福建省闽侯县第四中学20172018学年高一上学期期中数学试题Word版含解析
2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|4},{1,2},{2,3}U x N x A B ，则()()U U C A C B =( )(A){0,4}(B){4}(C) {1,2,3}(D)2、下列函数中，既是偶函数，又在)0,(上为减函数的是( )(A)x y 2(B)x y (C)2x y (D)||lg x y 3、已知函数122x y ，当自变量]1,0[x 时，因变量y 的取值范围为( )(A)]2,1[(B)]1,0[(C)]3,2[(D)]2,0[4、已知函数x x x f 3)(，则函数)1(x f 的定义域为( )(A)1,4x x x (B)1,2x x x (C)0,2x x x (D)1,4x x x 5、函数1()1x a f x a x (0a 且1a )的图象恒经过定点( )(A)(1,1)(B)(1,2)(C)(1,3)(D)(0,2)6、用二分法求方程x x 2)1ln(的近似解时，可以取的一个区间是( )(A)(1,2)(B)(2,)e (C)(3,4)(D)(0,1)7、函数223()log ()f x x x 的单调减区间为( )(A) 1(,)2(B) 1(,1)2(C) 1(,)2(D) 1(0,)28、设集合(,),0A x y x R y ，B R ，点(,)x y 在映射:f A B 的作用下的象是2x y ，则对于B 中的数5，与之对应的A 中的元素不．可能．．是( )(A)(1,3)(B)2(log 3,2)(C)(0,5)(D)(2,1)9、在平面直角坐标下，函数21()22x xf x x x 的图象( )(A) 关于x 轴对称(B) 关于y 轴对称(C) 关于原点对称(D) 关于直线y x 轴对称。
(解析版)福建省闽侯县第四中学2018届高三上学期期中考
福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.）1. 设全集是实数集，已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.2. 已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】即的共轭复数对应的点位于复平面的第四象限.本题选择D选项.3. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.4. .我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，不规则几何体与三视图所对应的几何体的体积相同，根据三视图，可得该几何体是四棱柱，AH⊥平面ABCD，H∈AB，且该四棱柱的底面是长方形，长为BC=6，宽为AB=2，四棱锥的高为PH=4，其中，AH=2，如图所示.故它的体积为.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．5. .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依据程序框图进行循环运算：第一次第二次第三次第四次第五次跳出循环，输出本题选择B选项.点睛：利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断.6. 将函数（）的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象向右平移个单位，可得在上为增函数，解得，当时,ω取得最大值为.本题选择B选项.7. 已知实数，满足，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如下图所示.由得；当时，直线化为，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值，此时最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线与AC 平行，由直线AC的斜率，解得；综上，满足条件的.本题选择D选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．8. 若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，由题意知直线经过圆的圆心(−1,−1)，因而.时取等号.的最小值为3.本题选择A选项.9. .下列命题中，真命题的个数为①对任意的，，是的充要条件；②在中，若，则；③非零向量，，若，则向量与向量的夹角为锐角；④.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于①，若，则显然成立；若a，成立；若，成立；故对任意的a，b∈R，a>b是a|a|>b|b|的充要条件，故①正确；对于②，在△ABC中，若A>B，则a>b，又由正弦定理知，a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，故②正确；对于③,非零向量若,则向量与向量的夹角为锐角或0，故③错误；对于④,∵，；同理可得,；，故④正确。
福建省2017-2018学年高一上学期第二阶段(期中)考试数学试题+Word版含答案5
2017-2018学年第一学期第二阶段考试卷高一数学一、选择题（本大题共12小题每小题3分，共36分） 1. 下面四组函数中，()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ） A. (),f x x =()2g x =B. ()2,f x x =()22x g x x= C. (),f x x =()g x =(),f x x =()g x =2. 下列函数是偶函数的是 ( )A. []2,0,1y x x =∈ B. 12y x -= C. 223y x =- D. y x =3. 设{}21,P y y x x R ==-+∈,{}21xP x =>则（ ）A. P Q ⊆B. R C P Q ⊆C. Q P ⊆D. R Q C P ⊆4. 函数()()1lg 1f x x =++ ）A.()](1,00,2- B. [)](2,00,2- C. []2,2- D. ](1,2-5. 设()338xf x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈-内的近似解的过程中()()()10, 1.50, 1.250f f f <><，则方程的根落在区间 ( ) A.（1,1.25） B.（1.25,1.5） C.（1.5,2） D.不能确定6.定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{}{}1,2,0,2A B ==,则A B *的所有元素之和为 ( )A.0B. 6C.3D. 27.若11021511,,log 10,25a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则,,a b c 大小关系为（ ） A.a b c >> B. a c b >> C. c b a >> D. b a c >> 8.函数()()()log 2341a f x x a o a =-->≠且的图象恒过定点（ ） A.()1,0 B. ()1,4- C. ()2,0 D. ()2,4- 9.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间)4,+∞⎡⎣为增函数，则a 的取值范围（ ）A.](,3-∞- B.(),3-∞- C.()3,-+∞ D.[)3,-+∞10.已知函数()f x 与()g x 分别由表给出：若()()2g f x =时，则x =（ ） A. 4B. 3C. 2D. 111.若()f x 为偶函数，当0x >时，()2f x x x =+，则0x <时()f x 的解析式为（ ） A.()2f x x x =-- B.()2f x x x =-+ C.()2f x x x =- D.()2f x x x =+12.若实数,,a b c 满足12b a <<<，108c <<，关于x 的方程20ax bx c ++=（ ）A. 在区间（-1，0）内没有实数根B. 在区间（-1，0）内有两个不相等的实数根C. 在区间（-1，0）内有两个相等的实数根D.在区间（-1，0）内有一个实数根，在（-1，0）外有一个实数根二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.若幂函数(),y f x =的图象经过点()2,8, 则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是_________.14. 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <解集为 .15.若函数()()()()22,1,112,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，则若函数()()h x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围是 .16.若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是 .三．解答题（本大题共6小题，前5题每题8分，最后一题12分，共52分）17.设全集U R =，1,112xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}2log 1B x y x ==-（1）求A B（2）求()U C A B18.化简求值：（1）013134210.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭（2）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭19.已知()()()()log 1log 10,1a a f x x x a a =+-->≠且． （1）判断函数()f x 的奇偶性，并予以证明； （2）当1a >时求使()0f x >的x 的取值范围．20.已知函数()()02mf x m x =<-,讨论此函数在定义域上的单调性， 并用定义证明在(),2-∞的单调性。
2017-2018学年度第一学期期中考试数学试卷
2017--2018学年度第二学期高一数学期中试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知ABC ∆中，31sin ,2,3===B AC AB .则=C （ ）。
A.ο30 B.ο60 C.ο30或ο150 D.ο60或ο120 2 设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ba 11< Bb a 11> C 2a b > D 22a b > 3.已知数列{}n a 满足*112,10()n n a a a n N +=-+=∈，则此数列的通项n a 等于 ( ).A 21n + .B 1n + .C 1n - .D 3n -4. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A 090 B 060 C 0135 D 0150 5. 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-≤⎩≥≥，，．则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4 Ｂ．11Ｃ．12 Ｄ．14 6. 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值是（ ） A 10 B 10- C 14 D 14-7．在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程21280x x +-=的两个根，那么6a 的值为A ．－12B ．－6C ．12D ．68．△ABC 中，cos cos A a B b=，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 9.若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是：（ ）A ．4005 B ． 4006 C ．4007 D ．4008 10.在△ABC 中，若3a = 2b sin A , 则B 为（ ）A . 3πB . 6πC . 6π或65πD . 3π或32π 11 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目，把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的1份为( )A ．53 B ．56 C ．103 D ．11612.在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ）A ．12 B ．14 C ．15 D ．16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13 不等式24x ≥的解集是 .14.若a >b >c >1，则abc , ab , bc , ac 的从小到大的顺序是15一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o ，行驶４h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15o ，这时船与灯塔的距离为 km ．16．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
福建省闽侯县第四中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题高一数学（时间 120 分钟，满分 150 分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分）．1. 设集合或则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合或∴故选：C2. 已知集合若则的子集个数为（）A. 14B. 15C. 16D. 32【答案】C则P=M∪N={1，2，3，4}，∴P的子集有24=16个．故答案为：C．3. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由2cosx﹣1≥0，得cosx，解得：．∴函数的定义域为故选：B．4. 计算的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故选：B5. 已知向量与反向，则下列等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】向量与反向：=，=，故选：C6. 设为平行四边形对角线的交点，O 为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．7. 若点是所在平面内一点，且满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：则M为△ABC的重心，由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，3S△ABM=S△ABC，∴S△ABM：S△ABC=，故答案选：B．8. 已知全集，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】全集A={y|y=log2x，1＜x＜2}=（0，1），=（，+∞），则A∩B=（，1），故选：C．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.9. 已知幂函数的图像经过点，则下列正确的是（）A. B. （其中）C. D. （其中）【答案】D【解析】设幂函数f（x）=xα，其图象过点，∴2α==解得α=，∴f（x）=；∴f（x）在R递减，故选：D．10. 若的内角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.11. 设函数的最小正周期为，且图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】D【解析】函数的最小正周期为π，即：，∴ω=2．则f（x）=sin（2x+φ），向左平移个单位后得：sin（2x++φ）是奇函数，即+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，∴|φ|，则φ=．故得f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x﹣）．由对称中心横坐标可得：2x﹣=kπ，可得：x=，k∈Z．∴A，B选项不对．由对称轴方程可得：2x﹣=kπ+，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得．故选：D点睛：本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等，对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标；在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对而言”的原则.12. 已知是定义在R上的偶函数，且，若，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（3﹣x）=f（x），f（x﹣3）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0，∴f（﹣2）=0，∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0．即在区间（0，6）内，f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是：4．故选：B．点睛：本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断，由f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于0．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若非零向量，满足，，则与的夹角为__________．【答案】【解析】设向量的夹角为，由题意可得：，即与的夹角为120°.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14. 已知则__________．【答案】【解析】由可得：cos，∴ cos故答案为：15. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】由log0.9（2x﹣6）≥0，得0＜2x﹣6≤1，即3＜x．∴函数的定义域为．故答案为：．16. 设函数，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确的编号）①的最小正周期为；②在区间上单调递增；③取得最大值的的集合为④将的图像向左平移个单位，得到一个奇函数的图像【答案】①②④【解析】对于函数，由于它的周期为=π，故①正确．令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故f（x）在区间上单调递增，故②正确．令2x﹣=2kπ，求得x=kπ+，k∈z，故f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}，故③不正确．将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）=2sin2x 的图象，由于y=﹣2sin2x为奇函数，故④正确．故答案为：①②④．点睛：点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面直角坐标系中，点为原点，．(I)求的坐标及；(Ⅱ)设为单位向量，且，求的坐标【答案】（1）,（2），或【解析】试题分析：（I）利用向量的坐标运算直接求的坐标及；（II）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可．试题解析：（I）,(Ⅱ)设单位向量，所以，即又,所以即由，解得或者所以，或18. 已知函数．(I)求的最小正周期及对称中心坐标；(Ⅱ)求的递减区间．【答案】（1），对称中心坐标为.;（2）递减区间为（2）利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可．试题解析：（I），则的最小正周期，由，得即，的对称中心坐标为.;(Ⅱ)由，得，的递减区间为.19. 已知角终边上一点．(I)求的值：(Ⅱ)若为第三象限角，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用任意角的三角函数定义，求出角的正弦函数与余弦函数值，利用诱导公式化简，代入求解即可；（2）利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可．试题解析：因为为角终边上一点，所以，.=，==;(Ⅱ),又因为第三象限角，且，所以，则=点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.20. 已知的周长为，且(I)求边的长；(Ⅱ)若的面积为，求角的度数.【答案】（1）边的长为1；（2）【解析】试题分析：（1）由题中所给三角形周长,即为已知,又由结合正弦定理可化角为边得到关于边的关系式,由上述所得这两式,就可求得的值; (2)由三角形的面积公式,结合已知可以求得的值,结合余弦定理得,这样即可求出的值,又结合三角形中的范围,进而得到的值.试题解析：解：（1）由题意及正弦定理得：,,两式相减得. （6分）(2)由,得, （8分）由余弦定理得，,又,（14分）考点：1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角形面积公式21. 根据两角的和的正弦公式，有：①②由①+②得，③令，则，代入③得：(I)类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：；(Ⅱ)若的三个内角、、满足试判断的形状. 【答案】（1）见解析（2）直角三角形【解析】试题分析：解法一：(Ⅰ)因为，①，② 2分①-② 得. ③ 3分令有，代入③得. 6分(Ⅱ)由二倍角公式,可化为, 8分即. 9分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得. 11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形. 12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为， 8分因为A,B,C为的内角，所以，所以.又因为，所以,所以.从而. 10分又因为,所以，即.所以为直角三角形. 12分考点：两角和与差三角函数公式、二倍角公式点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等22. 已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值和实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）若且求实数的取值范围.【答案】（1）（2）增函数，见解析；（3）【解析】试题分析：（1）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（﹣x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；（2）先研究内层函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0转化为f （b﹣2）＞f（2﹣2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．试题解析：（I）因为是奇函数。
2017—2018学年第一学期高一期中考试数学试题及参考答案
2017--2018学年第一学期高一期中考试数学学科试题 试卷分值：160分 考试时间：120分钟一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若集合A={1，3}，B={0，3}，则A ∪B= ．2．计算：sin210°的值为 ．3．若扇形的半径为2，圆心角为，则它的面积为 ． 4、函数()11+=-x a x f ()1,0≠>a a 过定点 ．5、若一个幂函数)(x f 的图象过点)41,2(，则)(x f 的解析式为 ．6、已知a=20.3，b=20.4，c=log 20.3，则a ，b ，c 按由大到小排列的结果是 ．7、函数()()1log 13--=x x f 的定义域是 .8、已知点(4,)M x 在角α的终边上，且满足x <0，cos α=54，则tan α= ． 9、不等式03242<+-+x x 的解集为 ． 10、已知)0(51cos sin πααα<<=+，则=-ααcos sin _________． 11、关于x 的函数()()5342+-+=x a ax x f 在区间()2,∞-上是减函数，则a 的取值范围是 ．12、已知定义在R 上的函数()21,01,0x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩，满足对任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是 ． 13、已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，若()x f 在(]0,∞-上是减函数，且()02=f ，则()0<xx f 的x 的取值范围为 ． 14、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=)(,42)(,)(2m x m mx x m x x x f ,其中m>0，若存在实数b,使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根,则m 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣8≤0}，集合[]R m m m B ∈-=,3（1）若A ∩B=[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）（1）（2）（lg5）2+lg2•lg50．17．（本小题满分14分）已知y=f （x ）（x ∈R ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）求f （x ）的解析式；（2）若不等式f （x ）≥mx 在1≤x ≤2时都成立，求m 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数f （x ）=为奇函数． （1）求a 的值；（2）证明：f （x ）是R 上的增函数；（3）解不等式：()x f 2log ≤53．19．（本小题满分16分）如图，在长为10千米的河流OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数()02≠++=a c bx ax y ，x ∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A （4，4）；观光带的后一部分为线段BC ．（1）求函数为曲线段OABC 的函数()[]10,0,∈=x x f y 的解析式；（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ，PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？20．（本小题满分16分）若函数()x f 和()x g 满足：①在区间[a ，b ]上均有定义；②函数()()x g x f y -=在区间[a ，b ]上至少有一个零点，则称()x f 和()x g 在区间[a ，b ]上具有关系G ．（1）若()()x x g x x f -==3,lg ，试判断()x f 和()x g 在[1，4]上是否具有关系G ，并说明理由；（2）若()122+-=x x f 和()2mx x g =在[1，4]上具有关系G ，求实数m 的取值范围．2017--2018学年第一学期高一期中考试数学学科试题(答案)一、填空题1、{0，1，3}；2、﹣21；3、34π； 4、()2,1； 5、()2-=x x f ； 6、b ，a ，c ．； 7、(]4,1； 8、-43； 9、()3log ,02； 10、57； 11、[0, 23]； 12、30≤<m ； 13、()()2,02,⋃-∞-； 14、()+∞,3 二、解答题15． 【解答】解：（Ⅰ）∵A={x |（x +2）（x ﹣4）≤0}==[﹣2，4]———3分 ∵A ∩B=[2，4]，∴，解得m=5————————————7分（ II ）由（Ⅰ）知C R B={x |x ＜m ﹣3，或x ＞m }，————————10分∵A ⊆C R B ，∴4＜m ﹣3，或﹣2＞m ，解得m ＜﹣2，或m ＞7．故实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）———————14分16． 【解答】解：（1）原式=﹣+3+1———————3分=4﹣+1+3+1 =9﹣．———————7分 （2）原式=lg 25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2———————10分=lg5+lg2=1．———————14分17、【解答】解：（1）当x ＜0时，有﹣x ＞0，∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）=f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）=x 2+2x ，--------4分 ∴f （x ）=．------------------------------------------6分（2）由题意得x 2﹣2x ≥mx 在1≤x ≤2时都成立，即x ﹣2≥m 在1≤x ≤2时都成立，------------------------------------10分即m ≤x ﹣2在1≤x ≤2时都成立．而在1≤x ≤2时，（x ﹣2）min =﹣1，∴m ≤﹣1．--------------------------14分 18．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为R ．----------------------2分∵f （x ）为奇函数，∴f （-x ）= - f(x)，∴a=1．-----------------------------5分（2）证明：易得f （x ）=1﹣122+x 设x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1＜x 2，∴f （x 1）﹣f （x 2）==．--------------8分∵， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0．∴f （x 1）＜f （x 2）．∴f （x ）为R 上的增函数．-------------------------------------------------11分（3）令f （x ）=，解得x=2．--------------------------------------13分∴f （log 2x ）≤即f （log 2x ）≤f （2）．∵f （x ）为R 上的增函数，∴log 2x ≤2．-------------------------------------------------------15分∴0＜x ≤4．——————————————————16分19．【解答】解：（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为A （4，4）， 所以，解得所以，当x ∈[0，6]时，()x x x f 2412+-=---------------（3分）因为后一部分为线段BC ，B （6，3），C （10，0），当x∈[6，10]时，()21543+-=xxf---------------（6分）综上，---------------（8分）（2）设OM=t（0＜t≤2），则由，得，所以点---------------（11分）所以，绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=---------------（13分）当t=1时，所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长---------------（16分）20．【解答】解：（1）它们具有关系G———————2分令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，∵h（1）=﹣2＜0，h（4）=lg4+1＞0；故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．———————6分（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，———————9分当m＞0时，h（x）=；当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故；故m∈[，3]；———————11分当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；———————13分若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；———————15分综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．———————16分。
福建省福州市闽侯三中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题35，满分58分）1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（）A．M B．N C．{1，4，5}D．{6}2．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1）D．[9，+∞）3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线4．已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（）A．B．C．1 D．25．设{a n}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=（）A．5 B．1+lg5 C．2 D．106．已知|=2，||=1，，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．给出下列四个命题：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等；其中真命题的为（）A．①③B．②④C．②③D．③④8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值是（）A．11 B．12 C．13 D．149．6名志愿者选4人去“”鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（）A．60 B．70 C．80 D．9010．在△ABC中，“”，是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知函数f（x）=2sinxcos|x|（x∈R），则下列叙述错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是奇函数C．f（x）在[0，1]上是增函数D．f（x）是以π为最小正周期的函数12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；②f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；④f（x）+5=0的任一实根小于于f（x）﹣2=0的任一实根；其中正确命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是．14．（2x+1）8展开式中的中间项系数为．15．过点P（3，0）的直线l交圆C：x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则的最小值为．16．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是．（请写出所有符合条件的序号）三、解答题17．已知f（x）=sin2x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）的图象在y轴右边的第一个对称中心的坐标．18．某车间某两天内，每天都生产n件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品，质检部每天要从生产的产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．已知第一天通过检查的概率为．（1）求n的值；（2）求两天都通过检查的概率；（3）求两天中至少有一天通过检查的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的大小；（3）求C点到平面PDB的距离．20．已知数列{a n}满足a n=2a n+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且a1=5．﹣1（1）求a2，a3的值；（2）若数列为等差数列，请求出实数λ；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和为S n．21．设函数y=f（x）的定义域D，若对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，则称函数y=f（x）为“storm”函数．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1的图象为曲线C，直线y=kx﹣1与曲线C相切于（1，﹣10）．（1）求f（x）的解析式；（2）设0＜m≤2，若对x∈[m﹣2，m]，函数g（x）=为“storm”函数，求实数m的最小值．22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题35，满分58分）1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（）A．M B．N C．{1，4，5}D．{6}【考点】集合的含义．【分析】利用新定义，欲求集合N﹣M，即找属于N但不属于M的元素组成的集合，由已知集合M，N可得．【解答】解；∵A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴N﹣M={x|x∈N且x∉M}，又∵M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，∴N﹣M={6）故选D2．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，9]C．（0，1）D．[9，+∞）【考点】反函数．【分析】利用反函数的定义域就是原函数的值域，转化为求原函数的值域，再利用单调性求出原函数的值域．【解答】解：函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域就是函数f（x）=3x（0＜x≤2）的值域，由函数f（x）在其定义域内是单调增函数得1＜f（x）≤9，故选B．3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】根据题意可得PM|﹣|PN|＜|MN|，利用双曲线的定义，即可得到动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．【解答】解：∵M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3∴|PM|﹣|PN|＜|MN|∴动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．故选：C．4．已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（）A．B．C．1 D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设正方体的棱长为x，利用球的内接正方体的对角线即为球的直径、球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：设正方体的棱长为x，则π=4π，解得x=，故选：A．5．设{a n}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=（）A．5 B．1+lg5 C．2 D．10【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：{a n}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=lg（a1•a2•…•a9•a10）=lg（a5a6）5=5．故选：A．6．已知|=2，||=1，，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出答案．【解答】解：|=2，||=1，，∴•﹣=0，即2×1×cosθ﹣12=0，解得cosθ=，又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角为60°．故选：C．7．给出下列四个命题：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等；其中真命题的为（）A．①③B．②④C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于①，如果一条直线垂直于一个平面内的任意直线，那么这条直线与这个平面垂直，故错；对于②，因为垂直同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于③，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α，故正确；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补，故错；【解答】解：对于①，如果一条直线垂直于一个平面内的任意直线，那么这条直线与这个平面垂直，故错误；对于②，因为垂直同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于③，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α，故正确；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补，故错误；故选：C．8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值是（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（），此时z=2×=5+6=11，故选：A．9．6名志愿者选4人去“”鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（）A．60 B．70 C．80 D．90【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意可考虑利用分类计数原理分为：①乙没选中，②乙被选中2类考虑进行求解．【解答】解：若乙没选中，则此时的安排方法有C52C32种，若乙被选中，则此时的安排方法有C51C42种，则所有安排方法有方法有C52C32+C51C42=60故选A．10．在△ABC中，“”，是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量数量积的运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，“”⇔C为锐角，根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵“”⇔⇔cosC＞0⇔C为锐角，故，“”，是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B．11．已知函数f（x）=2sinxcos|x|（x∈R），则下列叙述错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是奇函数C．f（x）在[0，1]上是增函数D．f（x）是以π为最小正周期的函数【考点】三角函数的最值．【分析】由三角函数的倍角公式及诱导公式化简已知函数，再由y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：f（x）=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）max=1，故A正确；f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），函数为减函数，故B正确；当0≤x≤1时，0≤2x≤2，f（x）先增后减，故C错误；由周期公式可得T=，故D正确．故选：C．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；②f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；④f（x）+5=0的任一实根小于于f（x）﹣2=0的任一实根；其中正确命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+5=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；故选：A．二、填空题13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是70．【考点】频率分布直方图．【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于110cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．【解答】解：70由图可知：底部周长小于110cm的株树为：100×（0.01×10+0.02×10+0.04×10）=70，故答案为70．14．（2x+1）8展开式中的中间项系数为1120．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得它的中间为第5项，再利用二项展开式的通项公式，求得中间项系数．【解答】解：（2x+1）8展开式中共有9项，故它的中间为第5项，即T5=•（2x）4，故中间项系数为=1120，故答案为：1120．15．过点P（3，0）的直线l交圆C：x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则的最小值为﹣4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设∠ACB=θ，则由数量积的定义可得=||||cosθ=4cosθ，故而当θ=180°时取得最小值．【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆C的半径为2，即||=||=2，设∠ACB=θ，则=2×2×cosθ=4cosθ，∴当θ=180°时，取得最小值﹣4．故答案为﹣4．16．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是①③．（请写出所有符合条件的序号）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据新定义进行计算后判断，弄清开集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界【解答】解：对于①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故①不是开集．对于②：A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故②是开集；对于③：A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故该集合不是开集；对于④：A=表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，故该集合是开集；故答案为：①③．三、解答题17．已知f（x）=sin2x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）的图象在y轴右边的第一个对称中心的坐标．【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据正弦函数的图象及性质，令，求解对称坐标方程，根据k的取值，可得y轴右边的第一个对称中心的坐标．【解答】解：函数f（x）=sin2x．化简可得：==sin（2x）∵2x∈[，]是单调增区间，即，可得：，解得：，∴函数的单调增区间为．（2）由（1）可得f（x）=sin（2x），∵，k∈Z，化简得，k∈Z，故得：，k∈Z，当k=1时，，∴函数在y轴右边的第一个对称中心的坐标为．18．某车间某两天内，每天都生产n件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品，质检部每天要从生产的产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．已知第一天通过检查的概率为．（1）求n的值；（2）求两天都通过检查的概率；（3）求两天中至少有一天通过检查的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）依题意得：，由此能求出n的值．（2）记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，A=A1A2，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出两天都通过检查的概率．（3）利用对立事件概率计算公式能求出两天中至少有一天通过检查的概率．【解答】解：（1）依题意得：，解得n=10．（2）记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，第二天通过检查的概率，记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，∴两天都通过检查的概率．（3）两天中至少有一天通过检查的概率为：．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的大小；（3）求C点到平面PDB的距离．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）推导出PO⊥AD，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的大小．（3）求出C（﹣1，2，0），=（﹣1，2，﹣），利用向量法能求出C点到平面PDB的距离．【解答】证明：（1）∵侧面PAD是正三角形，O为棱AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，∴以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），=（1，0，﹣），=（1，2，﹣），=（﹣1，0，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（3，0，），设平面PBD的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（﹣3，3，），设二面角A﹣PD﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴．∴二面角A﹣PD﹣B的大小为arccos．（3）C（﹣1，2，0），=（﹣1，2，﹣），∴C点到平面PDB的距离d===．20．已知数列{a n}满足a n=2a n+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且a1=5．﹣1（1）求a2，a3的值；（2）若数列为等差数列，请求出实数λ；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和为S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）直接由数列递推式结合数列首项求得a2，a3的值；（2）由数列为等差数列可得，求解可得λ；（3）由（2）求得数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式，再由错位相减法求和．【解答】解：（1）∵，∴a1=5，，得a2=13，，得a3=33；（2）∵为等差数列，∴，即，得λ=32﹣33=﹣1；（3）由（2）得，∴d=1，则，∴，令，，∴，∴，∴．21．设函数y=f（x）的定义域D，若对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，则称函数y=f（x）为“storm”函数．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1的图象为曲线C，直线y=kx﹣1与曲线C相切于（1，﹣10）．（1）求f（x）的解析式；（2）设0＜m≤2，若对x∈[m﹣2，m]，函数g（x）=为“storm”函数，求实数m的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出k的值，得到关于b，c的方程，求出函数的解析式即可；（2）问题等价于f（x）max﹣f（x）min≤16m，根据函数的单调性分别求出f（x）的最大值和f（x）的最小值，从而得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，又∵（1，﹣10）在直线y=kx﹣1上，∴k=﹣9，∴，∴，∴f（x）=x3﹣12x2+1，（2）已知条件等价于在[m﹣2，m]上，f（x）max﹣f（x）min≤16m．∵f（x）在[﹣2，2]上为减函数，且0＜m≤2，∴[m﹣2，m]⊂[﹣2，2]，∴f（x）在[m﹣2，m]上为减函数，∴，，∴，得m≤﹣2或，又0＜m≤2，∴．22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由，，能导出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线BD的方程为，，△=﹣8b2+64＞0，设d为点A到直线BD：的距离，由，故，由此知当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB==，由此能导出即k AD+k AB=0．【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2∴a=2，，，∴．（Ⅱ）设直线BD的方程为，∴，∴△=﹣8b2+64＞0，①，②∵，设d为点A到直线BD：的距离，∴，∴，当且仅当b=±2时取等号．因为±2，所以当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB==，*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，即k AD+k AB=02016年12月16日。
2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．32．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．25．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x37．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．ex+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）11．已知函数f（x）定义在实数集R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数aa）+f（log a）≤2f（﹣1），则a的取值范围是（）满足f（log2A．[2，+∞]∪（﹣∞，] B．（0，]∪[2，+∞）C．[，2] D．（0，]12．已知函数，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为（）A．3个B．2个C．0个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．A）∩B；（1）求A∪B，（∁R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．19．（12分）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．20．（12分）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．21．（12分）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）22．（12分）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高一（上）期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．3【考点】子集与真子集．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．【点评】本题考查子集的概念和应用，解题时要熟记若集合A中有n个元素，则集合A中有2n个子集，有2n﹣1个真子集．2．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：∵B={x|2x＞4}={x|x＞2}，又A={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及指数不等式的解法，是基础的计算题．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．2【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=9，则r=3，l=3，则对应的扇形的面积S=lr=×3=，故选A．【点评】本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．5．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）==|x|（x≠0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数f（x）==x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；对于D，函数f（x）==x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x﹣1为奇函数，在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．B．y=x2是偶函数，当x＞0时，函数为增函数，不满足条件．C．y=lgx定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，在（﹣∞，+∞）上是增函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质．7．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．【考点】函数的图象．【分析】先由图象可求得直线的方程，又函数的图象过点（0，2），将其坐标代入可得c值，从而即可求得a+b+c的值．【解答】解：由图象可求得直线的方程为y=2x+2，（x+）的图象过点（0，2），又函数y=logc将其坐标代入可得c=，所以a+b+c=2+2+=．故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．e【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据y=f（x）与y=e x的图象关于直线y=x对称，求出f（x），再根据y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，求出y=g（x），再列方程求a的值即可．【解答】解：函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=lnx，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，∴y=﹣lnx，∴g（a）=﹣lna=1，a=．故选：C．【点评】本题考查了函数图象对称的应用问题，是基础题目．x+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，分别求三个函数的零点，判断零点的范围，再判断函数的单调性，确定函数的零点的唯一性，从而得到结果．【解答】解：函数f（x）=2x+x，f（﹣1）=﹣1=﹣＜0，f（0）=1＞0，可知函数的零点a ＜0；令g（x）=x﹣3=0得，b=3；函数h（x）=logx+x=0，h（）=﹣1+=﹣＜0，h（1）=1＞0，2∴函数的零点满足＜c＜1，∵f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=logx+x在定义域上是增函数，2∴函数的零点是唯一的，则a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查的重点是函数的零点及个数的判断，基本初等函数的单调性的应用，解题的关键是利用零点存在定理，确定零点的值或范围．10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，⇒函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，⇒f（）＜f（）＜f（0），及f（）＜f（）＜f（2）．【解答】解：函数f（x）定义在实数集R上，且满足f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）．又∵当x≥1时，f（x）=2x，∴函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，∴f （）＜f （）＜f （0），及f （）＜f （）＜f （2）．故选：C ．【点评】本题考查了函数的对称性及单调性，属于中档题．11．已知函数f （x ）定义在实数集R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），则a 的取值范围是（ ）A ．[2，+∞]∪（﹣∞，]B ．（0，]∪[2，+∞）C ．[，2]D ．（0，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围．【解答】解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （log a ）=f （﹣log 2a ）=f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （loga ）≤2f （﹣1），为：f （log 2a ）≤f （1）， 因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，所以|log 2a|≥1，解得0＜a ≤或a ≥2，则a 的取值范围是（0，]∪[2，+∞）故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．12．已知函数，则函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．0个 D ．4个【考点】函数的图象．【分析】函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数即为f[f （x ）]﹣1=0的解得个数，根据函数解析式的特点解得即可，【解答】解：y=f[f （x ）]﹣1=0，即f[f （x ）]=1，当f（x）+1=1时，即f（x）=0时，此时log2x=0，解得x=1，或x+1=0，解得x=﹣1，当log2f（x）=1时，即f（x）=2时，此时x+1=2，解得x=1（舍去），或log2x=2，解得x=4，综上所述函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为3个，故选：A．【点评】此题考查的是函数于函数图象交点个数的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，应满足，即，解得x≥﹣1且x≠1；所以函数f（x）的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数的性质进行求解．【解答】解：令x﹣1=0得x=1，此时f（1）=1﹣2=﹣1．故函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数函数过定点，是解决本题的关键．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是[1，2）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣x2+2x＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t 的减区间．再利用二次函数的性质，得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+2x＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为（0，2），则f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t的减区间．利用二次函数的性值可得令t=﹣x2+2x在定义域内的减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα、cosα的值，可得sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵tanα==，，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sinα﹣cosα=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•扶余县校级期中）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x ≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．（1）求A∪B，（∁A）∩B；R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）直接利用并集、补集和交集的概念求解；（2）由C∩A=C，∴C⊆A，然后分C为空集和不是空集分类求解a的范围，最后取并集．【解答】解：（1）A∪B={x|1≤x≤8}，∁R A═{x|x≥5或x＜1}，（∁RA）∩B═{x|5≤x≤8}，（2）∵A∩C=C，∴C⊆A当C=∅时 a+3＜﹣a解得a≤﹣当C≠∅时解得：﹣综上所述：a≤﹣1【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系，解答的关键是端点值的取舍，是基础题．18．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）利用诱导公式即可化简求值得解．（2）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcosα的值，即可化简所求计算得解．【解答】解：（1）f（α）=+cosα=sinα+cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（α）=sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴+==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断；对数函数的图象与性质．【分析】（1）f（x）为奇函数，结合对数的运算性质和奇偶性的定义，可得答案．（2）根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可得f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得答案．【解答】解：（1）f（x）为奇函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）证明如下：因为，定义域为（﹣1，1）关于原点对称﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣f（﹣x）=，∴f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）令u==﹣1为（﹣1，1）上的减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由复合函数的单调性可知f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得：＜m＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，难度中档．20．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可．【解答】解：（1）对称轴x=，且图象开口向上．若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，则满足≤2或≥4，解得：m≤5或m≥9；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，则只需：x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＞2x﹣9在区间[﹣1，1]恒成立，即x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2其图象的对称轴为直线x=，且图象开口向上①当≥1即m≥1时，h（x）在[﹣1，1]上是减函数，=h（1）=2＞0，所以h（x）min所以：m≥1；②当﹣1＜＜1，即﹣3＜m＜1，函数h（x）在顶点处取得最小值，=h（）=m+2﹣＞0，解得：1﹣2＜m＜1；即h（x）min③当≤﹣1即m≤﹣3时，h（x）在[﹣1，1]上是增函数，所以，h（x）min=h（﹣1）=2m+4＞0，解得：m＞﹣2，此时，m∈∅；综上所述：m＞1﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．21．（12分）（2014秋•增城市期末）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【考点】指数函数的实际应用．【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．22．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x ﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（e x+1）﹣ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）﹣f（x）=0，则ln（e﹣x+1）+ax﹣ln（e x+1）+ax=0，ln（e x+1）﹣x+2ax﹣ln（e x+1）=0，则（2a﹣1）x=0，即2a﹣1=0，解得a=．若g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．则g（0）=0，即1﹣b=0，解得b=1；（2）∵b=1，∴g（x）=e x﹣e﹣x，则g（x）单调递增；（3）由（II）知g（x）单调递增；则不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，等价为f（x）＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，即ln（e x+1）﹣x＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，则m＜ln（e x+1）+x，设m（x）=ln（e x+1）+x，则m（x）在[1，+∞）上单调递增。
福建省福州市闽侯三中2017-2018学年高三上学期期中考试数学理试卷 Word版含解析
2017-2018学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣1}B．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁R A）∩B={﹣1}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C．D．3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x4．已知两个非零向量，满足•（﹣）=0，且2||=||，则＜，＞=（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C．D．6．设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．127．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．9．实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．810．已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．不能确定11．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种12．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0二、填空题13．已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．14．已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+3，则S4=．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a1=0，a n=a n+2+1+1（1）求证数列{}是等差数列，并求出a n的通项公式；（2）若b n=，求数列{b}的前n项的和T n．18．（12分）已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．19．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2016•沈阳一模）设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣1}B．（∁R A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁R A）∩B={﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合A，根据补集和交集以及并集的运算性质分别判断即可．【解答】解：根据对数函数的定义，得x＞0，∴集合A={x|x＞0}，∴A∩B={x|x＞0}∩{﹣1，1}={1}，A错误；（∁R A）∪B={x|x≤0}∪{﹣1，1}={x|x≤0或x=1}，B错误；A∪B={x|x＞0}∪{﹣1，1}={x|x＞0或x=﹣1}，C错误；（∁R A）∩B={x|x≤0}∩{﹣1，1}={﹣1}，D正确；故选：D．【点评】本题考察了集合的运算性质，考察对数函数的定义域，是一道基础题．2．（2016•大庆二模）复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（2016•沈阳一模）下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x|C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断．【解答】解：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，C由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y'=2x ln2+2﹣x ln2＞0），故选C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．（2016•蚌埠三模）已知两个非零向量，满足•（﹣）=0，且2||=||，则＜，＞=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，•（﹣）=0，则•=•，即||2=•，结合2||=||，将其代入cos＜，＞=中可得cos＜，＞的值，进而可得＜，＞的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，•（﹣）=0，则•=•，即||2=•，又由2||=||，则cos＜，＞===；即＜，＞=60°；故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的运算，关键是5．（2016•泉州校级模拟）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．6．（2016•沈阳一模）设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式可得：a n=﹣2n+11，可见{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，再利用前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a2=7，a4=3，∴，解得d=﹣2，a1=9．∴a n=9﹣2（n﹣1）=﹣2n+11，∴数列{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，于是，，，故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2016•江西模拟）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：不妨令该函数解析式为y=Asin（ωx+ϕ），由图知A=1，=，于是，即，因是函数减时经过的零点，于是，k∈Z，所以ϕ可以是，故选：C．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．8．（2016•沈阳一模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算s和n的值，直到n＞2016运行结束，输出此时的s的值即为答案．【解答】解：由框图知输出的结果为：，因为函数的周期是6，所以=336×0=0．故选：B．【点评】本题考查了程序框图．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，要按照流程图中的运行顺序进行求解是关键．属于基础题．9．（2016•沈阳一模）实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【专题】对应思想；数形结合法；不等式．【分析】根据题意，作出不等式组的可行域，令m=y﹣x，分析可得m的取值范围，而z=|x﹣y|=|m|，分析可得z的最大值，即可得答案．【解答】解：依题画出可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m=y﹣x，则m为直线l：y=x+m在y轴上的截距，由图知在点A（2，6）处m取最大值是4，在C（2，0）处最小值是﹣2，所以m∈[﹣2，4]，而z=|x﹣y|=|m|，所以z的最大值是4，故选：B．【点评】本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域．10．（2016•郑州三模）已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣ B．C．﹣D．不能确定【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则•=+=﹣=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．11．（2016•沈阳一模）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论；转化法；排列组合．【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3×4=12种第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．那共有：4×1=4种，第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那共有：4×3=12种，综上所述：总共有：12+4+12=28种分法，故选：B．【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题．12．（2016•江西模拟）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．【解答】解：函数y=x2的导数为y′=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（）=2﹣ln2﹣1＜0，f（）=3﹣ln2﹣1＞0，则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（，）．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．二、填空题13．（2016•沈阳一模）已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α=．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由sinα﹣cosα=﹣，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：由sinα﹣cosα=﹣，两边平方可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=，化为1﹣sin2α=，则sin2α=．故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题．14．（2016•沈阳一模）已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得x A=．由于PA⊥l，可得x P=，y P=，再利用|PF|=|PA|=y P+1即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴x A=．∵PA⊥l，∴x P=，y P=，∴|PF|=|PA|=y P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．15．（2016•沈阳一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+3，则S4=66．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2S n+3，∴a n=2S n﹣1+3（n≥2），可得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，n≥2，∴数列{a n}从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5，∴=66．故答案为：66．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2016•桂林模拟）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】抽象函数及其应用；函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．【点评】此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．三、解答题=a n+2+1 17．（12分）（2016秋•闽侯县校级期中）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1（1）求证数列{}是等差数列，并求出a n的通项公式；（2）若b n=，求数列{b}的前n项的和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．=a n+2+1=﹣1，【解答】（1）证明：由a n+1∴﹣=1，故数列{}是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列．∴=1+（n﹣1）=n，∴a n=n2﹣1．（2）解：b n==（n+1）•2n，∴数列{b}的前n项的和T n=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，2T n=2×22+3×23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，∴﹣T n=4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2+﹣（n+1）•2n+1，可得T n=n•2n+1．【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•沈阳一模）已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1与平面B1EC的交线；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）方法1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．方法2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】解：（Ⅰ）连接BC1交B1C于M，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示；…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体AC1中，所以M为BC1的中点，又E为D1C1的中点所以在△D1C1B中EM是中位线，所以EM∥BD1，…（6分）又EM⊂平面B1EC，BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC；…（8分）（Ⅲ）因为在长方体AC1中，所以AD1∥BC1，平面ABD1即是平面ABC1D1，过平面B1EC上点B1作BC1的垂线于F，如平面图①，因为在长方体AC1中，AB⊥平面B1BCC1，B1F⊂平面B1BCC1，所以B1F⊥AB，BC1∩AB=B，所以B1F⊥平面ABD1于F．过点F作直线EM的垂线于N，如平面图②，连接B1N，由三垂线定理可知，B1N⊥EM．由二面角的平面角定义可知，在Rt△B1FN中，∠B1NF即是平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的平面角．因长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，在平面图①中，，…（10分），，C1E=1，在平面图②中，由△EMC1相似△FMN1可知==，所以tan∠B1NF==，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为arctan2．…（12分）空间向量解法：（Ⅰ）见上述．…（4分）（Ⅱ）因为在长方体AC1中，所以DA，DC，DD1两两垂直，于是以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AD=AB=2，AA1=1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以，，，…（6分）令平面B1EC的一个法向量为所以，，从而有，，即，不妨令x=﹣1，得到平面B1EC的一个法向量为，而，所以，又因为BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，令平面ABD1的一个法向量为，所以，，从而有，，即，不妨令x=1，得到平面ABD1的一个法向量为，…（10分）因为=．…（11分）所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为．…（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用几何法以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大．19．（12分）（2016•沈阳一模）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，建立方程组，即可求m与n的值；（2）确定学分X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望【解答】解：（1）由题意，，m＞n∴m=，n=；（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．【点评】本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．20．（12分）（2013•南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）∴．∴a2=5．…（4分）∴椭圆C的方程为．…（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．…（7分）将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．…（8分）∴．…（9分）又∵．（11分）∴．…（12分）【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．21．（12分）（2016•宁城县一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx ﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，＞0，即，所以．于是只须：g（x）极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•衡水校级二模）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．（10分）【点评】本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•汉中二模）已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…（2分）由得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…（4分）（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d==…（6分）由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC=2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…（10分）【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的运算和转化能力．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•汉中二模）设函数f（x）=|2x﹣|+|2x+m|（m≠0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2；。
【真题】2018年福建省福州市闽侯一中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．（5分）已知d为常数，p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．96．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．7．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]10．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）设f（x）=，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．[0，2]D．[1，+∞）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4bsinA=a，若a，b，c成等差数列，且公差大于0，则cosA﹣cosC的值为．14．（5分）已知，则二项式展开式中的常数项是．15．（5分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为．16．（5分）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．（I）若BD=，求角C；（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．18．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A）＞0，ω＞0，﹣＜φ＜的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，其中|BC|=．（I）求函数f（x）的解析式；（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围．19．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}中各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，数列{b n}的公比．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n a n•b n}的前2n项的和．20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（1）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（2）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0））处的切线平行，求实数x0的值；（2）若∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．2017-2018学年福建省福州市闽侯一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），∴A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}，故选：A．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1 又解得：T=π 则：ω=2 当x=，f （）=sin （+φ）=0解得：所以：f （x ）=sin （2x +）要得到g （x ）=sin2x 的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A ．4．（5分）已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n +2﹣a n +1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：p ：对于任意n ∈N *，a n +2﹣a n +1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p ：∃n ∈N *，a n +2﹣a n +1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列， 由￢p ⇒￢q ，即a n +2﹣a n +1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *，使得a n +2﹣a n +1≠d ， 即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A．5．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解法一：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9解法二：S6=（）×6=12a7=S7﹣S6=9故选D6．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选：D．7．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．另解：由2++=，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得=k+（1﹣k）=k+（1﹣k）t=，∴k=，（1﹣k）t=，解得t=．故选：B．8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选：C．9．（5分）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若函数f（x）在R上是单调递增函数，则，解得：c≥，a＞0，故≥，可令2b﹣3a=t（t＞0），可得b=，==（18++）≥×（18+18）=3，当且仅当9a=2b﹣3a即b=6a时“=”成立，此时的最小值是3，故选：A．11．（5分）设f（x）=，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．[0，2]D．[1，+∞）【解答】解：当x1∈[0，2]，函数f（x）=，则f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1，当x在（0，1）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递增；当x在（1，2）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，）上单调递减；所以：当x=1时，f（x）取得最大值为1．当x=0时，f（x）取得最小值为0．故得函数f（x）的值域M∈[0，1]．当x0∈[0，2]，∵a＞0函数g（x）=ax+3﹣3a在其定义域内是增函数当x=0时，函数g（x）取得取得最小值为：3﹣3a．当x=2时，函数g（x）取得取得最大值为：3﹣a．故得函数f（x）的值域N∈[3﹣3a，3﹣a]．∵M⊆N，∴，解得：1≤a≤2．故选：B．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4bsinA=a，若a，b，c成等差数列，且公差大于0，则cosA﹣cosC的值为．【解答】解：在△ABC中，∵4bsinA=a，由正弦定理可得：4sinBsinA=sinA，sinA≠0，解得sinB=．∵a，b，c成等差数列，且公差大于0，∴2b=a+c，A＜B＜C．∴B为锐角，cosB==．∴sinA+sinC=2sinB=．设cosA﹣cosC=m＞0，平方相加可得：2﹣2cos（A+C）=，∴2+2cosB=，∴m2=，解得m=．故答案为：．14．（5分）已知，则二项式展开式中的常数项是240．【解答】解：=sinx=2，则二项式=展开式的通项公式为，令，求得r=4，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．故答案为：240．15．（5分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为．【解答】解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∴∠EDF就是异面直线AC与DE所成的角（或所成角的补角）．设AP=BC=2，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，∴由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，EF=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，DE=，∴cos∠EDF===，∴异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．16．（5分）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，得到y=2sin（2x++Φ）的图象；∵对应的函数是奇函数，∴+Φ=kπ，k∈Z，即Φ=kπ﹣，∴Φ=﹣，即f （x）=2sin（2x﹣）．∵函数，关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即2sin（2x﹣）+（2+）cos2x=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin2x+cos2x=﹣1 在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin（2x+θ）=﹣1（其中，cosθ=，sinθ=，θ为锐角）在[0，π）内有两个不同的解α，β，即方程sin（2x+θ）=﹣在[0，π）内有两个不同的解α，β．∵x∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin（2α+θ）=﹣，sin（2β+θ）=﹣，∴sinθ=﹣sin（2α+θ）=﹣sin（2β+θ），∴2α+θ=π+θ，2β+θ=2π﹣θ，∴2α﹣2β=﹣π+2θ，α﹣β=θ﹣，∴cos（α﹣β）=cos（θ﹣）=sinθ=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．（I）若BD=，求角C；（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（I）在△ABD中，由余弦定理得，cosA==﹣．又0＜A＜π，∴A=．∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴C=π﹣A=．（II）因为BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=5﹣4cosA，且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos（π﹣A）=25+24cosA，∴cosA=﹣．又0＜A＜π，∴sinA==．=S△ABD+S△CBD=AB•AD•sinA+CB•CB•sin（π﹣A）=2．∴S△BCD18．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A）＞0，ω＞0，﹣＜φ＜的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，其中|BC|=．（I）求函数f（x）的解析式；（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围．【解答】解（Ⅰ）由图象可得：f（x）的周期T=[﹣（﹣）]=π，即：=π得ω，…（2分）又由于B（﹣，﹣A），C（，A），∴|BC|==，∴A=2，…（4分）又将C（，2）代入f（x）=2sin（2x+φ），2sin（2×+φ）=2，∵﹣＜φ＜解得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），…（6分）（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A﹣）=，∴2A﹣=或2A﹣=，解得A=或A=（舍去），…（8分）正弦定理===得：b+c=（sinB+sinC）=[sinB+sin（B+）]=4sin（B+），△ABC 是锐角三角形，∴B+C=，0＜B＜，0＜C＜，∴＜B＜，＜B+＜．…（10分）∴2＜b+c≤4，∴求△ABC周长的取值范围为（2+2，6]．…（12分）19．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}中各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，数列{b n}的公比．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n a n•b n}的前2n项的和．【解答】解：（1）∵a1=3，b2+S2=12，b1=1，∴S2=12﹣b2=12﹣q，又∵q=，∴，解得：q=3或q=﹣4（舍去），S2=9，d=a2﹣a1=S2﹣2a1=3，∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1；（2）由（1）可知，c n=（﹣1）n a n•b n=（﹣1）n n•3n，记数列{（﹣1）n a n•b n}的前2n项的和为T2n，则T2n=﹣1•31+2•32﹣3•33+…﹣（2n﹣1）•32n﹣1+（2n）•32n，记T2n′=2•32+4•34+…+（2n）•32n，则9T2n′=2•34+4•36+…+（2n）•32n+2，两式相减得：=，∴，同理，记T2n″=1•31+3•33+…+（2n﹣1）•32n﹣1，利用错位相减法计算可知T2n″=+，∴T2n=T2n′﹣T2n″=．20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（1）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（2）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图，建立空间直角坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则⇒令x=1，则所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成的角为α，则sin α=|cos＜，＞|===．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．（2）假设点F存在，连接EF，FD，ED，可设F（a，0，0），则=（4﹣a，0，2），=（4，﹣4，2）．设平面DEF的法向量为=（x′，y′，z′），则⇒，令x′=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点F．所以=．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0））处的切线平行，求实数x0的值；（2）若∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）把a=1代入得，g（x）=﹣+，则f′（x）=，g′（x）=，∵f（x）在点M （x0，f（x0））处的切线与g（x）在点P （x0，g（x0））处的切线平行，∴=，解得x0=1，∴x0=1，（2）由题意设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+﹣，∵∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，则F′（x）=﹣=，由F′（x）=0得，x=a，F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：当a≥e时，函数F′（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，∴F（e）=1+﹣≥0，得a，∴a≥e当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+﹣，得a≥∴≤a＜e，综上所述，a≥．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为普通方程：，即，则C1的极坐标方程为，…（3分）∵直线C2的方程为，∴直线C2的极坐标方程．…（5分）（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），将代入，得：ρ2﹣5ρ+3=0，∴ρ1•ρ2=3，∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．yxo②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题_word版
高一数学期中考试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、设集合{23}M x x =-<<，{1}N x x =≤-，则()R M N =I ð.（ ）A 、(3,)+∞B 、(2,1]--C 、(1,3)-D 、[1,3)-2、19sin()6π-的值为.（ ）A 、12B 、12-C 、32D 、32-3、若sin()0, tan()0πθπθ-<+>，则θ的终边在.（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限D 、第四象限4、设2212log , log , a b c πππ-===，则.（ ）A 、a b c >>B 、b a c >>C 、a c b >>D 、c b a >>5、下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是.（ ）A 、3()f x x =B 、()3xf x =C 、12()f x x =D 、1()()2xf x = 6、函数238log y x x=-+的零点一定位于的区间是（ ）A 、（0，1）B 、（1，2）C 、（2，3）D 、（3，4）7、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()x f x a =与函数()x g x b =的图象.（ ）A 、关于直线y x =对称B 、关于x 轴对称C 、关于原点对称D 、关于y 轴对称8、函数()sin()2f x x x π=⋅+是.（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数9、函数5()sin(2)2f x x π=+的图象的一条对称轴方程是.（ ） A 、4xπ=-B 、2x π=-C 、8x π=D 、54x π= 10、若5sin()613πα+=-，且(,)2παπ∈，则2sin()3απ+=（ ）A 、513B 、513-C 、1213D 、1213-11、已知函数, 0()(2)2, 0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，若对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是.（ ）A 、1(0,]2 B 、1(,1)2C 、(1,2)D 、(1,2)-12、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-上的图象大致为（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(20201014103506)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为A∪B={x|x≤０或x≥1}，所以，故选 D.考点：集合的运算.2. 已知，则为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】3. 已知集合，集合为整数集，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：，所以，故选 D. 考点：集合的交集运算.视频4. 已知，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，设，则，所以，因为，所以，解得，故选 B.5. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A..................考点：函数零点点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理，考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解，属于基础题．6. 定义在上的函数满足，，等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】因为，，所以令，得，所以，再令，得，所以，故选 A.7. 与函数的定义域相同的函数是（）A. B. ． C. D.【答案】C【解析】函数的定义域为，A中定义域为；B中定义域为R；C中定义域为；D中定义域为；故选 C.8. 设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A9. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 是偶函数，递增区间是B. 是偶函数，递减区间是C. 是奇函数，递减区间是D. 是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】由函数可得，函数的定义域为，且，故函数为奇函数，函数，如图所示，所以函数的递减区间为，故选 C.10. 幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设幂函数的解析式，则，解得，所以，所以他的单调递增区间是，故选 C.11. 函数的图象的大致形状是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝当x＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数图象与指数函数y＝a x(x＜0)的图象关于x 轴对称，函数递增．故选:D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．12. 设，，且，则下列关系中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，作出函数的图象，如图所示，由图象可知，要使且成立，则有且，故必有且，又，即为，所以，故选 D.点睛：本题主要考查了指数函数的单调性的应用，着重考查了指数函数单调性确定参数的取值范围，由于本题条件较多，且函数单调性相对比较复杂，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧是常用的一种判定函数单调性的一种方法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设全集，，，则__________．【答案】{7,9}【解析】因为全集，所以，所以.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】试题分析：由得，所以，解得，故答案为.考点：指数方程；对数方程.15. 已知函数是定义在上的奇函数且，当时，，则__________．【答案】-3【解析】因为，所以函数的周期为，因为是定义在上奇函数，所以，则，所以，令，则，即，又函数为奇函数，所以，所以.点睛：本题主要考查了函数值的求解问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的转化，函数的赋值法，以及周期性的性质等知识点的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据函数的奇偶性和周期性的性质将条件转化是解答的关键.16. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．【答案】或【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+4x,所以x<0时,f(x)=-x2-4x.所以f(x)=当x≥０时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.求：（1）集合；（2）集合、.【答案】(1) ；或；（2）；或. 【解析】试题分析：（1）对数的真数大于求出集合，开偶次方的被开方非负，求出集合；（2）直接利用集合的运算求出集合.试题解析：（1）；或.（2）；或.18. 已知函数，，（为正常数），当时，函数.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）在上单调递增；在上单调递增.【解析】试题分析：（1）由已知中函数与的图象在轴上的截距相等，结合函数，，可以构造关于的方程，解方程可以求出的值；（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，利用零点分段法，可以将其转化为分段函数的形式，再由二次函数的性质，即可分析函数的单调递增区间.试题解析：（1）由题意，，又，所以.（2）.当时，，在上单调递增；当时，，它在上单调递增.19. 已知函数.（1）用定义证明：函数在区间上是减函数；（2）若函数是偶函数，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）－2.【解析】试题分析：（Ⅰ）设，计算的结果等于，可得，从而判断函数在区间上是减函数；（Ⅱ）因为函数，是偶函数，从而得到，由此求得的值.试题解析：（Ⅰ）设,且,所以=因为，所以<0，-2<0.所以>0.即.所以函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数.（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx，所以g（x）=-2x-2-mx=-（2+m）x-2.又因为g（x）是偶函数，所以g（-x）=g（x）.所以-（2+m）（-x）-2=-（2+m）x-2. 所以2（2+m）x=0.因为x是任意实数，所以2+m=0.所以m=-2.点睛：本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，其具体步骤为：1、取值；2、作差；3、化简；4、判断，得结论.其关键步骤是化简中的因式分解，将最后的结果和0比较；考查了函数奇偶性的性质，若函数为偶函数，则对定义域内任意均有恒成立，代入后根据对应系数相等可得结果.20. 和盛机械生产厂每生产某产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（注：利润=销售收入－总成本）；（2）试问该工厂生产多少台产品时，可使盈利最多?【答案】（1）；（2）当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 3.6 万元．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据利润=销售收入-总成本，可得利润函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中函数解析式，分段求最值，即可得出结论试题解析：(Ⅰ)由题意得∴．……………………6 分(Ⅱ)当时，∵函数递减，∴<=（万元）．当时，函数当时，有最大值为（万元）．∴当工厂生产400台时，可使赢利最大为万元．……………………12 分考点：根据实际问题选择函数类型21. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）直接写出函数，的增区间；（2）写出函数，的解析式；（3）若函数，，求函数的最小值.【答案】（1）在区间，上单调递增；（2）；（3）的最小值为.【解析】试题分析：（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增函数；（2）令，则，根据条件可得，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式；（3）先求出抛物线对称轴，然后分当时，当，当时三种情况，根据二次函数的增减性解答.试题解析：（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.∵函数是定义在上的偶函数，且当时，.∴，∴.（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小；当时，为最小.综上，有：的最小值为.点睛：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式，分段函数的单调性，函数最值的求解等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中熟记分析函数性质的求解方法是解答的关键.22. 已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】试题分析：（1）利用已知条件，将代入，解不等式，求出的取值范围；（2）首先分情况进行讨论，利用仅有一解，即和的两种情况进行讨论；（3）利用函数的单调性，最大值和最小值，将不等式进行转换和化简从而求出的取值范围.试题解析：（1）由得解得（2）方程的解集中恰有一个元素.等价于仅有一解，等价于仅有一解，当时，，符合题意；当时，，解得综上：或（3）当时，，，所以在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为，.即，对任意成立.因为，所以函数在区间上单调递增，所以时，有最小值，由，得.故的取值范围为.考点：函数与不等式综合.。
2017-2018学年福建省闽侯第四中学高二上学期期中数学(理)试题
福建省闽侯第四中学 2017-2018 学年高二上学期期中数学试题（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0<<b a ，则下列不等式中错误的．．．是（ ） A ．b a 11> B ．ab a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 2．命题“对任意的R x ∈，0123≤+-x x ”的否定是（ ）A ．不存在R x ∈，0123≤+-x x B ．存在R x ∈，0123≤+-x x C ．存在R x ∈，0123>+-x x D ．对任意的R x ∈，0123>+-x x3．已知p ：02<-x x ，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ）A ．10<<xB ．11<<-xC ．3221<<x D ．221<<x 4．已知等比数列}{n a 单调递减，满足951=a a ，1042=+a a ，则数列}{n a 的公比=q （ ） A ．31-B ．31C ．32 D ．3 5．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（ ） A ．150 B ．160 C ．170 D ．1806．已知实数 y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(231x y y x x ，则y x z +=2的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．2-D ．4-7．如图，从高为h 的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是α，桥头(C) 的俯角是β，则桥BC 的长为（ ）A ．βαβαsin sin )sin(- B ．βαβαsin sin )cos(- C ．βαβαcos cos )sin(- D ．βαβαcos cos )cos(-8．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制数2116)11111(个转换成十进制形式是（ ） A. 2217-B. 2216-C. 1216-D. 1215-9．设数列}{n a 的通项公式为bn n a n +=2，若数列}{n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ）A ．),2(+∞-B ．),2[+∞-C ．),3(+∞-D ．)3,(--∞10．若函数x y 2=的图象上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．2 B ．23 C ．1 D ．21 11．设 R y x ∈,，1>a ，1>b ，若3==xxb a ，32=+b a ，则yx 11+的最大值为（ ） A ．2 B ．23 C ．1 D ．2112．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为（ ）A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知两个球的表面积之比为25:4，则这两个球的半径之比为 . 14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .15．已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则 .16．给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线； ②有三个不同公共点的两个平面重合； ③没有公共点的两条直线是异面直线； ④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． 其中正确结论的序号是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设条件p ：01322≤+-x x ，条件q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.18．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，⊥PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点，求证：（1）//PA 平面BDE ； （2）⊥BD 平面PAC .19．已知圆心为C 的圆过点)6,0(-A 和)5,1(-B ，且圆心在直线l ：01=+-y x 上. （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）过点 )8,2(M 作圆的切线，求切线方程.20．已知坐标平面上点),(y x M 与两个定点)1,26(1M ，)1,2(2M 的距离之比等于5. （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，过点)3,2(-A 的直线l 被C 所截得的线段的长为 8，求直线l 的方程.21．如图，在几何体SABCD 中，⊥AD 平面SCD ，⊥BC 平面SCD ，2==CD AD ，1=BC ，又2=SD ，12=∠SDC ．（1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.22．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，顶点1A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ，且21===B A AC AB .（1）求棱 1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱 11C B 上确定一点P ，使14=AP ，并求出二面角1A AB P --的平面角的余弦值.试卷答案一、选择题1-5：BCBBC 6-10：CACCC 11-12：CC 二、填空题13．5:2 14．π5 15．4 16．①⑤ 三、解答题17．解：由题意得，命题p ：}121|{≤≤=x x A ，命题q ：}1|{+≤≤=a x a x B ， ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， 即B A ⊆， ∴11≥+a 且21≤a ， ∴210≤≤a 故实数a 的取值范围为]21,0[. 18．证明（1）连接OE ，在CAP ∆中，OA CO =，EP CE =， ∴EO PA //，又∵⊄PA 平面BDE ，⊂EO 平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ．（2）∵⊥PO 底面ABCD ，⊂BD 底面ABCD ∴PO BD ⊥又∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥∴O PO AC = ，⊂PO AC ,平面PAC ∴⊥BD 平面PAC19．（1）（1）设所求的圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--+-=--+-01)5()1()6()0(222222b a r b a r b a ，解得25,2,32=-=-=r b a所以所求的圆的方程为：25)2()3(22=+++y x（2）设所求的切线方程的斜率为k ，则切线方程为)2(8-=-x k y ，即082=+--k y kx 又圆心)2,3(--C 到切线的距离1|105|1|8223|22+-=++-+-=k k k k k d又由r d =，即51|105|2=+-k k ，解得43=k ∴所求的切线方程为02643=+-y x若直线的斜率不存在时，即2=x 也满足要求．∴综上所述，所求的切线方程为2=x 或02643=+-y x .20. 解：（1）由题意坐标平面上点),(y x M 与两个定点)1,26(1M ，)1,2(2M 的距离之比为5，得5||||21=M M M M ，5)1()2()1()26(2222=-+--+-y x y x ，化简得0232222=---+y x y x即25)1()1(22=-+-y x∴点M 的轨迹方程是25)1()1(22=-+-y x ，（2）当直线l 的斜率不存在时，过点)3,2(-A 的直线l ：2-=x ， 此时过点)3,2(-A 的直线l 被圆所截得的线段的长为835222=-， ∴l ：2-=x 符合题意.当直线l 的斜率存在时，设过点)3,2(-A 的直线l 的方程为)2(3+=-x k y ，即032=++-k y kx圆心到l 的距离1|23|2++=k k d ，由题意，得222254)1|23|(=+++k k ，解得125=k ∴直线l 的方程为0623125=+-y x ，即046125=+-y x . 综上，直线l 的方程为2-=x ，或046125=+-y x ．21.(1)解：解：如图，过点 D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点， 分别以DA DE DC ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系. ∵0120=∠ADC ， ∴030=∠ADE ，又2=SD ，则点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3 则有)0,0,0(D ，)0,3,1(-S ，)2,0,0(A ，)0,0,2(C ，)1,0,2(B . （1）设平面SAB 的法向量为),,(z y x n =， ∵)1,0,2(-=，)2,3,1(--=则有⎩⎨⎧=-+-=-02302z y x z x ，取3=x ，得)32,5,3(=，又)0,3,3(-=， 设SC 与平面SAB 所成角为θ， 则20101023232|,cos |sin =⨯=><=n SC θ， 故SC 与平面SAB 所成角的正弦值为2010. （2）设平面SAD 的法向量为),,(z y x =， ∵)2,0,0(=，)2,3,1(--=，则有⎩⎨⎧=-+-=-02302z y x z ，取3=x ，得)0,1,3(=，∴51021028||||,cos =⨯=⨯>=<m n ， 故平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为510.22. 解：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则)2,2,0(),2,4,0(),2,2,0(),0,2,0(),0,0,2(111=B A B C ，)0,2,2(11-==C B BC21884||||,cos 111-=⨯-=⨯>=<BC AA 故1AA 与棱BC 所成的角是3π. （2）设)0,2,2(111λλλ-==C B B ，则)2,24,2(λλ-P 于是21144)24(422=⇒=+-+=λλλAP （23=λ舍去）， 则P 为棱11C B 的中点，其坐标为)2,3,1(P 设平面1A AB P --的法向量为),,(1z y x n =，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅020********y zx y z y x AB n n 故)1,0,2(1-=n而平面1ABA 的法向量是)0,0,1(2=n ， 则52||||,cos 212121-=⨯>=<n n n n ， 故二面角1A AB P --的余弦值是552.，取3=x ，得)0,1,3(=， ∴51021028||||,cos =⨯=⨯>=<m n ，。
福建省闽侯第四中学2017-2018学年高一上学期期中数学试题 PDF版含答案
(CRP) Q {x | x 4或x 7}{x | 2 x 5} {x | 2 x 4} .
（2）①当 P 时，满足 P Q ,有 2a 1 a +1，即 a 0
2a 1 a 1 ②当 P 时，满足 P Q ，则有 2a 1 5 ， 0 a 2
= (lg 5)2 lg 2 (lg 5 1)
= (lg 5)2 lg 2 lg 5 lg 2 = (lg 5 lg 2) lg 5 lg 2 =1 lg 5 lg 2 1
19、解：（1）因为定义域为(－1,1)， f(-x)= x f(x) 1 x2
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
7、函数 f(x)＝1＋log2x 与 g(x)＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )．
8、 已知函数
函数
的图象上，则
的图象恒过定点 A，若点 A 也在 ()
A. 9、已知
B.
C.
D.
是 上的偶函数，且在
18．（12
分）求值：(1)(2
1
1
)2
(2008)0
(3
3 )
2 3
(3)2
4
8
2
(2)(lg 5)2 lg 2 lg 50
19．（12
分）
f
(x)
x 1 x2
是定义在 1,1
ห้องสมุดไป่ตู้
上的函数
（1）判断函数 f(x )的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明： f(x )是其定义域上的增函数.
福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题 PDF版含答案
D．10
x＋y≥1， 8. 若实数 x，y 满足 x＋2y≤6，则 z＝3x＋4y 的最大值是
2x－y≤2，
()
A．3 B．8
C．14
D．15
页
1第
9. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表
面积之比为( )
A．31
B．13
C．41
D．32
10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是
2x－y≤2，
A．3 B．8
C．14
D．15
页
5第
9. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体
的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为
(B )
A．31
B．13
C．41
D．32
10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是
（D ）
A．1007
B． 2015
C． 2016
．
16.
函数
f
x
1 x ln x,
2, x
x
17．已知向量
m
3 sin x, cos x
2 2
,
n
cos
x,
cos
x
2 2
0 ，若
f
x
mn
，且
f
x 的
图象上两相邻对称轴间的距离为 ．
2
(I)求 f x 的单调递减区间；
( I I ) 设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 c 3, f C 1 , b 2a ，求 a, b 的值．
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福建省闽侯第四中学2017-2018学年高一上学期期中
数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则与集合的关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
2. 若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设幂函数，∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴幂函数，故其单调增区间为，故选B.
3. 下列函数中，与函数有相同定义域的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，函数的定义域为，而函数、
、的定义域为，故选A.
点睛：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围，求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零；⑤实际问题中函数的定义域.
4. 已知函数，且，则实数的值为（）
A. -1
B. 1
C. -1或1
D. -1或-3
【答案】C
【解析】当时，由得，符合要求；当时，得，即的值为或1，故答案为C.
5. 方程的解所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，因为，且函数在定义域内单调递增，故方程的解所在的区间是，故选C.
6. 函数（）
A. 在上单调递增
B. 在上单调递增
C. 在上单调递减
D. 在上单调递减
【答案】B
【解析】因为，故其在在上单调递增，故选B.
7. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】函数为增函数，且过点（1,1）；函数为减函数，且过点（0,2）。
综合以上两点可得选项C符合要求。
选C。
8. 已知函数（且）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵函数（且）的图象恒过定点，将点代入
得：，∴，∴，则，故选A.
9. 已知是上的偶函数，且在上是减函数，若，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：是上的偶函数，所以，又在上是减函数，且，根据偶函数的对称性，所以当时，，时，，时，，
，，所以的解是或，故选C．
考点：1、偶函数的性质；2、函数的单调性；3、函数的图象．
【思路点晴】本题主要考查了函数的图象，单调性及偶函数的性质，属于难题．本题求解时，先根据偶函数性质，将待求问题转化为，再根据函数在上递减且，知函数在时，，当时，；再根据函数图象的对称性，知在
上的情况，然后分析出本题结果．
10. 下列大小关系正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
11. 函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为（）
A. 2
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】∵函数在上单调，∴函数在上的最大
值与最小值在与时取得；∴，即，即，即，故选C.
12. 已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数
对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.
考点：函数的定义域.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 函数（，）的图象必过定点，点的坐标为__________．
【答案】(2,2)
【解析】函数的图象可以看作把的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位而得到，
且一定过点，
则应过点
故答案为
【点睛】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数
的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．
14. 函数的值域为__________．
【答案】
【解析】令，则，，则在上是减函数，故，即函数的值域为，故答案为．
点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择
15. 的定义域是，则函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，即，所以，即函数的定义域为，故答案为.
16. 关于函数有以下4个结论：其中正确的有__________．
①定义域为；②递增区间为；
③最小值为1；④图象恒在轴的上方
【答案】②③④
【解析】函数的定义域为，故①错误；
【点睛】本题考查对数函数的定义域，值域，单调区间等问题．其中根据复合函数的单调区间，求得函数最值是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，集合
（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析;（1）将的值代入集合中的不等式，确定出，找出的补集，求出补集与的交集即可；
（2）根据为的子集列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围．
试题解析;(1)当，，,
.
（2）①当时，满足,有+1，即
②当时，满足，则有，
综上①②的取值范围为
18. 求值：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）1．
【解析】试题分析：（1）运用分数指数幂的性质可得最后结果；（2）运用对数的运算性质及
可得最后结果.
试题解析：（1）
（2）
19. 是定义在上的函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.
【答案】（1）奇函数；（2）见解析．
【解析】试题分析：(1)判断函数奇偶性时，先判断定义域关于原点对称，再根据定义若，则函数为偶函数，若，则函数为奇函数；
（2）用定义证明函数的单调性可分四部：设量若---作差若---与0比较大小---做判断.若，则函数在上为增函数；若，则函数在上为减函数.
试题解析：（1）因为定义域为(－1,1)， f(-x)=f(x)
∴是奇函数.
(2)设为（-1,1）内任意两个实数，且，
则
又因为，所以
所以即
所以函数在（-1,1）上是增函数.
考点：1、函数的奇偶性的判断；2、定义法证明函数的单调性.
20. 已知函数（为常数且，）的图象经过点，
（1）试求的值；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）将点坐标代入函数的解析式即可求得的值．（2）可将问题转化为在上恒成立．即的最小值大于等于．可用二次函数配方法求得最小值．
试题解析：（1）则，4分
（2）在上恒成立等价于在上恒成立令
，当
所以m的取值范围为．
考点：1指数函数的性质；2二次函数求最值；3转化思想．
21. 已知函数（）
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）要使函数有意义，则有解之得函数的定义域；
（2）整理可得，则由复合函数的单调性可得的最小值为
，由此可解得a的值．
试题解析;；
（1）要使函数有意义，则有解之得，
所以函数的定义域为．
（2）
．
，，
．由，得，．
22. 定义在上的单调递增函数，对任意都有
（1）求证：为奇函数；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）根据，分别令，，即可证得结论；（2）根据在上是单调增函数，且是奇函数，对任意恒成立，转化为
对任意成立，进而可利用换元法，即可求得实数的取值范围.
试题解析：（1）证明：（），①
令，代入①式，得，即
令，代入①式，得，又，
则有，即对任意成立，所以是奇函数.
（2）∵为增函数且为奇函数，∴恒成立
即恒成立，即
设令，，∴（）
∵对称轴，∴，∴
点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“”是解题的关键所在，难度不大．考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.。