中北大学概率统计练习册答案
最新中北大学概率统计习题册第一章完整答案(详解)讲课稿
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件{=A 两次出现的面相同}；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) 用+表示出现正面，-表示出现反面。
)},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 012{,,,,}kΩωωωω=，0123{,,,}A ωωωω=.其中k ω 表示1分钟内接到k 次呼唤，0,1,2,k=(3) 记x 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则{|0}x x Ω=≥， {|20005000}A x x =≤≤.2. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) 1342A B x x B ⎧⎫=≤≤=⎨⎬⎩⎭;(2) 10122AB x x x B ⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎩⎭或1131422x x x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭;(3) 因为B A ⊂，所以ΦAB =；(4)130242AB A x x x ⎧⎫=≤<<≤⎨⎬⎩⎭或=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 3. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）；(6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
中北大学概率统计习题册第八章完整答案(详解)
第八章 假设检验【主要内容】一、显著性检验的基本思想为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断，首先对它们提出一个假设0H ，然后在0H 为真的条件下，通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件居然发生了，就完全有理由拒绝0H 的正确性，否则没有充分理由拒绝0H 的正确性，从而接受0H ，这就是显著性检验的基本思想。
二、假设检验的基本步骤1.由实际问题提出原假设0H （备选假设1H ）；2.选取适当的统计量，并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布；3.根据问题的要求确定显著性水平α（一般题目中会给定），从而得到拒绝域；4.由样本观测值计算统计量的观测值，看是否属于拒绝域，从而对0H 作出判断。
三、两类错误当0H 本来是正确的，但检验后作出了拒绝0H 的判断，这种错误称为第一类错误，也称拒真错误；当0H 本来是不正确的，但检验后作出了接受0H 的判断，这种错误称为第二类错误，也称纳伪错误。
注：只对第一类错误加以控制，而不考虑第二类错误的假设检验，称为显著性检验。
四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验：设总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为来自X 的一个样本，显著性水平为α。
① 2σ已知时，对μ的假设检验：)1,0(~0N n X U σμ-=，（a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验）0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>；（b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验）0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>；（c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验）0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。
②2σ未知时，对μ的假设检验：)1(~0--=n t n SX T μ，（a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验）0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-；（b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验）0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-；（c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验）0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。
中北大学概率统计习题册第八章完整答案
第八章 假设检验【主要内容】一、显著性检验的基本思想为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断，首先对它们提出一个假设0H ，然后在0H 为真的条件下，通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件居然发生了，就完全有理由拒绝0H 的正确性，否则没有充分理由拒绝0H 的正确性，从而接受0H ，这就是显著性检验的基本思想。
二、假设检验的基本步骤1.由实际问题提出原假设0H （备选假设1H ）；2.选取适当的统计量，并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布；3.根据问题的要求确定显著性水平α（一般题目中会给定），从而得到拒绝域；4.由样本观测值计算统计量的观测值，看是否属于拒绝域，从而对0H 作出判断。
三、两类错误当0H 本来是正确的，但检验后作出了拒绝0H 的判断，这种错误称为第一类错误，也称拒真错误；当0H 本来是不正确的，但检验后作出了接受0H 的判断，这种错误称为第二类错误，也称纳伪错误。
注：只对第一类错误加以控制，而不考虑第二类错误的假设检验，称为显著性检验。
四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验：设总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X Λ为来自X 的一个样本，显著性水平为α。
① 2σ已知时，对μ的假设检验：)1,0(~0N n X U σμ-=，（a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验）0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>；（b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验）0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>；（c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验）0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。
②2σ未知时，对μ的假设检验：)1(~0--=n t n SX T μ，（a ）0100:,:μμμμ≠=H H ，（双边检验）0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-；（b ）0010:,:H H μμμμ≤>，（单边检验）0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-；（c ）0010:,:H H μμμμ≥<，（单边检验）0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。
中北大学概率统计习题册第七章完整答案
第七章 参数估计1.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+θ=θ其它010)1()(x x x f ，其中1->θ是未知参数,n X X X ,,,21Λ为取自总体X 的容量为n 的随机样本。
(1)求θ的矩估计量；解：由()101(1)d 2E X x x x θθθθ+=+=+⎰得 ()()211E X E X θ-=-所以，θ的矩估计量为XX --=112ˆθ; (2)求θ的极大似然估计量。
解：θ的似然函数为1()(1)nii L x θθθ==+∏取对数得对数似然函数()1ln ()ln 1ln ni i L n x θθθ==++∑令1d ln ()ln 0d 1ni i L nx θθθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为∑=--=ni iX n1ln 1ˆθ2.设总体X 的概率密度为其中0>θ未知,从总体中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ.(1)求θ的矩估计量；解：由()()212e d 2x E X x x θθθ+∞--==+⎰ 得()12E X θ=-所以θ的矩估计量为1ˆ2X θ=-； (2)求θ的极大似然估计量。
解：θ的似然函数为2()1()2i nx i L e θθ--==∏1222,,1,2,,nii x n n i eex i n θθ=-∑=≤=L是θ的增函数，而{}1min i i nx θ≤≤≤，所以θ的极大似然估计为 {}1ˆmin ii nX θ≤≤=。
3.设),,,(21n X X X Λ为来自总体),0(~2σN X 的一个样本,求2σ的极大似然估计并检验其是否为无偏估计。
解：2σ的似然函数为22221()i x ni L σσ-==对数似然函数为()222211ln ()ln 2πln 222n i i n n L x σσσ==---∑令222241d ln ()20d 2nii L n xσσσσ==-+=∑得2σ的极大似然估计量为2211ˆn i i X n σ==∑ 由于()()222iiE X D X σ== ，所以()()22211ˆni i E E X n σσ===∑ ()22()0x ex f x x θθθ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩这表明2211ˆn i i X n σ==∑是2σ的无偏估计。
中北大学概率统计习题册第五章完整答案(详解)
1. 设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=，则由契比雪夫不等式{}≤≥-σμ3X P 19。
2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据契比雪夫不等式{}≤≥-6Y X P 112。
3. 在一次试验中，事件A 发生的概率为21，利用契比雪夫不等式估计是否可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内？ 解： X 表示在1000次重复独立试验中事件A 发生的次数,则1~1000,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.于是:1()1000500,2E X np ==⨯=11()100025022D X =⨯⨯=(400600)(500100)P X P X <<=-<2250(100)10.975100P X EX =-<≥-=.因此可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内.4.用契比雪夫不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%？ 解：设n μ表示掷n 次铜币正面出现的次数，则1(,)2nB n μ，1()2n E n μ=，1()4n D n μ={0.40.6}{0.50.1}nnP P nnμμ≤≤=-≤2()25110.90.1nD n nμ≥-=-≥250n ⇒≥ 注：事实上，由中心极限定理{0.40.6}{0.40.6}nn PP n n nμμ≤≤=≤≤≈Φ-Φ(210.9=Φ-≥(()0.95 1.96Φ≥=Φ 1.96≥解之得 96.0365n ≥，所以，至少需投掷97次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%。
5.一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需85个部件工作，求整个系统工作的概率。
概率统计练习册习题解答(定)
概率统计练习册习题解答（定）习题1-1 样本空间与随机事件A,B,C 为三个事件，则A,B,C 中至少有一个不发 ”这一事件可表示为(D )(A ) ABU AC U BC (B ) AU BUC ( C ) ABC U ABC U ABC ( D )BUC 2）设三个元件的寿命分别为T”T 2,T 3，并联成一个系 ，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作， 件 系统的寿命超过t”可表示为（D ）B TT 2T 3t C min T I ,T 2,T 3 t用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 机事件A : 1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和, 件A 表示 点数之和大于10”。
O2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射 击的次数；事件A 表示 射击次数不超过5次o3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件 A 表示测1.选择题（1）设 生AUT i T 2 T 3tTT 2T3t 2. 随( 事 解： =3,4,5, ,18； A = 11,12, ,18解： =簽2,3，- A = ^2,3,4,5量长度与规格的误差不超过0.1。
O3 .设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关0.3； A= x; x-15 0.1x; x -15 解:系表示下列各事件：(1)A, B, C 都发生：解：ABC；(2)A, B, C都不发生：解：ABC(3)A发生，B与C不发生：解:A§C (或A-B-C)；(4)A, B, C中至少有一个发生：解：AuBuC(5)A, B, C中不多于两个发生：解：刁MUJ4.设某工人连续生产了4个零件，人表示他生产的件:(1 ) 只有一个是次品；A( A2A3A4 u A】A? A3A4 u A t A2 A3A4U A!A2A3A4(2)至少有一个次品；A-55uA。
(3)恰好有两个是次品；1.填空题(1)已知AuB, P(A) = 0.4 9 P(B) = 0.6 9贝|| P(A)=_0.6, P(AB)=0.4,P(JU^)=_0.6, P(AB) =_0.2 , P(AB) = 0 9 P(A B)=A P42A3 A4 uA] A2J3 A4 uAj A2A3J4A2 A3A4 u J]J2J3A4<J A}A2A3A4(4)至多有三个不是次品；A, u A2 u A? u A4 0习题1-2机事件的概率及计算第,个零件是正品(i = 1,2,3,4 ), 试用4表示下列各事0.4 o(2)设事件/与B互不相容，P(A) = 0A9 P(B) = 0.3,贝!| P(AB)=0.3 9 P(A\JB)= 0.6 o(3)盒子中有10个球，其中3个红球，接连不放回抽取五次，第一次抽到红球的概率 三次抽到红球的概率 4) 一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中 任取3件产品，其中恰有 1件次品的概率为5)某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日 恰好在同一个月的概率为0.3 ， 0.3 。
中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)说课讲解
中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1.设X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=111000)(2x x Ax x x F确定A 并求{}7.03.0≤<X P 。
解：由()F x 的右连续性得()11lim ()1x A F F x →+==={}()()220.30.70.70.30.70.30.4P X F F <≤=-=-=2. 检查下面数列，指出哪个是分布律，并说明理由,若是分布律,写出其分布函数. (1)5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； 解：由55()115x x xp x ====∑∑及 ()()00,1,,515xp x x =≥=L 知5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p 是分布律。
分布函数为0,11/15,123/1523()6/153410/154515x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩(2)3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 。
解：由253(3)06p -=<知 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 不是分布律。
3. 设离散型随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.04.03.0101,求：(1)X 的分布函数；解：010.310()0.70111x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩(2) }21{≤≤-X P 。
解：{12}P X -≤≤()()()21110.30.31F F P X =-+=-=-+=4.某射手的射击命中率为p ，现对一目标连续射击，直到第一次击中为止。
令X 表示到第一次击中为止所用的射击次数，试求X 的概率分布。
解：设i A ={第i 击中目标}，1,2,i =L()()11P X P A p === ()()()12111,1,2,k k k P X k P A A A A p p k --===-=L L5. 已知随机变量X 的密度函数为,01,()(2),12,0,kx x f x k x x <<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.试求:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）常数k ； 解：1211()d d (2)d f x x kx x k x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰22k kk =+= 即 1k =（2）X 的分布函数； 解： ()()dt x F x f t -∞=⎰()()010112100dt01dt 2dt 12dt 2dt 2xxx t x t t x t t x ≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨+-<≤⎪⎪⎪+->⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 22000122112212x x x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪--<≤⎪⎪>⎩（3）13{}22P X <<。
中北大学概率统计习题册完整答案详解
1 )设 X ~ B(n, p),则 EX np , DX npq 。
2 )设 X ~ P(),则 EX , DX 4 )设 X ~U a,b ,则 EX1 0.9995000 5 0.9994999 0.959643.设某商店中每月销售某种商品的数量服从 参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少 进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概 率为。
解：设进货数件数为 N ，当月销售需求为 X ， 则由题意知X ~ P 7，且DX率。
今在同一工序下，独立生产 5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。
解：设X 表示5000件产品中的次品数，则N7kP X N—e 7 0.999 k 0k!查泊松分布的数值表，可得 N 16.4 .地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟， 一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。
解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为 X;其数学期望和分别 为 X ~U [0,5] , EX5 ； DX 25212 5.设 X ~ N 10, 2 ,P 10 X200.3求: (1) P(X 10);加10 10解: P(X 10)0 0.5 ;X 〜B 5000, 0.001 。
5000 0.001 5，6)设(X,Y)〜N(1,1;2,9;0.5),则 EX1，DX 1 ， EY2， DY 9------?Cov(X,Y)=。
7）已知螺钉的重量服从 N 50, 2.52 ，贝V100个螺钉总重量服从分布N 5000, 625 o5)设 X ~ N( , 2),则 EX22.已知在一定工序下，生产某种产品的次品 13)设 X ~ E(),则 EX 丄，DX1~212 ,DX⑵ P(0 X 10)；则PX2 1PX0PX05000 49991 0.999 5000 0.001 0.9995051.5 5 5 51 e e0! 1!1 0.00674 0.03369 0.95957 由P 10 X 2020 10 10 10100.5 =(2)若XY =，求Cov(X,Y)，EZ,DZ。
中北大学概率统计习题册第一章完整答案(详解)
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件{=A 两次出现的面相同}；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) 用+表示出现正面，-表示出现反面。
)},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 012{,,,,}k Ωωωωω= ，0123{,,,}A ωωωω=.其中k ω 表示1分钟内接到k 次呼唤，0,1,2,k =(3) 记x 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则{|0}x x Ω=≥， {|20005000}A x x =≤≤.2. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) 1342A B x x B ⎧⎫=≤≤=⎨⎬⎩⎭ ;(2) 10122AB x x x B ⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎩⎭或1131422x x x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭; (3) 因为B A ⊂，所以ΦAB =；(4)130242A B A x x x ⎧⎫=≤<<≤⎨⎬⎩⎭或 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 3. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)
1. 设随机变量X 的分布列为解：()2E X +10.100.220.4=⨯+⨯+⨯ 30.140.22+⨯+⨯=()E X 10.120.200.4=⨯+⨯+⨯10.120.21+⨯+⨯=()22E X +30.160.220.4=⨯+⨯+⨯30.160.2 3.8+⨯+⨯= 2. 设随机变量X 的分布列为：{} 3,2,1,1===-k pqk X P k ,其中p 为常数，01p <<，1q p =-。
求(),()E X D X 。
解：11()k k E X kpq+∞-==∑()111k k k q q+∞-==-∑111k kk k kqkq +∞+∞-===-∑∑()011k k k k k q kq +∞+∞===+-∑∑01111k k q q p+∞====-∑ 2211()k k E X k pq +∞-==∑()11211k k k k k k pqkpq+∞+∞--===-+∑∑()()122111k k k k k k q k k q p +∞+∞-===---+∑∑()()12111kk k k k k q k k q p+∞+∞===+--+∑∑ 112k k kq p+∞==+∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p=+ 所以，()()22()D X E X E X =-222211q qp p p p =+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为1()exp{}2x f x μλλ-=-，其中0λ>为常数，求()E X 。
解：1e d 2x EX x x μλλ--+∞-∞=⎰()11e d e d 2211e d e d 22x x ttx x xt t x μμλλλλμμλλμμλλ----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-+=+=⎰⎰⎰⎰注：关于绝对收敛性01e d 211ed e d 2211e d e d 22x x x ttx xx x xt x t x μλμμλλλλλμμλλμμλλ--+∞-∞----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞≤-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ λμ=+或1e d 2x x x μλλ--+∞-∞⎰||1e d ()2t x t t t μλμλ+∞--∞-=+=⎰当0μ≥时()||e d e d t t t t t t μλλμλμ+∞---∞-∞+=-+⎰⎰()()0e d e d tt t t t t μλλμλμ+∞--++++⎰⎰()ee μμλλλμλλλμ--⎛⎫=+-+++ ⎪⎝⎭2e2μλλμ-=+当0μ<时()0||e d e d t tt t t t λμλμ+∞--∞-∞+=-+⎰⎰()()0ed ed ttt t t t μλμλλμλμ-+∞---++++⎰⎰()e e μμλλλμλμλλ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭2e 2μλλμ=-综上所述，我们有()||1||e d ||2x E X x x e μμμλμλλ---+∞-∞==+⎰4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它1)(b x a ab x f ，求圆的周长L 和面积S 的数学期望。
概率统计练习题答案
概率统计练习题答案概率统计练习题答案概率统计是一门重要的数学学科，它研究的是随机事件的概率和统计规律。
在学习概率统计的过程中，练习题是非常重要的一部分，通过解答练习题可以巩固知识，提高解题能力。
下面我们来看一些常见的概率统计练习题及其答案。
1. 随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(X<3)。
答案：首先计算标准差，标准差为2，然后计算X的标准化值z=(3-2)/2=0.5。
查找标准正态分布表可得P(Z<0.5)=0.6915，所以P(X<3)=0.6915。
2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品，求恰好有1个次品的概率。
答案：假设成功事件为抽到次品，失败事件为抽到正品。
根据二项分布的公式，概率P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功概率。
代入数据可得P(X=1)=C(5,1)0.1^1(1-0.1)^(5-1)=0.32805。
3. 某班级有60%的学生喜欢数学，40%的学生喜欢英语，20%的学生既喜欢数学又喜欢英语，求一个学生既不喜欢数学也不喜欢英语的概率。
答案：根据概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A、B为事件。
代入数据可得P(数学∪英语)=P(数学)+P(英语)-P(数学∩英语)=0.6+0.4-0.2=0.8。
所以一个学生既不喜欢数学也不喜欢英语的概率为1-0.8=0.2。
4. 某地每天的天气有30%的可能是晴天，20%的可能是雨天，50%的可能是阴天。
如果今天是晴天，那么明天是雨天的概率是多少？答案：根据条件概率公式P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，其中A为今天是晴天的事件，B为明天是雨天的事件。
代入数据可得P(明天是雨天|今天是晴天)=P(今天是晴天∩明天是雨天)/P(今天是晴天)=0.3*0.2/0.3=0.2。
5. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取10个产品，求至少有1个次品的概率。
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)知识讲解
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1. 设随机变量X 的分布列为解：()2E X +10.100.220.4=⨯+⨯+⨯ 30.140.22+⨯+⨯=()E X 10.120.200.4=⨯+⨯+⨯ 10.120.21+⨯+⨯=()22E X +30.160.220.4=⨯+⨯+⨯30.160.2 3.8+⨯+⨯= 2. 设随机变量X 的分布列为：{}Λ3,2,1,1===-k pqk X P k ,其中p 为常数，01p <<，1q p =-。
求(),()E X D X 。
解：11()k k E X kpq +∞-==∑()111k k k q q +∞-==-∑111k k k k kqkq +∞+∞-===-∑∑()011kk k k k q kq +∞+∞===+-∑∑01111k k q q p+∞====-∑ 2211()k k E X k pq +∞-==∑()11211k k k k k k pqkpq+∞+∞--===-+∑∑()()122111k kk k k k qk k q p +∞+∞-===---+∑∑()()12111kkk k k k q k k q p +∞+∞===+--+∑∑112k k kq p+∞==+∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p=+ 所以，()()22()D X E X E X =-222211q qp p p p=+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为1()exp{}2x f x μλλ-=-，其中0λ>为常数，求()E X 。
解：1e d 2x EX x x μλλ--+∞-∞=⎰()11e d e d 2211e d e d 22x x ttx x xt t x μμλλλλμμλλμμλλ----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-+=+=⎰⎰⎰⎰注：关于绝对收敛性01e d 211ed e d 2211e d e d 22x x x ttx xx x xt x t x μλμμλλλλλμμλλμμλλ--+∞-∞----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞≤-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ λμ=+或 1e d 2x x x μλλ--+∞-∞⎰||1e d ()2t x t t t μλμλ+∞--∞-=+=⎰当0μ≥时()||e d e d t t t t t t μλλμλμ+∞---∞-∞+=-+⎰⎰收集于网络，如有侵权请联系管理员删除()()0e d e d tt t t t tμλλμλμ+∞--++++⎰⎰()ee μμλλλμλλλμ--⎛⎫=+-+++ ⎪⎝⎭2e2μλλμ-=+当0μ<时()0||e d e d t t t t t t λμλμ+∞--∞-∞+=-+⎰⎰ ()()0ed e d ttt t t t μλμλλμλμ-+∞---++++⎰⎰()e e μμλλλμλμλλ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭2e 2μλλμ=-综上所述，我们有()||1||e d ||2x E X x x eμμμλμλλ---+∞-∞==+⎰4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它1)(b x a ab x f ，求圆的周长L 和面积S 的数学期望。
中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)教学内容
中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢- 15 -1. 填空1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX =npq 。
2）设~()X P λ,则EX =λ，DX =λ。
3）设~()X E λ,则EX =1λ，DX =21λ。
4）设[]~,X U a b ,则EX =2a b+，DX =()212b a -。
5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ，DX =2σ。
6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。
7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000,625N 。
2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。
今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。
解：设X 表示5000件产品中的次品数，则()~5000,0.001X B 。
50000.0015λ=⨯=，则()()()2100P X P X P X ≥=-=-=5000499910.99950000.0010.999=--⨯⨯01555510!1!e e--≈--10.006740.033690.95957=--=注：实际上5000499910.99950.9990.95964--⨯=3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且{}707e 0.999!k Nk P X N k -=≤=≥∑查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。
解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别为()~[0,5]X U ，52EX =；2512DX =。
中北大学概率统计练习册答案
第一章 随机事件与概率1、（1）{3,4,,18}Ω=，{4,6,,18}A =；（2）Ω={（正，反），（正，正），（反，正），（反，反）}，B ={（正，反），（正，正）}。
2、（1）表示三门炮中至少有一门炮击中目标 （2）表示三门炮中至少有两门炮击中目标 （3）表示三门炮都击不中目标（4）表示三门炮中至少有一门击不中目标 或表示三门炮中至多有两门炮击中目标 （5）ABC ABC ABC ++ （6）ABC ABC ABC ++ （7）ABC （8）A B C ++ 3、（1）18（2）16 （3）724（4）344、m n5、（1）0.00539（2）0.037956、⑴1221146252212P C C C C C =＝3316（2）33177、8541999n n nn n n --+8、17259、0.25 10、（1）0.2； （2）0.4； （3）0.8； （4）0.7。
11、（1）0.85（2）0.941 12、178013、2112mm M m m C C C C -+或222mM M mC C C -- 14、（1）22p p +；（2）21p p +；（3）2322p p -15、(1)512（2）82516、0.042；0.02317、设A =“甲机床需要看管”； B =“乙机床需要看管”； C =“丙机床需要看管”；A B C 、、相互独立，（1）0.003； （2）0.388 18、独立 19、0.99420、 (1) D ； (2) D ； (3) C ； (4) B21、(提示：先求出击不沉的概率)1283/129622、150010.9980.95-≈第二章 随机变量及其概率分布1、2、（1）17C =；（2）67。
3、（1）0,11/3,14()1/2,465/6,6101,10x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2) {26}P X <≤12=；{4}P X <13=；{15}P X ≤<12=。
中北大学概率论与数理统计习题答案
概率论与数理统计考试试题一、单项选择题1、对任意事件A、B，下列式子正确的是[单选题] *A 、B、C、*D 、2、A、B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则必有[单选题] *B、C、D、*A、3、[单选题] *A、0.1*B、0.2C、0.3D、0.44、[单选题] *A、B、C、D、*5、将一枚骰子连掷两次，则两次点数之和为5的概率为[单选题] *A、1/6B、1/36C、5/9D、1/9*6、在区间内任取一个数，这个数在区间[0, 10]中点的概率为[单选题] *A、5B、0*C、0.5D、无法确定7、设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球.现在将2个白球放入箱中，然后从箱中任取一个球，则取出的是白球的概率为[单选题] *A、1/5B、4/5C、2/3D、5/6*8、[单选题] *A 、B、C 、D、*9、[单选题] *A、0.4B、0.5C、0.6*D、0.710、[单选题] *A、0.4B、0.5C、0.6D、0.7*11、下列函数为某随机变量密度函数的是[单选题] *A、*B、C、D、12、[单选题] *A、0.3B、0.5*C、0.45D、0.213、[单选题] *A、1B、2C、-1*D、-214、[单选题] *A、1/5B、4/5C、2/3D、1/3*15、[单选题] *A、10B、11C、12*D、1316、[单选题] *A、0.1B、0.2C、0.3*D、0.417、[单选题] *A、a=0.4，B、a=0.1，b=0.4C、a=0.4，b=0.2D、a=0.2，b=0.2 b=0.1*18、[单选题] *A、0.10B、0.15C、0.60*D、0.5519、[单选题] *A、1/6*B、4/5C、5/6D、1/320、[单选题] *A、1/8*B、8C、1/6D、6二、判断题1、[判断题] *对错*2、[判断题] *对错*3、[判断题] *对错*4、[判断题] *对错*5、随机变量是一个定义在样本空间上，以样本点作为自变量的单值函数。
概率统计练习册习题解答(定)
习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。
解：{},18543，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。
3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C（3） A 发生，B 与C （4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃（5）A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P，则)(A P )(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A PB ==，则()P AB ()P AB 0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ）(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。
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第一章 随机事件与概率1、（1）{3,4,,18}Ω=，{4,6,,18}A =；（2）Ω={（正，反），（正，正），（反，正），（反，反）}，B ={（正，反），（正，正）}。
2、（1）表示三门炮中至少有一门炮击中目标 （2）表示三门炮中至少有两门炮击中目标 （3）表示三门炮都击不中目标（4）表示三门炮中至少有一门击不中目标 或表示三门炮中至多有两门炮击中目标 （5）ABC ABC ABC ++ （6）ABC ABC ABC ++ （7）ABC（8）A B C ++ 3、（1）18（2）16 （3）724（4）344、m n5、（1）0.00539（2）0.037956、⑴1221146252212P C C C C C C =＝3316（2）33177、8541999nnnn n n --+8、17259、0.2510、（1）0.2； （2）0.4； （3）0.8； （4）0.7。
11、（1）0.85（2）0.941 12、178013、2112mm M m m C C C C -+或222mM M mC C C -- 14、（1）22p p +；（2）21p p +；（3）2322p p -15、(1)512（2）82516、0.042；0.02317、设A =“甲机床需要看管”； B =“乙机床需要看管”； C =“丙机床需要看管”； A B C 、、相互独立， （1）0.003； （2）0.388 18、独立 19、0.99420、 (1) D ； (2) D ； (3) C ； (4) B 21、(提示：先求出击不沉的概率)1283/1296 22、150010.9980.95-≈第二章 随机变量及其概率分布2、（1）17C =；（2）67。
3、（1）0,11/3,14()1/2,465/6,6101,10x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2) {26}P X <≤12=；{4}P X <13=；{15}P X ≤<12=。
4、（1）11{}(1),1,2,3,k k P X k q p p p k --===-=（2）11{},,1,r r k rk P X k C p qk r r ---===+（3）211111{2}0.45(0.55)31k k k P X k ∞∞-=====∑∑ 5、 （1）4k =；（2）{0.8}0.1296P X >=。
6、(1) 1A = (2) 1(3)011()(arcsin )11211x F x x x x ππ<-⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩7、（1）11()0x e f x x else ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩（2）ln52ln 2-8、(1)808160.20.30.10.4-⎛⎫⎪⎝⎭(2)1250.30.30.4⎛⎫⎪⎝⎭9、（1）211,12()0,Y y yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他； （2）()Y fy 010,y <<=⎩其他10、（1）在放回抽样的情况下，(,)X Y 的联合分布列为：随机变量X 的边缘分布律为：随机变量Y 的边缘分布律为：X 与Y 是相互独立的（2）在不放回抽样的情况下，(,)X Y 的联合分布列为：随机变量X 的边缘分布律为：随机变量Y 的边缘分布律为：因为{0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 是不独立的。
11、12、（1）18k =；（2）38；（3）2732； （4）23。
13、 （1）6A =；（2）22(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其它（3）22,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩23,()0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ （4）6170.983e--≈。
14、X 2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它1,10;()1,010,Y y y f y y y +-<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它15、(1)1124a b +=,(2) 13,128a b == 16、 1,01()(1),10,z z Z e z f z e e z --⎧-<<⎪=-≥⎨⎪⎩其它。
*17、 010.250.75⎛⎫⎪⎝⎭*18、 {}{}2040P P X Y ∆≥=-≥=14412l l l ⎧->⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩第三章 随机变量的数字特征1、 易知的分布列为所以()9E X =；() 3.4D X = 2、 1[1(1)]Nn n--。
3、 1212{2}(1)(1)P X p p p p ==+--{3}P X ==21112(1)(1)p p p p p -+- {4}P X =112(1)(1)p p p =--则()E X 112(2)[1(2)]p p p =-+-。
4、211,pp p - 5、()0E X = ()2D X =。
6、 μ7、4k =，3a =。
8、（1）12c =； （2）1{11}4P x -<<=； （3）4()3E X =； （4）2()9D X =。
9、（1）(5212E X -=-； （2）(25)20D X -+=。
10、（1）()0E Y =；（2）()1D Y =。
11、9812、 （1）9.6（2）14.1。
13、 2Y X = 14、 （1）2()3E X =，1()3E Y =； （2）1()18D X =，1()18D Y =； （3）1cov(,)36X Y =，12XY ρ=；（4）()E XY 14=，22()E X Y +23=15、 设进货量为a,利润为Y 则500300(),30500100()10a X a X aY X a X X a+-≥>⎧=⎨--≤≤⎩[]101()500100()20aE Y x a x dx =--⎰[]301500300()928020a a X a dx ++-≥⎰ 23026,3a a ∴≤≤最少为2116、（1）21,318，（2）21,318d =（3）()D X*17、 1{1}2P X ==，11{2}23P X ==⋅，121{3}234P X ==⋅⋅，1231111{}23411k P X k k k k k -==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅++ 11111()11k k E X k k k k ∞∞===⋅⋅==∞++∑∑，故X 的数学期望不存在。
第四章 几类重要的概率分布1、设X 表示提出正确意见的顾问人数， 则(3,0.8)XB{2}{2}{3}P X P X P X ≥==+=0.896=2、设X 表示同时开动机床数的台数， 则2(5,)3XB（1）80{4}243P X ==； （2）{2}P X ≤1781=（3）210()533E X np ==⨯=；（4== 3、 0.95957 4、（1）4λ= 则()4E X λ==； （2）48{2}0.1465P X e ==≈。
5、 16a = 6、 （1）{10}0.5P X <= （2）{010}0.3P X <<= （3）{0}P X < =0.2 7、 （1）()2E Z =()97D Z = ,X Z ρ=（2）(,) 2.4Cov X Y= ()2E Z =()D Z 82.6=8、最多装39袋水泥 9、 （10.2231≈；（20.0111≈。
10、 （1）{0.2}P X <=0.4； （2）()0E X =。
11、（1）()101,03,3x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他（2）()P X Y <=56（3）第五章 基本极限定理1、1212、23、22,μμσ+4、设X 表示晚间同时去图书馆上自习的人数， {650750}P X <<0.916≥。
5、设n μ表示掷n 次铜币正面出现的次数，则{0.40.6}nP nμ≤≤0.9≥250n ⇒≥ 6、0.6826 7、（1）0.5436。
（2）0.98169。
8、（1）0.1802（2）最多只能有443个 9、0.7062 10、（1）0.0003。
（2）0.511、因i X 服从参数为λ的指数分布,故:11lim {[(}n ni i n i i P X E X x →∞==-≤∑∑1lim (ni n i P X n x λ→∞=⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭∑()x =Φ.第六章 样本及抽样分布1、 （1）1121{,,,}n n P X x X x X x ===11(1)nniii i x n x pp ==-∑∑=-。
（2）11{}(1),0,1,,nk kk i n i P X k C p p k n-===-=∑（3）()E X p =，(1)()p p D X n-=， 2()(1)E S p p =-。
2、样本均值：13.42()x mm ≈ 样本方差：220.01221()s mm ≈220.01215()B mm ≈。
3、 (1)40≥n ；（2）1537≥n ；（3）255≥n ；4、 证：略5、 0.95446、 (1)(1)(),()p p E X p D X n-== (2)2()(1)E S p p =- 7、提示：(0,1)X U N =2222(1)(1)n S n χχσ-=-8、（1）)2(2n χ，（2）)1(2χ，（3）()n n F ,，（4）)(n t ，（5）)2(t 9、D A C ,,10、1210.932,62.082αα==11、 2706.2σn 12、11,;220100a b == *13、 （1）212,01()0,n Z nz z f z -⎧≤≤=⎨⎩其它（2）12101{min{,,,}}2P X X X >1210111{,,,}222P X X X =>>>第七章 参数估计1、 ˆ1147x μ== 22ˆs σ=7578.9=。
2、 (1) 3ˆ2X θ-= 5ˆ8θ= (2) 53()2(1)L θθθ=- 5ˆ8θ=3、（1) ˆ1/X λ= (2) 1ˆ/1/n i i n X X λ===∑4、 2211ˆn i i X n σ==∑,无偏估计 5、[443.5,448.5]。
6、[68.2,71.8]。
7、[12.49,118.34]。
8、（11ˆ(221191245)2206x μ==+++=（2）22ˆs σ=662.4=。