2019-2020学年高中数学课时分层作业15定积分的背景--面积和路程问题定积分
高中数学第四章定积分4.1.1定积分的背景_面积和路程问题4.1.2定积分学案含解析北师大版选修2_227
4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题4.1.2 定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念． 2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1 曲边梯形的面积阅读教材P 75～P 78“练习2”以上部分，完成下列问题． 1．曲边梯形的概念由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图411所示)．图4112．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】 每个小区间长度为1－（－1）n ＝2n.【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质 (1)⎠⎛a b 1dx ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛ab g (x )dx ；(4)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )dx ＝________．【解析】 ⎠⎛a b 6f (x )dx ＝6⎠⎛ab f (x )dx ＝6×6＝36.【答案】 36[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解． 【自主解答】 分割：在区间[1，2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[1，2]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －1n ，2n n . 记第i 个区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，显然，S ＝Σni ＝1ΔS i .近似代替：记f (x )＝x 2，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，可以认为函数f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2，从图形(图略)上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i n 2·1n ＝1n 3(n 2＋2ni ＋i 2)(i ＝1，2，…，n )，① 求和： 由①可推知＝1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＋2n ·n （n ＋1）2＋n （n ＋1）（2n ＋1）6 ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ，从而得到S 的近似值S ≈S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n .取极限：可以看到，当n 趋向于无穷大时，即Δx 趋向于0时，S n ＝2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i n ·1n＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝2＋0＋13(1＋0)(1＋0)＝2＋13＝73.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间[a ，b ]中等间隔地插入n －1个分点，将其等分成n 个小区间[x i－1，x i ](i ＝1，2，…，n )，小区间的长度Δx i ＝x i －x i －1.第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n 个小矩形的面积进行求和得S n . 第四步：取极限．当n →∞时，S n →S ，S 即为所求．[再练一题]1．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．【解析】 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.【答案】 1.02(1)⎠⎛－339－x 2dx ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)dx ；(3)⎠⎛－11(x 3＋3x )dx .【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－339－x 2dx ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)dx 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3，y＝0围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)dx ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1，1]上为奇函数，图像关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛－11(x 3＋3x )dx ＝0.1.定积分的几何意义的应用(1))利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )dx 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．2.奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分(1)若奇函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a f (x )dx )＝0.(2)若偶函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aa f (x )dx )＝2⎠⎛0a f (x )dx .[再练一题]2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值． (1)⎠⎛－11xdx ；(2)⎠⎛02πcos xdx ； (3)⎠⎛－11|x |dx .【解】 (1)如图(1)，⎠⎛－11xdx ＝－A 1＋A 1＝0.(2)如图(2)，⎠⎛02πcos xdx ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴⎠⎛－11|x |dx ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)[探究共研型]探究1 【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[－a ，a ]上的定积分？【提示】 (1)若奇函数y ＝f (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0；(2)若偶函数y ＝g (x )的图像在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a g (x )dx ＝2⎠⎛0a g (x )dx.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示． 【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示． 设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)dx ＝⎠⎛02xdx.(1) (2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示． 设面积为S ，则S ＝A 1＋A 2.因为A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成，A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成，所以A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]dx ＝⎠⎛012xdx ，A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]dx ＝⎠⎛14(x －x ＋2)dx .故S ＝⎠⎛012x dx ＋⎠⎛14(x －x ＋2)dx.,利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]dx ,＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )dx ±…±⎠⎛ab f n (x )dx ；(2)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac 1 f (x )dx ＋⎠⎛c 1c 2 f (x )dx ＋…＋⎠⎛c nbf (x )dx )(其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N＋)．)[再练一题]3．已知⎠⎛0exdx ＝e 22，⎠⎛0e x 2dx ＝e 33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)dx ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)dx .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)dx＝2⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0e x 2dx＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)dx ＝2⎠⎛0e x 2dx －⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0e 1dx ，因为已知⎠⎛0e xdx ＝e 22，⎠⎛0e x 2dx ＝e 33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1dx 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1dx ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)dx ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e .[构建·体系]曲边梯形的概念—定积分的概念—⎪⎪⎪⎪—定义—几何意义—性质1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]dx ＝m ⎠⎛a b f (x )dx ＋n ⎠⎛ab g (x )dxB.⎠⎛a b [f (x )＋1]dx ＝⎠⎛ab f (x )dx ＋b －aC.⎠⎛ab f (x )g (x )dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ·⎠⎛ab g (x )dxD.⎠⎛－2π2πsin xdx ＝⎠⎛－2πsin xdx ＋⎠⎛02πsin xdx【解析】 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02xdx ＝2，⎠⎛022dx ＝4，⎠⎛022xdx ＝4，即⎠⎛022xdx ≠⎠⎛02xdx ·⎠⎛022dx .【答案】 C2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i nD ．f (0)【解析】 当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．【答案】 C3．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．【解析】 ∵把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 【答案】 554．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2sin xdx .【答案】 ⎠⎜⎛0π2sin xdx5．用定积分的几何意义求⎠⎛－114－x 2dx .【解】 由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛－114－x 2dx 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝|AB |·|BC |＝23，∴⎠⎛－114－x 2dx ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学第四章定积分4.1.1定积分背景——面积和路程问题3222数学
C
O EF
D
x
第五页，共四十四页。
定积分 的概念 (jīfēn)
1.1、定积分的背景——面积(miàn jī)和路程问题
第六页，共四十四页。
曹冲称象的故事 (gùshì)
第七页，共四十四页。
曹冲称象
（1）大象(dà xiànɡ)的重量等
为 价成一堆小石子的重量 整零
化
积为 零整
（2）将小石子的重量 (zhòngliàng)称出来
第二十五页，共四十四页。
1、化整为零：将原图形分割(fēngē)成许多小曲边梯形。
2、以直代曲：对任意一个(yī
小曲边梯形，将不易
ɡè)
2计 问、题算用，的什将“么曲曲图边边形梯”的形面问面积题积作转问为化题原转为面化容积为易的长计近方算似形的(j的ìn“sì)面解直积更边方”便计算？
问题来解决。
第三十一页，共四十四页。
第三十二页，共四十四页。
1、分割；2、近似(jìn sì)代替；3、求和；4、取极限值
v(t)=t2-1 0 t+ 2 5 (0t5 )
S 1 [ v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) 1 ] 5 s 1 [ v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) v ( 5 ) 1 ] 3
积为 零整
（2）将这n个部分的面积加 起来
得到的小石子重量和就是大 得到的n部分面积和就是圆的面
象的重量
积
无限(wúxiàn)分割
第二十一页，共四十四页。
以直代曲
一. 求曲边梯形 的面积 (tīxíng)
y
y=f (x)
x=a
O
a
1.定积分的背景——面积和路程问题
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 曲边梯形的面积 思考1 如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
s1′＝[v(1)＋v(2)＋v(3)＋v(4)＋v(5)]×1＝30(m). 不论用过剩估计值s1还是不足估计值s1′表示s， 误差都不超过：s1－s1′＝55－30＝25(m). 为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些.
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯 形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的 面积S，并写出估计值的误差.
解 (1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形； (2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小 曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2. 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高， 分 别 得 到 每 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 f(0)·0.2 ， f(0.2)·0.2 ， f(0.4)·0.2 ， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2；
1.1 定积分的背景——面积和路程问题 (2)
： 不足估计值为 s2
此时，误差都不超过
48.125 35.625 12.5( m) . s2 s2
滑行时间等分的越细，误差越小.当所分隔的小 时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋 于汽车滑行路程.
概括
前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求
曲边梯形的面积的问题，它们的步骤： 分割区间 过剩估计值
问题1 图中阴影部分由抛物线 y x 2，直线 x 1 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的 面积 S . y
y x2
o
1
x
将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示. y
(1)
1 o x 图 (1) 中，所有小矩形面积之和 S1 显然大于所
S1
求曲边梯形的面积，我们称 S1 为 S 的过剩估计值， 则有
y
(2)
o
s1
1
x
我们可以用 S1 或 s1 近似表示 S ，但是都存在 误差，二者之差为S1 s1 0.2 ，但是无论是用S1 还
是 s1 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，
如图(3)所示. y
(3)
o
1
x
为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为
1. 在“近似替代”中，函数f(x)在区间［xi,xi+1］ 上的近似值等于（ C ） A.只能是区间的左端点的函数值f(xi) B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) C.可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i) （ξ i∈［xi,xi+1］） D.以上答案均正确
2.已知自由落体的运动速度v=gt，则估计在时间区 间［0,6］内，将时间区间10等分时，物体下落的 距离的估计值可以为（ ） D A.14g B.15g C.16g D.17g
高中数学 第四章第1.1节定积分的背景 面积和路程问题
变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似
的等于左端点
i
1 n
处的函数值
f
i
1 n
，从图形上
看，就是用平行于 x 轴的直线段近似的代替小曲边
梯形的曲边（如图）．
这样，在区间
i
1 n
,
i n
上，用小矩形的面积 Si 近
似的代替 Si ，即在局部范围内“以直代取”，则有
Si
Si
f
i
1 n
n
1
n 2n
6
1
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
（4）取极限
分别将区间0 ,1等分 8，16，20，…等份（如图），
可以看到，当 n 趋向于无穷大时，即 x 趋向于 0 时，
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
趋向于
S
，从而有
S
lim
第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似 代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的 近似值．
3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第三步：求和．
第四步：取极限。 说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：
分割→近似代替→求和→取极限 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是 真实值
练 习:求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y x2 所围
曲边梯形的面积
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面 积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲 线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决 的问题。
高中数学第四章定积分4.1.1定积分背景——面积和路程问题4222数学
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第三页，共二十二页。
引入新课 合作探究 思考交流
学以致用(xué yǐ zhì yòng) 课堂小结 置
作业布
探究1（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线
x=1,y=0所围成的平面(píngmiàn)图形的面积．
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Archimedes，约公元前
4.1.1
定积分的背景
—面积和路程(lùchéng)问题
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引引入入新新课课 合合作作探探究究 思思考交考流交流 学以学致以用致用 课堂课小堂结小结作业(作zuò业yè布)布置置
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形(túxíng)都是由直线段围成的。
形的面积。
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引入新课 合作探究 思考交流
学以致用 课堂小结 作业(zuòyè)布置
探究2 求变速运动的路程 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻(shíkè)t的速度为v(t) ＝－t2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t≤2
(单位：h)这段时间内行驶的路程．
287年—约公元前212年
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引入新课 合作探究 思考(sīkǎo)交流
学以致用 课堂小结 作业布置
问题1：我们古代(gǔdài)的数学家是怎样计算圆的面积的？
圆周率是如何确定的？
割圆术
刘徽
祖冲之
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引入新课 合作探究 思考交流
学以致用 课堂小结(xiǎojié) 作业布置
高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.1定积分的背景__面积和路程问题课件北师大版选修2_2
估计值为S1=20(1.2+1.4+1.6+1.8+2)×0.2=32,不足估计值为 s1=20(1+1.2+1.4+1.6+1.8)×0.2=28.
估计值的误差为S1-s1=32-28=4. 所以无论用S1还是用s1来表示该物体在这段时间内经过的路程, 误差都不会超过4.
13.24(km), 不足估计值为
s1=[3(0+0.22+0.42+0.62+0.82+12+1.22+1.42+1.62+1.82)+20]×0.2=
10.84(km). 估计值的误差为S1-s1=13.24-10.84=2.4(km). 所以无论用S1还是用s1来表示汽车行驶的路程,误差都不会超过
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
1 若把区间[a,b](a<b)n 等分,则第 i 个小区间是( )
A.
������-1 ������
,
������ ������
B.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������-1 ������
题型一 题型二
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【变式训练1】 试求由直线y=2x,x=2,x轴围成的三角形的面积的 过剩估计值、不足估计值及估计值的误差.(将区间[0,2]6等分)
19-20版 第4章 §1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 1.2 定积分
1．求由曲线 y＝12x2 与直线 x＝1，x＝2，y＝0 所围成的平面图形面 积时，把区间 5 等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是 ________．
1.02 [将区间 5 等分所得的小区间为1，56，65，75，75，85，85，95， 95，2，于是所求平面图形的面积近似等于
出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)
可根据被积函数的奇偶性求解．
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[解] (1)曲线 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为 半径的上半圆如图①所示．
其面积为 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义知3 -3
9－x2dx＝92π.
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2．怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？
[提示] (1)若奇函数 y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则a－
af(x)dx＝0；
(2)若偶函数 y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续，
则a g(x)dx＝2ag(x)dx.
-a
0
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【例 3】 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区 域的面积．
因为 A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成，
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成，
所以 A1＝1[
x－(－
x)]dx＝12
xdx，
0
0
A2＝4[
x－(x－2)]dx＝4(
x－x＋2)dx.
1
1
故 S＝12 x dx＋4( x－x＋2)dx.
(2)曲线 f(x)＝2x＋1 为一条直线.3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋ 0
4.1.1定积分的背景——面积和路程问题
4.1.1定积分的背景——面积和路程问题4.1.1定积分的背景——面积和路程问题教学过程:一、问题引入师：1.求下图中阴影部分的面积：师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）师：对于，，，围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。
二、学生活动与意义建构1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。
（在讨论的过程中渗透分割的思想）师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）方案一方案二方案三方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。
如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：⑴分割细化将区间等分成个小区间，，…，，…，，每个区间的长度为（学生回答），过各个区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，，…，。
2020版高中数学北师大版选修2-2课件：4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题
【解析】将行驶时间1 s平均分为10份，则汽车在1 s 内行驶的路程的不足估计值s与过剩估计值S分别是： s=3×(1+1.1+1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+1.7+1.8+1.9) ×0.1+2×10×0.1=6.35，
S=3×(1.1+1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+1.7+1.8+1.9+2) ×0.1+2×10×0.1=6.65， 无论是用不足估计值还是过剩估计值估计汽车行驶 的路程，误差都不会超过S-s=6.65-6.35=0.3.
“以直代曲”.
(3)求和：S≈Sn= n ΔS′i.
i1
(4)取极限：S=
lim
n
Sn
lim
n
n i1
Si .
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)由直线x=1，x=2，和曲线f(x)=-x2所围成的图形面 积为负值. ( )
(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估 计值.( ) (3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计 值的极限相等. ( )
2.将区间[0，3]10等分，则每个小区间的长度为0.3.
分别以每个小区间左、右端点的纵坐标为小矩形的
高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.
s=( 1×02+1+ 1×0.32+1+1 ×0.62+1+…+1 ×2.72+1)
2
+1+1 ×0.62+1+…+1 ×32+1)×0.3
高中数学新北师大版精品学案《定积分背景——面积和路程问题》
定积分背景——面积和路程问题【学习目标】1．用“四步曲”的方法求变速运动物体在某段时间内的路程；2．了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法。
【学习重难点】重点:掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）。
难点：过程的理解。
【学习过程】一、用“四步曲”方法求变速运动在某段时间内的路程问题1：如果汽车在行进过程中作变速直线运动，在时刻t 的速度22v t =-+（单位：m/h ），那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程S 是多少？（1）分割：把时间区间[0,1]等间隔地插入1n -个分点，将它n 等分，记第i 个小区间为____________，此时区间长度t ∆=___________。
（2）近似代替：在每个小区间内，变速直线运动可以近似地看作_______________，此时第i 个小区间内的速度可近似地用_____________代替，'i i S S ∆≈∆=_______________。
（3）求和：计算1'nn i i S S ==∆=∑__________。
（4）求极限：计算lim n n S S →+∞==______________。
【达标检测】练习1：一物体沿直线运动，其速度()v t t =，这个物体在0t =到1t =这段时间内所走的路程为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．32练习2：一物体沿直线运动，其速度2()v t t =，这个物体在0t =到1t =这段时间内所走的路程为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2 练习3：一物体沿直线运动，其速度()2v t t =+，这个物体在1t =到2t =这段时间内所走过的路程为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．4问题2：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔1[,](1,2,,)i i i n n n -=上，汽车近似地以i n 处的速度2()()2i i v n n =-+作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程S 的近似值，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是53吗？练习4：一辆汽车在司机猛踩刹车后5内停下。
北师大版选修22高中数学411《定积分的背景——面积和路程问题》同步训练
第四章定积分§1定积分的概念1、1定积分的背景—-面积和路程问题双基达标限时20分钟1.物体运动的速度和时间的函数关系式为v（t)＝2t，估计在区间［2,8］内物体运动的路程时,把区间6等分，则过剩估计值为( ).A.54B.60C。
57 D.66答案D2.在“近似代替”中，函数f(x）在区间［x i,x i＋1]上近似值等于（).A。
只能是左端点的函数值f（x i)B.只能是右端点的函数值f(x i＋1)C。
可以是该区间内任一点的函数值f(ξi）(ξi∈[x i，x i＋1]）D。
以上答案均正确答案C3.在求由x＝a,x＝b(a＜b）,y＝f（x）(f（x)≥0）及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b］上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边形，下列说法中正确的是( ).A.n个小曲边形的面积和等于SB.n个小曲边形的面积和小于SC。
n个小曲边形的面积和大于SD.n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定答案A4.由直线y＝x＋1与x＝0，x＝2,y＝0所围成的四边形的面积为________。
解析所围成的四边形为直角梯形,x＝0时，y＝1，x＝2时，y＝3,∴S＝错误!×(1＋3)×2＝4、答案45。
曲线y＝x2＋1与直线x＝1，x＝0,y＝0围成曲边梯形，把区间[0,1］ 5等分估计曲边梯形面积时，估计误差不超过________。
答案0、26.物体运动的速度和时间的函数关系式是v（t)＝错误!(0≤t≤4）,求在时间区间[0,4]内物体运动路程的估计值，并写出估计误差.解把区间［0,4］4等分，分别以每个小区间的左、右端点处的速度作为小区间的平均速度，求出不足估计值s和过剩估计值S,s＝(0＋1＋错误!＋错误!）×1≈4、146,S＝（1＋2＋错误!＋错误!）×1≈6、146,估计误差不超过S－s＝2、错误!7.设函数f（x）在区间［a，b]上连续,用分点a＝x0＜x1＜…＜x i－1＜x i＜…＜x n＝b，把区间［a，b]等分成n个小区间，在每个小区间［x i－1,x i]上任取一点ξi（i＝1,2，…，n)，作和式s n＝错误!（ξi）Δx，其中Δx为小区间的长度，那么和式S n的大小( ）.A。
4.1.1 定积分的背景-面积和路程问题刷题课件高二下学期数学北师大版选修2-2 第四章
n
1)
.
易错 警示
解决本题易错误地认为小区间左端点为 t(i 1) ，从而误选C.在将区间等分成n个小区
n 间时，第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为
1 n
，…，依次类推，第i
个小区间的左端点为
i 1 n
.
解
在时间区间[0，2]上等间隔地插入n－1个分点，将它等分成n个小区间，记第i个小区间为
2(i 1) n
,
2i n
(i＝1，
2＝则，si…nn1＝，siinn1 ).，取si '＝其ξi＝长2n43 度2n·i 为(ni＝(Δn 1t＝1，)6(222nni，－1…) 2，＋(inn41＝))．＝8于n21是.1n每s个1i≈时21n间s'＝i＋段v4上，2n行i ·驶Δt的＝路3程 2ni记2 为 2Δ ·si
题型3 求变速运动的路程
7．物体运动的速率和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2，8]内 物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi取值均为小区间的右端点)为___6__6___km. 解析 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得路程的过剩近似值为
解析 由题意得S＝(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2＝0.33.
1.4 定积分的背景—面积和路程问题 刷基础
题型3 求变速运动的路程
6．已知汽车在时间[0，t1 ]内以速度v＝v(t)做直线运动，则下列说法不正确的是( B )
A．当v＝a(常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝v t1
则第i－1个小区间为( D )
教学参考高二北师大数学选修同步作业：第章 定积分背景面积和路程问题 含答案
定积分背景-面积和路程问题同步练习
1. 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度是v（t）=-t2+5，（单位：km/h），试计算这辆汽车在0≤t≤2（单位：h）这段时间内汽车行驶的路程S（单位：km），并写出估计值的误差。
2. 用分割、近似代替和逼近的方法求图中直线1
,2=
x所围图形
=x
y和4
-
=x
的面积。
（1）将区间[2，4]分成10等份；（2）将区间[2，4]分成100等份。
3. 一辆汽车在司机猛踩刹车后5秒内停下，在这一刹车过程中，各秒的速度值被记录下来：
刹车踩下后的时间（s）0 1 2 3 4 5
5速度（m/s）27 18 12 7 3 0
求刹车踩下后汽车滑过的距离的不足近似值和过剩近似值。
参考答案：
1. 将区间[0，2]分成10等份，不足估计值：[])8.1()6.1()4.0()
2.0()0(222221v v v v v S +++++= 过剩估计值为：[]
)2()8.1()4.0()2.0(22222v v v v S ++++= 估计值的误差为：12S S -。
（计算过程略），将区间分的越细，误差越小。
2. 略。
3. 略。
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课时分层作业(十五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是( ) A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值
B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值
C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高
D ．将[0，t ]n 等分，当n 越大时，求出的s 就是S 的准确值
C [每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n 越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当n →＋∞时，估计值才是准确值．]
2．若⎠⎛a
b f (x )d x ＝4，则⎠⎛a
b
5f (x )d x ＝( )
A ．4
B ．5
C ．9
D ．20
D [由⎠⎛a
b
f (x )d x ＝4知，⎠⎛a
b
5f (x )d x ＝5⎠⎛a
b
f (x )d x ＝5×4＝20.]
3．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-6
6
f (x )d x ＝( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8
B [偶函数图像关于y 轴对称，故⎠⎛-66
f (x )d x ＝2⎠⎛0
6
f (x )d x ＝16.故选B .]
4．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
，x ≥0，
2x
，x <0，则⎠⎛-1
1
f (x )d x 的值是( )
A.⎠⎛-1
1
x 2
d x
B.⎠⎛-1
1
2x
d x
C.⎠⎛-1
x 2
d x ＋⎠⎛012x
d x
D.⎠⎛-1
2x
d x ＋⎠⎛0
1x 2
d x
D [被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由
定积分的性质知选D.]
5.图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.⎠⎛012x
d x
B.⎠⎛01
(2x
－1)d x C.⎠⎛01
(2x
＋1)d x D.⎠⎛0
1(1－2x
)d x
B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x
d x －⎠⎛01
1d x ＝⎠⎛0
1
(2x
－1)d x .]
二、填空题
6．定积分⎠⎛1
3
(－3)d x ＝__________.
－6 [由定积分的几何意义知，定积分
⎠⎛1
3
(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3与y ＝－3，y ＝0 所围成图形面积的相反数． 所以⎠⎛1
3
(－3)d x ＝－(2×3)＝－6.]
7．定积分⎠⎛-1
2
|x |d x ＝__________.
52 [如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝5
2
. ]
8．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3
所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
2564 [将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 ，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343×1
4＋13×14＝2564.]
三、解答题
9．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在t 时刻的速度为v (t )＝3t 2
＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？
[解] 在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶
的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1
n
Δs i ，取ξi ＝2i
n
(i ＝1,2，…，n )．于是
Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2i n ·Δt
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n
， s n ＝∑i ＝1n
Δs i ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4
＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.
从而得到s 的近似值s ≈s n .
s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
8⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋12n ＋4
＝8＋4＝12．
所以汽车在0≤t ≤2这段时间内行驶的路程为12 km.
10．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝7
3
，
⎠⎛24
x 2d x ＝56
3
，求：
(1)⎠⎛02
3x 3
d x ；(2)⎠⎛14
6x 2
d x ；(3)⎠⎛1
2
(3x 2
－2x 3
)d x .
[解] (1)⎠⎛02
3x 3
d x ＝3⎠⎛0
2x 3
d x
＝3⎝⎛⎭
⎫⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛1
2
x 3
dx ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＋154＝12． (2)⎠⎛14
6x 2d x ＝6⎠⎛1
4x 2
d x
＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12
x 2dx ＋⎠⎛2
4
x 2dx ＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3
)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12
. [能力提升练]
C [当x ∈(0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，3π2时，sin x <0.
由定积分的性质可得
2．若⎠⎛-a
a
|56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( )
A ．6
B ．56
C ．39
D ．2 016
A [由⎠⎛-a a
|56x |d x ＝56⎠⎛-a a
|x |d x ≤2 016，得⎠⎛a
－a |x |d x ≤36，∴⎠⎛-a a
|x |d x ＝2⎠⎛0
a
x d x ＝
a 2≤36，即0<a ≤6.
故正数a 的最大值为6.] 3．计算定积分⎠⎛-1
1
4－4x 2
d x ＝________.
π [由于⎠⎛-1
1
4－4x 2
d x
＝2⎠⎛
-1
1
1－x 2
d x 表示单位圆的面积π，所以⎠⎛
-1
1
4－4x 2
d x ＝π.]
4．设f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos x ，x ∈[0，π]，
1，x ∈(π，2π]，则⎠⎛0
2π
f (x )d x ＝________.
π [⎠⎛02π
f (x )d x ＝⎠⎛0π
f (x )d x ＋⎠⎛π2π
f (x )d x ＝⎠⎛0πcos x d x ＋⎠⎛π
2π
1d x ＝sin π－sin 0＋2π－
π＝π.]
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 3
，x ∈[－2，2)，2x ，x ∈[2，π)，
cos x ，x ∈[π，2π]，
求f (x )在区间[－2，2π]上的定积分．
[解] 由定积分的几何意义知
⎠⎛-2
2
x 3d x ＝0，
⎠⎛2
π
2x d x ＝(π－2)(2π＋4)2
＝π2
－4，
⎠⎛π
2πcos x d x ＝0， 由定积分的性质得
⎠⎛－22π
f (x )d x ＝⎠⎛-22
x 3d x ＋⎠⎛2π
2x d x ＋⎠⎛π
2π
cos x d x ＝π2
－4.。