题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型3 探究特殊四边形的存在性问题试题

类型3 探究特殊四边形的存在性问题
1．(2014·桂林)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(－2，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为
直线x ＝1.
(1)直接写出抛物线的解析式y ＝－12
x 2＋x ＋4； (2)把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A ，C 的对应点分别为A′，C ′，当C`落在抛物线上时，求A′，C ′的坐标；
(3)除(2)中的点A′，C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(2)由抛物线y ＝－12
x 2＋x ＋4可知C(0，4)． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，根据对称性，
∴C ′(2，4)，∴A ′(0，0)．
(3)存在．设F(x ，－12
x 2＋x ＋4)．以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形．
图1
①若AC 为平行四边形的边，如图1所示，则EF∥AC 且EF ＝AC.
过点F 1作F 1D ⊥x 轴于点D ，则易证Rt △AOC ≌Rt △E 1DF 1，
∴DE 1＝2，DF 1＝4.
∴－12
x 2＋x ＋4＝－4， 解得x 1＝1＋17，x 2＝1－17.
∴F 1(1＋17，－4)，F 2(1－17，－4)．
∴E 1(3＋17，0)，E 2(3－17，0)．
图2
②若AC 为平行四边形的对角线，如图2所示．
∵点E 3在x 轴上，
∴CF 3∥x 轴．
∴点F 3为点C 关于x ＝1的对称点，
∴F 3(2，4)，CF 3＝2.
∴AE 3＝2.∴E 3(－4，0)．
综上所述，存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形；点E ，F 的坐标为：E 1(3＋17，0)，
F 1(1＋17，－4)；E 2(3－17，0)，F 2(1－17，－4)；E 3(－4，0)，F 3(2，4)．
(注：因点F 3与点C′重合，故此处不确定E 3，F 3是否满足题意)
2．(2015·百色)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D ，E 同时从原点O 分别沿着x 轴，y
轴正方向运动，点E 的速度是每秒1个单位长度，点D 的速度是每秒2个单位长度．
(1)求抛物线与x 轴的交点坐标；
(2)若点C 为抛物线与x 轴的交点，是否存在点D ，使A ，B ，C ，D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；
(3)问几秒钟时，B ，D ，E 在同一条直线上？
解：(1)依题意有
⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，9＋3b ＋c ＝2. ∴⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴y ＝x 2
－3x ＋2.
当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0.解得x 1＝1，x 2＝2.
∴抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(2，0)．
(2)存在．
当点C 为(1，0)时，
∵AB ＝3，AB ∥x 轴．
∴平行四边形中，AB ＝CD ＝4－1＝3.
∴D 点为(4，0)．
当C(2，0)时，同理可求D(5，0)．
(3)设t 秒时，B ，D ，E 共线，则D ，E 点的坐标分别为(2t ，0)，(0，t)．设经过点B ，D ，E 的直线为y ＝kx ＋m(k≠0)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝m ，0＝2tk ＋m.∴⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝t ，k ＝－12，或t ＝0. ∵y ＝－12
x ＋t 经过B(3，2)． ∴2＝－12
×3＋t. ∴t ＝3.5.
∴t ＝0或t ＝3.5秒时，B ，D ，E 共线．
3．(2016·贵港模拟)如图，直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A ，B ，
并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P.
(1)求a ，k 的值；
(2)抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M ，N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 解：(1)∵直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，
∴A(1，0)，B(0，3)．
又∵抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A(1，0)，B(0，3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－1. 故a ，k 的值分别为1，－1.
图1 图2
(2)设Q 点的坐标为(2，m)，对称轴x ＝2交x 轴于点F ，如图1，过点B 作BE 垂直于直线x ＝2于点E.
在Rt △AQF 中，AQ 2＝AF 2＋QF 2＝1＋m 2，
在Rt △BQE 中，BQ 2＝BE 2＋EQ 2＝4＋(3－m)2.
∵AQ ＝BQ ，∴1＋m 2＝4＋(3－m)2.
∴m ＝2.∴Q 点的坐标为(2，2)．
(3)如图2，当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直，∴AC 应为正方形的对角线．
又∵对称轴x ＝2是AC 的中垂线，
∴M 点与顶点P(2，－1)重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2，1)．
此时，MF ＝NF ＝AF ＝CF ＝1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN 为正方形．
在Rt △AFN 中，AN ＝AF 2＋NF 2＝2，即正方形的边长为 2.
4．(2016·泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A(0，5)，
与x 轴交于点E ，B.
(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；
(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A ，E ，N ，M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M ，N 的坐标．
解：(1)设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2
＋9，
∵抛物线与y 轴交于点A(0，5)，∴4a ＋9＝5. ∴a ＝－1.
∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5.
(2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝5.
∴E(－1，0)，B(5，0)．
设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，
∵A(0，5)，B(5，0)，∴m ＝－1，n ＝5. ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.
设P(x ，－x 2＋4x ＋5)，∴D(x ，－x ＋5)．
∴PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x.
∵AC ＝4，∴S 四边形APCD ＝12
×AC·PD＝2(－x 2＋5x)＝－2x 2＋10x. ∴当x ＝52时，S 四边形APCD 最大＝252.
(3)如图，过M 作MH 垂直于对称轴，垂足为H. ∵MN ∥AE ，MN ＝AE ，
∴△HMN ≌△OEA.
∴HM ＝OE ＝1.∴M 点的横坐标为x ＝3或x ＝1. 当x ＝1时，M 点纵坐标为8；
当x ＝3时，M 点纵坐标为8.
∴M 点的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)．
∵A(0，5)，E(－1，0)，
∴直线AE 解析式为y ＝5x ＋5.
∵MN ∥AE ，∴MN 的解析式为y ＝5x ＋b.
∵点N 在抛物线对称轴x ＝2上，∴N(2，10＋b)．
∵AE 2＝OA 2＋OE 2＝26，
∵MN ＝AE ，∴MN 2＝AE 2.
∴MN 2＝(2－1)2＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b ＋2)2. ∵点M 的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)， ∴点M 1，M 2关于抛物线的对称轴x ＝2对称． ∵点N 在抛物线对称轴上，∴M 1N ＝M 2N.
∴1＋(b ＋2)2＝26，解得b ＝3或b ＝－7.
∴10＋b ＝13或10＋b ＝3.
∴当点M 的坐标为(1，8)时，点N 的坐标为(2，13)；当点M 的坐标为(3，8)时，点N 的坐标为(2，3)．。