重庆南开中学中考数学相似三角形易错题
初中数学相似三角形经典练习难题易错题附详解电子教案
初中数学相似三角形经典练习难题易错题 )解详附(相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．于BC，连接OE交OABCD的对角线相交于点，在AB的延长线上任取一点E2．如图，?．_________，AD=cBE=b，则BF=点F．若AB=a，小题）二．解答题（共17．求证：BC于DBACBAC=120°，AD平分∠交中，3．如图所示．在△ABC∠．，交FCD于OEADEOBDACABCD．如图所示，4?中，与交于点，为延长线上一点，．．求证：G于AB延长线交EO．．求证：F、E、、BC、CAAB（或它们的延长线）于点D5．一条直线截△ABC的边．和ABHI分别平行于，BCPP为△ABC内一点，过点作线段DE，FG，6．如图所示．．求d．AB=510，且DE=FG=HI=d，，BC=450，CA=425CA，ABOACBC∥，BD，交于O点，过的直线分别交ADABCD7．如图所示．梯形中，．EF厘米．求BC=20厘米，AD=12．BC∥EF，且F，E于CD．8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．．若OMN与对角线BD交于，ABCD中，AD∥BCMN∥BC，且9．如图所示，梯形．BC=BO=b，求MNAD=DO=a，（如图所示）．BCIH，分别平行于AB，，CAFGDEPABC为．10P△内一点，过点作，．求证：11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．F，．并延长分别交对边于D，EBP．已知12P为△ABC内任意一点，连AP，，CP三者中，至少有一个不大于（2）求证：（1），也至少有一个不少于2．2的延长线AE，AE是BC边上的中线，平分∠BACBD⊥AMABC．如图所示．在13△中，ABEFFAMD于，且交延长线于．求证：∥．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．．求QM⊥AC上，且PM的中点，P、Q分别在AB、是15．已知MRt△ABC中斜边BC222 +QC 证：PQ．=PB平分CF平分∠CAB，DACB=90°，CD⊥AB于，AE∠．如图所示．在16△ABC中，．EF∥BC ∠BCD．求证：，∠CB=CPA∠BPC=∠．若2∠∠A+APB=，满足内有一点△17．如图所示．在ABCP∠2 =PA?PC．求证：PB ．）PBC△∽PAB△（提示：设法证明18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．边上的中线，连接ACBE是N是边BC的三等分点，19．如图所示，△ABC中，M、GE的值．BF：FG：AN，分别交BE于F、G，求AM、111=+4．求证B20.在△ABC中，∠A∶∠∶∠C=1∶2∶BCABACb1a+b1a+b11===+，提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为或caababccc+所在三角形相似的三角形。
2020年重庆南开中学九年相似三角形的存在性(讲义)
相似三角形的存在性（讲义）➢∙课前预习1. 将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以B′，F，C为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF的长是________．提示：“∽”与“相似”不同，主要在于能否确定两个三角形间的对应关系．当两个三角形用“相似”连接时，往往会对两个三角形间的对应关系分类讨论．往往先从确定的角、边进行分析．2. 回顾相似三角形的判定①两角对应______的两个三角形相似；②两边__________且夹角_______的两个三角形相似；③_______成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．➢∙知识点睛相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线经过A，B，C三点，BC⊥OB，AB=B C，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD相似，则点M 的坐标为_____________________________．2. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，说明理由．3. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1与抛物线交于A，E两点，点P在x轴上，且位于点B的左侧，若以P，B，D为顶点的三角形与△ABE相似，则点P 的坐标为__________________________________．4. 如图，已知抛物线过点A(0，6)，B(2，0)，C(7，)．（1）求抛物线的解析式．（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E 关于D对称．求证：∠CFE=∠AFE．（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N在坐标平面内，且△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应），则点N的坐标为_____________________________________．【参考答案】➢∙课前预习1. 或22. ①相等；②对应成比例，相等；③三边对应➢∙精讲精练1.2. （1）(0，-3)，，-3；（2）；（3）存在，或或．3.4. （1）；（2）证明略；（3）．5. N1(3，4)，N2(4，3)，N3(-2，-1)，N4(-1，-2)相似三角形的存在性（习题）➢ 例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①由顶点坐标C(4，)可知对称轴为直线_______，利用与x轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A(__，__)，B(___，___)．②设交点式__________________，再代入坐标__________可求解出解析式__________________．【过程示范】∵顶点坐标为C(4，)，∴抛物线对称轴为直线x=4，又∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，∴由抛物线的对称性可知：A(1，0)，B(7，0)．设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-7)，将C(4，)代入可得，，∴所求解析式为．第二问：相似三角形的存在性【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：①分析特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，点___为_______________的动点；进一步研究此△ABC，发现其中_________；构造辅助线：______________________，能够计算出∠BAC=____°，∠ACB=_____°；再考虑研究△QAB，固定线段为________，并且由于点Q在x轴上方的抛物线上，所以△QAB为_________（填“钝角”或“直角”）三角形．②画图求解：先考虑点Q在抛物线对称轴右侧的情况，此时∠ABQ为钝角，要想使△ABC与△ABQ相似，则需要∠ABQ=_____°，且_________．求解时，可根据∠ABQ=_____°，AB=BQ=_____来求出Q点坐标．同理，考虑点Q在抛物线对称轴左侧时的情况．③结果验证：考虑点Q还要在抛物线上，将点Q代入抛物线解析式验证．【过程示范】存在点Q使得△QAB与△ABC相似．由抛物线对称性可知，A C=BC，过点C作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=．在Rt△ACD中，tan∠DAC=，∴∠BAC=∠ABC=30°，∠ACB=120°．①当△ACB∽△ABQ1时，∠ABQ1=120°且BQ1=AB=6．过点Q1作Q1E⊥x轴，垂足为E，则在Rt△BQ1E中，BQ1=6，∠Q1BE=60°，∴Q1E=BQ1·sin60°=，BE=3，∴E(10，0)，Q1(10，)．当x=10时，y=，∴点Q1在抛物线上．②由抛物线的对称性可知，还存在AQ2=AB，此时△Q2AB∽△ACB，点Q2的坐标为(-2，)．综上，Q1(10，)，Q2(-2，)．➢ 巩固练习1. 如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△AB D相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．➢ 思考小结回顾相似三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，找固定的边和角，确定三角形的形状；找相等的角当作对应角．分析形成因素：考虑相似三角形的判定，有一组角相等，只需夹这个角的两边对应成比例，依据判定确定分类标准，列出对应的关系式．画图求解：围绕对应的关系式，根据图形特征，表达相关线段长，用关系式列方程．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】➢∙例题示范第一问：①x=4，(1，0)，(7，0)②y=a(x-1)(x-7)，，第二问：①A，B，C，Q，x轴上方抛物线上，AC=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，30，120，AB，钝角②120，AB=BQ，120，6➢∙巩固练习1. （1）A(-1，0)，B(1，0)，C(0，-1)；（2）存在，M1(-2，3)，M2(4，15)，．2. （1）y=-x2+1，B(-1，0)；（2）存在，，P2(-2，0)．3. （1）；（2）存在，P1(0，-2)，P2(-3，-14)，P3(2，1)，P4(5，-2)。
初中数学南开区九年级数学上《相似三角形》期末复习练习及答案 .docx
xx 学校xx 学年xx 学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题（每空xx 分，共xx 分）试题1:下列说法正确的是（ ）(A)两个矩形一定相似． (B) 两个菱形一定相似． (C)两个等腰三角形一定相似． (D) 两个等边三角形一定相似． 试题2:下列说法中正确的是（ ）①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似； ②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似； ③有一个角对应相等的平行四边形都相似； ④有一个角对应相等的菱形都相似．A.①②B.②③C.③④D.②④ 试题3:如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）A.△AOM 和△AON 都是等边三角形B.四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形D.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形试题4:如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.=D.=试题5:下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.试题6:如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）A. B. C.∠ABP=∠C D.∠APB=∠ABC试题7:如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E,若AD=4，DB=2,则AE：EC值为( )A.0.5B.2C.D.试题8:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A.2B.C.D.试题9:若，且，则的值是（）A.14B.42C.7D.试题10:如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为( )A.4B.5C.6D.8试题11:如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A.1条B.2条C.3条 D.4条试题12:某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )．A.(-2a,-2b)B.(-a,-2b)C.(-2b,-2a)D.(-2a,-b) 试题13:如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A.3B.C.D.4试题14:如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有( )A．1个B．2个 C．3个D．4个如图所示，若DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S△ADE:S四边形DFGE :S四边形FBCG （）A.2:6:9B.1:3:5C.1:3:6D.2:5:8试题16:如图所示，一般书本的纸张是对原纸张进行多次对折得到的，矩形ABCD沿EF对折后，再把矩形EFCD沿MN对着，依此类推，若所得各种矩形都相似，那么等于（）A.0.618B.C.D.2试题17:已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=( )A. B. C. D.2试题18:如图所示,已知△ABC中,BC=8,BC上的高h=4，D为BC上一点,EF∥BC,交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B）,设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为( )A. B. C. D.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C． D．试题20:彼此相似的矩形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，，…，分别在直线（k＞0）和x轴上，已知点、的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）A. B. C. D.试题21:如图，若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=____________．试题22:如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，AD：DB=1：2，S△ADE=1，则S四边形BCED的值为_______．试题23:如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.试题24:如图,AB是圆O的直径,点C在圆上,CD⊥AB于点D,DE//BC,则图中与△ABC相似三角形共有个．试题25:如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．试题26:如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米．试题28:如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为．试题29:在方格纸中，每个小格的顶点为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.在如图所示的5×5的方格纸中，作格点△ABC与△OAB相似，（相似比不能为1），则C点的坐标为试题30:如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则＝____________ .如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=4，则四边形MABN的面积是．试题32:如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为．试题33:为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，如图，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？试题34:如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G.(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α=45°，AB=4，AF=3，求FC和FG的长．试题35:如图，已知△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．试题36:一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图23-12，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．试题37:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q 同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？试题38:如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．试题39:如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动。
相似三角形易错题整理
《新思路》九年级第二十四章相似三角形24.1 放缩与相似形基础训练1、_________________________________________图形称为相似形。
2、如果两个多边形相似，则对应边______________，对应角__________________。
5、我们知道两个菱形不一定相似，请你添上一个条件________________________，使这两个菱形相似。
11、如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20，（1）如图（a），若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似吗？请说明理由；（2）如图（b），x为多少时，矩形ABCD与A'B'C'D'相似。
24.2（1）比例的性质17、已知（a+b）:（b+c）:（c+a）=9:5:6，求证：（1）a：b：c；（2）的值.24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）例1、如图24-4，在△ABC中，AB=10，AC=8，点D在直线AB上，过点D作DE//BC交直线AC于点E，如果BD=4，求AE的长.例2、如图24-6，已知平行四边形ABCD，DE=BF，求证：.7、如图，EF//AB，DE//BC，下列各式正确的是（）A、 B、 C、 D、24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质）8、在□ABCD中，点E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=______________。
10、如图，//，AF：FB=2:5，BC：CD=4：1，则AE：EC的值是____________。
11、如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化，设AB垂直于地面时的影子为AC （假设AC>AB），影子的最大值为m，最小值为n，有下列结论：①m>AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小，其中，正确结论的序号是__________。
重庆市南开中学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，ABC 和CDE △都是等边三角形，点G 在CA 的延长线上，GB GE =，若10BE CG +=，32AG BE =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．43C ．95D ．23．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（ ）A ．A BFD ∠=∠B ．//DF AC C ．BD DFDE AD= D ．BD BFAE DE=4．下列图形中一定是相似形的是（ ） A ．两个等腰三角形B ．两个菱形C ．两个矩形D ．两个正方形5．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m==，连接,AD BE 交于点F ，则AFAD的值为（ ）A ．1m n - B ．1mm n +-C ．1nm n +-D ．1nm - 6．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A =∠D ，∠B =∠F B ．BC ACEF DF=且∠B =∠D C ．AB BC ACDE EF DF== D ．AB ACDE DF=且∠A =∠D 8．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:2D ．2:19．下列相似图形不是位似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案11．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =+，则AP 的长为（ ）．A ．2B ．51-C ．2或51-D ．35-12．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-二、填空题13．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折 叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）14．如图，一次函数y ＝﹣34x +6的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，过线段AB 的中点P （4，3）作一条直线与△AOB 交于点Q ，使得所截新三角形与△AOB 相似，则点Q 坐标是_____．15．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．16．若14b a b =-，则ab的值为__________． 17．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．18．如图，ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的______．19．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）20．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2m ，它的影子BC ＝1.5m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM ＝1.2m ，MN ＝0.8m ，则木竿PQ 的长度为_______m ．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数122y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）过点P 作//PM y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标． （3）当2PBA OAB ∠=∠时，求点P 的坐标．22．如图，已知在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且BF ＝FC ，连接DE ，EF ，并以DE ，EF 为边作▱DEFG ．（1）求▱DEFG 对角线DF 的长； （2）求▱DEFG 周长的最小值；（3）当▱DEFG 为矩形且AE ﹥BE 时，连接BG ，分别交EF ，CD 于点P ，Q ，求BP ：QG 的值．23．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC 的顶点都在格点上．（1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将ABC 放大为原来的2倍后的位似图形111A B C △．（2）已知ABC 的面积为72，则111A B C △的面积是_________． 24．作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O ；（2）△A ＇B ＇C ＇与△ABC 的位似比是 ；（3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A ＇B ＇C ＇关于点O 中心对称的△A ＂B ＂C ＂，并直接写出△A ＂B ＂C ＂各顶点的坐标． 25．如图，在1010 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，ABC 的三个顶点均在格点上．（1）若将ABC 沿x 轴对折得到111A B C △，则1C 的坐标为________．（2）以点B 为位似中心，将ABC 各边放大为原来的2倍，得到22A BC ，请在这个网格中画出22A BC ．（3）在（2）的条件下，求22A BC 的面积是多少？26．已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度） （1）画出△ABC 向下平移4个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以B 为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比2：1，直接写出C 2点坐标是 ； （3）△A 2BC 2的面积是 平方单位．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为2，210，所以三边之比为1：25A、三角形的三边分别为210，2，三边之比为253，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，51：25C、三角形的三边分别为2，3132：313D5*******，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．2．C解析：C【分析】过点G作GH⊥BE，垂足为点H，设BE＝2x，进而可表示出相关线段长，再根据CH＝1 2CG列出方程求得x＝1，最后再根据GAF GDE△∽△可得AF AGDE DG，进而可求得AF的长．【详解】解：过点G 作GH ⊥BE ，垂足为点H ，设BE ＝2x ，∵10BE CG +=，32AG BE =， ∴CG ＝10－2x ，AG ＝3x ， ∴AC ＝CG －AG ＝10－5x ，∵ABC 和CDE △都是等边三角形，∴BC ＝AC ＝10－5x ，CD ＝DE ＝CE ＝BC －BE ＝10－7x ，∠ABC ＝∠DEC ＝∠C ＝60°， ∵GB ＝GE ，GH ⊥BE ， ∴BH ＝HE ＝x ， ∴CH ＝CE ＋HE ＝10－6x ， ∵∠GHC ＝90°，∠C ＝60°， ∴∠HGC ＝30°， ∴CH ＝12CG ， ∴10－6x ＝12（10－2x ）， 解得：x ＝1，∴AG ＝3x ＝3，CG ＝10－2x ＝8，CD ＝DE ＝10－7x ＝3， ∴GD ＝CG －CD ＝5， ∵∠ABC ＝∠DEC ， ∴AB//DE ，∴GAF GDE ∽， ∴AF AGDE DG =， 即335AF =， 解得95AF =，故选：C ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，设BE ＝2x ，利用含30°的直角三角形的性质列出方程是解决本题的关键．3．C解析：C 【分析】先根据已知条件可证得ADE ACB ∽，由此可得AED B ∠=∠，再利用相似三角形的判定对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵AC 3AD =，3AB AE =，∴AD AE 1AC AB 3==， 又∵A A ∠=∠，∴ADE ACB ∽， ∴AED B ∠=∠，A 选项：∵A BFD ∠=∠，B B ∠=∠，∴BFD BAC ∽， 故选项A 正确；B 选项：∵//DF AC ，∴C BFD ∠=∠，∠=∠A BDF ， ∴BFD BCA △∽△， 故选项B 正确；C 选项：BD DFDE AD=无法证明FDB △与ADE 相似； D 选项：∵BD BFAE DE=， AED B ∠=∠， ∴BFD EDA △∽△， 故选项D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．4．D解析：D 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】A 、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．B 、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；C 、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．D 、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．5．C解析：C【分析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，易证△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则△BDG ∽△BCE ， ∴DG BD CE BC=， ∵1BD BC n =， ∴1DG BD CE BC n==， ∵1AE AC m =， ∴1m CE AC m-=, ∴DG=11m CE AC n mn-⋅= ∵DG ∥AC ，∴△DGF ∽△AEF ， ∴111m AC DF DG m mn AF AE n AC m--===， ∴1AD m n AF n +-=，即1AF n AD m n =+-， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．6．D解析：D【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；④两个正方形相似，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．7．B解析：B【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；B 、BC AC EF DF=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； C 、AB BC AC DE EF DF==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；D 、AB AC DE DF=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．8．A解析：A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．9．D解析：D【分析】根据位似变换的概念判断即可．【详解】解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．10．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE∽△FGH，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGHADES DES GH，由此即可解决问题.详解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设BG=4k，GH=6k，HC=5k，∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED，∴△ADE∽△FGH，∴2299=64 ADEFGHS DE kS GH k⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．11．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则12AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)12AP AB ===；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)111222BP AB ==⨯=，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比为12是解题的关键． 12．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．二、填空题13．①③④【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可知DF 的长度利用勾股定理可求出AGGFGHHF 的长度结合题意逐个判断即可【详解】①：根据题意可知∴即故①正确；②：∴∴∴∵∴设AG=x 则GH=xGF=8-x解析：①③④【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，可知45EBF GBH ∠+∠=︒，DF 的长度．利用勾股定理可求出AG 、GF 、GH 、HF 的长度，结合题意逐个判断即可．【详解】①：根据题意可知EBC EBF ∠=∠，GBA GBH ∠=∠，90EBC EBF GBA GBH ∠+∠+∠+∠=︒，∴45EBF GBH ∠+∠=︒，即45EBG ∠=︒．故①正确；②：90EFD AFB ∠+∠=︒，90ABF AFB ∠+∠=︒，∴EFD ABF ∠=∠，∴ABF DFE ， ∴AB AF DF DE=，∵8AF ===， ∴8463DE AF DF AB ===． 设AG =x ，则GH =x ，GF =8-x ，HF =BF -BH =10-6=4．又∵在Rt GHF 中，222GH HF GF +=，∴2224(8)x x +=-解得x =3，即AG =3， ∴623AB AG ==． ∴AB DE AG DF≠ 故DEF 和△ABG 不相似．故②错误；③：由②得GH =3，1163922ABG S AB AG ==⨯⨯=，1134622GFH S GH HF ==⨯⨯=． ∴:9:6 1.5ABG GFH S S ==．故③正确．④：DF =10-8=2，由②可知AG +DF =3+2=5，GF =8-3=5．∴AG +DF =GF ．故④正确．故答案为①③④．本题考查折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质结合勾股定理来解题．本题利用勾股定理计算出AG的长度是解题的关键．14．（03）或（0）或（40）【分析】首先确定AB两点坐标分两种情形：①当PQ∥OB时②当PQ′⊥AB时分别求解即可【详解】∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B与y轴交于点A∴A（06）B（80）解析：（0，3）或（74，0）或（4，0）【分析】首先确定A，B两点坐标，分两种情形：①当PQ∥OB时，②当PQ′⊥AB时，分别求解即可．【详解】∵一次函数y＝﹣34x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，∴A（0，6），B（8，0），∴OA＝6，OB＝8，AB＝22OA OB+＝2268+＝10，如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件．∵AP＝PB，∴AQ＝OQ，∴Q（0，3）．②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′．∵PA＝PB，PQ′⊥AB，∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m，在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2，解得m＝254，∴OQ′＝8﹣254＝74，∴Q′（74，0）．③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（74，0）或（4，0）．本题考查一次函数的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的 解析：4.8m【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．【详解】//CE AB ，ADB EDC ∴∽，::AB CE BD CD ∴=，即:1.67.5:2.5AB =，解得： 4.8m AB =．即路灯的高度为4.8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．16．5【分析】根据比例的性质可用b 表示a 代入可得答案【详解】解：由得4b=a-b 得a=5b ∴=5故答案是：5【点睛】本题考查了比例的性质利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键解析：5【分析】根据比例的性质，可用b 表示a ，代入可得答案．【详解】 解：由14b a b =-，得4b=a-b ． 得a=5b ， ∴5a b b b==5， 故答案是：5．【点睛】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键．17．（）cm 【分析】利用黄金分割的定义计算出AP 【详解】为的黄金分割点故答案为：（）cm 【点睛】此题考查黄金分割的定义黄金分割物体的较大部分等于与整体的解析：（4）cm利用黄金分割的定义计算出AP .【详解】 P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()84AP AB cm ∴===故答案为：（4）cm.【点睛】. 18．【分析】根据题意易证△AEH ∽△AFG ∽△ABC 利用相似三角形的性质解决问题即可【详解】解：∵AB 被截成三等分∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ∴∴S △AFG ：S △ABC=4：9S △AEH ：S △ABC= 解析：13【分析】根据题意，易证△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵AB 被截成三等分，∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ， ∴11,,23AE AE AF AB ==， ∴S △AFG ：S △ABC =4：9，S △AEH ：S △ABC =1：9， ∴S 阴影部分的面积=49S △ABC -19S △ABC =13S △ABC ， ∴图中阴影部分的面积是ABC 的面积的13． 故答案为：13． 【点睛】 本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．19．或【分析】根据△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似∴△PDC 是直角三 解析：12a 或13a根据△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，∴△PDC 是直角三角形，当90DPC ∠=︒时，∴90APD BPC ∠+∠=︒，∵90BPC BCP ∠+∠=︒，∴APD BCP ∠=∠，∵90A B ∠=∠=︒，∴△△APD BCP ，当△△APD PDC 时，∴APD PDC ∠=∠，此时CD ∥AB ，90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，与题意矛盾，故不存在这种情况；当△△APD PCD 时，∴ADP PDC ∠=∠，APD PCD ∠=∠，∴PCD BCP ∠=∠，过点P 作PM CD ⊥于M ，∴90PMD A ∠=∠=︒，90PMC B ∠=∠=︒，在△PAD 和△PMD 中，A PMD ADP MDP PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PAD PMD ≅，∴PA=PM ，在△PBC 和△PMC 中，B PMC BCP MCP CP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PBC PMC ≅，∴PB=PM ，∴12PA PB AB ==， ∵AB a ， ∴12AP a =； 当90PDC ∠=︒时， 当△△△ADPDCP BCP 时，60APD DPC BPC ∠=∠=∠=︒，∴30ADP ∠=︒， ∴12AP PD =， 在△DPC 和△BPC 中，PDC B DPC BPC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△DPC BPC ≅，∴PD=PB ， ∴12AP PB =， ∴1133AP AB a ==； ∴AP 的长为12a 或13a ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键． 20．24【分析】过N 点作ND ⊥PQ 于D 先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长再求出PQ 即可【详解】解：如图过N 点作ND ⊥PQ 于D ∴又∵AB=2BC=15DN=PM=12NM=08∴∴QD=16∴P解析：2.4【分析】过N 点作ND ⊥PQ 于D ，先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再求出PQ 即可．【详解】解：如图，过N 点作ND ⊥PQ 于D ，∴BC DN AB QD=， 又∵AB=2，BC=1.5，DN=PM=1.2， NM=0.8， ∴1.5 1.22QD=， ∴QD=1.6，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4（m ）．故答案为：2.4．【点睛】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．三、解答题21．（1）2722y x x =--；（2）3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A 、B 点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP ，可知相似存在两种情况：①当∠CBP=90°时，如图1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，证明△AOB ∽△BNP ，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B 和P 是对称点，可得P 的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）设点A 关于y 轴的对称点为A′，求出直线A′B 的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．【详解】解：（1）令0x =，得1222y x =-=-，则()0,2B -， 令0y =，得1022x =-，解得4x =， 则()4,0A ，把()4,0A ，()0,2B -代入()20y ax bx c a =++≠中，得16402b cc++=⎧⎨=-⎩，解得722bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为：2722y x x=--．（2）∵//PM y轴，∴90ADC∠=︒，∵ACD BCP∠=∠，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当90CBP∠=︒时，如图，过P作PN y⊥轴于N，∵90ABO PBN ABO OAB∠+∠=∠+∠=︒，∴PBN OAB∠=∠，∵90AOB BNP∠=∠=︒，∴Rt PBN Rt BAO△△，∴PN BNBO AO=．设27,22P x x x⎛⎫--⎪⎝⎭．∴2722224x xx⎛⎫----⎪⎝⎭=，化简得232x x-=．解得0x=（舍去）或32x=．当32x=时，2273732252222y x x⎛⎫=--=-⨯-=-⎪⎝⎭．∴3,52P⎛⎫-⎪⎝⎭；②当90CPB ∠=︒时，如下图，则//PB x 轴，所以B 和P 是对称点，所以当2y =-时，27222x x --=-，解得0x =（舍去）或72x =． ∴7,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 综上，点P 的坐标是3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）设点A 关于y 轴的对称点为'A ，则'A B AB =．∴'BAO B AO ∠=∠．直线'A B 交抛物线于P ．∴'2PBA BAO BA O BAO ∠=∠+∠=∠．∵()4,0A ，∴()'4,0A -．设直线'A B 的解析式为()0y kx b k =+≠．∵()0,2B -．∴4002k b k b -+=⎧⎨⋅+=-⎩． 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．∴直线'A B 的解析式为122y x =--， 由方程组2122722y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得230x x -=． 解得0x =（舍去）或3x =．当3x =时，117232222y x =--=-⨯-=-． 所以点P 的坐标是73,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】 此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．22．（1）10（2）62 （3）35． 【分析】（1）▱DEFG 对角线DF 的长就是Rt △DCF 的斜边的长，由勾股定理求解；（2）▱DEFG 周长的最小值就是求邻边2（DE+EF ）最小值，DE+EF 的最小值就是以AB 为对称轴，作点F 的对称点M ，连接DM 交AB 于点N ，点E 与N 点重合时即DE+EF=DM 时有最小值，在Rt △DMC 中由勾股定理求DM 的长；（3）用等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解．【详解】解：（1）如图1所示：连接DF ，∵四边形ABCD 是矩形，∠C=90°，AD=BC ，AB=DC ，BF=FC ，AD=2，∴FC=1，∵AB=3；∴DC=3，在Rt △DCF 中，由勾股定理得DF=22221310FC DC +=+=，故▱DEFG 对角线DF 的长10．（2）如图2所示：作点F 关直线AB 的对称点M ，连接DM 交AB 于点N ，连接NF ，ME ，点E 在AB 上是一个动点，①当点E 不与点N 重合时点M 、E 、D 可构成一个三角形，∴ME+DE ＞MD ，②当点E 与点N 重合时点M 、E （N ）、D 在同一条直线上，∴ME+DE=MD ，由①和②DE+EF 的值最小时就是点E 与点N 重合时，∵MB=BF ，∴MB=1，∴MC=3，又∵DC=3，∴△MCD 是等腰直角三角形，∴MD=22223332MC DC +=+=，∴NF+DN=MD=32，∴262DEFG C NF DF =+=（）； （3）设AE=x ，则BE=3-x ，∵▱DEFG 为矩形，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠BEF=90°，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠AED=∠BFE ， 又∵∠A=∠EBF=90°，∴△DAE ∽△EBF （AA ）∴AE AD BF BE =， ∴213x x=-，解得：x=1（舍去），或x=2，即AE=2，BE=1， 过点G 作GH ⊥DC ，如图3所示：∵▱DEFG 为矩形，∴∠A=∠EBF=90°，∵AD=AE=2，BE=BF=1，∴在Rt △ADE 和Rt △EFB 中，由勾股定理得： 22222222AD AE +=+=，2222112BE BF +=+=，∴∠ADE=45°，又∵四边形DEFG 是矩形，∴EF=DG ，∠EDG=90°，∴2，∠HDG=45°，∴△DHG 是等腰直角三角形，∴DH=HG=1，在△HGQ 和△BCQ 中有GHQ BCQ HQG CQB ∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝， ∴△HGQ ∽△BCQ （AA ），∴12HG HQ CB CQ ==， ∵HC=HQ+CQ=DC-DH=2，∴HQ=23， 又∵DQ=DH+HQ ，∴DQ=25133+=，∵AB ∥DC ，EF ∥DG ，∴∠EBP=∠DQG ，∠EPB=∠DGQ ，∴△EBP ∽△DQG （AA ）， ∴35BP EB QG DQ ==． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是作辅助线．23．（1）画图见解析；（2）14【分析】（1）给A 、B 、C 三点坐标乘以-2，得到A 1、B 1、C 1的坐标，再描点连接即得到111A B C △；（2）给ABC 的面积乘以4即得111A B C △的面积．【详解】（1）如图，111A B C △为所作．（2）ABC 的面积为72，位似比为2：1， ∴111A B C △的面积是272142⨯=． 故答案为：14．【点睛】 此题考查位似图形和坐标变换．当位似中心为坐标原点时，位似图形的对应点之坐标比（即横坐标与横坐标之比，纵坐标与纵坐标之比）的绝对值等于位似比．当比值为负时，图形分居原点两侧；当比值为正时，图形在原点一侧．24．（1）画图见解析；（2）1:2；（3）画图见解析；A ＂（6,0），B ＂（3，-2），C ＂（4，-4）【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O ；（2）由OB=2OB′，即可得出△A′B′C′与△ABC 的位似比为1：2；（3），连接B′O 并延长，使OB″=OB′，延长A′O 并延长，使OA″=OA′，C′O 并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．【详解】解：（1）图中点O 为所求；（2）△A′B′C′与△ABC 的位似比等于1：2；故答案为：1：2；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）．【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．（1）(4,)1-；（2）画图见解析；（3）12．【分析】（1）直接利用关于x 轴对称图形的性质得出得出对应点位置即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接运用三角形面积公式求出△A 2BC 2的面积即可．【详解】解：（1）如图所示：111A B C △，即为所求，则1C 的坐标为：(4,)1-．故答案为：(4,)1-．（2）如图所示：22A BC，即为所求．（3）2216412 2A BCS=⨯⨯=．【点睛】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．26．（1）图见解析；（2）图见解析，2C（1，0）；（3）10【分析】（1）利用平移的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形；（2）利用位似图形的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形，进而可得点C2的坐标；（3）根据所画图形判断出△A2BC2为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）；（3）∵A2C2=BC2224225+=A22262210+=∴A2C22+BC22= A2B2，∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，∴△A2BC2的面积位为：12×（252＝10平方单位，故答案为：10．【点睛】本题考查平移变换和位似变换的性质、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式，掌握变换性质，正确得出变换后的对应点的位置是解答的关键．。
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—相似三角形(含解析)
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—相似三角形1．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴213222y x x =-++交于点C ，连接．BC(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)设x 轴上的一个动点P 的横坐标为t ，过点P 作直线轴，交抛物线于点N ，交直PN x ⊥线于点M ．BC ①当点P 在线段上时，设的长度为s ，求s 与t 的函数关系式；AB MN ②当点P 在线段上时，是否存在点P ，使得以O 、P 、N 三点为顶点的三角形与OB 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．COB △2．如图，抛物线经过，，三点．()4,0A ()10B ,()0,2C -(1)求出抛物线的解析式；(2)P 是抛物线在第一象限上的一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线上有一点D （点D 位于直线AC 的上方且不与点B 重合）使得，DCA ABCS S=△△直接写出点D 坐标．3．如图，已知，，抛物线经过、两点，交轴于点()2,0A -()4,0B 2y ax bx c =++A B y ．点是第一象限内抛物线上的一点，连接，．为上的动点，过点()0,4C P AC BC M OB 作轴，交抛物线于点，交于点．M PM x ⊥P BC Q(1)求抛物线的函数表达式；(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为请用含的代数式表示线段P PN BC ⊥N M ()0m ,m 的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？PN m PN (3)试探究在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形M Q O M Q 与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．AOC Q 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于xOy 213442y x x =-++三点．A B C ，，(1)求证：；90ACB ∠=︒(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点D D x BCE x ．F①②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．G AC C D E ，，AOG D 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为C （8，0），B （0，6），CD ＝5，抛物线y ＝ax 2﹣x +c （a ≠0）过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以154每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C 的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，直接写出t 的值．6．如图．在平面直角坐标系中．抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交212y x bx c =++于点C ．点A 的坐标为，点C 的坐标为．已知点是线段上的动()1,0-()0,2-(),0E m AB 点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作轴交抛物线于点P ，交于点F ．PE x ⊥BC(1)求该抛物线的表达式；(2)若，请求出m 的值；:1:2EF PF =(3)是否存在这样的m ，使得与相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，BEP △ABC 请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．7．如图，抛物线与y 轴交于点A ，与轴交于点，，P 是26y ax bx =+-x ()3,0B -()1,0C 线段下方抛物线上的一个动点，过点Р作轴的垂线，交轴于点H ，交于点AB x x AB D ．设点P 的横坐标为．()30t t -<<(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段的长，并求线段长度的最大值．PD PD (3)连接，当与相似时，求点P 的坐标．AP DPA DHB △8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点234y x bx c =-++x ()4,0A y ()0,3B 为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于(),0M m OA M x AB 点，．P N(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P ，N ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，求的值；m (3)如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与相似，求点的坐标．APM △M 9．如图，抛物线经过，两点，与y 轴交于点B ，P 为抛物2y x bx c =-++()4,0A ()1,0C -线上的动点，连接AB ，BC ，PA ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当APQ △1S BCQ △2S 时，求点P 的坐标；215S S -=(3)是否存在点P ，使，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，说45PAB CBO ∠+∠=︒明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴的正、负半轴分别交xOy 23y ax bx =++于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知，，．5AB =tan 3CAB ∠=:3:4OC OB =(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴分别与x 轴、交于点E 、F ，求的长；BC EF (3)在（2）的条件下，联结，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当和相似CE CEP △CEB 时，求点P 的坐标11．如图，直线分别交轴、轴于点，过点的抛物线31255y x =-+x y A B ，A 与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴交2y x bx c =-++x C y ()04D ，l 于点，连接交于点．AD E OE AB F(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；OE AB ⊥(3)为抛物线上的一动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以P PO AD M P 为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明A O M ，，ACD P 理由．12．如图，以D 为顶点的抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直212y x bx c=-++线的表达式为．BC 6y x =-+(1)求抛物线的表达式；(2)在直线上存在一点P ，使的值最小，求此最小值；BC PO PA +(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与相似？若存在，BCD △请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A 和点2()0y ax bx c ac =++≠B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段的长满足，OA OB OC 、、2OC OA OB =⋅则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，22(0)y ax bx a =++≠其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB=(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为上方抛物线上的动点，过点P 作，垂足为D ．AC PD AC ⊥①求的最大值；PD ②连接，当与相似时，求点P 的坐标．PC PCD ACO △14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点3y x =-+C ．二次函数的图像过B ，C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段2y ax 2x c =++OB 上的一个动点（不与端点O ，B 重合）．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，过点M 作y 轴的平行线l 交于点F ，交二次函数的图像于BC 2y ax 2x c =++点E ，记的面积为，的面积为，当时，求点E 的坐标；CEF 1S BMF 2S 1212S S =(3)如图②，连接，过点M 作的垂线，过点B 作的垂线，与交于点CM CM 1l BC 2l 1l2l G ，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．CG CM CGCM 15．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于2y xbx c =-++x ()()2,0,4,0A B -y 点．C (1)求的面积；ABC (2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；P PAB ACO ∠=∠P (3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点N 2y =x ，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足M CMN M 条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．M 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，xOy 2y ax x c =++()2,0A -两点，直线与轴交于点．()0,4B 3x =x C(1)求，的值；a c (2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面O AB 3x =D E BDO △OCE △积相等，求直线的解析式；DE (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，P OC 3x =F ，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐G B F G P BF F 标；若不存在，请说明理由．答案：1．(1)，，；()10A -，()40B ，()02C ，(2)①；②点P()()221210212042t t t s t t t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩2．(1)215222y x x =-+-(2)存在，（2，1）(3)点的坐标为（3，1）D 3．(1)2142y x x =-++，当时，有最大值2m =PN (3)存在，或48,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭84,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)1(2)①；②或．9(4,6)D 25(3,)4D 5．(1)2315684y x x =-+(2)（11，4）或2356．(1)；213222y x x =--(2)；2m =(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为或或()7,0()1,0M 7．(1)；2246y x x =+-(2)；线段长度的最大值为．226PD t t =--PD 92(3)或()2,6P --755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．(1)，对称轴：，顶点坐标239344y x x =-++32x =375,216⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2(3)或11,09M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()3,0M 9．(1)234y x x =-++(2)或16P（，）26P （，）(3)()3,4P 10．(1)239344y x x =-++(2)158EF =(3)P 的坐标为：或．3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭11．(1)抛物线解析式为234y x x =-++(2)2(3)存在，点的横坐标为P 12．(1)21262y x x =-++(2)10(3)当Q 的坐标为或时，以A 、C 、Q 为顶点的三角形与相似()00，()180，BCD △13．(1)213222y x x =--+(2)①PD ②P 坐标为或(3,2)-325()28，-14．(1)；223y x x =-++(2)；(1,4)E(3)15．(1)24(2)1523(,)416P (3)存在，或()3,5M 16．(1)，12a =-4c =(2)23y x =-(3)存在这样的点，点的坐标为或F F (2,0)。
中考数学复习相似专项易错题及详细答案
中考数学复习相似专项易错题及详细答案一、相似1．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.连结BE、BF。
使它们分别与AO相交于点G、H（1）求EG ：BG的值（2）求证：AG=OG（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求a : b : c的值【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO= AC，AD=BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴ = = ．∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG，GB=3EG，∴EG：BG=1：3（2）解：∵GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO= AC=2AG，∴GO=AO﹣AG=AG（3）解：∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴ = = = ，∴ = ，即AH= AC．∵AC=4AG，∴a=AG= AC，b=AH﹣AG= AC﹣ AC= AC，c=AO﹣AH= AC﹣ AC= AC，∴a：b：c= ：： =5：3：2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可证得△AEG∽△CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出EG：BG的值。
（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，就可证得AC=4AG，从而可得AO=2AG，即可证得结论。
（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合AO=AC，即可得到用含AC的代数式分别表示出a、b、c，就可得到a：b：c的值。
2．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).（1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是________（不写取值范围）.（2）当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值.（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出 =________. （4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在,请说明理由.【答案】（1）（2）解：如图1，过点P作PH⊥BC于点H，∴∠PHB=∠PHQ=90°，∵∠C=90°，AD∥BC，∴∠CDP=90°，∴四边形PHCD是矩形，∴PH=CD=3，HC=PD=2t，∵CQ=t，BC=4，∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，∴BQ2= ，BP2= ，PQ2= ，由BQ2=BP2可得：，解得：无解；由BQ2=PQ2可得：，解得：；由BP2= PQ2可得：，解得：或，∵当时，BQ=4-4=0，不符合题意，∴综上所述，或；（3）（4）解：如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，∵AD∥BC，DM∥PQ，∴四边形PQMD是平行四边形，∴QM=PD=2t，∵QC=t,∴CM=QM-QC=t，∵∠BCD=∠MCD=90°，∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2，∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2，∴由BM2=BD2+DM2可得：，解得：，∴当时，∠BDM=90°，即当时，PQ⊥BD.【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，∴S△PBQ= BQ×3= ；（ 3 ）解：如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，∴∠PMC=∠C=90°，∵AD∥BC，∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，∴四边形PMCD是矩形，，∴PM=CD=3，CM=PD=2t，∵AD=6，BC=4，CQ=t，∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,∴，解得：，∴MQ= ，又∵PM=3，∠PMQ=90°，∴tan∠BPQ= ；【分析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到s与t之间的函数关系式。
2020年重庆南开中学九年相似三角形的存在性(讲义)
相似三角形的存在性（讲义）➢∙课前预习1. 将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以B′，F，C为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF的长是________．提示：“∽”与“相似”不同，主要在于能否确定两个三角形间的对应关系．当两个三角形用“相似”连接时，往往会对两个三角形间的对应关系分类讨论．往往先从确定的角、边进行分析．2. 回顾相似三角形的判定①两角对应______的两个三角形相似；②两边__________且夹角_______的两个三角形相似；③_______成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．➢∙知识点睛相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线经过A，B，C三点，BC⊥OB，AB=B C，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD相似，则点M 的坐标为_____________________________．2. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，说明理由．3. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1与抛物线交于A，E两点，点P在x轴上，且位于点B的左侧，若以P，B，D为顶点的三角形与△ABE相似，则点P 的坐标为__________________________________．4. 如图，已知抛物线过点A(0，6)，B(2，0)，C(7，)．（1）求抛物线的解析式．（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E 关于D对称．求证：∠CFE=∠AFE．（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N在坐标平面内，且△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应），则点N的坐标为_____________________________________．【参考答案】➢∙课前预习1. 或22. ①相等；②对应成比例，相等；③三边对应➢∙精讲精练1.2. （1）(0，-3)，，-3；（2）；（3）存在，或或．3.4. （1）；（2）证明略；（3）．5. N1(3，4)，N2(4，3)，N3(-2，-1)，N4(-1，-2)相似三角形的存在性（习题）➢ 例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①由顶点坐标C(4，)可知对称轴为直线_______，利用与x轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A(__，__)，B(___，___)．②设交点式__________________，再代入坐标__________可求解出解析式__________________．【过程示范】∵顶点坐标为C(4，)，∴抛物线对称轴为直线x=4，又∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，∴由抛物线的对称性可知：A(1，0)，B(7，0)．设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-7)，将C(4，)代入可得，，∴所求解析式为．第二问：相似三角形的存在性【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：①分析特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，点___为_______________的动点；进一步研究此△ABC，发现其中_________；构造辅助线：______________________，能够计算出∠BAC=____°，∠ACB=_____°；再考虑研究△QAB，固定线段为________，并且由于点Q在x轴上方的抛物线上，所以△QAB为_________（填“钝角”或“直角”）三角形．②画图求解：先考虑点Q在抛物线对称轴右侧的情况，此时∠ABQ为钝角，要想使△ABC与△ABQ相似，则需要∠ABQ=_____°，且_________．求解时，可根据∠ABQ=_____°，AB=BQ=_____来求出Q点坐标．同理，考虑点Q在抛物线对称轴左侧时的情况．③结果验证：考虑点Q还要在抛物线上，将点Q代入抛物线解析式验证．【过程示范】存在点Q使得△QAB与△ABC相似．由抛物线对称性可知，A C=BC，过点C作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=．在Rt△ACD中，tan∠DAC=，∴∠BAC=∠ABC=30°，∠ACB=120°．①当△ACB∽△ABQ1时，∠ABQ1=120°且BQ1=AB=6．过点Q1作Q1E⊥x轴，垂足为E，则在Rt△BQ1E中，BQ1=6，∠Q1BE=60°，∴Q1E=BQ1·sin60°=，BE=3，∴E(10，0)，Q1(10，)．当x=10时，y=，∴点Q1在抛物线上．②由抛物线的对称性可知，还存在AQ2=AB，此时△Q2AB∽△ACB，点Q2的坐标为(-2，)．综上，Q1(10，)，Q2(-2，)．➢ 巩固练习1. 如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△AB D相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．➢ 思考小结回顾相似三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，找固定的边和角，确定三角形的形状；找相等的角当作对应角．分析形成因素：考虑相似三角形的判定，有一组角相等，只需夹这个角的两边对应成比例，依据判定确定分类标准，列出对应的关系式．画图求解：围绕对应的关系式，根据图形特征，表达相关线段长，用关系式列方程．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】➢∙例题示范第一问：①x=4，(1，0)，(7，0)②y=a(x-1)(x-7)，，第二问：①A，B，C，Q，x轴上方抛物线上，AC=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，30，120，AB，钝角②120，AB=BQ，120，6➢∙巩固练习1. （1）A(-1，0)，B(1，0)，C(0，-1)；（2）存在，M1(-2，3)，M2(4，15)，．2. （1）y=-x2+1，B(-1，0)；（2）存在，，P2(-2，0)．3. （1）；（2）存在，P1(0，-2)，P2(-3，-14)，P3(2，1)，P4(5，-2)。
2020-2021初三数学相似的专项培优 易错 难题练习题及答案解析
2020-2021初三数学相似的专项培优易错难题练习题及答案解析一、相似1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：（1）∠OAE=∠OBE；（2）AE=BE+ OE．【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB=90°，∵∠AEB=90°，∴A，B，E，O四点共圆，∴∠OAE=∠OBE（2）证明：在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，∴，∠FBE=45°，∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∴∠ABO=45°，∴∠ABF=∠OBE，∵，∴，∴△ABF∽△BOE，∴ = ，∴AF= OE，∵AE=AF+EF，∴AE=BE+ OE．【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。
（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y= 相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．【答案】（1）解：对于直线y=﹣ x+ ，令x=0，得到y= ，∴A（0，），令y=0，则x=10，∴B（10，0），由，解得，∴C（，）．∴OC= =8，BC= =10（2）解：①当时，△OPQ∽△OCB，∴，∴t= ．②当时，△OPQ∽△OBC，∴，∴t=1，综上所述，t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似（3）解：如图作PH⊥OC于H．∵OC=8，BC=6，OB=10，∴OC2+BC2=OB2，∴∠OCB=90°，∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90°，∴PH∥BC，∴，∴，∴PH=3t，OH=4t，∴tan∠PCH=tan∠CBQ，∴，∴t= 或0（舍弃），∴t= s时，PC⊥BQ．【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长；（2）根据速度乘以时间表示出OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当OP∶OC=OQ∶OB时，△OPQ∽△OCB，根据比例式列出方程，求解得出t的值；②当OP∶OB=OQ∶OC时，△OPQ∽△OBC，根据比例式列出方程，求解得出t的值，综上所述即可得出t的值；（3）如图作PH⊥OC于H．根据勾股定理的逆定理判断出∠OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶OB=PH∶BC=OH∶OC,根据比例式得出PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠PCH=tan∠CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。
南开中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合知识点总结(提高培优)
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于G ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AE EF EC CD =B ．BF EG CD AB =C ．AF BC FD GC = D ．CG AF BC AD = 2．如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE ，EF AE ⊥交CD 边于点F ，已知4AB =，则CF 的长为（ ）A ．1B 5C ．3D ．2 3．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90⁰，34BC AB =，D 是AB 边上一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，过D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，连接BE 交DF 于H ．若DH=DE ，则DEH FBH S S ∆∆为（ ）A ．23B ．34C ．49D ．9164．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝6，则线段AC 的长为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．305．如图，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠==，点D 、E 在AB 边上，45DCE ∠=，若3,4AD BE ==，则ABC ∣的面积为（ ）A ．20B ．24C ．32D ．36 6．如图△BCD 中，BE ⊥CD ，AE ＝CE=3，BE ＝DE=4．BC=5，DA 的延长线交BC 于F ，则AF=（ ）A ．1B ．0.6C ．1.2D ．0.87．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:38．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．25B ．2C ．4D ．5 9．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:2D ．2:1 10．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE =BE ；④2CE •AB ＝BC 2，其中正．确．结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB 等于（ ）A ．2B ．22C ．512-D ．212．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案13．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =+，则AP 的长为（ ）． A ．2 B ．51- C ．2或51-D ．35- 14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题15．如图圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则:ABM AFM S S =△△___________．16．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =，则О的面积是________________．17．如图，点P 是ABC 的重心，过P 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 于点D ，E ，作//DF EB ，交CB 于点F ，若ABC 的面积为227cm ，则DFC △的面积为______2cm ．18．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b的值为_______． 19．如图，在△ABO 的顶点A 在函数k y x=（x ＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为________．20．已知：如图，ABC 内接于O ，且BC 是O 的直径，AD BC ⊥于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，6AB ＝，8AC ＝．则CD =_________________．AF =_________________．21．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段PC ______．22．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．23．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是_____．24．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F ，如果GF ＝4，那么线段BC 的长是________．25．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．26．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）三、解答题27．如图1，ABC 与ADE 中，90ACB AED ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，EAC DAB ∠=∠．（1）求证：BAD CAE ∽；（2）已知4BC =，3AC =，32AE =．将AED 绕点A 旋转，当C 、E 、D 三点共线时，如图2，求BD 的长．28．如图1，点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数()0m y x x=>的图象上，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过点B 作BD y ⊥轴于D ．（1）求m 的值和直线AB 的函数关系式；（2）动点P 从O 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点Q 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC 向C 点运动，当动点P 运动到点D 时，点Q 也停止运动，设运动的时间为t 秒．如图2，当点P 运动时，如果作OPQ △关于直线PQ 的对称图形'O PQ △，是否存在某时刻t ，使得点'O 恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求'O 的坐标和t 的值﹔若不存在，请说明理由．29．()1如图1，四边形ABCD 和BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为,a 则图中AG 与CE 的数量关系是__ ，AG 与CE 的位置关系是_ _ ；()2如图2，四边形ABCD 和BEFG 都是矩形，且2,2BC AB BE BG ==，将矩形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为,a 图中AG 与CE 的数量和位置关系分别是什么?请仅就图2的情况给出证明；参考答案30．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，BAD C ∠=∠．（1）求证：C ABD BA ∽△△．（2）若6,3AB BD ==，求CD 的长．【参考答案】一、选择题1．C2．A3．C4．C5．D6．B7．B8．A9．A10．B11．A12．D13．C14．B二、填空题15．【分析】根据正六边形的性质判断出△AMB∽△BAF再根据相似三角形的性质求解即可【详解】由题意可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°则△AMB∽△BAF且在△BAF中∠BAF=120°∴△BAF是16．25【分析】连接EO可知EO⊥ED延长DE到点F作BF⊥DF根据题意可知△DEO∽△DFB在△EFB中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO可知EO⊥ED17．3【分析】连接AP并延长交BC于G由重心的性质得AP：PG=2：1由DE//BC根据平行线分线段成比例定理可得AD：DC=AP：PG=2：1于是CD：AC=1：3再由DF//AB得出△DFC∽△AB18．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a表示出b是解题的关键19．【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积进而可求出△AOB的面积则k的值也可求出【详解】∵NQ∥MP∥OB∴△ANQ∽△AMP∽△AOB20．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC的长再用等面积法求出AD长在用勾股定理求出CD的长然后连接OF证明利用对应边成比例求出DE和OE的长再利用两次勾股定理分别求出AE和EF的长最终得到AF的长21．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC的长【详解】解：①如图∵且D是AB中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键22．或【分析】先根据勾股定理得到AC＝5再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5设AD＝x则AE＝A′E＝xEC＝5﹣xA′B＝2x﹣4在Rt△A′BC中根据勾股定理得到A′C再根据△23．2：3【分析】首先根据题意画出图形由题意易得△EAD∽△EBC然后由相似三角形对应高的比等于相似比求得答案【详解】解：如图梯形ABCD中AD∥BCAD＝4BC＝6∴△EAD∽△EBC∵EN⊥BC∴E24．12【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD再证明△AGF∽△ADC然后利用相似比求出CD的长从而得到BC的长【详解】解：∵ED为△ABC的中位线∴DE//ACDE=ADCE为△ABC的中25．或【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴26．或【分析】根据△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似∴△PDC是直角三三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．C解析：C【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【详解】解：∵EF ∥BC ， ∴AF AE FD EC=， ∵EG ∥AB ， ∴AE BG EC GC =， ∴AF BC FD GC=， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．2．A解析：A【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【详解】解：由题意可知：2BE CE ==，∵90AEF B C ∠=∠=∠=︒，∴BAE AEB AEB CEF ∠+∠=∠+∠，∴BAE CEF ∠=∠，∴AEB EFC ∆∆∽，∴AB BE CE CF =， ∴422CF=， ∴1CF =，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．3．C解析：C【分析】易证DE ∥BC ，可得34BC DE AB AD ==，因为DH=DE ，得35DE DH AE AE ==，又因为DF ∥AC ，所以35BH DH BE AE ==，所以32BH HE =，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得．【详解】∵DE ⊥AB ，∴∠ADE=90°，∵∠B=90°，∴∠ADE=∠B ，∴DE ∥BC ∴34BC DE AB AD ==，△DEH ∽△FBH ∴35DE AE = 又∵DH=DE ∴35DE DH AE AE == ∵DF ∥AC ∴35BH DH BE AE == ∴32BH HE = ∴4=9DEH FBH S S ∆∆ 故选C【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．4．C解析：C【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD ∽△ACE ，即可求出AC 的长．【详解】解：如图所示：过点A 作平行线的垂线，交点分别为D ，E ，可得：△ABD ∽△ACE ， 则AB AD AC AE =， 即628AC =， 解得：AC=24，故选：C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD ∽△ACE 是解题关键． 5．D解析：D【分析】设DE x =，则7AB x =+，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x 的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可．【详解】设DE x =，则7AB x =+，45DCE CAE DBC ∠=∠=∠=︒，ACE CDE BDC ∴△△△．设,CD a CE b ==，则有以下等式：()::3x b b x =+，()::4x a a x =+，::x a b AC =，整理得()()223,4,b x x a x x x AC ab =+=+⋅=，()()()22222227342x x x x x a b x AC +++===， 解得5x =，12AB ∴=，AC BC ∴==1362ABC S ∴=⨯=△， 故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 6．B解析：B【分析】根据条件和判断Rt △CEB ≌Rt △AED ，然后得到角相等，证明△BEC ∽△BFA ，利用比例关系计算．【详解】解：∵AE=3，BE=4∴BA=BE-AE=1∴在Rt △CEB 与Rt △AED 中AE CE AD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △CEB ≌Rt △AED∴∠EBC=∠BAF ∵∠ADE+∠EAD=90°，∠BAF=∠EAD∴∠EBC+∠BAF=90°∵∠BEC=∠BFA=90°∴△BEC ∽△BFA ∴AF BA CE BC =即135AF = ∴AF=0.6故选：B【点睛】 本题考查相似和全等的结合，通过全等得到角关系，然后证相似得到比例关系计算边长即可．．7．B解析：B【分析】过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFG DBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可证得13BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论． 【详解】解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G∵D 是BF 的中点，∴DB DF =∵//FG BC∴DFG DBE ∆∆∴1FG DF BE DB== ∴FG BE =又∵//FG BC∴F CEC G AF A = ∵CF 2AF =∴3AC AF =∴13BE GF AF CE CE AC === 故选：B ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．8．A解析：A【分析】根据位似图形的性质可得DF =2AC ，然后根据两点间的距离公式求出AC 即可解决问题．【详解】 解：∵DEF 与ABC 是位似图形，且相似比为2:1，∴DF =2AC ， ∵()()2231125AC =-+-=∴25DF =故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．9．A解析：A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．10．B解析：B【分析】连结AD、BE，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上CD=BD，根据等腰三角形的判定即可得到AC＝AB；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断AE BE≠；接着证明△CED∽△CBA，利用相似比得到CD CEAC BC=，然后利用等线段代换即可判断④．【详解】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵CD=BD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AC=AB，故②正确；∵AC=AB，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠BAC=40°，故①错误；连接BE，DE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠BAC=40°，∴∠ABE=50°，∴∠BAC≠∠ABE ，∴AE≠BE ，∴AE BE ≠，故③错误；∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠CDE=∠CAB ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD CE AC BC=， ∴CE•AC=CD·BC ， ∴CE•AB=12BC·BC ， ∴2CE •AB ＝BC 2，故④正确．故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．11．A解析：A【分析】 首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为AD AB AB BF =，又根据12BF AD =，可得出2212AD AB =，据此进行求解即可． 【详解】∵各种开本的矩形都相似，∴矩形ABCD 与矩形BFEA 相似， ∴AD AB AB BF=， ∴AD•BF=AB•AB ，又∵12BF AD =， ∴2212AD AB =，∴AD AB=， 故选A ．【点睛】本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．12．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE ∽△FGH ，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGH ADE S DE S GH ，由此即可解决问题. 详解：∵BG ：GH ：HC=4：6：5，可以假设BG=4k ，GH=6k ，HC=5k ，∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，∴四边形BGFD 是平行四边形，四边形EFHC 是平行四边形，∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ， ∴2299=64ADE FGH S DE k S GH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选D．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则AP AB=，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)12AP AB ===；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)12BP AB ===，∴121AP ABBP =-=-=；故选：C ．【点睛】是解题的关键． 14．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得=BF DF 12=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】解：∵点E 是BC 中点，∴BC=2BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，∴AD=2BE ，设BF=a ，∵OF=1，∴BO=DO=a+1，则DF=a+2，∵BC ∥AD∴△BEF ∽△DAF ， 12∴==BF BE DF DA ∴1,22=+a a 解得a=2，经检验a=2是原方程的解∴BF=2，∴BO=DO=3，∴BD=6故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．二、填空题15．【分析】根据正六边形的性质判断出△AMB ∽△BAF 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】由题意可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°则△AMB ∽△BAF 且在△BAF 中∠BAF=120°∴△BAF 是 解析：12【分析】根据正六边形的性质，判断出△AMB ∽△BAF ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】由题意，可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°，则△AMB ∽△BAF ，且在△BAF 中，∠BAF=120°，∴△BAF 是顶角为120°的等腰三角形，作AP ⊥BF ，∵∠ABF=30°，∴AB=2AP ，BP=3AP ，BF=2BP=23AP ，∴13AB BF =， ∴△AMB ∽△BAF ，相似比为：13， ∴:1:3ABM AFB S S =△△∴1:1:22ABM AFM S S ==， 故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的性质及相似三角形的判定与性质，准确推断出相似三角形，且注意相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．16．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED解析：25π【分析】连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，∴△DEO ∽△DFB ，∵EO=r ，ED=10，EB=2∵DO=OB ，∴12DO EO DE DB FB DF===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，()22102=1004r +，∴ r=5，∴ 圆的面积为225r ππ=，故答案为：25π【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；17．3【分析】连接AP 并延长交BC 于G 由重心的性质得AP ：PG=2：1由DE//BC 根据平行线分线段成比例定理可得AD ：DC=AP ：PG=2：1于是CD ：AC=1：3再由DF//AB 得出△DFC ∽△AB解析：3【分析】连接AP 并延长交BC 于G ．由重心的性质得，AP ：PG=2：1．由DE//BC ，根据平行线分线段成比例定理可得AD ：DC=AP ：PG=2：1，于是CD ：AC=1：3．再由DF//AB ，得出△DFC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得出S △DFC ：S △ABC =1：9．【详解】解：连接AP 并延长交BC 于G ．由重心的性质得，AP ：PG=2：1．∵DE//BC ，∴AD ：DC=AP ：PG=2：1，∴CD ：AC=1：3．∵DF//AB，∴△DFC∽△ABC，∴S△DFC：S△ABC=1：9，∴S△DFC=19×S△ABC=3cm2．故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．18．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a表示出b，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b（a≠0），∴b=56a，∴1651--66aa b a aa===，故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键．19．【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积进而可求出△AOB的面积则k的值也可求出【详解】∵NQ∥MP∥OB∴△ANQ∽△AMP∽△AOB解析：18【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【详解】∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴11,23AN AN AM AO ==， ∴14ANQ AMP SS =， ∵四边形MNQP 的面积为3， ∴314ANQ ANQ S S =+， ∴S △ANQ ＝1，∵2119AOB AN S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k 的几何意义，正确的求出S △ANQ ＝1是解题的关键．20．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC 的长再用等面积法求出AD 长在用勾股定理求出CD 的长然后连接OF 证明利用对应边成比例求出DE 和OE 的长再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长最终得到AF 的长解析：325【分析】根据直径所对的圆周角是直角，求出BC 的长，再用等面积法求出AD 长，在Rt ACD △用勾股定理求出CD 的长，然后连接OF ，证明ADE FOE ，利用对应边成比例求出DE 和OE 的长，再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长，最终得到AF 的长．【详解】解：∵BC 是O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∵6AB =，8AC =，∴10BC =，利用等面积法，求出245AB AC AD BC ⋅==， 在RtACD △中，325CD ==， 如图，连接OF ，∵F 是弧BC 的中点，∴OF BC ⊥，∵AD BC ⊥，∴//OF AD ，∴ADE FOE ， ∴AD DE FO OE =， ∵327555DO CD OC =-=-=， ∴设DE x =，75OE x =-， ∴245755x x =-，解得2435x =， ∴2435DE =，57OE =， 在Rt ADE △中，222427AE AD DE =+=， 在Rt EFO 中，222527EF EO FO =+=， ∴2422527277AF AE EF =+=+=．故答案是：325；2． 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．21．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或254【分析】分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．【详解】解：①如图，90CPD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，∴AD BD CD ==，∴DCP ABC ∠=∠，∵90CPD BCA ∠=∠=︒，∴CPD BCA ， ∴CP CD BC BA =， ∵6AC =，8BC =，∴10AB =，5AD BD CD ===， ∴5810CP =，解得4CP =；②如图，90CDP ∠=︒，此时CDP BCA ，∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254CP =．故答案是：4或254． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 22．或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△解析：78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，∴AC ＝5，∵DE ∥BC ，∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，∵△A ′EC 是直角三角形，∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344⨯=， ∴AD ＝1974248⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②点A 在线段AB 22(24)3x -+2+（5﹣54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258．故AD长为78或258．故答案为：78或258．【点晴】本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．23．2：3【分析】首先根据题意画出图形由题意易得△EAD∽△EBC然后由相似三角形对应高的比等于相似比求得答案【详解】解：如图梯形ABCD中AD∥BCAD＝4BC＝6∴△EAD∽△EBC∵EN⊥BC∴E解析：2：3【分析】首先根据题意画出图形，由题意易得△EAD∽△EBC，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得答案．【详解】解：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，∴△EAD∽△EBC，∵EN⊥BC，∴EN⊥AD，∴EM：EN＝AD：BC＝4：6＝2：3，即这个交点到两底边的距离之比是：2：3．故答案为：2：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．24．12【分析】先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD 再证明△AGF ∽△ADC 然后利用相似比求出CD 的长从而得到BC 的长【详解】解：∵ED 为△ABC 的中位线∴DE//ACDE=ADCE 为△ABC 的中解析：12．【分析】先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD ，再证明△AGF ∽△ADC ，然后利用相似比求出CD 的长，从而得到BC 的长．【详解】解：∵ED 为△ABC 的中位线，∴DE//AC ，DE=12AC ，AD 、CE 为△ABC 的中线， ∴△DEG ∽△ACG ∴12DG DE AG AC == ∴AG=2GD ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ADC ， ∴23GF AG CD AD ==， ∴CD=32GF=32×4=6， ∴BC=2CD=12．故答案为12．【点睛】 本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了三角形中位线和相似三角形的判定与性质．25．或【分析】分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC 根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC ∴当△ADE ∽△ABC ∴即解得：AD=3∴当△AED ∽△ABC ∴ 解析：163或3 【分析】 分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC ，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴AB ADAC AE=，即12164AD=，解得：AD=3，∴当△AED∽△ABC，∴AB AE AC AD=，即12416AD=，解得：AD=163，故答案为：163或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．26．或【分析】根据△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD△PBC都是直角三角形△PAD△PBC△PDC两两相似∴△PDC是直角三解析：12a或13a【分析】根据△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似， ∴△PDC 是直角三角形，当90DPC ∠=︒时，∴90APD BPC ∠+∠=︒，∵90BPC BCP ∠+∠=︒，∴APD BCP ∠=∠，∵90A B ∠=∠=︒，∴△△APD BCP ，当△△APD PDC 时，∴APD PDC ∠=∠，此时CD ∥AB ，90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是矩形， ∴AD=BC ，与题意矛盾，故不存在这种情况；当△△APD PCD 时，∴ADP PDC ∠=∠，APD PCD ∠=∠，∴PCD BCP ∠=∠，过点P 作PM CD ⊥于M ，∴90PMD A ∠=∠=︒，90PMC B ∠=∠=︒，在△PAD 和△PMD 中，A PMD ADP MDP PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PAD PMD ≅，∴PA=PM ，在△PBC 和△PMC 中，B PMC BCP MCP CP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PBC PMC ≅，∴PB=PM ， ∴12PA PB AB ==， ∵AB a ，2当90PDC ∠=︒时， 当△△△ADPDCP BCP 时，60APD DPC BPC ∠=∠=∠=︒，∴30ADP ∠=︒， ∴12AP PD =， 在△DPC 和△BPC 中，PDC B DPC BPC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△DPC BPC ≅，∴PD=PB ， ∴12AP PB =， ∴1133AP AB a ==； ∴AP 的长为12a 或13a ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键．三、解答题27．（1）见解析；（2）BD =． 【分析】（1）由已知可得CAB EAD ∠=∠，则A ABC DE ∽△△，可得AC AE AB AD=，结合EAC BAD ∠=∠，则结论得证；（2）由A ABC DE ∽△△，求出AB 、AD 的长，再结合BAD CAE ∽可得90AEC ADB ∠=∠=︒，则BD 可求．【详解】（1）证明：∵EAC DAB ∠=∠，∴CAB EAD ∠=∠．∵90ACB AED ∠=∠=︒，∴A ABC DE ∽△△．AB AD∵EAC BAD ∠=∠， ∴BAD CAE ∽． （2）∵90ACB ∠=︒，4BC =，3AC =，∴5AB ===．∵A ABC DE ∽△△， ∴AC AB AE AD=． ∴52AB AE AD AC ⋅==． 将AED 绕点A 旋转，当C 、E 、D 三点共线时，90AEC ∠=︒，∵BAD CAE ∽，∴90AEC ADB ∠=∠=︒．∴BD === 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法及相似性质是解题的关键．28．（1）直线AB 的解析式为9y x =-+；（2）存在，()'4,2O ，52t =，见解析； 【分析】 （1）由于点A （8，1）、B （n ，8）都在反比例函数m y x=的图象上，根据反比例函数的意义求出m ，n ，再由待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）①由题意知：OP=2t ，OQ=t ，由三角形的面积公式可求出解析式；②通过三角形相似，用t 的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t 值．【详解】 解：（1）∵点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数m y x =的图象上， ∴818=⨯=m ， ∴8y x =， ∴88n=，即1n =． 设AB 的解析式为y kx b =+，把()8,1、()1,8B 代入上式得：818k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：19k b =-⎧⎨=⎩． ∴直线AB 的解析式为9y x =-+．（2）存在．当'O 在反比例函数的图象上时，作PE y ⊥轴，'O F x ⊥轴于F ，交PE 于E ，则90E ∠=︒，'2PO PO t ==，'QO QO t ==．由题意知：'PO Q POQ ∠=∠，'90'QO F PO E ∠=︒-∠，'90'EPO PO E ∠=︒-∠，∴''PEO O FQ △△， ∴''''PE EO PO O F QF QO ==， 设QF b =，'O F a =，则PE OF t b ==+，'2O E t a =-， ∴22t b t a a b+-==， 解得：45a t =，35b t =， ∴84',55O t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当'O 在反比例函数的图象上时，84855t t ⋅=， 解得：52t =±， ∵反比例函数的图形在第一象限，∴0t >， ∴52t =，∴()'4,2O ， 当52t =秒时，'O 恰好落在反比例函数的图象上． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．29．（1）AG=CE ，AG ⊥CE ；（2）CE=2AG ，理由见详解．【分析】（1）根据题意易得AB=CB ，BG=BE ，∠ABC=∠GBE=90°，则有∠ABG=∠CBE ，进而可证△ABG ≌△CBE ，然后问题可证，延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ，然后根据三角形全等的性质及直角三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠ABG=∠CBE ，则可证△ABG ∽△CBE ，进而问题可得证．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 和BEFG 都是正方形，∴AB=CB ，BG=BE ，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABG+∠GBC=90°，∠CBE+∠GBC=90°，∴∠ABG=∠CBE ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG=CE ，延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ，如图所示：∴∠GAB=∠ECB ，∵∠GAB+∠AHB=90°，∠AHB=∠CHM ，∴∠ECB+∠CHM=90°，∴AM ⊥CE ，即AG ⊥CE ，故答案为AG=CE ，AG ⊥CE ；（2）CE=2AG ，理由如下：∵四边形ABCD 和BEFG 都是矩形，∴∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABG+∠GBC=90°，∠GBC+∠CBE=90°，∴∠ABG=∠CBE ，∵2,2BC AB BE BG ==，∴△ABG ∽△CBE ， ∴2BC CE AB AG==， ∴CE=2AG ．【点睛】 本题主要考查矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．30．（1）证明见解析．（2）9．【分析】 (1)根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)根据C ABD BA ∽△△求得BC=12，根据DC=BC-BD 即可求出答案．【详解】（1）如图所示：,BAD C B B ∠=∠∠=∠，∴C ABD BA ∽△△．（2）ABD CBA ∽，AB BD BC AB ∴=，即636BC =， 解得：12BC =，1239DC BC BD ∴=-=-=．【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．。
九年级数学上册 25.3 相似三角形 相似三角形概念性常见错误分析素材
相似三角形概念性常见错误分析1、忽视相似三角形中的“对应"两字例1 已知：△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，则AE ＝ ． 错解：如图，过D 作DE ∥BC ，交AB 于E ，则△ADE ∽△ACB ．∴ AC AD=AB AE， 即62＝8AE解得 AE ＝38．分析：此题错在没有真正理解相似形中“对应”两字的含义。
这里的“原三角形”就是让自己找出对应点，实际上符合条件的点有两个（E 和F ）。
正确解法为：如图，此题分两种情况：①若△ADE ∽△ACB,则有AB AE =AC AD ，即 AE ＝38；②若△ADF ∽△ABC ，则有ACAF=AB AD ，故 6AF =82，解得 AF=23，故正确答案应填38或23。
2、对三角形相似判定定理中的“对应边”理解不准确例2 某老师讲完“三角形相似的判定”后，出了如下一题：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,对角线AC 、BD 相交于O.试问：△AOB 与△DOC 是否相似？某同学解答如下：△AOB ∽△DOC 。
理由：在△AOB 和△DOC 中，∵ AD ∥BC ，∴ OC AO =OB DO .又因 ∠AOB=∠DOC ，故△AOB ∽△DOC 。
请你回答：该生的解答是否正确?如果正确，在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由。
分析：本题是选取学生的作业错例为阅读材料,用来考查学生对相似三角形判定定理的理解是否正确。
而这个学生解答貌似在应用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理，实际上成比例的四条线段不是的对应边,因此该生的解答是错误的.3、忽略了相似三角形的可传递性例3 如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 交于点O ，则图中的相似三角形有( ）(A)3对 （B ）4对 (C ）5对（D ）6对错解：根据“两角对应相等，两三角形相似”得△ABE ∽△ACD,△ABE ∽△OBD ，△ADC ∽△OEC ，△DOB ∽△EOC ，故选（B ）。
重庆南开中学中考数学相似三角形易错题
2013南开中学相似三角形易错题训练1一、选择题1、如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC=8，则k等于（）A、8B、16C、24D、281题3题2、现给出下列四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．其中不正确的命题的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，△DEF的边长分别为1，，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比=k，那么k的不同的值共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个4、（2009•杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A、只有1个B、可以有2个C、有2个以上，但有限D、有无数个5、（2007•邵阳）如图，△ABC中，点D、E、F分别是边长AB、BC、AC的中点，则△DEF与△ABC 的面积之比为（）A、1：4B、1：3C、1：2D、1：5题6题6、（2011•达州）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A、S△AFD=2S△EFBB、BF=DFC、四边形AECD是等腰梯形D、∠AEB=∠ADC7、（2010•江汉区）如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A、B、C、D、7题12题8、如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（）A、5：3B、3：2C、2：3D、3：59、如果△ABC∽△DEF，且相似比为，那么△DEF和△ABC的面积比为（）A、B、C、4 D、210、（2006•十堰）在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）A、1条B、2条C、3条D、4条11、（2006•杭州）考虑下面4个命题：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似；②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④对角线相等的梯形是等腰梯形．其中正确命题的序号是（）A、①②③④B、①③④C、①②④D、②③④12、（2004•乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，则这样的点P存在的个数有（）A、1B、2C、3D、413、如图，P为Rt△ABC斜边AB上任意一点（除A、B外），过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有（）A、1种B、2种C、3种D、4种13题17题14、下列各组图形可能不相似的是（）A、有一个角是60°的两个等腰三角形B、各有一个角是45°的两个等腰三角形C、各有一个角是105°的两个等腰三角形D、两个等腰直角三角形15、在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=68°，∠B=40°，∠A′=68°，∠C′=72°，则这两个三角形（）A、既全等又相似B、相似C、全等D、无法确定16、在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A、6条B、3条C、4条D、5条17、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一类，那么图中的三角形可分为（）A、2类B、3类C、4类D、5类18、如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，若在AB上取一点P，使得以P、A、D 为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有（）A、1个B、2个C、3个D、4个18题20题19、在△ABC和△A1B1C1中，有下列条件：①=，②=，③∠A=∠A1，④∠B=∠B1，⑤∠C=∠C1，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A1B1C1的有（）A、4组B、5组C、6组D、7组20、（2010•威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（）A、B、C、D、21、（2010•衡阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A、8B、9.5C、10D、11.521题23题22、（2004•重庆）已知任意四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB=CD，若只增加下列条件中的一个：①AO=BO；②AC=BD；③；④∠OAD=∠OBC，一定能使∠BAC=∠CDB成立的可选条件是（）A、②B、①②C、③④D、②③④23、如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且△ABC 的周长为18，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为（）A、6B、54C、36D、1224、平行四边形ABCD中，E在AD上，且AE=2ED，连接AC、BE交于O，则△AOE、△EOC、△BOC、平行四边形ABCD的面积比为（）A、4：9：9：36B、4：6：9：30C、16：36：36：137D、8：12：18：55二、填空题25、如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC⊥AB 交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交轴于点x E，过点E作EF⊥DE 交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是_________．25题26题26、（2001•青海）三角形的中位线把三角形分成两部分面积之比是_________．27、如图已知：四边形ABCD的面积为60cm2，点E，F，G，H分别为四边形各边中点，则四边形EFGH的面积为_________cm2．28、如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么NM：MC= _________．28题30题29、已知DE是△ ABC的中位线，△ABC的周长为12cm，则△ADE的周长是_________cm．30、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知S△ADE=6cm2，则S四边形DEBC= _________cm2．。
初三教材梳理 易错题
第二十四章 相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dcb a =4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a bb a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a ．3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
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2013南开中学相似三角形易错题训练1
一、选择题
1、如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC=8，则k等于（）
A、8
B、16
C、24
D、28
1题3题
2、现给出下列四个命题：
①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；
③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．
其中不正确的命题的个数是（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、如图，△DEF的边长分别为1，，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比=k，那么k的不同
的值共有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、（2009•杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）
A、只有1个
B、可以有2个
C、有2个以上，但有限
D、有无数个
5、（2007•邵阳）如图，△ABC中，点D、E、F分别是边长AB、BC、AC的中点，则△DEF与△ABC 的面积之比为（）
A、1：4
B、1：3
C、1：2
D、1：
5题6题
6、（2011•达州）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）
A、S△AFD=2S△EFB
B、BF=DF
C、四边形AECD是等腰梯形
D、∠AEB=∠ADC
7、（2010•江汉区）如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，
则DE等于（）
A、B、C、D、
7题12题
8、如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（）
A、5：3
B、3：2
C、2：3
D、3：5
9、如果△ABC∽△DEF，且相似比为，那么△DEF和△ABC的面积比为（）
A、B、C、4 D、2
10、（2006•十堰）在△ABC中，∠C=90°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）
A、1条
B、2条
C、3条
D、4条
11、（2006•杭州）考虑下面4个命题：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似；②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④对角线相等的梯形是等腰梯形．其中正确命题的序号是（）
A、①②③④
B、①③④
C、①②④
D、②③④
12、（2004•乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，则这样的点P存在的个数有（）
A、1
B、2
C、3
D、4
13、如图，P为Rt△ABC斜边AB上任意一点（除A、B外），过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有（）
A、1种
B、2种
C、3种
D、4种
13题17题
14、下列各组图形可能不相似的是（）
A、有一个角是60°的两个等腰三角形
B、各有一个角是45°的两个等腰三角形
C、各有一个角是105°的两个等腰三角形
D、两个等腰直角三角形
15、在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=68°，∠B=40°，∠A′=68°，∠C′=72°，则这两个三角形（）
A、既全等又相似
B、相似
C、全等
D、无法确定
16、在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）
A、6条
B、3条
C、4条
D、5条
17、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一类，那么图中的三角形可分为（）
A、2类
B、3类
C、4类
D、5类
18、如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，若在AB上取一点P，使得以P、A、D 为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
18题20题
19、在△ABC和△A1B1C1中，有下列条件：①=，②=，③∠A=∠A1，
④∠B=∠B1，⑤∠C=∠C1，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A1B1C1的有（）
A、4组
B、5组
C、6组
D、7组
20、（2010•威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（）
A、B、C、D、
21、（2010•衡阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）
A、8
B、9.5
C、10
D、11.5
21题23题
22、（2004•重庆）已知任意四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB=CD，若只增加下
列条件中的一个：①AO=BO；②AC=BD；③；④∠OAD=∠OBC，一定能使∠BAC=∠CDB
成立的可选条件是（）
A、②
B、①②
C、③④
D、②③④
23、如图，点A1、A2，B1、B2，C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且△ABC 的周长为18，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为（）
A、6
B、54
C、36
D、12
24、平行四边形ABCD中，E在AD上，且AE=2ED，连接AC、BE交于O，则△AOE、△EOC、△BOC、平行四边形ABCD的面积比为（）
A、4：9：9：36
B、4：6：9：30
C、16：36：36：137
D、8：12：18：55
二、填空题
25、如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC⊥AB 交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交轴于点x E，过点E作EF⊥DE 交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是_________．
25题26题
26、（2001•青海）三角形的中位线把三角形分成两部分面积之比是_________．
27、如图已知：四边形ABCD的面积为60cm2，点E，F，G，H分别为四边形各边中点，则四边形EFGH的面积为_________cm2．
28、如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么NM：MC= _________．
28题30题
29、已知DE是△ ABC的中位线，△ABC的周长为12cm，则△ADE的周长是_________cm．
30、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知S△ADE=6cm2，则S四边形DEBC= _________cm2．。