2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第7章 7.2

§7.2一元二次不等式及其解法考情考向分析以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高．一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有什么关系？提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．[P67例1(2)]不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为______________． 答案 {x |－3<x <1}解析 原不等式可化为x 2＋2x －3<0，得－3<x <1.3．[P71习题T6]若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1. 5．函数y ＝ 1－xx ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 由1－xx ＋2≥0⇒－2<x ≤1，得函数的定义域为(－2,1]．6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,2]解析 设方程(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＝0，当a ≠2时，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝________. 答案 (0,2)解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)． 命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解为1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 命题点3 分式不等式例3 已知关于x 的不等式(a ＋1)x －3x －1<1.(1)当a ＝1时，解该不等式； (2)当a 为任意实数时，解该不等式． 解 (1)当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，可得x －2x －1<0，∴1<x <2，∴不等式的解集为{x |1<x <2}． (2)原不等式可化为ax －2x －1<0，可化为(ax －2)(x －1)<0，当a ＝0时，x >1.当a <0时，⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)>0， ∴x >1或x <2a.当a >0时，⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)<0， 若2a >1，即0<a <2时，可得1<x <2a ， 若2a ＝1，即a ＝2时，x ∈∅， 若0<2a <1，即a >2时，2a <x <1.综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <2a ， 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}，当0<a <2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <2a ， 当a ＝2时，原不等式的解集为∅，当a >2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二 三个“二次”的关系例4 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<m 的解集为(n ，n ＋10)，求实数m 的值． 解 由已知可得Δ＝b 2－8c ＝0，∴c ＝b 28， 由不等式2x 2＋bx ＋b 28－m <0的解集为(n ，n ＋10)， 可得方程2x 2＋bx ＋b 28－m ＝0的两根为n ，n ＋10， ∴10＝ b 24－b 24＋2m ＝2m ， ∴m ＝50.(2)已知方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求实数a 的取值范围． 解 设f (x )＝x 2＋ax ＋2， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－a ＋2>0，Δ＝a 2－8>0，－a 2<－1，解得22<a <3，∴实数a 的取值范围是(22，3)．思维升华 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2即为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或ax 2＋bx ＋c <0)的解集的两个端点．跟踪训练2 若α，β是方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个根，且α<2<β，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，∵α，β是方程f (x )＝0的根，且α<2<β， ∴f (2)<0，∴4＋2(2m －1)＋4－2m <0，∴m <－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．题型三 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例5 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例6 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围． 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例7 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练3 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，即－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B ＝________. 答案 [0,5)解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}， 故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}， ∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12.3．不等式xx ＋1≤0的解集为________．答案 (－1,0]解析 由xx ＋1≤0得x (x ＋1)≤0(x ≠－1)，解得－1<x ≤0.4．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．答案 (－3,0)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0， 解得－3<k <0.5．已知x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为________． 答案 {x |－2<x <3}解析 ∵x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13， ∴－12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，则⎩⎨⎧14－p2＋q ＝0，19＋p3＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝16，q ＝－16.∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品售价每提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为________元．(填符合要求的区间) 答案 (12,16)解析 设售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16， 所以每件售价应定为12元到16元之间．7．不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________． 答案 {x |－a <x <3a }解析 x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0， ∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．答案 {x |x ≤3}解析 当x ＝0时，f (f (x ))＝f (0)＝0≤3， 当x >0时，f (f (x ))＝f (－x 2)＝(－x 2)2－2x 2≤3， 即(x 2－3)(x 2＋1)≤0，解得0<x ≤3；当－2<x <0时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝(x 2＋2x )2＋2(x 2＋2x )≤3， 即(x 2＋2x －1)(x 2＋2x ＋3)≤0，即－2<x <0；当x ≤－2时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝－(x 2＋2x )2≤3，解得x ≤－2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤3}．9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为{x |m <x <m ＋6}，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. ∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ，①－a2＋c ＝m ＋6.②②－①得，2c ＝6，∴c ＝9.10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5. 11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－a (6－a )＋6－b ＝0，－27＋3a (6－a )＋6－b ＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)， 即2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，50＋5b ＋c ＝0， ∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1,1]上的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1,1]，则由二次函数的图象(图略)可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10.即实数t 的取值范围是(－∞，－10]．13．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为f (0)＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，函数f (x )图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.方法二 因为不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解， 所以a >2x－x 在区间[1,5]上有解，因为函数y ＝2x 和y ＝－x 在区间[1,5]上单调递减，所以2x －x ∈⎣⎡⎦⎤－235，1，所以a >－235. 14．(2018·苏北三市模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立； 当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意； 当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,3]解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅， 要使得解集中至多包含1个整数， 则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]．16．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为________． 答案 14解析 当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0， 所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2， 所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14；当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立， 所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以0<b －a ≤14.综上所述，b －a 的最大值为14.。