椭圆(1)

y B x F1 O F2 A
解：在等边△BF1F2中，BF1＝BF2＝a, F1F2=2c, ∴ a=2c, 且AF2=a －c=3, ∴ c=3, a=6, ∴ b2=36－9=27, ∴ 椭圆的方程是
x y 1 36 27
2
2
例四. 已知圆A的半径为2a, 圆内有一定 点B，A、B间的距离为2c(c<a)，P为圆 上一动点，AP为半径，连接BP，作线 段BP的垂直平分线交AP于M，当P点在 圆上运动时，求点M的轨迹方程。
； / 真空干燥箱
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衣上的泥土。几个人把老人家抬回北面的屋子里，放到床上盖上被子。七嘴八舌地安慰一番，就都又到院子里看老妇人了。那个大男娃儿拿着 一沓子黄表纸返回来了。壮年妇人接过来，对年轻妇人说：“最好是烧在脸盆儿里吧，流了那么多血，估计得不少纸灰呢！”年轻的妇人说： “是哩，我去拿脸盆儿！”纸灰烧好了。壮年汉子和年轻男人小心地抓着肩膀把老夫人扶坐起来，耿正和那个大男娃儿一边一个扶住可怜的老 妇人那耷拉着立不住的脑袋。年轻妇人端着脸盆儿，壮年妇人抓起纸灰，一把一把地按在老人还在流血的后脑勺上。半脸盆儿纸灰全部按上去 之后，老人后脑勺上那个两寸多长的大口子终于不再流血了，大家这才松了一口气。壮年汉子说：“咱们把粱婶儿也抬回屋里去吧！”耿正对 惊魂未定的弟弟和妹妹说：“你俩就在院子里陪着那两位大哥吧！”耿英点点头拉着弟弟来到两个伙计的身边，不安地看着俩人在昏暗中有些 扭曲的痛苦面孔„„那边，耿正和那个大男娃儿扶着老妇人的头，其余人抬着她的身体，小心翼翼地把昏迷不醒的可怜老人慢慢地抬回屋子里， 也放到床上盖上被子。老爷子哭着问：“她真得没事儿吗？真还活着吗？”壮年妇人说：“真没事儿，已经止住血了！”年轻妇人说：“只是 叫不醒。唉，这要什么时候才能醒过来啊？”耿正说：“等天亮了，得找一个郎中来医治医治呢！”老爷子哭得更厉害了，说：“可积攒下的 银子都被这贼抢走了啊，只剩了这屋那个抽屉里，还有不到三两，是最近几个月里赚的„„”昏暗的灯光下，耿正看到两对邻里夫妇面有难色， 就说：“不碍事，救人要紧！我们兄妹三个也攒了一点儿银子呢。如果不够，我们来添！只是我们来这里时间不长，不知道哪位郎中医治得了 这种伤病。”壮年男人说：“这倒好说，东大街上的张郎中在医治跌打损伤方面就很有经验呢，明儿个早饭后，我就去请他来给老婶子瞧一瞧。 还有，梁叔也需要上一些跌打损伤的药呢！”其他几个邻里人也都说：“应该请张郎中医治的！在医治跌打损伤方面，别的几个郎中，都比不 上他呢。”耿正又说：“这事情还应该向当地衙门报案的，或许能追回一部分被这窃贼抢走的财物呢！即使追不回来，也好让衙门派人追查缉 拿他，免得这贼人再祸害镇上的其他人家！”大家都点头称是。耿正说：“这事儿也得各位办呢！”年轻男人说：“我去报案吧！前一阵子， 县衙在咱这镇子上安插了一个只有两三个人的巡捕房呢，听说就在镇东头离龙王庙不远的地方。”耿正看看眼下也只能是这样了，就对这两对 邻里夫妇说：“你们照看两位老人吧，我去看看那两个伙计。如果他们都没有事儿，我们就先走了！唉，他俩本来是送我们回来的，却遇到了 这样的事情！”壮年妇人问：“你们不是
解：以直线AB为x轴，AB中点为原点 建立直角坐标系，
∵ 点M在线段BP的垂直平分线上，
∴ |BM|＝|PM|， ∴ |AM|＋|BM|＝|AM|＋|PM| ＝|AP|＝2a, 又|AB|＝2c,
∴ M点的轨迹是以A、B为焦点的椭 圆,椭圆的长轴为2a, 焦距为2c,
∴ M点的轨迹方程是x2 来自2 2 2 2 1 ( b = a － c ) 2 2 a b
b2=a2－c2=9, b=3,
因此,这个椭圆的标准方程是
x y 2 1 2 5 3
2
2
即
x y 1 25 9
2
2
例二. 已知△ABC的周长为16，其中 A(－3, 0), B(3, 0), 求顶点C的轨迹方程。
解：∵ |CA|+|CB|+|AB|=16,且|AB|=6,
∴ |CA|+|CB|=10, 即点C到A、B两点的距离的和等于 常数10，
由椭圆定义可知，2a>2c, 即a>c, ∴ a2－c2>0, 设b2=a2－c2 (b>0), 得 b2x2+a2y2=a2b2, 两边除以a2b2得
y x 1 ( a > b >0) 2 2 a b
2
2
例一. 平面内两个定点的距离是8, 写出 到这两个定点的距离的和是10的点的 轨迹方程. 解: 这个轨迹是一个椭圆, 两个定点是 焦点,用F1, F2表示, 取过点F1和F2的直线 为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, ∵ 2a=10, 2c=8, ∴ a=5, c=4,
( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
将这个方程移项，两边平方，得
(x+c)2+y2=4a2－4a ( x c) 2 y 2 +(x－c)2+y2
∴ a2－cx=a ( x c) y ,
2 2
两边再平方，得 a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2),
∴ C点的轨迹是以A、B两点为焦点 的椭圆，
在椭圆中，c=3, 2a=10, a=5, ∴ b=4, ∴ 点C的轨迹方程是
x y 1 (y≠0) 25 16
2
2
例三. 设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴 的一个端点与两个焦点组成一个正三角 形，且焦点到椭圆长轴端点的最短距离 是3，求此椭圆的方程。
椭圆的定义
中国人民大学附属中学
一 椭圆的定义
• 在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数 ( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭 圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做焦距。
二 椭圆的标准方程
• 设 M(x, y) 是椭圆是上任意一点，椭圆的 焦距为2c (c>0)，则建立直角坐标系，使 F1、F2的坐标分别是F1(－c, 0), F2(c, 0)， 若 M 点与 F1 、 F2 两点的距离的和等于 2a (a>c>0)，则 |MF1|＋|MF2|＝2a,即