【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.3.2 等比数列的前n项和(二)(含答案解析)
北师大版高中数学必修五高一数学《等比数列的前n项和》练习卷.docx
高一数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇．②n n m n m S S q S +=+⋅． ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．一、选择题：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11na a-- B ．111n a a +-- C ．211n a a +-- D ．以上均不正确 2、若数列的前n 项和为()10nn S a a =-≠，则这个数列是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列 C ．等比或等差数列 D ．非等差数列3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n S q -D ．n q S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ）A ．41.1aB ．51.1aC ．()5101.11a -D ．()2111.11a - 6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A ．54B ．64C ．2663D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（ ）A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．1929、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）A ．180B ．108C ．75D ．63 10、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 二、填空题：11、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________． 12、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________．13、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则n S =_____________． 14、若数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________．15、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________． 三、解答题16、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．17、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值．18、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．19、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式．。
步步高高中数学 必修 5 等比数列前n项和
等比数列前n 项和一、选择题1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1，n ∈N *.等比数列前n 项和1一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列， ∴q ＝a na n －1＝1.3．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30答案 C解析 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140 得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m＋1＝9， ∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列， 且a 2a 4＝1，设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0. 故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1， 即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍， 即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，3×4n －2， n ≥2，n ∈N *. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.二、填空题7．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝______.答案 73解析 q ≠1，否则S 6S 3＝6a 13a 1＝2≠3.∴S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝3， ∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73. 9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)． 又∵S 3＝2，S 6＝6， ∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)， 求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16.10．在等比数列{a n }中，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则前n 项和S n ＝________________. 答案 3(2n －1)或3n －1 解析 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.三、解答题11．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？解 (1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列，所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列． 又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，n ∈N *50×0.99n －10，11≤n ≤20，n ∈N *. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S 2020≈47.54万．因为S 2020＜49，故到2036年不需要调整政策．13．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解 由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)． 当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1， 可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m＋k，a n＋k，a l＋k显然成等差数列．若q≠1，由S m，S n，S l成等差数列可得S m＋S l＝2S n，即a(q m－1)q－1＋a(q l－1)q－1＝2a(q n－1)q－1，整理得q m＋q l＝2q n.因此a m＋k＋a l＋k＝aq k－1(q m＋q l)＝2aq n＋k－1＝2a n＋k，所以a m＋k，a n＋k，a l＋k成等差数列．。
高中数学必修五北师大版 等比数列的前n项和 课时作业(含答案)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则数列a 3，a 6，a 9，…，a 3n ，…的前n 项和为( )A.a 1(1－q 2n )1－qB.a 1(1－q 3n )1－q 3C.a 31(1－q 3n )1－q 3D.a 3(1－q 3n )1－q 3解析： 由于a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 3n ＝a 3(1－q 3n )1－q 3. 故选D.答案： D2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2B.73C.83 D ．3解析： 设公比为q ，则S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2， 于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案： B3．等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．35D ．49解析： ∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)．∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)．∴S 4＝28.答案： A4．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项之和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和是( )A.1S nB.1q n 1S n C ．S n D.S n qn －1 解析： {a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公比为1q ，1a 1＝1， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S ′n ＝1－⎝⎛⎭⎫1q n 1－1q＝q n －1q n ×q q －1，① 而S n ＝1－q n1－q，② 由①②得S ′n ＝S n qn 1. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在1和128之间插入6个数，使它们与这两个数成等比数列；则这6个数的和为________．解析： 由a 8＝a 1q 7，得128＝q 7，∵27＝128，∴q ＝2，∴S 6＝2(q 6－1)q －1＝27－2＝126. 答案： 1266．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝________.解析： ∵a 4a 5a 6＝a 35＝3，∴a 5＝313∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1·a 2·a 8·a 9)＝log 3(a 25·a 25)＝4log 3a 5＝4log 3313＝43. 答案： 43三、解答题(每小题10分，共20分)7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小． 解析： (1)因为{a n }是等比数列，S n ＞0，可得a 1＝S 1＞0，q ≠0.当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q＞0， 即1－q n1－q＞0(n ＝1,2，…)， 上式等价于不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q ＜01－q n ＜0(n ＝1,2，…)① 或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＞0(1－q n )＞0(n ＝1,2，…)② 解①式得q ＞1；解②式，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1＜q ＜1. 综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，得b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q ， T n ＝⎝⎛⎭⎫q 2－32q S n . 于是T n －S n ＝S n ⎝⎛⎭⎫q 2－32q －1＝S n ⎝⎛⎭⎫q ＋12(q －2)． 又因为S n ＞0，且－1＜q ＜0或q ＞0，所以，当－1＜q ＜－12或q ＞2时，T n －S n ＞0，即T n ＞S n ； 当－12＜q ＜2且q ≠0时，T n －S n ＜0，即T n ＜S n ； 当q ＝－12或q ＝2时，T n －S n ＝0，即T n ＝S n . 7．在等比数列{a n }中(1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54.求a 4和S 5. 解析： (1)设首项为a 1，∵q ＝2，S 4＝1，∴a 1(1－24)1－2＝1， 即a 1＝115， ∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17. (2)设等比数列的公比为q ，则有。
高中数学北师大必修五活规范训练 等比数列的前n项和 含解析
3.2 等比数列的前n 项和双基达标(限时20分钟)1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为 ( )． A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 解析 S 5＝a 1(1－q 5)1－q ，∴44＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)，∴a 1＝4，故选A.答案 A2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝ ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 3S 3－3S 2＝3a 3＝a 4－a 3⇒a 4＝4a 3⇒q ＝4. 答案 B3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )．A ．2 B.73 C.83D ．3解析 由题意知S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－(q 3)31－(q 3)2＝1－81－4＝73.答案 B4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析 ∵S 6＝4S 3，∴a 1(1－q 6)1－q ＝4a 1(1－q 3)1－q ，解得q 3＝3.∴a 4＝a 1q 3＝3. 答案 35．数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝8，则S 12＝________.解析 由等比数列前n 项和的性质，知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，即(S 8－S 4)2＝ S 4(S 12－S 8)，又S 4＝2，S 8＝8，故S 12＝26. 答案 266．在等比数列{a n }中，a 3－a 1＝8，a 6－a 4＝216，S n ＝40.求公比q ，a 1及n . 解 显然公比q ≠1，由已知可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2－a 1＝8，a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1(1－q n )1－q ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3，n ＝4.综合提高（限时25分钟）7．已知数列前n 项的和S n ＝2n －1，则此数列奇数项的前n 项的和是 ( )． A.13(2n ＋1－1) B.13(2n ＋1－2) C.13(22n －1) D.13(22n －2) 解析 由S n ＝2n －1知当n ＝1时，a 1＝21－1＝1. 由n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时也适合， ∴a n ＝2n －1.∴奇数项的前n 项和为 S n ＝4n －14－1＝13(4n －1)＝13·(22n －1)．答案 C8．若S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2，则{a n }是 ( )． A ．等比数列，但不是等差数列 B ．等差数列，但不是等比数列 C ．等差数列，而且也是等比数列 D ．既非等差数列又非等比数列 解析 a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2，但a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1≠常数，∴{a n }是等差数列，但不是等比数列． 答案 B9．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是________． 解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由题意，可知a 1＝81，a 5＝16，故q 4＝a 5a 1＝1681，得q ＝±23.又等比数列的各项都是正数，则q ＝23.所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝211.答案 21110．设数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200＝________.解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n ，∴lg x n ＋1＝lg(10x n )，∴x n ＋1x n ＝10.故x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝10100×100＝10102. 答案 1010211．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ，∴S n ＋1S n＝3.又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列，S n ＝3n －1(n ∈N ＋)． 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2(n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， 3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1 ①－②得－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1. ∴T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫n －123n －1(n ≥2)． 又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫n －123n －1(n ∈N ＋)． 12．(创新拓展)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)求a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)∵a n ＋1＝2a n ＋2n，∴a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1，即有a n ＋12n －a n 2n －1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1是以a 120＝1为首项，公差为1的等差数列，∴a n 2n －1＝a 120＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.(2)S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n－1,2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n 两式相减，得S n ＝n ·2n －1×20－21－…－2n －1＝n ·2n －2n ＋1.。
高中数学1.3.2等比数列的前n项和同步精练北师大版必修5
高中数学 1.3.2 等比数列的前n 项和同步精练 北师大版必修5基础巩固1等比数列{a n }中，如果公比q ＞1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定数列的增减性2在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 3在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．14等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝__________.5设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝__________.6某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p ，求这个工厂去年全年产值的总和．7等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 2，S 3成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .8(2009高考全国卷Ⅱ，文13)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝__________.综合过关9在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－110令f (n )＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N ＋)，如果对k (k ∈N ＋)，满足f (1)f (2)…f (k )为整数，则称k 为“好数”，那么区间[1,2 010]内所有“好数”的和M ＝______.11求和：9＋99＋999＋…＋999…99n 个9. 12设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和．求证：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22＞log 0.5S n＋1. 能力提升13“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．怎样用学过的知识来说明它？参考答案1答案：D2解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1q 3＝18，解得q ＝12.则该数列的前10项和为S 10＝a 11－q101－q＝1－12101－12＝2－129.答案：B3解析：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3， 从而求得a 4a 3＝3＝q . 答案：A4解析：a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，所以q 2＋q ＝6，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝12，所以S 4＝121－241－2＝152. 答案：1525解析：S 4a 4＝a 1[1－124]1－12[a 1123]＝15.答案：156解：该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月、4月、…的产值分别为a (1＋p )2、a (1＋p )3、…，去年12个月的产值组成以a 为首项，(1＋p )为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－1＋p 12]1－1＋p＝a [1＋p12－1]p，即该工厂去年全年的总产值为a [1＋p12－1]p元．7解：(1)依题意有，a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0， 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，解得a 1＝4，从而S n ＝4[1－－12n]1－－12＝83[1－(－12)n]． 8解析：设等比数列{a n }的公比为q ，很明显q ≠1，则1－q 61－q ＝41－q 31－q ，解得q 3＝3，所以a 4＝a 1q 3＝3.答案：39解析：设等比数列{a n }的公比为q ， (a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，则 (a 1q ＋1)2＝(a 1＋1)(a 1q 2＋1)，即(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)，解得q ＝1，则S n ＝2n . 答案：C10解析：设f (1)f (2)…f (k )＝log 23log 34…log (k ＋1)(k ＋2)＝log 2(k ＋2)＝m ，则k ＝2m－2，又k ∈[1,2 010]，则m ∈N ＋且1＜m ＜11，所以M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝221－291－2－18＝2026.答案：2 02611分析：数列9,99,999，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成10－1,100－1,1 000－1，…就容易解决了．解：原式＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1) ＝(10＋102＋ (10))－n ＝1010n －110－1－n＝109(10n－1)－n . 12分析：对公比q 是否等于1分类讨论．证明：设{a n }的公比为q ，由题设，知a 1＞0，q ＞0. (1)当q ＝1时，S n ＝na 1，则S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝na 1·(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 21 ＝－a 21＜0.(2)当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q，从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1 ＝a 211－q n1－qn ＋21－q2－a 211－q n ＋121－q2＝－a 21q n＜0.由(1)和(2)得S n ·S n ＋2＜S 2n ＋1.根据对数函数的单调性，得log 0.5(S n ·S n ＋2)＞log 0.5S 2n ＋1， 即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22＞log 0.5S n ＋1.13解：这句古话用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完． 如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则得到一个首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，它的前n 项和为S n ＝12×[1－12n]1－12＝1－(12)n.不论n 为何值，1－(12)n总小于1，这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完．。
北师大版数学高二高中数学必修五练习 1.3.2等比数列的性质
►基础梳理1．(1)等比数列的通项公式：________________________________________________________________________.等比数列的通项推广公式：________________________________________________________________________.(2)已知等比数列{a n }中a 3＝6，公比q ＝3，则其通项公式为____________．2．(1)既是等差又是等比数列的数列是____________．(2)写出一个既是等差又是等比数列的数列：________________．3．(1)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 是__________． (2)已知等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，等比数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，则数列{a n ·b n }的通项公式为k n ＝__________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的通项公式为c n ＝________，它们都是__________．4．(1)等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋k ，则________；若2n ＝p ＋k ，则____________．(2)已知等比数列{a n }中，a 3a 5＝12，则a 2a 6＝______，a 24＝______．基础梳理1．(1)a n ＝a 1·q n －1(a 1·q ≠0) a n ＝a m ·q n －m (a 1·q ≠0)(2)a n ＝6·3n －32．(1)非零常数列(2)2，2，2，2，2，…(答案不唯一)3．(1)等比数列(2)6n －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 等比数列 4．(1)a m a n ＝a p a k a 2n ＝a p a k(2)12 12►自测自评1．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列2．已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于( )A ．5B ．10C ．15D ．203．在等比数列{a n }中，若6a 4＝a 6－a 5，则公比q 是________．自测自评1．解析：利用等比数列的定义验证即可．答案：A2．解析：a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，故得(a 3＋a 5)2＝25，∴a 3＋a 5＝±5，又a n ＞0，即a 3＋a 5＝5.答案：A3．解析：方法一 由已知得6a 1q 3＝a 1q 5－a 1q 4，即6＝q 2－q ，∴q ＝3或q ＝－2.方法二 ∵a 5＝a 4q ，a 6＝a 4q 2，∴由已知条件得6a 4＝a 4q 2－a 4q ，即6＝q 2－q ，∴q ＝3或q ＝－2.答案：3或－2►基础达标 1.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D .121．解析：设等比中项为b ，则b 2＝(2＋1)·(2－1)＝1，∴b ＝±1，故选C.答案：C2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是( )A .52B ．－52C .1－52D .－1＋522．解析：设其中三项为a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)，公比为q ，则有a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0.∴q ＝－1±52. ∵各项都为正数，∴q ＝－1＋52. 答案：D3．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….则此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列C ．是公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列3．B4．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1的值为( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)24．解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)得a 2n ＝22n ，a n ＞0，则 a n ＝2n ，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，故选C.答案：C5．等比数列{a n }，公比是q (q ≠－1)，则数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…的公比是________．5．解析：此数列为a 1＋a 2，q 2(a 1＋a 2)，q 4(a 1＋a 2)，….故公比为q 2. 答案：q 2►巩固提高6．等比数列{a n}中，a n∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为()A．10 B．20 C．36 D．1286．解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.故选B.答案：B7．若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则a1a23a5＝________．7．解析：利用等比数列的性质求解．∵数列{a n}为等比数列，∴a2·a4＝a23＝12，a1·a5＝a23.∴a1a23a5＝a43＝14.答案：1 48．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3 (n∈N*)，则该数列的通项a n＝________．8．解析：由a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，∴a n＋1＋3＝2(a n＋3)(n≥1)，即{a n＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n＋3＝4·2n－1＝2n ＋1，所以该数列的通项a n＝2n＋1－3.答案：2n＋1－39．设二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ∈N *)的两根a 和b 满足6a －2ab ＋6b ＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列． 9．分析：利用递推关系及等比数列的定义求解．(1)解析：根据根与系数的关系有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝a n ＋1a n ，ab ＝1a n ，代入6(a ＋b )－2ab ＝3，得6×a n ＋1a n －2a n＝3. ∴a n ＋1＝12a n ＋13. (2)证明：∵a n ＋1＝12a n ＋13， ∴a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． 10．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上2月份比原计划多生产10台，3月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？10．解析：设原计划第一个月生产a 台，公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋d ＋10）2＝a （a ＋2d ＋25）， ①a ＋2d ＋25＝12（3a ＋3d ）－10， ②由②得a ＝d ＋70，代入①得d 2＋15d －250＝0.∴d ＝10或d ＝－25(舍去)，∴a ＝80.所以实际上三个月产量分别为80台，100台和125台，故该厂第一季度实际生产微机305台．1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要．2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正确率，如用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋k ，则a m a n ＝a p a k ，可以解决许多相关问题．3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要准确判断用好定义与通项公式．。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章 数列 3-2
3.2 等比数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列前n 项和公式及其推导 1．等比数列前n 项和公式(1)公式：S n ＝⎩⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的推导推导1 求等差数列前n 项和用的是倒序相加法，对于等比数列{a n }，若q ≠1，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，至此，你能用a 1和q 表示出S n 吗？ 答案 由S n ＝a 1＋q (S n －a 1qn －1)，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n.所以S n ＝a 1(1－q n )1－q.推导2 在等比数列{a n }中，若q ≠1，n ≥2时，则有a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a na n －1＝q .由等比性质，得a 2＋a 3＋…＋a na 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，至此你能用a 1和q 表示出S n 吗？答案 由a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q (n ≥2)，得S n －a 1S n －a n ＝q ，于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (n ≥2)．当n＝1时，S 1＝a 1＝a 1(1－q 1)1－q ，也满足上式．于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (n ∈N *)．思考 设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1(n ∈N *)，则f (n )等于( )A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋2－1) D.27(8n ＋3－1) 答案 B解析 f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1＝2(1－8n ＋1)1－8＝27(8n ＋1－1)．注意 参与求和的项共有多少项． 知识点二 错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．题型一 等比数列基本量的计算 例1 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q .解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×[1－(－56)n ]11.(2)方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.方法二 由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10， 所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，所以q 为2或12.反思与感悟 (1)在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(2)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练1 在等比数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .解 (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2， 又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， ∴q ＝2或q ＝－2， ∴a 1＝115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.题型二 错位相减法求和例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n .得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]．2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.反思与感悟 一般地，如果数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可以采用错位相减法．跟踪训练2 求数列{nx n }的前n 项和． 解 (1)当x ＝0时，S n ＝0. (2)当x ＝1时，S n ＝n (n ＋1)2.(3)当x ≠0且x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋(n －1)x n －1＋nx n ，①xS n ＝x 2＋2x 3＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，②①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x )2·[nx n ＋1－(n ＋1)x n ＋1]， ∴S n＝⎩⎨⎧n (n ＋1)2(x ＝1)0(x ＝0)，x(1－x )2[nxn ＋1－(n ＋1)x n ＋1](x ≠0且x ≠1).题型三 等差、等比数列的综合问题例3 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.反思与感悟 (1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． (2)利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解． 跟踪训练3 已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32－12×3n －1.应用等比数列前n 项和公式时忽视分类讨论致误例4 等比数列1,2a,4a 2,8a 3，…的前n 项和S n ＝____________. 错解 S n ＝1－(2a )n1－2a错因分析 忽视等比数列前n 项和公式的应用条件，未对等比数列的公比2a 分类讨论，导致错误．正解 公比为q ＝2a ，当2a ＝1，即a ＝12时，2a ＝1，S n ＝n ；当q ≠1，即a ≠12时，2a ≠1，则S n ＝1－(2a )n 1－2a.答案 ⎩⎨⎧n ， a ＝12，1－(2a )n1－2a， a ≠12.误区警示 准确理解公式，重视分类讨论应用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 是否为1，因为等比数列前n 项和公式是“分段函数”形式．若题中公比不明确，要分情况讨论，如本例，公比为q ＝2a ，应该分2a ＝1,2a ≠1两种情况讨论，否则结论就不完整．1．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－45答案 A解析 S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3(1－25)1－2＝93.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7等于( )A.118B.1916C.98D.34答案 A解析 a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝a 2(1＋q ＋q 2)a 1(1＋q ＋q 2)＝a 2a 1＝q ＝－12， 由a 1＋a 2＋a 3＝6，且q ＝－12，得a 1＝8，可得a 2＝a 1q ＝8×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， ∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝S 7－a 1－a 2＝a 1(1－q 7)1－q－a 1－a 2＝8[1－(－12)7]1－(－12)－8－(－4)＝118.3．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于________．答案403解析 由题意得S 4＝a 1(1－34)1－3＝40a 1，又a 2＝3a 1，∴S 4a 2＝403. 4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和是________． 答案 120解析 ∵a 5＝a 2·q 3，∴q 3＝2439＝27.∴公比q ＝3，从而a 1＝3， ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12n ，则它的前n 项和S n ＝________.答案 3－2n ＋32n解析 ∵S n ＝12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n ，∴12S n ＝14＋38＋516＋732＋…＋2n －12n ＋1， 相减得12S n ＝12＋24＋28＋216＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋(12＋14＋…＋12n －1)－2n －12n ＋1＝12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， ∴S n ＝3－2n ＋32n .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．。
推荐学习K122018北师大版高中数学必修五学案：第一章 3.2 等比数列的前n项和(二)
3.2 等比数列的前n 项和(二)学习目标 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征思考 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？ 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？梳理 当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1)．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数．知识点二 等比数列前n 项和的性质思考 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？ 梳理 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质(1)数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N ＋)．(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1)．知识点三 错位相减法思考 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的？梳理 如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，一般使用如下方法：S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，①qS n ＝a 1b 1q ＋a 2b 2q ＋…＋a n b n q ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1，② ①－②得(1－q )S n ＝a 1b 1＋(a 2－a 1)b 2＋(a 3－a 2)b 3＋…＋(a n －a n －1)b n －a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋d b 2(1－q n －1)1－q －a n b n ＋1，∴S n ＝a 1b 1－a n b n ＋11－q ＋d b 2(1－q n －1)(1－q )2.上述方法称为“错位相减法”．类型一 等比数列前n 项和公式的函数特征 应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列 C ．是等差数列或等比数列 D ．既非等差数列，也非等比数列反思与感悟 (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.类型二 等比数列前n 项和的性质 命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n )．反思与感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba 1＋ba 2＋ba 3＋…＋ba 6＝________. 类型三 错位相减法求和 例4 求数列{n2n }的前n 项和．反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1932．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－123．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．634．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.1．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．2．等比数列中用到的数学思想： (1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．答案精析问题导学 知识点一思考 当S n ＝2n －1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋，是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n ， n ≥2，n ∈N ＋，不是等比数列．知识点二思考 设{a n }的公比为q ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n ，S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n ＝q n (S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n . 知识点三思考 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可． 题型探究例1 B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ (a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式， ∴a n ＝(a －1)·an －1，n ∈N ＋.∴a n ＋1a n＝a ，∴数列{a n }是等比数列．] 跟踪训练1 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.例2 证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列的性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )． ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．跟踪训练2 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q 2n)1－q ＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，3n 1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 例3 A [∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8 ＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q ＝－3.] 跟踪训练3 126解析 ∵ba n ＋1ba n ＝b 1·qa n ＋1－1b 1·qa n －1＝qa n ＋1－a n ＝2，∴{ba n }是首项为b 2，公比为2的等比数列． ∴ba 1＋ba 2＋…＋ba 6＝b 2(1－26)1－2＝27－2＝126.例4 解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .跟踪训练4 解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋11－x ∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x . 综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2， x ＝1，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.当堂训练1．C 2.C 3.D 4.－1。
高中数学北师大版必修5同步精练1.3.2等比数列的前n项和 Word版含答案
基础巩固等比数列{}中，如果公比＞，那么等比数列{}是( )．递增数列．递减数列．常数列．无法确定数列的增减性在等比数列{}(∈＋)中，若＝，＝，则该数列的前项和为( )．－．－．－．－在等比数列{}中，表示前项和，若＝＋，＝＋，则公比等于( )．．－．－．等比数列{}的公比＞.已知＝，＋＋＋＝，则{}的前项和＝.设等比数列{}的公比＝，前项和为，则＝.某工厂去年月份的产值为元，月平均增长率为，求这个工厂去年全年产值的总和．等比数列{}的前项和为，已知，，成等差数列．()求{}的公比；()若－＝，求.(高考全国卷Ⅱ，文)设等比数列{}的前项和为，若＝，＝，则＝.综合过关在等比数列{}中，＝，前项和为，若数列{＋}也是等比数列，则等于( )．＋－．．．－令()＝(＋)(＋)(∈＋)，如果对(∈＋)，满足()()…()为整数，则称为“好数”，那么区间[]内所有“好数”的和＝.求和：＋＋＋…＋.设{}是由正数组成的等比数列，是其前项和．求证：＞＋.能力提升“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．怎样用学过的知识来说明它？参考答案答案：解析：设公比为，则(\\(＝，＝()，))解得＝.则该数列的前项和为＝＝＝－.答案：解析：两等式相减得－＝，从而求得＝＝.答案：解析：＋＋＋＝＋＝，所以＋＝，解得＝或＝－(舍去)，所以＝＝，所以＝＝.答案：解析：＝＝.答案：解：该工厂去年月份的产值为(＋)元，月、月、…的产值分别为(＋)、(＋)、…，去年个月的产值组成以为首项，(＋)为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为＝＝，即该工厂去年全年的总产值为元．解：()依题意有，＋(＋)＝(＋＋)由于≠，故＋＝，又≠，从而＝－.()由已知可得－(－)＝，解得＝，从而＝＝[－(－)]．解析：设等比数列{}的公比为，很明显≠，则＝，解得＝，所以＝＝.答案：解析：设等比数列{}的公比为，(＋)＝(＋)(＋)，则(＋)＝(＋)(＋)，即(＋)＝(＋)，解得＝，则＝.答案：解析：设()()…()＝…(＋)＝(＋)＝，则＝－，又∈[]，则∈＋且＜＜，所以＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…(＋)＋)－×＝－＝.答案：分析：数列，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成－－－，…就容易解决了．解：原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…＋)－＝－＝(－)－.。
北师大版高中数学必修五高一数学《等比数列的前n项和》练习卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷 知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇．②n n m n m S S q S +=+⋅． ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．一、选择题：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11na a-- B ．111n a a +-- C ．211n a a +-- D ．以上均不正确 2、若数列的前n 项和为()10nn S a a =-≠，则这个数列是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列 C ．等比或等差数列 D ．非等差数列3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n S q -D ．n q S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ）A ．41.1aB ．51.1aC ．()5101.11a -D ．()2111.11a - 6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A ．54B ．64C ．2663D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（ ）A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．1929、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）A ．180B ．108C ．75D ．63 10、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 二、填空题：11、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________． 12、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________．13、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则n S =_____________． 14、若数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________．15、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________． 三、解答题16、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．17、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值．18、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．19、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式．。
北师大版数学高二必修5试题 1.3.2.1等比数列前n项和
课后巩固作业（九）(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=( )（A ）152 （B ）314 （C ）334（D ）172 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2+a 5=0，则下列式子中数值不能确定的是( )（A ）53a a （B ）53s s （C ）n 1na a + （D ）n 1n s s + 3.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( )（A ）81 （B ）120 （C ）168 （D ）1924.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6.则数列{n1a }的前5项和为( ) （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158 二、填空题（每小题4分，共8分）5.在等比数列{a n }中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n =_____________.6.下列命题中，正确的命题序号是___________.(1)若a ，b ，c 成等比数列，则b 为a ，c 的等比中项，且(2)两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n }、{n n a b }、{n 1a }、{n1b }仍为等比数列.(3)若{a n }是等比数列，则下标成等差数列的子列也构成等比数列；(4)若{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m …也成等比数列. 三、解答题（每小题8分，共16分）7.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.8.已知数列{a n }是等比数列，且a 1+a 2+a 3=-6，且a 1·a 2·a 3=64,(|q|>1)(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n =(2n+1)·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【挑战能力】（10分）某企业2011年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n 年(今年为第一年)的利润为500(1+n 12)万元(n 为正整数). (1)设从今年起的前n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需扣除技术改造资金),求A n 、B n 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？答案解析1.【解析】选B.由a 2a 4=1可得a 12q 4=1，因此a 1=21q，又因为S 3=a 1(1+q+q 2)=7，联立两式有(1q +3)·(1q -2)=0，所以q=12,a 1=4,所以S 5=51413121412-=-（），故选B. 2.【解析】选D.由题设52a a =-8⇒q=-2,所以选项A ，B ，C 的数值都是确定的. 3.【解析】选B.根据题意及等比数列的性质可知：52a a =27=q 3,∴q=3,a 1=2a q =3,∴S 4=()431313--=120. 4.独具【解题提示】解决本题时需要考虑公比为1的情况,进行验证.【解析】选C.设等比数列的公比为q ，则当公比q=1时，由a 1=1得，9S 3=9×3=27，而S 6=6，两者不相等，故不合题意；当公比q≠1时，由9S 3=S 6及首项为1得： 9×31q 1q --=61q 1q--，解得q=2，所以数列{n 1a }的前5项和为1+1111312481616+++=，选C. 5.【解析】由题意知a 1+4a 1+16a 1=21，解得a 1=1，所以通项a n =4n-1.答案: 4n-16.【解析】(1)中a 、c 的等比中项有两个，即(2)(3)(4)都是等比数列的性质，成立.答案:(2)(3)(4)7.【解析】(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n-1，又当n≥2时，a n ＝S n -S n-1＝2n-2(2-1)＝2n-2.∴a n =n 21 (n 1)2 (n 2)－＝⎧⎨≥⎩.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝()()n n 214241143---＝.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝()n 2n 124121133-＋＋＋＝. 8.【解析】(1)由a 1+a 2+a 3=-6,a 1·a 2·a 3=64.则()21331a 1q q 6a q 64⎧++=-⎪⎨=⎪⎩,由于|q|>1,解得a 1=-2,q=-2,所以a n =(-2)n .(2)由(1)知b n =(2n+1)(-2)n ,S n =3·(-2)+5·(-2)2+7·(-2)3+…+(2n -1)·(-2)n-1+(2n+1)·(-2)n ①(-2)·S n =3·(-2)2+5·(-2)3+7·(-2)4+…+(2n -1)·(-2)n +(2n+1)·(-2)n+1 ②①-②得：3·S n =3·(-2)+2·(-2)2+2·(-2)3+2·(-2)4+…+2·(-2)n -(2n+1)·(-2)n+1即3·S n =(-2)+2·［(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)4+…+(-2)n ］-(2n+1)·(-2) n+13·S n =(-2)+2·()()()n 21212-----［］-(2n+1)·(-2)n+1 整理得：S n =-106n 599+-·(-2)n+1 【挑战能力】独具【解题提示】数列在实际问题中的应用这一类问题解决的关键在于如何将实际问题转化为数列问题.如何从条件中分析出数列的内容，如何引进符号，如何求数列的通项是转化的关键.【解析】(1)依题设A n =(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n 2;B n =500［(1+12)+(1+212)+…+(1+n 12)］-600 =500n-n 5002-100. (2)B n -A n =(500n-n 5002-100)-(490n-10n 2) =10n 2+10n-n 5002-100=10［n(n+1)- n 502-10］. 因为函数y=x(x+1)-x 502-10在（0,+∞）上为增函数， ∴当n≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.。
2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第一章 3.2 等比数列的前n项和(二)
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第一章 3．2等比数列的前n项和（二）______年______月______日____________________部门学习目标 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？梳理当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn －1)．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．知识点二等比数列前n项和的性质思考若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列吗？梳理等比数列{an}前n项和的三个常用性质(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则①在其前2n项中，＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝－q)＝(q≠－1)．知识点三错位相减法思考在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？梳理如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，一般使用如下方法：Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，①qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，②①－②得(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d1－qn－1,1－q)－anbn＋1，∴Sn＝＋d1－qn－1,1－q2).上述方法称为“错位相减法”．类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}( )A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．是等差数列或等比数列D．既非等差数列，也非等比数列反思与感悟(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.类型二等比数列前n项和的性质命题角度1 连续n项之和问题例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.命题角度2 不连续n项之和问题例3 已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于( )A．－3 B．－13C．3 D.13反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．跟踪训练 3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6＝________.类型三错位相减法求和例4 求数列{}的前n项和．反思与感悟一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A．190 B．191 C．192 D．1932．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )A. B．－ C. D．－123．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )A．180 B．108 C．75 D．634．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n ＋k，则实数k＝________.1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．2．等比数列中用到的数学思想：(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．答案精析问题导学知识点一思考当Sn＝2n－1时，an＝＝n∈N＋，是等比数列；当Sn＝2n＋1－1时，an＝＝n∈N＋，不是等比数列．知识点二思考设{an}的公比为q，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn＝qn(S2n－Sn)，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.知识点三思考在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可．题型探究例1 B [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N＋.∴＝a，∴数列{an}是等比数列．]跟踪训练1 －13解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.例2 证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．方法二根据等比数列的性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．跟踪训练2 解因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得1－qn,1－q)＝48，,\f(a11－q2n,1－q)＝60，))①②②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③将③代入①得＝64，所以S3n＝1－q3n,1－q)＝64×＝63.例3 A [∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q＝q(a1＋a3＋a5＋a7)∴＝＝－3.]跟踪训练3 126解析∵＝＝qan＋1－an＝2，∴{ban}是首项为b2，公比为2的等比数列．∴ba1＋ba2＋…＋ba6＝1－26,1－2)＝27－2＝126.例4 解设Sn＝＋＋＋…＋，则有Sn＝＋＋…＋＋，两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，即Sn＝1－\f(1,2n),1－\f(1,2))－＝1－－.∴Sn＝2－－＝2－.跟踪训练4 解当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n＋1,2)；当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝1－xn,1－x)－nxn＋1，∴Sn＝1－xn,1－x2)－.综上可得Sn＝n＋1,2)，x＝1，,\f(x1－xn,1－x2)－\f(nxn＋1,1－x)，x≠1且x≠0.))当堂训练1．C 2.C 3.D 4.－1。
高中数学《1.3.2等比数列的前n项和》随堂自测(含解析) 北师大版必修5
2013年高中数学《1.3.2 等比数列的前n 项和》随堂自测（含解析）北师大版必修51．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2解析：选A.S 5＝a 11－q51－q，∴44＝a 1[1－－25]1－－2，∴a 1＝4，故选A.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3解析：选B.由题意知S 6S 3＝a 11－q 61－q a 11－q 31－q＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴S 9S 6＝a 11－q 91－q a 11－q 61－q＝1－q 91－q 6＝1－q 331－q 32＝1－81－4＝73. 3．(2010·高考福建卷)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21a 1＝21，∴a 1＝1.∴a n ＝1·4n －1＝4n －1.答案：4n －14．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 解析：当q ＝1时，S n ＝na 1，此时{S n }是等差数列，满足题意．当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q ·q n＋a 11－q，此时S n 并不是关于n 的一次函数．不满足题意，综上，q ＝1. 答案：1[A 级 基础达标]1．下列各式中正确的为( ) A ．1－2＋4－8＋…＋(－2)n －1＝1×1－2n1－2B ．1＋2＋22＋23＋ (2)＝1×1－2n1－2C ．若c ≠0且c ≠1，则c 2＋c 4＋c 6＋c 2n＝c 2[1－c 2n]1－c2D ．2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1＝21－2×3n ＋11－3解析：选C.A 中：1－2＋4－8＋…＋(－2)n －1＝1×[1－－2n]1＋2，故A 是错误的；B 中：1＋2＋22＋23＋ (2)＝1×1－2n ＋11－2，故B 错误；C 中：c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2n＝c 2[1－c 2n]1－c2，故C 正确；D 中：2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1＝3n－1，故D 错误．综上可知只有C 选项正确．2．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Ⅱn ＝a 1a 2…a n 表示它的前n 项之积，则Ⅱ1，Ⅱ2，…中最大的是( ) A ．Ⅱ11 B ．Ⅱ10 C ．Ⅱ9 D ．Ⅱ8解析：选C.∵a n ＝a 1·q n －1，∴Ⅱn ＝a 1·(a 1q )·(a 1q 2)…(a 1q n －1)＝a n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝(512)n ·(－12)n n －12＝(－1)n n －12 ·29n·2－n n －12＝(－1)n n －12·2－12(n 2－19n )，∴当n ＝9时，(Ⅱn )max ，故选C.3．(2012·宿州调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4S 2＝3，则2a 2－a 4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A.设{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)， ∴a 11－q 41－q ＝3×a 11－q 21－q ，∴q 2＝2，∴2a 2－a 4＝2a 2－a 2q 2＝2a 2－2a 2＝0，故选A. 4．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝__________，前8项的和S 8＝______.(用数字作答)解析：∵a n ＋1＝2a n ，∴a n ＋1a n＝2.∴数列{a n }是等比数列． ∴a n ＝2n －1.∴a 5＝24＝16，S 8＝1－281－2＝255.答案：16 2555十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 … 二进制 1 10 11 100 101 110 111 1000 …示十进制中的最大数是________．解析：能表示十进制中的最大数是：20＋21＋22＋…＋25＝1－261－2＝63.答案：636．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．解：(1)∵a 3a 4＝a 1a 6＝329，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝11，a 1a 6＝329，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝323a 6＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，a 6＝323.∵q ∈(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，∴q ＝12， ∴a n ＝323×(12)n －1.(2)由(1)知等比数列{a n }中a 1＝323，q ＝12，所以S n ＝323[1－12n]1－12＝643[1－(12)n]，当S n ＝21时，643[1－(12)n]＝21，∴(12)n ＝164，∴n ＝6. [B 级 能力提升]7．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和为( ) A ．50 B ．70 C ．80 D ．90解析：选B.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝40，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝20，S 9－S 6＝S 9－60，∵(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－60)，即202＝40×(S 9－60)，解得S 9＝70.8．(2012·西安质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n解析：选D.等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3)＝0，∴q ＝－2，∴a 5a 3＝q 2＝4，a n ＋1a n＝q ＝－2，S 5S 3＝a 11－q 51－q a 11－q 31－q＝1－q 51－q 3＝113，都是确定的数值，但S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－qn 的值随n 的变化而变化，故选D.9．(2011·高考北京卷)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析：由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2，因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝121－2n1－2＝2n －1－12.答案：－2 2n －1－1210．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ≥2，且n ∈N ＋)，试判断{a n }是不是等比数列．解：∵当n ≥2时，S n ＋1－3S n ＋2S n －1 ＝(S n ＋1－S n )－2(S n －S n －1)＝a n ＋1－2a n . ∴当n ≥2时，a n ＋1－2a n ＝0， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝2， 又∵a 2＝S 2－S 1＝2－1＝1，∴a 2a 1＝11＝1≠2，∴{a n }不是等比数列．11．(创新题)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n－1]＝0，n ∈N ＋，(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1·a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)经计算：a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18，当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2， 即数列{a n }的奇数项成等差数列， ∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1，当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，即数列{a n }的偶数项成等比数列．∴a 2n ＝a 2·(12)n －1＝(12)n，因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，12n2，n 为偶数.(2)∵b n ＝(2n －1)×12n ，∴S n ＝1×12＋3×122＋5×123＋…＋(2n －3)×12n －1＋(2n －1)×12n ， ①12S n ＝1×122＋3×123＋5×124＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1. ② 用①－②得，12S n ＝1×12＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]－(2n －1)×12n ＋1＝12＋121－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－(2n ＋3)×12n ＋1. ∴S n ＝3－(2n ＋3)×12n .。
高中数学 1.3.2 等比数列的前n项和课时训练 北师大版必修5(1)
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.2 等比数列的前n 项和课时训练 北师大版必修5一、选择题1．若等比数列{a n }的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为( )A ．1B ．－2C ．2或－1D ．－2或1【解析】 由题意知，S 3＝3a 1，当q ＝1时，S 3＝3a 1有解，∴公比为1，符合题意．当q ≠1时，有a 1（1－q 3）1－q＝3a 1⇒q ＝－2.故选D. 【答案】 D2．(2013·郑州高二检测)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【解析】 由题意易知q ≠1，则9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2， 数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列， 由求和公式可得S 5＝3116. 【答案】 C3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189【解析】 由a 1＋a 2＋a 3＝21，得a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或－3(舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝4×21＝84.【答案】 C4．(2013·吉林高二检测)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝10，S 10＝50，则S 15等于( )A ．150B ．170C ．190D ．210【解析】 因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等比数列， 所以(S 10－S 5)2＝S 5·(S 15－S 10)，即402＝10×(S 15－50)， 所以S 15＝210.【答案】 D5．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1【解析】 当n ＝1时，a 1＝4＋a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －4n －1＝3·4n －1.当n ＝1时，4＋a ＝3，∴a ＝－1.【答案】 B二、填空题6．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．【解析】 由a 5a 1＝q 4＝16，∴q ＝±2.又∵q >0，∴q ＝2， ∴S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 【答案】 1277．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则 S 5S 2＝________．【解析】 由8a 2＋a 5＝0，∴a 5a 2＝－8，即q 3＝－8，q ＝－2. ∴S 5S 2＝a 1（1－q 5）1－q a 1（1－q 2）1－q＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 【答案】 －118．(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.【解析】 法一 S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2， 将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)． 法二 设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)．∵q >0，∴q ＝32. 【答案】 32三、解答题9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－a )n －1(a ≠0)，求这个数列的前n 项和．【解】 ∵a n ＋1a n ＝（－a ）n（－a ）n －1＝－a ， ∴{a n }是首项为1，公比为－a 的等比数列，当a ＝－1时，S n ＝n ；当a ≠－1时，S n ＝1－（－a ）n 1－（－a ）＝1－（－a ）n1＋a. 10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为2，若S 3＋S 6＝S 9，求S 15的值．【解】 ①当q ＝1时，S n ＝na 1＝2n ，满足S 3＋S 6＝S 9， ∴S 15＝30.②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，∴2（1－q 3）1－q ＋2（1－q 6）1－q ＝2（1－q 9）1－q， ∴(q 3－1)(q 6－1)＝0，∴q ＝－1，∴S 15＝2[1－（－1）15]1－（－1）＝2. 11．(2013·烟台高二检测)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ＝1，2，3…)，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T n .【解】 (1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23. 当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b n b n －1＝13.所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列， 于是b n ＝2·13n .(2)数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1.从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n ，∴T n ＝2[2·13＋5·132＋8·133＋…(3n －1)·13n ]， 13T n ＝2[2·132＋5·133＋…＋(3n －4)·13n ＋(3n －1)·13n ＋1]． ∴23T n ＝2[2·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n －(3n －1)·13n ＋1]． T n ＝72－12·3n －2－3n －13n .。
北师版数学高二北师大版必修5课件 1.3.2 等比数列的前n项和(二)
跟踪训练3 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N＋)，公比q∈(0， 1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式； 解 ∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a23＋2a3a5＋a25＝25， 又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2， ∴a3a5＝4，而q∈(0，1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
明目标、知重点
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn， S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n). 证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21， ∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
C.27(8n＋2－1)
D.27(8n＋3－1)
解析 f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝211－－88n＋1＝27(8n＋1－1).
明目标、知重点
反思与感悟 数列是一个特殊的函数，数列的 通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数. 所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的 基本方法.
明目标、知重点
明目标、知重点
又a1＝2a1－2，∴a1＝2， ∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＝2n. ∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上， ∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2， ∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.
明目标、知重点
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn. 解 ∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，① ∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1， ② ①－②得：
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3.2 等比数列的前n 项和(二)课时目标 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝__________＝__________；当q ＝1时，S n ＝_______. 2．等比数列前n 项和的性质：(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成______数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝______.3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.12(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1，…的前n 项和为( )A ．2n －1 B ．n·2n －nC ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －23．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.1584．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于()A．90 B．70 C．40 D．30 6．某市决定从2010年1月1日起到2015年1月1日五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2010年底更新现有总车辆数的(参考数据：1.14≈1.46,1.15≈1.61)()A．10% B．16.4%C．16.8% D．20%7．设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和，若{S n}是等差数列，则q＝________. 8．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．10．在等比数列{a n}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝________.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为a n吨，试求a n的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)能力提升13．有纯酒精a L(a>1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题．3．2 等比数列的前n 项和(二)答案知识梳理1.a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 12.(1)等比 (3)q作业设计1．D [易知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，∴{a 2n }也是等比数列，a 21＝1，公比为4.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1－4n1－4＝13(4n －1)．] 2．D [1＋2＋4＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， ∴S n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.]3．C [若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1， 则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.]4．A [小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)．]5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.]6．B [该市出租车总数记为1，设2010年底更新其中x 部分， 则x ＋1.1x ＋1.12x ＋1.13x ＋1.14x ＝1，∴x ＝(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)－1＝1－1.11－1.15≈16.4%.]7．1解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列． ∴a n 为定值． ∴q ＝a n ＋1a n ＝1.8．729解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3， ∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)． 9.13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13. 10．63解析 方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48， ①a 1(1－q2n)1－q＝60. ②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14. ③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.11．解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ， 公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a(1－0.910)1－0.9＝10a(1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．12．解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)． (2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 依据题意，得S n 10 000＋S n >13，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732.两边取常用对数，则n·lg 1.5>lg65732， 即n>lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.13.⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析 用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a ，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2， 依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a . 14．解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．。