流体力学讲义

154第八章、 管路流體(Flow in pipes)如第二章所述，流體在管路內產生流動的方法，若是由於管路內有壓力降（pressure drop ），例如普通水管内之流場，此類流動稱之為波蘇拉（Poiseuille ）流動。

本章將詳述管路內流體因壓力降而產生之流場，速度分佈(velocity profile)、壓力降(pressure drop)、及層流(laminar flow)與紊流(turbulent flow)之物理現象。

層流及紊流例如下圖之蠟燭火焰上之煙霧，可分為平滑之層流(laminar) 區與紊亂之紊流(turbulent)區。

155 同樣，流體中加入染劑，當流速小時，染劑之流動平滑且穩定，此時流場稱為層流；當速度增加，將會產生一些速度之混亂波動(velocity fluctuation)，此稱為轉換區(transition)；當速度增加夠大，速度之混亂波動變成非常不穩定，此時稱為紊流(turbulent)。

除流體速度外，實驗證明當流體之黏滯力大時，或管路直徑小時，流場較容易成為層流，故用一無因次(non-dimensional) 之參數表示流場之混亂度。

雷諾數(Reynolds number)雷諾數定義如下：νμρL V L V ave ave ==Re 其中 L 為一特徵長度(characteristic length)，在管路流此長度為圓管直徑 D 。

雷諾數之物理意義為：force Viscous force Inertial L LV L V L V ave ave ave ===222Re μρμρ 當雷諾數低於 ~ 2300，流場為層流。

當雷諾數大於 ~ 2300 時，流場變為過度區，當雷諾數大於約 ~4000時流場變為完全之紊流，速度分佈亦會改變，管路中心大部分區域流體速度分佈較層流為平滑，而靠近邊界處流體速度變化很大，故156 最大速度與平均速度之比值較層流為小。

水力直徑(hydraulic diameter)當管路非圓管時，流體之雷諾數中之管路直徑改以水力直徑代替，其定義為：p A D ch 4其中A c 為管路之截面積(cross-sectional area)， p 為與流體接觸之周邊(wetted perimeter)。

管路之進口區(entrance region)與完全成形區(fully-developed region)流體剛流進管路時，速度分佈尚未有變化(flat velocity157 profile)，流場亦為非旋轉流場(irrotational flow)，流進管路後因流體與管路間之黏滯力造成邊界層(boundary layer)產生與增厚，邊界層增厚至管路半徑後不再增加，由管路進口到此處之距離稱為『進口區』，自此以後流體之速度分佈不再改變，此區稱為『完全成形區』。

完全成形區之重要性為，在此區域流場不因x 方向之位置而改變，即 0)(=∂∂x，例如流體速度分佈，在進口區基本上是一個三度空間流場：),,(x r u u θ=其分析相當複雜，而在完全成形區，速度不因位置而變，即),(0),,(θθr u u xx r u =∴=∂∂ 若流體速度對 θ 方向為對稱，則 )(r u u =， 故速度只有在徑向有變化，流場分析較為容易，故一般在管路內之實驗均於158 此區進行。

圓形管路內紊流之進口區長度約為直徑之十倍左右。

進口區另一重要性在於其之邊界層較薄，故此處之牆壁剪應力 (wall shear stress) 較大(Why?)，因此壓力降亦大。

Wall shear stress: Rr W r u =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μτ159 圓管內之層流(Laminar flow in pipes)當流場為穩定、不可壓縮、在完全成形區時，層流流場之速度分佈可由下列微小控制容積力之平衡得之(注意：此微小控制容積形狀類似於一圓戒)：0)2()2()2()2(=-+-++dr r r dx x x rdx rdx rdrP rdrP τπτπππ(完全成形區內流體之壓力與黏滯力達到平衡)0)()(=-+-++drr r dx P P r r dr r x dx x ττ as dx →0，dr →0：0)(=+drr d dx dP r τ 因為 r u ∂∂-=μτ (為何負值?) .)(const a dxdP dr du r dr dr ==μ 此方程式等號左邊為 r 之函數，等號右邊為 x 之函數，故左右兩邊都必須等於一個常數。

160 Proof: 管路內流體壓力與管壁之牆壁剪應力(磨擦力)平衡如下：而在完全成形區內流體與管壁間之牆壁剪應力為常數(Why?)，故 dP/dx = a const.流體之速度分佈可積分為：212ln )(4)(C r C dxdP r r u ++=μ 其邊界條件為1. 當 r =0 時速度為有限 (故 C 1 = 0)2. 當 r = R 時 u = 0 (故 )(422dxdP R C μ-=) 故速度分佈為拋物線(parabola):)1)((4)(222Rr dx dP R r u --=μ161 其中 (dP/dx) 為負值(Why?)，稱為(x 方向之)壓力梯度 (pressure gradient)。

此速度分佈之平均速度為：)(82)(220dx dP R R rdr r u V Rave μππ-==⎰ 故 )1(2)(22Rr V r u a v e -= 當 r = 0 時速度為最大：ave V r u u 2)0(max ===故最大速度為平均速度之兩倍。

壓力降(pressure drop) 及壓力頭損失(head loss)管路內流體與管壁間之磨擦力造成流體之能量損失，故壓力下降，此下降壓力之多寡稱為壓力降或壓力損失，為維持流體在管路內之流動，管路或整體迴路之源頭必須使用幫浦(pump)或壓縮機(compressor)供給推動力，以克服此壓力損失。

由壓力梯度之定義，可由下式求得壓力降： L P P dx dP 12-=故在圓管之層流中，壓力降為：2221328D LV R LV P P P ave ave μμ==-=∆此壓力降為一不可逆之損失，以 ∆P L 表示之。

以實用而162 言，壓力降與管路長度 L 成正比，與管路直徑 D 成反比(Why?)，與流體動能 ρV 2ave /2 (即流體『動壓』dynamic pressure)成正比，故壓力降可用下式表示之：22ave L V D L f P ρ=∆其中係數 f 稱為『達西磨擦因子』(Darcy friction factor)： 28ave wV f ρτ=此方程式可適用於任何完全成形區之流場(層流或紊流、圓管或非圓管、平滑或粗糙管壁、水平或傾斜管路等)。

壓力降亦可用壓力頭損失 h L 表示：g V D L f g P h ave L L 22=∆=ρ其單位為公尺，相當於高度，也類似於白弩力方程式中位能項 “z ”。

163 磨擦因子亦可用『磨擦係數』(friction coefficient) 或『芬林磨擦因子』(Fanning friction factor) C f 表示，其定義為： 4212f V C ave wf ==ρτ此係數一般在化工業界使用。

在圓管之層流中，達西磨擦因子可證明為：Dave DV f Re 64642==ρμ 故此係數只與雷諾數有關，而與管壁之粗糙度無關。

管路之幫浦功率(pumping power)一旦管路或迴路之壓力降已知，則克服壓力損失所須之幫浦功率為：L L L L pum p gh m gh V P V W ==∆=ρ,其中 V 為體積流率(volume flow rate)， m 為質流率(mass flow rate)。

水平圓管中層流之平均速度為：L PD L D P P L R P P V ave μμμ3232)(8)(2221221∆=-=-=故水平直徑為 D 長度為 L 圓管內層流之體積流率為： L D P L D P P R L R P P A V V c ave μπμππμ128128)(8)(44212221∆=-=-==此稱為『波蘇拉定律』(Poiseuille ’s law)，而此類流體稱為『哈164 根-波蘇拉流體』(Hagen-Poiseuille flow)。

Question: 若將管路直徑變為兩倍，幫浦功率變為多少? 對系統之影響有何須考量?傾斜圓管(inclined pipes)當管路是傾斜時，流體之”淨”壓力降將隨傾斜度而改變。

當流體方向為上坡(uphill flow)如上圖所示，淨壓力降將因為重力(有向左之分力)而減少，故淨壓力降變為：θρsin gL P P net -∆=∆因為 θ 及 sin θ 為正值，故流體流量比水平時為少，甚至可能出現流體停滯狀態(何時發生?)，故若要維持與水平同樣之流量，必須增加壓力降∆P，亦即必須增加幫浦功率；若流體方向為下坡(downhill flow)，因為θ及sin θ為負值，淨壓力降將因為重力(有向右之分力)而增加，故流體流量比水平時為大。

圓管之紊流(turbulent flow)紊流內存在快速無規則之擾動(fluctuations)，此擾動進而使流體『顆粒』產生迴旋之區域稱為『渦流』 (eddies)，此渦流特質並無解析解, 必須依靠實驗數據. 這些擾動或渦流對動量與能量的傳遞提供了額外的機制，因此與層流比較，紊流常伴隨著較大的磨擦力、熱傳、與質量傳輸。

一般而言, 紊流之流速由一平均速度u(mean velocity) 與一165166 微小振動 'u (fluctuation) 構成, 如下圖所示:因此紊流之瞬間速度(instantaneous velocity) 可表示為: 'u u u +=其中 T ud u T⎰=0τ為平均速度.注意: 0''0==⎰T d u u Tτ但 0)'()'(022≠=⎰T d u u T τ(Why?)同樣, 在 y 方向之速度為:'v v v += 同樣地，壓力與溫度亦可表示為一平均值加擾動量： ''T T T P P P +=+=紊流速度振動 u ’與 v ’有何物理意義?一般紊流之震動量，例如 u ’其大小只有平均速度 U 之10% 以下，但其震動頻率相當高，約為每秒上千次，故使得167 紊流成為傳輸質量、動量、及能量之有效方法。

紊流剪應力(turbulent shear stress)任何流體中 (紊流或層流) 之剪應力 (黏滯力) 代表流體中分子間 (微觀 microscopic) 之動量傳輸, 例如平均速度為 u 之紊流，在垂直於 y 軸之平面上, 方向為 x 方向之剪應力為y u∂∂-=μτ然而在紊流中, 真正之剪應力遠大於上式，故在紊流中剪應力之表示法為除了上述之分子間之動量傳輸(i.e., y ulam ∂∂-=μτ)外, 還有很大部分之動量傳輸是由於 (巨觀macroscopic)“紊流小塊體” (turbulent lumps) 因紊流之速度振動而直接傳送之震動剪應力turb τ . 其形成之機制及物理意義如下圖所示,168 在平面 P-P 上單位面積之剪應力除 yu lam ∂∂=μτ 外, “紊流小塊體”會因為 y 方向之向上振動 v ’(v ’> 0)將此紊流小塊體由低速區 (平面 P-P 之下方) 直接運送至高速區 (平面 P-P 之上方), 此紊流小塊體之質流率為 ρv ’, 而其進入平面 P-P 之上方後會拖扯較高速之流體, 造成一 x 方向之速度振動 u ’, (此速度振動因為是由拖扯造成, 故為負值, u ’< 0), 故平面 P-P 上單位面積之x 動量傳輸量平均而言為 ''v u ρ- (此為正值), 同樣地, “紊流小塊體”會因為 y 方向之向下振動 v ’(v ’< 0) 將此紊流小塊體由高速區 (平面 P-P 之上方) 直接運送至低速區 (平面 P-P 之下方), 此紊流小塊體之質流率為 ρv ’, 而其進入平面 P-P 之下方後會拉快較低速之流體, 造成一 x 方向之速度振動 u ’, (此速度振動因為是由拉快造成, 故為正值, u ’> 0), 故平面 P-P 上單位面積之x 動量傳輸量平均而言亦為 ''v u ρ- (正值). 故 ''v u ρ- 之物理意義與黏滯力造成之剪應力完全一樣, 稱為『紊流剪應力』(N/m 2, or Pa)。