东南大学讲义随机过程课件第0讲教前引导
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随机过程_第一章
k k 1 k 1 k
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：
(4) P(F) 0;
(5) 若A, B F , A B, 则P( B A) P( B) P( A), 且P( B) P( A)
FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F (, y )
分别称FX(x)和FY(y)为 F ( x, y ) 关于X和关于Y的 边缘分布函数。
离散型随机变量（X，Y）边缘分布律计算如下
P( X xi ) pi pij
, i 1,2,
设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有
P( X x, Y y) P(( X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)
则称X，Y为相互独立的随机变量。
若X，Y为相互独立随机变量，则有
F ( x, y ) FX ( x) FY ( y ) f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
注：所谓某个事件在 试验中是否出现，当且仅 当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此 一个事件实际上对应于的一个确定的子集。 事件的概率论运算 Ω子集的集合论运算。
样本空间 W 也是一个事件， 称 W 为必然事件，
空集 F 称为不可能事件。
注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、 差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。
定义1.5 设（ Ω ，F，P）是概率空间，X=X(e) ＝（X1(e),…,Xn(e)）是定义在Ω上的n维空间Rn中 取值的向量函数。如果对于任意x=(x1,…,xn) ∈Rn， {e:X1(e) ≤x1,…,Xn(e) ≤xn} ∈F，则称X=X(e)为n维 随机变量。称
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：
(4) P(F) 0;
(5) 若A, B F , A B, 则P( B A) P( B) P( A), 且P( B) P( A)
FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F (, y )
分别称FX(x)和FY(y)为 F ( x, y ) 关于X和关于Y的 边缘分布函数。
离散型随机变量（X，Y）边缘分布律计算如下
P( X xi ) pi pij
, i 1,2,
设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有
P( X x, Y y) P(( X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)
则称X，Y为相互独立的随机变量。
若X，Y为相互独立随机变量，则有
F ( x, y ) FX ( x) FY ( y ) f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
注：所谓某个事件在 试验中是否出现，当且仅 当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此 一个事件实际上对应于的一个确定的子集。 事件的概率论运算 Ω子集的集合论运算。
样本空间 W 也是一个事件， 称 W 为必然事件，
空集 F 称为不可能事件。
注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、 差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。
定义1.5 设（ Ω ，F，P）是概率空间，X=X(e) ＝（X1(e),…,Xn(e)）是定义在Ω上的n维空间Rn中 取值的向量函数。如果对于任意x=(x1,…,xn) ∈Rn， {e:X1(e) ≤x1,…,Xn(e) ≤xn} ∈F，则称X=X(e)为n维 随机变量。称
随机过程讲义 第一章
第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。
当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
随机过程课件
。每个可能取的值称为一个状态。
对随机过程 {X (t) , t T} 进行一次试验 (即在 T 上进行一次全程观测) , 其结果是 t 的函数, 记为
x(t) , t T , 称它为随机过程的一个 样 本 函 数 或 样本曲线 .
所有不同的试验结果构成一族样本函数.
随机过程 总体
样本函数 个体
（4）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=[0，∞]， 状态空间为[-∞，∞]。
离散参数的随机过程亦称为随机序列。
四、随机过程的分布函数族
给定随机过程 {X (t),t T}.
对固定的 t T, 随机变量 X (t) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX (x,t) P{X (t) x}, x R.
1 0.5
-4
-2
-0.5
2
4
-1
当t固定时,X(t)是随机变量,故{X(t), t>0}是一族随机变量。
另一方面，对随机变量 做一φ次试验得一个试验值 ，
就是一条样本曲线。X (t) a cos(0t )
二、随机过程的概念
1 定义 参数集：设T是实数轴 (, )上的一个子集，且包含无限多
个数。随机过程是一族随机变量，可用 {X (t),t T} 来表示。T称为 随机过程的参数集。
在次概数率是论一中个曾随指机出变，量在，单记位X时(t间)为内[0一,t]电内话的站呼接叫到次的数呼唤 次数可用一离散型随机变量 X()表示，且有
P{X() k} k e , k 0, 1,2, ,( 0)
k! 在[0，t]时间内接到的呼唤次数,这一随机变量可记为X(t)。
P{X(t) k} (t)k et , k 0, 1,2, ,( 0)
第1章 随机变量(概率论与数理统计(东南大学课件)ppt)
6
(二) 随机事件
样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件。在 一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出 现时，称这一事件发生。 基本事件: 由一个样本点组成的单点集.
必然事件：样本空间 Ω 是自身的子集，在每次试验 中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点，它在每次 试验中都不发生，称为不可能事件。
P( Ai A jAk )
n 1
( 1)
P( A1A 2 An ).
25
例1. 设事件A发生的概率是0.6，A与B 都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的 概率为 0.15 , 求: (1) A发生B不发生的概率；(2) P(A+B); (3) P(B-A).
解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1, P（A B）=0.15， 则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0. 5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
A B Ω
22
性 质4. 对 任 一 事 件 , A
有 P ( A ) 1.
证 因A ， 由 性 质 得 3 P ( A ) P ( ) 1. 性 质5. 对 任 一 事 件 , A 有P ( A) 1 P ( A). 证 因 A A , 且 AA , 由概率的有限可加性得 1 P ( ) P ( A A ) P ( A) P ( A ). 性 质6. 对 任 意 两 事 件 , B有 A P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
17
（3） 若A1，A 2， , Ak 两 两 互 不 相 容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ). (有 限 可 加 性 ） 频 率 的 特 性 ： 波 动 性稳 定 性 和
(二) 随机事件
样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件。在 一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出 现时，称这一事件发生。 基本事件: 由一个样本点组成的单点集.
必然事件：样本空间 Ω 是自身的子集，在每次试验 中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点，它在每次 试验中都不发生，称为不可能事件。
P( Ai A jAk )
n 1
( 1)
P( A1A 2 An ).
25
例1. 设事件A发生的概率是0.6，A与B 都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的 概率为 0.15 , 求: (1) A发生B不发生的概率；(2) P(A+B); (3) P(B-A).
解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1, P（A B）=0.15， 则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0. 5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
A B Ω
22
性 质4. 对 任 一 事 件 , A
有 P ( A ) 1.
证 因A ， 由 性 质 得 3 P ( A ) P ( ) 1. 性 质5. 对 任 一 事 件 , A 有P ( A) 1 P ( A). 证 因 A A , 且 AA , 由概率的有限可加性得 1 P ( ) P ( A A ) P ( A) P ( A ). 性 质6. 对 任 意 两 事 件 , B有 A P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
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（3） 若A1，A 2， , Ak 两 两 互 不 相 容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ). (有 限 可 加 性 ） 频 率 的 特 性 ： 波 动 性稳 定 性 和
《随机过程》课件
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
4
● 随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
● 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
于
均
值
所以 a(t
，) 的方偏差离等程于x度2均f。1方(
x值,
t与)d均x值平[a方(t之)]差2
，
它
表
示
随
机
过
程
在
时
刻
t
对
均方值
均值平方
8
● 相关函数
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。
13
● 2.2 各态历经性 ● 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随 机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本， 这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本 函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ● 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用 的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过 程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间 平均值来代替。 ● 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
通信与信息工程中随机过程.ppt
习题
1.3 1.11
2021/5/15
东南大学无线电工程系
11
《随机过程》第1讲“通信与 信息工程中的随机过程” 终
2021/5/15
东南大学无线电工程系
12
通信网流量分析 无线资源管理
2021/5/15
东南大学无线电工程系
9
全书的内容
随机对象：随机变量、随机向量、随机过程的 概念及其描述 随机过程的基本类型 随机信号通过线性和非线性系统 随机信号分析基础 Markov链 排队论初步 随机过程的计算机方法
2021/5/15
东南大学无线电工程系
10
课后作业
无线信道的数学建模
时变线性系统 抽头数 抽头系数（分布、变化的快慢）
2021/5/15
东南大学无线电工程系
7
信号的传输和接收
什么是信号调制和解调？ 什么是信号的检测？
最优检测 次最优检测
补充说明
信道编码 扩频调制 交织
2021/5/15
东南大学无线电工程系
8
排队模型
什么是排队系统？ 排队系统的要素？ 补充说明
2021/5/15
东南大学无线电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程系
4
随机现象的数学建模
什么叫随机系统、样本点、样本空间？ 什么是随机变量、随机向量和随机过程？
随机系统因为输出的不同，而分别被称为随机变量、 随机向量和随机过程
建立随机现象数学模型的基本思路
不考虑输出某个结果的原因 用数或者函数表示输出结果 对输出结果的可能性进行先验量化
2021/5/15
东南大学无线电工程系
5
信源和随机信号
什么是数字随机信号和模拟随机信号？ 数字信号的优越性有哪些？ 补充讲述研究方向
1.3 1.11
2021/5/15
东南大学无线电工程系
11
《随机过程》第1讲“通信与 信息工程中的随机过程” 终
2021/5/15
东南大学无线电工程系
12
通信网流量分析 无线资源管理
2021/5/15
东南大学无线电工程系
9
全书的内容
随机对象：随机变量、随机向量、随机过程的 概念及其描述 随机过程的基本类型 随机信号通过线性和非线性系统 随机信号分析基础 Markov链 排队论初步 随机过程的计算机方法
2021/5/15
东南大学无线电工程系
10
课后作业
无线信道的数学建模
时变线性系统 抽头数 抽头系数（分布、变化的快慢）
2021/5/15
东南大学无线电工程系
7
信号的传输和接收
什么是信号调制和解调？ 什么是信号的检测？
最优检测 次最优检测
补充说明
信道编码 扩频调制 交织
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东南大学无线电工程系
8
排队模型
什么是排队系统？ 排队系统的要素？ 补充说明
2021/5/15
东南大学无线电ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程系
4
随机现象的数学建模
什么叫随机系统、样本点、样本空间？ 什么是随机变量、随机向量和随机过程？
随机系统因为输出的不同，而分别被称为随机变量、 随机向量和随机过程
建立随机现象数学模型的基本思路
不考虑输出某个结果的原因 用数或者函数表示输出结果 对输出结果的可能性进行先验量化
2021/5/15
东南大学无线电工程系
5
信源和随机信号
什么是数字随机信号和模拟随机信号？ 数字信号的优越性有哪些？ 补充讲述研究方向
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程_课件
第一章 概率论基础1.从传统的长度概念说起1.1 区间（a,b ）、[a,b]等都有长度，用字母L 表示,而且知道L (a,b)=b-a我们进而认为(*)L 是一种（函数）运算，自变量*为一维数轴上的区间，显然，(*)L 应满足：（1） L(*)0≥非负性；（2）有限可加性；（3）甚至要求满足可列可加性∑∞=∞==11)()(n n n n I L I L我们提出问题1：区间I 作为R 的子集，具有长度，那么R 的一般子集E 也有长度吗？答案是否定的。
因为传统长度是集合的右端点与左端点之差值，而只有区间这种集合才有端点。
问题2：是否可以推广L 为某*L 作为一般点集E 的长度呢？当然可以适当推广L 成为某种运算*L ，用以作为更广泛的一类集合（包含全体区间）的“长度”。
但是，事实表明，无论怎样改进*L ，都无法适应R 的全体子集。
1.2长度L 向某*L 推广的直接动力是，人们发现了Riemann积分的缺陷并希望加以改进。
Riemann 积分的缺陷1：()ba f x dx ⎰也可写成[,]()ab f x dx ⎰，积分符号的右下角就是积分区间，也就是积分范围，此范围不可以是一般的实数点集，只能是区间。
缺陷2：按照黎曼积分的定义（工科高数教材）：（1）分割区间[,]a b 成为若干小区间1[,]k k xx -，1,2,,k n = （2）任意取小区间1[,]k k x x -的点k ξ，求值()k f ξ，进而得到第k 个小矩形的面积()k k x f ξ∆（3）做和1()n k k k x f ξ=∆∑，也即全体小矩形面积之和（4）01lim ()n k k k x f λξ→=∆∑，这一步是对前三步工作的无穷细化。
这种方法的核心思想是微小范围内以直代曲，例如，第k 个小矩形的面积应是()k x f x dx ∆⎰，但这里却以()k k x f ξ∆加以代替，依据是在很小区间1[,]k k x x -上，函数()f x 的变化不大，可以近似看成常数()kf ξ。
《随机过程》PPT课件
2
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
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§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
最新东南大学随机过程课件第0讲教前引导
08.03.2021
东南大学无线电工程系
24
《随机过程》 第0讲“教前引导” 终
08.03.2021
东南大学无线电工程系
25
08.03.2021
东南大学无线电工程系
14
内容提要
教者简介 所教内容简介 教学方式约定 考核方式 劝勉勤奋学习
08.03.2021
东南大学无线电工程系
15
教学目标
充分理解、熟练掌握教材的内容
熟练掌握基本的数学概念和定理 熟练掌握通信与信息工程中基本研究对象的
数学描述
通过学习和习题练习，具备一定的解决 问题分析问题的能力 掌握一定的科学思想方法
08.03.2021
东南大学无线电工程系
13
随机过程的重要性
在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描 述一个现象的不同量之间的关系
本书所介绍的内容是通信与信息工程领域中各 种现象与问题的基本数学模型
是后继课程的数学基础，如《数字信号处理》、 《数字通信》、《信息论与编码》等
没有本书的基础，从事通信与信息领域的研究 和创新是不可能的事情；如果具足本书的基础， 将来从事通信与信息领域的研究和创新则无有 障碍
10
一张去年的照片
08.03.2021
东南大学无线电工程系
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内容提要
教者简介 所教内容简介 教学方式约定 考核方式 劝勉勤奋学习
08.03.2021
东南大学无线电工程系
12
《随机过程》的内容
随机对象：随机变量、随机向量、随机过程的 概念及其描述 随机过程的基本类型 随机信号通过线性和非线性系统 随机信号分析基础 Markov链 排队论初步 随机过程的计算机方法
01-随机现象及其频率稳定性
2010-12-26 信息与通信工程中的随机过程第1讲 12
个案分析之二
同样，决定明天某地点是否下雨的 因素有很多，譬如空气的湿度、温度、 流动方向等，观察者对导致下雨这个现 象的所有因素本身就难以一一认知，并 且这些因素怎样导致下雨现象发生的机 制也不得而知。所以，观察者对明天某 地点是否下雨不能确定性地预知。
2010-12-26 信息与通信工程中的随机过程第1讲 5
2/2） 随机现象的例子（2/2）
例1.3 观察明天中午某地点是否下雨。在 1.3 明天中午未到来之前，观察者只知道“下雨” 这个现象可能发生，也可能不发生，但却无法 准确预知。 例1.4 观察某机器的使用寿命。观察者只 1.4 知道，该机器的使用寿命可以是一个大于零的 实数，但具体是哪个实数却无法预知。 例1.5 观察某天某个时刻某地点的温度。观 1.5 察者只能知道，温度是某个范围内的一个数， 但却无法准确预知这个数的准确值。
2010-12-26 信息与通信工程中的随机过程第1讲 6
1/4） 信息与通信工程中的例子（1/4）
例1.6 观察某通信系统在一个 1.6 符号周期内所要发送的调制符号。 信号接收端的观察者在检测符号之 前只知道该符号是调制星座集合中 的一个符号，但是到底是哪一个符 号不得而知。譬如，如果是BPSK 调制，则符号集合为{-1，1}，观 察在检测之前，只知道这个符号周 期所发的符号是-1或1中的一个， 但到底是-1或1中的哪一个不得而 知。 例1.7 在上例中，假如观察 1.7 者观察的是由个符号组成的一帧 信号，则在检测之前，观察者知 道所接收的信号是集合 {- 1, 1}N 中 的一个元素，但是到底是哪一个 也不得而知。 例1.8 在上例中，假设发射 1.8 机所发送的符号序列是一个由-1 和1组成的无限长符号序列，则 接收端在检测之前，只知道发射 机所发送的是一个由-1和1组成的 无限长符号序列，但到底是哪一 个序列则不得而知。
个案分析之二
同样，决定明天某地点是否下雨的 因素有很多，譬如空气的湿度、温度、 流动方向等，观察者对导致下雨这个现 象的所有因素本身就难以一一认知，并 且这些因素怎样导致下雨现象发生的机 制也不得而知。所以，观察者对明天某 地点是否下雨不能确定性地预知。
2010-12-26 信息与通信工程中的随机过程第1讲 5
2/2） 随机现象的例子（2/2）
例1.3 观察明天中午某地点是否下雨。在 1.3 明天中午未到来之前，观察者只知道“下雨” 这个现象可能发生，也可能不发生，但却无法 准确预知。 例1.4 观察某机器的使用寿命。观察者只 1.4 知道，该机器的使用寿命可以是一个大于零的 实数，但具体是哪个实数却无法预知。 例1.5 观察某天某个时刻某地点的温度。观 1.5 察者只能知道，温度是某个范围内的一个数， 但却无法准确预知这个数的准确值。
2010-12-26 信息与通信工程中的随机过程第1讲 6
1/4） 信息与通信工程中的例子（1/4）
例1.6 观察某通信系统在一个 1.6 符号周期内所要发送的调制符号。 信号接收端的观察者在检测符号之 前只知道该符号是调制星座集合中 的一个符号，但是到底是哪一个符 号不得而知。譬如，如果是BPSK 调制，则符号集合为{-1，1}，观 察在检测之前，只知道这个符号周 期所发的符号是-1或1中的一个， 但到底是-1或1中的哪一个不得而 知。 例1.7 在上例中，假如观察 1.7 者观察的是由个符号组成的一帧 信号，则在检测之前，观察者知 道所接收的信号是集合 {- 1, 1}N 中 的一个元素，但是到底是哪一个 也不得而知。 例1.8 在上例中，假设发射 1.8 机所发送的符号序列是一个由-1 和1组成的无限长符号序列，则 接收端在检测之前，只知道发射 机所发送的是一个由-1和1组成的 无限长符号序列，但到底是哪一 个序列则不得而知。
随机过程教程
主要教学成果
编写出版了教材《通信与信息工程中的随 机过程》 开设的《随机过程》课程2002年12月被 评为江苏省优秀研究生课程 至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位， 目前正在指导13名硕士研究生 协助指导5名博士研究生获得博士学位 指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面
认真、尽职 教的过程也是学的过程 “贤良、喜悦、勤奋”可使学习者臻于完善的境地
随机过程的重要性
在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描 述一个现象的不同量之间的关系 本书所介绍的内容是通信与信息工程领域中各 种现象与问题的基本数学模型 是后继课程的数学基础，如《数字信号处理》、 《数字通信》、《信息论与编码》等 没有本书的基础，从事通信与信息领域的研究 和创新是不可能的事情；如果具足本书的基础， 将来从事通信与信息领域的研究和创新则无有 障碍
在研的科研项目
2001年4月至今，作为项目技术负责人，负责本室与 芬兰NOKIA移动电话公司的国际合作项目“3G以后系 统的基带算法研究” 2003年1月至今，作为项目负责人，正在进行深圳华 为公司委托的开发项目“HSDPA RRM调度算法建模 和网络规划的建模” 2003年2月至今，作为项目负责人，正在进行和中国 移动集团总公司的委托研究项目“NGSO-BSS(S)卫星 系统和地面WCDMA系统的干扰分析” 2002年9月至今，作为项目副组长，负责国家863高 技术发展项目“新型天线和分集技术研究”的基带研 究部分
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题 DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
具体涉及的研究领越
东南大学随机数学基础课件
解释: A B { A、B至少发生一个}
{ A、B都不发生} A B.
德摩根公式推广：
i 1
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
例1 高射炮对目标飞机射击三次，设Ai表 示“第i次击中飞机”，用Ai表示下列事件
(1) B1“只有第一次击中飞机”
推广：
(1) P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ).
( 2) P ( Ak ) P ( Ai )
k 1 i 1 n n
1 i j n
每次抽取到黑球有 a种可能，抽取到白球有 b种可能， 所以A包含的结果数为 2ab
2ab P ( A) (a b) 2
例4 n把看起来一样的钥匙，只有一把能开门，用 这些钥匙试开门（不重复），求第k次开门成功的 概率。 解：A表示“第k次试开成功” 方法1: 考虑n把钥匙的全排列，第j个位置对应第j 次试开用的钥匙。 总样本点数为n!, A包含(n-1)!个样点. 于是P(A)=1/n. 方法2: 考虑第k个位置上钥匙出现的情况
例5. 将n只球一只一只随机地放入N (N≥n)个盒子中 去,试求 A: 1-n号盒子各有一球的概率 B:每个盒子 至多有 一只球的概率.(设盒子的容量不限) 解：n只球放入 N个盒子共有 N n种放为 CN n! AN .
生日问题 假定每个人的生日在一年365天的任一天都等可能, 随机选取n(<365)个人, 求A:“至少有两个人生日相 同”的概率。
A P(A) 1 , 365
{ A、B都不发生} A B.
德摩根公式推广：
i 1
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
例1 高射炮对目标飞机射击三次，设Ai表 示“第i次击中飞机”，用Ai表示下列事件
(1) B1“只有第一次击中飞机”
推广：
(1) P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ).
( 2) P ( Ak ) P ( Ai )
k 1 i 1 n n
1 i j n
每次抽取到黑球有 a种可能，抽取到白球有 b种可能， 所以A包含的结果数为 2ab
2ab P ( A) (a b) 2
例4 n把看起来一样的钥匙，只有一把能开门，用 这些钥匙试开门（不重复），求第k次开门成功的 概率。 解：A表示“第k次试开成功” 方法1: 考虑n把钥匙的全排列，第j个位置对应第j 次试开用的钥匙。 总样本点数为n!, A包含(n-1)!个样点. 于是P(A)=1/n. 方法2: 考虑第k个位置上钥匙出现的情况
例5. 将n只球一只一只随机地放入N (N≥n)个盒子中 去,试求 A: 1-n号盒子各有一球的概率 B:每个盒子 至多有 一只球的概率.(设盒子的容量不限) 解：n只球放入 N个盒子共有 N n种放为 CN n! AN .
生日问题 假定每个人的生日在一年365天的任一天都等可能, 随机选取n(<365)个人, 求A:“至少有两个人生日相 同”的概率。
A P(A) 1 , 365
东南大学随机过程
例1、设随机序列Xn=Sn,(n=1,2,…)，其中S是
在[0,1]区间上服从均匀分布的随机变量，求
{Xn,n≥1}的一维分布密度函数族。
解：F ( x , n) P ( X n x ) 0, x 0
1 P ( S n x ) x n ,0 x 1 1, x 1
0, 其它 f(x,n) F ( x, n) 1 1 1 x n ,0 x 1 n
例2、投掷一枚硬币定义一个随机过程 sint , 若H
X (t ) t/2
1 ，其中P ( H ) P ( H ) 2 , 若H
求：F ( x,1)；F ( x1 , x 2 ,1,3 / 2)
1 3 1 1 3 3 R X (1,3 / 2) sin sin 2 2 2 2 4 16
例2(续). 随机相位正弦波 X ( t ) a cos(t ), t 0, 其中a和都是常数， 在[0,2 ]上服从 均匀分布。求相关函数 。
解：R X ( s, t ) EX ( s ) X ( t )
把随机过程{X(t),tT}写成{X(ω,t),ωΩ,tT} 的形式，其中ω,Ω分别是随机试验的样本 点和样本空间。 (1)固定一个时间t0，随机过程对应于一个随 机变量X(t0)。 (2)固定ω0Ω让t在T中变化， X(ω0,t)是定义 在T上的一个实函数，称之为对应于ω0的一个 样本函数或者样本轨道。
随 机 过 程
第十章
随机过程的基本概念
• 随机过程的基本概念
• 随机过程的有限维分布函数族
• 随机过程的数字特征
• 泊松过程和维纳过程
§10.1 基本概念
例1(随机游动)设质点在时刻t=0从原点出 发沿x轴按如下规则移动：每个一个时间单 位以概率p右移一格，以概率q=1-p左移一 格。若用X(n)表示时刻n质点所处的位置， 则{X(n),n=1,2,…}构成一随机变量序列。
东南大学随机过程--第0讲 教前引导 PPT课件
2019/10/15
东南大学无线电工程系
5
在研的科研项目
2001年4月至今，作为项目技术负责人，负责本室与 芬兰NOKIA移动电话公司的国际合作项目“3G以后系 统的基带算法研究”
2003年1月至今，作为项目负责人，正在进行深圳华 为公司委托的开发项目“HSDPA RRM调度算法建模 和网络规划的建模”
东南大学无线电工程系
9
教学理念
教者方面 认真、尽职 ຫໍສະໝຸດ 教的过程也是学的过程学者方面
“贤良、喜悦、勤奋”可使学习者臻于完善的境地
共同方面
互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
2019/10/15
东南大学无线电工程系
10
一张去年的照片
2019/10/15
东南大学无线电工程系
2019/10/15
东南大学无线电工程系
3
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
2019/10/15
11
内容提要
教者简介 所教内容简介 教学方式约定 考核方式 劝勉勤奋学习
2019/10/15
东南大学无线电工程系
12
《随机过程》的内容
随机对象：随机变量、随机向量、随机过程的 概念及其描述 随机过程的基本类型 随机信号通过线性和非线性系统 随机信号分析基础 Markov链 排队论初步 随机过程的计算机方法
2019/10/15
东南大学无线电工程系
8
主要教学成果
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
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13
随机过程的重要性
在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描 述一个现象的不同量之间的关系
本书所介绍的内容是通信与信息工程领域中各 种现象与问题的基本数学模型
是后继课程的数学基础，如《数字信号处理》、 《数字通信》、《信息论与编码》等
没有本书的基础，从事通信与信息领域的研究 和创新是不可能的事情；如果具足本书的基础， 将来从事通信与信息领域的研究和创新则无有 障碍
4
完成的科研项目
1997年1月到12月，作为项目负责人完成了国 家863高技术发展项目“多址干扰抑制技术” 1998年4月到2001年3月，作为项目技术负责 人，完成了本室与芬兰NOKIA移动电话公司的 国际合作项目“移动通信中的新方法” 2001年7月到2002年5月，作为项目负责人， 完成了深圳华为公司的委托项目 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析”
2003年2月至今，作为项目负责人，正在进行和中国 移动集团总公司的委托研究项目“NGSO-BSS(S)卫星 系统和地面WCDMA系统的干扰分析”
2002年9月至今，作为项目副组长，负责国家863高 技术发展项目“新型天线和分集技术研究”的基带研 究部分
08.02.2021
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6
主要科研成果
08.02.2021
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8
主要教学成果
编写出版了教材《通信与信息工程中的随 机过程》
开设的《随机过程》课程2002年12月被 评为江苏省优秀研究生课程
至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位， 目前正在指导13名硕士研究生
协助指导5名博士研究生获得博士学位
指导本科毕业设计20名
08.02.2021
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5
在研的科研项目
2001年4月至今，作为项目技术负责人，负责本室与 芬兰NOKIA移动电话公司的国际合作项目“3G以后系 统的基带算法研究”
2003年1月至今，作为项目负责人，正在进行深圳华 为公司委托的开发项目“HSDPA RRM调度算法建模 和网络规划的建模”
精品
东南大学随机过程课件第0讲 教前引导
内容提要
教者简介 所教内容简介 教学方式约定 考核方式 劝勉勤奋学习
08.02.2021
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2
简历
陈明，男，1968年10月生于江苏扬州； 1986年考入南京大学数学系，1990年、1993年、 1996年于该系分别获理学学士、硕士、博士学位； 1996年7月毕业分配到东南大学无线电工程系移 动通信国家重点实验室从事科研和教学工作； 1996年9月受聘为讲师； 1998年4月受聘为副教授、硕士生导师； 2003年5月受聘为教授。
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东南大研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
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内容提要
教者简介 所教内容简介 教学方式约定 考核方式 劝勉勤奋学习
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教学目标
充分理解、熟练掌握教材的内容
熟练掌握基本的数学概念和定理 熟练掌握通信与信息工程中基本研究对象的
数学描述
通过学习和习题练习，具备一定的解决 问题分析问题的能力 掌握一定的科学思想方法
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劝学格言一
养不教，父之过；教不严，师之惰。 子不学，非所宜；幼不学，老何为。 玉不啄，不成器；人不学，不知义。 …… 蚕吐丝，蜂酿蜜；人不学，不如物。
在国内核心杂志上发表文章32篇，其中 11篇被SCI和EI收录 在国际通信会议上发表文章22篇，其中 被ISTP收录16篇 获得国家发明专利1项
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7
主要教学经历
1995年，于南京大学给地质系本科生开 设了《常微分方程》选修课程 1995年到1996年，于南京大学商学院 开设了两次《统计学》课程 1996年至今，为本系硕士研究生、研究 生进修班、工程硕士、中职教师研究生 班开设了《随机过程》学位课程，先后 授课达11次
不得迟到、早退、缺课 上课时请关闭手机 作业不得用纸片信纸之类，必须使用作业本
两本做习题（交替而用） 一本写章节的总结报告（内容总结、个人心得）
迟交的作业及纸片做的作业恕不批改
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内容提要
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计分方式
最后期终考试成绩占80％ 平时成绩占20％
作业（包括总结）：一次不交扣1分、两个c 扣1分，四个B扣1分
缺席一次扣1分，迟到一次扣0.5分 手机声响扣1分 严重违反课堂纪律，视情节轻重扣分
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20
内容提要
教者简介 所教内容简介 教学方式约定 考核方式 劝勉勤奋学习
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16
对学习者的要求
三个重要环节
课前预习 课上认真听讲 课后认真复习消化、作业
经常进行阶段复习
掌握知识的窍诀：反复思维实践（串习）
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17
其他约定
上课时间
第一节：8:15~9:45 第二节：10:10~11:40
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9
教学理念
教者方面
认真、尽职 教的过程也是学的过程
学者方面
“贤良、喜悦、勤奋”可使学习者臻于完善的境地
共同方面
互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
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10
一张去年的照片
08.02.2021
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11
内容提要
教者简介 所教内容简介 教学方式约定 考核方式 劝勉勤奋学习
08.02.2021
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12
《随机过程》的内容
随机对象：随机变量、随机向量、随机过程的 概念及其描述 随机过程的基本类型 随机信号通过线性和非线性系统 随机信号分析基础 Markov链 排队论初步 随机过程的计算机方法
08.02.2021