量子力学第五章微扰理论

求能级及波函数的一级近似
∑ 5 利用
E
(2 n
)
=
m
′| Hn′m |2 En(0) Em(0)
求能级的二级近似
12
5.2 简并情况下的微扰理论
若 En(是0) 度k 简并的，则有 k个本征函数 1,2 , k
满足方程
1 写出体系的哈密顿算符 Hˆn Enn
2 把哈密顿算符写成 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
3
写出或求Hˆ 出 Hˆ
(0)
的 本Hˆ 征值与本征函数
E (0) n
及
ψ (0) n
4 利用 En(1)
(0)* n
Hˆ
(0) n
d
Hnn
及
(1) n
mn
H m n
E (0) n
E (0) m
(0) m
)
(0) n
9
2:
(Hˆ (0)
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
(1) n
E (2) (0) nn
10
M
M
k:
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
(k) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
(k n
1)
En(2)
( k 2) n
L
En(k
)
(0) n
11
5
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和
(El(0) En(0) )al(1)ml
(0)* m
Hˆ
n(0)d
l
令微扰矩阵元
Hm n
(0)* m
Hˆ
(0) n
d
（17） （1８）
9
则:
( En(0) Em(0) )am(1) H m n
a (1) m
H m n
E(0) n
E(0) m
代入（１６）式，得波函数的一级修正为
(1) n
mn
H m n
Байду номын сангаас
E (0) n
E (0) m
(0) m
三、高级修正（能量的二级修正）
由二级近似方程可以求得能量的而二级近似
（19） （20）
10
E(2) n
(0)* n
Hˆ
(1) n
d
m
Hm n
E(0) n
E(0) m
(0)* n
Hˆ
(0) m
d
∑ =
m
′| Hn′m |2 En(0) Em(0)
Hˆ Hˆ (1)
(4)
相应地,将 En和 表n 为实参数 的级数：
En
E(0) n
E(1) n
2
E(2) n
L
kE
(k) n
L
(5)
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
k n (k) L
(6)
将以上几式代入（1）式得：
4
(Hˆ (0)
Hˆ
(1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
)
(
E(0) n
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
(2)
其中 Hˆ (0)是基本部分，与它对应的本征值和本征函数由以 下方程求出
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
(3)
3
而 Hˆ 相对很小，可视为加在 Hˆ (0上) 的微扰。现在的任务是
通过 Hˆ 和 n0，求出相应的修正项以得到 E和 的近 似解，为此，引入一个很小的实数 ，并 将Hˆ 表示为
于是，能量的二级近似
En
E(0) n
Hnn
m
| Hnm |2
E(0) n
E(0) m
波函数的一级近似
n
(0 n
)
m
Hm n
E(0) n
E(0) m
(0 m
)
（2２） （２３）
11
四、微扰理论适用的条件
H
′
mn
En(0) Em(0)
<< 1
(En(0) Em(0) )
（26）
五、求非简并定态微扰步骤
Chapter 5 微扰理论
Perturbation Theory
1
引言
前面已讨论了量子力学的基本理论，并应用薛定谔方 程求得了一些简单问题的解。
在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求 出薛定谔方程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子 体系就难以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似 方法求薛定谔方程近似解就显得尤为重要。
En2、
2
n
为二级修正
Enk
、
k
n
为 k级修正
6
二、一级修正
当 En0 非简并时，En0的本征函数只有一个，它就是波函数
的零级近似 。n0 （设 n是0 归一化的）。
为求 E，n1以 左乘n0（9）式两边，并对整个空间积分：
(0)* n
(
Hˆ
(0)
En(0) ) n(1)d
En(1)
(0)*
n
n(0)d
n(0)*Hˆ n(0)d
注意到 Hˆ 是0 厄米算符， 是En实0 数，则有
（15）
(0)* n
(
Hˆ
(0)
En(0) ) n(1)d
[(Hˆ (0)
En(0)
)
(0) n
]*
n(1)d
0
7
再注意 n的0 正交归一性，由（1５）式得
En(1) n(0)*Hˆ n(0)d Hnn
8
(1) n
a (1) l
(0) l
or
ln
代入（9）式得
(1) n
a(1) (0) ll
(1６)
l
El(0)al(1)
E (0)
(0)
l
n
a(1) (0) ll
E(1) (0) nn
Hˆ
(0) n
l
l
以
(0)* m
(m左 乘n)，并积分，并注意
的正交l(0归) 一性
得到：m(0)* l(0)d ml
波函数的近似解. 的引入只是为了从方程（７）按数量级
L 分出（８）、（9）、 、（11）等方程，达到此目的后，
便可省去 。
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
L
E
(k) n
L
n
(0) n
(1) n
(2) n
L
n (k) L
(12) (13)
Hˆ (1) Hˆ
(14)
En1、
1
n
为一级修正，
E (1) n
2
E(2) n
L
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
)
(7)
将此式展开，便得到一个两边均为 的幂级数等式，此等式 成立的条件是两边 同次幂的系数应相等，于是得到一系列
方程：
0:
(Hˆ (0)
E(0) n
)
(0) n
0
8
1:
(Hˆ (0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
能量的一级修正值 En(等1) 于 在Hˆ 态中n(0)的平均值。
已知 En后(1) ，由（９）式可求波函数的一级修正 。n(1)
将 n(1)按 Hˆ的(0本) 征函数系 展l(0开)
(1) n
a(1) (0) ll
l 1
上式可以选取
a (1) n
，0使得展开式中不含
项，n(0即)
使 an(1) n(0)，则0 上展开式可改写为
近似方法很多，微扰方法和变分法就是其中两种重要 的近似方法。微扰方法是通过简单问题的精确解来求得 复杂问题的近似解。微扰方法又视其哈密顿算符是否与 时间有关分为定态和含时两大类。
2
5.1 非简并定态微扰理论
一、基本方程
设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定谔方程为
Hˆ n Enn
(1)
当Hˆ比较复杂，方程(1)难求解时，将 H写ˆ 成：