18版高中数学第一章解直角三角形1.2应用举例第1课时距离和高度问题学案新人教B版必修5

第1课时距离和高度问题1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点)[基础·初探]教材整理实际测量中的有关名词、术语阅读教材P12～P13问题3，完成下列问题.实际测量中的有关名词、术语α为坡角判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低.( )(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边.( )(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得.( ) (4)坡面与水平面的夹角称之为坡角.( )(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比.( ) (6)坡角的范围是[0，π].( )【解析】 (1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高. (2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边. (3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得. (4)√.由坡角的定义可知.(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比. (6)×.坡角的范围是(0，π).【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×[小组合作型]要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离.【精彩点拨】 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.【自主解答】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.三角形中与距离有关的问题的求解策略：1 解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.2 解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决[再练一题]1.如图1­2­1，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离.【导学号：18082006】图1­2­1【解】 在△ABC 中，AC ＝120，∠A ＝45°，∠C ＝75°， 则∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6).即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )图1­2­2A.100米B.503米C.502米D.50(3＋1)米(2)在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A.20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33 m B.20(1＋3)m C.10(6＋2)mD.20(6＋2)m【精彩点拨】 (1)解决本题关键是求AB 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解.(2)解决本题关键是画出示意图.【自主解答】 (1)设山高为h ，则由题意知CB ＝h ，DB ＝3h ，所以3h －h ＝100，即h ＝50(3＋1).(2)如图，由条件知四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m. 在△DCE 中，∠EDC ＝60°，∠DCE ＝90°，CD ＝20 m ，∴EC ＝CD ·tan 60°＝20 3 m.∴BE ＝BC ＋CE ＝(20＋203) m.选B.【答案】 (1)D (2)B解决测量高度问题的一般步骤： 1 画图：根据已知条件画出示意图. 2 分析三角形：分析与问题有关的三角形.3 求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用[再练一题]2.某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m).如图1­2­3所示，竖直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值.图1­2­3【解】 由AB ＝H tan α，BD ＝htan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得Htan α＋htan β＝Htan β，解得H＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.[探究共研型]∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足.试画出符合题意的示意图.【提示】用线段CD表示山，用△DAB表示海平面.结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：探究2 在探究1中若要求山高CD怎样求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.如图1­2­4，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.图1­2­4【精彩点拨】利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝htan 30°＝3h，然后在△BCD中利用余弦定理求解.【自主解答】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米.测量高度问题的两个关注点：1 “空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.2 “解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路[再练一题]3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( )【导学号：18082007】A.100 2 mB.400 mC.200 3 mD.500 m【解析】由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).【答案】 D1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m 高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d 1，d 2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )A.d 1>d 2B.d 1<d 2C.d 1>20 mD.d 2<20 m【解析】 如图，设旗杆高为h ，则d 1＝h tan 50°，d 2＝htan 40°.因为tan 50°>tan 40°，所以d 1<d 2.【答案】 B2.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A.200 mB.300 mC.400 mD.100 3 m【解析】 法一：如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600(m)，BC ＝DC ＝2003(m).在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋ 2003 2－ 2003 22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B. 法二：由于△BCD 是等腰三角形， 12BD ＝DC cos 2θ， 即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.【答案】 B3.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为( )A. 3B.2 3C.23或 3D.3【解析】如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6x cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解之得x＝23或 3.【答案】 C4.在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 3 m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(3＋1)m.【答案】200(3＋1)5.如图1­2­5所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.图1­2­5【解】法一：在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，则BCsin α－β＝ABsin 90°＋β，∴AB ＝BC sin 90°＋βsin α－β.在Rt△ABD 中，BD ＝AB sin∠BAD ＝BC sin 90°＋β sin αsin α－β＝h cos βsin αsin α－β， ∴CD ＝BD －BC ＝h cos βsin αsin α－β－h .法二：在△ABC 中，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β， 则AC sin 90°－α ＝BCsin α－β.∴AC ＝BC ·sin 90°－αsin α－β ＝h cos αsin α－β. 在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin α－β.。