【教师版】无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学

无锡市 2013 年秋学期普通高中期末考试试卷
高三数学试题
参考公式： 1 n 1 n 样本数据 x1，x2，„，xn 的方差 s2＝ ∑(xi－－ x )2，其中－ x ＝ ∑xi． ni＝1 ni＝1 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案 直接填写在相应位置上． 1．已知集合 A＝{0，m}，B＝{1，2}，A∩B＝{1}，则 A∪B＝________． 答案：{0，1，2} 解析：∵ A∩B＝{1}，∴ m＝1，从而 A∪B＝{0，1，2}． 本题考查集合的概念与基本运算．本题属于容易题． 2．若 z1＝3－2i，z2＝1＋ai(a∈R)，z1·z2 为实数，则 a 等于________． 2 答案： 3 2 解析：z1z2＝(3－2i)(1＋ai)＝3＋3ai－2i＋2a＝(3＋2a)＋(3a－2)i∈R.从而 a＝ . 3 本题考查复数的概念与四则运算．本题属于容易题． 1 3．已知 p：x2－2x－3<0；q： <0.若 p 且 q 为真，则 x 的取值范围是________． x－2 答案：(－1，2) 解析：由题设知 p 真且 q 为真．从而有(x－3)(x＋1)<0，且 x－2<0，即－1<x<2. 本题考查命题与简易逻辑的概念，一元二次不等式的解法等基础知识．本题属于容易题． 4．甲、乙两个学习小组各有 10 名同学，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图(如图)，则 他们在这次测验中成绩较好的是________组． 答案：甲 1 解析：V 甲＝(61＋65＋78＋79＋81＋83＋86＋87＋88＋90)× ＝79.8， 10 (58＋64＋62＋78＋76＋76＋75＋74＋89＋80) V 乙＝ ＝73.2. 10 本题考查茎叶图，平均数的概念等基础知识．本题属于容易题． 5．已知一个算法(如下图)，则输出结果为________． （第 4 题） a←1 b←1 For n Form 3 To 10 m←b b←a＋b a←m End For Print b 答案：55 解析：由流程图知循环体执行 8 次，第 1 次 m＝1，b＝2，a＝1，第 2 次 m＝2，b＝3，a ＝2，第 3 次 m＝3，b＝5，a＝3，依次类推知退出时 m＝31，b＝55，a＝31.
∅，又当 A∩B＝∅时，有 2－2a<0 或 2－2>1 即 a>4 或 a<1，从而当 A∩B≠∅时有 1≤a≤4.
本题考查函数知识的综合运用，同时考查了正难则反的“补集”的思想．本题属于难题．
【恩波版】 1 1 1 1 对于函数 f(x)，当 x∈ 0，2时，f(x)∈2，1；当 x∈2，1时，f(x)∈0，2．从而当 x∈ π π π 1 [0，1]，函数的值域为 D1＝[0，1]．对于函数 g(x)，因为 0≤x≤1，0≤ x≤ ，0≤sin x≤ ， 6 6 6 2 π 1 所 以 2 － a≤asin 6x － a ＋ 2≤2 － 2 a ． 从 而 当 x ∈ [0 ， 1] ， 函 数 g(x) 的 值 域为 D2 ＝ 2－a，2－1a(a>0)．因为存在 x1，x2∈[0，1]，使 f(x1)＝g(x2)，所以 D1∩D2≠∅．若 D1 2 1 ∩D2＝∅，则 2－ a<0 或 2－a>1，解得 0<a<1 或 a>4．所以当 D1∩D2≠∅时，1≤a≤4，即 2 实数 a 的取值范围是[1，4]．
4 ，x∈ 0，2， π x 13．设函数 f(x)＝ g(x)＝asin 6 －a＋2(a>0)．若存在 x 、x ∈[0， 1 －x＋1，x∈2，1，
x 1 2
1
1
1]，使得 f(x1)＝g(x2)成立，则实数 a 的取值范围为________． 答案：[1，4] a 解析：由题设易知 f(x)的值域为 A＝[0，1]，g(x)的值域为 2－a，2－2，由题设知 A∩B≠ 1 a
本题考查流程图的基础知识．本题属于容易题． 6．已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为________cm3. 答案：36 3 解析：由题意设底面正六边形边长为 a，则 S 侧＝6a×6＝72，即 a＝2.从而 V 体＝Sh＝ 3 2 a 4
×6×6＝36 3. 本题考查正棱柱基本概念及面积与体积的计算．本题属于容易题． 7．甲、乙两人玩数学游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字， 把乙猜的数字记为 b，且 a、b∈{3，4，5，6}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任 意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________． 5 答案： 8 解析：基本事件总数列举为{(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4， 6)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}共 16 种，其中符合|a－ 10 5 b|≤1 的有 10 种，从而 P(心有灵犀)＝ ＝ . 16 8 本题考查古典概型的基本概念，以及列举法求古典概型的概率．本题属于容易题． x≥0， y 8． 已知变量 x、 y 满足条件y≤－x＋3，则 的取值范围是________． x－2 y≥2x， 答案：[－2，0] y 解析：由题设画出可行域如下图， 等价于点(x，y)到点(2，0)连线 x－2 y 的斜率；又 kAB＝－2，kBO＝0，从而 ∈[－2，0]． x－2 本题考查线性规划基本知识以及斜率的几何意义．本题属于容易题． π π 9．已知函数 f(x)＝sin 2x－6的图象 C1 向左平移4个单位得到图象 C2，则 C2 在[0，π]上的 单调减区间是________． π 7 答案： 12，12π π π π 3 π 解析：由题设可知 C2 的曲线方程 y＝sin(2x＋ )，令 ＋2kπ≤2x＋ ≤ π＋2kπ，得 ＋kπ≤ 3 2 3 2 12 π 7 7 x≤ π＋kπ.令 k＝0 得 C2 在[0，π]上的单减区间为 12，12π. 12 本题考查三角函数图象的平移以及单调性的性质，属于容易题． → → → 10．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(5，－3)，OC＝(4－m，m＋2)．若点 A、B、C 能构成 三角形，则实数 m 应满足条件________． 11 答案：m≠－ 3 1－m → → → → 解析： 假设 A、 B、 C 三点共线， 即有AB∥AC.又AB＝(2， 1)， AC＝(1－m， m＋6)， 从而 2 m＋6 11 11 ＝ ，即 m＝－ ，所以当 A、B、C 三点能够组成三角形时，m≠－ . 1 3 3 本题考查三点共线等平面向量的基础知识，同时也考查了正难则反的“补集”思想．本题
1 1 3 14．若第一象限内的动点 P(x，y)满足 ＋ ＋ ＝1，R＝xy，则以 P 为圆心，R 为半径且 x 2y 2xy 面积最小的圆的方程为________________． 32 81 答案：(x－3)2＋ y－2 ＝ 4 解析：2xy－3＝x＋2y≥2 2xy，令 t＝ 2xy>0，则 t2－2t－3≥0 即(t－3)(t＋1)≥0，∴ t≥ 1 9 3 3.又 R＝xy＝ t2≥ ，当且仅当 x＝2y 时“＝”成立，即此时 x＝3，y＝ .∴ 面积最小的圆的方 2 2 2 3 81 程为(x－3)2＋(y－ )2＝ . 2 4 本题考查了基本不等式的综合应用及等价转化思想．本题属于难题．
【春雨版】 若存在 x1，x2∈[0，1]，使 f(x1)＝g(x2)成立，即函数 f(x)，x∈[0，1]的值域与 g(x)，x∈[0， 1]的值域有交集． 1 1 1 当 x∈ 0，2时，f(x)＝4x∈2，1， 1 1 当 x∈ 2，1时，f(x)＝－x＋1∈0，2， 所以 f(x)，x∈[0，1]的值域是[0，1]． 1 π 0， ， 当 x∈[0，1]，sin x∈ 2 6 1 又 a>0，所以 g(x)∈ －a＋2，－2a＋2． 1 当－ a＋2<0 或－a＋2>1， 2 即 a>4 或 a<1 时，函数 f(x)，x∈[0，1]的值域与 g(x)，x∈[0，1]的值域没有交集，所以若 函数 f(x)，x∈[0，1]的值域与 g(x)，x∈[0，1]的值域有交集时，实数 a 的取值范围是[1，4]．
属于中等题．
x2 y2 11．双曲线 2－ 2＝1(a>b>0)右支上一点 P 到左焦点的距离是到右准线距离的 6 倍，则该 a b 双曲线离心率的范围为________． 答案：(1，2]∪[3，6) PF2 6 解析：设 P 到右准线距离为 d，则有 ＝e，又由题设知 PF1＝6d＝ PF2，由双曲线的定 d e 6 6 2a 义知 PF1－PF2＝2a，从而有 PF2－PF2＝2a，即有 PF2( －1)＝2a，即 PF2＝ ≥c－a，两边 e e 6 －1 e 2 e －5e＋6 (e－2)(e－3) 同除 a，整理化简可得 ≥0，即 ≤0，即 1<e≤2 或 3≤e<6. 6－e e－6 本题考查双曲线两种定义及双曲线的有关性质，属于中等题． 【恩波版】 x2 y2 记双曲线 2－ 2＝1(a>b>0)左、右焦点分别为 F1，F2，设点 P 到右准线距离为 d，则由题意 a b 6d－2a c 得点 P 到左焦点的距离为 PF1＝6d．由于 PF1－PF2＝2a，所以 PF2＝6d－2a，所以 ＝ ， d a 2 2 2 a a ≥a－ ， 2a2 a2 c 解得此双曲线的离心率 e 的取值范围 所以 d＝ ．又因为 d≥a－ ，所以6a－c c 6a－c 6a－c>0， 是(1，2]∪[3，6)． 12 ．已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足： 4Sn＝ (an ＋1)2. 设 bn ＝ a2n － 1 ， Tn ＝b1 ＋ b2 ＋„＋ bn(n∈N*)，则当 Tn>2 013 时，n 的最小值为________． 答案：10 解析：∵ 4Sn＝(an＋1)2，∴ n≥2 时有 4Sn－1＝(an－1＋1)2，两式相减，得 4(Sn－Sn－1)＝(an ＋an－1＋2)(an－an－1)，n≥2，进一步整理可知(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.又 an>0，从而 an－an－1 ＋ ＝2(n≥2)， 从而 an＝2n－1， bn＝a2n－1＝2n－1， ∴ Tn＝2n 1－(n＋2)>2 013， n≥10 时， Tn>2013， 且 T9<2013，Tn 关于 n 单调递增，从而 n 的最小值为 10. 本题考查数列 Sn 与 an 综合应用， 考查了等差数列与等比数列概念与性质的综合应用． 本题 属于难题． 【恩波版】 因为 4Sn＝(an＋1)2，当 n＝1 时，4S1＝(a1＋1)2，即(a1－1)2＝0，a1＝1；当 n≥2 时，4Sn－ 2 4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，整理得 4an＝a2 n－an－1＋2an－2an－1，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 1，n为奇数， 所以 an ＝－ an － 1 ห้องสมุดไป่ตู้ an － an － 1 ＝ 2 ．当 an ＝－ an － 1 时， an ＝ 所以 bn ＝ a ＝ n－1 2 －1，n为偶数， 1，n＝1， 1，n＝1， 于是 Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝ 此时不等式 Tn>2013 的解集为∅．当 an －1，n≥2， 2－n，n≥2， －an－1＝2 时，数列{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以 an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以 2(1－2n) ＋ ＋ bn＝a ＝2n－1，所以 Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝ －n＝2n 1－2－n．令 Tn>2013，2n 1－2 n－1 1 － 2 2 ＋ －n>2013，2n 1－n>2015，当 n＝9 时，210－9<2015；当 n＝10 时，211－10>2015，所以 n 的最 小值为 10．