝7，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．9．解方程：x2+6x﹣3＝0．【解答】解：x2+6x﹣3＝0，x2+6x＝3，（x+3）2＝12，x+3＝±2，∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2．10．解方程和不等式组：（1）x2﹣2x﹣4＝0（2）【解答】解：（1）x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2），解①得x＜，解②得x≥﹣1，所以原不等式组的解集为﹣1≤x＜．。
九年级数学一元二次方程知识点
九年级数学一元二次方程知识点平时数学考试会发现，马虎精彩导致算错，所以要想提高数学成绩，一定要注意细节。
在考试的过程做到不该丢的不能丢，分分计较。
下面是我整理的九年级数学一元二次方程知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
九年级数学一元二次方程知识点1、平方与平方根1。
1面积与平方(1)任意两个正数的和的平方，等于这两个数的平方和(2)任意两个正数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减去这两个数乘积的2倍任意两个有理数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，再加上(或减去)这两个数乘积的2倍1。
2平方根1。
正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;2。
零只有一个平方根，它就是零本身; 3。
负数没有平方根1。
4实数无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称为实数2、平方根的运算2。
1算术平方根的性质性质1一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身性质2一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值2。
2算术平方根的乘、除运算1。
算术平方根的乘法sqrt(a)?sqrt(b)=sqrt(ab)(a=0，b=0)2。
算术平方根的除法sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)(a=0，b0)通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去，叫做分母有理化(1)被开方数的每个因数的指数都小于2;(2)被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根2。
3算术平方根的加、减运算如果几个平方根化成最简平方根以后，被开方数相同，那么这几个平方根就叫做同类平方根3、一元二次方程及其解法3。
1一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程3。
2特殊的一元二次方程的解法3。
3一般的一元二次方程的解法——配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1。
化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边，将方程化为x^2+px+q=0的形式 2。
移项把常数项移至方程右边，将方程化为x^2+px=—q的形式3。
3.1 一元二次方程
一般形式 5x＋ 3x2－5x＋1＝0 +x－ x2+x－8＝0 +4＝ -7x2 +4＝0 或7x2-4＝0
二次项 系数 3 1 -7 7
一次项 系数 -5 1 0 0
常数 项 1 -8 4 -4
例
题
【例2】如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 10m的梯子斜靠在墙上 面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端距 8m 1m 墙____m
解析：根据题意， 10+2.5t- =5,即 解析：根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即 2t2-t-2=0 列表： 列表： t 2t2-t-2 0 -2 1 -1 2 4 3 13
所以1 所以1＜t＜2,进一步列表计算： 2,进一步列表计算： 进一步列表计算 t 2t2-t-2 1.1 -0.68 1.2 -0.32 1.3 -0.08 1.4 0.52
数 学 化
1 8m 7m
6m
x
解析：由勾股定理可知， 解析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 6 如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 如果设梯子底端滑动x m， x＋6 m；
m ；
根据题意，可得方程： 根据题意，可得方程： (x＋ 72＋(x＋6)2＝102
在上面的这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 在上面的这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 x(m) +12x(x+6)2+72 =102，把这个方程化为一般形式为 x2+12x-15=0 ． （1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么? 小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么? 1m 不正确，因为x=1不满足方程． 不正确，因为x=1不满足方程． x=1不满足方程 （2）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 底端滑动的距离可能是2m吗 可能是3m吗 为什么? 2m 3m 不正确，因为x=2， 不满足方程． 不正确，因为x=2，3不满足方程． x=2 （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? 你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? x(m)的大致范围吗 （4）x的整数部分是几?十分位是几? 的整数部分是几?十分位是几? 请同学们，自己算一算，注意组内同学交流哦！ 请同学们，自己算一算，注意组内同学交流哦！
初中数学一元二次方程公式
初中数学一元二次方程公式1. 一元二次方程的基本概念一元二次方程，听起来是不是有点拗口？其实，它就是形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程，简单来说，就是有一个 (x) 的平方项。
这里的 (a)、(b)、(c) 是常数，关键是 (a) 不能为零，否者这方程就变成一元一次方程了，这就没意思了。
为什么说它重要呢？因为生活中很多问题，尤其是那些抛物线的运动，像是投篮、抛石头等等，都跟它有着千丝万缕的联系。
2. 公式的来源2.1 说到公式，大家肯定都知道有一个著名的解法，就是“求根公式”，也就是 (x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a)。
这个公式可不是凭空而来的，背后可是有很多的推导和思考。
想象一下，老祖宗们为了找出这个公式，得经历多少个日夜的推敲，真的是为了后辈省了不少事！只要我们会用了，简直就像是拿到了开锁的钥匙，能轻松解开无数数学难题。
2.2 但是，别小看这个公式，它的“判别式” (b^2 4ac) 可是关键中的关键！它决定了方程有几个根，分为三种情况。
大于零的时候，说明我们有两个不相等的实根；等于零时，恭喜你，只有一个根，叫做重根；小于零嘛，哎，这可就没有实数根了，变成了虚数的世界。
好比是人际关系，有些朋友多得不得了，有些则是一生难得一遇，甚至有些关系就像空气般，根本不存在。
3. 解题技巧3.1 说完了公式，接下来就是如何灵活运用啦。
我们可以先看看题目，确定 (a)、(b)、(c) 的值，然后直接代入公式，这样一来，解决问题就像吃蛋糕一样简单。
不过，如果遇到特别复杂的数值，咱们也可以试试因式分解法，毕竟在数学的世界里，灵活变通才是王道。
有时候，可能用一条线性思路去思考，反而更容易找到答案。
3.2 别忘了，多做练习哦！数学就像打游戏，越练越熟，技能越高。
我们可以从简单的题目入手，逐步挑战那些“Boss级”的难题。
对了，有时候把题目当成游戏来解，更能调动你的积极性，轻松愉快地享受这个过程。
一元二次方程性质
一元二次方程性质一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，具有广泛的应用领域。
本文将从方程的定义、一元二次方程的性质以及解法等方面进行论述。
1. 方程的定义方程是一个等式，其中含有未知数。
而一元二次方程指的是只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为二的方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
2. 一元二次方程的性质一元二次方程具有以下几个重要的性质：2.1 平方差公式平方差公式是一元二次方程中的重要成立式，它可以用来将完全平方的一元二次式转化为一个二次项与某个常数之差的形式。
平方差公式的具体形式为：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 和 (a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2。
2.2 解的性质一元二次方程的解可以分为三种情况：实根、重根和虚根。
实根指的是方程的解为实数，重根指的是方程有两个相同的实数解，虚根指的是方程的解为复数。
解的性质与一元二次方程的判别式有关，判别式Δ = b^2 - 4ac 的值决定了方程的解的性质。
2.3 方程与图像一元二次方程与二次函数之间有着密切的联系。
对于一元二次方程y = ax^2 + bx + c而言，其对应的二次函数图像是一个抛物线。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。
3. 解法解一元二次方程的常用方法有以下几种：3.1 因式分解法当一元二次方程可以通过因式分解得到两个一次因式相乘时，可以直接得到方程的解。
例如：x^2 + 5x + 6 = 0可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，解得x = -2或x = -3。
3.2 公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √Δ) / 2a，其中Δ = b^2 - 4ac。
通过将方程的系数代入公式，可以直接计算出方程的解。
3.1一元二次方程的概念(1)
设花圃的宽是xm，根据题意，得 x+x+ (x+4) =19. 整理,得 3x+4=19.
问题2．如果把条件“花圃的长比它的宽大4m”改为“花圃 的面积是24m2”，你还能求出花圃的长和宽吗？ 设花圃的宽是xm，根据题意，得
x(19-2x) =24.
整理,得 -2x2 +19x =24 ．
xm
问题情境
这雕像与方程x2+x-1=0 有关系吗？
复习回顾
1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 含有末知数的等式叫方程； 使方程两边相等的未知数的值叫方程的解。
2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 如果只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的 整式方程叫做一元一次方程 。 一般形式ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的 一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实 际问题的步骤吗? 1审，2设，3列，4解，5验，6答。
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)？ (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 （1）
找一元二次方程的二次项、一次项 （2） 系数及常数项要先化为一般式
问题3．如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的 底端与墙的距离为3m。如果梯子底端向右滑动的 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑 动的距离。
xm
设梯子滑动的距离是
梯子５m
x m ，根据题意，得 (4-x) 2 + (3+x) 2=52.
整理,得 x2 -x =0 ．
3m
x m
问题情境
问题4．学校图书馆去年年底有图书5万册，预计
-5
一元二次方程
3.1一元二次方程序号：责任教师：王洪福审核人：肖志亮孙萍呼聚福【学习目标】1. 记住一元二次方程的概念，会判断一元二次方程。
2.能把一元二次方程化成一般形式，并确定二次项系数、一次项系数和常数项。
3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。
【学习过程】一.知识回顾：一元一次方程：分式方程：二.自主探究与合作交流：知识点1：一元二次方程的概念1.自学课本72页内容，得到的三个方程分别是：①②③2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并将方程的左边按 x 降幂排列.①②③这三个方程的共同特点：3. 像这样的方程叫做一元二次方程。
对应练习1：1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？（1） x2-9=0 （2）y2-4y=0 (3)1／3x-x2=0 (4)4s(s-1)=4s2+2 (5)3x+ x2-1=0 (6)3x3-4x2+1=02.关于x的方程（a-1）x2-3ax+5=0是一元二次方程，此这时x的取值范围是___________.3. 关于x的方程2 x6-2m+x=8是一元二次方程，则m的值为 .知识点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为___________________，二次项是________,一次项是________，常数项是_______，其中a称为__________b称为__________.对应练习2：1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。
①3x(x+1)=4(x-2) ②(x+3)2=(x+2)(4x-1)③2(y+5)(y-1)=y2-8 ④2t=(t+1)2三.课堂小结四.课堂检测：1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A: ax2+bx+c=0 B: k2x+bk+6+0C: 3x2+2x+1=0 D：(m2+3)x2+3x-2=02.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式是，其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.3.小明家有一块长150㎝，宽100㎝的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍.若设花色地毯的宽为x ㎝，则根据题意，可列方程为____________________,并化成一般形式为 .中考链接：1、（2011江西）下列方程是关于x 的一元二次方程的是 【 】 A ．20x = B ．x (x －1) =2x C ．21x x = D ．22(1)1x -=2、（2011重庆纂江） 已知关于x 的方程x 2+kx-3=0一个根是-2，则k 的值为 ．3、（2011中江）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片 向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据 题意，列出方程为( ) A. 2450)1(=-x xB. 2450)1(=+x xC. 2450)1(2=+x xD.24502)1(=-x x 4、(2011河北)已知x=2是方程02a x 232=-的一个根，则2a+1= ．5、（2011江苏）随着近期国家抑制房价新政策的出台，某小区房价两次下跌，由原来的每平方米6000元降至每平方米4860元，若设平均每次降价的百分率为X,则可以列出的方程为 ；化为一般形式是 .拓展训练：1、已知关于x 的方程（2m —4）x 2 —3nx+m+1=0. (1)当m 时，此方程为一元二次方程：（2）当m ，n 时，此方程为一元一次方程.2.将方程 化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.3.当m 为何值时,关于方程x 的方程是一元二次方程；并求出代数式（m+2）2011的值.（请写出解题过程）5274)1(2=++--mx m m x2)3()32)(32(-=-+x x x。
21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播、循环、数字问题--
21. 3.1 实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题【自主导学】有1个人得流感病，第一轮传染6个人，第一轮过后共有人得流感，第二轮传染时平均每人也传染6人，第二轮被传染了人．第二轮过后共有人得流感．【易错点睛】要组织一次蓝球赛，每两个队都赛一场，计划要安排21场比赛，设赛队的个数是x个，则可列方程为A 夯实基础知识点一数字问题1．若两个数的和为7，这两个数的积为12，则这两个数分别为或.2．若两个连续偶数的积为48，则这个两位数的和为（）A. 6B. 0C. －8D.14或－14知识点二单循环与双循环问题3．一个初中毕业班的每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片．设全班有x名学生，根据题意可列方程为( )A．x (x＋l)=2550 B. x(x－l)=2550 C.2x(x＋l)=2550 D. x(x－l)=2550×24．在一次生日聚会上，有人提议与会的每名同学都与其他同学握一次手. 已知参加这次聚会的所有与会者共握手105次，那么参加此次聚会的同学共有人．5．（2017金赛）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，求参赛球队的个数．知识点三分支问题6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为或.7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8人B. 9人C. 10人D.11人8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？B 综合运用9．【教材变式】（22页习题6改）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有( )人．A ．12B ．10C ．9D ．810．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( )A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－3611．【教材变式】（17页习题12改）一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边( )A ．6B ．7C ．8D ．912.有一个人换了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感.（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？13.五个连续整数－2，－1,0,1,2满足下面关系：22222(2)(1)0=12-+-++，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否找出五个连续整数，使它们具有上面的性质？C 拓广探索14．【教材变式】（23页活动改）观察下列图形规律：当n 为多少时，图形“．”的个数和“△”的个数相等？n=4n=3n=2n=1。
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特点：
1、只含一个未知数 只含一个未知数; 2、未知数的最高次数是2 、未知数的最高次数是 3、都是整式方程 都是整式方程; 都是整式方程
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思考、 思考、讨论
• 类比一元一次方程的定义 能否给出 类比一元一次方程的定义,能否给出 一元二次方程的概念呢? 一元二次方程的概念呢?
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回顾与思考
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知识回顾
1、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
(ax+b=0 a≠0） ）
2、多项式的乘法 (a+b)(c+d)=( ac+ad+bc+bd ) 多项式的乘法: 3、完全平方公式：（ 、完全平方公式：（ ：（a+b)2=（ a2+2ab+b2 ） （
(a-b)2=（ a2-2ab+b2 ） （
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做一做
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足球场有多宽
，周长为346m，求足 一块足球场的的面积为7140m2，周长为 一块足球场的的面积为 ， 球场的长和宽。 球场的长和宽。
(173-x)
(173-x)x=7140
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做一做
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生活中的数学
如图，一个直角三角形的三边都是整数， 如图，一个直角三角形的三边都是整数，它的斜边长 是11cm，两条直角边的差为 ，两条直角边的差为7cm，求两直角边的长 ，
义务教育课程标准实验教科书数学·九年级·上册（泰山版）
九年级数学(上)第三章： 一元二次方程 九年级数学( 第三章：
3.1 一元二次方程（1）
教学目标
• 1、掌握一元二次方程的概念及一般式。 • 2、理解一元二次方程的二次项、一次项、 常数项。 • 3、会将一元二次方程转化成一般式。 • 4、培养学生主动参与、合作交流的意思。
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• 已知关于x的方程(k+1)x2-4kx+k-1=0 • （1）k为何值，此方程是一元一次方程？
（k=-1）
• （2）k为何值，此方程是一元二次方程？
（k≠-1） K+1 • 并且二次项系数为_____,一次项系数为 -4k ______，常数项为_____. K-1
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小结
拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的 学习了什么是一元二次方程， 一般形式ax bx＋ 为常数， 一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数， a≠０ 和有关概念，如二次项、一次项、 a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常 数项、二次项系数、一次项系数． 数项、二次项系数、一次项系数． • ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系. 量关系.
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程
3x =5x-1 (x+2)(x 1)=6
2
3 2－5 ＋1＝0 3x 5x 1＝ 5x＋ 1x2 ＋1 －8＝0 x－ 8＝
3 1
－5 1 0 0
1 －8 4 －4
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4-7x =0
－7x2 ＋4＝0 ＝ 7 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7 ＋4＝ 或7x2 － 4＝0 ＝ 7
看谁最精彩
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想一想:
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内涵与外延
例3： ： 的方程(k－ （1）关于 的方程 －3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ ）关于x的方程 － ＝ 当 ≠3 是一元二次方程． 时，是一元二次方程． （2）关于 的方程 2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2＝0, 的方程(k ）关于x的方程 － ＝
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上面的方程都是只含有一个未知数 的整式方程， 上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都 一个未知数 为常数, ０ 的形 可以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数 a≠０)的形 ＋ ＝ ， ， 为常数 这样的方程都可以叫做一元二次方程 一元二次方程． 式，这样的方程都可以叫做一元二次方程． • 什么是一元二次方程？ 什么是一元二次方程？ • 整式方程中都只含有一个未知数， 整式方程中都只含有一个未知数，并且整理后未知数的 最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程 一元二次方程。 最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。
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“行家”看“门 例1、下列方程哪些是一元二次方程 解: (1)、 (4) 、下列方程哪些是一元二次方程? 道”、
探索思考
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(1)7x2－6x＝0 ＝ (2)2x2－5xy＋6y＝0 ＋ ＝ 1 2－ － －1 ＝0 (3)2x 3x y2 (4) － ＝0 2 (5)x2＋2x－3＝1＋x2 － ＝ ＋
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独立 作业
知识的升华
习题3.1 11、P79习题3.1 1-2题;
祝你成功！
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结束寄语
下课了!
• 运用方程（方程组）解答相关的 运用方程（方程组） 实际问题是一种重要的数学思想 ——方程的思想. 方程的思想. 方程的思想 • 一元二次方程也是刻画现实世界 的有效数学模型. 的有效数学模型.
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想一想
培养能力之阵地
把方程(3x＋ 例２.把方程 ＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一 把方程 － 般形式,并写出它的二次项系数 并写出它的二次项系数、 般形式 并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 解 将原方程化简为： ． ：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) ＋ ＝ ＋ 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 ＋ ＝ 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x 32＝ 5 2 ＋ 36 x － 32＝0 常数项为 － 32 . 二次项系数为 5，一次项系数为36 ， 注意：二次项、 注意：二次项、二次项系 一次项、一次项系数、 数、一次项、一次项系数、 常数项都是包括符号的
下列方程是一元二次方程吗？ 下列方程是一元二次方程吗？ 5x2、3x3、 1、5x-7=0; 2、3x-2y=8; 3、6x2+7x=13; 1
• • •
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• 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 一般地,任何一个关于x ax２＋bx＋c＝０ 的形式,我们把ax２＋bx＋c＝０ ＋ ＝ 的形式,我们把 ＋ ＝ (a，b，c为常数 ０)称为一元二次方程的一般形 ， ， 为常数,a≠０ 称为一元二次方程的一般形 为常数 式， • 其中 ２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和 其中ax 分别称为二次项 分别称为二次项、一次项和 常数项， ， 分别称为二次项系数和 分别称为二次项系数 常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数 •
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗 可以为零吗？ 为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
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一元一次方程与一元二次方程区别与联系？
一元一次方程 一般式 相同点 ax+b=0 (a≠0） ）
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0） ）
整式方程， 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是 未知数最高次数是 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
± 是一元二次方程． 当 ＝-1 当k ≠±1 时，是一元二次方程．,当 k______ 是一元一次方程． 时，是一元一次方程．
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看谁眼力好！
(1).x 2 + x = 1 (2).x = 1 1 (3).x = x 2 (4).x − 3 x + 2 y = 0
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先看是不是 整式方程， 整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件
(5).x − 3 = ( x − 1)( x + 2)
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(6).ax + bx + c = 0
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(7).mx 2 = 0(m为不等于0的常数)
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独立 作业
知识的升华
一般形式 二次项 一次项 系 数 系 数 常数 项
把下列方程化为一元二次方程的形式， 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系 一次项系数和常数项： 数、一次项系数和常数项： 方
X＋7
x2＋(x＋7)2＝112 ＋
你能化简这个方程吗?
： 点C把线段 分成两条线段 和BC,且 把线段 分成两条线段AC和 且
AC BC , = 与 的比 AB AC 求AC与AB的比
A C B
解：
设AB=1 AC=x
AC BC = , 因为 AB AC
则BC=1-x 所以 AC2=AB·BC.
可得: 可得 x2=1-x
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回顾与思考
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一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程： 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (173-x)x=7140 即 x2 - 173x +7140 = 0 . 即 x2 +7x -36＝0. ＝ 2＋(x＋7)2＝112 x ＋ 2=1-x 即 x2 ＋x －1 ＝0. x