安徽省滁州市九校2017届高二下学期期末联考数学(理)试题Word版含答案
2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)
数学试卷(理数)时间:120分钟总分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知为实数,,则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若,则全为”的逆否命题是“若全不为0,则”D.一个命题的否命题为假,则它的逆命题一定为假4.若,,,,则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明:(1)当时,左边,右边,所以等式成立;(2)假设时等式成立,即成立,则当时,,所以时等式也成立.由(1)(2)知,对任意的正整数等式都成立.经判断以上评述A.命题,推理都正确B.命题正确,推理不正确C.命题不正确,推理正确D.命题,推理都不正确6.椭圆的一个焦点是,那么等于A.B.C.D.7.设函数(其中为自然对数的底数),则的值为A. B. C. D.8.直线(为参数)被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数,则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步,程序设计师让机器狗以前进步,然后再后退步的规律移动,如果将此机器狗放在数轴的原点,面向数轴的正方向,以步的距离为个单位长,令表示第秒时机器狗所在位置的坐标.且,那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上,、是这条双曲线的两个焦点,,且的三条边长成等差数列,则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题(每小5分,满分20分)13.若,则__________.14.在三角形ABC中,若三个顶点坐标分别为,则AB边上的中线CD的长是__________.15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点,A为椭圆上一点,M为AF1中点,N为AF2中点,O为坐标原点,则的最大值为__________.16.已知函数,过点作函数图象的切线,则切线的方程为。
2017年高二下学期期末数学试卷两套合集三理科附答案解析
2017年高二下学期期末数学试卷两套合集三(理科)附答案解析高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题(每题5分)1.如果复数z=a2+a﹣2+(a2﹣3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为()A.﹣2 B.1 C.2 D.1或﹣22.给出如下四个命题:①若“p∨q”为真命题,则p、q均为真命题;②“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”;③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,x2+x≤1”;④“x>0”是“x+≥2”的充要条件.其中不正确的命题是()A.①② B.②③ C.①③ D.③④3.对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则下列说法中不正确的是()A.由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心(,)B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系4.下面几种推理中是演绎推理的是()A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可以导电B.猜想数列5,7,9,11,…的通项公式为an=2n+3C.由正三角形的性质得出正四面体的性质D.半径为r的圆的面积S=π•r2,则单位圆的面积S=π5.因为a,b∈R+,a+b≥2,…大前提x+≥2,…小前提所以x+≥2,…结论以上推理过程中的错误为()A.小前提B.大前提C.结论 D.无错误6.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为()A.B.C.D.7.设Sn 是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则的值为()A.B.C.D.8.在△ABC中,B=,c=150,b=50,则△ABC为()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形9.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有()A.6种B.9种 C.11种D.23种10.函数f(x)=sinx+2x,若对于区间[﹣π,π]上的任意x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.4πB.2πC.πD.011.设直线l与曲线f(x)=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C,且|AB|=|BC|=,则直线l的方程为()A.y=5x+1 B.y=4x+1 C.y=x+1 D.y=3x+112.已知函数f(x)=,若对任意的x1,x2∈[e2,+∞),有||>,则实数k的取值范围为()A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,1)C.[2,+∞)D.(2,+∞)二、填空题(每题5分)13.在(x﹣)5的二次展开式中,x2的系数为________(用数字作答).14.以模型y=ce kx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4,则c=________.15.现有16个不同小球,其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个,从中任取3个,要求这3个小球不能是同一颜色,且红色小球至多1个,不同的取法为________.16.设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x++7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为________.三、解答题17.数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1﹣2,数列{b n }是首项为a 1,公差为d (d ≠0)的等差数列,且b 1,b 3,b 11成等比数列. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设,求数列{c n }的前n 项和T n .18.某火锅店为了了解气温对营业额的影响,随机记录了该店1月份中5天的日营业额y (单位:千元)与该地当日最低气温x (单位:℃)的数据,如表: x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 (Ⅰ)求y 关于x 的回归方程=x+;(Ⅱ)判定y 与x 之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为6℃,用所求回归方程预测该店当日的营业额.(Ⅲ)设该地1月份的日最低气温X ~N (μ,δ2),其中μ近似为样本平均数,δ2近似为样本方差s 2,求P (3.8<X <13.4)附:①回归方程=x+中, =, =﹣b .②≈3.2,≈1.8.若X ~N (μ,δ2),则P (μ﹣δ<X <μ+δ)=0.6826,P (μ﹣2δ<X <μ+2δ)=0.9544.19.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人,陈老师采用A ,B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如图).记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关.甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计附:.P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02420.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;(Ⅲ)求二面角A﹣BE﹣D的大小.21.已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(,0),上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)过原点O的直线l与椭圆交于A,B两点,如果△FAB为直角三角形,求直线l的方程.22.已知函数f(x)=(其中k∈R,e是自然对数的底数),f′(x)为f(x)导函数.(Ⅰ)若k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f′(1)=0,试证明:对任意x>0,f′(x)<恒成立.参考答案与试题解析一、选择题(每题5分)1.如果复数z=a2+a﹣2+(a2﹣3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为()A.﹣2 B.1 C.2 D.1或﹣2【考点】复数的基本概念.【分析】纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b≠0,根据这个条件,列出关于a的方程组,解出结果,做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确.【解答】解:∵复数z=a2+a﹣2+(a2﹣3a+2)i为纯虚数,∴a2+a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0,∴a=﹣2,故选A2.给出如下四个命题:①若“p∨q”为真命题,则p、q均为真命题;②“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”;③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,x2+x≤1”;④“x>0”是“x+≥2”的充要条件.其中不正确的命题是()A.①② B.②③ C.①③ D.③④【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①“p∨q”为真命题,p、q二者中只要有一真即可;②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论;③直接写出全称命题的否定判断;④利用基本不等式,可得结论.【解答】解:①“p∨q”为真命题,p、q二者中只要有一真即可,故不正确;②“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”,正确;③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,x2+x<1”,故不正确;④“x>0”时,“x+≥2”,若“x+≥2”,则“x>0”,∴“x>0”是“x+≥2”的充要条件,故正确.故选:C.3.对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则下列说法中不正确的是()A.由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心(,)B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系【考点】两个变量的线性相关.【分析】线性回归方程一定过样本中心点,在一组模型中残差平方和越小,拟合效果越好,相关指数表示拟合效果的好坏,指数越小,相关性越强.【解答】解:样本中心点在直线上,故A正确,残差平方和越小的模型,拟合效果越好,故B正确,R2越大拟合效果越好,故C不正确,当r的值大于0.75时,表示两个变量具有线性相关关系,故选C4.下面几种推理中是演绎推理的是()A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可以导电=2n+3B.猜想数列5,7,9,11,…的通项公式为anC.由正三角形的性质得出正四面体的性质D.半径为r的圆的面积S=π•r2,则单位圆的面积S=π【考点】演绎推理的意义.【分析】本题考查的是演绎推理的定义,判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义,能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分.【解答】解:选项A是由特殊到一般的推理过程,为归纳推理,选项B,是由特殊到一般的推理过程,为归纳推理,选项C:是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程,是类比推理,选项D半径为r圆的面积S=πr2,因为单位圆的半径为1,则单位圆的面积S=π中,半径为r圆的面积S=πr2,是大前提单位圆的半径为1,是小前提单位圆的面积S=π为结论.故选:D.5.因为a,b∈R+,a+b≥2,…大前提x+≥2,…小前提所以x+≥2,…结论以上推理过程中的错误为()A.小前提B.大前提C.结论 D.无错误【考点】进行简单的演绎推理.【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理,是一种必然性的推理,演绎推理得到的结论不一定是正确的,这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确,演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提小前提和结论. 【解答】解:∵,这是基本不等式的形式,注意到基本不等式的使用条件,a ,b 都是正数,是小前提,没有写出x 的取值范围,∴本题中的小前提有错误, 故选A .6.设随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),则函数f (x )=x 2+2x+ξ不存在零点的概率为( ) A .B .C .D .【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;函数的零点;古典概型及其概率计算公式.【分析】函数f (x )=x 2+2x+ξ不存在零点,可得ξ>1,根据随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),可得曲线关于直线x=1对称,从而可得结论. 【解答】解:∵函数f (x )=x 2+2x+ξ不存在零点, ∴△=4﹣4ξ<0,∴ξ>1∵随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2), ∴曲线关于直线x=1对称 ∴P (ξ>1)= 故选C .7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 5=3(a 2+a 8),则的值为( )A .B .C .D .【考点】等差数列的前n 项和.【分析】利用等差数列的性质与通项公式即可得出. 【解答】解:设等差数列{a n }的公差为d . 由等差数列{a n }的性质可得:a 2+a 8=2a 5,∴S 5=3(a 2+a 8)=6a 5, ∴5a 1+=6(a 1+4d ),化为a 1=﹣14d . 则===.故选:D .8.在△ABC 中,B=,c=150,b=50,则△ABC 为( )A .直角三角形B .等腰三角形或直角三角形C .等边三角形D .等腰三角形 【考点】正弦定理.【分析】由已知及正弦定理可求得sinC==,利用大边对大角可得<C <π,可解得:C ,A 的值,从而得解.【解答】解:由已知及正弦定理可得:sinC===.∵c=150>b=50,∴<C <π,可解得:C=或.∴解得:A=或.故选:B .9.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( ) A .6种 B .9种 C .11种 D .23种 【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况,进而分析计算四个数字全部相同,有1个数字相同的情况,有2个数字相同情况,有3个数字相同的情况数目,由事件间的相互关系,计算可得答案.【解答】解:根据题意,数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,共A 44=24种填法,其中,四个数字全部相同的有1种, 有1个数字相同的有4×2=8种情况, 有2个数字相同的有C 42×1=6种情况, 有3个数字相同的情况不存在,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种, 故选B .10.函数f (x )=sinx+2x ,若对于区间[﹣π,π]上的任意x 1,x 2,都有|f (x 1)﹣f (x 2)|≤t ,则实数t 的最小值是( ) A .4π B .2π C .π D .0【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】问题等价于对于区间[﹣π,π]上,f (x )max ﹣f (x )min ≤t ,求出f (x )的导数,分别求出函数的最大值和最小值,从而求出t 的范围即可.【解答】解:对于区间[﹣π,π]上的任意x 1,x 2,都有|f (x 1}﹣f (x 2)|≤t , 等价于对于区间[﹣π,π]上,f (x )max ﹣f (x )min ≤t , ∵f (x )=sinx+2x ,∴f′(x )=cosx+2≥0,∴函数在[﹣π,π]上单调递增,∴f (x )max =f (π)=2π,f (x )min =f (﹣π)=﹣2π, ∴f (x )max ﹣f (x )min =4π, ∴t ≥4π,∴实数t 的最小值是4π, 故选:A .11.设直线l 与曲线f (x )=x 3+2x+1有三个不同的交点A 、B 、C ,且|AB|=|BC|=,则直线l 的方程为( )A .y=5x+1B .y=4x+1C .y=x+1D .y=3x+1【考点】函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性.【分析】根据对称性确定B 的坐标,设出直线方程代入曲线方程,求出A 的坐标,利用条件,即可求出斜率的值,从而得到直线的方程.【解答】解:由题意,曲线f (x )=x 3+2x+1是由g (x )=x 3+2x ,向上平移1个单位得到的,函数g (x )=x 3+2x 是奇函数,对称中心为(0,0), 曲线f (x )=x 3+2x+1的对称中心:B (0,1), 设直线l 的方程为y=kx+1,代入y=x 3+2x+1,可得x 3=(k ﹣2)x ,∴x=0或x=±∴不妨设A (,k+1)(k >2)∵|AB|=|BC|=∴(﹣0)2+(k+1﹣1)2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴(k﹣3)(k2+k+4)=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选:D.12.已知函数f(x)=,若对任意的x1,x2∈[e2,+∞),有||>,则实数k的取值范围为()A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,1)C.[2,+∞)D.(2,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】根据不等式单调函数的单调性关系,将不等式进行转化,利用导数求函数的最值即可得到结论.【解答】解:∵f(x)=,∴f′(x)=﹣,当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减,故f(x)在[e2,+∞)上单调递减,不妨设x1≥x2≥e2,则||>⇔f(x2)﹣f(x1)>k(﹣),⇔f(x2)﹣k•>f(x1)﹣k•,⇔函数F(x)=f(x)﹣=﹣在[e2,+∞)上单调递减,则F′(x)=≤0在[e2,+∞)上恒成立,∴k≤lnx在[e2,+∞)上恒成立,∵在[e2,+∞)上,(lnx)min=lne2=2,故k∈(﹣∞,2],故选:A二、填空题(每题5分) 13.在(x ﹣)5的二次展开式中,x 2的系数为40(用数字作答).【考点】二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x 的指数为2求出x 2的系数. 【解答】解:,令所以r=2,所以x 2的系数为(﹣2)2C 52=40. 故答案为4014.以模型y=ce kx 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny ,其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4,则c=e 4. 【考点】线性回归方程.【分析】我们根据对数的运算性质:log a (MN )=log a M+log a N ,log a N n =nlog a N ,即可得出结论.【解答】解:∵y=ce kx ,∴两边取对数,可得lny=ln (ce kx )=lnc+lne kx =lnc+kx , 令z=lny ,可得z=lnc+kx , ∵z=0.3x+4, ∴lnc=4, ∴c=e 4. 故答案为:e 4.15.现有16个不同小球,其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个,从中任取3个,要求这3个小球不能是同一颜色,且红色小球至多1个,不同的取法为472. 【考点】计数原理的应用.【分析】利用间接法,先选取没有条件限制的,再排除有条件限制的,问题得以解决. 【解答】解:由题意,不考虑特殊情况,共有C 163=560种取法,其中每一种小球各取三个,有4C 43=16种取法,两个红色小球,共有C 42C 121=72种取法, 故所求的取法共有560﹣16﹣72=472种. 故答案为:472.16.设a 为实常数,y=f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=9x++7.若f (x )≥a+1对一切x ≥0成立,则a 的取值范围为..【考点】函数奇偶性的性质;基本不等式.【分析】先利用y=f (x )是定义在R 上的奇函数求出x ≥0时函数的解析式,将f (x )≥a+1对一切x ≥0成立转化为函数的最小值≥a+1,利用基本不等式求出f (x )的最小值,解不等式求出a 的范围.【解答】解:因为y=f (x )是定义在R 上的奇函数, 所以当x=0时,f (x )=0;当x >0时,则﹣x <0,所以f (﹣x )=﹣9x ﹣+7因为y=f (x )是定义在R 上的奇函数, 所以f (x )=9x+﹣7;因为f (x )≥a+1对一切x ≥0成立, 所以当x=0时,0≥a+1成立, 所以a ≤﹣1; 当x >0时,9x+﹣7≥a+1成立,只需要9x+﹣7的最小值≥a+1, 因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7,所以6|a|﹣7≥a+1, 解得,所以.故答案为:.三、解答题17.数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1﹣2,数列{b n }是首项为a 1,公差为d (d ≠0)的等差数列,且b 1,b 3,b 11成等比数列. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)设,求数列{c n }的前n 项和T n .【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【分析】(1)利用、等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出;(2)利用“错位相减法”即可得出.【解答】解析:(1)当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=2n+1﹣2n =2n , 又,也满足上式,所以数列{a n }的通项公式为.b 1=a 1=2,设公差为d ,由b 1,b 3,b 11成等比数列, 得(2+2d )2=2×(2+10d ),化为d 2﹣3d=0. 解得d=0(舍去)d=3,所以数列{b n }的通项公式为b n =3n ﹣1. (2)由(1)可得T n =,∴2T n =,两式相减得T n =,==.18.某火锅店为了了解气温对营业额的影响,随机记录了该店1月份中5天的日营业额y (单位:千元)与该地当日最低气温x (单位:℃)的数据,如表: x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 (Ⅰ)求y 关于x 的回归方程=x+;(Ⅱ)判定y 与x 之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为6℃,用所求回归方程预测该店当日的营业额.(Ⅲ)设该地1月份的日最低气温X~N(μ,δ2),其中μ近似为样本平均数,δ2近似为样本方差s2,求P(3.8<X<13.4)附:①回归方程=x+中,=,=﹣b.②≈3.2,≈1.8.若X~N(μ,δ2),则P(μ﹣δ<X<μ+δ)=0.6826,P(μ﹣2δ<X<μ+2δ)=0.9544.【考点】线性回归方程;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】(I)利用回归系数公式计算回归系数,得出回归方程;(II)根据的符号判断,把x=6代入回归方程计算预测值;(III)求出样本的方差,根据正态分布知识得P(3.8<X<13.4)=P(3.8<X<10.2)+P(10.2<X<13.4).【解答】解:(I)解:(I)=×(2+5+8+9+11)=7,=(12+10+8+8+7)=9.=4+25+64+81+121=295,=24+50+64+72+77=287,∴==﹣=﹣0.56.=9﹣(﹣0.56)×7=12.92.∴回归方程为:=﹣0.56x+12.92.(II)∵=﹣0.56<0,∴y与x之间是负相关.当x=6时,=﹣0.56×6+12.92=9.56.∴该店当日的营业额约为9.56千元.(III)样本方差s2=×[25+4+1+4+16]=10,∴最低气温X~N(7,10),∴P(3.8<X<10.2)=0.6826,P(0,6<X<13.4)=0.9544,∴P(10.2<X<13.4)=(0.9544﹣0.6826)=0.1359.∴P(3.8<X<13.4)=P(3.8<X<10.2)+P(10.2<X<13.4)=0.6826+0.1359=0.8185.19.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人,陈老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如图).记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关.甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计附:.P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【考点】离散型随机变量的期望与方差;独立性检验;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由频率分布直方图,得乙班“成绩优秀”人数为4,ξ可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ.(2)由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38,乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46,作出列联表,求出K2的观测值,由此能判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关.【解答】解:(1)由频率分布直方图,得乙班“成绩优秀”人数为4,ξ可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,∴ξ的分布列为:ξ012P∴Eξ==.(2)由频率分布直方图得甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38,乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46,甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀12416成绩不优秀384684总计5050100根据列联表中数据,K2的观测值:K2=≈4.762,∵4.762>3.841,∴在错误的概率不超过0.05的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关.20.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;(Ⅲ)求二面角A﹣BE﹣D的大小.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)设AC与BD交于点G,则在平面BDE中,可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF,就可证:AF∥平面BDE;(Ⅱ)先以C为原点,建立空间直角坐标系C﹣xyz.把对应各点坐标求出来,可以推出•=0和•=0,就可以得到CF⊥平面BDE(Ⅲ)先利用(Ⅱ)找到=(,,1),是平面BDE的一个法向量,再利用平面ABE的法向量•=0和•=0,求出平面ABE的法向量,就可以求出二面角A﹣BE ﹣D的大小.【解答】解:证明:(I)设AC与BD交于点G,因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C﹣xyz.则C(0,0,0),A(,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F(,,1).所以=(,,1),=(0,﹣,1),=(﹣,0,1).所以•=0﹣1+1=0,•=﹣1+0+1=0.所以CF⊥BE,CF⊥DE,所以CF⊥平面BDE(III)由(II)知,=(,,1),是平面BDE的一个法向量,设平面ABE的法向量=(x,y,z),则•=0,•=0.即所以x=0,且z=y.令y=1,则z=.所以n=(),从而cos(,)=因为二面角A﹣BE﹣D为锐角,所以二面角A﹣BE﹣D为.21.已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(,0),上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)过原点O的直线l与椭圆交于A,B两点,如果△FAB为直角三角形,求直线l的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)通过题意直接计算即得结论;(Ⅱ)通过设直线l 方程,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).分FA ⊥FB 、FA 与FB 不垂直两种情况讨论即可. 【解答】解:(Ⅰ)由题可知c=,a=2b ,∵b 2+c 2=a 2,∴a 2=4,b 2=1, ∴椭圆C 的标准方程为:; (Ⅱ)由题,当△FAB 为直角三角形时,显然过原点O 的直线l 斜率存在, 设直线l 方程为:y=kx ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). ①当FA ⊥FB 时, =(x 1﹣,y 1),=(x 2﹣,y 2).联立,消去y 得:(1+4k 2)x 2﹣4=0,由韦达定理知:x 1+x 2=0,x 1x 2=﹣,=•=x 1x 2﹣(x 1+x 2)+3+k 2x 1x 2=(1+k 2)•(﹣)+3=0,解得k=±,此时直线l 的方程为:y=±x ;②当FA 与FB 不垂直时,根据椭圆的对称性,不妨设∠FAB=,即点A 既在椭圆上又在以OF 为直径的圆上.∴,解得x 1=,y 1=±,∴k==±,此时直线l 的方程为:y=±x ; 综上所述,直线l 的方程为:y=±x 或y=±x .22.已知函数f (x )=(其中k ∈R ,e 是自然对数的底数),f′(x )为f (x )导函数.(Ⅰ)若k=2时,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(Ⅱ)若f′(1)=0,试证明:对任意x>0,f′(x)<恒成立.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),代入切线方程即可;(Ⅱ)求出k的值,令g(x)=(x2+x)f'(x),问题等价于,根据函数的单调性证明即可.【解答】解:(Ⅰ)由得,x∈(0,+∞),所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为:,而f(1)=,故切线方程是:y﹣=﹣(x﹣1),即:x+ey﹣3=0;(Ⅱ)证明:若f′(1)=0,解得:k=1,令g(x)=(x2+x)f'(x),所以,x∈(0,+∞),因此,对任意x>0,g(x)<e﹣2+1,等价于,由h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,∞),得h'(x)=﹣lnx﹣2,x∈(0,+∞),因此,当x∈(0,e﹣2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;x∈(e﹣2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)的最大值为h(e﹣2)=e﹣2+1,故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1,设φ(x)=e x﹣(x+1),∵φ'(x)=e x﹣1,所以x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,φ(x)>φ(0)=0,故x∈(0,+∞)时,φ(x)=e x﹣(x+1)>0,即,所以.因此,对任意x>0,恒成立.高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.双曲线﹣=1的渐近线方程为( )A .y=±x B .y=±2x C .y=±x D .y=±x2.复数z=(3﹣2i )i 的共轭复数等于( )A .﹣2﹣3iB .﹣2+3iC .2﹣3iD .2+3i3.观察下列式子:1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,1+3+5+7+9=52,…,据此你可以归纳猜想出的一般结论为( )A .1+3+5+…+(2n+1)=n 2(n ∈N *)B .1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n ∈N *)C .1+3+5+…+(2n ﹣1)=(n ﹣1)2(n ∈N *)D .1+3+5+…+(2n ﹣1)=(n+1)2(n ∈N *) 4.定积分e x dx=( ) A .1+e B .eC .e ﹣1D .1﹣e5.已知x ,y 的取值如表所示,若y 与x 线性相关,且线性回归方程为,则的值为( ) x 1 2 3y 6 4 5 A .B .C .D .﹣6.函数f (x )=x 3﹣3x+2的极大值点是( ) A .x=±1B .x=1C .x=0D .x=﹣17.设(2x ﹣1)5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=( ) A .2B .1C .0D .﹣18.函数f (x )=的导函数f′(x )为( )A .f′(x )=B .f′(x )=﹣C .f′(x )=D .f′(x )=﹣9.五人站成一排,其中甲、乙之间有且仅有1人,不同排法的总数是( ) A .48 B .36 C .18 D .12 10.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 2|=,则cos ∠F 1PF 2=( ) A .B .C .D .11.已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点,则点P 到直线l :2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是( )A .B .C .2D .﹣112.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (2)=0,当x >0时,f (x )+xf′(x )>0(其中f′(x )为f (x )的导函数),则f (x )>0的解集为( ) A .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B .(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C .(﹣2,0)∪(2,+∞) D .(﹣2,0)∪(0,2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(x ﹣)6展开式的常数项为_______.14.若曲线y=kx+lnx 在点(1,k )处的切线平行于x 轴,则k=_______. 15.已知椭圆+=1(a >b >0)的左焦点F 1(﹣c ,0),右焦点F 2(c ,0),若椭圆上存在一点P ,使|PF 1|=2c ,∠F 1PF 2=30°,则该椭圆的离心率e 为_______. 16.若存在正实数x 0使e(x 0﹣a )<2(其中e 是自然对数的底数,e=2.71828…)成立,则实数a 的取值范围是_______.三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ,P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 (Ⅰ)当|PF|=2时,求点P 的坐标;(Ⅱ)求点P 到直线y=x ﹣10的距离的最小值.18.学校游园活动有这样一个游戏:A 箱子里装有3个白球,2个黑球,B 箱子里装有2个白球,2个黑球,参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球,若颜色相同则获奖,现甲同学参加了一次该游戏. (Ⅰ)求甲获奖的概率P ;(Ⅱ)记甲摸出的两个球中白球的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望E (ξ)19.已知函数f(x)=alnx﹣x+3(y=kx+2k),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x+b(b∈R)(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求f(x)的极值.20.某市高二学生进行了体能测试,经分析,他们的体能成绩X服从正态分布N(μ,σ2),已知P(X≤75)=0.5,P(X≥95)=0.1(Ⅰ)求P(75<X<95);(Ⅱ)现从该市高二学生中随机抽取3位同学,记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.21.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,点A(1,)在椭圆C上(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过椭圆C的左顶点B且互相垂直的两直线l1,l2分别交椭圆C于点M,N(点M,N均异于点B),试问直线MN是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,说明理由.22.已知函数f(x)=alnx+x2﹣(a∈R)(Ⅰ)若a=﹣4,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,求a的最小值.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.双曲线﹣=1的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x【考点】双曲线的简单性质.【分析】运用双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,求得已知双曲线方程的a,b,即可得到所求渐近线方程.【解答】解:由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,双曲线﹣=1的a=2,b=,可得所求渐近线方程为y=±x.故选:A.2.复数z=(3﹣2i)i的共轭复数等于()A.﹣2﹣3i B.﹣2+3i C.2﹣3i D.2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z,则其共轭可求.【解答】解:∵z=(3﹣2i)i=2+3i,∴.故选:C.3.观察下列式子:1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,1+3+5+7+9=52,…,据此你可以归纳猜想出的一般结论为()A.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)B.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)C.1+3+5+…+(2n﹣1)=(n﹣1)2(n∈N*)D.1+3+5+…+(2n﹣1)=(n+1)2(n∈N*)【考点】归纳推理.【分析】观察不难发现,连续奇数的和等于奇数的个数的平方,然后写出第n个等式即可.【解答】解:∵1+3=22,1+3+5=32,…,∴第n个等式为1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*),故选:B.4.定积分e x dx=()A.1+e B.e C.e﹣1 D.1﹣e【考点】定积分.【分析】求出被积函数的原函数,计算即可.【解答】解:原式==e﹣1;故选C.5.已知x,y的取值如表所示,若y与x线性相关,且线性回归方程为,则的值为()x123y645A.B.C.D.﹣【考点】线性回归方程.【分析】根据所给的三组数据,求出这组数据的平均数,得到这组数据的样本中心点,根据线性回归直线一定过样本中心点,把样本中心点代入所给的方程,得到b的值.【解答】解:根据所给的三对数据,得到=2,=5,∴这组数据的样本中心点是(2,5)∵线性回归直线的方程一定过样本中心点,线性回归方程为,∴5=2b+6∴b=﹣.故选:D.6.函数f(x)=x3﹣3x+2的极大值点是()A.x=±1 B.x=1 C.x=0 D.x=﹣1【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】先求导函数,确定导数为0的点,再确定函数的单调区间,利用左增右减,从而确定函数的极大值点.【解答】解:∵f(x)=x3﹣3x+2,∴f′(x)=3x2﹣3,当f′(x )=0时,3x 2﹣3=0,∴x=±1.令f′(x )>0,得x <﹣1或x >1; 令f′(x )<0,得﹣1<x <1; ∴函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),函数的单调减区间为(﹣1,1) ∴函数的极大值点是x=﹣1 故选:D .7.设(2x ﹣1)5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=( ) A .2 B .1 C .0 D .﹣1 【考点】二项式定理的应用.【分析】利用赋值法将x=0代入,可得a 0,再将x=1代入,a 0代入解得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5. 【解答】解:把x=0代入得,a 0=﹣1, 把x=1代入得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1,把a 0=﹣1,代入得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1﹣(﹣1)=2. 故选:A .8.函数f (x )=的导函数f′(x )为( )A .f′(x )=B .f′(x )=﹣C .f′(x )=D .f′(x )=﹣【考点】导数的运算.【分析】根据函数商的导数公式进行求解即可. 【解答】解:函数的导数f′(x )===﹣,故选:B9.五人站成一排,其中甲、乙之间有且仅有1人,不同排法的总数是( ) A .48 B .36 C .18 D .12 【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素,共三个元素排列,不要忘记甲、乙两人之间的排列.【解答】解:因为5人站成一排, 甲、乙两人之间恰有1人的不同站法=36,故选:B .10.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 2|=,则cos ∠F 1PF 2=( ) A .B .C .D .【考点】椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的标准方程及其定义可得:|PF 1||,再利用余弦定理即可得出. 【解答】解:∵椭圆+=1,∴a=2,b=2=c ,∵|PF 2|=,|PF 1|+|PF 2|=4,∴|PF 1||=3,∴cos ∠F 1PF 2==.故选:D .11.已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点,则点P 到直线l :2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是( )A .B .C .2D .﹣1 【考点】抛物线的简单性质.【分析】作图,化点P 到直线l :2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和为PF+PA ﹣1,从而求最小值.【解答】解:由题意作图如右图, 点P 到直线l :2x ﹣y+3=0为PA ; 点P 到y 轴的距离为PB ﹣1; 而由抛物线的定义知, PB=PF ;故点P 到直线l :2x ﹣y+3=0和y 轴的距离之和为PF+PA ﹣1; 而点F (1,0)到直线l :2x ﹣y+3=0的距离为=;。
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型:A高二数学(理科)试题2017.7注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共5页。
2.答题前,考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时,选出每题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时,请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第(22)、(23)小题为选考题,请按题目要求从中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。
附:回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ,x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
(1)已知复数iiz +-=122,其中i 是虚数单位,则z 的模等于(A )2- (B) 3 (C) 4 (D) 2(2)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数(3)用数学归纳法证明:对任意正偶数n ,均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n ( )21...n++,在验证2=n 正确后,归纳假设应写成(A )假设)(*N k k n ∈=时命题成立 (B )假设)(*N k k n ∈≥时命题成立(C )假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 (D )假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人,且所选3人有男有女,则不同的选法种数有(A )30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ,且)3(41)1(>=<X P X P ,则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ,曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ,则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 (8)甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试,已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332,,且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161,则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76(9)函数)1(2)(3-'+=f x x x f ,则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-,则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ,使得)()(>'+x f x x f ,则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+,38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数,若a 和b被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3,则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ,)10(mod b a =,则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
安徽省滁州市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
安徽省滁州市2016-2017学年高二下学期期中试卷(理科数学)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知“三段论”中的三段:①可化为y=Acos(ωx+φ);②y=Acos(ωx+φ)是周期函数;③是周期函数,其中为小前提的是()A.①B.②C.③D.①和②2.已知x,y是实数,i是虚数单位,,则复数x+yi在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知四棱锥P﹣ABCD中,,,,则点P到底面ABCD的距离为()A.B.C.1 D.24.设a、b∈(0,+∞),则“a b<b a”是“a>b>e”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两点F1(﹣2,0),F2(2,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A. +=1 B. +=1C. +=1 D. +=16.已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,,则z的虚部为()A. B.C.D.7.类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质,可推知四面体的下列性质()A.过四面体各面的垂心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心B.过四面体各面的内心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心C.过四面体各面的重心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心D.过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心8.曲线y=e ax cosx在x=0处的切线与直线x+2y=0垂直,则a=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.29.抛物线y=x2﹣4x+3与x轴围成的封闭图形的面积为()A.B.C.2 D.10.设A、B、C为锐角△ABC的三个内角,M=sinA+sinB+sinC,N=cosA+2cosB,则()A.M<N B.M=NC.M>N D.M、N大小不确定11.如图,F1、F2分别为双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交C于A、B两点,若C的离心率为,|AB|=|AF2|,则直线l的斜率为()A.B. C. D.12.若关于x的不等式(ax+1)(e x﹣aex)≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,1] B.[0,1] C.D.[0,e]二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称,z1=3﹣i,则z1•z2= .14.已知函数f (x )=e x ﹣ax 2﹣2x ﹣1,若曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线为l ,且l 在y 轴上的截距为﹣2,则实数a= .15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=a ,,a n+2=a n+1﹣a n ,S 56=6,则a= .16.已知F 是椭圆C : +=1的右焦点,P 是C 上一点,A (﹣2,1),当△APF 周长最小时,其面积为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设非等腰△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,且A 、B 、C 成等差数列,用分析法证明: =.18.如图,正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,H 分别为A 1B 1,B 1C 1,CC 1的中点. (Ⅰ)证明:BE ⊥AH ;(Ⅱ)在棱D 1C 1上是否存在一点G ,使得AG ∥平面BEF ?若存在,求出点G 的位置;若不存在,请说明理由.19.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,3S n =a n (n+2),n ∈N *. (Ⅰ)求a 2,a 3并猜想a n 的表达式; (Ⅱ)用数学归纳法证明你的猜想.20.设函数.(Ⅰ)若,求f (x )的极值;(Ⅱ)若f (x )在定义域上单调递增,求实数a 的取值范围.21.已知椭圆C 1:+x 2=1(a >1)与抛物线C:x 2=4y 有相同焦点F 1.(Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程;(Ⅱ)已知直线l 1过椭圆C 1的另一焦点F 2,且与抛物线C 2相切于第一象限的点A ,设平行l 1的直线l 交椭圆C 1于B ,C 两点,当△OBC 面积最大时,求直线l 的方程.22.已知函数有两个极值点x 1,x 2,且x 1<x 2,记点M (x 1,f (x 1)),N (x 2,f (x 2)).(Ⅰ)求直线MN 的方程;(Ⅱ)证明:线段MN 与曲线y=f (x )有且只有一个异于M 、N 的公共点.安徽省滁州市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知“三段论”中的三段:①可化为y=Acos(ωx+φ);②y=Acos(ωx+φ)是周期函数;③是周期函数,其中为小前提的是()A.①B.②C.③D.①和②【考点】F6:演绎推理的基本方法.【分析】根据推理,确定三段论中的大前提;小前提;结论,从而可得结论.【解答】解:将推理改为三段论的形式,大前提:②y=Acos(ωx+φ)是周期函数;小前提:①可化为y=Acos(ωx+φ);结论:③是周期函数故选:B.2.已知x,y是实数,i是虚数单位,,则复数x+yi在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求得x,y值,则答案可求.【解答】解:由,得:,即x=2,y=1.∴复数x+yi在复平面内对应的点的坐标为(2,1),位于第一象限.故选:A.3.已知四棱锥P﹣ABCD中,,,,则点P到底面ABCD的距离为()A.B.C.1 D.2【考点】MK:点、线、面间的距离计算.【分析】求出平面ABCD的法向量,然后利用点到平面的距离公式求解即可.【解答】解:四棱锥P﹣ABCD中,,,,设平面ABCD的法向量为=(x,y,z),则,可得,不妨令x=3,则y=12,z=4,可得=(3,12,4);则,在平面ABCD上的射影就是这个四棱锥的高h,所以h=|||cos<,>|=||==2;所以该四棱锥的高为2.故选:D.4.设a、b∈(0,+∞),则“a b<b a”是“a>b>e”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】令f(x)=,x∈(0,+∞),利用导数研究其单调性即可得出.【解答】解:令f(x)=,x∈(0,+∞),f′(x)=,可得x>e时,函数f(x)单调递减.由a>b>e,可得<,即a b<b a.反之不一定成立,∴“a b<b a”是“a>b>e”的必要不充分条件.故选:B.5.已知两点F1(﹣2,0),F2(2,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A. +=1 B. +=1C. +=1 D. +=1【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】根据题意,分析可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,结合椭圆的定义分析可得动点P的轨迹为椭圆,焦点为F1(﹣2,0),F2(2,0),a=4,由椭圆的性质可得b的值,代入椭圆的方程即可得答案.【解答】解:根据题意,两点F1(﹣2,0),F2(2,0),则|F1F2|=4,|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,即|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,则动点P的轨迹为椭圆,焦点为F1(﹣2,0),F2(2,0),且a=4,则有c=2,又由a=4,有b2=a2﹣c2=12;故椭圆的方程为+=1;故选:B.6.已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,,则z的虚部为()A. B.C.D.【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】设z=x+yi, =x﹣yi,x,y∈R,由,可得x﹣yi+i=1+2i,利用复数相等即可得出.【解答】解:设z=x+yi, =x﹣yi,x,y∈R,∵,∴x﹣yi+i=1+2i,∴x=1,﹣y=2,解得x=1,y=﹣.则z的虚部为﹣.故选:A.7.类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质,可推知四面体的下列性质()A.过四面体各面的垂心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心B.过四面体各面的内心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心C.过四面体各面的重心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心D.过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心【考点】F3:类比推理.【分析】类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质,可推知过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心,即可得出结论.【解答】解:类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质,可推知过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心,故选D.8.曲线y=e ax cosx在x=0处的切线与直线x+2y=0垂直,则a=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数,从而求出切线的斜率,再根据两直线垂直建立等式关系,解之即可.【解答】解:∵y=e ax cosx,∴y′=(acosx﹣sinx)e ax∴曲线y=e ax cosx在x=0处的斜率为a,∵曲线y=e ax cosx在x=0处的切线与直线x+2y=0垂直,∴﹣a=﹣1,即a=2.故选:D.9.抛物线y=x2﹣4x+3与x轴围成的封闭图形的面积为()A.B.C.2 D.【考点】67:定积分.【分析】由x2﹣4x+3=0,得x=1,x=3再由图形可知求出x从1到3,x2﹣4x+3上的定积分即为抛物线y=x2﹣4x+3与x轴围成的封闭图形的面积.【解答】解:由x2﹣4x+3=0,得x=1,x=3,∴抛物线y=x2﹣4x+3与x轴围成的封闭图形的面积为S=﹣(x2﹣4x+3)dx=﹣(x3﹣2x2+3x)|=﹣[(9﹣18+9)﹣(﹣2+3)]=故选:B10.设A、B、C为锐角△ABC的三个内角,M=sinA+sinB+sinC,N=cosA+2cosB,则()A.M<N B.M=NC.M>N D.M、N大小不确定【考点】HP:正弦定理.【分析】首先,根据锐角三角形的角的特点,A+B>90°C+B>90°A+C>90°,然后,利用诱导公式进行判断,得到sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,最后,利用不等式的性质,从而得到相应的结论.【解答】解:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>90°,∴A>90°﹣B,∴sinA>sin(90°﹣B)=cosB,即:sinA>cosB,同理可得:sinB>cosC,sinC>cosA,上面三式相加:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,∴在锐角△ABC 中,sinA+sinB+sinC >cosA+cosB+cosC , ∴M >N , 故选:C .11.如图,F 1、F 2分别为双曲线C :(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,若C 的离心率为,|AB|=|AF 2|,则直线l 的斜率为( )A .B .C .D .【考点】KC :双曲线的简单性质.【分析】由题意求得c=a ,利用双曲线的定义,求得丨BF 1丨=2a ,丨BF 2丨=4a ,利用余弦定理求得cosBF 1F 2,即可求得tanBF 1F 2,求得直线l 的斜率.【解答】解:由题意可知e==,c=a ,由双曲线的定义可知:丨AF 1丨﹣丨AF 2丨=2a ,丨AB|=|AF 2|, 则丨BF 1丨=2a ,丨BF 2丨﹣丨BF 1丨=2a ,即丨BF 2丨=4a , 在△BF 1F 2中,由余弦定理可知:cosBF 1F 2===,则tanBF 1F 2=,直线l 的斜率,故选D .12.若关于x 的不等式(ax+1)(e x ﹣aex )≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是()A.(﹣∞,1] B.[0,1] C.D.[0,e]【考点】3R:函数恒成立问题.【分析】依题意,分a=0,a<0,a>0三类讨论,将不等式(ax+1)(e x﹣aex)≥0在(0,+∞)上恒成立转化为a≥﹣在(0,+∞)上恒成立(a<0)或e x﹣aex≥0在(0,+∞)上恒成立(a>0),再分别构造函数,解之即可.【解答】解:∵不等式(ax+1)(e x﹣aex)≥0在(0,+∞)上恒成立,∴①当a=0时,(ax+1)(e x﹣aex)=e x>0在(0,+∞)上恒成立;②当a<0时,e x﹣aex>0恒成立,故不等式(ax+1)(e x﹣aex)≥0在(0,+∞)上恒成立⇔ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立⇔a≥﹣在(0,+∞)上恒成立.∵y=﹣在(0,+∞)上单调递增,∴当x→+∞时,y→0,∴a≥0,又a<0,∴a∈∅;③当a>0时,ax+1>0恒成立,故不等式(ax+1)(e x﹣aex)≥0在(0,+∞)上恒成立⇔e x﹣aex≥0在(0,+∞)上恒成立⇔a≤在(0,+∞)上恒成立,因此,a≤()min,令g(x)=(x>0),则g′(x)==(x>0),当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)在区间(0,1)上单调递减;当x>1时,g′(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增;∴当x=1时,g(x)=(x>0)取得极小值g(1)=1,也是最小值,∴0<a≤1,综上所述,0≤a≤1,故选:B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称,z1=3﹣i,则z1•z2= 10i .【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称,z 1=3﹣i ,可得z 2=﹣1+3i .再利用复数的运算法则即可得出.【解答】解:复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称,z 1=3﹣i ,∴z 2=﹣1+3i . 则z 1•z 2=(3﹣i )(﹣1+3i )=10i . 故答案为:10i .14.已知函数f (x )=e x ﹣ax 2﹣2x ﹣1,若曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线为l ,且l 在y 轴上的截距为﹣2,则实数a= ﹣1 . 【考点】6H :利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出导数,求得切线的斜率和切点,再由两点的斜率公式,解方程可得a 的值. 【解答】解:函数f (x )=e x ﹣ax 2﹣2x ﹣1的导数为f′(x )=e x ﹣2ax ﹣2, 在点(1,f (1))处的切线斜率为e ﹣2a ﹣2, 切点为(1,e ﹣a ﹣3),又切线过(0,﹣2),则e ﹣2a ﹣2=,解得a=﹣1;故答案为:﹣1.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=a ,,a n+2=a n+1﹣a n ,S 56=6,则a= ﹣3或2 .【考点】8H :数列递推式.【分析】由a n+1=a n ﹣a n ﹣1(n ≥2),得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣(a n+2﹣a n+1)=﹣(a n+1﹣a n ﹣a n+1)=a n ,所以6为数列{a n }的周期,可得S 6=0.于是S 56=S 54+a+a 2=a+a 2=6,解得a . 【解答】解:由a n+1=a n ﹣a n ﹣1(n ≥2),得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣(a n+2﹣a n+1)=﹣(a n+1﹣a n ﹣a n+1)=a n , 所以6为数列{a n }的周期,又a 3=a 2﹣a 1=a 2﹣a ,a 4=a 3﹣a 2=﹣a ,a 5=a 4﹣a 3=﹣a 2,a 6=a 5﹣a 4=a ﹣a 2, ∴S 6=0.∵S 56=6,∴S 56=S 54+a+a 2=a+a 2=6,解得a=﹣3或2. 故答案为:﹣3或2.16.已知F 是椭圆C : +=1的右焦点,P 是C 上一点,A (﹣2,1),当△APF 周长最小时,其面积为 4 .【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的定义,确定△APF 周长最小时,P 的坐标,即可求出△APF 周长最小时,该三角形的面积.【解答】解:椭圆C :+=1的a=2,b=2,c=4,设左焦点为F'(﹣4,0),右焦点为F (4,0).△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a ﹣|PF'|) =|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a ≥|AF|﹣|AF'|+2a ,当且仅当A ,P ,F'三点共线,即P 位于x 轴上方时,三角形周长最小.此时直线AF'的方程为y=(x+4),代入x 2+5y 2=20中,可求得P (0,2),故S △APF =S △PF'F ﹣S △AF'F =×2×8﹣×1×8=4. 故答案为:4.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设非等腰△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,且A 、B 、C 成等差数列,用分析法证明:=.【考点】F9:分析法和综合法.【分析】用分析法证明,结合余弦定理可得结论.【解答】证明:要证明:=,只要证明=,只要证明(a+c﹣2b)(a﹣b+c)=3(a﹣b)(c﹣b),只要证明(a+c﹣b)2﹣b(a+c﹣b)=3(ac+b2﹣bc﹣ab),只要证明b2=a2+c2﹣ac,只要证明,只要证明B=60°,只要证明A、B、C成等差数列,故结论成立.18.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,H分别为A1B1,B1C1,CC1的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥AH;(Ⅱ)在棱D1C1上是否存在一点G,使得AG∥平面BEF?若存在,求出点G的位置;若不存在,请说明理由.【考点】LS:直线与平面平行的判定;LX:直线与平面垂直的性质.【分析】(Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,证明:,即可证明BE⊥AH;(Ⅱ)设G(0,t,1),求出平面BEF的法向量,利用AG∥平面BEF,可得结论.【解答】(Ⅰ)证明:建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz,设AB=1,则A(1,0,0),B(1,1,0),,,∴,,∵,∴BE⊥AH.(Ⅱ)解:设G(0,t,1),则,,设平面BEF的法向量为,∵,,∴,令z=1得,∵AG∥平面BEF,∴=(﹣1,t,1)•(2,2,1)=0,解得,∴当G是D1C1的中点时,AG∥平面BEF.19.已知数列{an }的前n项和为Sn,且a1=2,3Sn=an(n+2),n∈N*.(Ⅰ)求a2,a3并猜想an的表达式;(Ⅱ)用数学归纳法证明你的猜想.【考点】RG:数学归纳法;F1:归纳推理.【分析】(Ⅰ)由题意可得a1=2,3Sn=an(n+2),可求得a2,再由a2的值求 a3,猜想an=n(n+1).(Ⅱ)检验n=1时等式成立,假设n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.【解答】解:(Ⅰ)由已知得3(a1+a2)=4a2,a2=6,3(a1+a2+a3)=5a3,a3=12,猜想an=n(n+1).(Ⅱ)当n=1时,显然成立.假设当n=k(k≥1)时成立,即ak=k(k+1),当n=k+1时,3Sk+1=ak+1(k+3),即3(Sk+ak+1)=(k+3)ak+1,∵3Sk =ak(k+2),∴kak+1=ak(k+2)=k(k+1)(k+2),ak+1=(k+1)(k+2),∴当n=k+1时猜想也成立,故猜想正确.20.设函数.(Ⅰ)若,求f(x)的极值;(Ⅱ)若f(x)在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.【分析】(Ⅰ)求出函数到底是,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(Ⅱ)问题转化为2a ≥,令,根据函数的单调性求出a 的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)定义域为x ∈(0,+∞).当时,且f'(1)=0.令h (x )=﹣x+1﹣lnx ,则,故h (x )在定义域上是减函数, 注意到h (1)=0,∴当x ∈(0,1)时,h (x )>h (1)=0,此时f'(x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,h (x )<h (1)=0,此时f'(x )<0. ∴f (x )的极大值为f (1)=0,无极小值.(Ⅱ)当x ∈(0,+∞)时,f′(x )=≥0,故2a ≥,令,∴,由g'(x )>0得x ∈(0,e 2), 由g'(x )<0得x ∈(e 2,+∞),故g (x )的最大值为,∴2a ≥,a ≥e ﹣2.21.已知椭圆C 1:+x 2=1(a >1)与抛物线C:x 2=4y 有相同焦点F 1.(Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程;(Ⅱ)已知直线l 1过椭圆C 1的另一焦点F 2,且与抛物线C 2相切于第一象限的点A ,设平行l 1的直线l 交椭圆C 1于B ,C 两点,当△OBC 面积最大时,求直线l 的方程.【考点】KH :直线与圆锥曲线的综合问题;K3:椭圆的标准方程;KG :直线与圆锥曲线的关系.【分析】(Ⅰ)求出抛物线的F 1(0,1),利用椭圆的离心率,求出a 、b 即可求解椭圆方程. (Ⅱ)F 2(0,﹣1),由已知可知直线l 1的斜率必存在,联立方程组,利用相切求出k ,然后利用直线的平行,设直线l 的方程为y=x+m 联立方程组,通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积,然后得到所求直线l 的方程.【解答】解:(Ⅰ)∵抛物线x 2=4y 的焦点为F 1(0,1),∴c=1,又b 2=1,∴∴椭圆方程为:+x 2=1. …(Ⅱ)F 2(0,﹣1),由已知可知直线l 1的斜率必存在,设直线l 1:y=kx ﹣1由消去y 并化简得x 2﹣4kx+4=0∵直线l 1与抛物线C 2相切于点A . ∴△=(﹣4k )2﹣4×4=0,得k=±1.… ∵切点A 在第一象限. ∴k=1… ∵l ∥l 1∴设直线l 的方程为y=x+m由,消去y 整理得3x 2+2mx+m 2﹣2=0,…△=(2m )2﹣12(m 2﹣2)>0,解得.设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则,.…又直线l 交y 轴于D (0,m )∴…=当,即时,.…所以,所求直线l 的方程为.…22.已知函数有两个极值点x 1,x 2,且x 1<x 2,记点M (x 1,f (x 1)),N (x 2,f (x 2)).(Ⅰ)求直线MN 的方程;(Ⅱ)证明:线段MN 与曲线y=f (x )有且只有一个异于M 、N 的公共点. 【考点】6D :利用导数研究函数的极值.【分析】(Ⅰ)求出导函数令f'(x )=x 2﹣2x ﹣3=0,解得x=﹣1或x=3,判断函数的单调性求出MN ,然后求解直线方程.(Ⅱ)设g (x )=f (x )=,推出线段MN 与曲线y=f (x )的公共点即g (x )在区间[﹣1,3]上的零点.令=0,通过判断函数的极值判断函数的单调性,推出结果即可.【解答】解:(Ⅰ)令f'(x )=x 2﹣2x ﹣3=0,解得x=﹣1或x=3,且f (x )在区间(﹣∞,﹣1),(3,+∞)上单调递增,在区间(﹣1,3)上单调递减,∴x 1=﹣1,,x 2=3,f (3)=﹣9,即,N (3,﹣9),∴直线MN 的方程为,化简得.(Ⅱ)设g (x )=f (x )=,则线段MN 与曲线y=f (x )的公共点即g (x )在区间[﹣1,3]上的零点.令=0,解得,,且g (x )在区间,上单调递增,在区间上单调递减.∴由可得=1>g (2)=﹣1,即,,∴g (x )在区间上有且仅有有一个零点.,有0=g (﹣1)<g (x ),∴g (x )在上无零点;当时,有g (x )<g (3)=0,∴g (x )在上无零点;综上,g (x )在区间(﹣1,3)上有且仅有一个零点.所以线段MN 与曲线y=f (x )有且只有一个异于M 、N 的公共点.。
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
试卷类型:A高二数学(理科)试题2017.7注意事项:1. 本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分,共5页。
2. 答题前,考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3答第I卷时,选出每题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4. 答第H卷时,请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5. 第( 22)、(23)小题为选考题,请按题目要求从中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。
附:回归方程? = bx a中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:n _ _ n ___送(X i —x)(y i -y) Z X i y i -nxy _ _i?亠- 僅,?=y - bXn n2 22\ (X j _ x) 、x i - nxi 1i吕第I卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2 —2i(1 )已知复数z = --------- ,其中i是虚数单位,则z的模等于1 +i(A) -2 (B) 3 (C) 4 (D) 2(2)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a, b,c中恰有一个偶数”正确的反设为(A) a, b, c中至少有两个偶数(B) a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C) a, b,c都是奇数(D) a,b,c都是偶数(3)用数学归纳法证明:对任意正偶数丄―1丄1 1丄丄1 1 - 1丄1n ,均有1 ... 2(2 3 4 n—1 n n+2 n+4../-),在验证n =2正确后,归纳假设应写成2n(A)假设n =k(k • N )时命题成立(B)假设n - k(k,N )时命题成立(C)假设n =2k(k・N )时命题成立(D)假设n =2(k 1)(^ N )时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人,且所选3人有男有女,则不同的选法种数有 (A ) 30 种 (B) 32 种 (C) 34 种 (D) 35 种⑸曲线y =e x 在点2, e 2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为7(D) 71⑺已知a _2 3sinxdx ,曲线f(x)=ax ln(ax 1)在点1, f(1)处的切线的斜率为 k , a(10) 设(1 -x j =a 0 (1 +x) +a 2(1 +x 2 +...+a 5(1 +x)5,贝y a 。
安徽省滁州市(九校)-学年高二上学期期末考试数学(理)试题含解析
--滁州九校 2017—2018 学年度第一学期高二期末考试数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 高二(2)班男生 36 人,女生 18 人,现用分层抽样方法从中抽出 人,若抽出的男生人数为1 2,则 等于( ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】因为高二(2)班男生 人,女生 人,现用分层抽样方法从中抽出 人,所以,故选 B.2. 命题“ A.”的否定为( ) B.C.D.【答案】C 【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“”的否定为“”,故选C.3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为( )A.B.【答案】CC. 2D. 3【解析】由双曲线方程,可得,所以渐近线方程为,焦点坐标为,由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离为,故选 C.----4. 下列函数是偶函数的是 ()A.B.C.D.【答案】C 【解析】,即不是奇函数,又不是偶函数, 不合题意,,是奇函数, 不合题意,,,是偶函数, 合题意,,即不是奇函数,又不是偶函数, 不合题意,故选 C.5. 若正方形的边长为 1,则在正方形内任取一点,该点到点 A 的距离小于 1 的概率为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】在正方形内任取一点,该点到点 的距离小于 的点,在以点 为圆心以 为半径的四分之一圆内,面积为 ,所以在正方形内任取一点,该点到点 的距离小于 的点的概率为,故选A.【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类 型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题 的总面积以及事件的面积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本裏件对应的区域测度把 握不准导致错误 ;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6. “函数在区间上是增函数”是“”的( )A. 充分不必要条件 必要条件 【答案】CB. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不【解析】 时,“函数在区间上不是增函数”, 时,在上是增函数, 时,令,得,“在区间上是增函数” 的充分必要条件“”,故选 C.7. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )----A. 2 B. 3 【答案】DC. 4【解析】执行程序框图,,故选 D.D. 5,输出8. 设命题;命题 若 ,则方程表示焦点在 轴上的椭圆,那么,下列命题为真命题的是( )A.B.C.【答案】B【解析】不存在 使D.为假, 为真,又时,方程表示焦点在 轴上的椭圆, 为真, 为假,为真,故选B.9. 将曲线 () A.向左平移 个单位后,得曲线,则函数 的单调增区间为B.----C. 【答案】C 【解析】曲线D. 向左平移 个单位后,得到,得,等价于数 的单调增区间为,故选 C.10. 已知长方体是线段 上一点,且中点,则 与平面 所成的角的正弦值为( ),由 ,函是0A.B.C.D.【答案】A【解析】由长方体的性质,可得,则,,设 在平面 上射影为 ,则为直线 与平面 成的角,则,得,又,故选A.11. 在中,角的对边分别为 ,且,则()A.B.C.D.【答案】A 【解析】因为,所以由正弦定理得 ,即--,由正弦定理可得--化为,故选 A.12. 已知双曲线的左顶点为 ,右焦点为 ,过左顶点且斜率为 1 的直线与双曲线 的右支交于点 ,若的面积为 ,则双曲线 的离心率为( )A. 3 B. 2 C.D.【答案】B【解析】由,得,则的面积为,,故选 B.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的 考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出 ,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.本题中,根据的面积为 ,建立关于焦半径和焦距的关系.从而找出 之间的关系,求出离心率.第Ⅱ卷(非选择题 共90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上13. 已知向量,若 ,则__________.【答案】【解析】,故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角,(此时 往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是----;(3) 向量垂直则;(4)求向量的模(平方后需求 ).14. 已知一个算法的程序框图如图所示,当输入的 _________.与 时,则输出的两个 值的和为_【答案】【解析】 时,, 时,,,输出的两个 值的和为,故答案为 .15. 在长方体中,,点 分别为的中点,点 在棱上,若 平面 ,则四棱锥的外接球的体积为__________.【答案】...............16. 已知椭圆的右焦点为 ,点 是椭圆上第一象限内的点, 的延长线依次交 轴,椭圆于点 ,若 【答案】,则直线 的斜率为__________.----【解析】 ,设 方程为,由,得,设,因为,则,,,故答案为 .三、解答题 :本大题共 6 小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 甲乙两人同时生产内径为的一种零件,为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出5件(单位: ),甲:25,44,25,43,25,41,25,39,25,38乙:25,41,25,42,25,41,25,39,25,42从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量较高.【答案】见解析.【解析】试题分析:分别利用平均值公式算出甲乙两人生产的零件的平均值,再利用方差公式算出甲乙两人生产的零件的方差,发现甲、乙平均数相同,乙的方差较小,∴乙生产的零件比甲的质量高.试题解析:甲的平均数,乙的平均数,甲的方差,乙的方差,∵甲、乙平均数相同,乙的方差较小,∴乙生产的零件比甲的质量高.18. 已知直线与抛物线相交于 两点, 是坐标原点.(1)求证:;(2)若 是抛物线的焦点,求的面积.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】试题分析:(1)由,得,∴,根据韦达定理以及平面向量数量积公式可得,∴;(2)由(1)知的面积等于,直线与----轴交点为,抛物线焦点 为 ,∴试题解析:(1)证明:由,得设,则,且∴∴ (2)解:由(1)知,∴;的面积等于,∴ 的面积为.,∴,,,,(用求解同样给分)直线与 轴交点为,抛物线焦点 为 ,∴,∴ 的面积为.19. 某高校进行社会实践,对岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查,开通“微博”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,其中在岁、岁年龄段人数中,“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.请完成以下问题:(1)求岁与岁年龄段“时尚族”的人数;(2)从岁和岁年龄段的“时尚族”中,采用分层抽样法抽取 6 人参加网络时尚达人大赛,其中两人作为领队,求领队的两人年龄都在岁内的概率.【答案】(1)240,120;(2) .----【解析】试题分析:(1)根据直方图的性质可得,岁的人数为,岁的人数为;(2)利用列举法可得 人中抽取两人的情况共有种,其中两人年龄都在岁内的的情况有 种,根据古典概型概率公式可得结果.试题解析:(1)岁的人数为,岁的人数为;(2)由(1)知岁中抽 4 人,记为,岁中抽 2 人,记为 ,则领队两人是共 15 种可能,其中两人都在岁内的有 6 种,所以所求概率为 .【方法点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用,属于难题,利用古典 概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法: 适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次漏写现象的发生.20. 已知 为等差数列 的前 项和,已知….… 这样才能避免多写、.(1)求数列 的通项公式和前 项和 ;(2)是否存在 ,使成等差数列,若存在,求出 ,若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在 ,使成等差数列.【解析】试题分析:(1)利用基本量法,得求得 和 ;(2)由等差中项公式, 试题解析:, ,解得 ,即存在 ,使,所以 成等差数列.(1)设 的公差为 ,则,所以.----(2) ,,若存在 使得成等差数列,则,解得 ,所以存在 ,使成等差数列.点睛:常规的数列题型要熟悉常规的通项公式和求和公式,利用基本量法求得 ,解出通项公式。
2017-2018学年安徽省滁州市九校高二下学期期末联考数学(理)试题Word版含答案
2017-2018学年安徽省滁州市九校高二下学期期末联考数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合}073|{},065|{2>-=<+-=x x B x x x A ,则=⋂B A ( ) A .)3,37( B .)6,37( C .)5,3( D .)6,3( 2. 设复数z 满足i z i +=-3)1(,则=||z ( ) A .2 B .3 C .5 D .6 3. “21sin cos cos sin =+βαβα”是“Z k k ∈+=+,62ππβα”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件4. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线过点)21,2(,则此双曲线的离心率为( )A .2B .25 C.210 D .2135. 5)2)(1(x x +-的展开式中3x 的系数为( )A .40-B .40 C. 15- D .156. 某商品的售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表所示:由散点图可知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是a x y +-=2.3^,则实数=a ( )A .30B .35 C.38 D .40 7.已知函数)0)(3sin(>+=ωπωx y 的最小正周期为32π,则该函数的单调增区间为( )A .)](632,18732[Z k k k ∈+-ππππ B .)](1832,18532[Z k k k ∈+-ππππ C. )](1232,12532[Z k k k ∈+-ππππ D .)](632,332[Z k k k ∈+-ππππ 8. 执行如图所示的程序框图,若输出的47=S ,则判断框内可填入的条件是( )A .3>nB .4>n C.5>n D .6>n 9. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .3222π+B .324π+ C.322π+ D .34π+10. 若y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-,1,1,y y x a y x 则y ax z 2-=的最小值是1,则实数=a ( )A .4-B .21-C.1 D .4-或1 11. 已知直线012:=-+-k y kx l 与圆622=+y x 交于B A ,两点,若22||=AB ,则=k ( ) A .43-B .43 C. 34- D .34 12.已知函数)(x f 的定义域为0)()(),,0()0,(=+-+∞⋃-∞x f x f ,且0>x 时,xe x xf )1()(-=,则不等式0)(>x xf 的解集为( )A .)1,0()1,(⋃--∞ B .),0()0,1(+∞⋃- C. ),1()1,(+∞⋃--∞ D .)1,0()0,1(⋃-第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知向量b a ,均为单位向量,a 与b 夹角为3π,则=-|2|b a . 14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,则估计这100人的月平均收入为 元.15. 在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为平行四边形,G 为PB 的中点,则三棱锥GAB D -与三棱锥GAC P -体积之比为 .16.研究αn cos 的公式,可以得到以下结论:),cos 2(7)cos 2(14)cos 2(7)cos 2(7cos 2,2)cos 2(9)cos 2(6)cos 2(6cos 2),cos 2(5)cos 2(5)cos 2(5cos 2,2)cos 2(4)cos 2(4cos 2),cos 2(3)cos 2(3cos 2,2)cos 2(2cos 2357246352432ααααααααααααααααααααα-+-=-+-=+-=+-=-=-=以此类推:r q n p m +-++=24)cos 2(16)cos 2()cos 2()cos 2(8cos 2ααααα,则=++++r q p n m .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知c b a ,,分别是ABC ∆的内角C B A ,,的对边,21cos )6sin(67sin 2-=++C C ππ. (1)求C ;(2)若13=c ,且ABC ∆面积为33,求B A sin sin +的值.18. 已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ,对任意)2()2(,11*+=-∈++n n n n a a a a N n 且123=S . (1)证明:数列}{n a 为等差数列,并求数列}{n a 的通项公式; (2)若11+=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .19. 如图,所有棱长都相等的直四棱柱 D C B A ABCD ''''-中,D B ''中点为E '. (1)求证://E A '平面D C B ';(2)若60=∠BCD ,求二面角D C B A -'-的余弦值.20. 某校从高一年级随机抽取了20名学生第一学期的数学学期综合成绩和物理学期综合成绩. 列表如下:规定:综合成绩不低于90分者为优秀,低于90分为不优秀.(1)对优秀赋分2,对不优秀赋分1,从20名学生中随机抽取2名学生,若用ξ表示这2名学生两科赋分的和,求ξ的分布列和数学期望;(2)根据这次抽查数据,列出22⨯列联表,能否在犯错误的概率不超过025.0的前提下认为物理成绩与数学成绩有关?附:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=,其中d c b a n +++=21. 已知函数x ax x f ln 1)(2--=,其中R a ∈. (1)讨论)(x f 的单调性;(2)若x x f ≥)(对),1(+∞∈x 成立,求实数a 的取值范围.22.设椭圆1C 的焦点在x 轴上,离心率为23,抛物线2C 的焦点在y 轴上, 1C 的中心和2C 的顶点均为原点,点)22,2(-在1C 上,点)1,2(-在2C 上, (1)求曲线1C ,2C 的标准方程;(2)请问是否存在过抛物线2C 的焦点F 的直线l 与椭圆1C 交于不同两点N M ,,使得以线段MN 为直径的圆过原点O ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.2017-2018学年安徽省滁州市九校高二下学期期末联考数学(理)试题答案一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DBCAC 11、12:AD二、填空题13. 3 14. 2400 15. 11:16. 28 三、解答题17. 解:(1)在ABC ∆中,由21cos )6sin(cos )6sin(67sin2-=++-=++C C C C πππ, 可得21)6sin(21cos )6sin(=-=--ππC C C ,, 又3,66,6566ππππππ=∴=-∴<-<-C C C . (2)在ABC ∆中,由余弦定理可知C ab b a c cos 2222-+=,则1322=-+ab b a , 又33sin 21==∆C ab S ABC ,可得12=ab , 那么133)(222=-+=-+ab b a ab b a .可得7=+b a .由正弦定理33922313sin sin sin ====C c B b A a . 可得26397339273392sin sin =+=+b a B A . 18. 解:(1)由)2()2(11+=-++n n n n a a a a 得n n n n a a a a 221221+=-++,)(2))((111n n n n n n a a a a a a +=-+∴+++,又2,0,011=-∴>+∴>++n n n n n a a a a a , 所以数列}{n a 是公差为2的等差数列, 又n a a a S n 2,2,1263,12333=∴==+∴=, (2)由(1)知)111(41)1(2)2(1+-⨯=+⨯=n n n n b n ,)]111(...)4131()3121()211[(41...321+-++-+-+-=++++=∴n n b b b b T n n44)111(41+=+-=n n n . 19. 解:(1)连AC 交BD 于点E ,由ABCD 四边相等知E 为AC 中点,连C A '',则由D C B A ''''四边相等知C A ''与D B ''交于D B ''中点E '.又在棱柱中,C C A A C C A A '=''',//.∴四边形A C AC ''为平行四边形,∴C A AC C A AC ''='',//, ∴AE E C AE E C //,''='',连E C ',则四边形E C AE ''为平行四边形,∴E C E A ''//,⊄'E A 平面⊂''E C D C B ,平面D C B ', ∴//E C '平面D C B '.(2)设BD 中点为E ,ABCD BCD ,60=∠∴四边长都为2,1,3,====⊥∴ED EB EC EA BD AC ,四棱柱是直四棱柱,∴可建立如图所示空间直角坐标系, )2,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(-'--C D C B A ,)0,2,0(),0,1,3(),2,1,3(-=-=--=∴→→→BD AB BC ,设平面C AB '的一个法向量为),,(z y x m =,则0=⋅=⋅→→BC m AB m ,0233=+--=+-z y x y x ,取1=x ,则)3,3,1(=m,同样可求平面D C B '的一个法向量)3,0,2(=n,757732||||)cos(=⋅+=⋅=⋅∴n m n m n m,∴二面角D C B A -'-的余弦值为75.20.解:(1)ξ可能看的取值为8,7,6,5,4,又,9524)5(,9533)4(22011214220212======C C C P C C P ξξ953)8(,958)7(,9527)6(2202422014142201121424=======+==C C P C C C P C C C C P ξξξ,故ξ的分布列为ξ的数学期望5958957956955954=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .(2)根据这次抽查数据及学校的规定,可列出22⨯列联表如下:假设物理成绩与数学成绩无关,根据列联表中数据,得2K 的观测值024.5488.5146146)22124(202>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k , 因此,在犯错误的概率不超过025.0的前提下认为物理成绩与数学成绩有关.21.解:(1))(x f 定义域为xax x ax x f 1212)(),,0(2-=-='+∞,当0≤a 时,)(,0)(x f x f <'在),0(+∞上是减函数,当0>a 时,由0)(='x f 得ax 21=, 当ax 210<<时,0)(<'x f ,ax 21>时,0)(>'x f , ∴)(x f 在)21,0(a 上是减函数,在),21(+∞a上是增函数, 综上,当0≤a 时,)(x f 的单调减区间为),0(+∞,没有增区间,当0>a 时,)(x f 的单调增区间为),21(+∞a ,单调减区间为)21,0(a. (2)x x f ≥)(化为1,ln 12>∴++≥x x x ax 时,22ln 11x xx x a ++≥, 令332322ln 21ln 2111)(,ln 11)(x xx x x x x x g x x x x x g ---=-+--='∴++=, 当1≥x 时,0)(,0ln 21<'∴<---x g x x ,)(x g ∴在),1[+∞上是减函数,2)1(=≥∴g a 即),2[+∞∈a .22.解:(1)设1C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,则⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==314,1212232222222c b a b a c b a a c .所以椭圆1C 的方程为1422=+y x . 点)1,2(-在2C 上,设2C 的方程为)0(22>-=p py x ,则由)1(22--=p ,得1=p .所以抛物线2C 的方程为y x 22-=.(2)因为直线l 过抛物线2C 的焦点)21,0(F .当直线l 的斜率不存在时,点)1,0(),1,0(-N M ,或点)1,0(),1,0(N M -,显然以线段MN 为直径的圆不过原点O ,故不符合要求;当直线l 的斜率存在时,设为k ,则直线l 的方程为21-=kx y , 代入1C 的方程,并整理得034)41(22=--+kx x k . 设点),(),,(2211y x N y x M , 则221221413,414k x x k k x x +-=⋅+=-, )41(416141)(21)21)(21(22212122121k k x x k x x k kx kx y y +-=++-⋅=--=⋅. 因为以线段MN 为直径的圆过原点O ,所以→→⊥ON OM ,所以0=⋅→→ON OM ,所以02121=⋅+⋅y y x x ,所以0)41(4161413222=+-++-k k k .化简得11162-=k ,无解.。
安徽省滁州市(九校)2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2017—2018学年度第一学期高二期末考试数学试卷(理科)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.高二(2)班男生36人,女生18为12)A.16 B.18 C. 20 D.222. )AC3. )A. 2 D. 34.下列函数是偶函数的是()AD5. 1A的距离小于1的概率为()A6. )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. 2 B. 3 C. 4 D.58.轴上的椭圆,那么,下列命题为真命题的是()A9.增区间为()A10.0)A.11.)A12. 过左顶点且斜率为1为()A. 3 B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上13.b14.为.15.的外接球的体积为.16.的斜率为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.们生产的零件中各抽出5,甲:25,44,25,43,25,41,25,39,25,38乙:25,41,25,42,25,41,25,39,25,42从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量较高.18.(1(219.1000人进行了一次是否开通“微博”的调查,开通“微博”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.请完成以下问题:(1(26人参加网络20.(1(221.如图,(1(222.(1(2)试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10: CDBCA 11、12:AB二、填空题三、解答题17.∵甲、乙平均数相同,乙的方差较小,∴乙生产的零件比甲的质量高.18.(1124x x p =∴64p p +,12OA OB x x = (2)解:由(1)知(222211221122OB x y x y x=++=()212121212416464425px xx x p x x p p p p p p ++=+= 2y19.解:(1(2)由(14215620.解:(1(221.PD PA =AP 、为x 轴、建立如图所示的空间直角坐标系,(1)设平面BPQ 的一个法向量()1111,,n x y z =,1100n n=⇒=⎪⎩PC 与平面BPQ16n PC n PC =6sin 5θ=; (2(222,,x y =2200AP n PQn =⇒=121223cos ,6n n n n n n ==⨯22.解:(1)设M 的焦点(1F -(2。
安徽省滁州市(九校)高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2017—2018学年度第一学期高二期末考试数学试卷(理科)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.高二(2)班男生36人,女生18为12)A.16 B.18 C. 20 D.222. )AC3. )A. 2 D. 34.下列函数是偶函数的是()AD5. 1A的距离小于1的概率为()A6. )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. 2 B. 3 C. 4 D.58.轴上的椭圆,那么,下列命题为真命题的是()A9.增区间为()A10.0)A.11.)A12.率为1心率为()A. 3 B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上13.b=14.为.15.为.16.的斜率为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.们生产的零件中各抽出5,甲:25,44,25,43,25,41,25,39,25,38乙:25,41,25,42,25,41,25,39,25,42从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量较高.18.(1(219.1000人进行了一次是否开通“微博”的调查,开通“微博”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%.请完成以下问题:(1(26人参加网络20.(1(221.如图,(1(222.(1(2)试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10: CDBCA 11、12:AB二、填空题三、解答题17.∵甲、乙平均数相同,乙的方差较小,∴乙生产的零件比甲的质量高.18.(1124x x p =∴64p p +,12OA OB x x = (2)解:由(1)知(222211221122OB x y x y x=++=()1464425p p p p p += 2y19.解:(1(2)由(14215620.解:(1(221.PD PA=AP、为x轴、建立如图所示的空间直角坐标系,(1()1100n PQ n=⇒=⎪⎩16n PC n PC=6sin 5θ=(2(,,x y =2200n PQ n=⇒=1223,6n n n n n n ==⨯精 品 文 档试 卷 22.解:(1(2。
安徽省滁州市九校2016-2017学年高二下学期期末联考数学(理)试题含答案
安徽省滁州市九校2016—2017学年高二下学期期末联考数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
设集合}073|{},065|{2>-=<+-=x x B x x x A ,则=⋂B A ( ) A .)3,37( B .)6,37( C .)5,3( D .)6,3( 2. 设复数z 满足i z i +=-3)1(,则=||z ( ) A .2 B .3 C .5 D .6 3. “21sin cos cos sin =+βαβα”是“Z k k ∈+=+,62ππβα”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件4. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线过点)21,2(,则此双曲线的离心率为( )A .2B .25C 。
210D .2135. 5)2)(1(x x +-的展开式中3x 的系数为( )A .40-B .40 C. 15- D .156。
某商品的售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表所示:由散点图可知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是a x y +-=2.3^,则实数=a ( ) A .30 B .35 C 。
38 D .407。
已知函数)0)(3sin(>+=ωπωx y 的最小正周期为32π,则该函数的单调增区间为( )A .)](632,18732[Z k k k ∈+-ππππB .)](1832,18532[Z k k k ∈+-ππππC. )](1232,12532[Z k k k ∈+-ππππ D .)](632,332[Z k k k ∈+-ππππ8. 执行如图所示的程序框图,若输出的47=S ,则判断框内可填入的条件是( )A .3>nB .4>n C.5>n D .6>n 9。
安徽省滁州市(九校)高二上学期期末考试数学(理)试题
滁州九校2017—2018学年度第一学期高二期末考试数学试卷(理科)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.高二(2)班男生36人,女生18人,现用分层抽样方法从中抽出n 人,若抽出的男生人数为12,则n 等于( )A .16B .18C . 20D .22 2. 命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为( )A .,ln x R x x ∀∈≤B .,ln x R x x ∀∈<C .000,ln x R x x ∃∈≤D .000,ln x R x x ∃∈>3. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为( )A B . 2 D . 3 4.下列函数是偶函数的是 ( )A .cos y x x =+B .sin 2y x x =+ C. 2cos y x x =+ D .2sin 2y x x =+5. 若正方形ABCD 的边长为1,则在正方形ABCD 内任取一点,该点到点A 的距离小于1的概率为( ) A .4π B .6π C. 1π D .2π6. “函数()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上是增函数”是“01a ≤≤”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 ( )A . 2B . 3 C. 4 D .58. 设命题2:,20p x R x x ∃∈-+=;命题:q 若1m >,则方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆,那么,下列命题为真命题的是( )A .()p q ∨⌝B .()()p q ⌝∨⌝ C. p q ∧ D .()p q ∧⌝ 9. 将曲线cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后,得曲线()y f x =,则函数()f x 的单调增区间为( ) A .(),33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B .(),66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D .()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 10. 已知长方体11111,2,3,ABCD A B C D AD AA AB E -===是线段AB 上一点,且1,3AE AB F =是0中点,则1D C 与平面1D EF 所成的角的正弦值为( )A ..411.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()3cos 3cos cos b A a C a B -=+,则sin A =( )A .3 B .13D 12. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为M ,右焦点为F ,过左顶点且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于点N ,若MNF ∆的面积为232b ,则双曲线C 的离心率为( )A . 3B . 2 C.53 D .43第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,3,3,a b t =-=,若a b ⊥,则2a b += .14.已知一个算法的程序框图如图所示,当输入的1x =-与1x =时,则输出的两个y 值的和为 .15.在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2AB BC AA ===,点,E F 分别为1,CD DD 的中点,点G 在棱1AA 上,若//CG 平面AEF ,则四棱锥G ABCD -的外接球的体积为 .16.已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ,点M 是椭圆上第一象限内的点,MF 的延长线依次交y 轴,椭圆于点,P N ,若MF PN =,则直线MN 的斜率为 .三、解答题 :本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件,为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出5件(单位:mm ), 甲:25,44,25,43,25,41,25,39,25,38 乙:25,41,25,42,25,41,25,39,25,42 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量较高.18.已知直线2y x p =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点,O 是坐标原点. (1)求证:OA OB ⊥;(2)若F 是抛物线的焦点,求ABF ∆的面积.19.某高校进行社会实践,对[]25,55岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查,开通“微博”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,其中在[)30,35岁、[)35,40岁年龄段人数中,“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%. 请完成以下问题:(1)求[)30,35岁与[)35,40岁年龄段“时尚族”的人数;(2)从[)30,45岁和[)45,50岁年龄段的“时尚族”中,采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛,其中两人作为领队,求领队的两人年龄都在[)30,45岁内的概率.20. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知232,S 6S ==-. (1)求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ;(2)是否存在n ,使23,S 2,n n n S n S +++成等差数列,若存在,求出n ,若不存在,说明理由.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,1,2,PB PD AB AP Q ====是CD 中点.(1)求点C 到平面BPQ 的距离; (2)求二面角A PQ B --的余弦值.22.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,2P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点,且12PF F ∆的面积为2. (1)求椭圆M 的方程;(2)设O 为坐标原点,过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点,直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ,若对任意实数k ,存在实数m ,使得12k k mk +=,求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10: CDBCA 11、12:AB二、填空题13. 5416.三、解答题17.解:甲的平均数()125.4425.4325.4125.3925.38 5.415x =⨯++++=甲, 乙的平均数()125.4125.4225.4125.3925.4225.415x =⨯++++=乙, 甲的方差20.00052s =甲,乙的方差20.00012s =乙,∵甲、乙平均数相同,乙的方差较小,∴乙生产的零件比甲的质量高. 18.(1)证明:由222y x p y px=-⎧⎨=⎩,得22442x px p px -+=,∴22640x px p -+=, 设()()1122,y ,,A x B x y ,则11222,2y x p y x p =-=-,且2121264x x p x x p +-=,∴()()()221212121212122222482640x x y y x x x p x p x x p x x p p p p p +=+--=-++=-+=,∴12120OA OB x x y y =+=,∴OA OB ⊥; (2)解:由(1)知AOB ∆的面积等于(22221122111222S OA OB x y x y x==++=225p ==,(用12122S p y y =-求解同样给分) 直线2y x p =-与x 轴交点为()2,0M p ,抛物线焦点F 为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, ∴34FM OM =,∴AFB ∆的面积为234S p =. 19.解:(1)[)30,35岁的人数为10000.06580%240⨯⨯⨯=,[)35,40岁的人数为10000.04560%120⨯⨯⨯=;(2)由(1)知[)30,35岁中抽4人,记为,,,a b c d ,[)35,40岁中抽2人,记为x y 、, 则领队两人是ab ac ad ax ay bc bd bx by cd cx cy dx dy xy 、、、、、、、、、、、、、、共15种可能,其中两人都在[)30,35岁内的有6种,所以所求概率为62155=. 20.解:(1)设{}n a 的公差为d ,则112232362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩,∴146a d =⎧⎨=-⎩, ∴()()211461106,732n n n n a n n S na d n n -=--=-=+=-; (2)()()2223737333646n n S S n n n n n n -+=-++-+=---,()()2227232352n S n n n n +=+-+=--+,()()2222223522664n S n n n n n n ++=--++=--+,若存在n ,使23,2,n n n S S n S +++成等差数列,则22646664n n n n ---=--+,∴5n =,∴存在5n =,使23,2,n n n S Sn S +++成等差数列. 21.解:∵正方形边长1,2AB PB PD AP ====,∴222222PB PA AB PD PA AD =+=+,∴,P A A B P A A D ⊥⊥,∴PA ⊥平面ABCD ,∴分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()()()10,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,,1,0,1,1,02A B D P Q C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴()()()10,0,2,1,0,2,,1,2,1,1,22AP BP PQ PC ⎛⎫==-=-=-⎪⎝⎭, (1)设平面BPQ 的一个法向量()1111,,n x y z =,则111111120012002x z BP n x y z PQ n -+=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩,令11z =,得()12,1,1n =,∴PC 与平面BPQ 所成角的正弦值111sin 66n PC n PCθ===,∴点C 到平面BPQ 的距离为6sin PQ θ=(2)设平面APQ 的一个法向量()2222,,n x y z =,则22222220012002z AP n x y z PQ n ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩,令22x =,得()22,1,0n =-,∴121212cos ,6n nn n n n ===A PQ B --22.解:(1)设M的焦点()()12,0,,0F c F c -,∵12,P PF F ∆⎭面积为2,∴12222c ⨯⨯=,∴1c =,由222233141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得2243a b ⎧=⎨=⎩,∴椭圆M 的方程为22143x y +=; (2)设直线l 的方程为y kx t =+,由22143x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()2223484120k x k tx t +++-=, 设()()1122,,,A x y B x y ,则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++,()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--, 由12k k mk +=对任意k 成立,得22223t m t =--,∴()232m t m-=,又()0,t 在椭圆内部中,∴203t ≤<,∴2m ≥,即[)2,m ∈+∞.。
安徽省滁州市高二下学期期末数学试卷(理科)
安徽省滁州市高二下学期期末数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A . 72B . 96C . 108D . 1442. (2分)已知随机变量X服从二项分布,,则P(X=2)等于()A .B .C .D .3. (2分) (2017高二下·桂林期末) 已知变量X服从正态分布N(2,4),下列概率与P(X≤0)相等的是()A . P(X≥2)B . P(X≥4)C . P(0≤X≤4)D . 1﹣P(X≥4)4. (2分)下列四个判断:①某校高三一班和高三二班的人数分别是m,n,某次测试数学平均分分别是a,b,则这两个班的数学平均分为;②10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有c>a>b;③从总体中抽取的样本(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),若记=xi ,=yi则回归直线y=bx+a必过点(,);④已知ξ服从正态分布N(0,σ2),且p(﹣2≤ξ≤0)=0.3,则p(ξ>2)=0.2;其中正确的个数有()A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. (2分)将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中,每个盒子既要有白球,又要有黑球,且每个盒子中球数不能少于2个,则所有不同的放法的种数为()A . 12B . 3C . 18D . 66. (2分) (2016高二下·南阳期末) (x2+x+y)5的展开式中,x7y的系数为()A . 10B . 20C . 30D . 607. (2分)右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中有一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()A .B .C .D .8. (2分) (2016高二下·南昌期中) 某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为a、b,则椭圆 =1 (a >b>0)的离心率e= 的概率是()A .B .C .D .9. (2分) (2015高二下·临漳期中) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有()A . 24对B . 30对C . 48对D . 60对10. (2分)位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A .B .C .D .11. (2分) (2016高二下·辽宁期中) 有八名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道,若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续的数字(如:4,5,6),则参加比赛的这八名运动员安排跑道的方式共有()A . 360种B . 4320种C . 720种D . 2160种12. (2分) (2015高二下·和平期中) 设n∈N* , f(n)=1+ + +…+ ,计算得f(2)= ,f (4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般结论为()A . f(n)≥ (n∈N*)B . f(2n)≥ (n∈N*)C . f(2n)≥ (n∈N*)D . f(2n)≥ (n∈N*)二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2018高二上·长春月考) 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温(℃)141286用电量(度)22263438由表中数据得回归直线方程= x+中,=-2,据此预测当气温为5℃时,用电量的度数约为________.14. (1分) (201920高三上·长宁期末) 近年来,人们的支付方式发生了巨大转变,使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工、两种移动支付方式的使用情况,从全体员工中随机抽取了100人,统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中,两种支付方式都没有使用过的有5人;使用了、两种方式支付的员工,支付金额和相应人数分布如下:支付金额(元)大于2000支付方式使用18人29人23人使用10人24人21人依据以上数据估算:若从该公司随机抽取1名员工,则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为________.15. (1分)(2017·甘肃模拟) 设a= (cosx﹣sinx)dx,则二项式(a ﹣)6的展开式中含x2项的系数为________.16. (1分)(2017·闵行模拟) 集合{x|cos(πcosx)=0,x∈[0,π]}=________(用列举法表示)三、解答题 (共6题;共60分)17. (10分)已知(3x﹣)n的展开式中各项的系数之和为32.(1)求(3x﹣)n的展开式中含有x的项的系数.(2)求(x+ )•(3x﹣)n展开式中的常数项.18. (5分)(2017·衡阳模拟) 为了普及环保知识,增强环保意识,某校从理科甲班抽取60人,从文科乙班抽取50人参加环保知识测试.(Ⅰ)根据题目条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.优秀人数非优秀人数总计甲班乙班30总计60(Ⅱ)现已知A,B,C三人获得优秀的概率分别为,设随机变量X表示A,B,C三人中获得优秀的人数,求X的分布列及期望E(X).附:,n=a+b+c+dP(K2>k0)0.1000.0500.0250.0100.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87919. (10分) (2018高二下·青铜峡期末) 根据环保部门对某河流的每年污水排放量x(单位:吨)的历史统计数据,得到如下频率分布表:将污水排放量落入各组的频率作为概率,并假设每年该河流的污水排放量相互独立.(1)求在未来3年里,至多1年污水排放量的概率;(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下:当时,没有影响;当时,经济损失为10万元;当时,经济损失为60万元.为减少损失,现有三种应对方案:方案一:防治350吨的污水排放,每年需要防治费3.8万元;方案二:防治310吨的污水排放,每年需要防治费2万元;方案三:不采取措施.试比较上述三种文案,哪种方案好,并请说明理由.20. (10分) (2019高二上·南充期中) 南充高中扎实推进阳光体育运动,积极引导学生走向操场,走进大自然,参加体育锻炼,每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位:分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:分组男生人数216191853女生人数32010211若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人;②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.21. (10分)(2017·天水模拟) 已知直线l的参数方程是(t是参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ+ ).(1)判断直线l与曲线C的位置关系;(2)过直线l上的点作曲线C的切线,求切线长的最小值.22. (15分) (2019高二下·佛山月考) 在直角坐标系中,椭圆的方程为 (为参数);以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(1)求椭圆的极坐标方程,及圆的直角坐标方程;(2)若动点在椭圆上,动点在圆上,求的最大值;(3)若射线分别与椭圆交于点,求证:为定值.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
安徽省滁州市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
一、单选题1.某职校选出甲、乙、丙等6名学生参加职业技能比赛,并决出第1~6名的名次(无并列).甲、乙、丙3名学生一同去询问成绩,评委对甲说:很遗憾,你和乙都没有得到冠军,对乙说:你当然不是最后两名,对丙说:你比甲和乙都好,但也不是冠军.从这个人的回答中分析,6人的名次情况共有( ) A .72种 B .36种 C .96种 D .48种【答案】D【分析】由题意,知甲、乙、丙都不是第1名且乙不是最后两名,丙比甲和乙都好,则丙只能是第2名或第3名,然后利用分步分类计数原理求解即可【详解】由题意,知甲、乙、丙都不是第1名且乙不是最后两名,丙比甲和乙都好,则丙只能是第2名或第3名,当丙是第2名时,乙只能是第3名或第4名,甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个,所以有种情况;113233C C A 当丙是第3名时,乙只能是第4名,甲只能是第5名或第6名,所以有种情况.1323C A 故共有种不同的情况.1131323323C C A C A 48+=故选:D.2.已知,设展开式中含的奇次幂的项之和为6234560123456(=++++++x a a x a x a x a x a x a x x S,当等于 x S A . B . C . D .8282-7272-【答案】B【解析】根据二项式定理展开式,可先确定系数,再代入.x S【详解】因为6(x 则展开式中含的奇次幂的二项式系数分别为, x 135666,,C C C当的奇次幂的项之和为x x((5335135666S C C C =++3336220262=-⨯-⨯-⨯,82=-故选:B.【点睛】本题考查了二项式定理展开式中项的求法,注意项的系数与二项式系数的符号,属于基础题.3.若随机变量满足,.则下列说法正确的是( ) ξ()14E ξ-=()14D ξ-=A ., B ., ()4E ξ=-()4D ξ=()3E ξ=-()3D ξ=C ., D .,()4E ξ=-()4D ξ=-()3E ξ=-()4D ξ=【答案】D【分析】依据随机变量的数学期望与方差的运算规则求得和的值即可解决 ξ()E ξ()D ξ【详解】随机变量满足,,ξ()14E ξ-=()14D ξ-=则,,据此可得,.()14E ξ-=()21()4D ξ-=()3E ξ=-()4D ξ=故选:D4.设函数的导数为,若,则的值为( ) ()y f x =()'y f x =()0'2f x =-()0012lim 2x m f x k f x k →⎛⎫-- ⎪⎝⎭A .1B .-1C .D .1212-【答案】C【解析】直接利用导数的定义公式,计算得到答案.【详解】.()()()0000011111'222lim lim 12442x m x m f x k f x f x k f x k kf x →→⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=--=故选:.C 【点睛】本题考查了导数的定义,意在考查学生的计算能力和转化能力.5.已知函数是定义在上的奇函数,则的值为32()f x x ax bx c =+++[]25,23b b --1()2f A .B .C .1D .无法确定1398【答案】B【详解】由于函数是奇函数, 32()f x x ax bx c =+++则恒成立,解得, ()()f x f x -=-0a c ==又是定义在上的奇函数, []25,23b b --则是关于原点对称的区间,[]25,23b b --即,得,所以,25230b b -+-=2b =()32f x x x =+从而.1(2f 98=故选:B.6.学校食堂分设有一、二餐厅,学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐,根据统计:第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7,那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为( ) A .0.18 B .0.28 C .0.42 D .0.65【答案】D【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”,为“第一天去二餐厅用餐”,为“第二天去一餐厅就1A 1B 2A 餐”;则,,, ()()110.5P A P B ==()210.6P A A =()210.7P A B =由全概率公式可知,()()()()()21211210.50.60.50.70.65P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=故选:D.7.某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援,要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师,则不同的安排方法有( ) A .216种 B .108种 C .72种 D .36种【答案】A【分析】根据题意,先安排4名男主任医师,有,再将三名女医生安排到这3家医院2343C A 36=后,根据乘法原理求解即可.【详解】由题,先安排4名男主任医师,他们中有两位一起去了同一个医院,故有种方2343C A 36=法,再将3名女主任医师安排到这3家医院,有种方法,33A 6=所以根据乘法原理,共有种不同的安排方法. 366216⨯=故选:A8.已知等比数列的各项均为正数,其前项和为,且,,则( ) {}n a n n S 41a =6449S S -=7a =A .B .C .D .127169642719【答案】A【分析】由已知条件列方程求出公比,从而可求出q 7a 【详解】,整理得. ()226456449S S a a a q q q q -=+=+=+=()()34310q q +-=因为等比数列的各项均为正数,{}n a 所以公比,则,所以,即,0q >340q +>310q -=13q =所以. 374127a a q ==故选:A.9.定义在R 上的函数的导函数为,且的图像如图所示,则下列结论正确的是()f x ()f x '()xf x '( )A .函数在区间上单调递减B .函数在区间上单调递减 ()f x (1,0)-()f x (1,5)-C .函数在处取得极大值D .函数在处取得极小值()f x 5x =()f x =1x -【答案】D【分析】先由函数图像得到在各区间上的正负,再判断单调性及极值即可.()f x '【详解】由图像知:当时,,当时,,(),1x ∈-∞-()0,()0xf x f x ''><()1,0x ∈-()0,()0xf x f x ''<>当时,,()()0,55,10x ∈⋃()0,()0xf x f x ''<<则函数在区间上单调递增,A 错误,B 错误;()f x (1,0)-函数在区间上单调递减,C 错误;函数在单减,在上单增,在()f x (0,5),(5,10)()f x (),1-∞-(1,0)-处取得极小值,D 正确.=1x -故选:D.10.随机变量ξ的分布列如表:ξ ﹣1 0 1 2P13 a b c其中a ,b ,c 成等差数列,若,则D (ξ)=( )A . B .C .D .()19E ξ=18129898081【答案】D【解析】根据a ,b ,c 成等差数列,分布列的概率和为1,,构造等量关系,求解a ,b ,()19E ξ=c ,利用方差的公式即得解.【详解】∵a ,b ,c 成等差数列,E (ξ), 19=∴由变量ξ的分布列,知:, ()232111239a b c b a c b c ⎧++=⎪⎪=+⎨⎪⎪-⨯++=⎩解得a ,b ,c ,13=29=19=∴D (ξ)=(﹣1)2(0)2(1)2(2)2.19-13⨯+19-13⨯+19-29⨯+19-180981⨯=故选:D .【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列研究随机变量的期望和方差,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,11.已知e 为自然对数的底数,若对任意,总存在唯一的,使得,[]1,x e ∈[]1,1y ∈-2ln y y e a x =-成立,则实数a 的取值范围是( ) A . B .C .D .[]1,e 11,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦1,1e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】求出()中与一一对应的的取值集合,再求得2()y f y y e =[]1,1y ∈-y ()f y ()f y ()的值域,由集合之间的关系可得结论.()ln g x a x =-[]1,x e ∈【详解】设,,,,2()y f y y e =[]1,1y ∈-()ln g x a x =-[]1,x e ∈,时,,递减,时,,递增,∴2()(2)y f y y y e '=+10y -≤<()0f y '<()f y 01y <≤()0f y '>()f y ,,,∴min ()(0)0f y f ==1(1)f e --=(1)f e =1()(,]{0}f y e e∈在上是减函数,∴,()ln g x a x =-[1,]e ()[1,]g x a a ∈-由题意,∴,即. 1[1,](,]{0}a a e e -⊆ 11a e s e⎧->⎪⎨⎪≤⎩11a e e +<≤故选:B .【点睛】本题考查函数恒成立问题,通过分析函数值域之间的关系得出不等关系.解题时要注意题中任意,存在,唯一等词语的含义.12.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关,通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动,利用2×2列联表,由计算可得,得到的正确结论是( )27.245K ≈20()P K k …0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C .在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B【分析】根据临界值表,由的取值,可直接得出结果.2K 【详解】由,可得有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 27.245 6.635K ≈>99%故选:B .二、填空题13.若,,则_______. (0)1P X p ==-(1)P X p ==(23)E X -=【答案】23p -【分析】根据两点分布概率可求得,根据数学期望的性质可求得结果. ()E X 【详解】由题意得: ()E X p =()()232323E X E X p ∴-=-=-故答案为:23p -【点睛】本题考查数学期望的性质应用,关键是明确,属于基础题. ()()E aX b aE X b +=+14.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数大于3”为事件A .“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B ,则_________.()|P B A =【答案】16【解析】先利用古典概型求得,,再代入条件概率公式求解. ()P A ()P AB 【详解】满足事件A 的情况有红骰子向上的点数为4,5,6, 所以 , ()3162P A ==同时满足事件AB 的情况有红骰子向上的点数为4,5,6,蓝骰子对应点数为4,3,2, 所以, ()316612==⨯P AB 所以. ()()()1112|162===P AB P B A P A 故答案为:16【点睛】本题主要考查条件概率的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.15.CES 是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES 消费电子展上,我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作),再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和乙至多有1人负责接待工作,则不同的安排方案共有__________种. 【答案】360【分析】理解题意,分两步安排,先安排接待工作,再安排讲解工作. 安排接待工作时,甲和乙至多安排1人,故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解,从而计算出不同的安排方案总数. 【详解】先安排接待工作,分两类,一类是没安排甲乙有种, 35C 一类是甲乙安排1人有种,1225C C 再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能,共种,24A 故不同的安排方案共有种.()12322554360C C C A +⋅=故答案为:360.【点睛】本题考查了排列、组合的综合应用,考查了分析理解能力,分类讨论思想,属于中档题. 16.函数与有公切线,则实数的值为__________. ()ln 1mxf x x x =++2()1g x x =+()0y ax a =>m 【答案】4【分析】根据题意,设两个函数的切点分别为、,求出函数的导数,由的导数分析可得F G ()g x a 的值,即可得公切线为,据此可得关于的方程组,解可得的值,即可得答案. 2y x =m m 【详解】根据题意,函数与有公切线, ()ln 1mx f x x x =++()21g x x =+(0)y ax a =>设切点分别为,,,,1(F x 1)y 2(G x 2)y ; 21(),()2(1)m f x g x x x x ''=+=+所以且, 220a x =>22222121,2x x x a x +=⇒==所以公切线为,2y x =则有, 11112111211ln 21ln 21012(1)mx x x x x x x m x x ⎧+=⎪+⎪⇒+--=⎨⎪+=⎪+⎩设,()()221154()1816ln 21(0)410x h x x x x x h x x x x-+'=+-->⇒=+-=>则在 上递增, ()h x (0,)+∞又,故,, (1)0h =11x =4m =故答案为:4三、解答题17.已知.52x ⎛⎝(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)设的展开式中前三项的二项式系数之和为M ,的展开式中各项系数之和为52x ⎛ ⎝()41ax -N ,若,求实数a 的值. M N =【答案】(1) 1223480,40T x T x ==-(2)3,-1【分析】(1)当或时,二项式系数最大,写出对应的项即得解;2r =3235510C C ==(2)由题意:,即得解.012455516,(1)M C C C N a =++==-M N =【详解】(1)35552155(2)((1)20,1,2...,5r rrr r r rr T C x C x r ---+==-=,当或时,二项式系数最大2r =3235510C C ==即:.1223480,40T x T x ==-(2)由题意:012455516,(1)M C C C N a =++==-若,即M N =416(1)3,1a a =-∴=-【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18.为了解学生是否会参加定向越野活动进行调查.随机抽取了200位中小学生进行调查、得到如下数据:准备参加定向越野的小学生有80人,不准备参加定向越野的小学生有40人,准备参加定向越野的中学生有40人.(1)完成下列列联表,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小22⨯学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关. 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计小学生 中学生 合计(2)现将小学生分组进行比赛.两人一组,每周进行一轮比赛,每小组两人每人跑两张地图(跑一张地图视为一次),达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”、小超与小红同一小组,小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为,,且,理论上至1P 2P 1243P P +=少要进行多少轮比赛,才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到16次?并求此时,的值. 1P 2P 附:,.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0.50 0.25 0.05 0.025 0.0100x 0.4551.3233.8405.0246.635【答案】(1)有的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生97.5%年龄有关;(2)理论上至少要进行27轮游戏,此时. 1223P P ==【分析】(1)利用题中的数据完成列联表,计算的值,对照临界值表即可得到答案; 22⨯2K (2)先求出他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率,利用,结合二次函数的性质即P 1243P P +=可得到的最大值和最小值,再利用换元法求出的最大值,从而得到的最小值以及此时,12PP P n 1P的值.2P 【详解】解:(1)由题意可得,列联表如下:22⨯准备参加定向越野不准备参加定向越野合计小学生 80 40 120 中学生 40 40 80 合计 12080200由表中的数据可得,,222()200(40804040) 5.556 5.024()()()()1208080120n ad bc K a b a c c d b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有97.5%关;(2)他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为,P 则,12222122222221122212222122121212(1)()()(1)()()2()3()()P C P P C P C P C P P C P C P PP P P P P =-+-+=+-因为,所以, 1243P P +=22121283()()3P PP P P =-因为,, 201P (124)3P P +=所以, 14013P -……又,所以,101P (11)13P ……所以是关于的二次函数,12114()3PP P P =⋅-1P 则当时,有最大值, 123P =12PP 49当或时,有最小值, 113P =11P =12PP 13所以, 121439PP …令,则, 12t PP =1439t ……所以,当时,的最大值为, 28()33P h t t t ==-+49t =P 1627他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数满足,n X ~(,)X B n P 因为,故, max ()16nP =27n =所以理论上至少要进行27轮游戏,此时,,故. 1243P P +=1249PP =1223P P ==19.各项均为正数的等比数列中,.{}n a 12313a a a a +=-=(1)求数列的通项公式;{}n a (2)记为数列的前项和,,求的值.n S 2{log }n a n 13m m m S S S +++=m 【答案】(1)12n n a -=(2)6【分析】(1)利用等比数列的通项公式,带入等式即可求出则可求出答案.1,a q (2)先写出数列的通项公式,即可判断其为等差数列.则可写出,带入则2{log }n a n S 13m m m S S S +++=可解出的值.m 【详解】(1)∵是正项等比数列,不妨设且;{}n a 11(0n n a a q q -=>1)q ≠由题意得: 1121133a a q a q a +=⎧⎨-=⎩解得: 112a q =⎧⎨=⎩∴12n n a -=(2)记2log n n b a =由(1)知:12n n a -=1n b n ∴=-∴是以0为首项,公差为1的等差数列{}n b ∴ (1)2n n n S -=由题意得: (1)(1)(3)(2)222m m m m m m -++++=解得: (舍)126,1m m ==-所以的值为6m 20.已知函数在与处都取得极值. 32()f x x ax bx c =+++23x =-1x =(1)求,的值;a b (2)若方程有三个实数根,求实数的取值范围.()2f x c =c 【答案】(1); 1,22a b =-=-(2). 322227c -<<【分析】(1)求出函数的导数,由给定的极值点列出方程,求解验证作答.()f x (2)求出函数的极大值和极小值,再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解()()2g x f x c =-作答.【详解】(1)由求导得:, 32()f x x ax bx c =+++2()32f x x ax b '=++依题意,,解得,此时,244(0333(1)320f a b f a b ''⎧-=-+=⎪⎨⎪=++=⎩1,22a b =-=-2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-,当或时,,当时,,即,是函数的极值23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<23x =-1x =()f x 点,所以. 1,22a b =-=-(2)由(1)知,,令,321()22f x x x x c =--+32()()2122x g x x c c x f x =-=---,()(32)(1)g x x x '=+-由(1)知,在,上单调递增,在上单调递减, ()g x 2(,)3-∞-(1,)+∞2(,1)3-当时,取极大值,当时,取极小值, 23x =-()g x 222()327g c -=-1x =()g x 3(1)2g c =--因方程有三个实数根,则函数有三个零点, ()2f x c =32122()x x g x c x --=-于是得,解得, 22027302c c ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩322227c -<<所以实数的取值范围是. c 322227c -<<21.已知数列满足,数列满足. {}n a ()*11322n n n a a a n -∈N +=,={}n b 2n n na b =(1)证明数列是等差数列,并求数列的通项公式;{}n b {}n a (2)求数列的前项和.{}n a n n S 【答案】(1)证明见解析,;()122n n a n -=+(2)﹒(1)21n n +-【分析】(1)证明为常数即可证明是等差数列,求出通项公式即可求出的通项+1n n b b -{}n b {}n b {}n a 公式;(2)根据错位相减法即可求数列的前n 项和.{}n a 【详解】(1)由,得, 2n n n a b =+1+1+12n n n a b =由得,,122n n n a a -+=122n n n a a ++=故, +1+1+11222n n n n n n a a b b -=-=∴{bn }是等差数列,首项为,公差为,132b =12∴, 312(1)222n n b n +=+-=∴; ()122222n n n n a n -+=⋅=+(2),n S 01213242+52+(2)2n n -=⨯+⨯⨯++ ,12323242+52+(2)2n n S n =⨯+⨯⨯++ 两式相减得:0121322+2+2(2)2n n n S n --=⨯++-+ ()12123(2)212n n n --=+-+-()13212(2)2n n n -=---+∴﹒()13212(2)2n n n S n -=-+-++(1)21n n =+-22.已知函数. ()e 1x x f x =-(1)求证:在上单调递减()f x ()1,+∞(2)若对于任意,都有恒成立,求正实数a 的取值范围. ()0,x ∈+∞()2e xa f x a ≥+【答案】(1)证明见解析(2)(]0,1【分析】(1)求导函数得时,,由此得证;1x >()'0f x <(2)将问题等价于对于任意恒成立,令()()e 2e 1x x a x a +≥-()0,x ∞∈+()()2e 2ex x h x a x x =---,求导函数,令,分,两种()()()2e 11e x x h x a x =--+'()()()()2e 11e x x m x h x a x ==--+'1a ≤1a >情况,运用导函数讨论函数的单调性和最值,从而得函数的单调性和最值,由此可求得()m x ()h x 正实数a 的取值范围.【详解】(1)证明:因为,则, ()e 1x x f x =-()()()21e 1e 1x x x f x --=-'又,所以,1x >()1e 0x x -<所以,故在上单调递减.()'0f x <()f x ()1,+∞(2)解:不等式等价于对于任意恒成立, ()2e x a f x a ≥+()()e 2x a f x a +≥()0,x ∞∈+即对于任意恒成立, ()e 2e 1x x x a a +≥-()0,x ∞∈+当时,则有对于任意恒成立,即0x >e 10x ->()()e 2e 1x x a x a +≥-()0,x ∞∈+()2e 2ex x a x x --≤,令,则,()()2e 2e x x h x a x x =---()()()2e 11e x x h x a x =--+'令,()()()()2e 11e x x m x h x a x ==--+'所以, ()()22e xm x a x ⎡⎤=-+⎣⎦'若,则在上恒成立,故在上为减函数,1a ≤()'0m x <()0,∞+()'h x ()0,∞+故,故在上为减函数,()()''010h x h a <=-≤()h x ()0,∞+所以.()()00h x h <=若,则,1a >()'010h a =->因为为不间断函数,故存在,使得时,, ()'h x 00x >()00,x x ∈()'0h x >故当时,,这与题设矛盾. ()00,x x ∈()()00h x h >=所以,又,故正实数a 的取值范围为. 1a ≤0a >(]0,1。
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安徽省滁州市九校2017届高二下学期期末联考数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合}073|{},065|{2>-=<+-=x x B x x x A ,则=⋂B A ( ) A .)3,37( B .)6,37( C .)5,3( D .)6,3( 2. 设复数z 满足i z i +=-3)1(,则=||z ( ) A .2 B .3 C .5 D .6 3. “21sin cos cos sin =+βαβα”是“Z k k ∈+=+,62ππβα”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件4. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线过点)21,2(,则此双曲线的离心率为( )A .2B .25C.210 D .2135. 5)2)(1(x x +-的展开式中3x 的系数为( )A .40-B .40 C. 15- D .156. 某商品的售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表所示:由散点图可知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是a x y +-=2.3^,则实数=a ( )A .30B .35 C.38 D .40 7.已知函数)0)(3sin(>+=ωπωx y 的最小正周期为32π,则该函数的单调增区间为( )A .)](632,18732[Z k k k ∈+-ππππ B .)](1832,18532[Z k k k ∈+-ππππ C. )](1232,12532[Z k k k ∈+-ππππ D .)](632,332[Z k k k ∈+-ππππ8. 执行如图所示的程序框图,若输出的47=S ,则判断框内可填入的条件是( )A .3>nB .4>n C.5>n D .6>n 9. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .3222π+B .324π+ C.322π+ D .34π+10. 若y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-,1,1,y y x a y x 则y ax z 2-=的最小值是1,则实数=a ( )A .4-B .21-C.1 D .4-或1 11. 已知直线012:=-+-k y kx l 与圆622=+y x 交于B A ,两点,若22||=AB ,则=k ( )A .43-B .43 C. 34- D .34 12.已知函数)(x f 的定义域为0)()(),,0()0,(=+-+∞⋃-∞x f x f ,且0>x 时,xe x xf )1()(-=,则不等式0)(>x xf 的解集为( )A .)1,0()1,(⋃--∞ B .),0()0,1(+∞⋃- C. ),1()1,(+∞⋃--∞ D .)1,0()0,1(⋃- 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知向量b a ,均为单位向量,a 与b 夹角为3π,则=-|2|b a . 14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,则估计这100人的月平均收入为 元.15. 在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为平行四边形,G 为PB 的中点,则三棱锥GAB D -与三棱锥GAC P -体积之比为 .16.研究αn cos 的公式,可以得到以下结论:),cos 2(7)cos 2(14)cos 2(7)cos 2(7cos 2,2)cos 2(9)cos 2(6)cos 2(6cos 2),cos 2(5)cos 2(5)cos 2(5cos 2,2)cos 2(4)cos 2(4cos 2),cos 2(3)cos 2(3cos 2,2)cos 2(2cos 2357246352432ααααααααααααααααααααα-+-=-+-=+-=+-=-=-=以此类推:r q n p m +-++=24)cos 2(16)cos 2()cos 2()cos 2(8cos 2ααααα,则=++++r q p n m .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知c b a ,,分别是ABC ∆的内角C B A ,,的对边,21cos )6sin(67sin 2-=++C C ππ. (1)求C ;(2)若13=c ,且ABC ∆面积为33,求B A sin sin +的值.18. 已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ,对任意)2()2(,11*+=-∈++n n n n a a a a N n 且123=S .(1)证明:数列}{n a 为等差数列,并求数列}{n a 的通项公式; (2)若11+=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .19. 如图,所有棱长都相等的直四棱柱 D C B A ABCD ''''-中,D B ''中点为E '.(1)求证://E A '平面D C B ';(2)若60=∠BCD ,求二面角D C B A -'-的余弦值.20. 某校从高一年级随机抽取了20名学生第一学期的数学学期综合成绩和物理学期综合成绩. 列表如下:规定:综合成绩不低于90分者为优秀,低于90分为不优秀.(1)对优秀赋分2,对不优秀赋分1,从20名学生中随机抽取2名学生,若用ξ表示这2名学生两科赋分的和,求ξ的分布列和数学期望;(2)根据这次抽查数据,列出22⨯列联表,能否在犯错误的概率不超过025.0的前提下认为物理成绩与数学成绩有关?附:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=,其中d c b a n +++=21. 已知函数x ax x f ln 1)(2--=,其中R a ∈. (1)讨论)(x f 的单调性;(2)若x x f ≥)(对),1(+∞∈x 成立,求实数a 的取值范围.22.设椭圆1C 的焦点在x 轴上,离心率为23,抛物线2C 的焦点在y 轴上, 1C 的中心和2C 的顶点均为原点,点)22,2(-在1C 上,点)1,2(-在2C 上, (1)求曲线1C ,2C 的标准方程;(2)请问是否存在过抛物线2C 的焦点F 的直线l 与椭圆1C 交于不同两点N M ,,使得以线段MN 为直径的圆过原点O ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DBCAC 11、12:AD 二、填空题13. 3 14. 2400 15. 11: 16. 28 三、解答题17. 解:(1)在ABC ∆中,由21cos )6sin(cos )6sin(67sin2-=++-=++C C C C πππ, 可得21)6sin(21cos )6sin(=-=--ππC C C ,,又3,66,6566ππππππ=∴=-∴<-<-C C C .(2)在ABC ∆中,由余弦定理可知C ab b a c cos 2222-+=,则1322=-+ab b a , 又33sin 21==∆C ab S ABC ,可得12=ab , 那么133)(222=-+=-+ab b a ab b a .可得7=+b a .由正弦定理33922313sin sin sin ====C c B b A a . 可得26397339273392sin sin =+=+b a B A . 18. 解:(1)由)2()2(11+=-++n n n n a a a a 得n n n n a a a a 221221+=-++,)(2))((111n n n n n n a a a a a a +=-+∴+++,又2,0,011=-∴>+∴>++n n n n n a a a a a , 所以数列}{n a 是公差为2的等差数列, 又n a a a S n 2,2,1263,12333=∴==+∴=, (2)由(1)知)111(41)1(2)2(1+-⨯=+⨯=n n n n b n ,)]111(...)4131()3121()211[(41...321+-++-+-+-=++++=∴n n b b b b T n n44)111(41+=+-=n nn . 19. 解:(1)连AC 交BD 于点E ,由ABCD 四边相等知E 为AC 中点,连C A '',则由D C B A ''''四边相等知C A ''与D B ''交于D B ''中点E '.又在棱柱中,C C A A C C A A '=''',//.∴四边形A C AC ''为平行四边形,∴C A AC C A AC ''='',//, ∴AE E C AE E C //,''='',连E C ',则四边形E C AE ''为平行四边形,∴E C E A ''//,⊄'E A 平面⊂''E C D C B ,平面D C B ', ∴//E C '平面D C B '.(2)设BD 中点为E ,ABCD BCD ,60=∠∴四边长都为2,1,3,====⊥∴ED EB EC EA BD AC ,四棱柱是直四棱柱,∴可建立如图所示空间直角坐标系,)2,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(-'--C D C B A ,)0,2,0(),0,1,3(),2,1,3(-=-=--=∴→→→BD AB BC ,设平面C AB '的一个法向量为),,(z y x m =,则0=⋅=⋅→→BC m AB m ,0233=+--=+-z y x y x ,取1=x ,则)3,3,1(=m,同样可求平面D C B '的一个法向量)3,0,2(=n,757732||||)cos(=⋅+=⋅=⋅∴n m n m n m,∴二面角D C B A -'-的余弦值为75.20.解:(1)ξ可能看的取值为8,7,6,5,4,又,9524)5(,9533)4(22011214220212======C C C P C C P ξξ953)8(,958)7(,9527)6(2202422014142201121424=======+==C C P C C C P C C C C P ξξξ,故ξ的分布列为ξ的数学期望5958957956955954=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .(2)根据这次抽查数据及学校的规定,可列出22⨯列联表如下:假设物理成绩与数学成绩无关,根据列联表中数据,得2K 的观测值024.5488.5146146)22124(202>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k , 因此,在犯错误的概率不超过025.0的前提下认为物理成绩与数学成绩有关.21.解:(1))(x f 定义域为xax x ax x f 1212)(),,0(2-=-='+∞,当0≤a 时,)(,0)(x f x f <'在),0(+∞上是减函数,当0>a 时,由0)(='x f 得ax 21=, 当ax 210<<时,0)(<'x f ,ax 21>时,0)(>'x f , ∴)(x f 在)21,0(a 上是减函数,在),21(+∞a上是增函数, 综上,当0≤a 时,)(x f 的单调减区间为),0(+∞,没有增区间,当0>a 时,)(x f 的单调增区间为),21(+∞a ,单调减区间为)21,0(a. (2)x x f ≥)(化为1,ln 12>∴++≥x x x ax 时,22ln 11xxx x a ++≥, 令332322ln 21ln 2111)(,ln 11)(xxx x x x x x g x x x x x g ---=-+--='∴++=, 当1≥x 时,0)(,0ln 21<'∴<---x g x x ,)(x g ∴在),1[+∞上是减函数,2)1(=≥∴g a 即),2[+∞∈a .22.解:(1)设1C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,则⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==314,1212232222222c b a b a c b a a c .所以椭圆1C 的方程为1422=+y x . 点)1,2(-在2C 上,设2C 的方程为)0(22>-=p py x ,则由)1(22--=p ,得1=p .所以抛物线2C 的方程为y x 22-=.(2)因为直线l 过抛物线2C 的焦点)21,0(F .当直线l 的斜率不存在时,点)1,0(),1,0(-N M ,或点)1,0(),1,0(N M -,显然以线段MN 为直径的圆不过原点O ,故不符合要求;当直线l 的斜率存在时,设为k ,则直线l 的方程为21-=kx y , 代入1C 的方程,并整理得034)41(22=--+kx x k . 设点),(),,(2211y x N y x M , 则221221413,414kx x k k x x +-=⋅+=-, )41(416141)(21)21)(21(22212122121k k x x k x x k kx kx y y +-=++-⋅=--=⋅.因为以线段MN 为直径的圆过原点O ,所以→→⊥ON OM ,所以0=⋅→→ON OM ,所以02121=⋅+⋅y y x x ,所以0)41(4161413222=+-++-k k k .化简得11162-=k ,无解.。